Herzlich willkommen. Dieses ist das letzte Video zur Woche 4 und ich habe hier schon geschrieben,
eine Erinnerung, ich möchte noch mal kurz an das erinnern,
was in dem Satz drin war, den wir im letzten Video behandelt hatten.
Da hatten wir einen Konstruktionsprinzip,
wie aus einer projektiven Ebene Pi, gemacht wurde,
eine affine Ebene A, die ich genannt habe, APF,
die also abhängig ist von der Auswahl einer Geraden F in der projektiven Ebene Pi,
die zur Ferngarde wird und A ist eine affine Ebene
Und dann ging das noch weiter. Ich mache das mal hier runter,
damit das gut sichtbar ist. Dies können wir projektiv abschließen,
das A und erhalten P von A, den projektiven Abschluss.
Den hatten wir ja schon etwas vorher. Und wir haben außerdem gezeigt,
neben diesem Prozess, dass hier eine affine Ebene rauskommt,
haben wir außerdem gezeigt, dass diese Ebene, die projektive Ebene,
die dann rauskommt, wenn ich das A wieder abschließe,
dass die Isomorph ist zu dem P,
mit dem wir gestartet sind.
Und ich möchte das jetzt nicht nochmal genau erinnern,
wie das Ganze ging,
aber diesen Prozess möchte ich vielleicht an einem Beispiel nochmal
ganz kurz hier so in so ein Kästchen
Verdeutlichen oder erinnern. Das Prinzip war aus einer projektiven Ebene eine Ebene rauszuschmeißen,
die dann die Fern- oder der Ferngraden der Affinen-Ebene entspricht.
Und wir machen mal unser einfachstes Beispiel, unser Minimalmodell einer
projektiven Ebene. Diese sieben-Punkte-Ebene. Das waren ja die
sieben Punkte und sieben Graden. Und wenn ich jetzt,
hier könnte ich eine beliebige Grade nehmen und gucken,
es muss immer eine affine Ebene rauskommen,
deren projektiver Abschluss wieder diese Ebene ist
Ich nehme jetzt mal diese gerade hier heraus hier an der Seite.
Das ist unser F und was bleibt übrig, wenn ich F rausnehme?
Also wenn das hier P ist, zeichne ich hierhin A,
dann bleiben als Punkte die fünf, die vier verbleibenden Punkte.
Ich male sie mal möglichst ähnlich von der Lage her,
wie im Bild von P. Aus jeder Grade,
die gerade Äffe ganz und gar rausgenommen,
aus jeder anderen Grade wird immer der Schnittpunkt mit F rausgenommen.
Das heißt, nur noch, die Graden haben dann
nur noch zwei Punkte
Das ist diese, ich mache sie hier mal so ein kleines Stückchen weiter,
aber der Punkt wird eben nicht mehr dazu.
Genauso diese, genauso diese hier,
ein bisschen und ein bisschen weniger schräg ist jetzt hier,
diese, und dies hier ist die Krumme, so,
also das ist das, was übrig bleibt.
Aus jeder dieser Graden ist ein Punkt rausgenommen worden,
aus jeder Graden hier, jede schwarzen Graden,
also jeder gerade, die nicht F ist,
und zwar immer der Punkt von F,
das bleibt übrig
Vier Punkte, je zwei Punkte durch eine zweipunktige,
gerade verbunden. Das ist unser Minimalmodell einer affinen Ebene.
Was eigentlich auch schon ziemlich klar war, dass das rauskommen muss.
Wir hatten ja schon umgekehrt gesehen, dass wenn ich mit
dem Minimalmodell von A starte, dass dann diese Ebene rauskommt.
Genau. So, und jetzt gehe ich im Skript weiter.
Wir sind jetzt seit 14 Mitte, da kommt eine Bemerkung
zu dem Satz, der hier sozusagen schematisch nochmal erinnert wurde.
Und zwar erstens, das ist sozusagen das,
was hier steht,
jede projektive Ebene Pi
Ganz egal, welche projektive Ebene, nee, ich nehme,
ist Isomorph zu einer Ebene, P von A,
für eine Affine, Ebene, A. Also jede,
jede beliebige projektive Ebene ist bis auf Isomorphie der projektive Abschluss einer affinen Ebene.
Und das ist genau das, was hier steht.
Ich habe mit einer beliebigen projektiven Ebene angefangen,
kann immer eine zugehörige affine Ebene konstruieren,
ich das F auszeichne und die Ebene,
mit der ich angefangen habe, ist tatsächlich Isomorph zu Pi von
A. Zweitens noch eine ganz wichtige Sache. Es ist sozusagen wichtig,
welches F ich wähle. Für F, Ungleich F,
Strich, ist in der Regel, steht da im Skript A,
PF, nicht Isomorph zu A, PF-Strich.
Also es können verschiedene Nicht-Isomorph für affine Ebenen rauskommen,
wenn ich zwei verschiedene Graden einmal die gerade F und einmal die gerade F Strich wähle.
Das ist so, das werden wir auch später nochmal aufgreifen.
Allerdings fällt es mir extrem schwer und es würde den Rahmen der Vorlesung sprengen,
hier ein Beispiel anzugeben. Vielleicht wird später nochmal kurz ein Beispiel angedeutet,
aber wenn Sie zum Beispiel hier eine andere gerade F nehmen würden,
würden Sie, das Bild wird zwar ein klein bisschen anders vielleicht,
was rauskommt, aber es wäre wieder das Minimalmodell und die beiden affinen Ebenen werden Isomorph.
Und auch in allen, in dem Fall, dass Dispi,
die projektive Ebene über einem Körper ist, also PG2K,
Da wird sich auch zeigen, dass hier, ganz egal,
welche geraden ich wähle, immer Isomorphie der verschiedenen affinen Ebenen herauskommt.
Das heißt, um ein Beispiel zu konstruieren,
müssen wir andere Beispiele konstruieren und die werden auch recht groß sein,
also Ordnung, zwei hier, wird nicht ausreichen.
Und von daher sage ich das nur, dass man darauf achten muss.
Das ist auf die Wahl von F tatsächlich ankommen.
Das ist nicht so wie sonst bei vielen Dingen,
wo es unabhängig von der Wahl ist.
Hier kommt es tatsächlich auf die Wahl von F an.
So, das war also der Punkt,
Erinnerung an das letzte Mal und dazu noch zwei kleine Bemerkungen.
Jetzt kommen wir zu einem Punkt,
den wir auch bei affinen Ebenen schon mal hatten und mit dieser Eigenschaft,
dass sich jedes P jetzt als projektiver Abschluss einer affinen Ebene schreiben lässt,
können wir das direkt übertragen, nämlich das Konzept der Ordnung.
Die Ordnung einer affinen Ebene haben wir schon.
Jetzt definieren wir die Ordnung einer projektiven Ebene. Genau,
und zwar so, dass der projektive Abschluss einer affinen Ebene
die gleiche Ordnung hat wie die affine Ebene
Gut, aber wir machen es tatsächlich die Definition der Ordnung einer projektiven Ebene,
genauso wie wir damals die Ordnung einer affinen Ebene definiert haben,
nämlich durch erst mal zeigen,
dass je zwei Graden gleichmächtig sind und so weiter.
Also ich schreibe hier mal hin,
ich erkläre es dann die genaue Definition, kommt dann danach.
Erstmal kommt eine Vorüberlegung, diese Bemerkung,
die jetzt zeigen soll, dass auch in einer projektiven Ebene,
genau wie in einer affinen Ebene, je zwei Graden gleichmächtig sind.
Also G und H seien irgendwelche Graden einer projektiven Ebene Punkt
zwei wird es sein, G und H sind gleichmächtig.
Und um das zu zeigen, zeige ich Punkt eins,
das ist nämlich eine Bijektion zwischen G und H gibt.
Dann folgt, dass sie gleich mächtig sind. Und das
machen wir für den Fall, dass G Ungleichhaar ist.
Und je gleicher ist wir es ja trivial.
Und wir wählen noch einen Punkt Z,
der weder in G noch in Haar liegt.
Den gibt es. Nach der Voraussetzung,
die wir neulich gezeigt haben, dass es in der
projektiven Ebene
ein Viereck gibt
So, dann haben wir unsere Situation,
hier ist die Grade G, hier ist die Grade H.
Hier ist zum Beispiel der Funk Z und dann definieren wir
eine Abbildung, Zetter heißt die jetzt hier von GENAH.
Das ist eine Bielektion. X wird abgebildet auf XZ geschnitten Haar.
Also wenn hier X ist, verbinde ich und das ist Zetter von X.
Und das nennen wir auch wieder zentrale Perspektivität,
genau wie wir das für affine Ebenen schon mal hatten,
bei affinen Ebenen hatten wir da diese Ausnahme.de,
P und Q, die man hier rausnehmen musste.
Das haben wir jetzt hier nicht, weil Ganz egal,
welches X ich wähle, die Graden, XZ,
die alle existieren, weil X garantiert nicht gleich Z ist,
weil Z nicht auf G liegt.
Alle diese Graden schneiden Haar in einem eindeutig bestimmten Punkt. Genau,
und den nennen wir ZAVNH und die Umkehrabbildung geht entsprechend,
also von Y auf Haar finden wir auf genau denselben Weg hier sein Urbild.
Das heißt, wir haben auf diese Weise also tatsächlich eine Viaktion,
je zwei Graden sind gleich mächtig und damit
können wir die Ordnung definieren,
der projektiven Ebene Pi
Genau, das ist die Definition hier. Also es seien
weiterhin wie eine projektive Ebene, geh eine beliebige Grade,
dann nennen wir die Mächtigkeit von ge-eins, die Ordnung von Pi.
Wir machen jetzt hier minus eins, das erkläre ich gleich.
Ort Pi, ich schreibe es mal mit Klammern drum,
das ist Geschmackssache, wie man das schreibt,
hatte ich neulich schon gesagt.
Genau, und das ist, wie gesagt,
nachdem von eben,
unabhängig von der Wahl der Graden
Und es gilt jetzt, Zusammenhang zur Ordnung der affinen Ebene.
Erstens, wenn Pi der projektive Abschluss einer affinen Ebene A
ist, dann haben Pi und A die gleiche Ordnung.
Ordnung Pi ist Ordnung von A. Und deshalb,
damit das hier stimmt, was natürlich schön ist,
habe ich hier das mit dem minus eins gemacht.
Oder macht man traditionell bei projektiven Ebenen das mit dem minus eins.
Denn bei der projektiven Ebene, beim projektiven Abschluss,
kommt ja zu jeder gerade ein Punkt hinzu
Das heißt, wenn in A jede gerade Kuhpunkte hat,
im pojektiven Abschluss, hat sie dann Q plus 1 Punkte
und damit aber dieselben Zahlen hier rauskommen bei der Ordnung,
zieht man die 1 hier wieder ab.
Deshalb macht man das. Deshalb ist das Sinnvolles zu machen.
Und auch umgekehrt, wenn wir mit einer projektiven Ebene P
starten und A konstruieren nach dem von vorhin als APF,
wenn das gleich A ist, dann gilt auch,
dasselbe wie oben.
Ordnung P ist dasselbe wie Ordnung A. Weil das ja,
ja, ein entsprechend umgekehrter Prozess ist,
dass aus jeder Graden von P,
jetzt hier
ein Punkt rausgenommen wird
So, und wir können jetzt,
genau wie im affinen Fall, auch im projektiven Fall,
im endlichen Fall, dass die Ordnung endlich ist,
können wir Punkte und Garten abzählen.
Das war im affinen Fall der Satz 2,8. Und das ist
hier jetzt der Satz 3,9. Pi sei eine projektive Ebene.
Projektive Ebene der Ordnung, Kuh,
eine natürliche Zahl
Und dann gelten verschiedene Sachen, die kann man beweisen.
Im Skript steht nur, wird eigentlich nur auf diesen Satz
2,8 verwiesen und auf das, was wir hier oben gerade gesagt haben.
Wenn wir für affine Ebenen die Sachen schon abzählen können,
muss man nur gucken, beim projektiven Abschluss,
wie viele kommen dazu und prüfen, dass das tatsächlich geht.
Ich werde hier jetzt auch keinen Beweis hinschreiben,
nur vielleicht noch ein paar Worte jeweils sagen. Dann gilt,
ich schreibe es mal recht kurz und knapp hin,
erstens für jede Grade ist die Mächtigkeit von G, Co-Plus 1.
Das ist sozusagen nach Definition
Zweitens, für jeden Punkt ist die Anzahl aller Graben durch den Punkt.
So hatten die das mal damals geschrieben. G, Index X,
die Menge aller Graben durch den Punkt X, ist auch Q plus 1.
Vielleicht sage ich es kurz mündlich, warum das so ist,
wenn X ein affiner Punkt ist, also wir stellen uns vor,
dass das Pi jetzt Pi von A ist,
für eine affine Ebene, das können wir uns ja vorstellen,
habe ich vorhin gerade gesagt,
dass das stets gilt für jede projektive Ebene.
Wenn X ein affiner Punkt ist,
dann haben wir in dem Satz 2,8 gelernt,
dass dann GX die Mächtigkeit Q plus 1
hat und das bleibt natürlich auch beim projektiven Abschluss so
Wenn X ein Fernpunkt ist, dann sind ja
die Graben durch den Fernpunkt, sind erstens die Ferngrade.
Und zweitens, die Graden einer Parallelklasse, so war Parallelität ja charakterisiert.
Und die Graden einer Parallelklasse, das sind auch Kuhstücke.
Jede Parallelklasse besteht aus Kuhgraden. Das heißt,
mit der Ferngrade dann Kuhplus 1. Drittens,
die Gesamtpunktzahl einer projektiven Ebene ist Kuhquadrat plus Q plus 1. Kuhquadrat sind
die affinen Punkte und Q plus 1 sind die Fernpunkte,
die Punkte auf der Ferngrade
Und viertens, die Anzahl aller Graben ist auch Kuh-Quadrat plus Kuh
plus 1. Kuh-Quadrat plus Kuh war die Anzahl der Graden einer affinen Ebene
und beim projektiven Abschließen kommt noch genau eine Grade hinzu,
nämlich die Ferngrade.
Deshalb gilt das ja auch. Und genau, das wissen wir jetzt.
Und wir wissen also, wir wissen auch natürlich,
dass das Kuh zwei oder größer sein kann. Kleiner nicht,
weil auf jeder geraden Jahr mindestens drei Punkte liegen, wenn Q2 ist,
dann kriegen wir hier unten vier plus zwei plus eins,
also sieben raus und das rechts fertigt auch nochmal,
dass wir unsere 7-Punkte-Ebene Minimalmodell genannt haben.
Also weniger als 7 Punkte können es nicht sein. Und wenn wir zum Beispiel Kuh gleich 3 wählen,
eine projektive Ebene der Ordnung 3 gibt es auch,
weil wir eine affine Ebene der Ordnung 3 haben,
die sie im Skript in der ersten Beispielsammlung schon finden,
wenn Kuh gleich 3 ist,
dann wäre diese Zahl hier gleich 13. Also die nächst größere affine projektive Ebene hat 13 Punkte und 13 Grad.
Genau, und an dieser Stelle beende ich vierte Woche.
Danke für die Aufmerksamkeit und hoffe,
Sie in der fünften Woche in den Videos,
dass Sie mich dann wieder da sehen können.