Herzlich willkommen. Ich habe jetzt ein spezielles Thema im Zusammenhang mit
affinen und projektiven Ebenen. Wir hatten ja schon gehabt,
wie ich aus einer affinen Ebene durch Bilden des projektiven Abschlusses
eine projektive Ebene machen kann.
Jetzt möchte ich umgekehrt aus einer projektiven Ebene eine affine Ebene machen.
Also noch mal zur Erinnerung durch das Bilden des projektiven Abschlusses.
Wenn wir mit einer affinen Ebene a starten,
erhalten wir eine projektive Ebene Pi von A. Also wir haben eine Inzidenzstruktur konstruiert,
die Pi von A heißt.
Und wir haben gezeigt, dass es
eine projektive Ebene
Wenn A eine affine Ebene war. Jetzt gehen wir anders
vor. Wir starten mit einer beliebigen projektiven Ebene.
Machen auch wieder einen bestimmten Prozess, der insbesondere darin besteht,
dass sich eine gerade der projektiven Ebene auszeichne.
Auszeichnung einer geraten. F. Also ich muss um diese affine
Ebene hier zu bekommen, die heißen ja nicht A,
PF, muss ich eine gerade F auswählen.
Von P, von der projektiven Ebene
Wie man so sagt, die heißt auch F,
weil sie die Ferngra, der Ferngrade sozusagen entspricht, dieser affinen Ebene.
Die wir hier erhalten werden. Und wenn ich verschiedene Fs wähle,
kann ich eventuell verschiedene affine Ebenen erhalten. Aber eins kann ich sagen,
das wird alles gleich in dem nächsten Satz kommen.
Wenn ich diese affine Ebene dann wieder projektiv abschließe,
erhalte ich ja wieder eine projektive Ebene.
Und die ist isomorph zu der Ebene, mit der wir gestartet sind.
So, und jetzt schreibe ich den Satz auf,
in dem dann auch gleichzeitig die Definition von diesem APF drinsteht.
Also Satz 3, 6 ist das
Pi sei also eine projektive Ebene mit Punktmenge P,
geraden Menge G. Und F sei eine feste Grade der projektiven Ebene.
Und das skizziere ich hier mal. Meine Skizzen werden jetzt immer so aussehen,
dass ich so für die projektive Ebene so ein Kringel male.
Das ist die Menge der Punkte. Und F ist eine Grade,
die kann ich hier also so als gerade Linie reinzeichnen.
Die male ich jetzt mal ein bisschen fetter,
dass man die gut sehen kann und rot.
Das ist
Und die Idee ist jetzt, das F rauszunehmen aus P.
Also wenn Sie sich erinnern, beim projektiven Abschluss bilden,
wird ja zu A eine gerade hinzugefügt,
um bei der projektiven Ebene zu landen, nämlich die Ferngrade.
Jetzt mache ich so eine Art umgekehrten Prozess, nehme eine gerade raus.
Nämlich, wir setzen als neue Punktmenge P,
Index F, das ist P ohne F.
Das sind nachher die Punkte von der Inzidenzstruktur A. A,
gleich A, PF,
hat als Punktmenge alle Punkte,
außer den Funken auf der roten Graden
Und sie hat eine geraden Menge G-Index-F. Was ist das?
Das sind alle Graden der Form G ohne F,
wo G eine Grade der projektiven Ebene ist.
Also wenn das hier G ist,
dann schneidet die ja F und den Punkt muss ich rausnehmen.
Das ist also alles ohne den fett markierten Punkt,
dass wir die gerade G ohne F,
die eine Grade von A ist.
Und es darf natürlich das G nicht gleich F sein.
Dann F ohne F wäre die leere Menge,
das wollen wir nicht.
So,
das ist also unsere neue Inzidenzstruktur
Und der Satz sagt jetzt folgendes. Drei Sachen. Dann
gilt. Erstens, A, ist affine Ebene. Zweitens,
geh ohne F, ist parallel zu H ohne F. Genau dann,
wenn G geschnitten F gleich Haar geschnitten ist.
Das ist nahezu offensichtlich, finde ich.
Wenn ich hier erinnere, mich zu eine gerade Haar
hinzeichnen würde
Die F im selben Punkt schneidet und ich nehme jeweils diesen
Punkt raus, sowohl aus G als auch aus Haar.
Dann habe ich zwei Graden, die sich dann,
gehe ohne F und H ohne F,
die sich dann gar nicht mehr schneiden.
Also zweites jungte Graden. Die sind dann auf jeden Fall parallel.
Also die Richtung von hier nach hier ist klar.
Genau. Und drittens, was ich noch gesagt habe,
mit der Isomorphie, der projektive Abschluss von A, ist Isomorph zu Pi.
Also wenn ich dieses A, die affine Ebene wieder projektiv abschließe,
lande ich wieder bis auf Isomorphie bei dem Pi,
mit dem ich gestartet bin.
Und das ist auch jetzt unabhängig davon,
welches F ich gewählt habe
Genau, und jetzt kann ich den Satz beweisen.
Erstens Nummer eins, es liegt eine maffine Ebene vor.
Das mache ich ein bisschen kürzer. I1 ist klar.
I1 heißt ja, je zwei Punkte haben eine eindeutige Verbindungsgrade.
Wenn die Punkte jetzt hier liegen, das sind ja Punkte von PF.
Also die sind nicht auf der roten Graben.
Die haben in der projektiven Ebene eine eindeutige Verbindungsgrade.
Kann ich Sie mal
Und wenn ich den Punkt rausnehme, habe ich K ohne F,
das ist dann die Verbindungsgrade, in dieser Inzidenzstruktur,
die eindeutige, andere kann es auch nicht geben,
weil alle die Gestalt, gerade ohne F haben,
das ist die eindeutige Verbindungsgrade von X und Y. I2 ist auch klar,
eigentlich noch klarer, I2 heißt ja auf jeder Graden liegen,
mindestens zwei Punkte.
Geraden haben die Gestalt G ohne F und auf G
liegen mindestens drei Punkte.
Das wissen wir. In der projektiven Ebene liegen auf jeder Graden
mindestens drei Punkte.
Dann kommen wir jetzt zu
Da habe ich mir lange Gedanken gemacht, wie ich das,
was im Skript steht, möglichst kurz hier präsentiere.
Ich zeichne noch mal unsere Struktur hin.
Wir müssen drei Punkte finden, die nicht kolinear sind.
In P gibt es das. P ist ja eine projektive Ebene,
da gilt auch E3, insbesondere gibt es in der positiven Ebene P,
mindestens einen Punkt, der nicht auf F fliegt.
Sonst hätten wir keine drei nicht kolinearen Punkte und es werden alle kollinär auf F.
Auf F gibt es auch noch mindestens drei Punkte.
Ich brauche nur zwei
Und die verbinde ich hier. Das sind zwei verschiedene Graden.
Auf jeder Grade lief noch ein weiterer Punkt auf in der projektiven Ebene.
Und diese drei jetzt fetten Punkte sind alles Punkte der affinen Ebene,
also der Struktur, von der wir gerade zeigen wollen,
das ist eine affine Ebene ist.
Und die sind nicht koordinär, weil diese ersten drei Punkte nicht koordinärer sind.
Genau. Und wir kommen zum verbleibenden Aktion P, dem parallelen Aktion.
Und da gucken wir uns nochmal die Aussage 2 hier an.
Da hatte ich ja schon gesagt,
dass das relativ klar ist, dass sie gilt,
wenn zwei Graden Die Schnittmenge von zwei Graden mit F. Gleich ist,
so wie hier bei den Graden G und H. Dann gibt es zwei Möglichkeiten.
Entweder könnte G, Gleichhaar sein,
dann sind aber G ohne F und H ohne F parallel,
Entschuldigung, ich glaube, sie sehen das gar nicht.
Also hier, das möchte ich zeigen, das zeige ich
jetzt anhand des Bildes. Erstmal von rechts nach links
. Wenn G geschnitten F gleich Haar geschnitten F ist,
dann gibt es zwei Möglichkeiten, G, könnte Gleichhaar sein,
dann ist das ihr trivial.
Dann steht hier aber G ohne F und hier auch,
G ohne F, dass die beiden parallel sind,
ist auch trivial
Zweiter Fall ist, dass die Sache so aussieht wie hier.
Zwei Graden, die verschieden sind, sich deshalb in einem
eindeutigen Punkt schneiden. Und nach dieser Sache hier muss
der Punkt auf F fliegen. Wenn ich den rausnehme,
haben sie also keinen Schnittpunkt mehr und deshalb geht ja auch Parallelität.
Und die umgekehrte Richtung von links nach rechts,
wenn G und H gleich sind, dann gilt hier natürlich auch die Gleichheit.
Wenn G ohne F und H ohne F das Jungt sind,
Und wir aber wissen, dass G&H in der projektiven Ebene einen Schnittpunkt haben.
Muss der Schnittpunkt auf der Ferngrade liegen? Muss er einer
der herausgenommenen Punkte sein? Und wir haben also auch
diese Situation so wie hier. Also diese Sache geht.
Der Schnittpunkt von G&H ist ein Fernpunkt.
Und das ist dann gleichzeitig der Schnittpunkt von G mit F
und der Schnittpunkt von H mit F. Also zwei ist gezeigt.
Und damit kann ich jetzt das Parallelen-Aktion schön einfach zeigen.
Nochmal, mein Bild. Ich zeige das jetzt nur an
der Skizze.
Hier ist unser
Beim Parallelenaxium ist ja gegeben eine gerade,
heißt jetzt G ohne F, die ist hier,
die ohne F. Und ein Punkt X außerhalb,
wenn wir das Original Parllelenaxium lesen und gesucht eine eindeutige Parallele zu G ohne F durch X.
Eine eindeutige Grade, die, geh ohne F nicht schneidet
und durch X geht. Und nach dem, was ich
eben gesagt habe, muss die gerade wie folgt aussehen.
Ich muss X mit diesem Punkt hier verbinden. Dann habe
ich hier H ohne F. Wenn ich Ha so wähle,
dass er eben diesen Punkt hier, den Schnittpunkt von G,
Klein F nenne ich ihn mal, den Schnittpunkt von G mit F enthält.
Ha, ist die Verbindungsgrade von X, mit F,
in P, in der projektiven Ebene. Bin ich da jetzt wieder F rausnehme,
schneiden die beiden Graden sich genau in diesem Punkt F,
sind also parallel und andere Parallelen gibt es nicht, nach dem,
was wir eben in Nummer 2 gehört haben, die gleichzeitig durch X gehen.
Und damit ist diese Grade die eindeutige Parallele durch X zu G ohne F.
Und damit ist das Parallelen-Aktion ebenfalls erfüllt. Und was jetzt
noch verbleibt, ist die Isomorphie-Aussage, also Nummer zwei,
habe ich jetzt eben schon mündlich mit bewiesen.
Jetzt gehen wir zu Nummer drei zur Isomorphie-Aussage.
Die ist im Skript relativ kurz gekommen.
Deshalb möchte ich das jetzt hier ein bisschen ausführlicher machen.
Behauptung, die folgende Bijektion Sigma ist ein ISO vom
projektiven Abschluss von A zu dem ursprünglichen projektiven Ebene
Sigmar geht also von der Punktmenge des projektiven Abschlusses von A. A,
nochmal zur Erinnerung, ist PFGF. Und da haben wir diese Parallelitätsrelation.
Und die Punkte des projektiven Abschlusses sind dann die affinen Punkte,
PF, vereinigt mit den Fernpunkten, die Fernpunkte,
die würde ich jetzt schreiben, GF, Modulo parallel.
Das sind die Parallelklassen von A. Und diese Punktmenge von P
von A, die wird abgebildet auf P,
die Punktmenge von
Und das, er mache ich durch Fallunterscheidung. Wenn X in PEF fliegt,
also ein affiner Punkt ist, dann ist X ja insbesondere auch in P,
weil PEF ist ja P ohne F und ich bilde es auf sich selbst ab.
Und wenn X jetzt eben nicht ein affiner Punkt ist,
sondern ein Punkt von dieser Gestalt, dann hätten wir eben,
würde ich das nicht X nennen, sondern dann wären das G ohne F, die Parallelklasse von GONEF.
Und der kann ich einen Punkt ganz besonders elegant zuordnen, nämlich den Punkt, geh geschnitten F. Wenn wir hier nochmal gucken,
Die Parallelklasse dieser fetten Graden hier, die steht aus allen Graden,
die F in diesem Punkt schneiden und geh ohne F,
parallel, klasse ist dasselbe wie H ohne F,
Parallelklasse und die haben denselben Schnittpunkt mit F,
den definiere ich als ihr Bild, die kamen auch noch nicht vor,
weil bis jetzt nur affine Punkte im Bild vorkamen,
das ist wohl definiert nach Nummer zwei und alle Punkte kommen vor,
das ist also auch bieaktiv,
denn jeder Punkt hier hat seine Parallelklasse,
die gemäß zwei dazugehört.
Also dies ist wirklich eine wohl definierte,
bijektive Abbildung der Punktmenge des projektiven Abschlusses von A
in die Punktmenge von P und was wir zeigen müssen,
ist Sigma bildet Garden auf Graden ab.
Sigma bildet Piraten auf Geraden ab. Da gibt es zwei Fälle.
Erstens Sigma von der Ferngrade, das ist diese Menge,
die Menge aller Fernpunkte, ist die Ferngrade.
Und wie wir hier sehen, die Fernpunkte werden genau auf
die Schnittpunkte von Graden mit F abgebildet.
Also die Bildmenge ist
Und das ist eine Grade. Und damit ist das richtig.
Und Siegma von einer Graden, die jetzt nicht die Ferngrade ist.
Die Graden hatten ja die Gestalt. Beim projektiven Abschließen.
G ohne F, vereinigt mit ihrer Parallelklasse. So war,
wenn ich von der affinen Ebene zu ihrem projektiven Abschluss gehe,
die neuen Graden erklärt,
man nimmt die alten Graden und fügt die parallel klasse
als Fernpunkt hinzu.
Dieser Fernpunkt wird abgebildet auf die gegeschnitten
Die anderen Punkte sind affine Punkte, die werden also auf sich selbst abgebildet.
Also wir haben ja G ohne F vereinigt mit G geschnitten F
und das ist G. Hier haben wir den Schnittpunkt mit F rausgenommen,
hier fliegen wir ihn wieder hinzu, sind wir insgesamt bei G,
haben also auch eine gerade und damit ist das tatsächlich eine Abbildung,
eine bijektive Abbildung zwischen den Punktmengen,
die gerade auf Graben abbildet und somit ein Isomafismus.
Und damit habe ich den ganzen Satz bewiesen.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit