So, ich bin wieder da, ich mache weiter. Ich möchte den Satz,
den ich neulich im letzten Video formuliert habe,
jetzt beweisen, der Satz sagt, dass die folgende Inzidenzstruktur,
ein Inzidenzraum ist, die affine Ebene über K,
kam ein Körper, die Punktmenge ist kein Quadrat,
die Graben sind diese Mengen,
die geben durch einen Punkt B auf der Graben und einen Richtungsweck,
Tobi, gleich Null und die Inzidenzrelation ist die Elementrelation.
Und zu zeigen ist,
die Aussage lautet,
das ist ein Inzidenzraum
Und ich führe hier den Beweis vor und starte mit I1,
die Eins sagt ja, die zwei verschiedene Punkte haben,
eine eindeutige Verbindungsgrade. Seien also, X und Y,
zwei verschiedene Punkte und gesucht ist die eindeutige Verbindungsgrade.
Zunächst mal eben eine Grade, auf der Sie
beide draufliegen und im zweiten Schritt dann die Eindeutigkeit.
Also wir starten mit der Existenz und nehmen die Verbindungsgrade oder die vermutete Verbindungsgrade,
definieren wir so, wie man das standardmäßig in der Vektorrechnung machen würde.
Wir setzen G, gleich X plus y minus X mal K.
Das heißt, wir nehmen hier unsere Punkte X und Y haben,
gesucht die gerade. Wir nehmen Y minus X als Richtungsvektor.
Dass wir dieser Vektor, wie man das standardmäßig machen möchte.
Und X und Y liegen beide auf dieser Garden drauf,
die enthält X und Y. Das ist klar, denn das
sind ja alle X plus Y minus X mal Landa.
Wenn ich jetzt Wir haben dann null Sätze, erhalte ich X.
Und wenn ich Lamda einsetze, erhalte ich Y.
Also das ist klar. Das ist eine gerade, auf
der beide drauf liegen. Jetzt kommen wir zur Eindeutigkeit.
Das ist ein bisschen aufwendiger. Wir nehmen irgendeine gerade,
die X und Y enthält und zeigen, sie ist gleich dieser Braden lieb.
Sei ha, gleich a, plus die kam.
Eine beliebige Grade mit X, Y-Element Haar.
Und zu zeigen ist, ha, ist gleich gilt.
Also da ist die gerade
Die wir oben gerade befindet haben, die sie gerade,
von der wir schon wissen, sie ist, verbindet die beiden Punkte. So,
weil X und Y auf Haar liegen, so ähnlich wie eben gesagt,
müssen wir jetzt umgekehrt da entsprechende Landas finden,
die nenne ich Lamda und Müh,
sodass X gleich A plus B-Landa ist,
Y gleich A plus B, Müh,
und ich schreibe noch dazu, lamda-müh ist ungleich null,
weil ja X und Y verschieden sind.
So, Was kann ich damit jetzt anfangen? Ich berechne jetzt mal, Y minus X.
Das ist ja hier der Richtungsvektor, der geraden ging.
Den möchte ich jetzt mithilfe von diesen Darstellungen ausrechnen,
Y minus X, also A plus VMü, minus A plus VLanda,
isbminus bLanda, also B, mal minus Lamda.
Und das ist ungleich null wegen dem, was ich hier
stehen habe. Also ein nicht null Vielfaches von B,
ist dieses Y minus X und daraus können wir schließen,
dass dann Y-Cilominus XK. Das ist ja der einen,
die mensionale Vektorraum, der von Y minus X aufgespannt wird.
Also das Salamvielfache von Y minus X. Ist dann be-minus-lamda mal K.
Unter mühendes Lande jetzt ein Skalar ist, ist das dasselbe wie Be-Malkar.
Also B und Y minus X sind bis auf einen Skalar-Ungleich-Null identisch.
Das heißt, die Spannenden gleichen eindimensionalen Unterrektorraum auf.
Das heißt, dieser hintere Bestandteil der Grade,
der Graden, die und Haar ist schon mal identisch.
Und wir machen weiter und möchten jetzt noch mal wirklich zeigen,
dass die Graden insgesamt identisch sind.
Gerade G war ja X plus Y minus XK.
Das ist jetzt nach dem, was wir eben gerade gezeigt haben,
X plus BK. Und jetzt kann ich auch X noch einsetzen.
X hat mir ja hier oben gerechnet oder angegeben,
als A plus B Lamda.
Das ist also A plus B Lamda plus BK
Und jetzt ist B. Lamda aber ein Element von BK.
Das heißt, locker hat gesagt, ich kann das hier reinziehen.
Das ist gleich A plus Speaker. Und das ist Haar.
Und damit bin ich fertig mit dieser Behauptung. Zu dieser Sache hier noch,
wenn Ihnen das jetzt ein bisschen unklar erscheint,
Sie könnten das tatsächlich nachrechnen,
indem Sie beides als Mengen, so wie hier oben,
würde ich nicht den Buchstaben Lamda nehmen, weil der schon vorkommt,
aber mit einem anderen Buchstaben direkt nachrechnen.
Oder Sie können sagen, das haben wir in
der Linie an Algebra gehabt
Sind nämlich beides Elemente des Quotientenvektorraums, nach dem Untervektorraum BK,
und zwar identische Elemente. Man könnte auch sagen,
die gleiche Äquivalenzklasse oder Nebenklasse, wie andere sagen,
nach dem Untervektorraum BK, weil sie sich unterscheiden,
also die Vertreter hier, unterscheiden sich um ein Element,
was im Intervektorraum BK drin liegt.
Das heißt, in dem Sinne haben wir tatsächlich zweimal
das gleiche Element, zweimal die gleiche gerade.
So, damit ist I1 gezeigt. I2 ist ganz einfach
, das sage ich nur mündlich
I2 war ja die Aussage, auf jeder Graden liegen mindestens zwei Punkte.
Wenn sich hier nochmal so eine Grade angucken,
da kann ich ja alle Lambdas aus K einsetzen und mindestens
zwei Elemente sind in K drin, nämlich 0 und 1.
Das sind die Elemente A und A plus B, die ich da kriege.
Das sind zwei verschiedene Punkte. Weil ich bin ja nicht nötig.
Also haben wir das auch und dieser Satz ist gewiesen.
Wir haben jetzt eine ganz große Beispielklasse für jeden Körper,
haben wir dieses AG 2K, das ist ein Inzidenzraum.
Und ich hatte ja schon gesagt,
diese Körperka,
die sind
nicht notwendigerweise kommutativ
Und dazu möchte ich jetzt hier auch noch etwas aufschreiben.
Das ist das Beispiel 1.4 im Skript.
Ein Beispiel eines nicht-kommutativen Körpers, dass sie jetzt merken,
das ist jetzt nicht einfach nur zusätzlicher Sprachaufwand,
sondern es gibt auch tatsächlich Beispiele, wo das vorkommt.
Beispiel eines nicht-kommutativen Körpers. Und nicht kommentativ heißt immer
die Multiplikation ist nicht kommentativ.
Die Addition ist weiterhin kommentativ
Dieser Körper heißt H, mit Doppelstrich, die sogenannten Hammel-Johnson-Fortenionen,
also H steht für Hamilton. Und das ist,
manche sagen, oder interpretieren das als Verdopplung der komplexen Zahlen,
also wie die komplexen Zahlen aus den reellen Zahlen entsteht,
so ähnlich, entsteht das hier aus den komplexen Zahlen.
Ich schreibe das als reellen weckter Raum, ja,
plus E-R, dass sie an die komplexen Zahlen,
dann kommt noch ein weiteres imaginäres Element hier hinzu,
J-R plus
Könnte man schreiben eins, ja, wenn man wollte,
eins, IJK sollen linear unabhängig sein.
Das heißt, vierdimensional über. Ja, schreibt das nochmal
ganz ausführlich. Das sind also alle X1 plus IX2 plus
JX3 plus KX4. X1 bis X4 in R. Und wenn sie
den hinteren Teil weglassen, haben sie die komplexen Zahlen.
Jetzt haben sie aber noch zwei weitere Bestandteile, also insgesamt vierdimensional.
Und Hamilton damals im 19. Jahrhundert hat zunächst gehofft, ein Dreidimensionales Beispiel zu finden.
Das gelang ihm nicht. Er hat ein vierdimensionales Gesucht,
sozusagen eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen und festgestellt, das klappt nur,
wenn ich auf die Kommentativität der Musiflikation verzichte. Zunächst mal,
wie hier schon dargestellt, ist das aber ein reeller,
vierdimensionaler Vektorraum und insbesondere haben wir eine ganz gewöhnliche Vektoraddition,
das heißt H mit Plus ist eine arbeite Gruppe.
Und jetzt brauchen wir noch mal,
um das Ganze zu einem Körper zu machen,
eine Multiflikation und die wird gefolgt definiert
Also wir definieren sie erst mal auf den Basiselementen.
1IJK, eins so die übliche Regel erfüllen. Einmal X
, gleich X, gleich X mal eins für alle X.
Ganz egal, welche, wenn ich das X nenne,
Element, ich nehme. Dann soll ich Quadrat gleich minus eins sein,
auch wie üblich und auch J-Quadrat und Karkquadrat,
soll auch minus eins sein.
Dann muss ich noch I mal J rechnen,
das soll nunus J mal I sein, gleich Kar.
Und hier sehen wir schon,
das ist nicht kommutativ
Weil IMAJ ist nur, das hört man, das heißt
IMAJ ist nicht gleicher, man. Und analog geht es jetzt weiter,
J mal K, gleiche minus K J ist gleich I
und KI ist gleich minus IK, ist gleich J.
So haben wir jetzt jeden Basisvektor mit jedem multipliziert und genau,
und das, wenn wir jetzt zwei Beliebige,
solche Elemente multiplizieren wollen, multiplizieren wir aus,
sortieren nach den Basisvektoren,
Referenten diese Regeln und können zwei beliebige Elemente multiplizieren,
das nennt man
wie lineare Fortsetzungen
Das heißt, diese Xe sind ja stalarre,
die kann ich immer ganz nach links oder ganz nach rechts,
ich würde es hier dann hier ganz nach rechts machen, schreiben.
Genau, und habe also damit eine Multiplikation definiert und weil
das Ganze definierend hier sozusagen durchaus multiplizieren funktioniert,
ist auch ziemlich klar, die Multiplikation erfüllt,
zusammen mit der Addition dann das Distributivgesetz.
Man müsste jetzt auch noch die anderen regeln,
also was noch fehlt, ist,
dass die Elemente ungleich null mit der Multiplikation auch eine Gruppe bilden,
einen nicht kommutative Gruppe
dann wegen diesem
Das führt aber hierzu weit, das alles vorzuführen, ist reiner Rechenaufwand.
Also zum Beispiel die Assoziativität zu beweisen, werden relativ aufwendiger Rechenaufwand,
langweilig, aber machbar, aber langweilig und langwierig.
Aber man kann es zeigen, das Haar plus mal ein Körper ist.
Körper, wenn wir Körper definieren, als alle Körpergesetze,
außer der Multiplicap, dass die Multiplikation kommuntativ ist.
Und um zum Beispiel die Assoziativität zeigen zu können,
der Multiplikation ist es nützlich, hier eine Isomorphe-Struktur zu betrachten,
Was auch ein Skript kurz genannt wird,
was in der Übung vorkommen wird,
nämlich als Unterring eines Matrizenrings, das Haar aufzufassen.
Und da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist, haben wir das dann
auch hier gewonnen. Dazu möchte ich aber nichts mehr sagen,
weil wir ja auch nicht zu viel sozusagen effektiv in die Algibra einsteigen wollen,
ein bisschen, was dazu kommt in der Übung.
Nur, dass Sie mal gesehen haben, es gibt tatsächlich
nicht kommuntative Körper. Und auch die sind zugelassen,
also dieses Haar ist zugelassen als ein K in dem Satz von eben,
über dem wir eine affine Ebene
AG-Zeug haben machen können