Herzlich Willkommen zu Woche 6 der Vorlesung. Wir sind im Kapitel projektive Ebenen,
Zusammenhang zwischen AG2K und Pegg2K,
der affinen Ebene AG2K und der projektiven Ebene PG2K
über einem Körper K. Und zwar haben wir zuletzt gezeigt,
dass wenn wir mit A gleich AG2K starten,
dieser affinen Ebene, und dazu den projektiven Abschluss bilden,
das ist ja eine projektive Ebene,
dass diese automatisch Isomorph ist zu PG2K,
zur projektiven Ebene über
Und dazu haben wir unter anderem eben A. gleich A.G.2K eingebettet in PG-2K.
Das war die kanonische Einbettung. Nur noch mal kurz zur
Erinnerung. Und das Ganze war Satz 3.15 im Skript.
Und jetzt wollen wir so eine Art Umkehrung machen.
Also wir hatten ja damals, als wir die projektive,
den projektiven Abschluss gebildet haben, danach auch eine Umkehrung gemacht
zur projektiven Ebene gelangen wir wieder zu einer affinen Ebene.
Durch Festlegung einer gerade als ferngerade. Und das wollen wir
uns jetzt angucken für den Fall PG2K. Also jetzt gucken wir
die andere Richtung an
Jetzt andere Richtung, das ist so ein bisschen,
ich möchte das Ziel schildern, was kommt.
Dazu starten wir mit PG2K und wollen zeigen, dass dann die affine Ebene
APIF stets isomorph ist zu AG2K. Und das war ja eine affine Ebene,
die ich erhalte, indem ich eine gerade F nenne ich sie,
aus Pi herausnehme oder als fern gerade deklariere und zwar hier tatsächlich für alle Geraden F von Pi.
Also unabhängig davon, welches konkrete F ich nehme, stets in Pi gleich PG2K.
Stets wird die entstehende affine Ebene Isomorph zu AG2K sein.
Das ist Satz 3,18, das möchte ich schon mal sozusagen ankündigen.
Um das aber beweisen zu können, brauchen wir Vorüberlegungen. Sie erinnern sich vielleicht,
als wir das hier damals gehabt haben, das A,
PF, da habe ich gesagt, Es kommt vor,
dass für verschiedene F,
also wenn ich hier ein F und ein F-Strich nehme in P,
das dann APF und APF-Strich nicht isomorph sind.
Also wir können jedenfalls nicht zunächst mal sicher sein,
sind die Isomorph. Und wenn das hier gelten soll,
dann werden die natürlich alle isomorph sein,
weil Isomorph sein, eine Äquivalenzrelation ist.
Und die sind alle isomorph zu PG2K. Das werden wir aber
im Beweis brauchen. Das heißt, das möchte ich vorher herleiten.
Das ist mein erstes Ziel. Ich sage nochmal,
was ich genau meine. Mein erstes Ziel jetzt,
und damit werden wir auch jetzt in diesem Video noch nicht fertig werden,
aber ich mache einen ersten Schritt in Richtung dieses ersten Ziels.
Wir wollen zeigen, dass In dieser Situation stets APF,
Isomorph ist zu A, PF-Strich.
Ich schreibe noch mal hin, also für P gleich PG,
2K, F und F-Strich, irgendwelche Graden von P.
Dieses Ziel möchte ich jetzt erreichen und um das zu erreichen,
muss ich hier, oder ich werde so vorgehen,
hier einen Isomorphismus anzugeben
Gesucht, ein ISO, der dann hier diesen Isomafismus angibt.
Und dieser ISO wird eigentlich beschrieben sein durch einen Automofismus von Pi.
Und dazu muss ich erst mal Automofismen von Pi genauer angucken,
beziehungsweise eine ganz wichtige Klasse von Automofismen von Pi.
Und da sind wir dann jetzt wieder im Skript.
Also ich hatte ja schon gesagt, Satz 3,
18 ist unser Ziel, da sind wir im Skript und
Ich möchte jetzt zunächst Lämmer 3,16 gleich formulieren.
Das ist nämlich sozusagen ein erster Schritt auf dem Weg,
diesen Isomaufismus zu finden. Und wenn Sie da ein Skript gucken,
ist oberhalb von Lämmer 3,16 noch eine Bemerkung zum Thema homogene und inhomogene Koordinaten.
Die möchte ich ganz weglassen. Wenn Sie sich durchlesen,
wenn Sie möchten, weil dieser Begriff findet man oftmals in der Literatur.
Bei mir wird er aber nicht weiter vorkommen. So,
also ich möchte jetzt zunächst mal gewisse Automorphismen Von Pi beschreiben.
Nicht alle, aber gewisse, eine gewisse Klasse von Automorphismen.
Das sind die Automorphismen, die im Skript genannt werden.
Sigmar M., induziert durch eine Matrix M.
Das ist Lämmer 3,16. Dazu sei wieder Pi,
gleich PG, 2K. Und ich schreibe auch nochmal hin,
P, geh.
Kleiner gleich,
diese Inzidenzstruktur
Und außerdem sei M, eine Matrix aus GL3K,
also eine Dreikreuz, 3 Matrix, invertierbar,
mit Einträgen aus K. Und dann haben wir sozusagen,
bevor der eigentliche Inhalt des Lämmers kommt, kleine Zwischenbemerkung,
dann haben wir eine lineare Abbildung,
die durch M induziert wird auf dem K-Hoch 3,
weil das eine Dreikreuz 3 Matrix ist,
dann haben wir eine lineare Abbildung,
die kriegt erstmal keinen Namen oder ich nenne sie hier schon mal Alpha,
im Skript hat sie keinen Namen, Alpha werde ich nachher noch verwenden,
die geht von K hoch 3, nach K hoch 3,
ein Vektor X wird abgebildet auf Emma X.
Das ist natürlich eine lineare Abbildung, sogar eine lineare Bijektion,
weil M eine Invertierbare. Matrix ist zur Erinnerung nochmal,
im Video 3 zur Woche 5 habe ich das thematisiert,
dass in unserem Fall,
wo der Körper auch nicht kommutativ sein darf und der Vektorraum ein Rechtsvektorraum ist,
ist es ganz wichtig,
dass die Matrix links steht weil die Skalare rechts stehen,
dann kollidieren die nicht miteinander.
Und das Rausziehen der Skalare aus der linearen Abbildung,
also diese Homogenitätseigenschaft, die ist dann ganz einfach nachzuweisen.
So, also das ist eine lineare Abbildung,
eine lineare Bijektion. Auf dem Vektorraum K hoch 3,
welcher ja unserem PG2K zugrunde liegt.
Also das ist nur so eine kleine Zwischenbemerkung. Jetzt kommt
die eigentliche Aussage des Lemmas, dass nämlich folgendes eine Koordination ist.
Sigmar M. Das ist jetzt eine Abbildung, die Punkte
auf Punkte abbildet.
Das behaupte ich
Nämlich ein Punkt XK, dann ist X nicht der Null-Vektor,
der von X aufgespannte, eindimensionale Untervektorraum, der wird abgebildet auf MX.
Malka, wenn X nicht Null ist, ist auch MX nicht Null,
weil die Abwählung hier oben wie aktiv ist.
Das heißt, das ist auch ein Punkt,
ist wohl definierte Viektion, sogar Automorphismus,
ich schreibe kurz Auto von Pi
Und das ist das um, dass es uns hier geht.
Also zu jeder invertierbaren Matrix M,
3 Con 3 Matrix, kriege ich hier einen Automatismus.
Wohl definiert muss man eigentlich noch prüfen, weil ja X
sozusagen der Repräsentant in der Regel nicht eindeutig sein wird.
XK könnte X-Strich K sein,
dann unterscheiden die sich aber nur um einen Skala,
da er die Abbildung hier, aber linear ist,
kann ich den Skala rausziehen und in das Großka reinziehen sozusagen.
Trotzdem möchte ich alles nochmal ein bisschen ausführlich beweisen.
Im Skript steht es vielleicht ein ganz klein bisschen anders.
Also ich schreibe hier zunächst mal hin,
wohl definierte Bielektion ist die erste Sache, die wir beweisen müssen.
Ich schreibe hier hin, das ist klar,
aber ich schreibe vielleicht trotzdem noch mal was hin.
Ich würde das trotzdem gerne noch mal aufschreiben,
um dann auch den nächsten Schritt gut hinschreiben zu können.
Ich hatte das hier oben ja Alpha genannt.
Also, es gilt. Sieg mal M von P.
Wenn ich das hier P nenne, den Punkt,
das ist ein eindimensionaler Untervektorraum.
Das ist genau dasselbe wie Alpha von
Mit das Alphabild des Untervektorraums, also die Menge aller Alpha
von V, V, ein Vektor aus dem Untervektorraumpi.
Also jetzt nicht verwundern lassen von den kleinen Buchstaben,
weil das hier ein Punkt ist,
zeichnet es jetzt mit einem kleinen Buchstaben,
sie können auch große Uhr schreiben, wenn ihnen das lieber ist,
ein Untervektorraum.
Und das müsste klar sein, weil das hier sind alle
MV, alle MV, VOSP.
Und das ist wiederum
alle M X-Lander
Horrorspie, alle MX Lamda, Lamda in K. Okay,
so definiert ist, als X mal K.
Und das ist dann dasselbe, wie alle, können wir
das noch sehen, alle MX Lamda, Lamda in K.
Und das ist MX YK, gleich Sigma M von Pi.
Also hier habe ich diese Gleichheit,
dieses Gleich und Gleichheitszeichen habe ich
hier nochmal nachgerechnet
Und damit ist das Wohl definiert,
weil es war hier der Repräsentant gar nicht mehr vorkommt.
Es ist einfach das Bild des einendimensionalen Untervektorraums unter der
linearen Bijektion einfach, welches wieder ein eindimensionaler Untervektorraum ist.
Und jetzt kommt noch die Koliniaritätseigenschaft, Koordination. Dazu zeige ich,
ein Punkt inzidiert mit einer Gerade, genau dann,
wenn Sigmar M. von dem Punkt,
was wie wir gerade gesehen haben,
dasselbe ist wie Alpha von dem Punkt,
unter Vektorraum ist oder inzidiert mit Alpha
von der Gerade
Und das ist selber auch wieder eine Grade,
weil Alpha bildet auch zweidimensionale UnterVektorräume auf zweidimensionale UnterVektorräume ab.
Und erhält natürlich die UnterVektorraum, die kleiner Gleichrelation,
wenn ein UnterVektorraum Teilmenge eines anderen ist,
gilt das auch für die Alphabilder.
Das gilt für jede Abbildung,
dass Teilmengenrelation erhalten bleibt und hier im linearen Fall
UnterVektorräume auf UnterVektorräume gehen
Und das heißt, die Menge aller mit G-Inzidentenpunkte wird unter
Sigma M auf die Menge aller mit Alpha von G-Inzidentenpunkte abgebildet.
Und das war ja die Eigenschaft Koordination. Und damit habe
ich dieses Lämmer bewiesen und ich möchte noch kurz sagen,
wozu ich dieses Lämmer jetzt brauchen werde,
da gehe ich vielleicht auf mein erstes Blatt nochmal zurück.
Ich hatte ja gesagt,
ich möchte diese Sache zeigen und die kann ich jetzt,
oder jetzt kann ich zumindest eine Sache zeigen,
die hier hilfreich sein wird
F-F-Strich, irgendwelche Graden von G,
von unserem Pegy 2K, dann behaupte ich jetzt,
dann existiert eine Koordination vom Typ Sigmar M mit Sigmar M von F gleich F-Strich.
Und die wird dann letztendlich zu diesem Isomaufismus uns führen.
Und warum existiert diese Koordination? Das steht im Skript nicht
drin, das ist eigentlich eine Folgerung aus dem Lämmer.
Folgerung aus Lämmer.
Ist hier. Das wird im Beweis von dem Satz 3,18
ohne nähere Begründung einfach benutzt. Ich erkläre Ihnen das hier
kurz mündlich. Also wir wissen, es ist für jeden
eine invertierbare Matrix M oder für jede lineare Bijektion.
Alpha habe ich sie eben genannt,
dass die zugehörige Abbildung auf der Ebene der Punkte.
Das ist vielleicht ein bisschen unpräzise geschrieben.
Fällt mir gerade auf. Das ist hier natürlich unpräzise geschrieben
. Die Menge aller Punkte von F wird auf die Menge
aller Punkte von F-Strich
Ja, müsste ich hier sagen. Und das geht aber,
weil F ist ein zweidimensionaler Untervektorraum. Der hat eine Basis,
ich nenne sie A und A und B,
die ergänzt sich zu einer Basis mit einem Zeh,
zu einer Basis von K hoch
3. Entsprechend hat F-Strich eine Basis A-Strich-B-Strich,
die ergänzt sich mit C-Strich zu einer Basis von Garhoch
3. Dann gibt es eine lineare Bijektion oder wenn sie so wollen,
eine Matrix M, sodass A,
B, C auf A-Strich-B-C-Strich abgebildet werden,
also insbesondere F auf F-Strich
Und dann haben wir eigentlich mit der Sprechweise von dem Blatt hinten,
das ich gerade verdeckt habe, haben wir eigentlich Alpha von F,
ist F-Strich, das wäre eigentlich korrekter.
Vielleicht klammere ich dies ein und unterstreiche dies. Und gut,
das werde ich nachher benutzen und das dann auch nochmal sagen,
dass wir das hier schon gesehen haben.
Das heißt, wenn P ein Punkt ist,
der mit einer geraden F inszeniert, dann sind seine Bilder,
die genau die Punkte, die mit Alpha von F inszenieren.
Und wenn ich jetzt dieses konkrete,
diese konkrete Matrix M und die zugehörige lineare Viation Alpha nehme,
dann ist dieses Bild gerade, also die gerade,
die alle Bilder aller Punkte von G enthält,
ist genau das F-Strich.
Und das wird uns später nützlich sein.
Und damit beende ich dieses Video und im nächsten Video
kommen wir dann unserem Ziel
etwas näher