Herzlich willkommen in diesem Video. Ich starte jetzt hier mit
Kapitel 4 des Skripts und möchte kurz einen Ausblick geben,
worum es in dem Kapitel 4 gehen soll.
Das Kapitel ist ja überschrieben, Schließungssätze und Koordinatisierung.
Ein großes Ziel dieses Kapitels,
das steht auch im Skript selber am Anfang, ist Folgendes.
Wir haben eine affine Ebene A. Und wir suchen eine Bedingung,
die uns sagt, wann ist diese Ebene von der Form
AG2K
Also wir wollen einen Satz erreichen, der befolgt lautet,
sei er eine affine Ebene, dann gilt.
A, ist Isomorph zu A, G,
2K. Für einen Körper K. Genau dann, wenn...
Ja, und das ist hier jetzt eben die Frage.
Genau dann, wenn was? Da hätten wir gerne eine
rein geometrische Bedingung. Hier haben wir ja sozusagen eine allgebraische Bedingung,
die Existenz des Körpers, rein geometrische Bedingungen,
die Äquivalent ist
So der Existenz des Körpers. Und das wird sein,
dass Axiom AD, also ein weiteres Axiom,
wir hatten ja schon ganz viele Axiome für affine und projektive Ebenen allgemein.
Dieses ist jetzt ein bisschen komplizierter zu formulieren,
ist aber von der Art her im Prinzip nicht anders als unsere anderen Axiome.
Das heißt, das große affine Axiom von Desert,
das werde ich auch gleich erklären. Vorab möchte ich sagen,
also wir wollen am Schluss zeigen,
A ist genau dann Isomorph zu einem AG2K,
wenn in A,
das außerdem neben den gewöhnlichen Axiomen für affine Ebenen,
noch das Axiom AD
Gültig ist. Und dieses Axiom AD ist dann ja in
allen AG2K gültig und weil in der Geschichte der Geometrie
zunächst nur AG2R und dann später vielleicht AG2K betrachtet wurde,
hat man das früher nicht Axiom genannt, sondern einen Satz,
der in allen diesen affinen Ebenen gilt.
Und das ist dann ein sogenannter Schließungssatz. Und da kommen
neben AD auch in diesem Kapitel noch andere vor.
Unter anderem einer, den ich hier hinschreiben könnte,
wenn ich hier auf dieser Seite einen kommutativen Körper haben möchte.
Das kann ich auch charakterisieren durch so eine genau dann Van-Aussage
Genau, und die umgekehrte Richtung, wenn,
in einer affinen Ebene das Aktionen gilt,
dass man dann so einen Körper hat und A-Isomorph zu A-G-2-K ist,
das ist das, was hier unter Koordinatisierung bezeichnet wird.
Das heißt,
in A führe ich Koordinaten ein und die Menge der Koordinaten,
das muss man dann zeigen und kann man zeigen,
bildet einen Körper, sodass A-Isomorph zu A-G-2-K ist.
Also hier drin versteckt sind einerseits schon die Schließungssätze und andererseits,
wenn man von hier nach hier geht,
dann die Koordinatisierung.
Und ich möchte jetzt dieses Axiom AD definieren.
Das ist auch die erste Definition im Skript.
Die affine Ebene. A. Gleich AG. Heißt Desagge.
Also eine Desagsche-affine Ebene benannt nach einem französischen Mathematiker Girardi
Sarg um 1600
hat er gelebt
Wenn in A das Aktion AD gilt,
und das möchte ich jetzt hier gleich erklären,
wie das Aktion lautet, also AD ist das Aktion von Desak.
Dafür steht das D, das A steht für affin,
weil es ist nachher auch noch eine projektive Variante vom Desak gilt,
gibt, und das nennt sich auch das große Affine Aktion von Desak,
es gibt auch noch ein kleines,
das wird dann mit kleinem D geschrieben
Also Groß-AD ist der, kurz gesagt, der große Desark,
Satz von Desark, sagt man auch häufig,
weil in jedem AG2K ist das eben ein Satz, der gilt.
Das werden wir auch bald beweisen. Jetzt möchte ich
das Axium hier nur erklären und ich erkläre jetzt,
ich schreibe nicht alles hin, was im Skript steht,
sondern mache Erkläre rein,
das Ganze an der Skizze und sagt mündlich was dazu.
Bitte die Details im Skript nachlesen. Gegeben ein Punkt Z
und drei Graden, die durch Z gehen.
Ich könnte auch sagen, gegeben drei Co-Punktale Graden.
Und der Schnittpunkt heiße Z und die Graben heißen die Eins,
zwei, die drei, drei verschiedene Graden durch einen Punkt Z.
Auf jeder Grade habe ich jetzt noch zwei weitere Punkte,
AI und BI, also hier zum Beispiel A1 und B1,
B1 und die seien jeweils ungleich Z und auch untereinander verschieden und es gelten folgende Parallelitätsaussagen,
die gerade A1b1, nee, A1, Entschuldigung,
Hier sind wir auf der Grade 2,
die könnte ich natürlich hier noch verlängern.
Ich zeichne sie jetzt mal nur so als kurze Strecke.
Die ist parallel nach Voraussetzung zu B1 B2.
Das deute ich hier durch so einen Doppelstrich an.
Die sollen parallel sein. Zweitens sind auch A2 A3 parallel.
A2 A3 und Beats ist auch A2 A3 parallel zu B2B3.
Also diese Parallelität sei auch vorausgesetzt und wann immer
die Konstellation so ist
wie hier
Gegeben, diese drei Graden, den Funkz und die drei,
beziehungsweise sechs Punkte A-I-B-I, derart das A-1-A-2,
parallel zu B-1-B-2 und A-2-A-3 parallel zu B-2-B-3 ist,
dann ist auch A-1-A-3 parallel zu B-1-B-3.
In meiner Zeichnung kommt das jetzt nicht so ganz gut hin,
aber sozusagen das hier mache ich mal mit so einem Ausrufezeichen,
das ist die Aussage.
Die Aussage dieses Axiomes ist, wenn alles,
was hier blau gezeichnet ist, gilt,
dann gilt auch die rote Parallelität,
dass die beiden geraden A-1-A-3 und B-1-B-3
dann ebenfalls automatisch parallel sind
Genau. Und das nennt man einen Schließungssatz, weil,
wenn ich das jetzt ins Projektive einbetten würde, würde das heißen,
diese beiden Graden schneiden sich auf der Ferngrade und dann sagt man,
diese Figur schließt sich in diesem Fernpunkt.
Die beiden Graden gehen durch den gleichen Punkt auf der Ferngrade.
Wo auch die Schnittpunkte der anderen jeweils Parallelen geraden, liegen.
Genau, das ist das Axiom Adi. Und unser erstes Ziel wird jetzt sein,
sozusagen diese Richtung, Das ist jetzt unser erstes Ziel,
was wir auch jetzt in diesem Video noch nicht schaffen,
aber dann im nächsten, unser erstes Ziel wird es sein,
diese Richtung zu beweisen, wenn A gleich AG2K ist,
Visomorph, aber ich nehme direkt an die 2K,
dann gilt diese Sache.
Dann kann ich das rechnerisch, natürlich,
weil ich dann hier den Körper habe und den Wektorraum.
Rechnerisch beweisen, dass dann diese beiden geraden A1A3 und B1B3 tatsächlich Parallel sind.
Genau, und um das beweisen zu können, brauche ich ein Lämmer,
Lämmer 41, weil welches dort auch genannt wird, Strahlensatz.
Den möchte ich, diesen Strahlensatz oder das Lämmer,
möchte ich jetzt hier noch formulieren und ihnen erklären,
was das mit dem Strahlensatz zu tun hat.
Also oben den Beweis zu führen, das in AG2K,
die Aussage AD gilt, benötigen wir Lämmer 4.1,
Strahlensatz, ich werde das Lämmer jetzt nicht im Detail hinschreiben,
nur stichwortartig und auch wieder an der Skizze und den Beweis werde ich ganz weglassen.
Das ist rein rechnerisch, wer möchte, kann sich den
angucken und gegebenenfalls mich auch dazu befragen, also gegeben ist jetzt die affine Ebene
AG2K. Und vielleicht mache ich mal hier so an den Rand,
kurze Erinnerung,
was ist der Strahlensatz oder es gibt ja mehrere aus der Schule,
bekannte Strahlensätze, die kann natürlich in AG2R,
wenn man zwei schneidende Graden hat und die werden wiederum geschnitten von zwei Parallelen Graden,
dann gilt unter Annahmen, dass die kurze Strecke hier zur langen Strecke sich so verhält,
wie die kurze Strecke hier, zur langen Strecke.
Ja, das ist einer der Strahlensätze und den, das wird jetzt hier ein bisschen anders formuliert, aber ist im Prinzip das Gleiche. Wir haben hier sozusagen,
um das auszurechnen, würde man so die Längen ins Verhältnis setzen,
kurze Länge, geteilt durch lange Länge,
ist auch entsprechend hier kurze geteilt durch lange,
was ist aber die Länge,
Medenkenmessung haben wir über beliebigen Körper nicht und deshalb müssen wir ein klein bisschen anders vorgehen,
das gelingt uns aber Und zwar haben wir gegeben zwei Graden,
die sich in einem Punkt Z schneiden und die haben Richtungsvektoren,
beziehungsweise B. Und dann gibt es auf den Graden noch weitere Punkte,
Alanda, auf der ersten Graden.
Das ist Z plus, ah nein, Entschuldigung,
ich bin falsch. Tatsächlich. Hier ist A und B
liegen drauf und
die Richtungsvektoren sind dann
Und B-Z, das sind hier die Richtungsvektoren. Entschuldigung,
nur so kann es dann klappen. Und ein weiterer Punkt A
auf dieser Verbindungsgraden von A und Z, ein weiterer Punkt A,
Lamda, hat dann die Gestalt Z plus A-Z mal Lamda.
So lässt sich jeder Punkt auf der Grade beschreiben.
Und dann habe ich einen entsprechenden Punkt B-Mü,
Z plus B-Z mal Mü. Und es gilt jetzt,
die zeichne ich mal hier irgendwo ein, A,
Lamda und B-Mü, es gilt, AB,
diese gerade, ist parallel zu dieser Garden.
AB, parallel zu A Lamda Bemü, genau dann,
wenn Lamda gleich Mühe ist. Also, wenn ich so zu sagen,
das ist in meiner Zeitung jetzt nicht ganz der Fall,
aber stellen Sie sich vor,
ich hätte es mir ein klein bisschen größer gewählt,
dann wäre das so.
Dieses Lamda ist sozusagen der Faktor, mit dem ich immer
in unseren Richtungsweck zur Strecke, um hier zu landen.
Und genauso das Mühe. Und wenn ich mit demselben Faktor strecke,
dann sind die gerade parallel und umgekehrt,
wenn die gerade parallel sind,
dann muss ich mit dem gleichen Faktor strecken
Das ist im Prinzip dasselbe wie hier,
um von der kurzen zur langen Strecke zu gelangen,
muss ich auch mit irgendeinem Faktor strecken.
Und wenn die Streckenverhältnisse gleich sind, muss ich jeweils mit dem gleichen Faktor strecken.
Also in dem Sinne entspricht dies wirklich dem einen Strahlensatz,
den sie aus der Schule kennen. Und dass das wirklich
der Fall ist, das kann man leicht nachrechnen.
Und mit diesem Satz werde ich dann im nächsten Video
diesen Satz oder diese Aussage beweisen für den Fall,
dass ihm A weiterhin, so wie auch hier,
gleich A, die 2K ist.
Das mache ich aber im nächsten Video und ende
hier erstmal und danke für die Aufmerksamkeit