So, hallo, da bin ich wieder. Ich möchte jetzt
die folgende Frage klären, die neulich schon mal kurz erwähnt wurde.
Die Frage, wann heißen zwei Inzidenzräume, Isomorph?
Das ist ja in ganz vielen mathematischen Gebieten so eine Grundfrage.
Wandern Strukturen Isomorph nennen möchte. Wir haben das neulich schon gehabt auf dem ersten Übungsblatt,
kam zum Beispiel vor,
dass die affine Ebene über dem Körper mit zwei Elementen,
Isomorph ist zu dem ersten Beispiel zu der Ebene,
die sich durch diese Skizze hier Eine Vier-Punkte-Ebene,
die sich durch diese Skizze visualisieren lässt.
Also wir haben schon einen intuitiven Isomaphie-Begriff, da verwendet,
aber jetzt möchte ich heute einen präzisen Isomorphie-Begriff einführen.
Und genau, wann heißen zwei Inzidenzräume Isomorph?
Das kann ich auch umformulieren zu einer anderen Frage.
Also ich habe eigentlich Fagenen,
nämlich üblicherweise nennt man ja in der Mathematik zwei Strukturen Isomorph,
wenn zwischen ihnen ein Isomaphismus existiert.
Das ist also eine andere Frage,
die irgendwie zu der ersten Frage äquivalent ist,
nämlich,
was ist ein Isomorphismus
Ein Isomorphismus. Isoma. Hismus. Von Inzidenzräumen. Dazwischeninzidenzräumen. Üblicherweise
würden man sonst vielleicht sogar fragen, was sind Homo-Mofficemen zwischen Inzidenzräumen?
Das führt aber in diesem Feld zu Schwierigkeiten, die ich gerne umgehen möchte.
Deshalb werden wir hier nur Iso-Maffismen betrachten. Und Isomorphismen ist ja üblicherweise,
würde man sagen, eine Struktur erhalten, eine dejektive Abbildung.
Und da fragen wir uns, was ist hier bei einem Inzidenzraum
eigentliche Struktur? Und wir haben ja auch zwei Mengen,
Punkte und die Graden und vielleicht noch eine dritte Menge,
die Inzidenz, die Viektion zwischen welchen Mengen soll die jetzt eigentlich definiert sein?
Und das, worauf ich mich jetzt hier einige,
was wir hier machen, ist ein ISO,
ich sage kurz ISO für ISOmafismus, jetzt erstmal etwas informell,
nachher kommt noch die präzise Definition,
ist eine Bijektion zwischen den Punktmengen
Welche die sogenannte Kombinarität. Er hält,
also die Kolliniarität ist die Struktur, die erhalten bleibt.
Und was heißt Kollinarität? Kollinarität heißt, Punkt ist heißen
kolliniar, wenn die auf einer Graben gemeinsam drauf finden.
Und das sozusagen die Definition, die jetzt kommt,
da sind wir jetzt auch wieder im Skript,
die startet erstmal mit der Definition, was heißt Kollinär.
Und dazu sei Gamma, Zunächst mal eine beliebige Inzidenzstruktur.
Außerdem sei A, eine Teilmenge der Punktmenge und geschwungen B,
eine Teilmenge der Grabenmenge. Dann nehmen wir diese Teilmenge A, koordinär,
also koordinär sein ist eine Eigenschaft von Teilmengen der Punktmenge.
Wenn gilt, es existiert eine gerade G,
sodass für alle Punkte aus dieser Menge A gilt,
A,
inzidiert mit
Das heißt, das sind irgendwelche Punkte, aber eben doch nicht irgendwelche, sondern so,
dass eine gerade existiert, wo alle diese Punkte draufliegen.
Also diese vier Punkte, wenn die die Menge groß A bilden,
dann wären die kolinear, weil es eine Grade gibt,
auf der alle diese vier Punkte draufliegen.
Und die Grabenmenge B, also die Teilmenge der Grabenmenge,
wie heißt Co-Punktal? Wenn gilt, es existiert ein Punkt X,
sodass für alle Graben G aus der Menge Geschwung B gilt,
X inzidiert mit G. Das heißt, wie besteht aus,
in meiner Skizze hier, vielleicht mal drei Graden,
die alle durch den Punkt X gehen.
Also wenn diese Grabenmenge hier, die Menge B wäre,
dann wäre die Co-Punkt H, weil es einen gemeinsamen Punkt gibt,
wo alle diese Graben durchgehen.
Das sind die Begriffe koordinär und co-punkthal,
die wir hier für eine beliebige Inzidenzstruktur definiert haben.
Und das ist die Koordinarität, ist die Eigenschaft,
die jetzt bei Isomaphismen erhalten bleiben soll
Und ich werde jetzt aber in Punkt 2 der Definition,
wo ich Isomafismus definiere, nicht mehr Inzidenzstrukturen,
sondern die etwas kleinere Teilmenge der Inzidenzräume betrachten.
Also Inzidenzstrukturen sind ja die ganz allgemeinen Strukturen.
Könnte man auch machen, aber würde auch zu Schwierigkeiten führen.
Und wir gucken eigentlich nur noch Inzidenzräume an.
Deshalb definiere ich, was ein Isomafismus zwischen Inzidenzräumen sein soll,
weil wir darüber nachher bessere Aussagen machen können
Das ist jetzt Teil Aussage 2 der Definition.
Dazu seien zwei Inzidenzräume gegeben, PGI, und Gamma Strich,
P-Strich, G-Strich, I-Strich, Inzidenzräume.
Und jetzt haben wir eine Reaktion, Sigma von P nach P-Strich.
Also wir betrachten als Isomorphismen, wie Eption zwischen den Punktmengen,
die heißt Isomorphismus
Von Inzidenzräumen oder von Gamma, Nachgamma, Strich.
Oder auch statt Isomorphismus, sagt man, in der Geometrie gerne auch Kolliniation.
Das werde ich meistens sagen. Also heißt Kolliniation oder Isomorphismus
. Wenn folgendes gilt. Wenn für alle XYZ aus P
gilt. Die Menge XYZ ist kollinär
In Gamma XYZ sind ja Elemente der Punktmenge von Gamma.
Also ist das meine Menge Großa, von der
ich fragen kann, ist die Collinär ja oder nein?
Die soll genau dann collinär in Gamma sein, wenn ihre Bilder,
Siegmar von X, Siegmar von Y, Siegmar von Zert,
wenn diese Menge, collinär in Gamma Strich ist.
Also kollinäre Mengen in kollinäre Mengen,
wobei die Mengen
die Gestalt XYZ haben
Wichtig hier, es reicht hier nicht,
zwei elementige Timingen zu betrachten, weil wenn ich jetzt Set weglassen würde,
X und Y ist stets koordinär,
weil wir jetzt in einem Inzidenzraum sind und je zwei Punkte eine Verbindungsgrade besitzen.
Das heißt, man muss schon hier mit drei Punkten das
formulieren mit drei Elementen. Wobei ich hier nicht gesagt habe,
dass die alle drei verschieden sind,
aber im Prinzip könnte man sich auch verschiedene Punkte beschränken.
Das wird dann später nochmal zum Tagen kommen,
da werde ich das auch dann nochmal erwähnen und erklären
Zweite Bemerkung noch generell zur Schreibweise. Ich hatte ja jetzt
koordinär für Mengen definiert und auch hier so hingeschrieben.
Später werden wir vielleicht mal ein bisschen lockerer, auch einfach schreiben,
XOC und Z sind koordinär, ohne die Mengenklammern dazu zu steigen.
Also aus dem Kontext müsste das dann klar sein. So,
damit habe ich jetzt den Begriff Koordination erklärt. Und einen Spezialfall noch,
Isomorphismus, wie üblich, würde man jetzt sagen,
ist GAMA Gleichgamma Strich, also die beiden Räume,
um die es hier geht, sind die identisch.
So heißt Die Koordination Sigma, auch nicht Isomophismus, sondern Automafismus.
Automafismus von Gamma. Mal wie üblich. Nun,
dritter Teil, auch wie üblich, wie vorhin schon angedeutet.
Wir nennen in dem Fall dann Gamma, Isomorph zu Gamma Strich,
schreiben wir so und das wird wieder wie üblich gesprochen, Isomorph.
Genau dann, wenn es existiert, ein Isomophismus-Sigma von Gamma
nach Gamma Strich. Und dieses Iso habe ich,
glaube ich,
eben schon gesagt
Benutze ich als kurz Wort für Isonafismus. Ich möchte hier
ein kleines Beispiel einfügen, das jetzt nicht im Skript steht,
wir werden auf dem Übungszettel diverse Beispiele machen.
Ich möchte hier ein Beispiel einfügen für eine Koordination oder einen Automofismus jetzt,
Gamma, AG 2R, also unsere ganz gewöhnlichere elle Ebene.
Und Sigma ist dann eine Bijektion von Airhog 2 nach Airhog 2,
also von der Pumpmenge in die Punktmenge Und ich möchte
einen Punkt X abbilden auf X plus den Vektor 1.0,
könnte auch eben einen anderen nehmen.
Ich möchte nur zum Zeichnen, mich auf einen, die er konzentrieren.
Hier ist der Vektor 1.0. Und wenn ich jetzt hier X habe,
dann wird X, also hier dann abgebildet auf Sigmar von X. Das heißt, die Abbildung ist eine Parallelverschiebung.
Jeden Vektor wird der Feg, Feste Vektor 1.0 dazu addiert,
ist natürlich Bieaktiv und ist auch eine Koordination,
wenn ich X, Y und Set habe,
die alle drei auf einer gerade draufliegen,
Ich verschiebe die alle um denselben Vektor 1-0,
liegen auch ihre Bilder auf einer Grade und auch umgekehrt in die andere Richtung, gilt das.
Das heißt, die Eigenschaft von hier oben, XYZ-Kollegial,
genau dann, wenn die Bilder kolinear sind, ist hier tatsächlich erfüllt.
So, eine Sache noch, Bemerkung,
steht auch im Skript unterhalb der Definition,
wie üblich bilden die Automophismen, also sie ist ein Automophismus,
Auto schreibe ich kurz von Ghama,
Südmeister Auto von Ghana
Wie üblich bilden die Automafismen eines Inzidenzraums eine Gruppe?
Die Automorphismen. Von Gamma,
Gamma jetzt wieder beliebiger Inzidenzraum bilden mit der Hintereinanderausführung von Abbildung,
also mit Kringel, als Verknüpfung, eine Gruppe.
Und die Gruppe heißt Out Dama.
Mit Klammern drum oder im Skript in die Klammern weggelassen.
Auf jeden Fall die Automafismen-Gruppe von Gamma.
Die bilden eine Gruppe, genau,
kann man
sich überlegen
Überlege ich mir noch, ob ich das vielleicht in
der Übung noch vertiefe oder ob das so einfach ist,
dass wir das einfach als klar hier uns vorstellen.
Genau. Das ist erstmal die Definition einer Koordination,
wohl ein Beispiel eines Automorphismus. Und es kommen dann jetzt
noch etwas weniger triviale Beispiele von Isomorphismen und eine andere Beschreibung auch von Isomorphismen,
weil diese Sache, mit denen Koordinaritäten hier,
die ist vielleicht doch in der Praxis nicht immer so leicht zu prüfen.
Genau, aber das wird in den nächsten Videos dann behandelt.
Hier mache ich erstmal Schluss