Hallo, da bin ich wieder? Ich möchte Ihnen heute den Satz beweisen, 3,
18. Schauen wir, wie weit wir hier jetzt kommen.
Den hatte ich ja letztes Mal auch schon angekündigt,
wenn wir mit PG-2K starten und eine beliebige Grade von PG-2K nehmen,
dann ist die affine Ebene APF für diese Grade F stets isomorph zu AG-2K.
Unabhängig von der Graden F. Und ich hatte auch schon gesagt,
die Idee besteht darin, dass wir zeigen,
dass das unabhängig von der Garde F ist,
dass wir also dieses automatisch immer auch Isomorph ist,
zu APF-Strich in dem Fall.
Ganz egal, welche gerade ich auswähle und wir dann eine Garde F-Strich angeben,
wo der Isomorphismus von hier nach hier offensichtlich ist.
Und für alle anderen gilt dann wegen dieser Isomorphie auch diese Isomorphie hier.
Das ist sozusagen die Idee. Und zu dieser Fragestellung,
wann sind zwei APF für verschiedene Graden F-Isomorph,
da haben wir das Lämmer, 3,17. Das ist jetzt erstmal
so allgemein wie möglich für eine beliebige projektive Ebene formuliert.
Pi-Sei-PG, eine beliebige projektive Ebene. Hier formuliert jetzt für eine,
wo die Elementrelation unserer Inzidenzstallation ist,
weil das dann klein bisschen einfacher zu formulieren ist.
Und F und F-Strich seien zwei Graden.
Und wir haben noch einen ISO oder einen Automofismus,
sieht man in Outpea,
also eine Koordination von Pi
Mit der Eigenschaft, das Sigmar von F gleich F-Strich ist,
also einen Automorphosmus, der F nach F-Strich abbildet.
Wenn wir das haben,
dann haben wir auch einen Isomorphismus von APF nach APF-Strich,
nämlich Sigmar eingeschränkt auf PF,
welche von PF nach PF-Strich geht uns zur Erinnerung,
PF ist die Punktmenge von APF,
das war P ohne
Dieses CIP ohne F-Strich. Und wenn ich Siegmar jetzt auf diese Menge einschränke,
dann ist natürlich die Bildmenge genau, P. Ohne F-Strich,
weil ja Sigmar von F gleich F-Strich ist.
Und wenn ich hier F rausnehme und abbilde, dann kommt
im Bildbereich eben genau F-Strich-Fehlter. Also es ist klar,
dass das hier eine Bijektion ist,
aber es ist eben nicht nur eine Bijektion,
sondern die Aussage sagt, das ist ein ISO,
die so von A,
PF nach A,
F-Strich. Hund, beim Beweis schreibe ich jetzt wirklich einmal
nur kurz klar hin, denn das erste, der erste Schritt,
eine Bijektion zwischen den Punktmengen habe ich gerade schon begründet.
Der zweite Schritt wäre die Kollinaritätserhaltung,
das ist aber auch klar, weil sozusagen hier Punkte,
die hier kollinar sind und eben in P ohne F liegen,
bleiben kollinär und da sind genau dann kollinär,
wenn sie in P schon kollinär waren.
Es werden ja nur, es wird ja nur eine
gerade rausgenommen und die Punkte dieser Graden werden rausgenommen,
aber für die verbleibenden Punkte bleibt die Kollinarität genauso wie in der projektiven Ebene.
Von daher ist das wirklich klar, dass das
ein Isomafismus ist
So, und jetzt können wir den Satz 3,18 beweisen.
Und zwar möchte ich zunächst das, was ich vorhin gesagt habe,
eine spezielle Grade F-Strich angeben, in PG2K,
sodass offensichtlich ist das APF-Strich Isomorph zu AG2K ist.
Und da erinnern wir uns an die kanonische Einbettung.
Das ist so eine Art Rückgänglichmachen der kanonischen Einbettung.
Also ich bin jetzt Beweis von 3,18. Erster Schritt, ich erinnere,
Erinnerung an die kanonische Einbettung Yota von A gleich AG2K,
nach Pi, kanonische Einbettung, die einen Punkt von AG2K, X1X2,
zuordnet 1X1X2K, was ein Punkt von Pi ist.
Und sozusagen, wenn ich jetzt innerhalb Pi nur die Punkte betrachte,
die diese Gestalt haben, wo der Vektor oben eine Eins hat,
dann habe ich InPi sozusagen das A wiedergefunden oder streng genommen Yota von A,
also eine affine Ebene, die In-P drin ist.
Und wir können ja das Yota sogar auch noch fortsetzen.
Fortsetzung, Lothar Schlange, die vom projektiven Abschluss von A nach Pi geht.
Und das war ein Isomorfismus. Und der hat die Eigenschaft,
dass wenn ich hier die Ferngrade nehme,
Yota Schlange von der Ferngrade von A,
der ich jetzt gar keinen Namen gebe,
dass das genau die Menge der Punkte ist, die hier noch fehlen.
Und das sind dann genau die Punkte, 0-1-0,
oder das ist genau die gerade 0-1-0-K
plus 0-0-1-K. Gleich, auf Strich.
Wobei hier die Gleichheit etwas unpräzise zu formulieren oder zu verstehen ist,
weil, das ist ja eigentlich eine Teilmenge der Punktmenge,
also streng genommen ist das hier die Menge aller Punkte,
die mit dieser Graden insidieren.
Menge aller
Schreibt nochmal hin, genauer. Menge, alle mit F-Strich-Inzidenten, Punkte.
So, das steht alles im Beweis von 3,18 drin.
Und diese spezielle F-Strich nehme ich jetzt. Und offensichtlich,
wenn ich diesen Prozess mache und hier das Jota-Schlange als Isomorfismus erkannt habe,
insbesondere als Bijektion, wenn ich jetzt aus P,
dass dieses F-Strich rausnehme, bleibt genau übrig,
sozusagen das Jota-Bild oder Jota-Schlangebild,
was dasselbe ist,
Also das schreibe ich hier nochmal hin. Das heißt,
wenn ich aus Pi, jetzt dieses F-Strich rausnehme,
erhalte ich ja eine affine Ebene. Und die ist dann Isomorph zu,
oder ist im Prinzip gleich, Jota Schlange von A,
oder ich könnte auch sagen, Jota von A,
weil ich hier, das ist ja eine Fortsetzung,
Jota von A, scheide ich vielleicht lieber.
Und das ist Isomorph zu AG 2K. Weil A,
ja, AG 2K war und Jota so gemacht war,
dass auch Koliniarität erhalten bleibt
Das heißt, für diese konkrete Grade F stimmt das,
dass die zugehörige affine Struktur APF-Strich für diese konkrete Grade F-Strich
ist APF-Strich Isomorph zu AG2K. Wenn ich F-Strich rausnehme oder die Punkte von F-Strich rausnehme aus Pi,
bleiben genau diese Punkte übrig, die eben nicht erste Koordinate null haben,
sondern erste Koordinate ungleich null und dann OBDA1.
Das sind genau die, die hinsichtlich dieses Yota,
der ja bjektiv ist,
wenn ich sozusagen nur diese im Bild betrachte,
also Isomorph zu AG2K entsprechen
So, das heißt, für die habe ich es fertig,
für dieses konkrete F-Strich, ist APF-Strich isomorph zu AG2K.
Jetzt möchte ich noch diese Isomorphie hier sicherstellen und dann sind wir insgesamt mit dem Satz fertig.
Und diese Isomorphie stelle ich jetzt mit dem Lämmer sicher,
indem ich nur noch sage,
es gibt einen Automaufismus von unserem konkreten P, jetzt PG2K,
der ein beliebiges F auf dieses konkrete F-Strich abbildet.
Und das ist auch der Fall, sei nun F in G beliebig,
dann existiert ein Sigmar in Out,
Pi mit Sigmar von F gleich F Strich und Bemerkung,
hier muss ich auch wieder genauer die Menge aller mit F beziehungsweise F-Strich-Inzidentenpunkte sagen.
Das erspare ich mir jetzt aber mal. Und warum ist das so?
Nämlich, nämlich Sigmar gleich Sigmar M durch eine Matrix induziert.
Sie Drei, 16, das hatten wir letztes Mal,
das Invertierbare Dreikreuz Freimadritzen immer Automofismen induzieren. Das war in 3,16 und die Folgerung von 3,16,
die ich letztes Mal hier im Video sozusagen nur mündlich erwähnt habe,
die ich im Skript direkt drinsteht,
aber es gibt eine Matrix M oder eine lineare Bielektion,
die den zweidimensionalen Untervektorraum F auf den zweidimensionalen Untervektorraum F-Strich abbildet und deshalb die Zugehörige induzierte Kollination,
Sigma M die erfüllt dann eben,
dass die entsprechenden Graden aufeinander abgebildet werden.
Und dann kann ich jetzt sagen, mit dem Lämmer von heute,
3,17, weil Siegmar von F gleich Sigmar von F. Strich ist,
haben wir dann einen Isomophismus von APF nach APF-Strich.
Das heißt, diese beiden hier sind dann auch Isomorph und wir haben insgesamt das,
ganz egal, welches konkrete F. Ich nehme,
dass immer Isomorph die Inzidenzstruktur APF immer Isomorph zu AG2K ist.
Also ich schreibe es hier nochmal hin,
Ist dann nach dem Lämmer Isomorph zu A,
PF Strich und von dem wissen wir schon,
es ist Isomorph zu AG 2K und das ist das,
was wir zeigen wollten.
Und damit habe ich diesen Satz bewiesen und bedanke mich für
die Aufmerksamkeit