Herzlich willkommen. Ich habe hier aufgeschrieben die Definition der Ordnung einer affinen Ebene.
Das ist im Skript Seite 9 im unteren Drittel und das
basiert auf dem, was wir letztes Mal gemacht haben,
nämlich der Eigenschaft einer affinen Ebene,
dass je zwei Graden die gleiche Mächtigkeit haben.
Wenn wir dann eine affine Ebene A nehmen und eine beliebige Grade auswählen,
dann nennen wir die Mächtigkeit dieser Graden G,
die Ordnung von A
und schreiben Ort
Im Skript sind hier die Klammern weggelassen, das ist Geschmackssache.
Wichtig ist, was ich hierhin geschrieben habe, diese Ordnung,
so wie sie hier jetzt definiert, es ist wirklich wohl definiert.
Das heißt hier unabhängig von der Wahl der geraden G.
Wenn ich eine andere gerade Haar gewählt hätte,
hätte sie dieselbe Mächtigkeit gehabt.
Das heißt, es wäre dasselbe rausgekommen. Und diese Mächtigkeit
kann entweder eine natürliche Zahl sein oder im unendlichen Fall eben eine unendliche Kardinalzahl.
Und ich habe hier ein Beispiel schon angefangen, hinzuschreiben,
die Ordnung der affinen Ebene über einem Körper
Das ist nämlich einfach die Mächtigkeit des Körpers Karl.
Also wenn wir einen endlichen Körper haben, haben wir diese
endliche Zahl bei Reellenzahn, zum Beispiel haben wir eben unendlich.
Das genauer über Kardinalzahlen wollen wir uns nicht vertiefen,
also dann würden wir einfach unendlich sagen,
im Skript stehen da drei Beispiele, die anderen überspringe ich hier.
Das dritte Beispiel im Skript ist hier für R statt K.
Ich möchte es gleich für K hinschreiben oder habe es hier
schon für K hingeschrieben und möchte kurz sagen, warum das so ist.
Das ist ganz einfach, man muss eben zeigen,
dass eine beliebige Grade dieser affinen Ebene Die gleiche Mächtigkeit hat,
wie der Körper K. Und das ist ganz klar,
denn eine beliebige Grade hat ja die Gestalt A plus BK.
Das ist die Menge aller A plus B. Lamda, Lamda, Auskar.
Und die können wir jetzt bjektiv abbilden auf K,
indem wir A plus B, Lamda abbilden auf Lamda.
Das ist bjektiv, weil B nicht der Nullvektor ist.
Genau, also haben wir für alle affinen Ebenen von dieser großen Beispielklasse
Die Ordnung kennen wir schon mal. Jetzt möchte ich aber in dem nächsten Satz,
der jetzt kommt, der ist ja viel Inhalt enthält,
affine Ebenen, endlicher Ordnung angucken.
Da können wir nämlich dann einiges abzielen. Also wenn wir
die Ordnung kennen, dann kennen wir eigentlich alle.
Dann wissen wir, wie viele Punkte gibt es insgesamt?
Wie viele Graden gibt es insgesamt und ähnliches?
Und das ist der Satz 2008. Dazu sei A,
eine affine Ebene, auf viele Ebene, der Ordnung,
Kuh, nenne ich die, eine natürliche Zahl.
Dann gilt. Teilaussage null, null habe ich die genannt,
weil sie sozusagen trivial ist und direkt aus der Definition folgt,
die Mächtigkeit einer beliebigen Graden ist immer Kuh,
also auf jeder Grade liegen genau Kuhpunkte drauf für alle Graben, geht das.
Und wir erinnern uns nochmal an unser Minimalmodell,
da liegen auf jeder Graben zwei Punkte,
Kuh muss überhaupt, kann nicht kleiner als zwei sein,
wegen IZ liegen ja auch wieder gerade mindestens zwei Punkte drauf.
Wenn Kuh gleich zwei ist, dann hat jede gerade zwei Punkte.
Und auch nach dem Satz 2006, den wir letztes Mal hatten,
sind nicht nur die zwei Graben gleichmächtig,
sondern die sind auch noch wieder gleichmächtig zu jeder Parallelklasse.
Also jede Parallelklasse hat jetzt auch coole Elemente.
Auch wieder für alle Graben. Das folgt aus dem Satz 2006
vom letzten Mal. Das schreibe ich jetzt nicht hin.
Dann haben wir die Aussage zwei
Wir betrachten die Menge aller Graben durch einen festen Punkt.
Die nenne ich GX. Da schreibe ich hier vielleicht mal vorab hin.
X, ein Punkt. Dann ist die Menge aller Haar,
aller Graben Haar, sodass Gilt X liegt auf Haar.
Das definieren wir so. Dann gilt, Entschuldigung,
schieb das mal hoch. Also G, Index X
sei die Menge aller Graben durch einen festen Punkt X.
Dann gilt diese Menge GX, hat Q plus 1 Elemente.
Und das gilt für alle
X aus A. Ist also auch wieder beliebig. Er ist
auch wieder unabhängig davon, welchen Punkt X ich nehme.
Also es gibt auf jeder geraden liegen Kuh-Punkte durch jeden Punkt
den Q plus 1 Graden. Wenn Sie das Minimalmodell sich
vor Augen führen, da wäre Kuh gleich zwei.
Durch jeden Punkt gehen drei Graben. Plus 1. Das beweise
ich jetzt auf dem nächsten Zettel. Ich möchte es ein
bisschen anders hinschreiben, als es im Skript erklärt ist.
Und zwar wieder, wie wir das vorher bei den Gleichmächtigkeiten
hatten,
mit einer Bijektion
Trotzdem fange ich erst mal mit meiner Skizze an.
Und zwar wählen wir für den Beweis von zwei,
also durch jeden Punkt gehen Q plus 1 graden, wollen wir zeigen.
Wir nehmen uns den Punkt und wählen als Hilfskonstrukt hier
eine gerade K, die X eben nicht enthält.
Außerdem möchte ich hier einführen, die Bezeichnung, K Strich,
für die eindeutige Parallele, durch X zu K.
Und ich beraubte jetzt das folgendes,
eine Viektion ist und vielleicht gucken Sie dann den Beweis im Skript nochmal an,
dass der im Prinzip dasselbe besagt wie das,
was ich jetzt hier hinschreibe.
Von GX ohne K
Also von der Menge aller Graden, durch X,
das deute ich mal so an.
Nach K, also in die Menge der Punkte auf K,
jeder geraden Haar ordne ich zu, Haar geschnitten
K. Wenn das hier die gerade Haar ist,
dann schneidet sie K und diese Grade schneidet auch K und diese auch, weiter oben hier.
Und umgekehrt habe ich eine Umkehrfunktion, wenn ich hier einen Punkt habe,
habe ich auch die Verbindungsgrade, das ist das Urbild.
Also es ist wirklich eine Viektion, Dieser Schnittpunkt existiert immer und ist eindeutig,
weil Haar jetzt eben ungleich Karstrich ist, also nicht parallel zu K.
Und dann wissen wir schon, dass dann der Schnittpunkt eindeutig ist.
Wir haben also eine Bijektion, K hat Kuhpunkte,
GX, da haben wir jetzt einen rausgenommen.
Die Mächtigkeit von GX ist also,
die Mächtigkeit von K plus 1,
weil wir hier einen rausgenommen haben,
im GX haben wir einen mehr und das ist Co-Plus
1,
weil K Yaku-Punkte ent
Hält, weil Karne gerade ist. Damit habe ich gezeigt,
durch jeden Punkt gehen Q plus 1 Graben. So,
wenn wir das wissen, können wir alle Punkte abzählen.
Weil Aussage 3, die Gesamtpunktzahl ist Q-Quadrat. Nochmal hier,
im Minimalmodell, Huver 2, die Gesamtpunktzahl ist 4.
Also wenn wir eine affine Ebene haben,
wo auf jeder Graden nur zwei Punkte liegen und weniger können es ja nicht sein,
wenn da genau zwei immer draufliegen,
dann muss diese Ebene vier Punkte haben,
dann ist sie
dieses Minimalmodell
So, warum ist das so? Ich gucke eine beliebige
Fässe gerade an, also hier symbolisiere ich mal meine Punktmenge
A durch so ein Kästchen, so eine Ebene.
Ich nehme mir eine feste Grade und gucke, deren Parallelklasse an.
Und also das hier ist die Parallelklasse von G.
Und diese Parallelklasse von G ist eine Partition von
Das heißt, hier zwei Elemente der Parallelklasse sind des Jung oder gleich,
also wenn sie verschieden sind, sind sie das jung.
Und wenn ich irgendeinen Punkt von A habe,
dann habe ich eine Parallele, also ein Element der Parallelklasse.
Das heißt, jeder Punkt von A liegt in genau einer Parallelen,
nach den parallelen Aktionen. Ist das wirklich also eine Partition?
Und wenn ich jetzt die Elemente von A abzählen will,
muss ich nur die einzelnen Parallelen abzählen. Das heißt,
die Mächtigkeit von A ist die Summe über alle Parallelen,
die nenne ich K,
so ist das
auch im Skript
Über alle geraden K aus der Parallelklasse und für jede gerade K
zähle ich, wie viele Punkte da drauf liegen.
Nach Nummer zwei, nein, nach Nummer eins dieses Satzes,
gibt es genau Kuh, solche geraden K, Kuh-Parallelen, zu G.
Und nach Nummer 0 hat jede gerade Kuh-Punkte. Das heißt,
wir haben hier Kuh, mal Kuh, gleich Kuh-Quadrat.
Damit ist die Anzahl der Punkte auf der gesamten Punkte der affinen Ebene immer Kuh-Quadrat.
Also wenn wir eine affine Ebene endlicher Ordnung haben,
dann ist schon klar, Mächtigkeit der Punktmenge ist eine Quadratzahl.
So, wir wollen noch die Mächtigkeit der Graben rauskriegen.
Und dazu machen wir noch unter Nummer 4. Gucken wir erst
mal an, wie viele Parallelklassen gibt es. Um dann
so ein ähnliches Argument im allerletzten Schritt anwenden zu können.
Wir gucken die Parallelklassen an. Das ist die Menge der
Parallelklassen-G-Module parallel. Und das sind Q plus 1 Stück.
Also die Anzahl der Parallelklassen ist Q plus 1.
Den Beweis möchte ich auch wieder mit einer Biation führen,
etwas anders als im Skript.
Sie können ja mal vergleichen
Ich mache das mal relativ knapp. Wir haben eine Bijektion.
Was wissen wir schon? Q-Plus-1 kam vorhin schon mal vor
. Das ist die Anzahl der Graben durch einen Punkt.
Wir wählen also einen festen Punkt X und zeigen,
es gibt eine Bijektion von G-Modulo parallel nach G-X. Jeder Parallelklasse wird zugeordnet,
die eindeutige Parallele durch X aus dieser Parallelklasse.
Das ist wirklich wohl definiert, müsste man sich überlegen.
Ich könnte ja die Parallelklasse auch Ich bin Haarstrich parallel zur Rais,
könnte ich hier auch Haar parallel klasse von Haarstrich schreiben,
aber weil eben das Ganze eine Äquivalenzrelation ist,
führt das hier auf dieselbe Parallele dann, nach den Parallelenaktionen.
Diese Gerade ist überhaupt, dass sie existiert und eindeutig ist,
sie ist ja das Parallelen-Axium. Und wir haben auch eine Umkehrabbildung,
also es liegt tatsächlich wieder eine Vijektion vor, also die,
wenn ich jetzt in die Richtung gehen würde,
würde ich eine gerade durch X nehmen, das mag ich mal hierhin.
Eine feste Gerade durch X, wenn ich mit der starte,
gehe, dann nehme ich als Parallelklasse natürlich die Parallelklasse
Von G. Und wenn ich die wieder abbilde mit der Vorschrift hier,
dann ist, geh selber, die eindeutige Parallele aus der Parallelklasse,
in dem Fall jetzt von G, durch X. Das heißt,
diese beiden Mengen sind gleich mächtig,
von der wissen wir schon, sie hat Q plus 1-Elemente,
dann hat diese auch Q plus 1-Elemente.
Und schließlich kommt noch die, wie schon angekündigt,
die Gesamtzahl aller Graben, das ist Kuhquadrat plus Kuh.
Nochmal unser Minimalmodell,
Kuh war gleich
Es gibt sechs Graden, das ist Kuver gleich zwei,
Entschuldigung, es gibt sechs Graden, das ist zwei Quadrat plus zwei.
Und das gilt eben auch allgemein. Und das sieht man jetzt wieder
ähnlich wie vorhin beim Punkte abzählen, mit dem Begriff Partition.
Gehmoduloparallel ist Partition von G. Weil parallel eine Äquivalentsrelation ist.
Dann sind die Parallelklassen eine Partition. Jede Grade gehört zu
genau einer Parallelklasse. Und wenn wir also G abzählen wollen,
zählen wir die einzelnen Parallelklassen Für jede Parallelklasse zählen wir Ihre Elementszahl.
Und das summieren wir auf. Und wie viele Parallelklassen gibt
es? Das haben wir gerade hier oben hergeleitet.
Das war Aussage 4, Q plus 1 Stück.
Und in jeder Parallelklasse sind nach Aussage 1 Kuhstück drin.
Jede Parallelklasse entsteht, enthält Kuh-Elemente. Das war Aussage 1.
Genau. Und das ist wie behauptet, Kohquartat plus Kuh
Und damit habe ich diesen Satz bewiesen. Jetzt wissen wir,
jedenfalls von den Anzahlen her, alles, was einen interessieren könnte,
über affine Ebenen endlicher Ordnung. Wenn man die Ordnung kennt,
kennt, weiß man, wie viele Punkte es insgesamt gibt,
wie viele Graden es insgesamt gibt,
wie viele Punkte auf einer Graden liegen,
wie viele Graden durch einen Punkt gehen,
wie viele Graden in einer Parallelklasse es gibt und wie viele Parallelklassen es insgesamt gibt.
Und damit können wir dann später etwas anfangen.
Und das ist eine nützliche Aussage. Und man fragt sich
dann noch, welche Kuh sind überhaupt möglich?
Wir kennen bis jetzt nur Kuh gleich zwei für unser Minimalmodell
Aber auch jedes andere Kuh nehmen, also jedes andere Kuh kommt,
als Ordnung einer endlichen affinen Ebene vor, sofern es,
Entschuldigung, wo hatten wir das,
hier auf der ersten Seite von heute,
sofern es einen Körper mit Kuh-Elementen gibt.
Dann haben wir auch immer ein Beispiel. Eine affinen Ebene
der Ordnung Kuh. Also da werden wir auch später nochmal darauf zurechtzusprechen kommen,
für welche Kuh gibt es überhaupt affine Ebenen dieser Ordnung.
Aber jedenfalls, man kann eine ganze Menge relativ elementar zeigen,
über das Abzählen von Punkten und Graden in affinen Ebenen endlicher Ordner.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit