Hallo, hier machen wir weiter mit dem Konzept der affinen Ebene.
Ich erinnere noch einmal kurz daran, was eine affine Ebene war,
ein Inzidenzraum, gezeichnet mit A mit Doppelstrich,
Punktmenge Großa, geraden Menge, geschwungen, geh,
Inzidenzrelation, weil sie hier nicht aufgeführt ist,
heißt das, wir nehmen die Elementrelation.
Und also ich schreibe es nochmal hin,
das ist also ein Inzidenzraum,
es gelten i1 und i2
und es gelten außerdem P und
E3 war, es existieren drei, nicht koordinäre Punkte,
das symbolisiere ich mal so. Und P war das Parallelenaxium
zu jeder Graden und jedem Punkt existiert eine eindeutige Parallele.
Zu der gegebenen Graden durch den gegebenen Punkt.
Und vielleicht erinnere ich nochmal, parallel war definiert,
die parallel H, bedeutet, geh ist gleich Haar oder geh geschnitten
Haar ist die leere Menge. Und dann können wir gleich
eine kleine Aussage beweisen
Merkung 2.1, die Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.
Das ist ganz einfach zu beweisen. Äquivalenzrelation, reflexiv,
symmetrisch, transitiv, reflexiv und symmetrisch ist klar.
Die ist parallel zu sich selbst und wenn geh parallel zu a ist,
also wenn dieses hier gilt, geht das genauso mit vertauschten Rollen.
Das einzige Nicht-Triviale ist Transitivität, Transitivität, zu zeigen,
Wenn die parallel H und H parallel K, dann auch G-Parallel K.
Und wir setzen jetzt also voraus, dass dieses hier gilt,
wie parallel H und H parallel K und wollen zeigen,
dass dann auch G parallel zu K ist.
Wir machen eine Fallunterscheidung. Erster Fall,
wenn die Gleichkar ist, dann sind wir fertig.
Nee, sorry, das war nicht mal ein erster Fall.
Wenn die geschnitten K die leere Menge ist
Diese Sache hier, dann sind wir fertig. Und der
zweite Fall ist jetzt, wenn die Schnittmenge nicht leer ist,
dann existiert also mindestens ein Element da drin.
Das nenne ich X, ein Punkt X. Es könnte G jetzt
gleich klar sein, er würde nicht nur einen Punkt existieren.
Und wenn sie eben verschieden sind, dann existiert dieser eindeutige Schnittpunkt.
Das möchte ich jetzt beides gemeinsam berücksichtigen. Und ich verwende
jetzt das Parallelen-Axio. Also nach dem parallelen Axiom gilt,
gegeben eine gerade Haar, die nehme ich jetzt,
die hier steht
Und dieser Punkt X, dann gibt es eine eindeutige Parallele
zu Haar durch X. Die hatten wir geschrieben als X-Parallel H.
Die eindeutige Parallele. Durch X zu Haar,
nach Voraussetzung ist jetzt G parallel zu Haar und enthält X. Das heißt,
dies ist gleich G. Andererseits ist aber auch K parallel zu Haar.
Hier steht Haar, Parallel K,
aber aus Symmetrie ist dann auch K parallel zu Haar.
Und das und K enthält auch den Punkt X.
Das heißt, diese eindeutige Parallele ist außerdem gleich K,
wegen der Eindeutigkeit oder hier dieser Gleichungskette
gilt G gleich
Geh gleich K. Und dann folgt natürlich auch, geh parallel zu K.
Was wir wollten. Und der Beweis ist abgeschlossen.
Wir haben eine Äquivalenzrelation. Parallel ist eine Äquivalenzrelation.
Und die Äquivalenzklassen. Ey, Klassen, schreibe ich hier
mal kurz. Eheklasse von G. Die heißt auch Parallelklasse.
Und die Bezeichnung ist, geh in eckigen Klammern.
Das ist also die Menge aller zu, geh Parallelen graben.
Und dann benutzen wir noch
die Symbolik
Geh. Modulu parallel. Das ist die Menge aller Parallelklassen.
Ich schreibe mal so, die Menge aller, geh in eckigen Klammern.
Geh aus, geh. Die Menge aller Parallelklassen. So,
das ist also etwas, was in jeder affinen Ebene gilt.
Parallel ist eine Äquivalenzvalation. Wir können von den Parallelklassen sprechen
. Und jetzt möchte ich mit Beispielen nochmal wieder weitermachen.
Aussage 2, 2 besteht aus Beispielen
Und da möchte ich ein bisschen was dazu sagen. Beispiel eins,
dort ist das Beispiel, was ich auch letztes Mal schon
hier aufgemalt hatte im Zusammenhang mit der Definition einer affinen Ebene.
Dieses hier ist tatsächlich eine affine Ebene. Unser erstes Beispiel
für einen Inzidenzraum. Das thematisiere ich jetzt nicht nochmal.
Überlegen Sie sich bitte selbst, dass wirklich eine sämtliche Axiome erfüllt sind.
Und dieses ist auch nicht irgendeine affine Ebene,
sondern das ist das sogenannte Minimalmodell. Die kleinstmögliche affine Ebene.
Es gilt nämlich, jede affine Ebene Hat mindestens vier Punkte.
Also mit weniger Punkten gibt es keine affine Ebene.
Und man kann dann sogar zeigen, das wird später bei uns mit rauskommen.
Sie können sich das auch überlegen. Vielleicht kommen wir das
auch aus dem, was ich jetzt gleiche erkläre.
Schon klar, dass diese affine Ebene mit vier Punkte dann
eindeutig bestimmt ist, bis auf Isomorphie und eben so aussieht.
Warum hat jede affine Ebene mindestens vier Punkte? Das erkläre ich kurz skizzenhaft,
jede affine Ebene erfüllt das Axiom E3,
hat also schon mal drei Punkte und zwar so, dass sie nicht koordinär sind.
Das heißt, die Verbindungsgraden sind alle drei verschieden.
Wir haben also auch mindestens drei Gaben. Und diesen Punkt nenne ich jetzt X,
diese Grade nenne ich G und dann haben wir unser Parallelenaktion,
das besagt, es gibt durch X eine Parallele zu G,
das kann weder diese, noch diese Grade sein,
weil die ja geschneiden in einem eindeutigen Punkt, also nicht parallel, so G sind.
Das heißt, die Parallele zu G,
die zeichne ich jetzt mal so,
wie man das auch anschaulich zeichnen würde,
die liegt irgendwo hier,
X parallel G Und die hat natürlich nach dem Inzidenzraum Axiom i2 neben x noch mindestens einen weiteren Punkt.
Das sind nicht diese beiden hier unten,
weil die gerade ja nicht durch diese Punkte geht.
Und wir haben hier noch mindestens einen weiteren Punkt und
damit haben wir unsere mindestens vier Punkte gegeben.
Gefunden. Das ist das Beispiel eins, das Minimalmodell einer affinen Ebene.
Beispiel zwei überspringe ich, ich gehe gleich zum Beispiel drei.
Das ist ein Beispiel eines Inzidenzraums, der keine affine Ebene
ist.
Das ist die
Reelle hyperbolische Ebene. Sie ließen das im Skript,
das ist Beispiel 1,69, ich male das gleich noch auf,
ich sage schon mal, Pegelt nicht.
Das Parallelenaxium nicht erfüllt. Die Reelle hyperbolische Ebene war,
die Punkte im Inneren des Einheitskreises, die Spurgeometrie der Anschauungsebene,
der erhoch zwei Ebene im Einheitskreis, das heißt,
die Graden sind Die gewöhnlichen Graden, und wir interessieren uns nur für das,
was im Einheitskreis im Innern des Einheitskreises passiert.
Also, dass da auch noch Punkte außerhalb sind,
das sind keine Punkte der Geometrie. Das wären jetzt Beispiele,
ich mache dir mal ein bisschen fetter, den Bereich,
der uns hier interessiert, im Innern des Einheitskreises.
Und wenn Sie jetzt diese Skizze hier schon sehen,
und ich nenne den Punkt X,
und die gerade gehe, dann sehen Sie also,
beide Graben,
H1 und H2 sind parallel zu G im Sinne
unserer Definition von parallel,
schneiden geh nicht
Also würde hier irgendwo außerhalb schneiden, das ist aber kein Punkt unserer hyperolischen Ebene.
Schneiden, beide gehen nicht und gehen beide durch X hin,
also zwei verschiedene Parallele zu G durch X. Das heißt,
die Eindeutigkeit des Parallelenaxiums ist nicht erfüllt, für die reelle hyperbolische Ebene.
Und ihre elle hyperbolische Ebene ist so ein Beispiel,
das man auch kennt oder gelernt hat,
früher mal in der Geschichte der Mathematik im Zusammenhang mit der Suche nach nicht-othetischen Geometrien.
Euglitsch hat das Parallelenaxium in anderer Formulierung,
aber im Prinzip als Axium gefordert und jahrhundertelang dachte man,
das könnte man aus den anderen euklidischen Aktionen beweisen und die hyperbolische Ebene war dann eben ein Beispiel,
dass man P nicht beweisen kann,
sondern alle anderen Regelgesetze zum Beispiel jetzt einer affinen Ebene und auch noch weiterer Aktionen,
die Euklid formuliert hat,
gelten, aber eben das Parallelen Aktion tatsächlich nicht.
So, ich möchte noch weitermachen und den Satz 2,
3 hier nochmal hinschreiben. Das ist eigentlich auch ein Beispiel,
ist aber ein bisschen komplizierter zu beweisen, ist,
deshalb ist das hier als Satz formuliert,
nämlich unsere Geometrie,
unser Inzidenzraum AG
Mit Kahok 2 und den gewöhnlichen Graden in Kahok 2 ist eine affine Ebene.
Hatten wir ja auch schon die affine Ebene über K genannt.
Und das möchte ich jetzt nicht beweisen. Der Beweis steht
im Skript, den schauen Sie sich bitte selber an,
wenn Sie Fragen dazu haben, melden Sie sich.
Das ist reine Linie, ja, Algebra, die da
verwendet wird. Und ich gebe noch einen Hinweis sozusagen,
was im Beweis das Wesentliche ist.
Das haben wir im Skript
Auf der nächsten Seite oben dann als Bemerkung auch noch mal hingeschrieben.
Das sollte man sich auf jeden Fall merken für dieses AG2K.
In diesem AG2K gilt nämlich die Parallelität,
lässt sich elegant, sozusagen Melinia Allgebaumethoden beschreiben,
zwei Graden A plus BK und C plus DK sind parallel,
genau dann, wenn BK gleich DK ist oder anders ausgedrückt,
wenn diese Richtungsvektoren B und D linear abhängig sind.
Ich mache eine Skizze, hier ist sie gerade G,
hier ist die gerade
Hier ist A, hier ist der Richtungswektor B. Den hänge
ich da so dran. Das ist die erste Grade.
Die zweite Grade hat vielleicht hier ihren Punkt C und den Richtungswektor D.
Der ist hier. Und wenn jetzt B und D,
so wie hier in meiner Skizze, linear abhängig sind,
dann sind die geraden parallel.
Das heißt, die Richtung von hier nach hier,
die ist sehr leicht einzusehen.
Das ist praktisch die Eigenschaft, dass die beiden Graden Nebenklassen
desselben Untervektorraums BK
gleich DK sind im K
Und die sind dann entweder als Nebenklassen entweder des jung oder gleich,
genau wie gewünscht, also parallel,
für die andere Richtung, von hier, nach hier,
dass wenn sie dann den Beweis des Satzes anschauen,
sehen Sie, dass diese Richtung sozusagen da bewiesen wird,
da muss man zeigen, wenn diese,
oder da gehe ich im Skript so vor,
wenn diese beiden hier Linie ja unabhängig sind,
dann zeigt man,
dass die beiden graden einen eindeutigen Schnittpunkt haben,
der sich dann mithilfe der Linie am Unabhängigkeit finden und als eindeutig Existierend beweisen lässt.
Also das sehen Sie in dem Beweis des Satzes und diese Sache
merken wir uns als Beschreibung der Parallelität in AG2K als besonders einfach zu.
Also wieder lineare AGbra-Methoden, so überprüfende Eigenschaft. Genau,
damit beende ich dieses Video. Wir haben jetzt sozusagen unsere wichtigsten Beispiele gesehen,
nämlich diese Beispielklasse, das ist eigentlich das Wichtigste.
Das Minimalmodell ist auch wichtig, aber diese Beispielklasse ist eine,
die im Laufe der Vorlesung immer wieder vorkommen wird.
Damit stoppe ich hier erstmal und im nächsten Video
geht es dann weiter