Herzlich willkommen zur zweiten Woche, zur zweiten Vorlesungswoche Geometrie.
Bisher haben wir ja den Begriff Inzidenzraum kennengelernt und verschiedene Beispiele behandelt.
Zuletzt im letzten Video habe ich das Beispiel AD2K
ausführlich behandelt. Die affine Ebene über einem Körper K,
sozusagen die Punktmenge ist K hoch 2 und die Graden sind
die gewöhnlichen Durchvektoren dargestellten Graden.
Im K hoch
Dies könnte man jetzt verallgemeinern, statt dem KHO 2,
den KHO hoch 3K, hoch 4 oder einen beliebigen Car-Vectorraum nehmen.
Das steht in Bemerkung 1,5. Das werde ich
jetzt aber hier nicht hinschreiben und nicht weitere handeln.
Stattdessen gehe ich über zu den darauffolgenden Beispielen in Aussage 1,6.
Weitere Beispiele und Beispiele. Die Beispiele werden weiter nummeriert gegenüber
vorher.
Beispiel 7 ist PG
Die projektive Ebene über den reellen Zahlen. Ich schreibe dazu
Übung in der Übung auf Platz 1 kam schon vor PD2
über dem Körper C2 im Körper mit zwei Elementen.
Da ist auch die Definition von dieser Inzidenzstruktur hingeschrieben,
in den Hausaufgaben wird das dann für ein beliebiges K behandelt,
auch von Platz 1.
Und hier im Skript an der Stelle behandeln wir das für
den Körper der reellen Zahlen.
Und ich möchte noch einmal kurz diese Struktur hinschreiben,
um auch nochmal deutlich zu machen,
wie ich
Für viele Zwecke es günstig halte, das Ganze hinzuschreiben.
Die Punktmenge ist ja die Menge nach Definition,
so wie es auch im Skript steht, die Menge aller ein,
ich habe es ein bisschen unorthodox und unpräzise,
die Menge aller eindimensionalen Untervektorräume von V,
was hier R hoch 3 ist,
allgemein K hoch 3 und so ein Eindimensionalen Untervektorraum würde ich gerne,
oder kann man schreiben,
zum Beispiel als A mal R,
die Menge aller Vielfachen eines festen Vektors
Und A, ist natürlich dann ein Vektor aus V,
der nicht der Null-Vektor ist, die eben die einen Elementige
Basis des eindimensionalen Unterraums, den wir gerade betrachten.
Die Grabenmenge ist die Menge aller Zweidimensionalen.
Unterweckte Räume von V. Und so einen Zweidimensionalen Untervektorraum.
Kann man zum Beispiel schreiben als AR plus BR, A,
B bilden dann eine Basis, also A, B, liniger, unabhängig
Und das hier ist eine Kurzscheukweise für die Menge aller A-Landa,
plus B-Mü, also aller Linearkombinationen von A und B, Lander, M-R.
Und wie Sie hier sehen und wie ich nochmal erinnere,
schreiben wir ja immer die Skalare nach rechts.
Deshalb muss auch der Körper, hier R,
jeweils rechts von den Vektoren hingeschrieben werden.
Und drittens brauchen wir ja noch die Inzidenz.
I, das ist hier die Relation. Kleiner Gleich schreibe
ich die, das steht für Untervektorraum.
Also ein Punkt
In eindimensionaler Untervektorraum inzidiert, mit einer Grade an zweidimensionalen Untervektorraum,
wenn der eindimensionale Untervektorraum, unterweckberäumtes zweidimensionalen Untervektorraums ist.
Ich könnte hier ebenso gut Teilmenge schreiben,
weil es ja sowieso alles sich um Unterweckberäume handelt.
Da ist das egal, aber ich habe es jetzt hier so,
wie es auch im Skript eingeführt ist, hingeschrieben.
Und so würde ich das auch immer schreiben,
wenn ich das nochmal definieren sollte. Etwas ausführlicher oder ja,
ein bisschen ausführlicher und für sie neu ist jetzt das Beispiel Sie,
das Beispiel 8, das Beispiel 8, Wieder ein Inzidenz,
eine Inzidenzstruktur PGI, von der man zeigen kann,
dass es sich um einen Inzidenzraum handelt.
P ist wie oben. Die Menge aller AR,
wo A in R hoch 3 ohne Null ist.
Das ist also genau dieselbe Punktmenge, wie im Beispiel 7
nur jetzt von vornherein der Begriff unter Vektorraum fällt,
gar nicht in dieser Form hingeschrieben.
Jetzt kommt das Neue, wir haben ein anderes G
und zwar sehr ungewöhnlich.
BG ist gleich
Das ist auch nie verboten. Also es steht nirgends das G&P,
verschiedene Mengen sein sollen. Und jetzt müssen wir aber eh
sehr speziell definieren, eh wird definiert durch Folgendes.
Wann ist AR? Das ist jetzt ein Element von P,
Inzident mit BR, wo ich das hier auffasse als Element von gehe.
Und das definiere ich dadurch, dass ich sage,
A und B sind ja beides Vektoren aus dem Erhof 3.
Das heißt, ich kann ausrechnen A1 W1 plus A2 B 2
plus A3 B3 und die sollen inzident sein, diese beiden Objekte, wenn hier null rauskommt. Könnte sagen,
das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist null oder ich möchte es hier lieber interpretieren,
weil beide Vektoren, ja man kann es als Galarprodukt interpretieren,
ich interpretiere das hier als Matrizenprodukt, beide Vektoren sind Spaltenvektoren,
das heißt, wenn ich hier schreibe A transponiert,
mal weh, habe ich hier, das ist Seile,
mal Spalte,
also eine 1 Kreuz 1 Matrix oder eine reelle Zahl
und die soll eben gleich null sein
Das ist die Definition von I und man muss jetzt zeigen,
dass ihr überhaupt wohl definiert ist.
Das steht auch da im Skript, dass man das zeigen kann.
I ist wohl definiert. Was heißt das? Was soll das
eigentlich hier bedeuten? Wohl definiert, kann Verschiedenes bedeuten.
Hier heißt es Repräsentanten unabhängig, also zu zeigen ist,
wenn AR dasselbe ist wie A, Strich er.
Dieser eindimensionale Untervektorraum hat ja verschiedene einelementige Basen.
Einmal A und einmal A
, Strich
Und BR gleich B-Strich R. Wenn das gilt,
dann soll folgen, dass A transponiert B gleich Null,
gleichbedeutend ist, mit A. Strich transponiert.
Mal wie Strich gleich Null. Das heißt,
hier oben in der Definition ist es egal,
ob ich die Repräsentanten A und B nehme oder die neuen
Repräsentanten A. Strich und B-Strich.
Es kommen entweder in beiden Fällen Null raus oder in beiden
Fällen ungleich Null raus. Und wenngleich Null rauskommt,
dann liegt die Relation I vor.
Dann liegen die Elemente in Relation
Gut, ich möchte dieses hier jetzt nicht vollständig ausführen,
aber sozusagen den Ansatz für den Beweis einmal kurz hinschreiben.
Beweis, wenn das hier gilt,
dann folgt das A-Strich gleich Armer Lamda und B-Strich,
vielleicht B mal Mühe ist,
für Lander und Mühe in R ohne Null.
Das sind zwei andere Basisvektoren der jeweiligen einen elementigen Basis,
also der jeweiligen eindimensionalen Lektoräume.
Und jetzt kann man
das ausrechnen
Also Arschstrich ist dann A1 Lamda, A2 Lamda, A3 Lander,
B-Strich ist B10 B2 B3 Müh und dann folgt tatsächlich die Behauptung.
Und hier benutzt man einfach ganz normal Rechnen und ganz wichtig
möchte ich hier nochmal betonen, mit der Kommutativität,
an irgendeiner Stelle müssen sie die Zahlen oder die Lamdas und Mühs
hin und her schieben, mit Kommutativität der Multiplikation.
Also wenn man einen Körper kahrnehmen würde,
statt den reellen Zahlen,
der nicht kommutativ ist,
dann würden wir auf diese Weise
hier nicht vorankommen
Genau, im Skript steht zu diesem Beispiel noch, dass tatsächlich ein Inzidenzraum vorliegt.
Das könnte man jetzt beweisen, mache ich hier nicht.
Ich gebe halt stattdessen einen kleinen Ausblick in den nächsten Videos,
geht es um den Begriff,
unter anderem der Isomorphie von Inzidenzräumen und man kann zeigen,
dass diese Struktur hier Isomorph ist, zu dem Beispiel vorher.
Also die haben ja schon mal die gleiche Punktmenge,
aber verschiedene geraden Mengen, aber man kann einen Isomorphismus anwenden,
auffinden und wir weisen, dass es einer ist.
Wenn der Isomorphismus definiert haben. Das erfordert relativ viel Aufwand,
damit man einen sinnvollen Iromafie begriff. Aber diese beiden Strukturen
sind Isomorph und da die erste eben ein Inzidenzraum ist,
ist diese zweite Beispiel 8 auch ein Inzidenzraum.
Ich habe jetzt hier noch ein drittes Beispiel, also Punkt 1,
6 besteht noch aus einem dritten Beispiel, Beispiel 9.
Das ist eine sogenannte Spur hier im Getrieb.
Und zwar machen wir das für die Situation,
dass unser Ausgangsinzidenzraum ARG 2R ist
Also das hier ist er hoch zwei. Iiii ist die
Elementrelation und G sind die gewöhnlichen Graden, in R hoch zwei.
Und jetzt nehmen wir eine Teilmenge Haar von P. Da ist
im Skript ein kleiner Fehler, da steht in die HP,
die Teilmenge soll Haar heißen. Wenn das hier unser R-Hoch zwei ist,
ist jetzt hier in meinem Beispiel Haar, das hier,
also alles, was hier in dieser, in diesem Gebilde drin liegt, in dieser Teilmenge.
Und die Teilmenge soll nicht zu klein sein,
Haar soll mindestens zwei Punkte enthalten.
Bei mir entfällt es jetzt unendlich viele, also gestickt.
A. Es ist ha. Und jetzt kann ich eine neue
Inzidenzstruktur definieren mit Punktmenge Haar und geraden Menge G von H. G von H
ist die Menge aller derjenigen Graden aus G,
die das Haar in mindestens zwei Punkten schneiden.
Also gucken wir mal die Skizze an.
Ich kann ja jetzt alle möglichen Graden von G angucken.
Also alle möglichen Graden der Ebene,
diese Grade schneidet das zum Beispiel
gar nicht
Es kommt also hier nicht rein. Ich könnte mir auch gerade vorstellen,
hier, die in genau einen Punkt schneiden,
solche Tangenten, die kommen auch nicht rein,
aber wenn ich diese gerade nehme, die kommt dazu,
vielleicht schreibt man nicht die rot,
dann habe ich meinen Rotstück hier, die geraden die in,
die von H drin sind.
Das sind alle, ich müsste jetzt unendlich viele hinzeichnen,
aber sehr, sehr viele geraden, alle diejenigen geraden,
die H in zwei oder mehr Punkten schneiden.
In unserem Beispiel wird das dann sozusagen tatsächlich jeweils in unendlich vielen Punkten schneiden.
Das heißt, hier rotskizzierten Graden sind die Graden von G von H.
Und als Inzidenzrelation nehme ich wieder die Relation Element,
so wie ich das auch hier oben habe.
Das heißt, ich habe eine neue Inzidenzstruktur,
gehe vom H. Ich schreibe mal E-Element.
Das ist wieder ein Inzidenzraum. Das liegt daran,
dass es eine Teilenmenge ist von einem großen Inzidenzraum.
Und der heißt Spurgeometrie
Also genauer, wie von AG2R Aufha, induzierte Spurgeometrie. Das heißt,
wir betrachten eben als Punktmenge nur diese Teilmenge Haar und als Graben,
das nennt man manchmal auch die Spuren, die die geraden,
die gesamten Graben, die gesamte Gradenmenge in Haar hinterlassen.
Also nur diejenigen geraden dann betrachtet,
die hier in Haar eine nicht triviale Spur hinterlassen.
Die ausmindestens zwei Punkten entsteht.
Deshalb nennt man
das Spurgeometrie
Wird bei uns keine besonders große Rolle spielen.
Ich habe sie hier unter anderem deshalb mit aufgeführt,
weil es einen wichtigen Spezialfall gibt, den ich ja auch nur kurz andeuten möchte.
Wenn H nämlich das Innere des Einheitskreises ist,
also hier war Paar ja jetzt irgendeine beliebige Teilmenge,
wenn H gleich Inneres des Einheitskreises ohne den Rand,
also in das echte Innere,
dann heißt diese Spurgeometrie auch die reelle hyperbolische Ebene
Oder ganz streng genommen das kleinste Modell der reellen hyperbolischen Ebene,
also ist auf jeden Fall ein Inzidenzstruktur,
ein Inzidenzraum von besonders wichtigem Typ, nämlich von dem Typ phyperbolische Ebenen.
Wir behandeln in dieser Vorlesung hyperbolische Ebene nicht,
aber es ist ein wichtiges Forschungsfeld und ein Stichwort nicht-äuthetische Geometrien,
sind auch hyperbolische Ebenen mit dabei und dieses wäre so das
einfachste Beispiel einer hyperbolischen Ebene,
über die man auch schon sehr viele Aussagen machen kann.
Genau, und damit schließe ich
die Beispiele und schließe auch dieses erste Video der zweiten Woche