Herzlich willkommen. Sie sehen hier schon,
ich möchte ein nächstes Ziel formulieren,
was jetzt als nächstes bewiesen werden soll,
im Zusammenhang mit affinen Ebenen, nämlich in jeder affinen Ebene,
in einer affinen Ebene gilt, dass je zwei Graden gleich mächtig sind.
Sind je zwei geraden gleichmächtig, haben also gleich viele Punkte.
Es können unendlich viele oder auch endlich viele sein,
aber auf jeden Fall
gleich viele
Die Mächtigkeit von G ist immer gleich der Mächtigkeit von H.
Und um das zu zeigen,
das werden wir dann später definieren als die Ordnung der affinen Ebene,
die Mächtigkeit einer Graden und das ist dann unabhängig davon,
welche konkrete gerade ich nehme, um das zu zeigen,
gehen wir wie üblich vor, wenn man gleich Mächtigkeit zeigen will.
Wir suchen und finden eine Rejektion von irgendeiner Garden G in
irgendeine Garde H. Und dazu machen wir erst eine Vorüberlegung.
Das ist die Bemerkung
Und hier und im Folgenden werde ich jetzt nicht mehr immer dazu schreiben,
sei A, Komma G, eine affine Ebene.
Das setze ich die ganze Zeit als Vorrat als bekannt und als gültig voraus.
Wir nehmen zwei Graden G und H. Und wir nehmen auch noch,
ach so, und wir setzen voraus, dass G geschnitten Haar,
die Mächtigkeit der Schnittmenge, gleich eins ist.
Also zwei Graden, die sich in einem eindeutigen Punkt schneiden.
Die zeichne ich hier schon mal hin,
geh und Haar
Und dass die Schnittmenge aus genau einem Punkt besteht, das ist ja nichts anderes,
als zu sagen, geh es nicht parallel zu wahr.
Parallel sind die garantiert nicht und wenn sie parallel,
wenn die gerade parallel sind, dann ist die Schnittmenge mehr als ein Element,
ich dann nennt die gerade gleich oder null Elemente,
dann sind die gerade verschieden.
Und es gibt im Inzidenzraum nur noch einen weiteren Fall,
nämlich, dass die Schnittmenge eins ist, einelementlich ist.
Und das ist also nicht parallel. So,
das ist die Voraussetzung,
mit Brachbetrachten
zwei Nichtparallele geraden
Und dann gilt, für alle Graden geh Strich, aus der Parallelklasse von G.
Und alle geraden Haarstrich, aus der Parallelklasse von Haar,
gilt, dass auch die Schnittmenge von G-Strich und Haarstrich einelementig ist.
Ich male das hier mal hin, wenn das hier G
ist, dann wäre G-Strich zum Beispiel hier.
Eine Parallele zu G, Haarstrich zum Beispiel hier,
eine Parallele zu Haar und die Aussage ist,
auch für Gehstrich und Haarstrich existiert hier ein eindeutiger Städtpunkt
So, und das beweist man ganz einfach.
Mit Widerspruch. Annahme, die Schnittmenge wäre nicht einelementig.
Dann folgt nach dem, was ich eben gesagt habe,
dass dann G-Strich und Haarstrich parallel wären.
Ich schreibe das hier nochmal ein bisschen ausführlicher.
Nach 1-1, ganz vom Anfang,
ist dann die Schnittmenge.
Entweder leer oder G-Strich
ist gleich Haarstrich
Das benutzen wir. Und wenn wir das haben,
Schnittmenge leer oder gleich, das ist ja nichts anderes
wie zu sagen, sie sind parallel.
Die Strich-Parallel-Haar-Strich. Dann folgt aber, jetzt gucken wir nochmal
, was wir haben. Wir haben G-Strich,
ist in der Parallelklasse von G. Also G- und G-Strich sind parallel
G, ist parallel zu G-Strich. G-Strich ist parallel zu
Haar-Strich. Und Haar-Strich ist jetzt wieder parallel zu Haar,
mit der Transitivität der Parallelitätsrelation, folgt also,
dass auch G parallel zu Haar ist,
im Widerspruch zu unserer Voraussetzung
Und damit ist diese Bemerkung bewiesen. Wenn ich also
zwei schneidende Graben habe und ich nehme zu der ersten Graden
eine Parallele und zu der zweiten Graden eine Parallele,
dann schneiden die sich auch in einem eindeutigen Schnittpunkt.
Das benutzen wir jetzt gleich in dem nächsten Satz,
der jetzt diese Bijektion hier nennt und findet.
Und erklärt, wie die aussieht.
Dazu sein, wieder Geh und Haar, zwei Graden einer affinen Ebene
und sei auch noch K eine Grade mit der Eigenschaft,
dass K nicht parallel ist zu gehen und auch nicht parallel zu Haar.
Vielleicht könnten Sie kurz überlegen, dass es eine solche Grade K tatsächlich immer gibt.
Das stimmt aber. Das versuchen Sie sich bitte klarzumachen.
Ich mache hier eine Skizze, Geh und Haar sind irgendwie,
ob die sich schneiden oder nicht,
ist irrelevant
G und H. Und wir nehmen eine gerade K,
die zu keiner der beiden parallel ist.
Also, wie ich gerade mehrfach erklärt habe,
die G und H in einem eindeutigen Punkt schneidet.
Dann gilt. Folgende Aussage 1. Und das ist schon die Aussage,
auf die wir hinaufgezielt haben, nämlich die Viaktion von G nach H.
Die Abbildung heißt Vieh. Die geht von G nach H.
Die bildet einem beliebigen Punkt X. Das mache ich
gleich in der Skizze. Auf G bildet sie ab auf
die Schnittmenge von G parallel
X-Parallel H, wie X-Parallel K, Entschuldigung, X-Parallel K, geschnitten Haar.
So, das zeichne ich hier mal eben ein.
Wir nehmen einen beliebigen Punkt auf die X. Dann ziehen wir
die Parallele durch X zu K. Karstrich könnten wir sie nennen. So,
da jetzt H und K sich in einem eindeutigen Punkt schneiden,
sagt uns die Bemerkung aus dem von eben gerade,
dass sich auch diese Parallele zu K,
ich mache das mal so, wir sind parallel,
sich auch mit Haar in einem eindeutigen Punkt schneidet.
Also dieser Punkt existiert eindeutig nach der Bemerkung, die wir eben gerade hatten.
Nach 2,5. Man könnte also auch sagen, diese ganze Sache hier ist wohl definiert.
Jeden X wird tatsächlich ein eindeutiges Bild in Haar zugeordnet.
Und die Aussage ist, dass das hier eben eine Bijektion ist.
Und das ist auch klar, ganz einfach einzusehen,
für Bijektion könnte man nämlich zum Beispiel zeigen,
es gibt eine Umkehrabbildung und die ist natürlich ganz klar,
wie die definiert ist, wenn ich hier starte mit in einem Y,
Auf Haar, dann mache ich genau den umgekehrten Prozess,
bilde auch die Parallele und finde hier das Urbild.
Genau, also mit anderen Worten, das ist tatsächlich eine Bijektion.
Und wir haben das, was wir wollten,
dass wir zwischen G&T eine Bijektion haben.
Und das ist ja nichts anderes, als dass man sagt,
dass G&H gleichmächtig sind. So würde man gleichmächtig definieren.
Speziell für unendliche Mengen. Die sind dann genau dann gleichmächtig,
wenn sie die gleiche, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.
Also diese Gleichmächtigkeit gilt nach Eins
Aber es geht noch mehr, dass diese beiden geraden auch
gleich mächtig sind zu dieser geraden K, die wir hier genommen haben.
Das gilt natürlich analog. Wenn sie hier zum Beispiel haargleichmächtig
zu K zeigen würden, dann wählen sie eine gerade L,
die nicht parallel zu Haar und nicht parallel zu K ist.
Die gibt es auch und machen denselben Beweis und sehen auch hier die Gleichmächtigkeit.
Also G und H waren ja hier völlig beliebig.
Sie könnten den Beweis auch für H und K führen.
Und viertens oder drittens, es gibt noch eine dritte Gleichheit.
K ist auch noch gleichmächtig zu Der Parallelklasse, zum Beispiel von D,
Stadt G kann ich auch jede andere gerade hinschreiben, zu einer Parallelklasse.
Also jede Parallelklasse, das ist ja eine Menge von Graden
, ist gleichmächtig zu jeder Graden.
Zu Kali in diesem Fall. Das müssen wir auch noch
beweisen. Dafür geben wir auch eine Bijektion an.
Sie, die geht von der Parallelklasse von G nach K.
Dafür male ich ein neues Bild hier unten hin.
Ich schreibe es erst mal hin,
wie ich die definiere, ein Element aus der Parallelklasse,
reist Gehstrich
Also eine gerade parallel zu G, die wird abgebildet auf
Psy von Gestrich, das ist Gestrich geschnitten K.
Und ich zeige das nochmal hier am Bild.
Wenn hier G ist und hier K,
nach Voraussetzungen nach wie vor K, ist eben nicht parallel zu G.
Und ich habe jetzt die Parallelklasse von G. Das sind alle Garden parallel zu G.
Das ist die Parallelklasse von G. Und eine davon,
zum Beispiel diese, ist jetzt unser Gehstrich,
was wir einsetzen, Nach der Bemerkung von vorher, 2,5,
gilt auch hier, dass hier ein eindeutiger Schnittpunkt vorliegt,
weil ja G, einen eindeutigen Schnittpunkt mit K, hatte,
muss auch jede Parallele einen eindeutigen Schnittpunkt mit K haben.
Das ist G, das ist Psy von G-Strich.
So kann ich das schreiben. Genau, das ist also
auch wieder eine wohl definierte Abbildung. Und auch die hat
eine Umkehrfunktion, ist also auch eine Biotion. Die Umkehrfunktion ist jetzt,
wenn ich, also von K in die Parallelklasse starten würde,
würde ich hier einen Punkt Y nehmen,
dessen Urbild wäre die eindeutig bestimmte Parallele durch Y zu gehen.
Also wir das Urbild von diesem Y, wenn ich die,
diese rote gerade wieder mit Psy abbilde,
lande ich bei Y. Ich habe also tatsächlich eine Umkehrabbildung gefunden,
die Funktion ist bieektiv.
Und wir haben also auch hier die Gleichmächtigkeit. Je zwei Graben
sind gleichmächtig und auch jede Parallelklasse ist gleichmächtig zu jeder Graden.
Und diese Mächtigkeit, im endlichen Fall wäre das eine natürliche Zahl,
Wie nennt man die Ordnung der affinen Ebene?
Die werde ich im nächsten Video dann nochmal formal definieren und
wenn man die Ordnung hat, insbesondere im endlichen Fall,
da kann man vieles mit anfangen.
Ja, aber für jetzt mache ich hier erstmal Schluss und
beende dieses Video.
Vielen Dank