Hallo, ich mache weiter mit den Vorlesungsvideos zur Woche 4
zu projektiven Ebenen. Und wir hatten ja im letzten Video
auch den Begriff der verallgemeinerten projektiven Ebene kennengelernt.
Und jetzt gucken wir uns mal genau an,
was es da für Beispiele gibt.
Und das ist Satz 3,5. Dazu sei P eine verallgemeinerte projektive Ebene.
Dann gilt, dann gelten zwei Sachen
Die erste ist vielleicht die eigentlich wichtige im Sinne von,
was für Typen von verallgemeinerten projektiven Ebenen gibt, ist,
Aussage 1 sagt nämlich Pi ist projektive Ebene oder Nierpencel.
Allgemeiner Nierpencel, wie ich ihn letztes Mal eingeführt habe.
Weitere Beispiele verallgemeinerter projektiver Ebenen gibt es nicht.
Ich hätte hier auch sogar sagen können, entweder oder,
beides. Eine projektive Ebene ist Kanierpencel und umgekehrt.
So, das beweisen wir aber nicht direkt,
sondern mit dem Umweg über Aussage
Falls, in dieser verallgemeinerten Projektiven-Ebene Pi. Folgendes gilt.
Falls gilt, es existieren, geh unter,
zwei Graden, die verschieden sind,
sodass Geh mindestens drei Punkte hat und H auch,
dann ist Pi projektive Ebene
So, genau. Und wir gucken uns an, wie es
gleich mit dem Beweis losgeht. Vorher möchte ich sagen,
ich werde, wie gesagt, Aussage zwei beweisen.
Wir beweisen zwei. Dann folgt eins, das erkläre ich gleich.
Mit einer Zusatzsache, die man auch noch zeigen muss.
Stellen wir uns aber kurz vor, wir könnten eins leicht direkt beweisen.
Das können wir leider nicht. Deshalb müssen wir diesen Umweg
über zwei gehen. Wenn wir eins als gültig annehmen würden,
dann würde zwei sofort folgen.
Wenn wir eine projektive Ebene oder einen Nierpencil haben
Genau, wenn wir eine projektive Ebene haben, dann sind wir in zwei fertig.
Wenn wir ein Nearpencel haben, dann kann diese Voraussetzung nicht gelten.
Und in einem Nearpencel gibt es nicht zwei verschiedene Graden mit mehr als zwei Punkten.
Haben alle bis auf eine Grade, haben zwar genau zwei Punkte.
Das heißt, aus 1 Volk 2 ist eigentlich einfach,
aber wir gehen jetzt den anderen Weg,
beweisen zuerst zwei und überlegen uns jetzt kurz,
dass daraus dann eins folgen kann.
Daraus folgt eins, das kommt gleich,
also der Beweis von zwei,
wenn wir zwei schon haben,
dann folgt eins,
denn es gilt auch Folgendes
Ich schreibe es einmal ab und dann gehen wir es durch,
ist in P, also in unserer verallgemeinerten projektiven Ebene.
Jede gerade, bis auf höchstens eine Ausnahme gerade,
ist auf höchstens eine gerade, die nenne ich jetzt hier Ausnahme gerade.
Zwei punktig, also jede Grade hat genau zwei Punkte.
Es darf eine Ausnahme gerade geben, die mehr als zwei Punkte hat.
So ist P ein Nearpencil. Das kann man auch zeigen,
das wird in der Übung behandelt. Also das machen wir
in der Übung. Und wenn wir das haben und zwei haben,
dann gibt es sozusagen zwei Möglichkeiten für unsere verallgemeinerte projektive Ebene.
Entweder gilt diese Voraussetzung hier, dann liegt nach zwei eine
projektive Ebene vor oder sie gilt nicht.
Das heißt dann, dass keine solchen zwei verschiedenen Graden
G&T gelten
Existieren mit mehr als zwei Punkten, dann gilt genau das,
was hier steht ist, ist auf höchstens eine Ausnahme,
gerade sind alle geraden zweipunktig.
Wenn wir dann gezeigt haben, dann ist PI Nearpencil,
dann haben wir eben auch diese zweite Möglichkeit aufs Nummer eins gezeigt.
Das heißt, um jetzt den ganzen Satz zu beweisen,
müssen wir jetzt nur noch Nummer zwei beweisen.
Und wir setzen also diese Sache voraus,
die nenne ich Sternchen. Es existieren zwei Graden,
die heißen dann auch im Beweis gleich G und H,
zwei verschiedene Graden, die beide mindestens drei Punkte haben.
Genau, und da muss ich dann beweisen,
dass dann schon eine projektive Ebene vorliegt
Also, wer weiß, Beweis von zwei,
sei Sternchen gültig. Also haben wir unsere zwei Garden,
G und H,
die beide mindestens drei Punkte enthalten und sie schneiden sich,
wie in irgendwelche zwei Graden in einer verallgemeinerten Projektiven eben,
die schneiden sich den Schnittpunkt,
nenne ich Z. Und
zu zeigen ist
Das ist das Einzige, was eine projektive Ebene zusätzlich zur
verallgemeinerten Projektiven Ebene hat. Also einzig allein i3 ist zu
zeigen, dass jede gerade mindestens drei Punkte enthält.
Für die geraden G- und H gilt das. Wir nehmen
also irgendeine andere gerade. K in der geraden Menge,
aber ungleich G- und Ungleichhaar zeige, K hat mindestens drei Punkte.
Das ist, was wir machen müssen.
Und wir machen eine Fallunterscheidung. Erster Fall, Z ist
nicht in K. Also die gerade K ist irgendwo hier
Schneidet G und H natürlich, aber nicht in Z. Sondern in anderen Punkten,
die dann auch verschieden sind, X und Y, nenne ich die.
Wenn die gleich wären, wären ja wieder G, gleich Haare. So,
wir wissen, nach Sternchen,
auf G und Haar liegt noch mindestens jeweils ein weiterer Punkt,
X-Strich und Y-Strich, nenne ich die,
X-Strich, zum Beispiel hier, ein Punkt auf G,
der weder X noch Z ist,
Y-Strich, zum Beispiel hier,
ein Punkt auf Haar,
der weder Z noch Y ist
Die beiden Punkte sind verschieden, denn wenn sie gleich wären,
wären sie ihren Schnittpunkt von G und H. Der ist aber Z. Das heißt,
ich kann hier die Verbindungsgrade bilden und die gerade schneidet die gerade K.
In einem Punkt wie. Das heißt, wir haben hier jetzt X,
Y und W auf der Grade K. Wir wollten zeigen,
auf K liegen mindestens drei Punkte drauf.
Wir müssen uns noch kurz vergewissern,
dass wie wirklich verschieden ist von X und Y. Und sowas
ist in sehr vielen Beweisen an der Geometrie der eigentlich schwierige.
Punkt zu gucken, dass nicht irgendwie eine Ausnahmesituation vorliegt,
dass Punkte zusammenfallen, von denen man erst mal nicht vermutet hat,
dass sie zusammenfallen. Ich erkläre hier kurz, wie ungleich.
X. Denn wäre, wie gleich X dann.
Haben wir Folgendes? Dann wäre die gerade G,
die ja die Verbindungsgrade ist von X,
Strich und X, X-Strich X,
dass wir dann dasselbe wie die Verbindungsgrade von X,
Strich und
Wenn wir gleich X wären, Verbindungsgrade von X-Striches und Wesen,
aber diese rote Grade, die nenne ich mal kurz L.
Und dann wäre der Punkt Z,
der ja der Schnittpunkt von G und H ist,
wäre dann auch der Schnittpunkt von L und H,
wenn G gleich L ist,
der Schnittpunkt von L und H ist aber Y,
Y-Strich,
L ist ja die rote,
wäre Y-Strich und das ist ein Widerspruch zur Wahl von Y-Strich,
den wir
eben als verschieden von Z
gewählt haben
Das heißt, W ist ungleich X,
analog kann man zeigen, W ist ungleich Y und insgesamt
haben wir also das auf K mindestens zwei Punkte drauf liegen,
wie gewünscht, nämlich XY W.
So, das ist der erste Fall, der Fall,
dass die gerade K nicht durch den Punkt Z geht.
Jetzt kommt der zweite Fall, dass die gerade K durch
den Punkt Z geht. Zweiter Fall, Z-Element K. Ich
meine, dasselbe Bild nochmal hin mit dem neuen K.
Wie es G, hier ist Ha,
hier ist
Und hier ist jetzt K, geht auch durch Z. So.
Wie eben wählen wir uns unsere Punkte,
X und Y, oder so ähnlich wie eben,
wir wählen uns wieder jeweils einen Punkt,
der von Z verschieden ist, auf G und H,
die nennen wir X und Y und deren Verbindungsgrade,
nenne ich jetzt G-Strich.
Die liegt also so wie in dem ersten Fall, die gerade K gelegen war.
Und das heißt, aus Fall 1 folgt das Gestrich mindestens drei Punkte hat.
So, und jetzt wenden wir Wiederfall eins an,
Fall eins anwenden, statt auf G, H und K,
auf G-Strich H und K. Ich male das hier nochmal raus.
Ha. Die Strich, das sind die neuen Graden,
die vorher G und Ha waren, bei G-Strich mindestens drei Punkte hat,
kann G-Strich die Rolle von G übernehmen. Der Schnittpunkt,
der vorher Z war,
das neue Z ist dann eben der Punkt Y und K. Geht nicht durch Y. Das heißt,
wir haben die Situation wie beim letzten Mal zwei,
beim ersten Fall zwei Graden, jetzt G-Strich und H,
die beide drei Punkte haben, die sich in Y schneiden,
sodass Y nicht auf K liegt.
Das heißt, wieder mit denselben Argumenten wie Fall 1 kriegen wir
auch in dieser Situation das K, größer gleich drei Punkte hat.
Damit haben alle möglichen geraden K, größer gleich drei Punkte, es gilt das Aktion i3
Und damit ist unser Verallgemeinerte projektive Ebene, die diese Voraussetzung erfüllt,
dass diese beiden Graden B und H existiert haben,
ist dann schon eine projektive Ebene, weil i3 das einzige war,
was zu projektiven Ebene fehlte.
Genau, und die eine Sache, die hier noch
übrig ist, die wird in der Übung behandelt.
Genau, vielen Dank für die Aufmerksamkeit