So, da bin ich wieder. Ich möchte Ihnen jetzt noch
den Satz 3,15 beweisen, den ich letztes Mal formuliert habe.
Hier habe ich noch mal die gesamte Formulierung aufgeschrieben. Also,
das ist der Satz 3,15 auf Seite 18 im Skript ist der Beweis.
Ich sage noch mal kurz, worum es geht.
A ist die affine Ebene AG 2K. P ist die projektive Ebene PG 2K.
In den ersten beiden Beweisteilen wollen wir A in P einbetten.
Das heißt, ich habe hier eine injektive Abbildung angegeben,
die die Koliniarität in beiden Richtungen überträgt.
Die Abbildung heißt Yota und wird definiert durch einen Punkt von A,
also A gleich Garhoch 2, A1 A2,
der wird abgebildet auf den Eindimensionalen unter Vektorraum 1 A1 A2 von K.
Und von dem der Abbildung waren wir zeigen,
sie ist injektiv und erfüllt diese Kollinaritätstreue hier,
wenn eine Abbildung, eines, diese beiden Eigenschaften erfüllt,
nennen wir sie, jetzt in diesem Kontext immer eine Einbettung.
Und im dritten Schritt wollen wir noch zeigen,
dass sich das Yota fortsetzen lässt,
das erkläre ich dann, wenn wir dazu kommen,
zu einem Yota Schlange was dann nicht nur von A ausgeht,
sondern vom projektiven Abschluss von A, indem wir die Fernpunkte noch abbilden,
dass wir dann tatsächlich eine Kollination, also ein Isomorphismus,
vom projektiven Abschluss von A nach P,
vielleicht PG-2K kriegen.
Also das ist der Hauptkern dieses ganzen Satzes,
der projektive Abschluss von AG-2K ist Isomorph zu PG-2K. So,
ich starte aber mit 1 und 2 und sage schon mal vorab,
ich werde diesen Beweis nicht vollständig führen, sondern lasse einiges weg.
Manches mache ich vielleicht auch ein klein bisschen anders als im Skript.
Ich bitte Sie also darum,
alles selber nochmal nachzulesen und gegebenenfalls mich zu fragen,
wenn irgendwelche Sachen unklar sind
Hier haben wir dieses Yota nochmal und ich möchte jetzt als erstes zeigen,
Jutta ist inektiv. Und um das zu beweisen,
führe ich oder in diesem Zuge führe ich auch nochmal eine
Schreibweise ein, die im Skript hier jetzt auch vorkommt.
Also ich bin bei Teil 1 und führe die Schreibweise ein.
Ich schreibe Jutta nochmal hin, A1, A2,
den nenne ich jetzt in diesem Kontext A.
Das ist also ein Vektor aus dem Khoch 2.
Den bilde ich ab auf Jutta von A natürlich.
Und das hatten wir ja eben gesehen, das ist 1,
A1, A2K. Und diesen Vektor 1, A1,
A2, den nenne ich jetzt und wird im Skript genannt A-Strich
Analog, dann B, Strich C, Strich X-Strich.
Also A, sprich K, ist hier das Bild.
Also diese Strichschreibweise wollte ich hier noch mal kurz einführen und sei jetzt,
wir wollen zeigen, Jotas Injektiv sei Jota von A,
gleich Jota von B, das heißt also nach Definition,
A, Strich, K, ist gleich B-Strich,
K, also das Jota definiert war.
Diese zwei eindimensionalen Untervektorräume sind identisch, das heißt,
die beiden Vektoren unterscheiden sich nur um einen Skalar,
A, Strich ist gleich B,
Strich Lander für ein Lamda aus Karstern,
also aus K.O. oder Null.
Und das nächste ist jetzt entscheidend,
das steht im Skript vielleicht nicht mehr so ausführlich drin.
Wir gucken noch mal, was das jetzt für die konkreten A-Strich-B-Strich bedeutet.
Eins A-1-A-2 ist, wie, Strich mal Lamda,
also Lamda, mal einmal Lamda, B-1-mal Lamda und B-2-mal Lamda.
Und sozusagen hier ist jetzt ganz entscheidend,
dass hier oben die Eins steht und deshalb hier oben Lamda steht.
Und daraus schließen wir dann schon,
dass Lamda gleich Eins sein muss
Und daraus schließen wir wiederum, dass auch die unteren Teile
hier identisch sind, dass also A gleich B ist.
Und das ist das, was wir haben wollten für Injektivität.
Also ganz entscheidend hier, dass die obere Koordinate bei Wein 1 ist.
Bei diesen gestrichenen Vektoren. Zweiter Schritt oder zweite Behauptung,
wenn A, B, C in A koordinar sind,
dann sind auch die Yota-Bilder in P-Kolinär und umgekehrt.
Ich zeige Ihnen jetzt hier nur die Einrichtung,
um nochmal zu zeigen, dass es auch hier ganz entscheidend
auf diese Sache mit der 1 oben drauf ankommt.
Die Rückrichtung führe ich nicht vor,
die gucken Sie sich bitte selber an
Also seien A, B, C aus A,
gleich Karkquadrat, koordinär in der affinen Ebene A.
Und wie wir früher ganz oft schon gesagt haben,
OBDA, seien sie alle drei verschieden, also paarweise verschieden.
Wenn sie irgendwie gleich sind, dann ist Koordinarität trivial.
Und dann können wir also sagen, dass zum Beispiel C
auf der eindeutigen Verbindungsgrade von A und B liegt,
also C die Gestaltert A plus b-a.
Malanda für ein Lamda aus Kar. Und jetzt kommt der
entscheidende Punkt. Wir schreiben das um und das machen wir
so, damit wir wieder mit der Eins argumentieren können.
Mit der Eins in der obersten Koordinate schreiben wir dies einmal kurz
um zu A mal 1 minus Lamda plus Bema Lamda.
Und das ist jetzt dann nämlich dasselbe oder nicht,
das ist, Entschuldigung, das ist nicht dasselbe,
sondern daraus kann ich jetzt schließen.
Wenn ich jetzt C-Strich bilde, Also eins, C-1,
C-2, dann ist das A-Strich 1 minus Lander, plus B- Lander.
Und das gilt tatsächlich sozusagen nach dieser Zeile. Hier gilt
das für die zweite und dritte Koordinate von A-Strich B-Strich,
aber eben auch für die erste Koordinate,
weil 1 minus Lander plus Lamnder gleich 1 ist.
Das ist hier sozusagen der Knackpunkt,
dass das auch für die erste Koordinate der gestrichenen Vektoren geht.
Und damit das schön leicht einzusehen ist,
haben wir hier diese von hier nachher
diese Umschreibung vorgenommen
Und was heißt das jetzt? Warum sind wir damit fertig? Damit sind wir fertig,
weil jetzt Jutta von C, wir gucken ja jetzt an,
sind die Jutta-Bilder in der projektiven Ebene, Collinea,
Jotta von C ist C-Strich-K,
bei C-Strich-Linear-Kombination von A-Strich- und B-Strich ist,
ist das also ein Untervektorraum von A-Strich-K plus B-Strich-K,
das ist die eindeutige Verbindungsgrade,
von Yota von A und Yota von B Und damit sind Yota von C. Yota von A. und Yota von B. in der projektiven Ebene coordinär.
Also ich schalke nochmal hin in P. Damit ist diese Richtung gezeigt,
wenn ABC-Colinär in A sind, sind die Yota-Bilder coordinär in P.
Die Umkehrung, wie gesagt, gucken Sie sich bitte selber an.
Und wir kommen jetzt zu Punkt 3, Aussage 3. Beweis
von Aussage 3. Wir gucken uns hier noch einmal kurz an, die Aussage.
Also die ist jetzt definiert als Abbildung des Yota-Schlange auf P-Schlange,
also auf der Punktmenge des projektiven Abschlusses,
der projektive Abschluss hat als Punktmenge, erstens die Punkte von A,
da haben wir es hier definiert, für die Punkte von A,
es ist einfach gleich Jota,
es soll ja eine Fortsetzung von Jota werden und alle anderen Punkte des positiven Abschlusses sind die Fernpunkte,
die haben alle die Gestalt BK, das sind die,
das ist die Parallelklasse von der Grade BK.
Und alle diese Fernpunkte werden auf die Punkte 0 B1 B2
K abgebildet. Die vorher noch nicht im Bild waren,
weil vorher ja immer erste Koordinate 1 war
So, das heißt, wir haben also Yota Schlange jetzt
definiert für die gesamte Punktmenge P-Schlange. Und die Bilder sind
auch alle in P, also Punkte der projektiven Ebene P.
Und wir wollen jetzt zeigen, das ist ein Isomorphismus.
Wir müssen also zeigen, dieses Yota Schlange ist injektiv,
sujektiv und eine Koordination, bildet geraden auf Graden ab.
Die drei Sachen möchte ich gern zeigen. Yota Schlange injektiv
. Das harte ich einfach ab. Das sage ich kurz
mündlich. Im Skript wird es ein bisschen ausführlicher gemacht.
Wir müssen ja wieder zeigen, wenn zwei Punkte Das gleiche
Yota-Schlangebild haben, dann sind die beiden Punkte identisch.
Für Punkte von A haben wir das eben schon gezeigt,
weil Jutta Schlange dann dasselbe ist wie Yota. Denn der eine Punkt,
ein Punkt von A und der andere ein Fernpunkt ist,
dann hat der Fernpunkt als Bild hier einen Untervektorraum,
der als erste Koordinate null hat,
während bei dem anderen eben auch Elemente mit erster Koordinate 1 vorkommen.
Also die Bilder können nicht identisch sein. Und wenn wir zwei Fernputz,
zwei Bilder von zwei Fernpunkten haben, Wenn null B1,
B2K, gleich null C1, C2K,
ist, dann sind auch B und C linear abhängig.
Und das heißt, wir haben dieselben Urbilder gehabt.
Also Injektivität ist leicht einzusehen. Jota Schlange ist sujektiv.
Das ist jetzt vielleicht ein bisschen interessanter. Das schreibe ich hier auf,
sei also ein beliebiger Punkt der projektiven Ebene Pi gegeben.
Den nenne ich jetzt AK, ab sofort in diesem Freibeweis
ist A jetzt ein Dreier-Vektor.
A 0 A1 A2 kann A im Ungleich dem null Vektor,
ein Punkt der projektiven Ebene und gesucht ist ein Urbild
Von dem wir dann schon noch wegen Injektivität wissen, ist es eindeutig.
Aber überhaupt, irgendein Urbild müssen wir finden.
Und dann machen wir eine Fallunterscheidung. Fall 1,
wenn A0 gleich null ist, dann haben wir hier 0 A1 A2.
Und nach dem, was ich eben gerade gesagt habe,
oder nach der Definition von Jutta Schlange,
ist das das Yota-Schlangebild,
der Parallelklasse,
A1 A2
Genau, und A1 oder 2 ist nicht der Null-Vektor,
weil dieser gesamte Vektor ja nicht der Null-Vektor ist.
Damit haben wir also ein Urbild gefunden. Jetzt kommt Fall 2,
A0, Ungleichnull. Jetzt machen wir eine ganz typische,
auch in Zukunft immer wieder vorkommende kleine Umrechnung.
Ich sag mal vorab, sozusagen, wir möchten gern zeigen,
dass wir OBDA von A0 gleich 1 ausgehen können,
weil wir dann das Urbild kennen.
Und das rechnen wir mal eben durch. Dann ist,
wenn A0 ungleich null ist, dann ist unser AK,
was ja A0 A1, A2, K ist.
Da können wir ja jetzt diesen Vektor durch irgendeinen von rechts
mit einem Skalarungleich null multipliziertes Vielfaches ersetzen.
Das spannt denselben Untervektorraum auf. Und als Skalar nehmen wir A 0 hoch minus
1. Also hier von rechts am nullbuch minus 1 war multiplizieren.
Und das ist möglich, weil A null nicht die Zahl null ist.
Können wir also unten inverses angeben. Hier kommt dann eins
raus. Hier kommt A1, A 0 hoch minus 1,
A2, A 0. Hoch minus 1, K.
Das ist jetzt von der Gestalt
oberste Koordinate
Und das ist also das Jutta-Bild oder Jutta-Schlangebild von A1a0
hoch minus 1 A2 A0 hoch minus 1.
Ein affiner Punkt. Und dessen Uhrbild. Das ist das Urbild
. Dieser affine Punkt ist das Urbild von unserem AK.
Und in beiden Fällen weitere Fälle gibt es nicht.
In beiden Fällen sind wir fertig. Wir haben also die
Sujektivität gezeigt. Was noch fehlt, ist die Kulinaritätseigenschaft.
Also ich möchte jetzt zeigen, bleibt zu zeigen
Jutta Schlange bildet geraden auf Garden ab.
Das ist ja das, was wir immer gezeigt haben.
Aufgeraten. Genauer. Sei geh eine Garde aus Geschlange,
also aus dem projektiven Abschluss. Von daher geht ja unser,
soll ja unser Isomofismus losgehen,
zeige Jutta Schlange von G ist die Menge Jetzt muss ich es streng genommen,
das mache ich jetzt hier mal kurz, etwas komplizierter formulieren,
weil Jutta Schlange von G wird keine Grade sein in der pojektiven Ebene,
weil die Graden da keine Teilmengen der Punktmenge sind.
Deshalb schreibe ich es jetzt hier so, ist die Menge
aller mit einer geeigneten Geraden von Pi, Inzidentenpunkte von Pi.
Also zu dieser Grade G gibt es eine Grade der projektiven Ebene Pi,
sodass die Menge aller Bilder der Punkte von G,
gleich der Menge aller mit dieser geraden Inzidentenpunkte ist.
Und das führe ich jetzt auch nur zum Teil durch,
aber ich gebe mir Mühe, das hier noch zu schaffen,
damit das Video nicht zu lang wird.
Also wir haben zwei Typen von Graben.
Im projektiven Abschluss, nämlich die Ferngrade und die anderen.
Wir fangen mal mit der Ferngrade an.
Erster Fall, die Grade G ist die Ferngrade.
F gleich ferngrade. Und die Ferngrade war ja die Menge
aller dieser BK
B in Kahoch 2 ohne Null. So,
die bilden wir jetzt ab, nach unserer Definition von Jota Schlange,
ist das die Menge aller Jota Schlange von allen diesen,
also aller Null B1, Speed 2, K mit B,
gleich B1, Speed 2, in K, Ohnen,
Rahoch 2 ohne Null und zu zeigen ist,
dass es genau die Menge aller mit einer geeigneten Graden von P-Inzidentenpunkte,
das sind alles Punkte natürlich der projektiven Ebene und das ist die Menge aller Punkte,
ich nenne sie CK, der projektiven Ebene, für die gilt,
CK ist Inzident, ist also kleiner gleich, der Graben,
die nenne ich F-Strich, das ist das Bild der Ferngrade sozusagen,
die neue Ferngrade in Pi jetzt, das ist,
sehen wir hier, das sind genau alle,
die die erste Koordinate null haben, das heißt,
als F-Strich sollte ich wählen, 010K plus 001K,
so könnte ich es hinschreiben,
das ist ein zweidimensionaler Untervektorraum, also eine Grade,
aus G habe ich sie genannt.
So, damit ist dieser Fall erledigt.
Das ist auch der einfache Fall.
Zweiter Fall
Geh ungleich, FG ist keine Ferngrade. Dann schreibe ich
das so, wie das im Skript geschrieben wird.
Geh ist dann. Sie hat einen affinen Teil und einen Fernpunkt
. Den affinen Teil schreibe ich jetzt mal A plus B-A-K.
Also ist die Verbindungsgrade der Punkte A und B. Und ich
habe noch den Fernpunkt, dass es hier, natürlich,
wie wir hier sehen, B-A, mal K in eckigen Klammern.
Das ist der Fernpunkt. So können wir die gerade geschreiben
. Und was ist dann Jota Schlange von G
Guter Schlange von G,
das ist die Menge aller Bilder von allen Punkten hier,
also von allen A plus B-armer Lamda,
das haben wir oben schon ausgerechnet,
das sind alle A-Strich-1-Lamda plus B-Lamda, mal K,
diese Punkte, das hatten wir vorhin gerade ausgerechnet,
wo Lamda in K läuft.
Und der Fernpunkt,
der wird abgebildet auf B-Strich-A-Strich-Marka
So, und das ist jetzt tatsächlich, gucken wir,
ob wir auch, so wie hier,
für alle diese Punkte, diese und diesen,
eine gemeinsame Grade, die ich dann G-Strich nennen würde,
finden, sodass sie alle Untervektorräume dieses G-Strich sind, CK,
aus P, mit CK, ist Untervektorraum von G-Strich, gleich A-Strich-K plus B-Strich-K.
Dieses ist Linearkombination von A-Strich und B-Strich und dieses auch,
das heißt, diese Inklusion ist klar, Und diese Inklusion,
die andere, da muss ich auf Skript verweisen,
das schaffe ich jetzt nicht mehr, schauen Sie sich das bitte an,
da ist also noch eine kleine Sache zu zeigen.
Und damit ist dann aber die Behauptung,
die wir jetzt zeigen wollten, gezeigt für jede gerade,
die Ferngrade und für jede andere,
gibt es eine Grade der projektiven Ebene, F-Strich bzw. G-Strich,
sodass eben die mit G-Inzidenten Punkte genau auf die Mit-G-Strich-Inzidentenpunkte abgewählt werden bzw. hier oben mit F-Strich.
Ja, damit danke ich für die Aufmerksamkeit und wenn Sie
Fragen dazu haben, melden Sie sich bitte gerne,
dann können wir die Fragen gerne im Detail besprechen