Herzlich willkommen zur zum ersten Video der Vorlesung Geometrie.
Wir beginnen mit dem Kapitel 1 des Skripts,
welches überschrieben ist, mit Inzidenzsäume, Inzidenzfräume sind die geometrischen Strukturen,
die in der gesamten Vorlesung die zentrale Rolle spielen.
Ich möchte Inzidenzraum definieren und beginne aber mit der Definition Inzidenzstruktur,
eine Inzidenzstruktur ist ein Triebel Gamma aus einer Menge P, einer Menge G und einer Relation
Also ein solches Triebel heißt Inzidenzstruktur, ein folgendes Geld.
Wenn P und G nicht leere Mengen sind und ihr eine Relation zwischen P und G,
also eine Teilmenge des kathesischen Produkts, die Elemente von P nennen wir Punkte,
die Elemente von diesem geschwungenen Genen wir graben und das ihnen wir Inzidenzstallation
Das ist also, wie gesagt, eine Relation zwischen Punkten und Geraden. Also wenn gilt,
dass das Paar Klein-P groß geht, Klein-P, ein Punkt,
groß geh eine Gerade, wenn das in I liegt,
so schreiben wir meistens P-I-G, also wie üblich,
das Relationszeichen dazwischen, die beiden Innovationen stehenden Objekte geschrieben.
Und wir nennen die beiden Elemente dann Inzident. Der Punkt ist mit der geraden Inzident,
die gerade ist mit dem Punktinzident, und gerade sind Miteinanderinzidenz,
sie inzidieren miteinander, sagt man auch, oder anschauliche Sprechweisen werden verwendet,
wie der Punkt liegt auf der Grade, die gerade geht durch den Punkt.
So, wenn jetzt gar mal eine Inzidenzstruktur ist,
dann heißt Gamma-Inzidenzraum, wenn zwei weitere,
jetzt wirklich inhaltsreiche Aktionen gelten, also die Inzidenzstruktur,
Gamma heißt Inzidenzraum, Wenn folgende beiden Sachen gelten,
die 1 für alle Punkte X und Y,
die voneinander verschieden sind, gilt,
es existiert genau eine gerade G,
sodass X mit G inszeniert und Y mit G inszeniert.
Und das G nennt man dann Verbindungsgrade
Von X und Y und das Axiom sagt also, je zwei verschiedene Punkte,
wir sitzen eine eindeutige Verbindungsgrade und wir schreiben, G ist gleich XY.
Also XY so hintereinander geschrieben, symbolisiert die eindeutige Verbindungsgrade, der Punkte X und Y.
In einem Inzidenzraum ist die immer eindeutig. Und E2 sagt für alle Graben, existieren Punkte,
X und Y, X Ungleich Y, wie oben,
sodass der Punkt X mit G inszeniert und der Punkt Y Mitge-insidiert,
mit anderen Worten, um ganz sprachlich formuliert,
auf jeder Graden liegen mindestens zwei Punkte drauf.
So, das sind die beiden Aktionen. Sehr einfache Aktionen,
die auch plausibel sind, dass sie wahrscheinlich am besten gelten sollten,
damit man wirklich von Punkten und Graben spricht.
Ich gebe Ihnen zwei Beispiele. Das erste Beispiel ist also
ein Beispiel eines Inzidenzhaus. Dieses Beispiel finden Sie auch im
Skript. 1, 2,
Eins, zwei im Skript entdeckt ganz viele Beispiele von Inzidenzräumen.
Dieses erste möchte ich jetzt hier schon mal bringen.
Die Punktmenge sind die vier Punkte, die vier Elemente,
A, B, C, D, also eine vier elementige Punktmenge.
Die geraden Menge, die Menge der Graben, sind alle,
alle Graben, die Graben sind alle Teilmengen von T,
die zwei elementig sind.
Und die Inzidenzrelation ist die Relation Element. Wir können für einen Punkt immer fragen,
ist der Element einer zwei elementigen Teilmenge A,
Ja oder Nein und je nachdem ist dann der Punkt mit
der Grabeninzident Ja oder Nein
Dieses möchte ich jetzt hier ihnen skizzieren. Generell,
weil so endlichen Inzidenzstrukturen, Inzidenzformen werden, werde ich gerne Skizzen machen.
Es wird auch ein Skript gemacht. Und Skriptseite 2 unten steht
ein bisschen ausführlicher, wie wir zu den Skizzen kommen.
Ich erkläre das jetzt hier am Beispiel. Also die Punkte einer Inzidenzstruktur,
die ich skizzieren möchte, skizziere ich in der Regel als etwas fetter,
gut zu sehende Punkte auf meinem Blatt Papier,
die in dem Fall beschrifte ich sie noch.
Und die Graben sind jetzt
irgendwelche Kurven
In der Ebene, auf dem Blatt Papier,
welche zwei Punkte miteinander verbinden, wenn die beiden Punkte auch derselben Graben liegen.
Also die alle Punkte einer Graben dann miteinander verbinden.
Hier waren ja jetzt unsere Graden zwei Elemente. Das heißt,
ich kann die so zeichnen. Das ist die gerade Menge AB,
die Menge BED, die Menge AC, die Menge CD,
die Menge BC und die Menge AD.
Also dass wir eine Skizze für diese oben stehende Inzidenzstruktur,
diesen Inzidenzraum. Ganz wichtig, dieser Schnittpunkt der beiden Graben,
denn das war ja keiner meiner vier fetten Punkte,
auf dem Blatt Papier hat,
die haben die zwei Graben diesen Punkt gemeinsam
Das ist aber kein Punkt des Inzidenzraums, der spielt also überhaupt keine Rolle.
Zweites Beispiel, ein Beispiel für eine Struktur,
für eine Inzidenzstruktur, die kein Inzidenzraum ist.
Kommt im Skript jetzt erstmal nicht vor,
wird in der Übung aber auch behandelt.
Ich möchte ein Beispiel jetzt hier nur durch eine Skizze erläutern.
Wir haben jetzt fünf Punkte. Die zeichne ich mal hier
so hin. A, B, C,
D,
Und wir haben jetzt nur drei Graden und auf jeder Graden liegen drei Punkte drauf.
Dann haben wir einmal diese Grade. Dann haben wir diese
Grade. Und dann haben wir noch eine dritte Grade,
die ich jetzt nicht mehr geradlinig zeichnen kann.
Dieser Zeichen ist sie rot, damit sie deutlich sichtbar ist.
Diese Grade. Also die drei Punkte inzidieren auch mit einer gemeinsamen Graden.
Das sei mal die gerade G. Diese gerade hier,
nämlich die Grade H, die dritte Grade kriegt keine Bezeichnung.
Das heißt, es kann mal vorkommen,
dass gerade sich nicht geradlinig zeichnen lassen, nach dem,
wie ich das Bild male.
Ich hätte die hier auch Schlangenlinien förmlich zeichnen können,
solange nur aus dem Bild klar wird, welcher Punkt inszeniert,
mit welcher Grade.
Und das ist jetzt kein Inzidenzraum, dieses untere Beispiel.
I2 ist erfüllt. Jede Grade hat hier sogar drei Punkte.
Also die 2 ist erfüllt, aber I1 ist verletzt.
Das erkläre ich mal eben nur mündlich. Die 1 war
ja zwei verschiedene Punkte, haben immer eine eindeutige Verbindungsgrade.
Hier haben zum Beispiel die.de und B
überhaupt keine Verbindungsgrade
Die Punkte A und E haben aber sogar zwei Verbindungsgraden, also sowohl die Existenz als auch die Eindeutigkeit ist hier verletzt.
Also kein Inzidenzraum. Ich möchte hier auf diesem Platz noch weitergehen jetzt in der obigen Definition,
da kommt nämlich noch eine Sache, die ich definieren möchte,
die passt ganz gut hier zu diesem Bild,
nämlich wir haben jetzt wieder eine beliebige Inzidenzstruktur,
HGI und wir haben zwei Graden G und H,
da möchte ich definieren eine Menge,
die ich nenne G geschnitten habe,
Ist jetzt aber nicht die Schnittmenge im üblichen Sinne oder nicht notwendigerweise,
weil ja G und H zwei Graden,
zunächst mal gar nicht unbedingt Mengen sein müssten.
Das ist die Menge aller Punkte,
die sowohl mit G als auch mit H inzidieren.
Also in diesem Beispiel hier, G und Ha,
wie hier angedeutet, wäre das die Menge,
die aus den Punkten A und E besteht.
In dem Beispiel hier oben wäre das die ganz normale Schnittmenge,
weil unsere Graben ja Mengen sind und Element ist die Inzidenzrelation
Deshalb ist es auch sinnvoll, dass hier tatsächlich mit
den Schnittmengen Zeichen zu bezeichnen. So, ist jetzt zusätzlich
diese Schnittmenge, sage ich mal, ein Element.
Ich existiere also genau ein Element X da drin.
Genau ein Punkt, so heißt dieser Punkt X,
der Schnittpunkt von G und H.
Von G und H. Wer ist denn eindeutig?
Und dann sprechen wir von einem Schnittpunkt. Und in diesem Fall
ist das eben nicht so G und H haben keinen Schnittpunkt,
würde man sagen,
weil eben die Schnittmenge nicht eindeutig ist
Mit dieser Notation kann ich jetzt ein erstes Lämmer formulieren und auch beweisen.
Das ist die Aussage 1.1 aus dem Skript.
Ein kleiner Hilfssatz, der sehr wichtig ist.
Kammerinzidenzraum. Und zieht ins Raum jetzt. Geh und haargraben
. Dann gilt. Dann gibt es drei Möglichkeiten, wie
die geraden zueinander in Beziehung stehen. Die ist gleicher.
Oder Die Schnittmenge von G und H ist ein Elementig,
also es gibt so einen Schnittpunkt, oder die geschnittene Haar ist leer.
Es gibt keinen einzigen Punkt, der mit beiden Graden inzidiert.
Könnte es auch anders formulieren, wenn nicht zwei verschiedene Graden habe,
also dieses hier gilt nicht, die aber Punkte gemeinsam haben,
dieses hier gilt also auch nicht,
dann gibt es einen eindeutigen Schnittpunkt.
Dann haben sie einen Schnittpunkt im Sinne von der obigen Definition.
Und das möchte ich jetzt beweisen
Und ich formuliere das nochmal anders, zu zeigen ist,
wenn die Schnittmenge, also die Menge der Punkte,
die mit beiden inszenieren, wenn die zwei oder mehr Punkte enthält,
wenn das gilt, so ist die gleiche Haare.
Das müssen wir zeigen. Wenn die Schnittmenge zwei oder mehr
Punkte enthält, dann kann sie nicht einelementig sein,
dann kann sie auch nicht null elementig sein.
Und wenn das hier oben gelten soll, muss dann geh gleich
Haar sein. Und deshalb wollen wir das jetzt zeigen,
das ist aber nahezu trivial,
sei das hier
der Fall
Dann folgt, es existieren, X und Y,
NG geschnitten Haar, die verschieden sind,
die zumindest zwei hier vorkommenden gemeinsamen Elemente.
Dann ist aber X und Y beide Inzident mit G und wir
wenden das Aktion I1 an, dass dann die gerade G,
die eindeutige Verbindungsgrade von XY sein muss.
X und Y sind beide Inzident mit G. Andererseits sind
X und Y auch beide Inzident mit Haar.
Das heißt, die Verbindungsgrade von X und Y
ist gleichzeitig
gleich Haar
Ich könnte sagen,
die Eindeutigkeit der Verbindungsgrade oder jetzt hier meine Gleichungskette liefert,
gehe ist gleich haar und damit habe ich das Lämmer bewiesen
und damit schließe ich auch schon dieses erste Video zur
Vorlesung Geometrie