So, da bin ich wieder, ich mache weiter,
wir waren noch nicht fertig mit der Bemerkung, da ich 14,
ich erinnere noch mal, was wir bisher gemacht haben,
da geht es um die zu einer projektiven Ebene Pi,
gleich PG2K, duale projektive Ebene Pi-Dach, die wollen wir beschreiben.
Und wir hatten gezeigt schon, dass, oder ich hatte teilweise gesagt,
einiges wird in der Übung gezeigt, dass eine gerade eine Menge,
das G eine Gerade ist, genau dann,
mit anderen Worten, gehst ein Punkt der dualen Ebene,
genau dann Wenn ein Vektor A ungleich null existiert, sodass ich gehe,
als GA schreiben lässt und GA war der Kern der Linearform VIA,
das will ich nicht noch mal alles erinnern,
aber hier habe ich noch mal kurz zusammengeschrieben,
was das jetzt eigentlich ist.
Also GA könnten sie als diese Menge sich vorstellen,
oder es ist diese Menge, die Menge aller Viktoren X,
wo A, 1, X, 1 plus A,
2, X, 2 plus A, 3,
X, 3, gleich null ist.
Also wo A transponiert X gleich null ist und A transponiert
X, ist dann VIA von X.
Das Bild der Linearen Abbildung VIA von
Ich möchte an der Stelle noch mal sagen,
dass man sozusagen, wenn wir uns jetzt im Reellen bewegen,
also im klassischen dreidimensionalen reellen Vektorraum,
dann ist eine gerade ja ein zweidimensionaler Untervektorraum und den können wir beschreiben mit einem normalen Sektor.
Und dieses A wäre eben ein möglicher normalen Vektor,
weil hier ja letztendlich das Skalaprodukt steht und alles,
was auf A senkrecht ist, bildet diese gerade G.
Da möchte ich auch noch mal erinnern an die Aussage 1,
10,
3 aus dem ersten Kapitel
Wo das auch nochmal thematisiert wird. Für den Fall K
gleich eher. Da hatten wir damals auch so einen Inzidenzraum,
bei dem dieses hier die zentrale Rolle für die Inzidenz gespielt hat.
So, das wird auch ein Skript genannt, also 1,103,
das können Sie dann nochmal nachschlagen. Dann hatten wir,
wenn wir wissen,
jede gerade Graben sind genau die Mengen von der Gestalt GA,
dann können wir dieses GA bjektiv abbilden,
also die Menge aller Graden, so abbilden,
dass jedes GA eindeutig zugeordnet wird,
bjektiv so einem Ghost Car mal A transponiert,
also die Menge aller K linksvielfachen
von dem A transponiert von hier
Und das ist dann ein eindimensionaler Untervektorraum des K-Links-Vektorraums,
den ich kann, hoch 3 Dach genannt habe,
aller Zeilen Vektoren der Länge 3,
mit Einträgen aus K. Also die Vektoren würde ich jetzt als Zeilen Vektoren schreiben,
1A2A3,
als Zeile und deren gesamte Linksvielfache bilden eben ein eindimensionalen Untervektorraum des K-Links-Vektorraums aller solcher Zeilen Vektoren.
Und das ist sozusagen, stößt in Richtung des Ziels,
was wir erreichen wollen,
nämlich Pi-Dach.
Das ist ja
ein Punkt von Pi-Dach
Auch mit eindimensionalen und zweidimensionalen Untervektorräumen eines Vektorraums zu beschreiben,
genau wie das bei P, gleich PG2K der Fall war.
Wir stellen aber hier schon fest, bei PG2K hatten wir ja einen Rechtsvektorraum.
Hier kommt jetzt in natürlicher Weise ein Linksvektorraum raus.
Und man kann weiter zeigen, dass was jetzt noch kommt, das zeigen wir nicht.
Das wird zu schwierig und führt zu weit. Hier haben wir jetzt gesehen, die Punkte von P, entsprechend diesen einendimensionalen Untervektorräumen. Man kann außerdem zeigen,
die Graden von P, Es sind ja die Punkte von Pidach,
Entschuldigung, hier müsste ich auch Pidach sagen,
die Graden von Pidach, das sind ja die Punkte von Pi,
entsprechen, analog zu diesem hier, zweidimensionalen,
runter Vektorräumen von diesem Vektorraum, den wir hier haben,
und diesen Links-Vektorraum, Karl 3 Dach,
und die Inzidenz bleibt erhalten, also Inzidenz von Pidach entspricht dabei Dabei,
wenn ich die Punkte von Pete darf, mit diesen eindimensionalen Unterwektoräumen identifiziere,
die geraden, mit den zweidimensionalen Unterwektoräumen, dann gilt,
Punkt liegt auf gerade, in die Dach, genau dann,
wenn der eindimensionale Unterwektorraum ein Teilraum des Zweidimensionalen unter Wektorraums ist.
Der Relation, kleinergleich, also unter Vektorraum, in K
hoch 3 Dach. Genau, ich mache das nochmal,
versuche das nochmal an einer kleinen Skizze
zu verdeutlichen
Und meine Skizze ist wieder in Pi, nicht in Pi-Dach.
Wir haben gesehen, eine gerade G, was
ein Punkt von Pi-Dach ist. Das können wir identifizieren,
das schreibe ich mal durch so ein Gleich mit dem Dach drüber,
identifizieren soll das bei mir heißen.
Kar, mal A, transponiert. Wenn ich jetzt eine zweite gerade habe,
das ist GA, zweite gerade GB, die verschieden ist,
dann wird das Karma B transponiert und wenn sie verschieden sind,
dann haben sie einen eindeutigen Schnittpunkt P,
wenn sie verschieden sind,
sind auch diese beiden Untervektorräume hier verschieden
Weil ich ja hier von Viration gesprochen habe. Das heißt,
A transponiert und B transponiert sind, linear, unabhängig.
Und dann ist bezüglich dieser hier oben genannten Entsprechung, muss dann P sein.
Und das kann man auch tatsächlich zeigen. P entspricht dann
den zweidimensionalen Untervektorraum, KA transponiert plus KB transponiert.
Also den zweidimensionalen Linksuntervektorraum mit der Basis-A transponiert und B transponiert.
Also so viel zu dem. Und man kann also sagen,
Unsere Inzidenzstruktur P-Dach, unsere projektive Ebene,
die duale projektive Ebene zu Pi, ist Isomorph zu einer Geometrie,
zu einer Inzidenzstruktur, die ich jetzt mal in Anführungsstrichen nenne,
die projektive Ebene über dem links Vektorraum K hoch 3-Dach.
Üblicherweise haben wir projektive Ebenen über dem Rechtsvektorraum K hoch 3 definiert.
Das ist Pegel 2K. Hier haben wir jetzt alles genauso wie vorher.
Nur, dass wir lauter links Zweckverräume haben
Und da wir das noch nicht definiert hatten,
ich habe wahrscheinlich damals gesagt, für links geht das genauso wie für rechts.
Für den haben wir aber keinen Namen, PG-Dach,
könnte man es nennen, aber das machen wir jetzt hier nicht.
Deshalb schreibe ich das in Anführungsstrichen, aber wir sind sozusagen
schon fast da, wo wir hinwollten. Die Frage,
die Ausgangsfrage, die ich letztes Mal gestellt habe,
war ja, ist Pi-Dach selber vom Typ PG-2K,
soweit sind wir noch nicht ganz, aber fast,
wenn man statt rechts, links Vektorräume nehmen würde,
dann hätten wir das, was wir wollten.
Und ich mache noch einen letzten Schritt,
sodass sie jetzt doch zu einem PG-2K bzw. kein Strich,
hatte ich ja auch gesagt, mit einem möglicherweise anderen Körper gelangen.
Man kann nämlich auch
noch Folgendes zeigen
Ich schreibe das hier noch hin. Das ist wiederum Isomorph,
diese Inzidenzstruktur, die wir hier hatten. Das kann man auch wieder zeigen,
was ich auch nicht mache, positive Ebene,
über diesem Linksvektorraum ist Isomorph der projektiven Ebene jetzt wieder über einem Rechtsvektor rum.
Deshalb schreibe ich PG, zwei, aber eben nicht K,
sondern K. Kringel. Das ist der entgegengesetzte oder auf Englisch Oposit,
also das Kringel steht möglicherweise auch,
soll auch vielleicht ein O sein, Körper zu K,
für,
das schreibe ich hier weiter,
den Körper
Kar-Kringel. Und was ist Kar-Kringel? Katrin ist ein neuer Körper,
mit derselben Elementmenge wie K,
mit derselben Addition wie K, aber mit einer neuen Multiplikation,
die ich jetzt hier auch Kringel nenne,
wobei zwei Elemente S und T, mit Kringel verknüpft,
das wird definiert als Thema S.
Das heißt, mit vertauschter Multiplikation. Und da ist wahrscheinlich relativ plausibel,
wenn wir Links, Vektorraum über K haben und die Multiplikation vertauscht,
also wenn wir kann Kringel übergehen, wird die Multiplikation vertauscht.
Das heißt, rechts und links werden vertauscht,
dann haben wir wieder ein Rechtsvektorraum über Karkringel und deshalb
können wir das hier so formulieren.
Und das kann man auch wirklich beweisen, dass hier tatsächlich
dann Isomorphie vorliegt. Und das ganze kleine Bemerkung,
das ist nur dann relevant, wenn der Körper nicht kommutativ ist.
Ist Kar kommutativ. So ist Karkringel,
ja natürlich das gleiche wie Kar,
weil dann im Kommutativen ist T mal S,
dasselbe wie Smathi.
Das heißt,
Kringeln ist dasselbe
wie Mal
Dann ist also im Kommutativen Fall,
dann ist also Ki Dach gleich oder Isomorph, meinetwegen,
zu PG 2K. Hier oben hatten wir zu PG 2K Kringel,
im Kommutativen ist das sogar zu PG 2K,
also zu unserem Ausgangs, zu unserer Ausgangsebene Pi Isomorph.
Das heißt, dann ist Pi Selbstdual,
Selbstdual hatten wir
so formuliert oder definiert
Selbst nur bedeutet Isomorph zur dualen Inzidenzstruktur. Das ist hier
der Fall. Im kommutativen Fall und im nicht-kommutativen
wird das in der Regel nicht so sein. Genau,
für den Fall K. gleich R. Hatten wir das schon mal
im Skript etwas früher, hatte ich zumindest dort angegeben.
Ich weiß nicht genau, ob ich das hier auch Ihnen erzählt habe,
aber Sie können das dann nachlesen, das ist 1,
12, 3. Diese Aussage sagt, dass PG2R selbst dual ist.
Beziehungsweise, dass diese eine Inzidenzstruktur, die wir damals am Anfang hatten,
die Isomorph zu PG2, ist, dass die selbst dual ist.
Dabei, der sieht man das besonders einfach.
Also schauen Sie hier nochmal rein, wenn Sie möchten,
da hatten wir sozusagen einen Spezialfall schon behandelt.
Und jetzt haben wir hier gesehen, für kommutatives K ist jede projektive Ebene
PG2K Duir Isomorph zu ihrer dualen projektiven Ebene.
Das heißt, die Duale ist ebenfalls bis auf Isomorphie gleich PG2K.
Während im Nicht-Kommutativen muss man eben zu einem neuen Körper,
nämlich zu diesem entgegengesetzten Körper, Karkringel übergehen,
aber zumindest auch dann gilt noch, die duale projektive Ebene ist von der Gestalt PG2 über einem geeigneten Körper.
Und das war ja unser Ziel
Und damit habe ich diese Fragestellung,
also insgesamt die Bemerkung 3, 14, abgeschlossen.
Genau, ich schließe dieses Video und im nächsten Video
geht es dann um eine andere Fragestellung im Zusammenhang mit