So, ich möchte Ihnen jetzt hier noch den Rest von Kapitel 3 präsentieren.
Das war dieser Satz, den ich neulich schon angekündigt habe,
nämlich es existiert keine projektive Ebene der Ordnung Kuh,
Kongruent 6 Module 8. Also zum Beispiel der Ordnung Kuh selbst
und alle anderen zahlen die Kongruent 6 Module 8 sind.
Das ist der Satz 3,21 im Skript und um den beweisen
zu können, benutzen wir den Satz 3,20,
der heißt Satz von Brug und Riser.
Der ist also relativ wichtig, sage ich mal,
in der Theorie der endlichen Geometrie,
der endlichen projektiven Ebenen
Nach seinen beiden Entdeckern sozusagen benannt. Und den beweisen wir nicht.
Der Beweis wäre sehr aufwendig, ihm in die Zahlentheorie auch einsteigend.
Und den möchte ich ihn dir einfach nur nennen.
Und den werden wir dann gleich verwenden. Dazu sei,
also in diesem Satz sei jetzt Kuh eine natürliche Zahl,
die Kongruent-1-Modulu 4 oder Kongruent 2 Modulu 4 ist.
Die Zahlen 6 Modulu 8 würden dann hier unter 2 Modulu 4 fallen.
Also sei Kuh eine Zahl, die diese Eigenschaft hat.
Dann gilt, Wenn eine projektive Ebene der Ordnung Kuh existiert,
so ist Kuh die Summe zweier Quadrate.
Das heißt Q ist A-Quadrat, plus B,
Quadrat für irgendwelche natürlichen Zahlen A und B, die auch null sein dürfen.
Eine von beiden könnte dann null sein. So,
und jetzt möchte ich mit Hilfe dieses Satzes den Satz 3,21 beweisen, Beweis von 3,21.
Also in 3,21 ist ja, oder nehmen wir an,
wir haben, oder starten wir mit der Zahl Kuh,
Kongruenz 6 Module 8 und wollen zeigen zu diesem Kuh,
existiert keine projektive Ebene
Also Kuh-Kongruent, sechs Module 8,
dann ist natürlich auch Kuh-Kongruent 2 Module 4 und ich kann also den Satz anwenden,
die Voraussetzung ist erfüllt und ich möchte jetzt sozusagen die Aussage des Satzes,
existiert eine positive Ebene, so ist Kuh,
die somit zweier Quadrate, die möchte ich sozusagen die Kontraposition anwenden,
wenn Kuh nicht die Summe zweier Quadrate ist,
dann existiert keine projektive Ebene.
Das heißt, nach dem Satz da oben, wegen zwei E320,
bleibt zu zeigen, Kuh ist nicht die Summe zweier Quadrate.
Wenn Kuh nicht die Summe zweier Quadrate ist, dann kann es noch
den Satz 3,20 keine projektive Ebene der Ordnung Kuh geben.
Und um das jetzt zu beweisen, machen wir einen Widerspruchsbeweis.
Oder ja, ich begründe ihn,
warum Kuh nicht die Summe zweier Quadrate sein kann.
Und das möchte ich jetzt ein klein bisschen anders hinschreiben
als im Skript
Also ich nehme mal an, Kuh sei die Summe zweier Quadrate,
also Kuh gleich A, Quadrat plus B, Quadrat mit irgendwelchen natürlichen Zahlen A und B. Dann gilt natürlich auch,
wenn ich diese Gleichung jetzt Modulo 8 angucke,
bleibt sie gültig, dann ist Kuh insbesondere auch kongruent,
A, Quadrat plus B-Quadrat,
Modulo 8 und nach unserer Voraussetzung das Yaku-Kongruent 6 Modulo 8 ist und war kongruent eine Äquivalenzrelation ist,
folgt dann das A-Quadrat plus B, Quadrat,
Kongruent 6 Modulu 8 ist und da behaupte ich jetzt,
das hier kann nicht stimmen, das ist eigentlich schon unser Widerspruch.
Das muss ich aber noch begründen, warum das jetzt ein Widerspruch ist. Also wenn wir das gleich gezeigt haben,
dass das Modulu 8 sozusagen niemals gelten kann,
dann ist unser Annahme falsch, dass A,
die Summit zweier Quadrate ist und wir haben gezeigt,
nicht A, sondern Kuh und wir haben gezeigt,
dass Kuh nicht die Summe zweier Quadrate ist,
was ausreicht, um den Satz zu beweisen.
Jetzt muss ich noch kurz begründen, warum die Zahl 6,
wenn wir Modulu 8 sie anschauen oder das Modulu 8 Die Summen von Quadraten,
Modulo 8, nicht kongruent zu 6 sein können.
Ganz egal, welche Zahlen A und B ich habe.
Und da nutzen wir jetzt eben das Rechnen Modulo,
dass wir sozusagen nur 0-1, 2,
3, 4, 5, 6, 7 angucken müssen.
Ich schreibe das ein bisschen anders auf als im Skript,
aber im Prinzip ist es das Gleiche,
was im Skript ein bisschen ausführlicher steht.
Nämlich ich mache mir hier so eine Tabelle.
Also warum gilt dir dieser Widerspruchsfeil? Denn schreibe ich,
wenn A, wenn ich jetzt alles Modulo 8 angucke,
A, Modulo 8, gucke ich mal an,
schreibe ich mal
So, ein bisschen unpräzise vielleicht. Dann ist A 01,
2, 3, 4, 5, 6 oder 7,
modu du 8. Und jetzt rechne ich A Quadrat aus, auch modulo 8.
Es ist dann 01, 4, 9 wäre 1 Modulo 8,
16 wäre 0 Modulo 8, 25 wäre 1 Modulo 8,
36 ist 4 Modulo 8 und 49 ist 1 Modulo 8.
Das heißt, die Quadrate Modulo 8, Quadrate, Modulo 8
sind 01 und 4. Und andere Zahlen kommen nicht vor,
wenn ich irgendeine Zeit ins Quadrat nehme und dann gucke,
was kommt Modulu 8 raus. So,
und jetzt gucke ich, interessiere mich ja nicht die Quadrate,
sondern die Summen von Quadraten. A, Quadrat,
das gilt dann nicht nur für A,
sondern natürlich auch für B. Und A, Quadrat plus B,
Quadrat sind jetzt die Summen aus 01 und 4.
Und dann natürlich wieder Modulu 8 gerechnet. Mot 8 sind 014 selber,
wenn B, Quadrat 0 ist, wenn B,
Quadrat 1 ist, habe ich hier eins,
zwei oder fünf, also 2 und 5 kommen noch dazu.
Wenn B-Quadrat 4, Module 8 ist, habe ich hier 4,
5 und 8, was wieder null ist.
Also die Quadrate Module 8 sind überhaupt nur diese 5
Zahlen und 6 kommt jetzt hier nicht drunter vor.
Das heißt, A-Quadrat plus B-Quadrat Kongo in 6,
Module 8 kann nicht stimmen. A, Quadrat plus B,
Quadrat, ganz egal welche A und B, ich wähle.
Es ist Module 8 immer kongruent, 0,14,
2 oder 5 und niemals sechs und damit habe ich hier den Widerspruch erreicht und der Satz,
der Beweis des Satzes ist fertig. Ich habe gezeigt,
Kuh ist nicht die Summe zweier Quadrate, solches Kuh-Kongreent,
6 Module 8. Und nach dem Satz von Bruck und Riser
kann dann keine projektive Ebene der Ordnung Kuh existieren,
weil sonst Co. eben doch die so mit Zweierquadrate wäre.
Damit habe ich diesen Satz bewiesen und den Rest,
der jetzt noch nicht hier aufgeschrieben war, aus dem Kapitel 3,
den möchte ich nur noch mündlich sagen.
Ich möchte einmal auf die Tabelle unten im Skript auf Seite 20 hinweisen, wo dann für die ersten natürlichen Zahlen Kuh aufgeschrieben steht, existiert eine projektive Ebene ja oder nein. Für die,
die primza Potenzen sind, wissen wir vom letzten Mal,
es existiert eine projektive Ebene, zehn oder sechs Module acht,
also dass wir dann sechs und zwölf, nee,
nicht zwölf, sondern 14 in der Tabelle,
acht plus sechs, 14,
existiert nach diesem Satz hier keine projektive Ebene und in der Tabelle haben wir die Zahlen zwölf und 15,
wo mit unseren Methoden wir das nicht wissen, nicht beantworten können,
ob eine projektive Ebene der Ordnung zwölf oder 15 existiert und das ist nicht nur,
wir können das nicht, sondern sozusagen das ist eine Forschungsfrage,
die unbeantwortet ist und also ich wüsste jetzt auch nicht,
ob wirklich Leute daran forschen, Wird vielleicht auch als zu schwierig angesehen, angesichts dessen, wie das für Kuhgleichziehen schon als sehr, sehr schwierig sich erwiesen hat.
Genau, dann möchte ich noch kurz was sagen,
aber auch nur mündlich zu der Bemerkung, 3,22,2. Da war die Frage,
die ich auch letztes Mal schon kurz mündlich erwähnt hatte,
nämlich ob für, schreibe ich vielleicht doch ganz kurz,
stichwortartig hierhin, 3,22,2, wenn Kuh gleich P hoch M ist,
ob es dann projektive Ebenen gibt,
die nicht von der Gestalt PG2K sind
Also wir wissen schon, es gibt dann projektive Ebenen,
diese Ordnung, nämlich über dem Körper mit P-Hoch-M-Elementen.
Hier wird jetzt gesagt,
dass es auch Beispiele für projektive Ebenen gibt, mit P-Hoch-M-Elementen,
die nicht von der Gestalt PG2K sind.
Also zum Beispiel für Kuh gleich neun,
also drei hoch zwei existiert,
projektive Ebene,
die nicht isomorph ist,
2, 9, würden wir sie nennen,
also über dem Körper mit neuen Elementen.
Diese konstruiert man mit einem sogenannten Fastkörper.
Also das ist noch ein bisschen schwächer als ein Körper,
also nicht nur das Kommutativgesetz ist verletzt,
sondern auch noch eines der Distributivgesetze.
Da möchte ich jetzt hier nicht weiter drauf eingehen.
Man muss also mit schwachen, algebraischen Strukturen die Ebene beschreiben,
wie man die denn beschreibt.
Das ist auch ein bisschen anders als für Körper.
Deshalb erwähne ich das hier gar nicht im Detail.
Aber zum Beispiel für Kuh gleich 9 und auch für viele andere Kuh
existieren projektive Ebenen, die nicht nicht Isomorph zu PG2Q sind.
Ja, und damit schließe ich dieses Kapitel 3 über Projektive
Ebenen und schließe auch dieses Video.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit