So, hier kommt das zweite Video zur Woche 3.
Und ich hatte noch eine Sache zur dualen Inzidenzstruktur nicht zu Ende behandelt,
nämlich die Bemerkung 1,11, die ich hier noch besprechen möchte.
Sozusagen, was im Einleitungstext dieser Bemerkung steht,
das hatten wir letztes Mal schon thematisiert, dass nämlich,
wenn Gamma ein Inzidenzraum ist,
dass dann die duale Inzidenzstruktur Gamma Dach nicht unbedingt
ein Inzidenzraum sein muss.
Da hatten wir
ein Beispiel
Jetzt schreiben wir aber hier zwei Sachen hin und machen uns
klar, die immerhin gelten.
Also es gilt nicht mehr notwendigerweise Inzidenzraum für Gammadach,
aber trotzdem gilt noch einiges, was man beweisen kann.
Also sei Gamma, ein Inzidenzraum. Dann gelten folgende beiden
Sachen. Erstens, in Gammadach haben je zwei verschiedene Punkte,
höchstens eine Verbindungsgrade
Also, wenn es ein Inzidenzraum wäre, müssten sie ja immer genau eine Verbindungsgrade haben,
aber das hat unser Beispiel letztes Mal schon gezeigt,
dass eben manche Punkte in Gammadach keine Verbindungsgrade haben,
weil manche Graden in Gamma keinen Schnittpunkt haben.
Aber, das schreibe ich jetzt hier nicht hin,
aber das war die Aussage 1-1, Slammer 1-1,
vom ganz am Anfang, da haben wir gezeigt,
in einem Inzidenzraum haben zwei verschiedene Graden immer höchstens einen Schnittpunkt,
höchstens einen Punkt gemeinsam, wenn sie zwei Punkte gemeinsam haben,
dann sind sie nicht mehr verschieden, sondern schon gleich.
Also in Gamma haben je zwei verschiedene Graden höchstens einen Schnittpunkt,
das heißt in Gammadach, das hier zwei verschiedene Punkte,
höchstens eine Verbindungsgrade haben.
Das heißt, dies folgt direkt aus Lämmer 1.1. Und dann haben die Aussage 2,
ist die Gradenmenge, hat die mehr als ein Element,
ungleich 1 steht im Skript, das könnte ich auch schreiben,
größer eins,
weil die ist ja nicht leer.
So gilt immerhin
In Gammadach. Wie beweisen wir das? Da musste ich selber erst
ein bisschen überlegen, um mit dem Beweis wieder klarzumachen,
das ist jetzt nicht so eine Standardaussage.
Was ist eigentlich zu zeigen? Wir wollen zeigen,
I2 gilt in Gammadach. Ich möchte aber den Beweis führen
in Gamma. I2 in Gammadach heißt ja,
in Gammadach gilt auf jeder gerade liegen mindestens zwei Punkte.
Das heißt in Gamma gilt,
das wollen wir jetzt zeigen,
durch jeden Punkt gehen
Mindestens zwei Graden. Wenn das in Gamma gilt, dann gilt in der dualen Struktur,
dass durch jede Grade auf jeder Graden mindestens zwei Punkte liegen.
So, und jetzt müssen wir die Voraussetzung benutzen,
dass wir insgesamt mindestens zwei Graden haben und nicht weniger. Also,
nach Voraussetzung nach dieser Sache hier existieren,
ich mache jetzt mein Bild in Gamma,
in Gamma mindestens zwei Graden, G und H,
von denen wissen wir nicht, ob sie sich schneiden,
diesen Punkt hier, den nenne ich mal P,
wir wollen zeigen, durch diesen Punkt P gehen mindestens zwei Graben.
Erster Fall, P ist der Schnittpunkt von G und H.
Dann sind wir fertig. Wenn P jetzt dieser Punkt ist,
dann haben wir durch P2 Graden, nämlich G und H.
Jetzt kommt der zweite Fall,
dass P eben nicht der Schnittpunkt ist und ich schreibe OBDA,
sei P, nicht inzident mit H. Wie P jetzt zu G liegt,
ist für den Fall nicht mehr relevant.
P könnte auf G liegen oder auch nicht.
Ich mache hier eine neue Skizze, wo das G
gar nicht mehr vorkommt
Hier ist Pi. Hier ist Haar und
das Ganze ist weiterhin in Gamma, in unserem Inzidenzraum.
Im Inzidenzraum gelten zwei Sachen, wie 1 und I2.
Nach I2 liegen auf Haar mindestens zwei Punkte. Nach I1
ist P mit beiden Punkten verbunden. Hat eine eindeutige Verbindungsgrade
. Das sind die beiden gesuchten Graden. Zwei Graden,
die durch P gehen. Diese beiden Graden sind nicht identisch,
denn wenn sie identisch wärmen, Wenn G1 gleich G2 wäre,
dann würden X und Y auf diesem G1 gleich G2 draufliegen,
dann wäre G1 gleich G2,
aber gleich der Verbindungsgrade Haar von X und Y,
im Widerspruch dazu, dass P eben nicht auf Haar liegt.
Also in diesem Sinne haben wir hier zwei verschiedene Graden gefunden,
die durch den Punkt P gehen. Und weitere Fälle gibt es nicht,
damit ist dieser Satz, diese kleine Aussage, bewiesen.
Und damit ist auch erstmal das Thema duale Inzidenzstruktur abgeschlossen und
ich gehe hier weiter und mache den Anfang von Kapitel
2. Kapitel 2 ist überschrieben mit affine Ebenen,
affine Ebenen ist eine sehr, sehr wichtige Klasse von Inzidenzräumen.
Und da möchte ich jetzt hier die Definition ihnen zeigen, erklären. Ein Inzidenzraum,
die nenne ich jetzt in diesem Kontest dann nicht mehr Gamma,
sondern A mit Doppelstrich, das steht bei mir immer für affine Ebene.
Die Punktmenge heißt normales A, Ladenmenge heißt G. Und hier
mache ich Klammer zu und das soll stehen kurz für A,
G, Element. Also sobald die Inzidenzrelation,
die Elementrelation ist, also mit anderen Worten,
sobald G aus Teilmengen von A besteht,
lasse ich das Elementzeichen oftmals auch weg.
Also wenn ich einfach nur Punkt und gerade Menge hinschreibe,
meine ich implizit immer, dass die Inzidenzrelation die Elementrelation ist.
Im Skript wird das schon in der Bemerkung,
Seite 5 oben gesagt,
dass man das so machen kann und ich mache das
dann ab
Heute jetzt hier auch. Also wir haben einen Inzidenzraum,
Punkte und Graden und Element als Inzidenzrelation,
Inzidenzraum sei erfüllt, also I1 und I2 gelten.
Und der heißt jetzt affine Ebene. Wenn noch zwei weitere Aktionen gelten.
Wenn folgende Aktionen gelten, neben I1 und I2 noch zwei weitere, P, das parallelen Aktionen. Das besagt,
wenn ich eine gerade gegeben habe, Und einen Punkt X,
der nicht auf der Graden liegt, das kann ich jetzt so schreiben,
weil die gerade in der Teilmenge von A ist,
dann gilt, ich mache hier schon mal eine Skizze,
hier eine gerade GHB und hier einen Punkt X,
der nicht auf G liegt, dann gilt,
es existiert eine eindeutige gerade Haar mit der Eigenschaft X liegt auf Haar und G
geschnitten Haar ist leer. Und die zeichne ich jetzt hier
ein und die würde man dann Parallele nennen zu gehen.
Der Begriff parallel, den führe ich gleich noch formal ein.
Vorher möchte ich das zweite Aktion hier noch hinschreiben, was noch dazu kommt.
Das heißt E3, E steht für Existenz.
Drei steht für drei Punkte, das sehen Sie gleich.
Und generell diese Art von Aktion nennt man auch Reichhaltigkeitsaktion,
weil das sicherstellt, dass nicht zu wenig Punkte da sind.
Und das Aktion besagt, es gibt in unserem Inzidenzraum drei,
mindestens drei,
nicht koordinäre Punkte
Punkte. Vielleicht hier mal schon als kleinen Ausblick, ein
kleines Beispiel. Unser Elementarbeispiel vom Anfang, vier Punkte,
sechs Graden, jeweils die zwei Elementigen Teilmengen, erfüllen,
sowohl Parallelen-Aktionen als auch E3, also drei nicht kollinäre Punkte,
gibt es.
Und das können Sie sich überlegen,
dass es tatsächlich gegeben eine Grade und ein Punkt außerhalb
immer eine eindeutige,
nicht schneidende Grade gibt
Und ich möchte hier unbedingt doch den Begriff parallel jetzt einführen.
Hier wird es was schon von parallelen Aktionen gesprochen,
aber streng genommen ist ja der Begriff parallel noch gar nicht eingeführt.
Den schreibe ich hier noch hin. Sei eine affine Ebene. Hund gegeben,
sein G und H, irgendwelche zwei Graden der affinen Ebene.
Dann heißen die beiden Graden parallel. Und wir schreiben die übliche Symbolik,
die parallel H. Wenn gilt, Geh ist gleich Haar oder geh geschnitten
Haar ist leer. Wie man das üblicherweise definiert.
Und unser Pi von oben, unserer Parallelen-Aktion,
bedeutet jetzt also mit dieser Sprechweise für alle Graden geh.
Und alle Punkte, der darf jetzt auch auf Ali,
auch auf G liegen, das war hier verboten.
Hier war der Punkt außerhalb von diesem G gewählt.
Das ist jetzt nicht mehr nötig
Gilt, es existiert ein eindeutiges Haar,
sodass X auf Haar liegt und Haar parallel ist zu gehen.
Wenn X jetzt nicht auf G liegt,
so wie er oben, dann ist dieses Haar die Parallele,
die ist ja dann Dission zu G. Wenn X aufgeliegen würde,
dann würde ich G selbst nehmen.
Als Parallele, nach Definition der Parallelität ist das auch erlaubt.
Also so könnte man das Parallelen Aktion mit dem Begriff parallel formulieren,
gegeben eine gerade und ein Punkt,
dann gibt es eine eindeutige Parallele zu dieser Grade,
die durch den Punkt geht
Und diese gerade Haar hat dann auch noch eine Symbolik,
also eine Bezeichnung. Also wir schreiben,
es ist vielleicht nicht ganz so Standard,
aber hier in meiner Vorlesung machen wir das so.
Für Haar schreiben wir geschweifte Klammern, x parallel die.
Das soll bedeuten, wir sind in einer affinen Ebene,
dann ist durch X und G diese gerade Haar nach diesem hier eindeutig festgelegt.
Die eindeutige gerade, die durch X geht und parallel ist zu G.
Die schreiben wir in dieser Art und Weise.
Und damit haben wir erstmal
die wichtigsten Sachen über affine Ebenen
Definiert und Aussagen darüber und Beispiele kommen dann im nächsten Video.
Und hier für heute mache ich erstmal Schluss und bedanke mich
für die Aufmerksamkeit