Herzlich willkommen in der vierten Woche der Vorlesung Geometrie.
Ich habe hier schon was aufgeschrieben, die Definition des projektiven Abschlusses einer affinen Ebene.
Damit starten wir, gehen wir langsam in die Richtung des Kapitels 3 projektive Ebenen.
Dies ist das Ende des Kapitels über affine Ebenen,
der projektive Abschluss ist eine Inzidenzstruktur, die einer affinen Ebene zugeordnet wird,
die dann sich als projektive Ebene erweisen wird.
Und die Idee ist, die Hinzunahme von Fernpunkten,
das habe ich im letzten Video von Woche 3 schon angedeutet,
ganz am Schluss sodass sich zwei Parallele geraden in einem fernen Funk,
zu einem unendlich fernen Punkt schneiden.
Und hier habe ich schon mal die Definition Grob vorgeschrieben,
also gegeben eine affine Ebene. A,
eine projektive Abschluss ist jetzt eine Inzidenzstruktur,
die heißt bei mir P von A,
die projektiven Ebenen werden oftmals P heißen,
die von A ist der projektive Abschluss der affinen Ebene A,
eine Inzidenzstruktur mit einer Punktmenge P und einer geraden Menge G-Strich,
die ich hier unten definiere
Und die Inzidenzrelation in beiden Fällen, die Elementrelation.
So, wie ist G-Strich die Gradenmenge definiert? Folgendermaßen,
zu jeder Grade aus G,
zu jeder Grade der affinen Ebene, wie heißt die?
Machen wir eine neue Grade, G-Strich,
indem wir die Alte gerade nehmen und noch einen Punkt hinzufügen, den Fernpunkt.
Und der Fernpunkt ist dasselbe, wie die Parallelklasse,
G in eckigen Klammern, habe ich hier geschrieben.
Das weiß kein Zufall, sondern es ist wirklich wörtlich zu nehmen.
Das ist die Parallelklasse von Jedi wird jetzt
ein Punkt
Dieser neuen Inzidenzstruktur. Genau. Und geh vereinigt mit Gegner
gegen Klammern, ist eine gerade von diesem P von A.
Und weil ich das jetzt so gemacht habe,
wenn ich zwei Parallele geraden nehmen würde,
geh und H, hätten sie ja die gleiche Paralleleklasse,
also auch den gleichen Fernpunkt und würden sich in diesem Fernpunkt in dieser Inzidenzstruktur dann schneiden.
Genau, und dann kommt noch eine weitere,
das sind die ganzen Graben, gehstrich,
dann kommt noch eine weitere Grade hinzu,
die heißt F,
das ist die Ferngrade,
so heißt die
Und das ist nichts anderes als die Menge aller Fernpunkte,
also die Menge aller Parallelklassen, B-Modulo parallel hatten wir das genannt.
Genau, und die Punktmenge ist jetzt einfach die Vereinigung der Menge der alten Punkte,
der affinen Punkte, sage ich auch,
der Punkte der affinen Ebene und der Fernpunkte.
Also P ist A vereinigt F. Und damit habe ich diese
Inzidenzstruktur definiert. Und jetzt fragen wir uns, was hat
die für Eigenschaften? Vorher bringe ich das eine Beispiel,
was auch im Skript an dieser Stelle jetzt steht,
nämlich der projektive Abschluss des Minimalmodells
Der affinen Ebene mit vier Punkten. Und um hier schnell zum Zuge
zu kommen, skizziere ich das mal anders als üblich.
Also üblicherweise skizziere ich ja das Minimalmodell so.
Das kann ich aber auch anders zeichnen.
Das sind vier Punkte mit ihren zwei elementigen Teilmengen,
also ihren eindeutigen zwei elementigen Verbindungsstrecken, sage ich mal.
Könnte ich auch so zeichnen. Das ist das Gleiche.
Die beiden sind Isomov. Es ist nur anders hingezeichnet.
Und jetzt möchte ich zu jeder Gerade hier, wenn das hier
gerade G ist, Möchte ich dir gerade G-Strich zeichnen?
Und zwar so, dass möglichst diese Parallelitätseigenschaft aus dem Bild schon hervorgeht.
Da gucken wir mal, welche Graden sind hier parallel?
Diese Grade ist parallel zu dieser Graden, weil die sich nicht schneiden.
Und die Parallelklasse besteht nur aus diesen zwei Graden. Das ist,
jede Parallelklasse hat zwei Graden in der Ebene der Ordnung 2.
Und den Fernpunkt dieser Parallelklasse, also G in eckigen Klammern,
den male ich jetzt hier unten hin,
damit sich das zeichnerisch gut machen lässt.
Die male ich
mal eckig
die Fernpunkte
So liegt diese Ecke gepumpt, sowohl auf dieser Graden,
als auch auf der Verlängerten, diesen Graden. Also diese rote Grade,
hier ist jetzt die Grade G-Strich, wenn die zwei Elemente,
die gerade G war und entsprechend hier,
dass wir dann die Grade Haarstrich, mit den drei Punkten drauf,
wenn die zwei Elemente, die gerade Haar war.
Und genauso mache ich das für die anderen Parallelklassen hier und hier,
da kommt hier der Fernpunkt dieser Parallelklasse und schließlich noch hier und hier,
da haben wir hier den Fernpunkt, drei Fernpunkte,
weil wir drei Parallelklassen haben in einer Ebene der Ordnung 2 und Das rote,
diese rote Kurve hier, meinetwegen könnten sie die auch zum Kreis schießen.
Das ist die Ferngarde und das ist genau das Bild,
was sie im Skript ganz vorne sehen.
Beispiel 1, 2, 4. Das ist der
projektive Abschluss von unserem Minimalmodell einer affinen Ebene. So,
jetzt möchte ich, wie schon angekündigt, einen Satz hinschreiben,
der Eigenschaften dieser Inzidenzstruktur beinhaltet.
Unter anderem, dass diese Inzidenzstruktur auch wieder ein Inzidenzraum ist.
Wenn das nicht so wäre, es wäre ungünstig,
weil Inzidenz freue mich ja bei uns
im Fokus stehen
Genau, also das ist Satz 2, 9,
würden wir eine affine Ebene haben,
dann gilt der projektive Abschluss Pi von A,
wie eben gerade definiert, ist ein Inzidenzraum mit noch zwei weiteren Eigenschaften.
Aussage 1, für alle Graden, die nenne ich jetzt mal L,
aus G-Strich, gilt, dass L mindestens drei Punkte hat.
Und zweitens, für alle geraden L und M,
aus G-Strich gilt, wenn L ungleich M ist,
dann ist er geschnitten M, gleich leer.
Also in Worten formuliert, je zwei verschiedene Graden,
haben einen Schnittpunkt. Wenn es ein Inzidenzraum ist,
wissen wir dann auch schon, der Schnittpunkt ist eindeutig.
Und für uns jetzt erstmal nur wichtig ist,
existiert dann ein Schnittpunkt. So, und das will ich
alles beweisen und ich möchte den Beweis nicht im Detail ausführen,
sondern teilweise mündlich und teilweise stichwortartig.
Ich fange mal an mit Aussage 1. Da müssen wir eine
Fallunterscheidung machen. Erster Fall, wenn El die Gestalt gehstrich hat,
weil wir bei unserem Graden eine Fallunterscheidung haben.
Wir haben gerade vom Typ G-Strich und wir haben gerade eine
weitere Grade,
nämlich die Ferngrade
Wenn L vom Typ gehstrich ist, dann folgt L. Grüße gleich drei.
Ist klar, weil gehstrich ist gehvereinigt mit ihrer Parallelhöhklasse.
Und G hat ja schon mindestens zwei Punkte,
weil die affine Ebene ja einen Inzidenzraum ist.
Also hat L mindestens drei Punkte, weil der Fernpunkt hinzukommt.
Und dann haben wir den zweiten Fall.
L ist die Ferngrade, also G-Moduloparallel.
Wie viel Parallelklassen haben wir
Auch dann größer gleich drei, behaupte ich,
das wird im Skript nur so ein bisschen angedeutet.
Wir haben im endlichen Fall gesehen, dass es,
wenn wir Ordnung, Kuh haben,
dass es dann Q plus eins Parallelklassen gibt.
Und wenn Sie den Beweis angucken, haben wir da gezeigt eigentlich,
dass es, wenn wir einen festen Punkt uns auswählen,
die Graden durch den Punkt bilden ja dann ein Repräsentantensystem für die Parallelklassen.
Und also zu jeder, gerade durch den Punkt gehört
eine Parallelklasse und umgekehrt
Und das heißt, es gibt genau eine,
gerade durch einen Punkt mehr, als es Punkte auf einer Graden gibt,
nämlich die eindeutige Parallele zu der gewählten Graden.
Und weil es auf jeder Garden mindestens zwei Punkte gibt,
gibt es mindestens drei Parallelklassen.
Das gilt auch im Unendlichen. Wer möchte, Marc,
sich das nochmal angucken in dem Beweis, den wir damals geführt haben.
Genau, und deshalb ist auch tatsächlich die Anzahl der Parallelklassen
größer gleich drei. In jeder affinen Ebene. Und deshalb hat
unsere Ferne gerade auch mindestens drei Punkte. Das heißt,
damit ist eins gezeigt und damit ist auch gezeigt,
dass die Aussage I2,
das Inzidenzraum Axiom I2 gilt
Da. Das ist ja dieselbe Aussage, wo hier größer
gleich zwei stehen würde. So, jetzt beweise ich,
dass Inzidenzraum Axiom i1 und die Aussage zwei,
den Beweis würde ich dann hier weglassen, weil der,
ja, ähnlich geht oder sie können es im Skript nachlesen,
sowohl bei i1 als auch i2 ist jetzt die Idee wieder,
die eigentlich auch hier schon verwendet wurde.
Man mache eine Fallunterscheidung. Für i1 schreibe ich es
ein bisschen ausführlicher hin. Gegeben, X und Y,
zwei Punkte. Das können jetzt affine Punkte sein,
ich schreibe es vielleicht hier nochmal
Affine Punkte sein oder Fernpunkte. Oder ein Affiner und
ein Fernpunkt. Die drei Fälle gibt es. Gesucht ist
die eindeutige Verbindungsgrade. Also wir setzen noch voraus X,
ungleich Y. Erster Fall, X und Y sind beides affine Punkte.
Dann wissen wir im Affinen, existiert ein eindeutiges Geh,
sodass X und Y auf Geh liegen.
Und dann gilt also hier, es existiert ein eindeutiges Gehstrich,
im Gehstrich, sodass X und Y in Gehstrich liegen.
Und damit sind wir auch schon fertig
Denn theoretisch müsste man noch prüfen,
können nicht X und Y auch auf der Ferngrade liegen.
Aber nein, es ist natürlich nicht der Fall,
weil es affine Punkte sind.
Deshalb sind es keine Fernpunkte und liegen auch nicht auf der Ferngarde.
Zweiter Fall, das ist der etwas schwierigere Fall.
X in A und Y in F, Y in F,
das heißt Y ist eine Parallelklasse.
So, und ich behaupte jetzt,
die eindeutige Verbindungsgrade ist folgende.
Verbindungsgrade ist Haarstrich
Aus G-Strich mit H ist die Parallele durch X zu G.
Diese gerade H enthält X. Also dann ist nämlich X in
H Teilmenge Strich. Also X ist in H Strich.
Und die Parallelklasse von H ist ja gleich der Parallelklasse von
G, so wie ich H gewählt habe.
Das heißt auch, geh in eckigen Klammern,
ist in Haarstrich. Und damit ist das
die eindeutige Verbindungsgrade
Auch hier kann die Verbindungsgrade nicht die Ferngrade sein.
Dritter Fall, das ist der einfache Fall,
wenn X und Y beide in F liegen,
dann ist natürlich die Verbindungsgrade gleich F.
Und damit ist auch dieser Fall abgearbeitet.
Damit ist i1 gezeigt. Und wie schon gesagt,
es fehlt noch die Aussage, zwei zu beweisen.
Da müssen wir auch eine Fallunterscheidung machen. Die Graden ausgehstrich,
könnten entweder beide vom Typ gehstrich sein,
also von dieser Gestalt
Sagen wir mal, eine ist G-Striche und eine ist Haarstrich.
Dann müssen wir zeigen, dass die sich schneiden,
wenn sie sich im Affinen schneiden, sind wir fertig.
Andernfalls sind sie parallel, dann schneiden sie sich aber in ihrem Fernpunkt.
So geht eigentlich schon der Beweis. Und der zweite Fall ist das eine der beiden Graden,
sind ja verschieden, also höchstens eine kann die Ferngrade sein,
aber der zweite Fall wäre der,
dass eine der beiden Graden die Ferngrade ist.
Aber auch dann ist es sehr leicht einzusehen, dass die
sich schneiden. Die Strichgrade und die Ferngrade schneiden sich natürlich
im Fernpunkt von
Genau, damit ist der Satz bewiesen und ich bin mit
meinem ersten Video hier fertig.
Wir haben das Kapitel 2 abgeschlossen und im nächsten Video
geht es dann weiter mit Kapitel 3
projektive Ebenen