So, hallo, ich beweise Ihnen jetzt einen
sehr einfachen Satz über die Isomorphie von zwei Inzidenzräumen,
sehr einfach zu beweisen, aber sehr wichtig.
Und zwar ist das der Satz 1,7 aus dem Skript,
Gamma sei ein beliebiger Inzidenzsaum,
Iii-Raum kürzlich das hier ab und für jede Grade setzen wir G-Strich,
wenn die Grade G heißt,
setzen wir G-Strich die Menge aller Punkte, die mit G inzidieren.
Das ist jetzt also eine Teilmenge der Punktmenge und die Menge
aller dieser G-Strich wo ProSG in eine geradeaus Geschwung gehe,
ist, die nennen wir Geschwung im G-Strich.
Das heißt, aus den alten Graden geh machen wir neue Graden,
die Strich, die Teilmengen der Punktmenge sind,
und zwar diese Grad E-Strich, enthält alle Punkte,
die mit der Graden G inzidiert haben.
Das heißt, wir haben einen zweiten Inzidenzraumgamma-Strich mit derselben Punktmenge der
neuen Gradenmenge geschwungen gegen Strich, und jetzt der Inzidenzrelation Element,
weil die neuen Graden Teilmengen der Punktmenge sind.
Und die Aussage ist, diese beiden Inzidenzräume sind Isomorph,
Das ist ganz einfach zu beweisen. Wie beweisen wir das,
nämlich indem wir zeigen, es existiert ein Isomoffismus.
Und das ist Sigma, heißt er ja immer,
das ist jetzt die Identität von P nach P,
also jedes X wird auf sich selbst abgebildet.
Diese Abbildung ist eine Koordination, ein Isomorffismus. Denn es gilt XYZ,
sind koordinär, Findama, also liegen gemeinsam,
sind gemeinsam inzident mit einer geraden G, genau dann Wenn Ihre Sigmarbilder,
was in diesem Fall wieder die Punkte selbst sind,
koorlinear in Gamma-Strich sind, die sind dann nämlich auf der Graben D-Strich.
Das heißt, damit ist das ein Isomorfismus, das hier,
wenn hier allgemein Sigmar hier was davor steht,
war das ja definierende Eigenschaft einer Koordination.
So, dieser Satz hat eine sehr wichtige Konsequenz,
die ich nur mündlich hier sage,
dass nämlich ab sofort wir OBDA jederzeit davon ausgehen können,
dass in einem Inzidenzraum die Inzidenzrelation,
die Elementrelation ist
Wenn das mal nicht der Fall sein sollte,
können wir gemäß diesen Satz zu der Isomorph,
zum Isomorphen-Inzidenzraumgamma-Strich übergehen, der doch wieder Inzidenzration gleiche Elementrelation hat.
Also wann immer uns das gelegen kommt,
mit der Elementrelation zu arbeiten, können wir sagen,
es ist keine Einschränkung, denn jeder Inzidenzraum hat einen Isomorphen-Inzidenzraum,
wo die Inzidenzrelation eben die Elementrelation ist.
Und genau das machen wir auch im Rest dieses Videos
und auch danach noch in diesem Vorlesungsteil
in der zweiten Woche
Unser nächstes großes Ziel ist nämlich den Satz 1,9 zu beweisen.
Das schaffen wir jetzt in diesem Video nicht,
aber ich möchte schon mal einen Ausblick geben.
Da möchte ich eine Äquivalente Definition angeben für den Begriff Koordination.
Koordination war ja definiert, habe ich gerade gesagt,
mit dieser Eigenschaft hier, XYZ-Kolinär, genau dann,
wenn die Bilder koordinär sind.
Das ist manchmal ein bisschen schwierig zu prüfen
Und für den Fall, dass die Inzidenzrelation die Elementrelation ist,
suchen wir jetzt nach einer äquivalenten Beschreibung, also einer Charakterisierung,
könnte man auch sagen, oder eben einer anderen Möglichkeit,
dass den Begriff Koordination zu definieren.
Der Satz 1,9 wird sogar vier verschiedene Möglichkeiten bieten. Ich möchte nur die wichtigste hierhin schreiben,
die wir meistens dann später auch benutzen werden und wir prüfen wollen, irgendeine Abbildung ist Koordination.
Also wenn Siegmar von P nach P Strich eine Bijektion ist,
dann gilt Sigma ist Koordination, gemäß dieser Definition,
gemäß unserer bisherigen Definition, genau dann,
wenn folgendes gilt, für alle Graben,
gilt das Sigma von der Grade G auf eine Grade ist,
natürlich dann im Bildinzidenzraum.
Und das kann ich nur für den Fall i gleich Element formulieren,
weil nur dann sind die Graben Teilmengen der Punktmenge und
ich kann überhaupt die Abbildung auf eine Grade anwenden.
In dem Sinne, das ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs
Das Bild einer Graben, also das Bild dieser Menge G,
von dem prüfe ich,
das ist eine Teilmenge von P-Strich, muss ich prüfen,
ist das tatsächlich selber wieder gerade ein Element von G-Strich.
Und wenn das der Fall ist, dann haben wir eine Koordination.
Genau dann, also Koordination könnte man in dem Sinne dann
auch charakterisieren, als Bieaktion, die geraden auf Graden abbildet.
Und das ist in vielen Beispielfällen leicht zu prüfen.
Und um dieses Ziel zu erreichen, brauchen wir jetzt,
und das wird gleich das Lämmer sein, eine Charakterisierung des Begriffs gerade,
oder der Eigenschaft von einer Teilmenge gerade zu sein,
Mithilfe von Koordinarität.
Bei Koordinarität, das ist was in die eigentliche Definition von
Koordination eingeht. Und das ist das Lämmer 1,8,
was diese Charakterisierung von Geraden mithilfe von Koordinarität beinhaltet.
Dann würden wir ein bisschen, das finde ich verbessern.
Ich hoffe, das ist einigermaßen liesbar. Wir haben wieder
einen Inzidenzraum, wo die Inzidenzrelation die Elementrelation ist.
Und wir haben eine beliebige Teilmenge der Punktmenge
Dann gilt, diese Teilmenge ist genau dann eine Grade,
wenn sie zwei Eigenschaften A und B erfüllt, die hier formuliert sind.
Die Eigenschaft A sagt, für alle Elemente XYZ aus der Menge
gilt, dass die XYZ koliniar sind. Und zweitens,
für alle Elemente, die nicht in der Menge G liegen,
für jedes A nicht in der Menge,
die gibt es Elemente Y und X in G,
sodass XY A nicht koordinär sind.
Durch diese beiden Sachen,
wo nur von Trippeln geprüft wird oder drei Dreiermengen geprüft wird,
koordinär oder nicht, kann man prüfen,
ob eine gegebene Menge eben eine Grade ist oder nicht.
Genau dann, wenn. Das heißt, wir haben hier
zwei Richtungen zu beweisen. Die eine ist nahezu trivial,
nämlich diese, im Skript steht die unten,
wenn wir eine Grade haben, wenn die eine Grade ist,
dann sind A und B erfüllt.
Wenn die eine Grade ist, dann sind drei Elemente,
XYZ von G, natürlich kolinear.
Das ist die Definition. Wenn ich ein A habe,
was nicht auf der Grade drauf liegt,
dann nehme ich mir irgendwelche zwei Punkte auf der Graden.
Die gibt es immer nach E2, zwei verschiedene,
nehme ich dann, X und Y,
dann ist die gerade also die eindeutige Verbindungsgrade von X und
Und weil A, nicht auf der Grade drauf liegt,
sind dann natürlich XY und A nicht koordinär.
Das heißt, diese beiden Sachen sind im Fall,
das G eine Grade ist erfüllt.
Jetzt gehen wir zur Umkehrung. Das ist der eigentliche Beweis,
der relativ technisch ist, der im Beweis im Skript auch ausgeführt ist.
Ich werde teilweise ihn hier mit Hilfe von skizzen erläutern.
Ich werde nicht alles hinschreiben, was im Skript steht,
aber das meiste eben doch.
Wir machen einen ersten Schritt und zeigen, zeige,
dass die Menge G, mindestens zwei Punkte hat.
Also G sei jetzt eine Menge, eine Teilmenge der Punktmenge,
die A und B erfüllt.
Wir wollen zeigen, diese Menge hat mindestens zwei Punkte.
Und dazu machen wir eine Vorüberlegung, mache ich mal hierhin.
Nämlich in unseren Inzidenzraum sind wir Punktmenge und geraden Menge beide
nicht leer. Es gibt also eine Gabe. Es wird jetzt
höchstwahrscheinlich nicht eh sein, dann werden wir ja fertig.
Es gibt aber eine gerade, da nenne ich sie hier mal,
und nach I2 liegen auf der Graden auch mindestens zwei
Punkte drauf
A und B, nenne ich sie. Und wenn jetzt
A und B zufällig beide auch in G drin liegen,
dann sind wir mit unserer ersten kleinen Teilbehauptung fertig.
Also, die ist A, B, eine Teilmenge von G,
dann fertig. So, und zweiter Fall ist A,
B ist eben nicht Teilmenge von G,
OGGA, gehen wir davon aus,
dass A nicht in G liegt,
oder B mindestens einer von beiden ist nicht in G.
Und dazu mache ich
eine neue Skizze
Dann male ich mal hier mein A hin. Und hier mein G,
das mache ich mal extra so ein bisschen, Comedy nicht.
Wir wissen ja noch nicht, ob es eine Grade ist.
Wir wollen ja auch im Moment noch nicht zeigen,
wir wollen nur zwei Punkte auf die finden.
Und jetzt müssen wir unsere Voraussetzungen mal ins Spiel bringen und wir nehmen die Voraussetzung B.
Weil A jetzt nicht auf G liegt, existieren X und
Y auf G, sodass XY A nicht kolinear sind.
Und das ist tatsächlich, die Situation ist so wie hier,
dass X und Y tatsächlich auch verschieden sind.
Denn wenn X und Y gleich wären, hier oben,
Dann hätten wir ja hier xa stehen als Menge und eine
zweielementige Menge ist ja koordinär.
Also ein Inzidenzraum haben. Weil sie zwei Punkte eine Verbindungsgrade haben.
Das heißt, hier oben sind automatisch diese x und y
müssen verschieden sein, damit das hier stimmen kann.
Und die habe ich hier gefunden. Und dann sind wir
also in diesem Fall auch fertig. Weil das G jetzt
eben die beiden Punkte, x und y enthält.
In beiden Fällen haben wir also,
dass das G mindestens zwei Punkte enthält.
Und damit komme ich jetzt zum zweiten Schritt des Beweises
Ziel war ja zu zeigen, geh ist eine Grade.
Also es gilt jetzt, X- und Y-Element G, nix Ungleichözierung.
Das haben wir eben gezeigt. Die Punkte nenne ich jetzt
weiterhin X und Y, zeige im zweiten Schritt jetzt,
geh ist gleich der eindeutigen Verbindungsgrade von X und Y.
Und das ist dann natürlich eine Grade. Und dann,
wenn wir das gezeigt hätten, wären wir fertig.
So, dazu gibt es zwei Unterpunkte.
Also unter Punkt 2, 1, den zweiten Schritt,
der erste Unterpunkt. Geh ist mit Teilmenge von XY,
also diese Inklusion
Dazu nehmen wir uns ein Z-Ausgehen,
was jetzt nicht X ist und nicht Y ist,
dann folgt nach A, nach unserer Voraussetzung A,
ZSNG, X und Y sind auch in G,
nach Voraussetzung A, sind dann XYZ koordinär.
XYZ koordinär, unter X und Y ja verschieden sind,
können die nur dann koordinär sein, wenn die gerade,
auf der sie alle drei liegen,
die eindeutige Verbindungsgrade von X und Y
Und dann musst du eben ein Set auch drauf liegen.
Das Z ist in der Verbindungsgrade von X und Y.
Und das wollten wir hier zeigen, ein Element von G
ist jetzt schon automatisch in der Verbindungsgrade von X und Y.
Und wenn Z jetzt gleich X oder gleich Y wäre,
wäre das natürlich auch wichtig.
Zweiter Fall, die andere Inklusion XY ist Teilmenge G. Dazu
nehme ich mir ein C aus XY und müsste ja zeigen,
es liegt in G,
ich mache es jetzt anders,
ich mache einen Widerspruchsbeweis
Name, sie nicht in die, dann wenden wir Aussage B am,
statt A, haben wir jetzt C, dann existieren Elemente aus G, sodass das die Dreiermengene nicht koordinär ist.
X und Y habe ich schon verbraten,
ich nenne die Elemente jetzt X-Strich und Y-Strich,
nach B existieren X-Strich und Y-Strich wie eben,
aber es spielt glaube ich jetzt hier keine Rolle,
müssen die wieder verschieden sein, Element G,
sodass X-Strich Y-Strich C nicht koordinär Jetzt merken wir uns aber,
dass wir ja nur mal hier oben schon gezeigt haben,
dass G, eine Teilmenge von XY ist,
dieser Grade.
Das heißt auch X-Strich und Y-Strich sind Element der Verbindungsgrade XY.
Und sie war aber auch in der Verbindungsgrade XY.
Und das ist ein Widerspruch. Die drei sind alle drei
auf derselben Grade XY. Widerspruch zu X-Strich, Öcilon-Strich-C-Element XY.
Damit haben wir hier einen Widerspruch. Damit ist diese Sache gezeigt,
XY, die Verbindungsgrad XY ist Teilmenge von G. Insgesamt ist die gerade G,
also die Menge G, die Verbindungsgrade von XY, also eine Grade.
Und das sollten wir zeigen. Diese Richtung,
wenn A und B gelten, dann ist G eine Grade.
Das haben wir gezeigt, damit ist der Beweis des Lämmers abgeschlossen.
Und das Lämmer werden wir dann nächstes Mal für den Satz 1.9 verwenden.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit