Herzlich willkommen in diesem Video möchte ich das Kapitel 3 zum Abschluss bringen,
das Kapitel über projektive Ebenen und da soll es ging um
projektive und auch affine Ebenen, endlicher Ordnung.
Also wir wollen die Frage bearbeiten oder beantworten,
zum Teil zumindest, für welche natürlichen Zahlen,
für welche Q aus N existiert eine projektive in Klammern oder affine Ebene der Ordnung, Kuh.
Und projektiv und affin können wir gemeinsam behandeln,
denn wenn eine projektive, wenn eine projektive Ebene der Ordnung Kuh existiert,
dann auch eine affine und umgekehrt.
Der projektive Abschluss einer affinen Ebene der Ordnung Kuh hat auch
die Ordnung Kuh. Und wenn ich aus einer projektiven Ebene
der Ordnung Kuh eine gerade als Ferngrade F hinausschmeiße,
dann erhalte ich eine affine Ebene der Ordnung Kuh.
Also wenn ich die Frage jetzt hier für projektive Ebenen beantworte,
habe ich die selbe Antwort dann auch für affine Ebenen
Gut, das können wir nicht vollständig beantworten,
aber wir gucken mal für manche Kuhs, wissen wir,
dass eine projektive Ebene existiert. Das ist Bemerkung 3,19,
die besagt, wenn ein Körper K mit Kuh-Elementen,
also Mächtigkeit von K gleich Kuh existiert und Kuh sei ab
sofort immer eine feste natürliche Zahl,
dann existiert auch eine projektive oder affine Ebene der Ordnung Kuh.
Dann haben die projektive oder affine Ebene PG2K und AG2K
die Ordnung Kuh. Das heißt, die Frage,
ja, wenn ich nur einige finden möchte mit Ordnung Kuh,
dann frage ich mich, für welche Kuh existiert ein Körper mit Kuh-Elementen.
Und da kann man eine Antwort finden sozusagen in der Algebra.
Also das schreibe ich hier mal hin
Manches davon kennen Sie vielleicht,
entweder aus der Algebra oder aus der Linie an Algebra,
die anderen Sachen, was sie nicht kennen,
das teile ich Ihnen hier sozusagen mit.
Die Antwort lautet, ein Körper,
K mit Müchtigkeit von K gleich Kuh existiert, genau dann,
wenn Kuh ist eine Prinzahlpotenz.
Also sie schlässt sie schreiben als P hoch M,
P, eine Primzahl,
M eine natürliche Zahl,
größer gleich eins
Und vielleicht sage ich hier als Bemerkung,
diese Körper sind alle kommutativ, die endlichen Körper,
das kommt später auch noch mal als kleine Bemerkung vor.
Also nicht kommutative, endliche Körper gibt es nicht.
Also hier kommt das zum Zuge,
was sie vielleicht aus der AG Bra für endliche Körper wissen.
Und vielleicht noch ein bisschen konkreter, wie sehen diese Körper aus?
Für den Fall, dass Q selber eine Primzahl ist,
dann ist das K, Isomorph zum Körper ZP,
also die ganzen Zahlen Modulope,
man könnte auch schreiben
Z,
Sie die Schreibweise vielleicht kennen oder bevorzugen. Das heißt,
ganze Zahlen Modulopäe, ganze Zahlen Moduluen bilden allgemein einen Ring und genau dann,
wenn das N gleich P eine Prinzahl ist, bilden die einen Körper.
Und jeder endliche Körper mit Prinzahl, Mächtigkeit ist Isomorph zu so einem ZP.
Und wenn jetzt Kuh gleich P hoch im für ein M größer eins ist,
also zum Beispiel vier, zwei hoch zwei,
dann existiert nach dieser Bemerkung hier auch ein endlicher Körper,
der ist dann aber eben nicht mehr von der Gestalt ZQ,
wollte das dann kein Körper mehr isst,
sondern ist eine Erweiterung von ZPI,
eine endliche Körpererweiterung.
Das möchte ich jetzt hier nicht vertiefen, wenn Sie wissen,
was Körpererweiterungen sind, dann ist gut.
Und wenn nicht, dann halt nicht. Sie sollten nur
wissen, es existieren. Erweiterung vom Körper, ZPI. So,
und in beiden Fällen, also in allen diesen Fällen,
die hier vorkommen, Prinzahl, Potenz,
ist der Körper bis auf Isomorphie eindeutig.
K, jeweils
Bis auf ISO eindeutig, also zu jeder Primzeitpotenz existiert ein Körper,
mit dieser Primzeitpotenz als Mächtigkeit,
und zwar bis auf ISO-Morphie jeweils nur einer.
Und dann schreiben wir manchmal auch K, gleich GFQ.
Also ist eine Schreibweise, manche schreiben auch FQ mit so einem Doppelstrich.
Ich schreibe hier ab und zu mal GFQ,
GF steht für Galoirfield, Galoir, ein französischer Mathematiker des 19. Jahrhunderts.
Field ist das englische Wort für Körper im Sinne der Algibra
So, und eine Bemerkung schreibe ich hier noch dazu,
also gehört noch weiter hier zu dieser Bemerkung 3,19,
so wie wir den Körper hier mit so einer Kurzschreibweise beschreiben,
schreiben wir dann auch die zugehörige Projektive oder affine Ebene mit einer Kurzschreitweise,
also wenn K, gleich GFQ ist,
also der bis auf Isomorphie eindeutige Körper mit Kuh-Elementen,
dann haben wir,
führen wir auch die Bezeichnung ein für AG 2K,
schreiben wir dann manchmal auch AG 2Q,
weil sozusagen dieses hier bis auf Isomorphie eindeutig ist,
also eigentlich nur von Kuh abhängt und nicht von der konkreten Ausprägung des Körpers und genauso für Pegy 2K. Genau.
Also bitte vielleicht noch mal kurz drüber nachdenken. Das wird eigentlich
erst später kommen, dass wenn zwei Körper Isomorph sind,
dass dann auch die zugehörigen affinen und projektiven Ebenen die Summe auf sind.
Haben wir teilweise schon in den Übungen gehabt,
dass Isomorphismen von Körpern auch Isomorphismen, der Inzidenzräume induzieren.
Aber jedenfalls dies Jahr als Schreibweise für eine Affine bzw.
projektive Ebene über einen Körper mit Kuh-Elementen.
Jetzt ist aber die Frage, gibt es vielleicht noch andere projektive Ebenen?
Die jetzt nicht von der Form PG2K sind oder entsprechend andere affine Ebenen,
die aber für irgendeine natürliche Zahl Kuh die Ordnung Kuh haben.
Und das wollen wir jetzt noch beantworten oder so viel Antwort
geben wie möglich. Wir haben jetzt also die weitere Frage,
gibt es Ebenen Affine oder Projektive, der Ordnung,
Kuh, mit Kuh, Ungleichprimzahlpotenz.
Das ist meine erste Frage. Man könnte dann auch noch die Frage stellen,
da werde ich wohl heute nicht mehr zu kommen,
aber dann nächstes Mal gibt es für Kuh Gleichprimzahlpotenz vielleicht auch noch Ebenen,
die nicht von der Form AG2K oder PG2K sind.
Das ist tatsächlich auch der Fall
Gut, aber erstmal möchte ich diese Frage beantworten,
für Kuh gleich Primzeitpotenz, wissen wir jetzt schon,
es gibt jeweils eine Affine und eine projektive Ebene der Ordnung Kuh, für Kuh
Ungleichprimzeitpotenz kann ich die Frage wie folgt beantworten.
Bisher sind keine bekannt. Keine bekannt, also alle bekannten,
affinen oder projektiven Ebenen endlicher Ordnung haben als Ordnung eine Primzeitpotenz.
Es ist aber bis jetzt noch nicht bewiesen worden,
dass das so sein muss,
dass es nicht vielleicht für gewisse Zahlen, die keine Primzahlpotenz sind,
Doch, eine projektive oder affine Ebene gibt.
Dies ist 3, 22, 1. Da wird das erwähnt.
Weiter für manche Puh. Für manche Kuh kann man zeigen,
dass es keine, ich schreibe weiterhin Ebenen,
affine bzw. projektive meine ich,
damit der Ordnung Kuh gibt
Aber eben nicht für alle. Man kann nicht zeigen,
dass es für alle diese Kuh-Ungleichprim-Suppotenz keine projektive Ebene gibt.
Und zwar für Kuh gleich zehn. Also zehn ist jetzt
ja nicht die kleinste Zahl, die keine Primzahlpotenz ist.
Zum Beispiel sechs wäre noch kleiner,
da komme ich gleich noch zu,
aber für Kuh gleich zehn, das war sozusagen eine lange,
lange ungelöstes Problem in den um 1990 wurde das bewiesen,
existiert keine projektive Ebene
Es existiert keine Ebene. Also weder affin noch pojektiv natürlich,
wenn eine Affine existiert, dann auch eine projektive und umgekehrt.
Und das steht in 3, 22, 3,
aber auch ohne nähere Begründung. Da steht, glaube ich,
dann noch, wurde mithilfe von Computern bewiesen,
also ein sehr langer und schwieriger Beweis mithilfe von Fallunterscheidungen,
die durch den Computer durchgeführt wurden.
Das war also lange, lange ein ungelöstes Problem.
Und dann gibt es noch einen Satz über eine ganze Klasse
von Q,
nämlich für Q-Kongruent
6 Module
Also zum Beispiel auch für Q gleich 6. Es gilt auch,
es existiert keine Ebene. Und das ist Satz 3,
21 und das, den Satz möchte ich im nächsten Video behandeln,
weil der dann mit einem gewissen Zahlen theoretischen Vorargument,
wenn man einen weiteren Satz als gültig annimmt oder voraussetzt,
ohne Beweis voraussetzt, dann kann man diesen Satz beweisen.
Also das ist keine projektive Ebene der Ordnung 6
zum Beispiel gibt oder was ist noch Kongruent 6 Module
22, wer auch noch Gongo End 6 Module 8. Genau,
also für gewisse Nicht-Primzahlpotenzen kann man zeigen, es existieren keine projektiven Ebenen,
aber für andere ist das weiterhin ein offenes Problem.
Da finden Sie im Skript auch so eine Tabelle mit Kuhs,
wo genau gesagt wird,
für welche Kuh weiß man was und für welche nicht.
Und genau, da werde ich dann im nächsten Video
nochmal drauf zu sprechen kommen.
Und hier mache ich erstmal mit diesem Video Schluss
und wir sehen uns dann demnächst wieder