Herzlich Willkommen zu diesem Video zur Geometrie. Ich möchte heute
den Satz 1,9 beweisen, den ich schon angekündigt hatte,
verschiedene Äquivalente, Beschreibung des Begriffs Koordination,
also verschiedene Möglichkeiten, Koordination von Inzidenzräumen zu definieren.
Und auch später, wenn man prüfen möchte,
irgendwas ist eine Koordination,
ist eine dieser vier Möglichkeiten denkbar,
die Überprüfung vorzunehmen
In diesem Satz seien Gamma und Gamma Strich zwei Inzidenzzäune,
wo die Inzidenzrelation, die Elementrelation ist.
Das brauchen wir gleich. Und Sigmar sei eine feste Bielektion von
der Punktmenge P des ersten Inzidenzraums zur Punktmenge P Strich vom Inzidenzraumgamma Strich.
Dann sind folgende vier Aussagen Römisch 1 bis Römisch 4 Äquivalent.
Erstens, Sigmar ist Koordination und hier habe ich nochmal die Definition hingeschrieben.
Das ist also Koordinärität von solchen Dreiermengen erhalten bleibt,
in beide Richtungen.
Genau dann wenn
Zweitens, und das hatte ich neulich schon angekündigt,
dass Koordination zu dieser Sache hier äquivalent ist,
für alle Graben des ersten Inzidenzraums gilt,
dass das Bild der Graden,
weil die gerade ja eine Teilmenge der Punktmenge ist,
kann ich ihre sämtlichen Bilder auch wieder als Menge schreiben.
Das ist die Menge Sigma von GroßG. Das ist eine Teilmenge
von P-Strich. Und die Aussage ist für alle GradenG,
ist diese Teilmenge selber wieder eine Grade.
Also ein Element von G-Strich. Rümi Strei ist so ähnlich
nur mit genau dann wenn
Für eine beliebige Teilmenge der Punktmenge P gilt, geh ist eine gerade,
genau dann, wenn ihr Sigmar bildet, eine gerade Il-Gamer-Strich,
also ein Element von D-Strich ist. Und viertens,
das ist noch ein bisschen knapper, hinzuschreiben,
für beliebige zwei Punkte X und Y aus P,
ist das Sigmarbild der Verbindungsgrade das Gleiche wie die Verbindungsgrade,
der Sigmarbilder, sag mal,
von X und Sigmar von Y. Also das sieht jetzt fast so aus wie,
oder sieht eigentlich genauso aus wie,
er hält die Multiplikation nur das XY hier eben keine Multiplikation ist,
sondern die Verbindungsgrade bedeutet.
Und das Schwierigste Beweisteil ist eigentlich der Beweisteil von 1 nach 2,
den ich neulich auch schon angekündigt habe und den wir
mithilfe von unserem Lämmer 1,8 vom letzten Mal beweisen.
Also wir müssen beweisen, wenn Sieg mal eine Koordination ist,
also diese Eigenschaft hat und gegeben eine feste Grade,
dass dann auch das Bild der Graben wieder eine Grade ist.
Und da hatten wir ja letztes Mal mit dem Lämmer charakterisiert,
wann eine Teilmenge der Punktmenge eine Grade ist.
Und zwar genau dann, wenn diese beiden Eigenschaften A und Weh gelten,
die lese ich jetzt nicht nochmal vor,
wenn sie gleich zum Zuge kommen, erinnere ich nochmal an sie.
Und damit fangen wir jetzt also an mit diesem Beweis.
Und dazu sei G eine Grade. Und zu zeigen ist,
sieht man von G, ist auch eine Grade, dann natürlich im Gehstrich.
Und um das wiederum zu zeigen, zeigen wir,
Sigmar von G erfüllt Diese beiden Eigenschaften, A und We.
Ich schreibe mal dazu, in Gamma-Strich.
Also da muss man dann möglicherweise ein bisschen was umformulieren.
Man muss hier natürlich dann von Sigmar von G sprechen und
hier von P-Strich. Aber im Prinzip diese beiden Sachen,
dass die von Sigmar von G erfüllt werden.
Und dass G sie erfüllt, das wissen wir schon,
aus der trivialen Richtung von links nach rechts, von unserem Thema.
Also G erfüllt A und B, wir müssen zeigen,
auch Sigmar von G erfüllt war und G.
Und das möchte ich hier durchführen.
Zunächst mal
Ah, sagte, wenn ich drei Elemente XYZ habe,
jetzt in unserem Fall aus der Menge Sigma von G,
dann sind die Elemente Kolinea.
Die Elemente nenne ich jetzt mal X-Strich, Y-Strich,
Z-Strich, weil wir in dem Insidenzaungamma-Strich uns bewegen.
Das sind Elemente von Sigma von G. Ziel ist zu zeigen, X-Strich Y-Z-Strich-Syncholinia.
Zunächst mal, weil sieht man ja eine Viettion ist,
haben die U-eindeutige Urbilder und die sind natürlich dann in G,
also X-Strich ist Sigma von X und so weiter.
Schreibe ich nicht alles hin, die Urbilder, XYZ,
in Gegenden. So, ragene gerade ist,
können wir mit dem Lämmer oder mit der Aussage A für G,
geh erfüllt die Aussage A, können wir schließen,
XYZ, coliniar in Gamma.
Jetzt benutzen wir die Voraussetzung Römisch 1,
dass unser Sigma eine Koordination ist, das heißt ihr,
dass die Sigmabilder, coliniar in Gamma Strich liegen.
Das ist genau das, was wir beweisen wurden.
Und die Sigmabilder sind X-Strich, Y-Z-Strich
Collinär in Dharma-Strich. Und das ist das,
was wir beweisen wollten für die Teilaussage A. Es fehlt noch
die Teilaussage B, wenn wir die auch bewiesen haben,
dann wissen wir, Sigmar von D ist eine Grade.
In der Teilaussage B müssen wir zeigen, wenn wir einen
Punkt außerhalb dieser Menge, von der wir zeigen wollen,
dass es eine Grade ist, haben.
Dann gibt es zwei Elemente innerhalb der Menge,
sodass diese Dreiermenge XYA nicht kollinär ist. Nehmen wir also
ein Element, Strich, In P-Strich ohne Sigmar von Lee.
Dann ist wieder A-Strich Sigmar von A für ein A in
P ohne Gee. Kann ich in Gee liegen,
weil das Bild nicht in Sigmar von Lee liegt.
Gehe ist eine Grade, das heißt,
ich kann B auf G anwenden, die Aussage B von eben.
Und die sagt,
es existieren X und Y in G,
sodass XY A
nicht koordinär in Dama
Wieder für Römisch 1, mit Römisch 1,
das gilt ja kolinear in beide Richtungen. Das heißt,
wenn diese hier nicht kolinear sind, sind auch die Bilder nicht koordinieren.
Und die Bilder kolinear wären, müssten auch diese drei kolinear sein.
Das heißt, wir kriegen hier raus x-Strich. Das ist,
das ist mal von x, das nenne ich x-Strich,
Y-Strich, Sigmar von Y und A-Strich,
das war ja halt da oben ja schon als Sigmar von A,
hingeschrieben, sind auch nicht koordinär,
nicht koordinär,
in Gamma-Strich natürlich
So, und weil jetzt Sigmar von X und Sigmar von Y,
die liegen ja in Sigmar von G,
weil X und Y im G gelegen haben.
Das heißt, wir haben nun mal Aussage B erfüllt,
es existieren Elemente von Sigmar von G, nämlich Sigmar von X,
Sigmar von MCO, der X-Strich Y Strich,
sodass X-Strich Y Strich A Strich nicht koordinär in Gamma Strich.
Das ist genau das, was wir hier brauchen,
um die Teilaussage B zu beweisen und weil jetzt A und
B gilt,
folgt Sigmar von G ist eine Grade
Ist im Gehstrich. Und das wollten wir hier beweisen.
Das heißt, wir haben jetzt gezeigt, aus Römisch 1,
Volk Brömisch 2. Als nächstes zeige ich aus Römisch 2,
folgt Brömisch 3. Wenn wir hier nochmal gucken,
Römisch 3 ist so ähnlich wie Römisch 2,
nur eben hier als genau dann, wenn Aussage.
Also eine Teilmenge, wenn sie eine gerade ist,
dann ist auch ihr Sigmarbild eine gerade.
Das ist eigentlich Römisch 2. Das heißt,
diese Richtung von links nach rechts folgt direkt aus
Römisch 2. Wir müssen nur die andere Richtung
auch noch zeigen
Das machen wir mal. Also, hol mich zwei,
folgt Römis drei. Und Römis Stey ist ja diese genau dann Ben-Aussage.
Gehe-Element gehe genau dann von Sieg, wenn Sigmar von G-Element G-Strich.
Und davon die eine Richtung, die gilt nach Römis Stey,
also nicht zwei, genau das ausgesagt hat.
Gehen wir zur zweiten Richtung. Und ich schreibe noch mal
hin, was wir zeigen wollen.
Sei Sigmar von G eine gerade,
ein G-Strich
Zu zeigen, wie ist das auch G eine gerade ist.
Im Internet natürlich. Wir benutzen jetzt die Inzidenzraumeigenschaft. Sigmar von G können wir ja schreiben,
weil es eine gerade ist, als Verbindungsgrade zweier ihrer Punkte,
P-Strich und Kuhstrich, Verbindungsgrade, Fehlstrich, Kuhstrich,
für P-Strich, Kuhstrich, Element,
Sigmar von G, wie existieren,
nach I2 und die gerade Sigmar von G ist dann genau gleich der Verbindungsgrade nach I1,
weil es ist nur eine eindeutige Verbindungsgrade gibt.
Ich schreibe vielleicht nochmal Fehlstrich,
Ungleichkuhstrich dazu
So, P-Strich ist aber wieder Sigmar von P und Kuh-Strich
ist Sigmar von Kuh für P und Kuh in G.
Weil wir sind ja in der Menge Sigmar von G,
also wo Bilder liegen in G und die sind auch verschieden in Injektivität.
Die Ungleichkuh. So, P und Kuh sind zwei verschiedene
Punkte des ersten Inzidenzraums. Die haben also eine Verbindungsgrade.
Unser Ziel ist zu zeigen, die Verbindungsgrade ist die Menge G.
Im Moment wissen wir dagegen, aber noch nicht das Gehen gerade ist.
Wenn wir das zeigen könnten, dass die dass die Verbindungsgrade
genau gleich der Menge G ist, dann wäre die eine Grade.
Zunächst mal nennen wir aber die Verbindungsgrade H. Die Verbindungsgrade von
G und Co. Das ist ein Element von G. So,
jetzt wenden wir Sigmar auf H an. Nach unserer Voraussetzung
holm ich zwei, ist das Bild einer Grade wieder eine Grade.
Sigmar von H ist in G-Strich. Und es gilt natürlich,
Sigmar von P ist in Sigmar von H,
weil P ja in H liegt,
heißt P-Strich und genauso Kuhstrich, liegen in Sibma von Haar.
Sigmar, P-Strich und Kuhstrich haben jetzt aber nur eine Verbindungsgrade.
Das heißt, wegen der Eindeutigkeit der Verbindungsgrade ist Sigma
von Haar gleich der Verbindungsgrade P-Strich Kuhstrich.
Und das ist aber gleich Sigma von G.
Das heißt Sigmar von G ist gleich Sigmar von Haar
Weil Sigmar Bier aktiv ist, sind dann auch die Urbitmengen gleich.
Also geh gleich haar. Haar war eine Grade. Und
damit ist auch geh eine Grade, was wir zeigen wollten.
Und damit ist römisch Streit bewiesen. Also die aber
nur noch zu zeigen, die ist eine Grade.
Das haben wir an dieser Stelle hiermit bewiesen. So,
es fehlen jetzt noch die Beweise aus Dreifurt 4 und aus 4 folgt 1.
Die möchte ich jetzt hier nur möglich,
weil man mit ihnen durchgehend
Und zwar aus Dreifurt 4, da sitzen wir voraus,
Graben werden auf Graden abgebildet und die Urbilder von Graben sind auch Graben.
Das ist ja das, was hier in Drei steht.
Jetzt nehmen wir zwei verschiedene Punkte aus P,
die haben eine Verbindungsgrade XY, deren Bild ist auch eine Grade,
nach dem, was unter Drei steht.
Deren Bild enthält aber natürlich auch die Punkte Sigma
von X und Sigma von Y. Weil die Ausgangsgrade XY,
also gerade G, ja die Punkte X und Y
Das heißt, die bildt gerade, Sigmar von G,
Sigmar von XY muss die Punkte,
Sigmar von X und Sigmar von Y enthalten,
weil die bildt gerade eine Grade ist,
ist sie die eindeutige Verbindungsgrade von Sigmar von X und Sigmar von Y. Das heißt,
vier folgt ganz einfach aus drei,
wenn sie genau aufgepasst haben, eigentlich direkt aus zwei.
Gut, also Römisch 4 haben wir auch gezeigt,
ausrömisch Streit folgt von nicht vier, es fehlt,
dass aus Römisch 3 jetzt wieder Römisch 1 folgt.
Wo haben wir Römisch 1 hier?
Die Definition von Kollination
YZ-Kolinär, genau dann, wenn Sigmar von X-Sigmar von Y Sigmar von Z-Kollinären.
Das wollen wir jetzt zeigen unter Voraussetzung von dieser Sache hier.
Von Römisch 4. Dazu nehmen wir XYZ, Kollinär in Gamma
. Ich habe schon mehrfach gesagt, wenn irgendwelche zwei von
den dreien hier zusammenfallen, dann ist die Kollinarität trivial.
Und dann ist auch die Tollinarität der Bilder trivial,
weil zwei, wenn das eine zweielementige Menge wäre,
dann wäre die automatisch kollinär,
weil zwei Punkte immer
eine Verbindungsrate haben
Und auch eine einelementige Menge wäre, immer kollinär,
weil jeder Punkt auf einer Graden liegt,
die sie sich vielleicht mal überlegen können, dass das tatsächlich auch gilt.
Gut, das heißt, wir können jetzt OBDA davon ausgehen,
dass hier X und Y verschieden sind.
Und genauso sind dann Sigma von X Sigma von Ötzig und verschieden.
In dem Fall heißt XYZ kollinär nichts anderes als das Set
auf der Verbindungsgrade von XY liegt.
Und Sigma von X, Sigma von Y,
Sigma von Z kollinär heißt nichts anderes,
als das Sigma von Z auf der Verbindungsgrade Sigma von
X Sigma von Y Y
So, wenn wir jetzt dieses Jahr als nötig voraussetzen,
dann heißt das, Z liegt auf XY, impliziert,
Sigmar von Z liegt auf Sigmar von XY,
Sigmar von XY ist aber die Verbindungsgarde Sigmar X,
Sigmar Y,
das heißt Sigmar von Z liegt auf dieser Verbindungsgrade.
Sigmar von Z ist also mit Sigmar von X und Sigmar
von Y coorlinear und wir sind hier auf dieser Seite.
Und Anna, völlig analog gilt auch die Umkehrung.
Wenn Sigmar von Z mit diesen beiden coorlinear ist und
die beiden sind verschieden, dann sieht Sigmar von Z auf
dieser Graden
Da diese gerade aber gleich dem Bild der Verbindungsrate XY ist,
muss Head auf der Verbindungsrate XY liegen und die drei Punkte sind koordinär.
Und damit haben wir auch römisch 1 aus Römisch 4 geschlossen
und damit ist der Beweis zu Ende und damit schließe ich
auch direkt dieses heutige Video