Ja, heute werde ich den ersten Teil des dritten Kapitels
vorstellen, wo es um Zahnsysteme und Zahlen Darstellungen geht.
Dazu wird erstmal so ein bisschen was Allgemeines zu den Zahlen
vorgestellt, dann zu den unterschiedlichen Darstellungsweisen.
Sprich, was verbirgt sich mathematisch dahinter? Wie kann ich
die Zahlen ineinander umrechnen? Und dann werde ich heute noch
mit Zahlenbereichen und Präfixen dann eigentlich diesen Teil hier abschließen
Ja, was sind überhaupt erst mal Zahn,
wenn man jetzt so in die Literatur guckt,
findet man dann beispielsweise Sätze wie das Messen,
ist der Ursprung der Zahl als Abstraktion der Anzahl von Objekten, die man abzählen kann.
So, was da eigentlich jetzt entscheidend ist, ist,
dass man eben sagen kann, die Zahl ist die Abstraktion,
also sprich die Repräsentation einer Anzahl von Objekten und was man damit eben macht,
ist natürlich zum einen also irgendwie Das Zählen,
das heißt also die Anzahl der Objekte eben irgendwie darzustellen,
was man aber natürlich auch macht,
ist damit arathmetische Operationen zu machen, sprich zu rechnen.
Und diese Werte, die man also irgendwo gezählt hat,
logischerweise dann natürlich auch zu speichern. Ja, was ist jetzt
bei unterschiedlichen Sahlensystemen zu berücksichtigen, beziehungsweise was ist dabei interessant?
Zum einen natürlich der Zahlenbereich, das heißt,
wie kann ich sehr kleine, sehr große Zahlen darstellen?
Was sind jeweils die Grenzen, die man jetzt darstellen kann?
Das wird uns dann gerade in dem nächsten Kapitel 4
zu der Rechnerratmetik dann eben auch noch mit beschäftigen.
Dann, wie werden negative Werte dargestellt, wie werden gebrochene
Werte dargestellt und eben entweder sehr große oder gegebenenfalls auch sehr kleine Werte.
Dann möchte ich, was ja eben schon gesagt hatte,
auf den Zahlen natürlich, also irgendwie meine Rechenoperation machen,
typischerweise erstmal die Grundrechenarten, Addition, Subtraktion, Multiplikation und gegebenenfalls auch Division.
Und mathematisch ist dann eben noch interessant,
wie sieht es jetzt unter diesen Operationen hinsichtig der Abgeschlossenheit aus,
das ist dann eine Fragestellung, die uns dann im vierten Kapitel dann noch weiter beschäftigen wird.
Ja, und ich hatte ja schon gesagt,
Zahlen sollen natürlich dann auch irgendwo gespeichert werden.
Da konnte man noch Frage stellen, hey, Stellung hinzu,
die wir jetzt hier nicht weiter betrachten werden.
Wie kann ich jetzt eben das Ganze dauerhaft speichern und
wie kann ich Werte dann eben gegen Manipulation sichern?
Teil davon wird dann also beispielsweise noch in dem Bereich der Codierung mit reinkommen,
wo man dann bestimmte Verfahren, wie beispielsweise Prüfsummen und so weiter kennenlernen wird,
wo ich dann also im Prinzip jetzt über irgendwelche Werte oder Darstellungen da dann also noch sowas mit reinbringe.
Ja,
ansonsten aus der Geschichte her gesehen können wir natürlich sehr viele sehr unterschiedliche Zahlendarstellungen von irgendwelchen schriftlichen Zahlzeichen über irgendwelche figürlichen Darstellungen,
die also in der Menschheitsgeschichte eben schon sehr früh aufgekommen sind,
was sich da dann immer anbietet, zumindest für das Zielen,
Sehr kleiner Zahlenbereiche, ist eben wirklich das Zählen mit den Fingern,
weil das hat der Mensch eben schon selbst in der Frühzeit ohne irgendwelche Hilfsmitteln machen können.
Daher kommt dann eben auch der Begriff Digit, was eben
vom lateinischen Digitus für die Finger dann eben entsprechend kommt.
Dann zur Speicherung von Zahlen. Auch das Konzept ist teilweise schon sehr alt,
nicht in der Frühzeit der Menschheitsgeschichte,
also schon im 15. Jahrhundert vor Christores, wurden in Solche Tongefäße,
hier irgendwelche Karlschriftzeichen reingeritzt, um damit eben zu zählen,
was beispielsweise jetzt auf dem Markt an Gegenständen verkauft wurde.
Andere Darstellungen, neben sowas einritzen, Knotenschnüre,
wo wir dann also auch schon solche Konzepte,
wie Stellenwertsysteme, wie wir sie dann gleich kennenlernen werden,
mit drin haben oder eben Carpolser, wo man dann eben auf dem Allsee,
also irgendwie entsprechend seine Kerben macht, damit also bestimmte Gegenstände zählt.
Gut, heute Gibt es sowas noch in Form von Strichen auf dem Bierdeckel?
Ne, also auch das im Prinzip. Ja,
eigentlich von diesen alten Zahlensystemen, das Einzige,
was es jetzt heutzutage noch gibt oder was es gelegentlich nochmal begegnet sind,
also im Prinzip die römischen Ziffern.
Da hat man also im Prinzip die,
einige der Buchstaben des Alphabets genommen, den entsprechenden Zahlwerte zugeordnet.
Das heißt, also ein I ist eine 1V und eine 5,
X steht für 10, L für 50, C für 100 und so weiter.
Nicht dem zuvor hätte man also hier aufgelistet dann,
also die Werte von 1 bis
Dabei gelten dann eben Formen der Regeln,
dass die Position der Ziffern dann entsprechend wichtig ist,
weil die werden dann eben nach der Größe der Ziffernsymbole sortiert,
größere stehen links, wenn danach ein kleineres kommt, wird es eben hinzuaddiert.
Wenn das umgekehrt ist, er ist das Kleinere, dann das größere Ziffernsymbol,
dann wird das Kleinere von den Größen größeren abgezogen. Das heißt,
so was wie 1,5 würdig da daneben stehen oder IV,
dann eben stehen für 5 minus 1,
bezeichnet also die Zahl 4, während andersrum VOI,
dann in der Reihenfolge dann steht für 5 plus 1. Entschuldigung.
So, nicht deswegen, also hier die entsprechenden. Beispiele nochmal, das,
was wir da auch heutzutage eigentlich noch von sehen ist,
also teilweise bei Seitennummerierungen gelingt dich oder eben bei Jahreszahlen,
wo man dann, also zum Beispiel jetzt hier für letztes Jahr 2019 hätte,
1000 plus 1000 plus
Und dann eben hier die zehn minus eins für die neun, 2019. So,
was man hier dann eben auch schon sieht,
ist zum einen, dass Rechenoperationen eigentlich so gut wie unmöglich sind,
weil wenn ich jetzt also im Prinzip rechne,
1813 plus 2019, würde diese beiden, ich sag jetzt mal,
Strings hier irgendwie addieren.
Nicht das ist dann schon mal nicht vernünftig möglich.
Und was man dann eben auch sieht,
also für entsprechend größere Werte wird das Ganze dann unübersichtlich,
weil das größte Zahlszeichen dann eben irgendwie 1000 ist.
Und deswegen große Zahlen eigentlich nicht benutzt werden können. Ja,
damit können wir dann eigentlich zu einer auch schon vergleichsweise alten Erfindung der Null als Zahl,
die man ja nun eigentlich zum Zehen von irgendwelchen Gegenständen in dem Sinne ja noch nicht braucht.
Womit dann aber eigentlich der Schritt zu einem Stellenwertsystem hingemacht werden kann,
indem ich dann abhängig davon, wo Zahlen in dem Zahnstring stehen,
den also unterschiedliche Wertigkeiten zuordnen kann.
Und dafür brauche ich dann eben die Null,
um damit dann also auch bestimmte Wertigkeiten dann also quasi mit Null gewichten zu können.
Ja, also auch das gibt es schon seit dem dritten
Jahrhundert vor Christus. Bekanntestes Beispiel dafür ist ein Babylon,
gab es also ein Sechser, geht es dem Mahlsystem oder Sechser-Gesimar-System.
Das ist dann eben ein Stellenwertsystem zur Basis 60. Es gibt zwei Symbole,
ein geraden Strich für eine 1 und einer gewinkelten Strich für eine 10,
die Null wird, in dem Sinne nicht mitgeschrieben ist,
aber quasi sowas wie eine Art Leerzeichen zwischen zwei Stellen.
Demzufolge werden jetzt also hier fünf solcher geraden Striche dann eben
die Zahl 5. Zwei gewinkelte und drei gerade Striche, die Zahl 23.
Ein gerader Strich, dann eben dieser Abstand,
also die Null, das Leerzeichen und drei gewinkelte Striche,
würde dann eben stehen für drei mal zehn, plus,
und das wäre dann eben die nächst höherwertigere Stelle,
Basis wäre jetzt 60,
ein mal
Ich finde,
hier mit zwei Lehrzeichen hätte ich dann eben hier sowas wie 21 plus 3.600. Nämlich 60 mal 16. Ja,
und so ein Stellenwertsystem zur Basis 60,
auch wenn sich das erstmal exotisch anhört,
begegnet uns heute eigentlich immer noch bei Winklereinteilungen,
wo wir im Prinzip Winkelgrade dann eben von 0 bis 360 haben oder eben auch bei Zeitangaben,
wo wir 60 Sekunden pro Minute,
60 Minuten pro Stunde
entsprechend haben
Ja, das vermitteln wir sonst, aber typischerweise natürlich rechnen,
ist eigentlich ja unser Dezimalsystem, wo man halt sagt,
ich habe sowas wie eine Kommastelle bzw. Dezimalpunkt und alles,
was davor ist, ist dann eben als erste Stelle die einer Zehnerstelle und an der Stelle und so weiter,
beziehungsweise auf der anderen Seite bei den Nachkommastellen, Zehntel,
Hundertstel, Tausendste und so weiter.
Mathematisch gesehen entspricht das quasi, dass ich jede Stelle dann so darstelle,
dass ich da eben einen Gewichtungsfaktor habe,
nämlich dann in diesem Fall die Basis des Zahnsystems,
ECMA-System mit Basis 10, also 10 hoch i,
das heißt hier die Stelle 10 hoch 0,
10 hoch 1, 10 hoch 2, 10 hoch minus 1,
10 hoch minus 2 und so weiter.
Nicht das ist also das, womit wir typischerweise eigentlich rechnen. So,
der allgemeine Fall sieht jetzt eben so aus, dass man sagt,
bei solchen Stellenwertsystemen man dann eben auch von einer Radex-Darstellung.
Das heißt, ich habe eine Zahlenbasis B. Das ist dann eben
genau dieser Radex. Im Dezima-System ist das dann eben die Zahl 10. Im Dualsystem,
sprich bei dem, was in der Rechner-Adrentmedik eingesetzt wird,
dann eben die Basis 2 und sowas wie Boktal oder Hexadezimal Basis 8,
Basis 16, werde ich dann etwas später auch noch mit drauf zu sprechen kommen.
Die lassen sich dann auch vergleichsweise einfach eigentlich,
also auch aus diesem Dualsystem heraus ableiten
Deswegen dann jetzt in vielen Beispielen eigentlich immer es um die
Darstellung im Dualsystem geht, sprich, wie rechnet der Computer.
Und Darstellung im Dezimalsystem, wie müssten wir die Zahl interpretieren,
die dann entsprechend dort dargestellt worden ist. Ja,
bei solchen Radexdarstellungen brauche ich jetzt natürlich entsprechend die passenden Ziffern im
allgemeinen Fall dann eben von null bis b minus eins,
also sprich im Dezima-System von 0 bis 9,
im Dualsystem,
die beiden Ziffernull und eins
Ja, und allgemein sieht dann so eine Zahl,
wenn sie jetzt also in diesem Fall erst mal nur Vorkommastellen hat,
dann eben so aus,
dass sie sich diese Zahl oder eigentlich erst mal der Betrag der Zahl zusammensetzt,
dann aus Summe,
Juch 0 bis N minus 1. Dann habe ich jetzt hier eben diese Wichtungsfaktoren,
die dann mit der entsprechenden Stellenwertigkeit B-Buch-I multipliziert werden.
Und so hätte ich dann eben meine 1er,
10er,
100er stellen und entsprechend
Nicht das, also erst mal der allgemeine Fall.
Und dieses System ist natürlich jetzt doch Vergleichs- oder solche Stellenwertsysteme sind natürlich vergleichsweise universell einsetzbar.
Theoretisch, je nachdem, wie ich das N hier wähle,
dann eben natürlich auch erst mal für beliebig große Zahlen.
Rein praktisch würde uns das dann also auch noch begegnen,
dass wir natürlich kennenlernen,
wenn wir jetzt also mit typischen Wortbreiten von Computern rechnen,
wahlweise mit 64 Bit und so weiter,
dass man dann in den entsprechenden Zahlensystemen mit den Zahlendarstellungen
eben auch schon etwas begrenzter ist
Kommt aber später dann nochmal dem Einzelnen, genau. Ja,
wie gesagt, das war es jetzt hier das Wichtigste ist,
ist eben das Dualsystem als Stellenwertsystem zur Basis
2. Was man dann eigentlich auch schon sieht,
jetzt hinsichtlich der Anzahl der benötigten Stellen,
dass man jetzt verglichen mit unserem Bethema-System, also ungefähr dreimal so viel Stellen braucht,
um jetzt eben eine Zahl im Dualsystem darstellen zu können.
Und solche Zahlen sind vor uns natürlich auch vergleichsweise schlecht lesbar.
Deswegen Findet man dann häufig noch Optal oder Hexadezimalsysteme beziehungsweise die entsprechenden Schreibweisen,
die sich also auch eins zu eins direkt aus dem Dualsystem heraus ableiten lassen,
wo man dann eben entsprechend kürzere Zahlen hat und das also dann für uns also auch etwas leichter handhabbar ist.
Ansonsten, was ist der Riesenvorteil jetzt von dem Dualsystem,
das man natürlich sagen kann, mit dieser Basis 2,
habe ich jetzt etwas, was technisch vergleichsweise leicht zu implementieren ist,
weil ich da dann eben immer nur zwei diskrete Werte unterscheiden muss.
Das können sowas sein wie zwei Spannungen, niedrige Spannung, hohe Spannung,
Strom fließt, Strom fließt nicht. Es ist hell oder es ist dunkel. Nicht,
das hatte ich also auch schon als Beispiel in dem Vorhinkapitel,
als es um die Definition von Binärzeichen ging, gesagt,
dass man da eben wirklich diesen Vorteil hat,
genau zwei unterschiedliche Zustände nur kodieren zu müssen,
was dann eben technisch vergleichsweise einfach möglich ist und was dann eben auch noch eine gewisse Anfälligkeit gegen Fehler hat.
Da hatte ich also schon genannt,
sowas wie Alterungseffekte von irgendwelchen elektrischen Bauteilen, die dann dazu führen,
dass sich im Laufe des Betriebs dann,
also bestimmte Versorgungsspannungen oder bestimmte Eigenschaften dann eben doch noch irgendwie leicht ändern können,
dass das Ganze jetzt abhängig von der Spannungsversorgung,
von der Betriebstemperatur und so weiter ist,
nicht wenn ich da jetzt wirklich nur zwei Werte das Krieg unterscheiden muss und nicht zehn oder noch mehr unterschiedliche Werte,
ist das natürlich dann sehr einfach machbar.
Und ich habe dann eben eine gewisse Sicherheit gegen diese Effekte da mit drin.
Ja, ansonsten muss man dann eben auch sagen,
also ein Vorteil von diesem Dualsystem, ich bin dann eben entsprechend robust.
Nicht daneben kommen dann noch so Arche-Effekte, Störungen,
das war es dann in diesem Bereich der Datenübertragung mit reinfällt,
wird uns dann also auch später noch weiter begegnen,
wenn es dann also um die Kodierung noch weiter mitgeht
Dann lässt sich eine Berechnung in dem Dualsystem eben auch entsprechend effizient realisieren. Das heißt,
es ist damit dann eben auch möglich,
technisch gesehen sowas wie Schaltungen aufzubauen, die dann eben eine Art Metik implementieren,
weil letztendlich möchte ich mit diesen Zahlen ja addieren oder subtrahieren und brauche dafür dann natürlich irgendwelche Schaltungen,
irgendwelche Bausteine, die mir eine solche Dualzahl dann eben auch entsprechend miteinander,
oder Dualzahlen entsprechend dann eben auch miteinander verrechnen kann.
Ja, was man häufig dann findet oder was immer,
sagen wir mal, so ein erster Ansatz ist zu solchen Zahnsystemen,
ist, dass man da sowas wie eine Potenztabelle aufstellt.
Wie gesagt, im Dezimalsystem wäre das natürlich 100.000,
im Dualsystem hätte ich dann eben entsprechend den Stellenwertigkeiten 2 hoch 0,
2 hoch 1, nicht jeder bis 2 hoch 12,
was dann entsprechend dem Dezimal wäre dann 1, 2,
4, 8, 16, 32 und so weiter dann,
also bis jetzt hier 4096 entspricht und dann eben die wörtigen Werte im Dualsystem, wo ich dann eben genau diese eine Stelle gesetzt habe.
Alle anderen Stellen sind dann entsprechend null. Ja,
Dualsystem, Basis 2, Zeichensatz 0 und 1,
demzufolge hier sind es hier einfach noch mal so ein paar Beispiele aufgelistet,
wo ich jetzt eben auf der linken Seite sehe,
was ist der Wert im Dualsystem, was ist der Wert im Dzima-System,
als Notation habe ich das jetzt hier so aufgeschrieben,
dass die Basis des Stellenwertsystems dann quasi hier wie so ein Index rechts unten mit dransteht.
Einfach nur um, jetzt einmal Verwechslungen vorzubeugen, weil,
wenn ich jetzt also hier nur eine Eins stehen habe,
jetzt geht es ja wieder um die Interpretation von Informationen oder von Repräsentation,
was wir hier eigentlich haben, dass ich dann eigentlich nicht weiß,
was ist damit gemeint,
welches Zahlensystem liegt dem Ganzen zugrunde.
Ja, null
Ist er spannend wie null, die 1 ist die 1,
nicht sowas wie 1-1 wäre dann eben dezimal wert. Drei Dezimalsystem,
nämlich 2 hoch null plus 2 hoch 1. Nicht,
wenn ich diesen String habe, 1-1,
0, 1-0, 0,
wäre das dann 2 hoch 5 plus 2 hoch 4,
plus 2 hoch 2,
dann können die Stellen 3,
1 und 0 sind dann jeweils null,
wenn ich das dann
entsprechend hier ausrechne
Zusammenzähle lande ich, also hier bei 52, dann im Dezima-System.
So, und so lassen sich dann also beispielsweise jetzt hier
schon mal sehr einfach jetzt mit trivialer Mathematik natürlich dann,
also hier solche Dualzahlen, Indizimalzahlen umrechnen.
Ja, wie sieht das jetzt mit arathmetischen Operationen aus?
Erst mal ganz allgemein gesprochen, Additionen im Dualsystem funktioniert eigentlich genauso,
wie wir das im Dezima-System machen, nämlich,
dass sie jetzt beim mehrstelligen Zahlen, das also quasi stellenweise addiere,
Additionsmatrix, ist hier also vergleichsweise trivial.
Er möchte, dass ich sagen kann,
0 plus 0 ist 0, 1 plus 0 oder 0
plus 1 sind jeweils 1 und 1 plus 1 wäre 1-0,
nämlich ein Übertrag und dann hier an der entsprechenden Stelle eine Null,
beziehungsweise dezimal ungerecht gesprochen an eben
die 2. So, hier dann ein entsprechendes Beispiel.
Nicht, da sieht man dann eben eigentlich auch schon,
dass das genauso funktioniert, wie ich das,
also im Dezimal-System machen würde.
Also ich habe hier die Zahl 1079 plus 57,
war es wirklich
ein Dezimalsystem machen
Wenn ich jetzt auf Papier rechne,
ich schreibe mir das untereinander auf und addiere das eben stellenweise,
9 plus 7, 16, hätte dann ja einen Übertrag von 1,
7 plus 5 plus 1, ist 13,
die drei, hier ein Übertrag von 1,
dann hätte dann 1 plus 1 noch zu rechnen, ist 236.
So, wie das hier auf der rechten Seite ist,
würde ich es also im Dezimalsystem machen, im Dualsystem, genau das Gleiche.
Ich habe jetzt hier beide Zahlen in Ihrer Dualdarstellung,
die dann eben stellenweise agieren, 1 plus 1 ist null,
Übertrag 1, 1 plus 0 plus 1 ist null,
Übertrag 1, 0 plus 0 plus 1 ist 1. Ich hätte dann hier 0 plus 1,
das 1 und so weiter und so fort und halte dann hier dieses als Ergebnis,
was dann auch logischerweise identisch zu den 236 ist,
die ich dann also im DC-Marsystem eher auf diese Regelweise rausbekommen habe.
Gut, das ist also vergleichsweise trivial,
das unterscheidet sich eigentlich nicht von der Art und Weise,
wie wir das jetzt machen, Han-On berechnen würden,
dass man da eben entsprechend mit dieser Stellenweise Wertung das Ganze
macht und dadurch dann eben sehr einfach zwei Dualzahnen addieren kann.
Auch bei der Multiplikation gilt im Prinzip genau das Gleiche,
dass ich jetzt sagen kann, wenn ich ein Produkt bilde,
als A mal B mit Multiplikator A und multiplikanten B,
wie mache ich das im Dezimasystem?
Ich nehme jetzt eben entsprechend den die Plikator,
der wird dann jeweils mit einer Stelle des multiplikanten multipliziert.
Entsprechend der Stellenwertigkeit werden die dann untereinander verschoben, aufgeschrieben und diese Teiltherme,
die ich dann also aus diesen Multiplikationen herausbekommen haben, werden dann agiert.
So die Multiplikationsmatrix ist hier natürlich jetzt eine Noftrivie alleine,
weil da kann ich sagen, nur mal irgendwas ist null und eins mal eins ist eins.
Damit habe ich das Ganze fertig. Wie sieht das dann hier in dem Beispiel aus? So wie ich jetzt eigentlich DC-Mahlsystemen auch rechnen würde,
also 107,79 mal 13, das habe ich jetzt also hier nicht aufgeschrieben,
mache ich das hier eigentlich auch im Dual-System, das heißt,
ich habe jetzt also hier mein Multikanten, die 179,
hätte dann eben hier als Multiplikator die 13 und was dann eben zu rechnen ist,
ist dann eben für jede Stelle, also jetzt hier für diese 1,
hätte ich hier diese Zahl, für diese 1,
jetzt also quasi um eine Stelle verschoben,
wird die Zahl dann eben auch entsprechend um eine Stelle verschoben,
mal eins multipliziert hinzu addiert,
für die nächste Stelle mal null.
Da passiert gar nichts,
beziehungsweise kann ich jetzt ja aber erstmal nullen reinschreiben und ein mal 1-0,
1-1, 0, 0,
1-1, hier nochmal hinzu addiert,
wäre dann eben das Gesamtergebnis und dann müsste ich jetzt eben diese vier entsprechend den vier Stellen,
die ich jetzt also hier rausgezogen habe,
diese vier Talprodukte dann eben entsprechend addiert werden, Würde dann eben rechnen, eins hätten, also hier quasi lauter Nullen dahinter.
Das ist eins. Hier habe ich die Eins. Das ist dir eins,
dann habe ich hier Eins plus eins plus lauter Nullen,
ist Null und ein Übertrag 1. Und dann wird das eben genau wie in der Addition,
nur dass ich jetzt in hier mehr teilt habe, dann dementsprechend zusammengerechnet.
Was dadurch dann eben auch vorkommen kann,
in diesem Beispiel ist es jetzt nicht enthalten,
ist aber dann natürlich, dass ich dann auch Überträge habe,
die jetzt nicht nur in die nächste Stelle,
sondern wenn ich jetzt also beispielsweise hier Eins plus eins plus eins plus eins rechnen würde,
dass ich dann eben Überträge nicht in diese,
sondern eben gegebenenfalls in die übernächste Stelle oder noch weitere Stellen habe,
je nachdem,
wie viel erteilt haben ich hier zu andieren habe.
Das ist daran die etwas dreckige Sache, die daran noch mit hinzukommen.
Aber ansonsten ist das Grundverfahren eigentlich auch genau das Gleiche,
was wir im Dezima-Systeme haben würden nicht.
Auch da würde ich dann also quasi 179 mal 1 rechnen,
plus 179 mal 3, was ich dann darunter schreibe,
das Ganze dann eben stellenweise addieren und hätte dann eben ein Gesamtergebnis,
in diesem Fall an 2327 Mich hier dezimal aufgeschrieben.
Hier, das wäre dann eben der hier berechnete.
Wert als Dualzahl und dieses hier ist das Ganze jetzt schon in sogenannter Hexa-Dezimal-Schreibweise, komme ich gleich noch mit dazu. Nicht,
dass es dann etwas kurz war,
etwas übersichtlicher schreibweise für sowas hier, weil so ein Streng,
also ist das auch hier Erfahrung irgendwie schon mal irgendwie vorzulesen,
ist dann immer irgendwie so ein bisschen blöd,
wenn ich da so irgendwie 1, 0, 0,
1, 0, 0, 1, 0,
1, 1, 1,
also irgendwie sowas runterbete.
Ja, kommen wir jetzt also zu Noch anderen Zahnsystemen bzw. Zahnsystemen,
die eigentlich, sagen wir mal so,
eins zu eins mit dem Vinärsystem kompatibel sind.
Und zwar zum einen erstmal das sogenannte Okta-System.
Da ist die Basis 8, 8, 7 als Zweier-Potenz,
Zeichensatz ist dem zuvor geladen von 0 bis 7.
Was man hier auch schon mal,
also jetzt so ein bisschen auf die Programmierung eingegangen,
dann eben auch häufig hat oder in Programmiersprachen hat, also beispielsweise ein C,
ist es so, um Oktalzahlen von Dezimalzahlen zu unterscheiden,
wird eben bei Oktalzahlen an eben eine Null als Prefix davor geschrieben.
Bei Dezimalzahlen nicht. Das heißt,
wenn ich also in irgendeinem Zehprogramm irgendeine Zahl habe,
die dann also irgendwie 0, 2, 3, 4 heißt,
dann steht das dann ebenentsprechend für eine Oktalzahl und nicht für
234. Das ist dann also auch mal ein gern gemachter Fehler
in den Programmen, was man dann also übersieht
Wo man sowas dann eben entsprechend mit dran hat. Gut,
also wie gesagt, hier jetzt entsprechend so eine Zahl,
ansonsten das Verfahren genau das Gleiche, stellen wir das System.
Das heißt, sowas wie dieses 0-0-1,
das spricht dann eben der Eins,
nicht dieses 0-0-1, 3,
wäre dann im Dezimalsystem 11, nämlich drei mal 8 hoch.
Null, also drei plus ein mal 8
hoch 1,
also plus
Dezimal dann eben entsprechend elf. Und hier dieses 0-3,
7-5 wäre dann eben dezimal 253,
nämlich 5 plus 7 mal 8 plus 3 mal 8 Quadrat.
Dann ebenentsprechend diese Zahl. So, das ist verglichen jetzt
mit Rhein-Dual-Zahlen natürlich, also deutlich leichter lesbar.
Und im Verlag jetzt zu irgendwelchen Dual-Zahlen lässt sich das eine Oktal-Darstellung vergleichsweise trivial natürlich machen,
indem ich dann einfach jeweils drei Bit Dualzahl zusammenfasse,
beziehungsweise das Ganze umgekehrt dann eben umsetze, dass ich dann eben sage,
die Orktale null ist 3 nullen, die Oktale 1 0001 und so weiter.
Nicht die oktale 7, dann eben 1 111. Und dadurch
kann ich dann eben direkt aus Oktal Duals Saal machen,
beziehungsweise umgekehrt. Ja, das andere Zahnsystem,
was man da dann eigentlich meistens immer noch benutzen und das
also deutlich häufig auch als das Oktalsystem ist,
das Sexavitimalsystem,
da ist die Basis eben
Zeichensatz geht dann typischerweise dann eben von 0 bis 9 und
dann nimmt man noch die Buchstaben von A bis F. War es dann
also quasi von 10 bis 15 jetzt für die Stellenwertigkeit dann eben entsprechend entspricht.
InC wird das dann eben mit diesem Prefix 0X geschrieben.
Meistens hat man typischerweise hier bei diesen Buchstaben dann also
wohl klein als auch groß schreibung entsprechend zulässig. Ja,
und dann sieht man hier,
also jetzt erfrage ich den Asyls irgendwelche extra Dezimalzahlen,
also dass wir dann eben 0X als Prefix jetzt und dann
eben hier Anna Eis,
dann spricht dann eben
eine Eins
Nicht so was wie FE wäre dann 254, nämlich E mal 16
hoch 0. Also 14 F, was seine 15 entspricht,
mal 16 hoch 1, also plus 15 mal 16,
das ist 254, welchen Teaser streng dann eben hier,
0X, FFFFFFFF ist dann eben 65.535,
nämlich FF war dann also quasi die 15,
dezimal Los 15 war 16 plus 15 mal 16 zum Quadrat plus 15 mal 16 hoch 3.
Nicht was dann eben entsprechend jetzt hier den Stellenwertigkeit entspricht.
Ja, damit sind noch solche Exitection-Maldarstellungen natürlich deutlich kürzer und
auch entsprechend leichter lesbar als die entsprechende Dualzahl.
Und auch da ist eigentlich analog zu dem Verfahren, wie ich das,
also jetzt eben beim Okta-System beschrieben hatte, es extrem einfach möglich jetzt.
Also hexartizimal in Binär zu schreiben oder umgekehrt.
In dem Fall werden jetzt eben einfach hier vier Bits zusammengefasst.
Also Hexer littimal null entsprechend dann eben 4 Nullen. 1,
2, nicht 9 wäre dann 1, 0, 0,
1, war dann eben 1, 0, 1,
0, dann eben bis zur F, 1, 1,
1, 1, was dann eben die Binär 15. Ja, logischerweise ist.
So, hier sind wir jetzt nochmal das aktuelle Datum in
unterschiedlichen Schreibweisen
Dann eben auch, was dann eigentlich als Rechenweg dahinter steht,
wo man dann eben nochmal sieht,
was eben mit diesem Stellenwertigkeiten gemalt ist, also 1020,
dezimal entspricht er eben null mal 10 hoch null,
zweimal 10 hoch 1, das sind dann die 20,
100 da stehen, habe ich keine tausender Stellen,
eben zwei, zweimal 10 hoch 3,
also 2000 plus 20 wäre dann 2020 und binär wäre das dann eben Einmal 2,
hoch 10, nämlich 1024 plus einmal 2,
hoch 9 plus 512 plus 2, 56 plus 128 plus 64 plus 32.
Wäre dann also hier 1, 1, 1, 1,
1, 1, 0, 0, 1, 0,
0. Nicht plus 4, dann eben hier noch an dieser Stelle und dann habe ich dann nicht immer einen 2020 entsprechend aus diesen einzelnen Stellen zusammengerechnet. Ja,
Oktal, dann eben ja auch das entsprechende Äquivalent und Dieser Oktal, beziehungsweise Hexadezimaldarstellung,
lassen sich dann eben sehr einfach direkt aus diesem Vinärdarstellung ablesen,
folgt auch gleich nochmal ein Beispiel auf der nächsten Folie,
nämlich indem ich jetzt sage,
wenn ich jetzt Dreiergruppen bilde, aus dieser Vinärdarstellung,
dann hätte ich jetzt also hier diese drei Bit 1-0-0,
das wäre eine 4, dann nochmal 1-0-0,
die nächsten drei Bit, das wäre dann auch wieder eine 4 nicht,
damit habe ich die unteren beiden Stellen der Oktaldarstellung,
dann bin ich jetzt also hier an dieser Stelle und nehme diese drei Bits zusammen,
das ist eine 7
Und dann hier die beiden Aalen sind und dann haben wir
fertig nach vorne weg eine Null nehmen,
dann hätte ich hier die 3 und dann habe ich hier diese Oktal-Darstellung 3,
7, 4, 4. Für Hexa dezimal würde ich dann also hier 4 Bill zusammenfassen,
4. Dieses hier wäre dann das E-1, 1, 1,
0. Und hier hätte ich dann eben nochmal die 7,
0, 1, 1, 1. Dann deine Hexa dezimal Darstellung.
So, hier sieht man das Ganze jetzt nochmal für Zahlen,
wo dann eben auch Nachkommastellen mit drin ist
Wichtig bei dem Ganzen ist immer, weil das wird also
gerne dann in Übungsaufgaben und gegebenenfalls auch in der Klausur noch mal falsch gemacht.
Und spätestens da ist es dann also wirklich ärgerlich,
weil das also so trivial ist, solche Sachen umzurechnen, zu machen.
Und da sollten solche Fehler natürlich nicht passieren,
dass man immer vom Dezimalpunkt oder von dem Komma aus losgeht zusammen und von dort aus zusammenfasst.
Und zwar die Vorkommastellen, quasi jetzt hier nach links,
zählend die Nachkommastellen quasi nach rechts sehen,
wenn ich jetzt noch irgendwie zusätzliche Stellen brauche,
kann ich mir das dann Ihnen hier mit Lautern holen dahinter, beziehungsweise davor aufgefüllt vorstellen.
Das heißt, dieser Vinärstring ergibt dann eben hexagezimal die Zahl 1,
9, 4, 8b, B6,
nicht indem ich dann eben quasi jetzt hier von den Nachkommastellen von hier beginnt,
4b zusammenfasse dann hier die nächsten vier, wird,
wenn jetzt hier noch stellen wären, dann eben entsprechend hier wieder die nächsten vier und so weiter.
Und bei den Vorkommastellen genau das Gleiche,
diese vier wird die acht,
diese vier wird als vier
Diese 4 wird als 9 und dieses hier wäre eine 1
und Octal würden dann jetzt eben immer solche Dreiergruppen gebildet,
wie das dann hier oder in diesem Beispiel der Fall ist.
So, das heißt, damit sieht man eigentlich,
wie jetzt also wirklich eins zu eins, Hexag jetzt hier mal,
zu benäher, zu optal, ineinander umgewandelt werden kann.
Nicht, wenn ich jetzt von Octal irgendwas,
ein Hexag jetzt hier mal umsetzen möchte,
würde ich daraus dann eben immer die Binärdarstellung machen und das Ganze
dann eben anschließend dann entsprechend in Hexag jetzt hier mal wandeln,
aber das lässt sich dann eben sehr Einfach und trivial machen.
Ja, wie sieht das jetzt aus,
wenn man zwischen verschiedenen Zahndarstellungen zwischen Basen irgendwie umrechnen möchte?
Ich war, ich hatte ja schon gesagt,
wir rechnen ja typischerweise im DC-Marsystem, sowas wie Winkel oder Zeitangaben.
Da habe ich dann eben noch so ein System,
wo ich dann sowas wie so eine Basis 60 mitbenutze,
in technischen Systemen, digitale Rechnern wird in der Regel eigentlich das Dualsystem verwendet und daran,
je nachdem, um welche Zahlen es sich handelt,
dann eben auch noch unterschiedliche, mit hohen in Schreibweisen,
die wir jetzt also hier dann auch noch im weiteren Verlauf dieses Kapitels kennenlernen werden.
Andere Zahnsysteme gab es, also in der Frühzeit der Computertechnik,
dann noch teilweise auch ein bisschen exotische Sachen.
Inzwischen kann man aber eigentlich sagen, dieses meistens kann gestrichen
werden und in digitale Rechnern wird eigentlich ein Dualsystem immer gerechnet.
Ja, um jetzt zwischen diesen Zahnsystemen umrechnen zu können,
gibt es jetzt also unterschiedlichste Algorithmen. Ich werde jetzt hier im Folgenden
erstmal drei Varianten An einem Beispiel vorstellen, je nachdem,
von welchem Staat, in welches Zielzahlensystem ich jetzt umrechne,
sind einige dieser Varianten besonders einfach und besonders gut geeignet,
andere vielleicht nicht so schön.
Deswegen also auch nochmal der Hinweis,
wenn jetzt in den Übungsaufgaben nach sowas gefragt wird,
dann wird da also explizit drin stehen,
mit welchem Verfahren das gemacht werden soll oder wenn da jetzt nichts weiter darin steht,
kann man sich das aussuchen.
Wenn solche Aufgabenstellungen in der Klausur drankommen sollten,
dann wird höchstwahrscheinlich dort freie Auswahl bestehen,
dass man sich da dann was aussuchen kann,
weil einige von diesen Sachen sind,
also für bestimmte Umrechnungen nicht ganz so gut geeignet.
Deswegen wird es jetzt also keine bösen Vorgaben geben,
um da jetzt also irgendwie die Leute jetzt also besonders reinzuhalten.
Ja, grob gesagt kann man jetzt also sagen,
es gibt also drei unterschiedliche Methoden.
Das eine sind also vorberechnete Potenztabellen, Divisionsrestverfahren und Horner Schema
Was ist das? Fangen wir an mit den Potenztabellen.
Ich hatte ja eben schon eingangs die Potenztabelle für das Dualsystem geschrieben oder gezeigt.
Das, was man also da typischerweise macht, ist,
dass man sich jetzt also wirklich sowas wie diese Podenztabellenhaaren mal komplett notiert,
vorab berechnet. Und wenn ich jetzt irgendwie umrechne,
beispielsweise von einer Dezimalzahl in eine Binärzahl,
würde man eigentlich typischerweise dann folgendermaßen vorgehen,
dass ich nämlich Das größte Vielfache einer Potenz des Zielsystems von der Unzuwandelnden Zahl abziehe.
Dazu nehme ich jetzt eben um dieses größte Vielfache zu finden,
dann eben diese Potenztabelle. Beim Dualsystem ist es dann einfach,
weil ich da als Vielfache mich nur null und eins habe.
Wenn ich jetzt in das Dezimalsystem umrechne,
dann habe ich dann eben Vielfache von 0 bis 9,
dann kann das schon ein bisschen komplizierter werden,
wen wir auch gleich noch ein Beispiel ist.
So, dieses größte Vielfache würde dann also quasi in dem Zielsystem aufgeschrieben.
Das ist dann nämlich an der Stelle jetzt,
also erstmal das eine Zwischenergebnis. Wenn der Rest der Zahl
ungleich null ist, dann wird das Ganze jetzt eben wiederholt.
Und zwar dann wiederum jetzt also für die nächste Stelle
dann wieder das größte Vierfache vom Fabulien-Rest abgezogen,
beziehungsweise nicht für die nächste Stelle jetzt, also für den nächsten Therm.
Und dieses Ganze dann eben wieder im Zielsystem hinzuaddiert. So,
und das Ganze wird dann eben hier so lange wiederholt,
bis sich irgendwann als Rest dann in null erhalte
So, kommen wir jetzt gleich zum Beispiel. Also hier sind erstmal die Potenztabellen,
einmal nochmal komplett aufgeschrieben, nämlich einmal jetzt von,
für das Dualsystem, wo ich jetzt also hier quasi jetzt
meine Stellensware und 0 bis 2 auch zwölf habe und im Dezimalsystem dann eben die entsprechenden Werte.
Hier das Ganze jetzt für das Dezima-System,
die Potenztabelle sehen um 0, 10 Uhr 1,
10 noch 2 bis 10.12 Uhr und die zuhörende Werte im Dualsystem,
wie man sieht,
kriege ich also hier schon sehr schnell sehr große Zahlen.
Das wird sehr unübersichtlich
Deswegen sind die hier unten also auch schon hexerdizimal notiert,
weil das war uns also hier die Folie sprengt.
Und wie man hier dann auch schon sieht oder was sich andeutet,
ist, dass so ein Verfahren jetzt von der Umrechnung von
in die eine Richtung dann eben entsprechend ein bisschen umständlich ist.
Gut, wie sieht das Beispiel jetzt aus? Also wir haben jetzt,
also hier sind die Zahl 163 im Dezimasystem,
die soll jetzt eben in eine Dualzahl umgerechnet werden
Das heißt, da gucke ich jetzt an Handmann als Potenz-Tabelle,
was ist jetzt eben die größte Zweier-Potenz, die ich davon abziehen kann.
In diesem Fall wäre das zwei hoch sieben, nämlich 128.
Die ziehe ich davon ab. Als Rest verblagt 35 und
ich notiere mir hier das Ergebnis in dem Zielsystem,
also jetzt als Dualzahl, die zwei hoch sieben.
Anschließend gucke ich jetzt, was ist jetzt wieder die größte
Zahl in meiner Potenz-Tabelle, die ich hiervon entsprechend abziehen kann.
In diesem Fall wäre das jetzt zwar auf fünf,
Berechne ich Rest 3 und ich würde dann eben zu den 2 hoch 7 die 2 hoch 5 ab hin zu addieren.
Jetzt in der resultierenden Dualzahl hätte jetzt also hier meine 3,
da könnte ich dann eben 2 hoch 1 von abziehen,
habe 1,
könnte dann hier noch von 2 hoch 0 von abziehen und würde dann eben hier noch 1-0 und 1 hinzuaddieren und die 163 dezimal umgerechnet in eine Dualzahl wäre dann eben 1-0,
1-0, 0-0,
1-1,
nämlich in in dem ich dann also hier diese vier Tage addiere,
war es in diesem Feuertriviades,
da ich hier mal ja nur eine einzelne Stelle jeweils gesetzt habe und hätte dann also hier entsprechend mal ein Ergebnis.
Ja, wenn man das jetzt in die andere Richtung macht,
dann sieht man, da kann das Ganze jetzt eben schon ein bisschen komplizierter werden.
Von daher ist, also das mit diesem Potenztabellen von Dezi mal nach Dual vergleichsweise einfach von Dual, nach Dezi mal dann also schon ein bisschen dreckiger. Also ich habe jetzt hier entsprechend meine 101,
001, 11, würde jetzt eben gucken,
was wäre jetzt eben die entsprechend größte Potenz, die ich davon abziehen kann,
in diesem Fall wäre das jetzt hier die 10 hoch 2,
nämlich 1, 1, 0, 0,
1, 0, 0, also die 100,
das ist dann dieses hier, die ziehe ich ab,
hätte dann eben hier entsprechend mal einen Rest,
notiere mir hier jetzt immer ein Zielswahlsystem, dann ebenentsprechend die 100,
so von diesem Rest, da müsste man jetzt eben gucken,
was ist jetzt das größte Vielfache einer Potenz,
in diesem Fall wäre das von 10 hoch 1,
also 1-0, 1-0,
mal 6. Was dann also hier dieser Wert ist, den ich dann davon abziehen kann,
das sind dann eben entsprechend genau dann die 60, der Rest, der dran bleibt, wäre dann eben noch 1-1.
Da kann ich dann eben noch dreimal sehen,
auch null abziehen und hätte dann eben entsprechend die jetzt mal
eine 163 auf diese Weise für diese Rückrechnung erhalten.
Ja, das zu der Art und Weise,
wie das mit dem Podenztabellen funktioniert, als zweites Verfahren Gibt es dann das Divisionsrestverfahren?
Dabei wird die umzuwandelnde Zahl durch die Basis des Zielsystems geteilt.
Es wird dann eben geguckt, welcher Teilarrest verbleibt.
Der wird entsprechend notiert. Und das,
was also das Ergebnis dieser Division ist,
das wird dann entsprechend aufgeschrieben,
beziehungsweise damit wird dann ebenentsprechend dann weitergerechnet
Hört sich erst mal etwas kompliziert an, ist aber vergleichsweise
trivial, einfach umzusetzen. Also ich habe die 163,
die soll jetzt in eine Dualzahl umgerechnet werden. Das heißt,
die teile ich jetzt eben durch die Basis des Zielsystems,
also durch zwei, wo dann eben rechnen 163 durch zwei,
ist 81 und als Rest eins.
Diesen Rest mag ich mir, 1,81 Meter rechne ich weiter,
die teile ich durch zwei,
das wäre 40 plus eins,
also 2,40 plus
Meter 40 rechne ich weiter durch zwei geteilt ist,
20 Rest 0, 20 durch zwei, 10 Rest 0,
10 durch zwei, 5 Rest 0 und so weiter.
So, und wenn ich da jetzt fertig bin und ich dann also hier
quasi jetzt als Ergebnis null habe, ist das Verfahren beendet.
Ich habe dann eben hier entweder meinen letzten Rest 0 oder 1
erhalten und kann dann eben aus diesen Resten direkt die Zahl ablesen und zwar immer von der Dem zuletzt berechneten Wert,
der dann also quasi Stellenwertigkeit mit der höchsten Stelle entspricht,
bis zu dem, den ich hier zuerst erhalten habe.
Dem Ganzen liegt er nämlich im Prinzip mathematisch gesehen eigentlich, dass zugrunde,
was wir dann also gleich als nächstes verfahren, als vorner Schema kennenlernen.
Nicht deswegen, also hier diese erstmal etwas gefühlt.
Ungewohnte Reihenfolge. So jedenfalls, dass hier einmal ausgerechnet,
kann man also eben noch vergleichsweise einfach im Kopf auch immer machen.
Und hier dann eben entsprechend diese Teile,
also ganz zahligen Anteile und ihr Rest dann eben notiert und dann kann ich eben hier ablesen,
die 1033 wäre dann eben 1-0, 1-0,
0, 0, 1-1, dann hier als Dualzahl.
So, umgekehrt, die Umwandlung von einer Dual in eine Dezimalzahl,
auch das ist entsprechend möglich,
dafür bräuchte ich dann eben im Prinzip die Vision zu der Basis B,
was also in diesem Fall ist,
also die Vision jetzt eben in zur Basis 2 ist,
was dann also auch schon in diesem Fall ist,
also durch eine Subtraktion mit geschobenen Teilen funktioniert,
aber ansonsten eben auch schon über ganz einfach ist.
Also auch das, deswegen etwas,
dieses Divisionsrestverfahren ist dann eigentlich auch etwas, was von Dezimal nach Dual,
wie das Beispiel eben gezeigt hat, also vergleichsweise trivial funktioniert,
in diese Richtung, wie das hier ist,
wird das dann eben auch schon immer etwas trickreicht.
Gut,
aber bleiben wir jetzt mal hier bei dem Beispiel
Also ich habe 1-0, 1-0,
0-0, 1-1 geteilt durch jetzt diesen Wert in der Basis des Zielsaalsystems,
also geteilt durch zehn, das wäre dann eben 1-0,
1-0 in Dualdarstellung.
Und wenn ich das jetzt durcheinander teile,
hätte ich dann eben hier entsprechend 1-0,
0-0 als Ergebnis,
nämlich dieses hier jetzt um fünf Stellen quasi nach links geschoben,
dann kann ich das hier nämlich abziehen
Und würde dann quasi dieses hier haben und der Rest,
der dann überbleibt, sind dann eben hier 0011 bzw. die drei,
die notiere ich dann eben als Tyler Rest,
dann eben auch nachher mit der Stellenwertigkeit 10 hoch 0.
So, hiermit rechne ich weiter,
1-000 geteilt durch 1-01-0,
das ist eins, der Rest,
1-1-0,
den erhalte ich,
wenn ich hiervon dieses jetzt hier quasi abziehe
Und mit dieser eins würde ich dann ihn hier weiterrechnen,
dass durcheinander geteilt ist, dann eben null.
Rest eins. Und damit bin ich dann an dieser Stelle
fertig und hätte dann eben als Ergebnis eins plus sechs, plus drei.
Mal diesen Stellenwertigkeiten und das sind dann eben die 163.
Nicht weil das dann Stellenwertigkeit 10 und 2,
10 oder 1, 10 noch null ist.
So, das wäre dann also im Prinzip die Umwandlung von
Dual Indizimalzahl mit dem Divisionsreistverfahren. Wie gesagt,
in der anderen Richtung von Dezimana Dual ist es eben vergleichsweise einfach und trivial,
weil ich als Rest immer nur 0 oder 1 habe und ich
eben hier einfach nett 2 nur durch 2 teilen muss.
Ich nenne dich dann eben nur gucken muss, es ist eine Grade oder eine Ungradezahl.
Hier jetzt nochmal an dem Beispiel 1.492 durch 2,
746, Rest 0, 746 durch 2,
ist 373, Rest 0, 373 durch 2,
186, Rest 1 und so weiter und so fort.
Und wenn ich das jetzt irgendwie für alle Stellen gemacht habe,
lese ich dann eben von dieser untersten Zeile,
wo ich dann also als Ergebnis meine Null rausbekommen habe,
das Verfahren terminiert hat,
dann eben dieser Rest da ab und hatte dann eben als Umwandlung von 1.492 in eine Dualzahl 1.0,
1.1, 1.0, 0. 1.0, 0,
so.
Das wäre dann entsprechend hier die Umwandlung von jetzt hier
mal nach Guaal
mit dem Divisionsrestverfahren
So, das Ganze kann man, wie man dann also hier auch sieht,
also auch schon sehr einfach in so einen Algorithmus packen.
Früher gab es diese Vorlesung oder ein Vorgänger von dieser Vorlesung dann,
also auch von einem anderen Professor dann über so eine Art interaktives Skript,
wo das Ganze dann also noch so ein bisschen visualisiert und
mit dem Mattlach dann teilweise auch noch dargestellt und überrechnet wurde.
Aus dem ist dann also auch hier diese Grafik herausgezogen,
wo man dann also sieht, wie dann eigentlich der Algorithmus ist,
also ich starte hier mit meiner Anfangszahl Wenn ich also diese Anfangs-Sarahs-Zwischenergebnis größer als null ist,
berechne ich eben einmal den Tyler Rest,
also durch die Modulor-Operation, dann eben den ganz zahligen Anteil.
Das ist dann das, womit ich dann eben entsprechend wieder weiterrechne.
Und dieses wäre dann eben meine Stelle, denn in diesem Stellenwertsystem,
und darüber kann ich das Ganze dann hier entsprechend durchiterieren,
bis irgendwann die Aue auszugebende Zahl dann eben gleich null
ist und ich damit dann mit dem Verfahren fertig bin
Ja, jetzt als drittes Verfahren möchte ich dann hier noch das sogenannte Horner-Schema vorstellen.
Da geht es also jetzt nochmal um eine etwas andere Schreibweise,
die man jetzt bei so einer Potenzsumme anwenden kann,
indem ich da nämlich die Faktoren ineinander schaffte.
In einem Stellenwertsystem, so wie ich das eingangs erklärt habe,
habe ich ja jetzt also quasi hier immer meine Stellenwertigkeiten,
die AI,
die dann eben jeweils mit den entsprechenden Basispotenzen multipliziert werden
So eine Zahl oder so eine Darstellung lässt sich dann eben automatisch auch umformen oder schreiben,
indem ich dann das Ganze beschreiben kann,
als A von N oder A N minus 1,
das heißt also der höchste Faktor mal der Basis plus der zweithöchste Faktor das Ganze dann geklammert,
mal der Basis plus A N minus 3,
in Klammern mal der Basis und so weiter und das Ganze setzt sich dann eben fort,
bis sich dann eben hier als letzte Stelle A1 Mal B plus A 0 habe.
Und wenn ich das ausmultiplizieren würde,
hätte ich eigentlich genau dieses Jahr dann entsprechend. So,
das ist, was man doch typischerweise macht, ist,
dass man die umzuwandelnde Zahl in dieses Horner Schema schreibt.
Und die dann dort laufenden Rechenoperationen dann ihm einfach mache,
indem ich dann jeweils für B bzw. für die AI dann
die passenden Werte in meinem Ziel-Saar-System nehme und das Ganze einfach stumpf ausrechne.
So, das geht dann eben auch noch
vergleichsweise einfach
In Bezug auf das war es dann eben an mathematischen Operationen stattfindet.
Und zwar hier jetzt einmal in der Art und Weise,
wie ich jetzt aus dem Dezimal in einer Dualzahl umrechne.
Ich hätte jetzt, also hier wieder meine 163, in der Schreibweise ein Horner Schema,
wäre das ein mal zehn plus sechs. Das wäre jetzt die Stelle, mal sehen plus drei, das wäre dann die Stelle. So,
und alles, was jetzt hier an Zahlen habe,
würde ich dann dementsprechend in mein Zielstar-System,
das heißt in eine Dualzeit umwandeln, hätte dann,
also die 10, 1, 0, 1,
0, 1, 1, 0 für die 6,
1-1 für die 3,
1 für die 1 und würde dann eben rechnen,
diesen Ausdruck, einmal 1, 0, 1,
0, plus 6, plus 1, 1,
0 ist dieser Wert mal 1, 0, 1,
0, das ist diese Mal 10,
ist dieser Wert plus 3 und dann habe ich hier entsprechend mal ein Ergebnis.
Das heißt, hier wird das dann eben einfach entsprechend dieser Klammerung
Der Schreibweise im Hornerschema folgend, dann eben einfach ausgerechnet
. Und man hat dann eben vergleichsweise einfache Operationen,
Multiplikationen, Additionen, die dann dort sehr einfach auszuführen sind.
Hier das Ganze jetzt nochmal in der anderen Richtung,
Umwandlung einer Dual, in eine Dezimalzahl. Nicht,
wenn ich es diese Zahl 1-0,
1-0, 0, 0, 1-1,
als Potenzum beschreibe,
hätte ich jetzt also hier
diesen Ausdruck
Nicht einmal 1-0, also die Basis ist ja zwei,
also deswegen hier nur, also der Index,
das soll jetzt nicht zehn sein, sondern die Basis des entsprechenden Ausgangssystems.
Und als Faktoren habe ich hier natürlich immer nur eins oder null zur Verfügung,
die NAS entsprechend jetzt hier 1-0,
1-0, 0, 0, 1-1,
genau diesem hier entsprechen.
So anschließend würde ich dann eben alles,
was hier an Faktoren beziehungsweise so Manten auftaucht,
wer in das Zielzahl-System umsetzt,
das wäre dann eben die 2,
die 1 und die
Und dann wird das Ganze alarmenisch ausgerechnet. Einmal 2 ist 2 plus 0,
bis 2 mal 2 ist 4 plus 1, ist 5 mal 2,
bis 10 plus 0. Mal 2, mal 2,
mal 2 plus 1, mal 2 plus 1, nicht?
Dann habe ich hier also genau die entsprechenden Werte,
die ich jetzt hier drin hatte,
damit rausgezogen und habe dann das Ende gemiss die 163.
Hier das Ganze auch nochmal von etwas Größeres Beispiel,
wo man dann also auch nochmal sieht,
wer das jetzt also im Prinzip jetzt
genau mit diesen Stellen aussieht
Hier als Grundidee so nochmal so dargestellt, dass man sieht,
wie es also im Prinzip aus dieser Zahl der Dezimalwert 2999 heraus berechnet wird.
Und zwar, ich schreibe mir jetzt also hier meine Zahl auf.
Also die ist 1-0. Würde dann eben rechnen,
ich starte jetzt mit dem Ergebnis null, also zweimal null.
Plus 1, das ist die 1. Mit der rechne ich dann weiter mal 2 plus null.
Das entspricht jetzt also quasi Wenn ich jetzt hier drin bin,
genau diesen innersten Schritt hier an der Stelle. Und das,
was jetzt, hier ist es jetzt nur andersrum geschrieben,
dass also quasi das, was hinzu addiert wird,
also jetzt hier erstmal da vorne steht,
weil man dadurch dann also auch deswegen so ein bisschen farblich hervorgehoben dann sieht,
welche Stelle hier entsprechend welchem Teil entspricht und woher dann also dieser Wert hier kommt,
mit dem dann weitergerechnet wird,
nämlich das,
was das Ergebnis der vorherigen Stelle ist
So, das heißt, also hiermit habe ich die Eins abgearbeitet.
Hiermit habe ich jetzt die Null abgearbeitet. Das Ergebnis ist zwei,
nicht damit rechne ich weiter. Mal zwei plus eins,
Ergebnis fünf, mal zwei plus eins, wäre 11,
mal zwei plus eins, ist 23 und so weiter.
Ich finde, damit kommt man dann eben hier im
letzten Schritt zweimal 749 plus 1,
Und hier für die letzte Stelle dann eben 1499 mal 2 plus 1
wäre dann 2.999. Nicht das, also die Art und Weise,
wie man jetzt also beispielsweise dann eben von einer Guaalzahl in die dizimal zahlen mit den Hormonanashima umrechnen würde.
Ja, dann kommen wir jetzt zu etwas, was ihr anfangs schon angesprochen hattet, wie Sie das jetzt also mit den Zahlenbereichen aus. Bei festen oder vorgegebenen Wortlängen,
etwas, was uns dann, hatte ich auch schon gesagt,
im nächsten Kapitel nämlich auch nochmal beschäftigen wird,
hier erstmal Wir sehen jetzt also für das Dualsystem,
wenn ich jetzt, also 4-Bit habe,
dann hätte ich natürlich jetzt, wenn jetzt keine Nachkommastellen habe mit 4-Bit,
also im Prinzip Zahlen dann eben von 0 bis 2 hoch 4 minus 1,
2 hoch 4 wäre 16,
ich kann damit an ihm ja genau die extra dizimal zahlen von 0 bis 15 darstellen,
mit 8-Bit, dann eben von 0 bis 255,
10-Bit, 0 bis 1023 und so weiter,
denken da sieht man jetzt eben schon so mit dem,
was also typischerweise an Wortlängen dann auch in den Computern hat,
was dann also auch in den Programmiersprachen nachher Relevanz sein wird.
Dass man jetzt also bei solchen typischen Zahlenbereichen von 32-Bit,
dann eben bis maximal 4 Milliarden, 294 Millionen,
967.295 als Größe darzustellen, ins Zahl kommen.
Nicht bei 64-Bit ist das dann eine Show, aber ein bisschen größer.
Kann ich jetzt also so fließen. Also auch nicht vorlesen,
ohne dass ich mich da also nochmal irgendwie mit den Einreiten schlau machen würde.
Ja, damit sind wir jetzt nämlich beim nächsten Thema.
Wie sieht das jetzt mit irgendwelchen präfixenden Schreibweisen aus. Wir sind es ja auch gewohnt,
dass dann typischerweise bei sehr großen oder sehr kleinen Werten Präfixe angibt,
die dann eben Zehnerpotenzen noch abkürzen, begegnen uns also bei relativ vielen Größen,
die da also in der Physik oder auch so im täglichen Leben irgendwie mit benutzen.
Also hier als Beispiel sowas wie Lichtgeschwindigkeit ungefähr im Vakuum
ungefähr 300.000 Kilometer pro Sekunde oder 30 Zentimeter Nanosekunde,
die hohe Energie eines Elektrons, 0,51 Mega-Elektronen-Volt,
die Strukturweite von Mikrochips, 7 Nanometer und was auch immer.
So, das sind jetzt also diese Kilo-Centi-Nano-Mega, typische Prefixe,
wie man sie jetzt, also im Dezimalsystem hat.
Es gibt aber eben auch entsprechende Prefixe für das Dualsystem,
da wären dann typischerweise Vielfache von 2 hoch 10 benutzt. Das heißt,
während wir also im Dezimalsystem dann also immer irgendwie sowas wie Kilo und Mega,
mega verbänden für 1000 und Millionen,
dass man dort dann eben so was wie 1024,
also 2 hoch 10, beispielsweise dann eben als Faktor mit ansetzt.
Das führt dann nämlich also auch zu dem,
dass das also gleich nochmal was dazu sagen,
häufig also auch immer so ein bisschen verwischt wird, weil man dann,
wenn man das jetzt nicht wirklich genau und sauber bezeichnet,
Naja, also ob ich das nun mal tausend,
noch mal 1024 rechne, zumindest also irgendwie so ab Milliarden,
macht man das dann also irgendwie dann,
also auch so ein bisschen so,
dass das teilweise ein bisschen ungenau ist.
Gut, aber jetzt noch mal zu den eigentlichen Prefixen oder es wäre Art und Weise,
welche es gibt im Dezima-System, hat man nach oben hin,
also was jetzt heutzutage eher weniger verbreitet ist,
dann also noch irgendwie so wie 10 und 100, nämlich DK und Hecto.
Ansonsten, die werden dann immer auch mal mit dadurch lassen sie
sich dann nämlich auch unterscheiden. Großbuchstaben beschrieben dann Kilo,
mega Giga, Terrapeta, Exa und so weiter,
was dann eben 10, noch 3,
10 oder 6, 10 und 19, noch 12,
das heißt dann immer diese Abstufung um den Faktor 1000,
die sich dann immer von einer zur nächsten Stufe dann eben entsprechend das Ganze ändert.
Und das Ganze gibt es dann eben auch natürlich in Nachkommastellen,
Dezi und Senti als Zehntel und Hundertste, Mili, Mikro,
Nano, Pico, Phanto, Ado und so weiter,
wo ich dann eben auch entsprechend dann hier 10 und minus 13 und minus sechs,
10 und minus 9 als Wichtungsfaktoren habe.
Gut, für Gas, Dualsystem gibt es sowas dann eben auch,
wo ich dann mit 2 hoch 10 für Kilo Binary rechne,
als kurzsprachweise redet man dann immer auch von Key,
wie Also die DNA ist der BB für Binary,
bleibt dann eben immer entsprechend gleich.
Mebi, Mega Binary, das wären dann eben 2 hoch
20. Gigabinary 2 hoch 30, Terra Binery 2 hoch 40.
Und als Symbol hat man dann eben den entsprechenden Wert jetzt eigentlich,
den man also sonst, also im Dezimalsystem hakt,
dann aber noch mit nie dahinter,
was dann eben für dieses Binary entsprechend als KI dann steht,
nicht dem zur Frage, hätte ich dann eben Ein Kibi-Bit 1024-Bit oder ein Kilobit,
was dann tausend Bits sind.
Und Mebi-Bit, Mega-Binary wäre dann eben 1048,
an einer Million 48.506 70-Bit, nämlich 1024, mal
1024. Diebi-Bit wäre, das kann es dann eben wieder
mal 1.024 und so weiter.
Ja, das sind also dann die Einheiten,
wie sie im Dualsystem
mit drin sind
Wenn man so in die Literatur,
in irgendwelche Datenblättern irgendwas reinguckt, dann sieht man also,
dass da teilweise diese Sachen doch immer gern mal so ein bisschen miteinander vermischt werden.
Ich habe also auch mal versucht, dass also jetzt hier
in meiner Vorlesung oder in Unterlagen, also einigermaßen konsistent zu erhalten.
Falls es mir jetzt doch mal irgendwo durchgerutscht ist und ich
dann also irgendwie mit GB Giga stehen habe,
aber eigentlich die meine Würde man das entschuldigen,
weil das ist also eine der Fehler oder der Sachen,
die man also relativ häufig findet.
Ich typischerweise, wenn man so ein Datenblätter guckt,
dann findet man also irgendwie sowas wie ein Speicherriegel oder Speicherbordstein von Hauptspeicher,
also was das ist, kommt alles noch, keine Angst.
Da stehe ich dann also irgendwie als Größe irgendwie 4GB.
Damit sind aber jetzt eigentlich nicht Giga-Byte,
sondern eigentlich eher die Bebyte gemeint, also müsste eigentlich gehe eBay sein,
weil das dann nämlich nicht 4 mal 2 oder dann eben eigentlich 4 mal 2 hoch 30 bald,
also sprich 2 hoch 32 Bytes sind.
Wenn ich jetzt 32 GB habe,
dann sind dann damit dann eben auch entsprechend 2 auf 35 byt,
also 32 mal 2 hoch 30 gemeint.
Das heißt, hier müsste dann eigentlich jeweils noch ein I dahinter stehen.
Bei anderen Sachen, also zum Beispiel irgendwie so Festplatten,
da steht dann also irgendwie so zwei Terabyte,
da bezieht man sich dann oft doch wieder irgendwie auf 10er Potenzen, hätte dann also jetzt nicht zwei hoch, ähm... Thank Valencio Terra wäre ja dann also entsprechend 40,
DB, nicht also entsprechend zweimal 2.40 Uhr,
sondern da hat man dann eben zweimal 10 hoch 12,
so war es, weil,
also bei den Festplatten beispielsweise ist dann sowieso so,
ist dadurch, dass ich also auf solchen Speichermedien Festplatten,
Solid's Date Disco und so weiter,
da natürlich noch irgendwelche interne Verwaltungsinformationen für das Dateisystem habe,
je nachdem, welche Dateisysteme man da jetzt darauf angelegt hat,
das, was man dann hinterher als Benutzer sieht,
jetzt für reicher Kapazität in seinem Rechner dann sowieso eigentlich von dem ja abweichen oder nur weiß,
das sollte irgendwo in dieser Größenordnung liegen,
jetzt von der Zweitherrarbeit, Festplatte, nicht,
das wird dann immer mit 1,9 irgendwas und so weiter dann angegeben,
weil man sich das ansehen lässt, nicht,
und Tal geht dann eben Förstertalsystem verloren und da ist dann dieser Unterschied,
ob ich das jetzt mal 1000 oder mal 1024 rechne,
sowieso irrerelevant,
weil das da dann so ein bisschen mit rausfällt.
Ja, also das jetzt hier nochmal
zu den Prefixen
Und dann werde ich jetzt abschließen in diesem ersten Teil nochmal was zur Festkommadarstellung sagen. Das heißt,
wie sieht das jetzt also mit gebrochen, in Zahlen aus,
hatte ich ja eingangs, als ich das Stellenwertsystem vorgestellt hatte,
ja auch schon gesagt, wo man eben sagt,
im allgemeinen Fall habe ich jetzt eben nicht nur Vorkommastellen,
sondern eben auch irgendwelche Nachkommastellen.
Und auch das lässt sich hier natürlich in diesen allgemeinen Fall jetzt ohne Stellenwertsystems dann mit reinbringen,
wo ich jetzt eben sagen kann, ich habe hier auf der einen Seite meine Vorkommastellen Und bei den Nachkommastellen würde ich dann eben von,
je nachdem, wie viele das jetzt eben sein mögen,
hier ist man mit unendlich genannt, könnte aber,
oder typischerweise wird man sich da natürlich dann also auch irgendwie auf so und so viele Nachkommastellen noch irgendwie mit einigen dann eben bis minus eins,
die dann eben mit Wichtungsfaktor dann eben auch A,
I mal Beo, I sind,
die ich dann aber eben hier entsprechend jetzt meine zehnte,
hundertste, tausendste und so weiter im Dezimalsystem hätte,
im Dualsystem, dann eben mal zwei hoch minus eins,
mal zwei hoch minus zwei und so weiter,
je nachdem,
wie ich da mit meinem Nachkommastellen bin
So, ich das will erst mal vor Nachkomma stellen.
Hier habe ich dann eben einen ganz zahligen Anteil,
dann eben hier die Nachkommastellen, was dann eben quasi jetzt dieser gebrochene Anteil ist.
So, wenn ich mir das jetzt ansehe, wie sieht das im Dualsystem aus?
Da habe ich jetzt hier auch noch mal wieder die Potenztabelle dazu aufgeschrieben,
zwar minus eins, wäre dann 0,5, 2,
minus 2, 0,25, 2, minus 3,
0,1, 2, 5 und so weiter.
Da sieht man eben schon,
das wird dann also hier auch in dieser DC-Malschrat war,
sondern also irgendwie entsprechend sehr, oder fängt das an,
dann ein bisschen unübersichtlich zu werden.
Und war es jetzt also bei diesen gebrochenen Nationalzahlen dann eben auch noch mit auftaucht,
ist, dass man dann eben auch sieht,
dass im Prinzip Dualbrüche, Imdizimalsystem immer exakt darstellbar sind.
Das heißt, ich habe eine endliche Wortlänge. Umgekehrt gilt das aber nicht. Das heißt,
wenn ich jetzt also irgendwie eine Dezimalzahl habe mit Nachkommastellen kann es sein,
dass das dann in Dualdarstellung dann eben eine unendlich lange Zahl wird.
Das heißt, da habe ich dann eben sowas wie Schreibweisen,
wo ich dann also typischerweise in der Mathematik dann,
also anfange da jetzt, also irgendwelche Perioden mit reinzubringen,
wo ich dann sagen kann,
also ab hier wiederholen sich die Stellen und das Ganze dann eben unendlich oft.
Ja, hier, das passende Beispiel dazu,
also hier eben nochmal Gebrochene zahlen können,
eben abhängig von der Basis gegebenenfalls nur als unendlich pariblische Brüche
dargestellt werden und sehr Selbst bei einfachen, trivialen,
dezimalbräuchen habe ich das im Dualsystem.
Dazu hier das Ganze jetzt mal für die Zahlen von 0,1 bis 0,9.
Hier im Dezimalsystem, im Dualsystem sieht man also die 0,5,
kann ich noch als null Komma 1 Dual darstellen.
Alle anderen, also zum Beispiel 0,4 wäre dann 0,0110. Und
dann eben hier dieser Periodenstrich. Das heißt,
dann würde ich es dann hier wieder mit 0110 dranhängen das Ganze entsprechend unendlich lang weitermachen.
Sowas wie 0,1 wäre dann eben 0,0 und dann 0,0111.
Und die wiederholen sich dann periodisch. Das heißt,
hier wird es dann eben auch wieder mit 0,01 weitergehen.
Ich auf der anderen Seite habe ich jetzt hier irgendwie mit drei Nachkommastellen,
also jetzt hier sieben unterschiedliche Dualzahlen und wenn ich die jetzt
in Dezimal-Darsteller hätte ich dann eben hier mit 0,001,
das wäre dann eben 0,125, 0,255 0,375 0,5 und so weiter.
Da sieht man also in die eine Richtung,
hier habe ich jetzt also hier mal entsprechend endliche Darstellungen hier
in diese andere Richtung, kann es eben sein,
dass ich da jetzt unendlich lange Darstellungen herausbekomme.
Ja, auch hier jetzt wieder die Frage,
wie kann ich Werte ineinander umwandeln. Und zwar in diesem
Fall interessiert uns jetzt also erstmal nur dezimal nach Dual.
Umgekehrt würde ich das dann eben auch entsprechend jetzt wieder durch
die üblichen Verfahren-Potenztabelle und entsprechende Traditionen machen können.
Ja, jetzt für die Umrechnung dezimal nach Dual.
Ein Verfahren wäre dann eben
die Potenztabelle
Habe ich jetzt hier aufgeschrieben, es war auch minus eins
bis zwei Uhr minus zwölf. Wie viel man sieht,
wären das jetzt hier also auch schon etwas länglichere Zahlen,
die man dann also auch nicht mehr so einfach im Kopf irgendwo von abziehen kann oder hinzuaddiert.
So, wir haben jetzt also aus Aufgabenstellung, die zimal 0,3,
das hatten wir hier schon mal, dass wir also irgendwie sowas,
was ich also hier auch periodisch unendlich lange wiederholt, soll jetzt in Dual umgerechnet werden.
Da könnte ich jetzt natürlich sagen, ich nehme die 0,3,
ziehe jetzt hier einfach aus dieser Potenztabelle das ab,
was sich dann maximal davon abziehen kann, wer also 0,25,
also 2 hoch minus 2, wenn ich das abziehe,
bleibt dann als Rest 0,05 übrig.
Das, was ihr als nächstes davon abziehen kann,
wäre dann 2 hoch minus 5. Das ist dieses hier,
nicht dem zuvor, hätte ich dann hier 0, 1,00,
dann hier wieder die 1 von der 2 und minus 5. Jetzt müsste ich also rechnen,
0,05 minus 0,003 1, 2, 5,
das,
was ich dann als Rest erhalte,
dann müsste ich jetzt
eben hier wieder den entsprechenden Teil raussuchen und voneinander abziehen
So wie man sieht, ist das jetzt also schon nicht
mehr ganz so einfach, eine ganze trivial zu machen.
Deswegen ist hier so ein Verfahren mit Potenz,
da werden dann also auch nur bedingt gut einsetzbar. Das,
was ich hier immer noch empfehle und wie gesagt,
wenn sowas drankommen sollte,
dann kann man das auch gerne dann so machen,
ist,
dass die Visionsrestverfahren,
weil das funktioniert bei der Umsetzung von Dezimalbruch nach Dual
Sehr gut und sehr einfach. Und zwar mache ich das dort dann so,
dass ich waren den Vorkommastellen ja also im Prinzip immer durch zwei geteilt habe,
mit dem Ergebnis weitergerechnet habe und geguckt habe,
was ist der Teil der Rest,
der ist entweder 0 oder 1 und das habe ich aufgeschrieben und das waren dann die Stellen meiner Dualzahl.
Bei denen hier macht man im Prinzip genau das Gleiche,
nur weil ich jetzt im Nachkomma-Bereich bin oder das jetzt anders mache,
da wird dann nicht dividiert,
sondern mit zwei multipliziert
Das heißt, man nennt den Nezimalbruch immer mit zweimal.
Wenn das Resultat kleiner als eins ist, dann wird quasi die Vorkommastelle,
in diesem Fall dann nämlich eine Null an den Dualbruch angefügt.
Wenn das größer gleich eins ist, dann wird die eins
an den Dualbruch angefügt und diese eins vor dem Komma wird gestrichen.
Das heißt also, mathematisch gesehen rechne ich minus 1,0. So,
und wenn das Ergebnis nachher 1,0 ist,
also sprich nachher nach dem Streichen,
ich als Ergebnis eine Null erhalte,
dann bin ich am Ende
Ansonsten, wenn dieser Rest, der hier als Resultat berechnet wird,
sich irgendwann wiederholt, dann habe ich sehr einfach festgestellt,
an der Stelle, ich habe eine Periode.
Hier als Beispiel, wir haben jetzt also eine einfache Dezimalzahl,
0,5,9, 3,7,5. Und ich möchte jetzt wissen,
wie sieht diese Zahl in der entsprechenden Dualdarstellung aus?
Dazu würde ich jetzt also an dieser Stelle das Ganze Mal zwei rechnen.
Er halte 1,1875. Diese Eins, die Vorkommastelle,
schreibe ich mir auf und ziehe die 1,0 ab.
Das heißt, die wird gestrichen und rechne mit 0,1875 weiter.
Mal zwei, ist 0,375, die Vorkommastelle,
die Null wird eben hier wieder aufgeschrieben.
Mit 0,375 wird weitergerechnet. Mal zwei ist 0,75,
hier die Null. Das Ganze dann wieder mal zwei ist
Diese A1 wird dann dementsprechend aufgeschrieben,
abgezogen mit 0,5 rechne ich weiter, mal 2 ist 1,0,
das ist dann hier die 1 und wer als Nachkommateil habe ich dann
eben nur noch null über und bin dann an und der Stelle fertig und hier wird dann eben von der ersten,
dann eben bis zu dieser letzten Stelle hin das Ganze geschrieben,
das heißt also diese Zahlen 0 Komma 5, 9,
3, 7, 5 im Dezima-System wäre dann 0,1 0011 im Dualsystem.
So ein,
das mit dieser Periode ergibt sich dann eben einfach dadurch,
dass ich jetzt sehe, wenn sich dieser Rest,
mit dem ich hier weiterrechne, irgendwann im Laufe dieser Berechnung wiederholt,
dann kann ich eben sagen,
ab der Stelle ist dann quasi diese Periode zu Ende,
beziehungsweise ab da habe ich dann eben die Periode und würde dann eben diesen Teil entsprechend da haben.
Gut, das werden wir dann, denken wir auch nochmal irgendwelchen Übungsaufgaben kennenlernen,
wie dann eben so eine gebrochene rationale Dezimalzahl dann eben in
eine Dualzahl umgerechnet werden kann. Ja,
an dieser Stelle werde ich jetzt mit diesem ersten Teil hier
Schluss machen und dann im zweiten Teil des dritten Kapitels mit der Darstellung negativer Zahlen weitermachen,
beziehungsweise dann eben zu halblockerythmischen Darstellungen kommen,
wie man sie dann eben typischerweise bei wissenschaftlichen Schreibweisen hat,
was wir also auch im Dezimalsystem ja dann typischerweise für sehr große oder sehr kleine Zahlen benutzen,
folgt dann in dem zweiten Teil hier.
Ja,
bis dahin,
denn tschüss