Hallo? Ich habe noch eine Sache hier mit Ihnen zu besprechen,
über affine Ebenen. Auch ein bisschen im Hinblick darauf
schon eine kleine Stoßrichtung in Richtung projektiver Ebenen,
aber das wird sich am Ende dieses Videos rausstellen.
Ich habe hier schon hingeschrieben, die Überschrift zentrale Perspektivität.
Ich möchte in einer affinen Ebene eine spezielle Art von Abbildung
einführen, die man zentrale Perspektivität nennt.
Das ist eine Abbildung zwischen zwei Graden, also ganz unpräzise gesagt,
haben wir irgendwelche zwei Graden und ein Zentrum Z, sein Punkt außerhalb.
Und da mache ich jetzt die Abbildung wie folgt,
ich nehme irgendeinen Punkt X auf der Graden,
verbinde den mit Z und den Schnittpunkt hier, den nenne ich Xi von X.
Das ist der Bildpunkt von X unter dieser zentralen Perspektivität,
also die zentrale Perspektivität heißt Xi und ist eine Abbildung zwischen zwei Graden mit einem Zentrum Z.
Das Ganze findet sich im Skript auf Seite 10 Definition,
da ist erstmal eine Definition eins, Parallelprojektion, die möchte ich hier weglassen.
Die brauchen wir erst viel später in der Vorlesung,
dann werde ich sie nochmal einführen.
Also ich bin sozusagen bei der Definition auf Seite 10,
bei Unterpunkt zwei, zentrale Perspektivität.
Und das war jetzt hier nur so eine grobe Idee,
wenn man das streng machen muss, muss man gucken,
existiert dieser Schnittpunkt hier überhaupt?
Theoretisch könnte diese gerade XZ ja zur Graden H parallel sein,
dann existiert sie nämlich nicht. Und um jetzt eine präzise Definition zu machen,
machen wir eine Fallunterscheidung und ich möchte den Fall,
der im Skript weiter unten als zweiter Fall steht,
als erstes bringen, weil wir Weil das der einfachere Fall ist.
Nämlich der Fall, dass die beiden Graden G und H
parallel sind. Geh parallel zu H. Dann können wir
die Abbildung so definieren wie hier in dem Bild.
Xi von G nach H. X wird abgebildet auf X-Z
geschnitten Haar. Achso, ich hätte noch dazuschreiben sollen,
stets seien jetzt G und H immer Graden.
Und Z ein Punkt, der nicht in G-Vereinigt Haar liegt.
Also weder in G liegt noch in Haar liegt
Und im ersten Fall, das geht parallel H ist,
ist das hier eine wohldefinierte Bijektive Abbildung, wohl definiert und bjektiv.
Wohl definiert heißt jetzt in diesem Kontext, dass tatsächlich für jedes X
dieses Objekt Xi von X dann auch ein Punkt ist.
Also dass dieser Schnittpunkt existiert. Machen wir uns das nochmal kurz klar,
wenn G und H parallel sind und Z ist irgendwo,
ich male ihn jetzt mal hierhin und ich nehme einen Punkt X,
Dann ist die Verbindungsgrade natürlich nicht parallel, gehört nicht zur gleichen Parallelklasse,
weil ich ja hier einen Punkt von gehe,
mit einem Punkt außerhalb von gehe, verbinde.
Das ist also mit Sicherheit eine gerade die Nicht-Parallel zu B
und H ist und deshalb auch nach einer kleinen Bemerkung,
die wir neulich hatten, schneidet diese gerade,
die gerade H in genau einem Punkt.
Das ist unser Xi von X und wir haben auch eine Umkehrabbildung,
wenn ich mit einem Punkt von H starte, würde ich mit demselben Prinzip,
also die sozusagen mit derselben Konstruktion kriege ich auch das Urbild
Schneiden sich auch, wenn das Y ist,
ist das Xi hoch minus 1 von Y,
weil wenn ich das wieder mit Z verbinde,
würde ich als Bildpunkt Y kriegen.
Also ist tatsächlich wohl definiert und bijektiv. So, im
zweiten Fall ist das aber nicht so. Da kann eben
der Fall eintreten, das XZ parallel zu haar ist.
Im zweiten Fall, wo G und H untereinander nicht parallel sind.
Da nehme ich ein neues Blatt Papier,
da brauchen wir ein bisschen mehr Input,
um überhaupt die Abbildung vernünftig definieren zu können.
Die Zentralprojekte.
Zentrale Perspektivität
Also wir sind jetzt beim zweiten Fall, der im Skript
als erstes dargestellt wird. Geh nicht parallel zu Haar,
geh schneit, geh unter, schneiden sich also.
Der Punkt kriegt keine besondere Bezeichnung. Hier ist G,
hier ist Haar und wir nehmen wieder einen Punkt Z,
der weder in G noch in Haar liegt.
Ich male ihn hier hin. Und jetzt müssen wir noch
zwei weitere Punkte einführen. Sei hu,
der Punkt Z-Parallelgie
Geschnitten Haar, also die Parallele zu G durch Z,
ungefähr hier, geschnitten Haar, das ist der Punkt Co.
Also dieses Rote hier ist Z-Parallelgie. Und dann haben wir noch den Punkt P,
das ist Z-Parallel-H, Z-Parall, Entschuldigung, Z-Parallel H,
geschnitten G, also mit vertauschten Rollen, Z-Parallel
H ist ungefähr hier
Durch Z parallel zu Haar, Zip parallel H,
schneidet G, ungefähr hier, das ist der Punkt P.
So, das ist also unsere Ausgangssituation und jetzt können wir
die Abbildung Xi definieren, aber ein bisschen eingeschränkt.
Xi ist jetzt nämlich nur definiert auf G,
ohne P, der Punkt P auf G,
den nehmen wir raus oder müssen wir rausnehmen,
das erkläre ich gleich und bildet ab auf Haar ohne Kuh
Den Punkt müssen wir aus Haar rausnehmen. Mit derselben Konstruktion
wie eben. X wird abgebildet auf XZ geschnitten Haar.
Und ich sag wieder und schreibe auch wieder dazu,
das ist auch wieder wohl definiert und bjektiv.
Von dieser Menge in diese Menge. Gucken wir kurz,
warum das wohl definiert ist,
also warum ich eben X tatsächlich einen Punkt auf Haar zuordne.
Mal kurz gucken, wo ich das X gut hinzeichne.
Hier, X ist ein Punkt auf G,
den verbinde ich mit
Weil X nicht P ist, ist diese Verbindungsgrade nicht diese.
Z parallel H ist also nicht... Diese Grade ist dann nicht parallel zu haar,
weil das die eindeutige Parallele durch Z parallel zu haar ist.
Diese Grade ist nicht parallel zu haar und schneidet somit Haar.
In einem eindeutigen Punkt, Xi von X.
Und wir haben auch eine Umkehrabbildung, ist also bjektiv,
wenn ich einen beliebigen Punkt Y auf Haar ohne Kuh nehme,
zum Beispiel diesen Dann kriege ich mit demselben Prinzip hier das Urbild Xi hoch minus 1 von Y.
Und dieser Punkt liegt auch tatsächlich in G ohne P.
Denn diese gerade, die ich jetzt hier gezogen habe,
ZY, ist, weil Y ja nicht Kuh ist,
ist diese gerade nicht die eindeutige Parallele durch Z zu G.
Dann wäre ja Y gleich Kuh. Das heißt,
diese Grade ist ungleich der roten Graden. Die rote Grade
ist die einzige Parallele zu G durch den Punkt Z,
die sie gerade schneidet,
also die gerade
So. Was ich jetzt gerade erklärt habe, zeigt auch nochmal,
also wir haben unsere wohl definierte Bijektive Abbildung,
wir haben nur auf beiden Graden so einen Ausnahmepunkt,
den man rausnehmen muss.
Und warum sind das Ausnahmepunkte? Das erkläre ich jetzt
nochmal und schreibe es nochmal hin.
Bemerkung für X gleich P ist Xi von X nicht definiert.
Oder wenn ich X gleich P genommen hätte,
was ja hier nicht erlaubt ist,
aber stellen wir uns vor,
es wäre erlaubt
Dann wäre die Verbindungsgrade XZ, wir ja dann PZ,
wir diese Grade, die es aber parallel zu haben.
Das heißt, es wird niemals ein Schnittpunkt geben.
Und für Y gleich Kuh existiert kein Urbild. Das habe ich,
glaube ich, eben schon erklärt. Wenn Y gleich Kuh wäre,
wenn ich also auf der Graden Haar,
jetzt nicht den Ausnahmepunkt Kuh wähle, rausnehme,
sondern doch wähle und würde mit demselben Konstruktionsprinzip ein Urbild suchen,
dann müsste das der Schnittpunkt der roten Graden Z-Kuh mit G sein.
Da die rote Grade aber parallel zu G ist, Existiert kein Urbild.
Deshalb muss man diese beiden Ausnahmepunkte hier einführen.
Und die Idee im Folgenden wird jetzt sein,
das schreibe ich hier nur so an die Ecke,
das kommt dann in der nächsten Woche, präziser,
Idee ist, sozusagen, wir haben hier kein Bild für x gleich P.
Hier schneidet nicht. Und für Y gleich Kuh haben wir
kein Urbild, weil die geraden sich auch nicht schneiden.
Und jetzt fügen wir
künstliche Schnittpunkte ein
So könnte man das sagen. Ergänze,
wie und haar und schließlich dann jede gerade der affinen Ebene,
um einen Punkt, den nennt man dann Fernpunkt.
Um einen Fernpunkt. Das heißt, diese beiden Parallelen schneiden sich,
wie man vielleicht sagen könnte, im Unendlichen,
also in der Ferne, auf einer Ferngrade, wie man auch sagt,
ein neu hinzugekommener Schnittpunkt für zwei parallele Graden, ergibt sich.
Also so, dass das hier nicht existierende Xi von X,
für X gleich P,
sodass also Xi von P gleich Fernpunkt von H und Xi
hoch minus 1 von Q gleich Fernpunkt von G ist.
Das machen wir einfach so. Und zwar so auch noch,
das habe ich sozusagen dann implizit hier mit drin,
dass die beiden Parallelen sich in dem Fernpunkt schneiden
Es wird insgesamt so geschehen,
dass nicht nur G&H um ein Entfernpunkt ergänzt werden,
sondern jedes, jede gerade der affinen Ebene.
Und zwar so, dass zwei Graden den gleichen fernen Punkt haben, wenn sie parallel sind.
Zwei Geraden von A, von unserer affinen Ebene erhalten,
die den gleichen Fernpunkt, wenn sie parallel sind.
Also die Parallelen schneiden sich dann nachhin Zunahme der Fernpunkte eben
doch aber nicht in einem gewöhnlichen Punkt der affinen Ebene,
sondern in diesen neu hinzugenommenen Fernpunkten.
Und das, was dann entsteht, die Inzidenzstruktur,
das ist dann eine projektive Ebene.
Und alles das behandeln wir in der nächsten Vorlesungswoche,
hiermit verabschiede ich mich aus dieser Vorlesungswoche und bin gespannt,
wie es dann damit weitergeht