Herzlich willkommen zum zweiten Video dieser Vorlesungswoche. Wir behandeln im Moment
ja das Thema duale, projektive Ebene, den folgenden Satz,
den Sie hier sehen, den hatte ich schon angekündigt.
Das ist Satz 3,11. Den können wir jetzt beweisen,
der besagt, wenn Pi eine projektive Ebene ist,
dann ist auch die duale Inzidenzstruktur Pi Dach,
GPPI-Dach, wieder eine projektive Ebene.
Und zusätzlich gilt das beide projektiven Ebenen die gleiche Ordnung haben
Das möchte ich jetzt beweisen, sei also Pi, wie oben eine projektive Ebene.
Dann ist Pi insbesondere eine verallgemeinerte projektive Ebene,
das ist ja ein bisschen schwächer und wir können das Lämmer
vom letzten Mal anwenden, Lämmer 13.
Das sagte ja, Pi ist genau dann eine verallgemeinerte projektive Ebene,
wenn Pi Dach eine Seuche ist.
Also wir kriegen raus Pi Dach ist zumindest schon mal
verallgemeinerte.
Projektive Ebene
Und dann bleibt also nur noch eine Sache zu zeigen,
ein Axiom fehlt,
welches eine verallgemeinerte projektive Ebene zu einer projektiven Ebene macht,
nämlich das Axiom i3. Bleibt zu zeigen,
in Pi-Dach gilt i3. i3 war ja durch drei verschiedene,
auf jeder Graden liegen mindestens drei Punkte.
Wenn das jetzt im Pi-Dach gelten soll,
dann könnte man auch sagen, in Pi formuliert,
in Pi gehen durch jeden Punkt, mindestens drei Geraden.
So, und das zeigen wir jetzt, indem wir schon das
hier oben zeigen. Dass die Ordnung gleich ist. Also,
dass durch jede Grad, durch jeden Punkt von Pi,
also jede Grade von Pidach, mindestens,
also genauso viele Graden gehen wie Punkte auf Einagraben draufliegen.
Also, wir gucken uns, wir wollen diese Sache zeigen.
Und dazu machen wir eine Skizze.
Und wir werden gleich sehen, dass wir eigentlich sogar
das gezeigt haben
Wir wissen, in Pi gilt ja i3,
ich mache meine Skizze in Pi, das USIP.
Da gilt i3, ich wähle mir eine beliebige Grade aus,
die hat mindestens drei Punkte.
Vielleicht sogar mehr. Also in meiner Skizze hat sie jetzt
mal sechs Punkte, kann aber auch unendlich sein.
Und ich möchte zeigen, durch jeden Punkt gehen mindestens drei Graden.
Ich will mir einen Punkt außerhalb. Oder wenn ich es korrekt machen würde,
würde ich vielleicht erst den Punkt fehlen und dann eine Grade außerhalb,
die es aber auch gibt.
So, jetzt machen wir eine Bielektion von der Menge
aller Graden durch
Auf die Menge aller Punkte. Aufgehen, das würde ich so schreiben. Also,
dass die beiden dann gleichmächtig sind,
in denen ich sage, ich verbinde jeden Punkt,
der gerade, mit X oder anders ausgedruckt,
dass wir eigentlich die Umkehrabbildung von G nach GX,
wenn ich eine gerade durch X habe,
dann wird sie die gerade G schneiden.
Nach Axiomii4, an der projektiven Ebene. Und so kriege
ich eine Bijektion. Andererseits kann ich jeden Punkt verbinden,
aber tatsächlich jede gerade durch X, die ich wähle.
Es gibt hier im Projektiven
keine Parallelen
Schneide, so kriege ich eine Bijektion zwischen der Menge der Punkte
auf einer Graden und der Menge der Graden durch einen Punkt.
Und damit haben wir dann schon,
dass die Ordnung von Pidach gleich der Ordnung von Pi ist.
Das ist die Ordnung von Pi, die Menge aller Punkte
auf einer Graden. Und bei Pidach ist es dual dazu,
eben die Menge aller Graden durch einen Punkt. Das heißt,
diese Sache geht schon mal und wir wissen ja,
auf jeder Graden liegen mindestens drei Punkte,
dann muss das auch dual sein durch jeden Punkt,
gehen mindestens drei Graden.
Damit Ist das gezeigt? Auch das gezeigt und damit der
gesamte Satz gezeigt. Also, wenn Pi eine projektive Ebene ist,
dann ist auch Pi-Dach eine projektive Ebene und die nennen wir
dann die zu Pi-Duale, projektive Ebene.
Ich möchte noch eine kleine Bemerkung vielleicht hier unten noch
drunter schreiben, die auch im Skript direkt da unterkommt.
Die hat keine Nummer. Das ist nämlich der obige Satz
. Auch folgt, folgt auch aus der Aussage 3,
1,
Aussage 3 war eine alternative Möglichkeit, projektive Ebenen zu definieren,
die Möglichkeit, die man sogar in der Literatur wahrscheinlich häufiger findet, als unsere Definition.
Pi, projektive Ebene, genau dann, wenn in Pi gelten.
I1, I1 Dach und E4. So, und jetzt wollen wir zeigen,
auch die Duale, Inzidenzstruktur erfüllt I1, I1 Dach und E4,
I1 und I1 Dach sind Dual zueinander. Das heißt,
wenn I1 gilt, gilt auch I1 Dach und umgekehrt,
Das Einzige, was wir noch zeigen müssen, ist sozusagen,
dass auch das Duane zu E4 gilt, wenn E4 gilt.
Und das stimmt, E4 ist, könnte man sagen,
Selbstdual, also genau dann gültig, wenn die Duale Aussage gültig ist,
E4, bis Äquivalent zu E4 Dach.
Ich muss vielleicht nochmal erinnern, was E4 überhaupt war.
E4 war, es existiert ein Viereck,
das heißt vier Punkte in P, sodass keine drei koliniär sind.
So könnte ich das vielleicht
mal hinzeichnen
Vier Punkte, sodass keine drei von diesen Vieren koliniar sind.
Und das ist jetzt Äquivalent zu E4DAC.
E4DAC ist sozusagen E4 in der dualen Inzidenzstruktur oder auch formuliert.
Es existieren vier Graden, sodass keine drei hohpunktal sind.
Das schreibe ich hier vielleicht noch mal hin. Es existieren
vier Graden, sodass keine drei co-punktal sind. Und das hat man tatsächlich,
wie man hier auch an dem Bild sieht,
muss man vielleicht noch im Detail überlegen, dass alles stimmt,
aber wenn ich zum Beispiel diese vier Graden auswähle, Ja.
Dann sind keine drei davon ko-pontal. Das heißt,
wenn eine Inzidenzstruktur diese drei Aktionen erfüllt,
dann auch die dualen Aktionen, i1 Dach, i1 Dachdach,
was wieder i1 ist, und E4-Dach und ist dann,
damit ist dann die duale Inzidenzstruktur auch eine projektive Ebene.
So, soviel zu Satz 3,11 und dieser Satz hat jetzt sehr große,
wichtige Konsequenzen, wenn hier eine projektive Ebene ist,
dann auch die duale Inzidenzstruktur, daraus schließen wir das sehr,
sehr wichtige,
sogenannte Dualitätsprinzip für projektive Ebenen.
Das habe ich hier
schon mal aufgeschrieben
Das ist auch ein Satz, der aber direkt folgt aus dem,
was wir eben gezeigt haben, wenn man ein,
ich lese es mal vor, so wie es hier steht,
ersetzt man in einem für alle projektiven Ebenen gültigen Satz.
Die Begriffe Punkt durch gerade und umgekehrt,
die Verbriffe verbinden und schneiden und umgekehrt und so weiter.
Also Schnittpunkt durch Verbindungsgrade und so weiter. So erhält man wieder
einen für alle projektiven Ebenen gültigen Satz. Und dass dieses Prinzip gilt,
ist klar, wenn wir einen Satz haben, der für alle projektiven Ebenen gilt,
dann gilt er auch weil die dualen Strukturen ja auch projektive Ebenen sind,
in der dualen, projektiven Ebene, in jeder dualen,
projektiven Ebene.
Und die entsteht gerade. Nach diesem Muster,
in dem Punkt und gerade verbinden und schneiden und so weiter,
vertauscht werden. Genau. Und wenn man das hat,
dann hat man sozusagen mit jedem Satz über projektive Ebenen,
denen man allgemein bewiesen hat, einen zweiten Satz,
den nennen wir dann den dualen Satz, der automatisch auch gilt,
der auf diese Art und Weise entsteht.
Im Skript ist hier, im Moment haben wir noch nicht so viele Beispiele,
das ist ja halb im Skript ein, Altes Beispiel nochmal aufgegriffen.
Da wird gesagt, die Aussage 3, 9,
3 ist dual zu 3, 9, 4. 3,
9, 3 war,
wenn die Ordnung von einer projektiven Ebene P gleich Kuh ist,
dann gibt es genau Kuh-Quadrat plus Q plus 1 Punkte.
Und die duale Aussage ist jetzt,
wenn die Ordnung von P gleich Kuh ist,
dann gibt es genau Kuh-Quadrat plus Q plus 1 Graden
Und hier steckt hier, dass die Voraussetzung hier aber beide identisch hingeschrieben ist,
da steckt schon drin, dass wir wissen,
dass die duale projektive Ebene die gleiche Ordnung hat.
Gut, man könnte hier auch Pi-Dach schreiben, wenn man wollte. Jedenfalls,
damals haben wir beides getrennt voneinander bewiesen,
wenn wir damals das Portualitätsprinzip schon gehabt hätten,
hätten wir die hier aufführen können und sagen können,
das brauchen wir gar nicht zu beweisen,
das folgt aus Dualitätsgründen oder diese Aussage gilt dual zur ersten,
gilt also auch.
Später im Semester werden wir ganz viele Sätze noch haben,
wo wir zwei Varianten haben,
einen Satz und seinen dualen Satz und dann wird es immer reichen,
nur den Ausgangssatz zu beweisen,
weil der Duale dann automatisch gilt
Auch in der Übung wird das demnächst nochmal vorkommen an einem Beispiel,
was wir im Prinzip jetzt schon formulieren können.
Aber das meiste wird sich im Kapitel 4
und vor allen Dingen auch im Kapitel 5 nachher abspielen,
wo wir das Dualitätsprinzip immer wieder anwenden werden.
Genau, und damit beende ich dieses Video jetzt erstmal.
Jetzt haben wir sozusagen das allgemeingültige über projektive Ebenen und ihre Duale, projektive Ebene formuliert.
Im nächsten Video geht, wird es dann darum gehen,
was ist die duale projektive Ebene zu PG2K?
Das ist dann eine ganz andere Frage,
die ich im nächsten Video dann zumindest ansatzweise beantworten werde