Herzlich willkommen zu diesem Video. Hier geht es um
die Definition einer projektiven Ebene. Wir beginnen also jetzt mit
Kapitel 3 des Skripts und was ist eine projektive Ebene?
Das ist ein Inzidenzraum, der bei mir meistens Pi heißt,
PG, sei ein Inzidenzraum.
Ich nehme hier an, dass die Inzidenzrelation die Elementrelation ist,
dann lässt sich das Folgende ein bisschen leichter formulieren.
Man könnte aber projektive Ebenen auch mit anderen Inzidenzrelationen definieren
Und wir werden sogar viele Beispiele haben, wo die Inzidenzrelation nicht die Elementrelation ist.
Trotzdem schreibe ich es hier erst mal so hoch.
Also Pi sei ein Inzidenzraum. Pi heißt projektive Ebene.
Kürzlich so ab, ruhige Ebene. Genau dann,
wenn neben den Inzidenzraum-Aktionen noch drei weitere Aktionen gelten,
die heißen i3, i4 und i3. E3 kennen sie schon,
das schreibe ich nicht nochmal hin,
dass wir sagt,
es existiert,
es existieren
drei nicht
koordinäre Punkte
So, dann haben wir i3. i3 ist eine Erweiterung von i2.
i3 lautet für alle Graden, gilt die Mächtigkeit,
ist größer gleich 3. Wenn hier zwei stehen würde, hätten wir i2.
Jetzt haben wir hier so i3. Und i4 ist jetzt
was Neues. Für alle Graden, G und H,
gilt die Schnittmenge,
ist nicht leer
Also je zwei Graden schneiden sich. Entweder sind die Graden gleich,
dann ist die Schnittmenge natürlich nicht leer,
aber wenn sie verschieden sind, dann schneiden sie sich auch.
So, und vielleicht erinnern Sie sich an das letzte Video,
den Abschluss des Kapitels 2, da war der projektive Abschluss einer affinen Ebene.
Den hatte ich da eingeführt,
Pi von A. Und da waren wir genau gezeigt,
dass diese beiden Sachen gelten in dem projektiven Abschluss.
Das waren genau die beiden Aussagen des Satzes
Und das formuliere ich jetzt hier oder habe ich im Skript formuliert,
als Satz 3-2, 3-1 kommt gleich,
das sind ein paar kleine Eigenschaften.
Ich möchte den Satz hier schon mal hinschreiben,
weil der direkt an das Vorangehende anknüpft. Der Satz besagt,
dass P von A, der projektive Abschluss einer affinen Ebene,
ist eine projektive Ebene. Das war genau das,
was in dem Satz drin stand, dass diese Sachen gelten.
Und das ist auch ein Inzidenzraum ist. Das haben wir alles in dem Satz behandelt, in dem Satz 2, 9. So,
dann kann ich jetzt hier unten drunter Anfang mit der Bemerkung 3-1,
die ein paar elementarere Schlussfolgerungen aus der Definition hier beinhaltet und die ersten beiden Teilaussagen,
auf die ich mich jetzt vor allen Dingen konzentrieren möchte,
die kann man so formulieren,
da schreibe ich dir sozusagen hier mal die Voraussetzung hin,
die gilt für Teilaussagen 1 und 2 in einer projektiven Ebene Pi gilt.
1 und dann nachher noch eine Aussage 2. Pi sei also
eine projektive Ebene Ein Inzidenzhau mit diesen drei Aktionen,
dann gilt auch noch ein weiteres Aktionen,
was man aus den Inzidenzraum-Axiumen und diesen Aktionen hier folgern kann.
Nämlich, dass Axium I1 Dach, nenne ich das,
das lautet für alle Graden, Geh und H,
die verschieden sind, gilt, es existiert genau ein Schnittpunkt.
Also es gibt genau einen Punkt in der Schnittmenge.
Mit anderen Worten, je zwei verschiedene Graden haben einen
eindeutigen Schnittpunkt
Das folgt natürlich direkt aus diesen, das habe ich eigentlich eben,
hätte ich schon mit sagen können, wenn die gerade gleich sind,
ist die Schnittmenge gleich der Graden natürlich,
aber wenn die gerade verschieden sind,
dann kann die Schnittmenge nicht mehr als einen Punkt enthalten,
weil das I1 widersprechen würde oder anders ausgedrückt,
das haben wir damals im ersten Kapitel in Teil,
in der ersten Aussage Lämmer 1,1 schon bewiesen,
dass in jedem Inzidenzraum die Schnittmenge von zwei verschiedenen Graden entweder leer ist oder einelementig.
Und leer ist sie eben nicht nach unserem Aktion,
deshalb muss sie einelementig sein.
Also dieses gilt
Wegen i4 und Lämmer 1.1. Und warum heißt das hier
i1 Dach? Das ist kein Zufall,
das ist nämlich die duale Aussage, duale Aussage zu i1.
Also wenn ich hier die Begriffe Punkt und gerade vertauschen würde,
hätte ich i1. Hier steht, zu geht zwei verschiedenen Graden,
gibt es genau einen Punkt, der mit beiden Graden inzidiert.
i1 war zu je zwei verschiedenen Punkten,
gibt es genau eine Grade, die mit beiden Punkten inzidiert.
Man könnte auch sagen, Das heißt,
in Pi Dach, der dualen Inzidenzstruktur, gilt I1.
Wenn I1 Dach in Pi gilt, dann gilt I1 in Pi Dach.
So könnte man die duale Aussage generell eine Aussage formulieren.
Und hier ist das eben diese Aussage, die unser Wohlbekannten,
unseren wohlbekannten Aktion I1 in der dualen Inzidenzstruktur entspricht.
So, dann haben wir Aussage
Auch in einer projektiven Ebene Peak gilt,
noch ein weiteres Aktion, das nenne ich E4.
Das ist eine Verschärfung von E3, eine starke Verschärfung.
Es existiert ein Viereck. Das ist jetzt auch eine Definition,
was bei uns Viereck heißen soll.
Das heißt, vier Punkte von denen keine drei kolinear sind
E3 sagt einfach nur, es existieren drei Punkte, die nicht koliniär sind.
Jetzt gibt es hier sozusagen noch einen vierten Punkt,
sodass ganz egal, welche drei aus den vieren ich auswähle,
keine drei koliniär sind.
Und das versuche ich hier gerade mal zu beweisen.
Dieses E4 in einer projektiven Ebene, das mache ich hier in der Ecke.
Also, das ist, habe ich gesagt,
eine Verschärfung von E3. Wir starten also mal mit E3.
Das gilt ja. Wir haben drei Punkte in unserer
projektiven Ebene, die nicht koliniär sind. Das heißt,
diese Verbindungsgraden hier, ich könnte sie auch noch länger zeigen,
dann mache ich hier jetzt mal
Genau, die sind verschieden, die drei Verbindungsgraben. So,
dann gilt in unserer projektiven Ebene aber auch i3. Das heißt,
auf jeder dieser Graden ist noch mindestens ein weiterer Punkt.
Ich zeichne mal nur den hier unten hin.
Und es gilt in der projektiven Ebene,
weil es ja selber ein Inzidenzraum ist, gilt i1.
Das heißt, dieser Punkt und der da drüben,
die haben eine eindeutige Verbindungsgrade
Und für diese gerade gilt auch i3, die hat also
auch noch einen weiteren Punkt. Ich male den mal hierhin.
Den markiere ich jetzt nochmal. Und ich behaupte jetzt,
die drei alten Punkte, die Dreiecksecken,
und dieser hier von mir jetzt in die Mitte gezeichnete Punkt,
die bilden ein Viereck.
Also diese drei sind nicht koordinär, das war die Generalvoraussetzung.
Jetzt müsste ich zum Beispiel zeigen, dass auch dieser,
dieser und dieser nicht koordinärer sind.
Warum ist das so
Also zunächst mal vielleicht dieser,
dieser und dieser sind nicht kollinär,
wenn dieser auf der Verbindungsgrade hier unten liegen würde,
dann müsste er gleich diesen Punkt sein,
weil das der eindeutige Schnittpunkt dieser zwei Graden ist.
Ich habe ihn ja aber jetzt extra so gewählt,
dass er eben von diesem und diesem hier verschieden ist.
So, und jetzt überlegen wir uns noch,
warum die beiden Punkte hier und der Punkt in der Mitte
nicht kollinär sein können.
Wenn die kollinär wären,
dann wäre die rote Grade und diese Grade
wären identisch
Die Verbindungsgrade von diesem und diesem Punkt,
wer gleich der Verbindungsgrade von dem und dem Punkt.
Dann wäre aber der rote Punkt hier unten als Schnittpunkt der
roten Graden mit der Seite hier unten,
wenn die rote gerade gleich dieser Dreiecksseite ist,
wäre der rote Punkt gleich dem Punkt.
Das ist aber auch nicht der Fall, weil ich den
roten Punkt ja im Nachhinein als dritten Punkt hier unten gewählt habe.
Demnach sind also die drei Punkte auch nicht koordinär und analog
sind diese drei Punkte hier auf der rechten Seite ebenfalls nicht koordinär.
Das heißt, wir haben tatsächlich ein Viereck gefunden
So, die beiden Axiome waren mir ganz wichtig,
dass ich die hier auch noch eingeführt habe. Ih eins Dach und E4,
weil man die in der Literatur häufig findet, wenn man projektive Ebenen definiert.
Also ich habe jetzt projektive Ebene definiert als Inzidenzstruktur,
sage ich jetzt mal, mit E1, E2, damit dann Inzidenzraum,
i3, i4 und E4 und E3. Inzidenzraum mit i3,
i4 und E3. Man kann aber auch,
und das ist jetzt die Teilaussage 3 dieser Bemerkung, P-Inzidenzstruktur.
Dann gilt Pi projektive Ebene. Genau dann,
wenn Pi erfüllt, die Eins,
i-1-Dach und E4. Die Eins, i-1-Dach und E4,
das heißt die beiden, neu hinzugekommenen Axiome,
aber ich kann dafür auf i2,
i3,
E3 und i4 verzichten
Und sozusagen von hier, nach hier,
das haben wir gerade bewiesen. I1 ist sowieso erfüllt,
I1 Dach und E4 ist in einer projektiven Ebene auch erfüllt.
Das haben wir gerade uns hier geleitet. Die andere Richtung,
also zum Beispiel, dass aus diesen drei Aktionen schon i3 gilt,
das auf jeder Graden dann mindestens drei Punkte liegen.
Das ist vielleicht erstmal nicht ganz offensichtlich.
Genau, das beweise ich jetzt hier aber nicht.
Der Beweis steht auch nicht im Skript.
Eventuell bringe ich den oder behandeln wir den in der Übung
Muss ich mir noch überlegen. Genau,
und dann gibt es hier in unserer Bemerkung 3.1 noch eine Aussage 4,
die schreibe ich nicht hin,
die habe ich vorhin schon mündlich gesagt,
dass man projektive Ebenen auch mit anderen Inzidenzrelationen als der Elementrelation formulieren und definieren kann,
dann müssen halt die Aktionen klein bisschen anders formuliert werden,
aber das geht auch.
Und das werden wir eben in Beispielen auch später sehen,
dass das zu keinerlei Schwierigkeiten führt.
Genau, damit beende ich dieses erste Video über projektive Ebenen