Herzlich Willkommen. Ich begrüße Sie zur dritten Woche der Vorlesung Geometrie und
ich beginne diese Woche mit einem Video zum Thema die duale Inzidenzstruktur.
Das ist die letzte halbe Seite des Kapitel 1 und ich starte mit
der Definition dieses Begriffs und gebe schon mal einen kleinen Ausblick,
also in diesem Kapitel wird das nur kurz angerissen, dieses Thema.
Das wird in Kapitel 3 eine zentrale Rolle spielen im Zusammenhang mit projektiven Ebenen,
weil dann die duale Inzidenzstruktur zu einer beliebigen projektiven Ebene wieder eine projektive Ebene ist,
was sehr hilfreich sein kann bei Beweisen,
das sogenannte Dualitätsprinzip für projektive Ebenen, ist ein wichtiges Prinzip auch,
um Sachen über projektive Ebenen zu beweisen.
Ich starte jetzt aber hier mit einer allgemeinen Definition zu einer
beliebigen Inzidenzstruktur, die duale Inzidenzstruktur einzuführen.
Gamma sei eine beliebige Inzidenzstruktur, PGI
Und dann definiere ich Gamma-Dach, so heißt die bei mir.
Die duale Inzidenzstruktur, die hat als Punktmenge die Menge G,
also die Punkte von Gamma-Dach sind die Graden von Gamma.
Als Gradenmenge hat sie die Punkte von Gamma.
Und dann hat sie eine neue Inzidenzrelation IDach.
Und die ist ganz naheliegend definiert. Ein Punkt von Gamma-Dach,
also eine ursprünglich gerade groß G,
liegt in Relation IDach zu einer Grade von Gamma-Dach,
was ursprünglich ein Punkt von Gamma war, genau dann,
PIG gilt.
Das heißt, wenn der Punkt in Gamma mit der geraden G inzidiert.
Das ist also einfach nur Vertauschen von Punkten und Graden
und auch entsprechende Vertausschung der Inzidenzrelation.
Und dieses heißt jetzt eben, die zu Gamma, duale Inzidenzstruktur.
Und das ist natürlich wieder eine Inzidenzstruktur. Und es kommt jetzt
im Skript eigentlich eine Aussage 1,11 mit kleinen Aussagen dazu.
Die möchte ich noch kurz zurückstellen und lieber mit Beispielen weitermachen.
Das ist Punkt
1,12 Beispiele
Und das erste Beispiel dort ist schon im Hinblick darauf,
was in der jetzt hier übersprungenen kleinen Aussage,
die dann später kommen wird bei mir,
im Einleitungstext steht das nämlich, wenn Gamma,
ein Inzidenzraum ist, also unsere Axiome I1E2 erfüllt,
dass dann Gammadach nicht unbedingt ein Inzidenzraum sein muss.
Und dafür ist eben dieses Beispiel,
was ich jetzt hier bringe, Beispiel 1,
auch so im Skript, ein gutes Beispiel.
Wir erinnern an den Inzidenzraum Gamma,
den allerersten aus 1,
2,
Vier Punkte und sämtliche zwei Elementigen Teilmengen als Graden,
A, B, C, D.
Und hier sollen wir diese sechs Verbindungsgraden. Und ich möchte
jetzt hier Gammadach skizzieren und ich mache das mal sozusagen,
weil ich schon aus ein bisschen Hintergrundwissen habe,
weiß ich, wie es geschickt skizziere.
Es gibt viele Möglichkeiten. Man kann erstmal,
wenn sie das zum ersten Mal machen,
für eine etwas andere Struktur,
vielleicht in den Übungen,
erstmal probieren,
drauf losskizzieren
Ich mache es jetzt schon gleich, dass das Bild ein
bisschen symmetrisch aussieht, weil ich im Grunde schon weiß,
was rauskommt und wie man es schön skizzieren kann.
Also ich möchte jetzt für das Gamma-Dach zuerst die Punkte hier
hin zeichnen und da gucken wir noch einmal,
die Punkte von Gamma-Dach sind ja die Graden von Gamma und die nummeriere ich mal durch.
Eins, zwei, drei, also das ist zwei,
das ist drei, das ist vier, fünf,
vier unten und sechs hier.
Es sind also sechs Graden, das heißt Gamma-Dach hat
sechs Punkte
Und auf jeder Graden liegen zwei Punkte,
aber das möchte ich gar nicht in den Vordergrund stellen,
sondern wenn ich die Punkte von Gamma angucke,
das sind ja die Graden dann von Gamma Dach und durch
jeden Punkt von Gamma gehen drei Graden.
Das heißt, auf jeder Grade von Gamma Drach liegen drei
der sechs Punkte. Deshalb zeichne ich oder ja,
das passt dazu, dass ich die gerade so zeichne,
von Gamma Dach und auch die Punkte
Das sind sechs Stück, 1, 2, 3,
4, 5, 6 und ich müsste ja vier Graden haben,
die den Punkten A, B, C, D entsprechen.
Hier habe ich drei Graden und dann male ich,
wie wir das auch früher schon mal hatten,
hier in die Mitte, noch so eine kreisförmige Grade.
So, jetzt gucken wir mal, ob das wirklich die duale Inzidenzstruktur ist,
indem ich die Beschriftung vornehme. Wir fangen mal an,
diese gerade hier an der Seite,
die soll sozusagen dem Punkt A entsprechen, also die Grade von Gammadach,
das muss ja ein Punkt von Gamma sein,
sei das mal der Punkt A, dann müssen die drei Punkte,
die hier mit der gerade A inzidieren, müssen die Nummern 1,
2 und 3 kriegen, weil sie hier den Graden 1,
2 und 3 entsprechen.
Das mache ich nochmal. Willkürlich. Dann im Folgen,
da müssen wir aber aufpassen, dass wir keine Fehler machen.
Also, der Punkt 1,
der entspricht hier der Grade 1. Der inzidiert,
die gerade inzidiert hier mit den Punkten A und B.
Hier haben wir A, schon, das heißt,
diese gerade hier muss B sein.
Hier haben wir den Punkt 3, entspricht hier der Grade 3,
haben wir hier schon die Grade A, die hier durchgeht.
Das ist hier der Punkt A, das heißt,
die zweite Grade muss C sein
Damit ist dann auch dieser Punkt klar,
sowohl mit C als auch mit B inzidieren.
Das ist die gerade 5, 4, also hier der Punkt 5.
Also ich habe hier 1, 2, 3 und 5,
das müssen jetzt 4 und 6 sein und welcher ist welcher?
Hier haben wir die gerade B, der Punkt B,
der inzidiert mit 1. Aha, dann habe ich hier schon was falsch.
Moment. Genau, das streiche ich mal.
Also B inzidiert ja mit 1, 4 und 6,
das heißt 5 war hier falsch
Und zäh inzidiert mit drei, vier und fünf.
Das heißt, insgesamt muss das vier sein. Und die
Verbindungsgrade von C und B, hier in diesem Bild, ist vier.
Das ist vier, dann muss das hier sechs sein,
weil B, hier inzidiert mit 1, 4 und 6,
das muss sechs sein, C inzidiert mit drei,
vier und fünf.
Das muss fünf sein und wir prüfen nochmal gerade,
es fehlt uns ja noch hier die gerade D. Ist das jetzt wirklich die gerade D?
Also hier der Punkt, D inzidiert mit fünf,
zwei und sechs
5, 2 und 6 stimmt. Also ich denke mal,
durch diese Zuordnung ist jetzt eindeutig klar,
dass das hier tatsächlich die zu gamaduale Inzidenzstruktur ist.
Und ich schreibe noch mal dazu,
dieses wissen wir schon lange, das ist ein Inzidenzraum.
Dieses ist aber kein Inzidenzraum. Das heißt, durch Dualisieren gehen Inzidenzräume
nicht unbedingt in Inzidenzräume über. Hier ist kein Inzidenzraum,
zum Beispiel die Punkte 1 und 5 haben keine Verbindungsgrade.
Das liegt daran, dass hier die Graben 1 und 5
keinen Schnittpunkt haben
Was ja im Inzidenzraum nicht erfüllt sein muss. So,
wir haben also ein Beispiel gesehen und gleich mit dazu gesehen,
dass wenn Gamma einen Inzidenzraum ist,
dass dann Gammadach nicht notwendigerweise ein Inzidenzraum sein muss.
Ich behandle auch noch das zweite Beispiel aus dieser Beispielsammlung 1,12.
Das zweite Beispiel, da handelt es sich darum,
dass Gamma ein Nearpencil ist.
Ich mache das mal nur an einem Beispiel,
dass es nicht zu viel Zeichenarbeit wird und ich mache das
jetzt so ähnlich wie eben,
aber vielleicht
ein bisschen schneller
Ohne dass ich jede genaue Detailüberlegung hier erkläre. Also sie erinnern sich, Nierpencil,
da haben wir einen Punkt 0 und weitere Punkte, 1,
2, 3 bis N. Ich gehe jetzt mal bis 4.
Hier haben wir lauter zwei elementige Verbindungsgraden und dies ist jetzt
hier eben eine Grade, die vier Elemente enthält.
Die nenne ich G. Diese Grade könnte ich mal,
damit ich sie gleich im dualen Bild beschriften kann.
Die nenne ich H1 bis H4. Die Verbindungsgraden von 0 und
1, 2,
3 bzw.
Und ich behaupte jetzt, das steht auch so im Skript,
das Duale eines Near-Pances ist wieder ein Near-Pancil.
Ich behaupte, das ließ sich folgendermaßen aus. Geh,
entspricht jetzt einem Punkt. Null entspricht einer Grade. Durchgeh,
durch den Punkt geh, gehen vier Graden,
nämlich die Punkte ein, die den Punkten 1,
2, 3, 4 entsprechen.
1, 2, 3, 4.
Und hier haben wir jeweils Schnittpunkte, die entsprechen den
Verbindungsgraden H1 bis
So. Hier haben wir also Gamma,
der Nilpencil und das ist Gamma-Dach. Wir stellen fest,
das ist auch ein Nilpencil, ist im Grunde der gleiche,
nur anders hingezeichnet und die Beschriftung anders, wenn sie wollen,
könnten sie ihr sagen oder das stimmt.
Zuordnung können sie direkt angeben, das Gamma,
Isomorph ist zu Gamma-Dach. Das ist eine Sache,
die unter Beispiel 3 gleich im Skript thematisiert wird,
wenn Gamma, Isomorph ist zu Gamma-Dach,
dann sagen wir,
Gamma ist selbst dual
Ist zu sich selbst dual oder zu einem Isomorphendual?
Also das Duale zu Gamma ist im Prinzip wieder Gamma selbst.
Bis auf Isomorphie, also hier nur bis auf Bezeichnung.
Und genauso ist das auch für das dritte Beispiel.
Das ist das Beispiel Gamma aus 1,6,8,
was wir ja neulich schon mal nochmal wieder behandelt hatten.
Das war Gamma gleich Pi, Pi,
also hohe Punkt- und Gradenmenge identisch sind. Das heißt also,
der Schritt des Vertauschens hier ist automatisch führt zu dem Richtigen,
wenn wir zum Doan übergehen
German Dach ist dann auch Pipi, aber natürlich ein I-Dach.
Wir müssen noch über, ich möchte dir zeigen,
dass diese beiden auch Isomorph sind.
Wir müssen zeigen, dass diese beiden im Prinzip identisch sind.
Und da erinnere ich noch mal, was war hier Pi?
Pi war die Menge à la AR, OA,
ein Vektor aus dem R hoch 3, ohne Null ist,
also die eindimensionalen Untervektorräume von R hoch 3.
Und das ist eben auch die geraden Menge.
Und AR inzidiert mit BR, genau dann,
wenn A transponiert B,
gleich Null
Und jetzt haben wir aber, hier,
dieses ist stets gleichbedeutend zu B transponiert A gleich null,
weil A transponiert B, dasselbe ist wie B transponiert A.
Ja, wir haben einen Zeilenvektor,
der mit einem Spaltenvektor mal genommen wird und das ist sozusagen das Skalarprodukt,
was da rauskommt, eine 1-Kreuz-1-Matrix,
also ein Skalar und weil er kommutativ ist,
das schreibe ich hier nochmal dazu,
das könnten wir also nicht für einen nicht kommutativen Körper K machen
Kommt es nicht auf die Reihenfolge an? A1B,
1 plus A2B, 2 und so weiter ist dasselbe,
als wenn ich A und B vertauschen würde.
So, und das ist jetzt aber dann das Gleiche wie B,
er incidiert mit AR. Was wiederum das Gleiche ist,
wie AR, ihn zitiert, Dach mit BR.
Das heißt, I und I Dach sind identisch, sind gleichbedeutend.
Und damit ist tatsächlich hier auch Gamma, Isomorph,
Sugama Dach, Diese Inzidenzstruktur ist ebenfalls selbst dual.
Und wir hatten ja schon gesehen, dass dieses Gamma sogar
Isomorph ist, zu PG3R, zur projektiven Ebene über R.
Und später wird rauskommen, dass für alle solchen projektiven Ebenen
über kommutativen Körper eine solche Selbstdualität vorliegt.
Genau. Und die Teilaussage 1,11 mit ein paar kleinen Aussagen,
die zu beweisen sind, über die duale Inzidenzstruktur,
die werde ich im nächsten Video Ihnen vorstellen.
Und damit danke ich erstmal und verabschiede mich