Herzlich willkommen. Ich starte mit der fünften Woche der Vorlesung
Geometrie und wir machen weiter mit dem Themenfeld projektive Ebenen.
Heute geht es um die duale Inzidenzstruktur zu einer projektiven Ebene.
Also ist SIP eine projektive Ebene, deren Inzidenzrelation ich
jetzt mit I schreibe. Dann fällt das Nächste leicht,
dahin zu schreiben, nämlich die duale Inzidenzstruktur.
Die hatten wir am Ende von Kapitel 1,
Pi Dach
Die Punkte von Pidach sind die Graden von Pi und umgekehrt und die Inzidenzrelationen,
die nenne ich hier Idach und es gilt,
wo es geht, in Relation Idach mit kleinen Pi,
genau dann, wenn Pii giegelt,
also einfach Punkte und Graden werden vertauscht und gerade inszeniert mit Punkt,
wenn hier Punkte inszeniert mit Grade gilt.
Und das Ziel jetzt, dieses, was jetzt kommt heute
und in dem nächsten Video wird es sein zu zeigen,
dass Pidach selber eine projektive Ebene ist.
Ziel, Auch Pi-Dach ist projektive Ebene. Wir hatten mal vor langer Zeit am Anfang,
als ich das eingeführt wurde, dass Venpe ein Inzidenzraum ist,
dass wir da noch nicht mal sicher sein können,
dass Pi-Dach ein Inzidenzraum ist.
Es gilt aber, das wird rauskommen, wenn Pi eine
projektive Ebene ist, dann ist auch Pi-Dach eine projektive Ebene.
Und dazu formuliere ich einen Lämmer. Was erstmal ein bisschen gewöhnungsbedürftig,
ich finde es relativ schwierig zu verstehen ist,
was aber dann sehr hilfreich ist auf dem Weg zu
unserem Ziel
Das ist das Lämmer 310. Dazu nehmen wir Gamma,
heißt die Inzidenzstruktur jetzt, weil es eben in der Regel
noch nicht notwendigerweise eine projektive Ebene sein soll.
PGI, ein Inzidenzraum. Also I1 und I2 gelten.
Und sei Gamma-Dach, gleich GPPI-Dach, die duale Inzidenzstruktur,
von der wir erstmal nicht wissen,
ist es vielleicht auch ein Inzidenzraum,
könnte sein,
muss aber nicht sein.
Dann gilt
Gamma-Dach ist genau dann ein Inzidenzraum. Also Gamma ist Inzidenzraum,
Gamma-Dach ist genau dann ein Inzidenzraum, wenn Gamma eine verallgemeinerte,
projektive Ebene ist. So, das werde ich nachher beweisen.
Vorher schreibe ich aber noch hin, eine Schlussfolgerung,
die auch im Skript hier in diesem Slammer integriert steht,
insbesondere gilt, Und das schreie ich jetzt einfach erst mal hin und danach begründe ich das.
Skript ist jetzt ein bisschen anders aufgezogen. Gamma und Gamma Dach,
also der Inzidenzraum und seine duale Inzidenzstruktur,
sind entweder beide verallgemeinerte projektive Ebenen oder beide nicht.
Mit anderen Worten, Gamma ist genau dann eine verallgemeinerte,
projektive Ebene, wenn Gamma-Dach eine verallgemeinerte projektive Ebene ist.
Unter diesen Voraussetzungen, Darma-Inzidenzzaum, Gamma-Dach, die duale Inzidenzstruktur.
So, bevor ich das eigentliche Lämmer, also diese Sache
hier beweise, beweise ich erstmal dieses insbesondere. Denn,
also insbesondere gilt, diese Sache gilt, denn,
das sind ja zwei Richtungen, ich zeige zunächst,
wenn Gamma-Dach verallgemeinerte projektive Ebene ist, Dann folgt,
ich möchte zeigen, dann ist auch Ghannach,
verallgemeinerte projektive Ebene und ich möchte das Lämmer anwenden.
Das ist der leichtere Teil. Verallgemeinerte projektive Ebene war ja
ein Inzidenzraum mit E4 und E3. Insbesondere also ein Inzidenzraum.
Gammadach ist Inzidenzraum. Und damit folgt aus dem Lämmer,
ich nenne das hier mal Sternchen,
aus Sternchen diese Richtung von Sternchen,
Gammadach-Inzidenzraum,
dann ist Gamma
verallgemeinerte projektive Ebene
So, also wenn Gamma-Dach verallgemeinerte,
projektive Ebene ist dann auch Gamma und zweitens kommt jetzt die andere Richtung,
wenn Gamma verallgemeinerte, projektive Ebene ist,
warum ist dann Gamma-Dach eine verallgemeinerte, projektive Ebene?
Also da müssen wir uns zwei Sachen klar machen aus dieser Sache hier,
folgen zwei Sachen, die wir beide verwenden möchten.
Einmal, genau wie ich das hier gemacht habe,
gilt, wenn Gamma verallgemeinerte,
projektive Ebene ist,
dann ist Gamma
insbesondere Inzidenzraum
Und dann ist auch Gamma-Dach-Dach, ein Inzidenzraum. Denn wenn ich einen Raum,
einen Inzidenzraum oder irgendeine Inzidenz strukturalisiere, bin ich bei Gamma-Dach.
Wenn ich Gamma-Dach dann nochmal wieder dualisiere,
bin ich bei Gamma-Dach-Dach, was dasselbe ist wie Gamma.
Das ist nach Definition klar. Das steht im Skript
auch nochmal als Bemerkung direkt darüber.
Also das hier würde ich mal hier einkringeln.
Das gilt unter dieser Voraussetzung.
Andererseits gilt nach Sternchen
Nach dieser Richtung von Sternchen. Von rechts nach links,
weil Gamma eine verallgemeinerte projektive Ebene ist, ist Gamma-Dach ein Inzidenzraum.
Das ist dieses, was hier steht. Und diese beiden Sachen gucken wir
uns jetzt an und folgern gemeinsam aus diesen beiden Sachen.
Gamma-Dach ist Inzidenzraum. Ich möchte jetzt das Slammer oder Sternchen anwenden für Gamma-Dachstadt für Gamma.
Also Sternchen für Gamma Dach statt Gamma, möchte ich anwenden.
Ich darf Sternchen anwenden, weil Gamma Dach ein Inzidenzraum ist.
Das ist ja hier die Voraussetzung, dass ich überhaupt das Sternchen überhaupt gilt,
jetzt für Gamma Dach, weil Gamma Dach ein Inzidenzraum ist.
Genau. Wir wissen, Gamma Dach ist ein Inzidenzraum,
dessen duale Inzidenzstruktur auch ein Inzidenzraum ist.
Das ist das, was hier steht.
Hier jetzt für Gamma. Das Duale ist ein Inzidenzraum,
dann ist das Originale eine verallgemeinerte projektive Ebene.
Dass wir dann hier eben Kamma Dach ist, allgemeinerte,
projektive Ebene. Genau das, was wir haben wollten.
Also von unserem ins Besondere gilt. Erstens, wenn Gammadach
verallgemeinerte projektive Ebene, dann ist auch Gamma verallgemeinerte projektive Ebene.
Jetzt haben wir die zweite Richtung, wenn Gamma verallgemeinerte projektive
Ebene ist, dann ist auch Gammadach verallgemeinerte projektive Ebene.
Das heißt, entweder sind beides verallgemeinerte projektive Ebenen oder eben keines.
So, und ich muss jetzt aber noch Sternchen beweisen. Also,
ich muss beweisen, wenn Gamma selber ein Inzidenzraum ist,
dann gilt diese Äquivalenz, die lasse ich hier noch mal so liegen,
dass sie zu sehen ist.
Na, so. Und beweise das jetzt. Wer weiß. So,
das ist jetzt auch wieder eine gemeint, genau dann Van-Aussage.
Erstmal diese Richtung. Es sei also Gamma ein Inzidenzraum und
es sei Gamma-Dach, auch ein Inzidenzraum. Zu zeigen,
in Gamma gelten I4 und E3. Das sind die Sachen,
die fehlen dazu, dass Gamma eine verallgemeinerte projektive Ebene ist.
So, Gamma Dach, Inzidenzraum, das heißt in
Gamma Dach gelten die eins, rund die zwei.
Das ist ja die Definition von Inzidenzraum,
die eins in Gamma Dach heißt, umformuliert für Gamma,
in Gamma haben je zwei Graden einen eindeutigen Schnittpunkt
Das heißt, in Gamma haben je zwei verschiedene Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt.
TSP schreibe ich mal kurz. Das ist das,
was ich auch eh eins Dach genannt habe im Skript.
Wichtig ist hier nur je zwei verschiedene Graden.
Schneiden Sie sich. Das heißt, unser E4,
das ist ja E4, ist sehr erfüllt.
E2 in Gammadach bedeutet durch jeden Punkt von Gamma
gehen mindestens zwei Graden.
Das schreibe ich hier nicht nochmal hin
Ich mag ja hier irgendeinen Punkt von Gamma auf.
Durch den gehen mindestens zwei Graben. Das Bild ist jetzt
in Gamma. Das Bild ist in Gamma.
Bei Gamma ein Inzidenzraum ist nach Voraussetzungen,
gibt es hier und hier, jeweils noch einen weiteren Punkt.
Und wir haben unser E3 in Gamma auch erfüllt.
Das heißt, wir haben gezeigt, in Gamma gelten E4
und E3. Gamma ist also verallgemeinerte projektive Ebene.
Die Richtung von links nach rechts ist gezeigt.
Es folgt jetzt die Richtung von rechts
nach links
Diese Richtung, es sei Gamma, eine verallgemeinerte,
projektive Ebene. Ich muss zeigen, Gamma-Dach ist Inzidenzraum.
Also zu zeigen, in Gamma-Dach gelten I1 und I2.
So, in Gamma-Dach gilt I1, das heißt,
wie eben schon gesagt, je zwei Graden in Gamma schneiden sich.
In einem eindeutigen Punkt, das muss ich zeigen.
Also I4 Was ja in Gamma gilt, weil Gamma verallgemeinerte
projektive Ebene ist, daraus folgt, es existiert einen Schnittpunkt.
Und er ist auch eindeutig wegen, ich schreibe jetzt mal
wegen I1 in Gamma, ist der eindeutig.
Also wenn es zwei Schnittpunkte gäbe, wären die beiden Graden,
die die beiden Schnittpunkte haben, identisch.
Das ist Vergleiche, Lämmer
1-1, ganz vom Anfang des Semesters.
Man könnte auch sagen, das steht in Bemerkung 3-
1 nochmal drin. Hier von unserem Kapitel 3,
da wird das auch nochmal gesagt, wenn ihr vier gilt,
dann ist der Schnittpunkt auch schon automatisch eindeutig in einem Inzidenzraum,
also hier auch in unserer verallgemeinerten projektiven Ebene.
Das heißt, in Gammadach gilt i1, weil wir einen eindeutigen Schnittpunkt haben.
So, das ist also schon mal erledigt.
In Gammadach gilt i2, warum das? Da müssen wir
jetzt an einen sehr alten Satz vom ersten Kapitel erinnern.
Es gilt in unserem Gamma, in Gamma gilt E3,
weil Gamma vergemeinerte projektive Ebene ist.
Daraus folgt, wir haben also ein Dreiecke, ein Dreipaar,
also drei, nicht paarweise, drei nicht koordinäre Punkte.
Insbesondere haben wir mindestens zwei, eigentlich sogar drei Graden.
Die Gradenmenge ist nicht nur ein Elementig.
Es sind nicht alle Punkte auf einer Graben.
Und da hatten wir einen Lämmer. Oder eine kleine Aussage,
1, 11, 2, das können Sie nochmal nachschauen.
Wenn in einer Inzidenzstruktur in einem Inzidenzraum. E3 gilt und die
geraden Menge. Mehr als einelementig ist, dann gilt hingammadach,
gilt i2. Und das war das, was wir zeigen wollten.
Und damit ist diese Sache auch gezeigt und damit ist das gesamte Lämmer gezeigt.
Der Teil, der für uns besonders wichtig ist,
ist dieses insbesondere zwei Inzidenzstrukturen, Gamma-Inzidenzraum, Gammadach,
seine duale Inzidenzstruktur, sind entweder beide verallgemeinerte projektive Ebenen oder beide nicht.
Also Gamma ist genau dann verallgemeinerte projektive Ebene,
wenn das für Gammadach gilt. Und das Ziel ist jetzt,
statt verallgemeinerte projektive Ebene dasselbe für projektive Ebenen zu zeigen.
Das schaffe ich jetzt aber hier nicht mehr und verweise dann
auf das nächste Video