Herzlich willkommen zu diesem Video. Es geht jetzt weiter um
die projektive Ebene über einem Körper und die affine Ebene über einem Körper.
Und die Fragestellung ist, wie hängen diese beiden zusammen?
Die sollten doch wohl zusammenhängen. Das Ziel ist zu zeigen,
dass wenn wir die affine Ebene über K projektiv abschließen,
dass dann diese projektive Ebene tatsächlich zur projektiven Ebene PG2K Isomorph ist.
Und das ist der Satz 3,15 auf Seite 17
unten im Skript, Seite 17 oben wird relativ ausführlich
die Idee geschildert
Ich möchte das hier nur an einer Skizze machen und nicht alles hinschreiben.
Also können Sie sich bitte die obere Hälfte,
die oberen zwei Drittel der Seite 17 entsprechend nochmal durchlesen.
Die Idee ist folgende, wenn wir das zeigen wollen,
dass wir die Punkte der affinen Ebene,
also die Elemente vom K hoch 2, einbetten,
wie man dann sagt, in die projektive Ebene,
also injektiv abbildet,
in die Punktmenge der projektiven Ebene,
sodass sich diese injektive Abbildung dann schließlich zu einer,
zu einem Isomafismus
hier fortsetzen lässt
Und der erste Schritt der Idee ist, diese Ebene eh.
Ich habe jetzt hier das Koordinatensystem 3 Dimensionat X,
Y, Z-Koordinaten hier mal so angedeutet. Zu sagen,
mein Bild ist jetzt im K hoch 3,
weil das der zugrunde liegende Vektorraum von PG 2K ist.
AG 2K hat ja aber als Punkte jetzt K
hoch 2, also eigentlich X und Y-Koordinate.
Und ich nehme jetzt aber stattdessen die Ebene eh. Ich habe hier,
das ist ein bisschen unpräzise, geschrieben,
eh ist Isomorph zu AG 2K. Korrekter wäre vielleicht eh,
ist Isomorph oder identifizierbar, mit K hoch 2,
mit der Punktmenge
Und E soll die Ebene sein im dreidimensionalen Koordinatensystem,
die durch die, mit der Z-Koordinate 1,
also parallel zur XY-Ebene, mit der Z-Koordinate 1. Also
die Ebene mit der Gleichung Z gleich 1 sozusagen.
Und das ist dann praktisch nur ein anderes Modell für unsere affine Ebene über K.
Das ist halt jetzt sämtliche Punkte als dritte Koordinate immer
die Eins haben. Also das A-Wege zum Beispiel A1 A21.
So würde ich
das schreiben
Sämtliche Punkte,
dieses Modells der affinen Ebene AG2K haben als dritte Koordinate
die 1. Und wenn ich eine gerade der affinen Ebene einzeichne,
dann ist das einfach eine gerade in der Ebene eh.
Und hier ist noch wichtig, dieser Richtungsweck, Tobi,
der liegt ja jetzt hier in der Ebene eh.
Der ist also parallel zu einem Vektor in der XY-Ebene.
Das heißt, B muss ich schreiben als B1, B20.
Der hat jetzt eben nicht dritte Koordinate 1,
weil er den Richtungsvektor beschreibt.
Und wenn ich auf der Graben hier um B weiterlaufe,
bin ich bei A plus
Und das ist dann wieder ein Vektor mit dritter Koordinate null.
Also so kommt das auch tatsächlich hin. Und jetzt schildere ich schon
die Einbettung. Also ich nehme mir meinen Punkt A,
das ist jetzt ein Punkt von diesem Modell von AG2K,
also ganz streng genommen starte ich mit einem Punkt A1 A2 in K hoch 2,
also der Punktmenge hier.
Den identifiziere ich mit dem Punkt, den ich dann A nenne,
A1 A2 1. Das ist der Punkt hier in meinem Bild.
Und den ruhig darum identifiziere ich jetzt mit einem Punkt hier,
nämlich mit dem Punkt A mal
Und was ist das hier in dem Bild?
Das sind alle Vielfachen per Vectors KA. Das heißt,
der eindimensionale Untervektorraum des KROK 3, der von A aufgespannt wird.
Die Verbindungsgrade. Es ist Amal K,
die Verbindungsgrade des Nullvektors mit A, also alle Vielfachen von A,
die durch Null laufende Grade des Dreidimensionalen Raums,
die den Richtungsvektor A hat, so könnte ich auch sagen.
Das ist auf jeden Fall ein Punkt hier,
weil das ist ein eindimensionaler Untervektorraum von K hoch
3. Und entsprechend der Punkt A plus BK,
A plus B würde dann auf A plus BK abgebildet werden.
Versuche ich hier auch noch mal einzuzeichnen. A plus BK.
Und alle Punkte auf G gehen auf entsprechende A plus B Lamdamaka.
Das heißt, wenn ich jetzt gesamt G abbilde,
lande ich immer in dieser Ebene hier,
die ich hier immer nur mal so andeute,
die also aufgespannt wird von AK und A
plus BK
Und warum ist das für uns wichtig? Das schreibe ich
hier unten noch mal hin, was wir jetzt haben.
Also wir haben hier, ach so,
ich muss es hier runterziehen, dann können Sie sehen,
ein Punkt habe ich abgebildet auf den Punkt AK der projektiven Ebene.
Eine gerade bilde ich jetzt ab, gehe A plus BK.
Sämtliche Punkte werden abgebildet, also die Punkte von G werden
alle abgebildet auf Ein-Dimensionale Untervektorräume von Strich, einer Ebene,
einem zweidimensionalen Untervektorraum, nämlich wie hier gesagt habe,
der Ebene, die von AK und Apus BK erzeugt wird.
Ich könnte auch schreiben, der Ebene gehe Strich gleich AK plus BK.
Das ist natürlich das Gleiche. Basis AB und Basis
A, A plus B erzeugen denselben zweidimensionalen Untervektorraum.
Und das ist eine gerade der projektiven Ebene. Piggy 2
K, ein zweidimensionaler Untervektorraum. Aber es kommen nicht alle eindimensionalen Unterräume von diesem Im Bild vor,
wenn ich diese Abbildung nehme, weil die Vektoren A,
hier in dieser Abbildung,
die haben ja immer dritte Koordinate 1. Es gibt hier aber auch,
also der Punkt, Beka von PG2K,
kommt nicht im Bild der Einbettung vor.
Wenn ich das hier oben mal die Einbettung nenne,
Dieses hier, dass wir die Einwettung,
weil ich da nur Vektoren habe, die dritte Koordinate 1 haben.
B hat aber dritte Koordinate 0. Das macht uns aber
nichts, denn das ist gerade gut.
Denn das BK wird jetzt zum Bild des Fernpunktes.
Wir wollen ja den projektiven Abschluss von A wiederfinden.
BK, ich schreibe mal ganz locker,
korrespondiert zum Bild des Fernpunkts von
Und das ist offensichtlich auch schon eine wohldefinierte Sache,
denn ein Fernpunkt soll ja parallele Graden so in denselben Fernpunkt kriegen.
Und das passt hier gerade. Wenn zwei Graden
den gleichen Richtungsvektor B haben oder das gleiche BK hier,
dann sind sie genau parallel. Also ich glaube,
damit habe ich jetzt das Ziel ungefähr, oder die Idee,
wie wir zum Ziel kommen, ungefähr beschrieben.
Die Idee ist sozusagen die Abbildung so wie hier zu machen.
Und den Fernpunkt dieser Graden oder der Parallelklasse von G,
den identifizieren wir mit BK
Und das passt dann auch anschaulich zumindest sinnvoll zusammen.
Und ich habe jetzt den Satz 3,15 hier schon vorformuliert,
den schauen wir uns mal an. Der gibt jetzt im Prinzip dies wieder,
die einzige Problematik oder was vielleicht ein bisschen unschön ist,
ist, dass dort jetzt nicht mehr die dritte Koordinate 1 gewählt wird,
dass es fürs Zeichnen besser,
weil das irgendwie unseren Sehgewohnheiten besser entspricht,
sondern die erste Koordinate, also die X-Koordinate.
Die X-Null-Koordinate werden wir das da nennen, X-0 X-1
X-2 werden unsere Lektoren ab sofort heißen.
Also die oberste Koordinate wird jetzt eins gesetzt
Das ist der einzige Unterschied zu dem, was in
der Idee, in der Schilderung der Idee eben vorkam.
Und hier ist schon der Satz 3,15 vollständig auf diesen Zettel
draufgeschrieben und wir gehen den einmal gemeinsam durch.
Ich möchte jetzt heute hier nur den Satz formulieren,
der Beweis kommt dann im nächsten Video. Also, gegeben,
ein Körper K, gegeben, die affine Ebene A,
über dem Körper AG2-Kauf, mit Punktmenge A,
also K.O. 2 und Geradenmenge, die nenne ich GA,
ist jetzt hier für den Satz,
für die Formulierung des Satzes noch nicht wichtig,
wird nachher im Beweis vorkommen
Und dann nehmen wir Pi, die projektive Ebene,
PG2K, mit Pumpmenge P und Gradenmenge G.
Und jetzt definieren wir schon die Abbildung,
die sozusagen der Abbildung von eben entspricht, so wie hier,
Entschuldigung, hier, A1A2 wird letztlich abgebildet auf A1A211 mal
K. Was war dir die Idee? Das machen wir hier
analog. Ein Punkt von A, also von Karuch 2,
hat die Gestalt A1A2 und den bilden wir jetzt ab eben auf 1A1A2K. Also wie eben gesagt,
die 1 kommt jetzt als oberste Koordinate.
Das machen wir jetzt mal, das ist eine wohl definierte
Die nennen wir kanonische Einbettung. Das ist die Einbettung,
die wir meistens nehmen werden, aber nicht immer,
was allgemeine Einbettung ist, sage ich Ihnen gleich.
Einbettung kennen Sie vielleicht aus anderen Kontexten der Mathematik,
hat auf jeden Fall die Eigenschaft, dass Sie injektiv ist.
Und das steht auch hier schon.
Erste Eigenschaft von diesem Jotta ist, Jotta ist injektiv.
Also die Punkte von A werden injektiv auf die Punkte von,
also in die Punktmenge von P abgebildet,
aber eben nicht sujektiv, wie sich nachher zeigen wird,
da genau die Fernpunkte sozusagen nachher noch fehlen.
Also die Punkte einergarten fehlen noch
Es wird sich zeigen. Zweitens, Jota hat so eine Art Eigenschaft
einer Koordination, bei einer Koordination fordern wir ja bjektiv.
Das fordern wir jetzt hier nicht, aber wir fordern trotzdem diese Koordinaritätserhaltungseigenschaft,
also drei Punkte aus A sind genau dann koordinar in A in der affinen Ebene,
wenn ihre Yota-Bilder koordinar in P sind, in der projektiven Ebene.
Und diese beiden Sachen 1 und 2 machen jetzt allgemein eine Abbildung Yota zur Einbettung.
Also wenn man jetzt nicht konkret dieses Yota hat,
sondern irgendeine Abbildung der Punktmenge einer affinen Ebene in die Punktmenge einer projektiven Ebene,
die injektiv ist und in diesem Sinne Koordinaritätstreu, dann sprechen wir von einer Einwettung.
Und diese konkrete Einbettung, wo a,
AG2K ist, PSP-G2K und genau diese Abbildung,
die nennen wir in dieser Vorlesung die kanonische Einbettung. So,
die beiden Sachen wollen wir zeigen und dann wollen wir eben drittens zeigen,
dass das gilt, was ich angedeutet habe,
dass nämlich das Ganze sich zu, dieses Jot,
das sich fortsetzen lässt zu einem Isomorphismus zwischen dem projektiven Abschluss von a, und der projektiven Ebene P.
Das ist die Aussage 3, SIP-Schlange der projektive Abschluss von A.
Die Punktmenge heißt jetzt P-Schlange, die geraden Menge Gehschlange. Und wir wollen jetzt Jota-Schlange definieren,
die Fortsetzung, der eine mögliche Fortsetzung,
die einzig sinnvolle, wie sich nachher zeigen wird,
von P-Schlange, also der Punktmenge des projektiven Abschlusses,
das sind ja die affinen Punkte, also A, die Menge,
Punktmenge A, plus wie fern gerade, die Menge der Fernpunkte,
vereinigt, also A vereinigt mit der Menge der Fernpunkte,
das ist P-Schlange.
Wollen wir jetzt abbilden nach P,
also in die Punktmenge der projektiven Ebene
Und zwar, wenn wir einen affinen Punkt haben,
ASA, dann sei Yota Schlange von A,
dasselbe wie Yota von A. Also definiert wie hier oben.
Einfach das A wird eingebettet, mittels der kanonischen Einbettung Yota.
Und es fehlen noch die Fernpunkte, die Fernpunkte haben diese Gestalt.
Das sind die Parallelklassen. Und die kann ich beschreiben als
Parallelklasse von BK. Also das ist der Repräsentant dieser Parallelklasse,
der durch den Nullpunkt geht. Die gerade 0 plus BK ist eine,
gerade aus der Parallelklasse BK, in eckigen Klammern.
Und die wird jetzt abgebildet und ich erinnere an die Idee,
die ich auf der anderen,
dem anderen Zettel ihnen eben gezeigt habe
Diese Paralleleklasse wird jetzt abgebildet auf den Punkt 0 B1 B2K und B
ist dabei natürlich hier ein Vektor und gleich 0, der Null,
der Richtungsvektor, der gerade mit aller Garden dieser Parallelschar.
Und das sind jetzt neue Punkte, die hier oben noch nicht vorkamen,
weil hier oben alle Bilder, die erste Koordinate 1 hatten.
Und hier kommen jetzt neue Punkte hinzu und es wird behauptet,
dieses Jota Schlange ist ein Isomophismus.
Also ist Bijektiv, woher war es injektiv?
Wenn wir dies hinzunehmen, das ist dann sogar sujektiv wird
Injektiv bleibt auch und sujektiv wird, müssen wir zeigen und ist
ein Isomafismus. Das heißt, für alle Punkte OSP-Schlange,
nicht nur für die Affinen, gilt diese Koliniaritätstreue.
Das ist das, was wir nächstes Mal dann zeigen wollen.
Genau, diesen Satz hier,
die Formulierung werde ich nächstes Mal nochmal wieder auflegen und dann
gehen wir an den Beweis dieses Satzes über die kanonische Einbettung.
Und für heute verabschiede ich mich und wir sehen uns beim
nächsten Mal