So, da bin ich nochmal. Jetzt möchte ich beweisen,
dass jede affine Ebene AG2K, dieses Axiom AD erfüllt.
Das ist Satz 4-2. Also, A,
sei AG2K über irgendeinem Körper K.
Und die Behauptung ist, diese affine Ebene ist desacsch.
Das heißt, in A gilt unser Aktion AD
Und für den Beweis mache ich nochmal eine ganz grobe Skizze von dem Aktionen.
Drei Graden durch ein Punkt Z. Hier haben wir A1,
A2 ist parallel zu B1, B2 und A2 A3 ist parallel zu B2 B3,
also hier liegt jeweils Parallelität vor und die Behauptung,
was wir zeigen müssen, ist dann auch,
dass dann auch diese beiden Graben, hier die roten Graben, parallel sind.
Und da benutzen wir das Lämmer vom letzten Mal,
den Strahlensatz und schreiben erstmal hin, sei BI,
das ist ja immer ein Punkt auf der Verbindungsgrade,
Z-A-I, den können wir dann schreiben als Z plus A-I-Z,
mal ein Lamm da und das nenne ich Lamda-I. Gut,
dann sagte uns unser Strahlensatz wegen A-1 A2,
parallel B-1 B-2 mit dem Strahlensatz 4.1, das Lamda 1,
gleich Lamda 2 ist.
Also dieser Streckfaktor Lamda sozusagen, muss identisch sein, analog A2,
A3, das ist unsere zweite Voraussetzung, parallel B2B3,
folgt auch mit 4.1, das Lamda 2, gleich Lamda 3 ist.
Und wenn ich das beides habe,
dann kann ich gleichsetzen und erhalte,
dass auch Lamda 1 gleich Lamda 3 ist
Und da folgt jetzt auch wieder aus 4-1,
aus der anderen Richtung von 4-1,
folgt die Parallelität, folgt A-1-A-3, parallel, B-1, B-3.
Und das war das, was wir wollten. Damit ist
dieser Satz bewiesen. Also das war jetzt nicht schwierig,
wirklich rein rechnerisch, unter Verwendung des Lemmas 4
-1. Ich komme zu 4-3.
Das ist jetzt ein wichtiger Punkt, nämlich ein Beispiel einer
affinen Ebene, in der AD nicht gilt.
Eine nicht-desagsche-affine Ebene,
die muss dann anders sein als eine Ebene
Das ist keine Bemerkung, sondern ein Beispiel. Beispiel. Einer,
wie wir sagen, nicht Desaction, einer affinen Ebene.
Und die hat einen speziellen Namen, ich nenne sie M mit Doppelstrich,
das ist jetzt nicht unbedingt Standard, aber der Name ist Standard,
das ist die Multen-Ebene nach einem amerikanischen Mathematiker Multen.
Hm heißt sie bei mir, die Punktmenge ist eher Quadrat,
die geraden Menge, nenne ich ge,
und das ist sozusagen eine Abwandlung, Äh,
eine Abwandlung der reellen Anschauungsebene, also eine Abwandlung von AG2K.
Die Punktmenge ist dieselbe, die Grabenmenge ist
auch zum Teil identisch, aber nur zum Teil.
Geh, besteht erstens aus allen Graden zäh in spitzen Klammern.
C aus R. Ich schreibe hier, zieh nicht hin.
Also wie das definiert ist, ich erinnere an das,
was auf Platz zwei Hausaufgabe sechs vorkam.
Das Ganze steht auch im Skript nochmal drin.
Ich mache das hier nur skizzenhaft. Wenn wir hier den
R hoch zwei haben, hier haben wir die X-Koordinate C,
dann sind das alle Das wäre die gerade zäh in Spitzenklammern.
Die Menge aller Punkte des Erhoch 2, die erste Koordinate C haben.
Das sind also ganz gewöhnliche Graden der affinen Ebene.
Also der auf ihnen Ebene AG2R. Dann geht es aber noch
weiter. Dann haben wir gerade in der Form,
die nenne ich MB, in Doppelspitzenklammern.
M und B aus R. Wir hatten bisher nur NB mit
einfachen Spitzenklammern.
Das wären gerade dieser Form MB
Mit Steigung B, Y-Achsen-Schneigung M, Y-Achsen-Abschnitt. B. Und
diese sollen auch vorkommen, nämlich MB in Spitzenklammern, in Doppelspitzenklammern.
Ist, machen wir eine Fallunterscheidung. Ist für den Fall,
dass die Steigung M, so wie hier in meiner Skizze,
kleiner oder gleich null ist,
ist das die gerade MB in Einfachspitzenklammern.
Falls M größer oder gleich null, nee,
kleiner oder gleich null, so wie in meinem Bild.
Geraden mit Steigung
kleiner oder gleich null
Werden unverändert aus der Ebene AG2R übernommen, aber geraden mit Steigung größer Null werden verändert. Ich schreibe das hier nicht auf,
lesen Sie das bitte nach, wenn Sie wollen,
die Formel dafür, falls im größeren Null,
und das male ich hier jetzt mal in Rot rein,
da ist nämlich eine Fallunterscheidung wieder in der Grabengleichung,
bei geraden Größern, mit Steigern größer Null,
und wir sind unterhalb der X-Achse, also zweite Koordinate negativ,
dann haben wir die gewöhnliche Geradengleichung und sobald wir die X-Achse überschreiten,
also die Y-Koordinate positiv wird,
ist die Steigung nur noch halb so groß.
Also wenn hier Steigung M ist, dann ist hier Steigung ein
Halb M. Das sind die sogenannten Knickgraben, wie die auch genannt werden. Das heißt,
die Multen-Ebene entsteht aus der Anschauungsebene AG2R,
in dem wir dieselben Punkte haben,
die Graben parallel zur Y-Achse sind auch dieselben,
die Graben mit negativer Steigung oder auch Steigung Null sind auch dieselben,
Geraden mit positiver Steigerung knicken, beim Überschreiten der X-Achse ab,
sodass sie dann nur noch halb so steil weiterlaufen.
Und man kann tatsächlich zeigen, dass dieses M wieder eine affine Ebene ist.
Und das wird zumindest in Teilen in der Übung behandelt.
In Skript kommt das nicht vor, aber für uns
noch wichtiger, dieses M ist eben tatsächlich nicht besagsch.
Das kann man am besten an einer Zeichnung erläutern.
M ist nicht besagsch, das heißt, unser Axium AD ist nicht erfüllt.
Und das versuche ich jetzt hier mal sozusagen freihand als Zeichnung
hier reinzumalen. Und zwar nehmen wir unseren Punkt Z,
jetzt mal hier, auf der Y-Achse.
Und als eine unserer Graden nehmen wir die Y-Achse selbst,
als eine nehmen wir eine mit positiver Steigung.
Die wird dann hier geknickt. Und als eine nehmen wir
eine mit negativer Steigung. Die wird nicht geknickt. Und
wir haben Das, ich muss kurz mal eine Vorlage gucken.
Unsere Punkte, die sind hier hier, hier und hier.
Diese beiden sind parallel. Das sind ganz gewöhnliche Graden mit Steigerung Null.
Die schneiden sich nicht, wenn ich sie hier auch verlängere.
Auch in der muten Ebene schneiden die sich nicht,
weil Schnittverhalten ist einfach das Schnittverhalten von Teilmengen des R
hoch 2. Also das könnte jetzt zum Beispiel so ein mein Punkt A1,
A2, B1, B2,
dann wäre das ja also G1 und
Dann gehe ich weiter, das ist G3, A2, jetzt A3. Hier ist B3.
Und das sind jetzt beides geraden, das sind Braten mit negativer Steigung,
die ich jetzt so wähle, dass sie wirklich parallel sind,
sowohl in der AG2R als auch in der Mutenebene.
Sind also keine Knickgraden. Und jetzt wissen wir ja,
in der Ebene AG2R, wenn ich also ungeknickte Graden nehmen würde,
Dann wären auch diese Verbindungsgrade und diese Verbindungsgrade parallel.
Jetzt ist aber ein wichtiger Bestandteil hier unterhalb meiner X-Achse und
dieser Bestandteil ist oberhalb der X-Achse. Das heißt,
wenn ich diese gerade weiter zeichne,
die geht hier ganz normal weiter und wird hier abgeknickt,
während diese, die hat hier die Steigung,
die auch hier vorliegt und wird dann aber hier steiler,
doppelt so steil, wenn hier Steigung M ist,
ist hier zwei M, damit das hinkommt mit dem Knicken.
Und das heißt, wenn ich hier weiter zeichne und hier weiter zeichne,
werden die sich hier unten irgendwo schneiden,
weil hier eben geknickt wird, weil diese gerade beim Überschreiten der Y-Achse,
äh der X-Achse steiler wird.
So wie hier. Unterhalb ist sie steiler, oberhalb flacher.
Und deshalb schneiden die sich hier. Und deshalb sind die beiden roten Graden,
also die geraden A1A3 und B1B3, nicht parallel.
Und wenn AD gilt, gelten würde, dann müssten sie ja parallel sein.
Hier haben wir ein Beispiel, wie man auch sagt,
Einer sich nicht schließenden, die Sargfigur schließen würde,
bedeuten die beiden Graben sind parallel, schneiden sich auf der Ferngrade.
Hier schneiden sie sich. Hier im Affinen sozusagen,
im Erhoch 2, in einem ganz gewöhnlichen Punkt.
Und die Graben sind also nicht parallel und damit ist tatsächlich das Axium AD verletzt in dieser affinen Ebene. Das ist ein Beispiel einer affinen Ebene,
eines der ersten Beispiele in der Geschichte, wahrscheinlich nicht wirklich das erste,
aber eines der ersten Beispiele und einem recht einfach zu erklärendes Beispiel,
dass es tatsächlich affine Ebenen gibt,
wo dieses AD nicht erfüllt ist und die eben dann,
wie wir später sehen werden,
Genau, oder das ist hier schon klar,
dass die sich nicht durch einen Körper beschreiben lassen,
weil wenn sie vom Typ AG 2K sind,
dann wären sie ja Desage.
Dieses ist aber nicht Desage. Genau,
und damit möchte ich hier schon schließen und danke für
Ihre Aufmerksamkeit