So, ich begrüße Sie ganz herzlich zu dem ersten Video,
was Sie von mir dieses Semester sehen.
Es geht um die Lösungen der Präsenzaufgaben von Blatt 1,
mal wieder. Nachdem das letzte Woche irgendwie nicht geklappt hat,
mein längeres Video mit allen Lösungen auf YouTube hochzuladen,
beziehungsweise auf Late Chat-to-go, Entschuldigung, Late Chat-to-go hochzuladen,
habe ich ein bisschen rumprobiert, mit kürzeren Videos geht es.
Das heißt, ich werde ein etwas kürzeres Video machen und
das machen wir als Lecture-to-go,
die Lösung des ersten Blattes,
der Präsenzaufgaben
In etwas und also sozusagen kürzeren Teil.
Okay. Also bei der ersten Aufgabe geht es um Folgendes.
Wir betrachten den Körper Z5, Carsol sein Z5 und Z5
schreiben wir manchmal auch als Z geteilt durch 5 mal Z.
Was ist das? Das sind, das ist ein Restklassenring,
ja. Das sind, wir rechnen immer Module 5,
Also wir nehmen auf Z, nehmen wir die Äquivalenz-Relation.
Zwei Sachen sind dann äquivalent,
wenn der Rest bei Division durch 5 der gleiche ist und
dann kriegen wir die Restklassen und die Restklassen,
sind die Restklassen von 0, 1, 2 und so weiter.
Bis 4. Also die drei hätte ich da auch reinschreiben können.
Und ich schreibe nicht für die Restklassen da irgendwie so komische
Klammern und dann unten eine Relation dran oder so,
sondern ich bezeichne die Restklassen einfach mit ihren kanonischen Repräsentanten.
Also ich nehme null für den Rest, das ist der 0,
eins für die Restklasse, der 1, 2 für die Restklasse,
der 2 und so weiter.
So und in diesem, über diesem Körper betrachten wir
K hoch
Ja. Und in dieser Menge K. Hoch 3,
das sind also alle Triebel von solchen Zahlen.
Und da betrachten wir vor den Vektoren, betrachte.
Die Vektoren. V gleich 1, 2, 3.
Und w gleich 3, 3, 3. Okay,
jetzt haben wir verschiedene Sachen.
Berechnen,
nämlich bestimme
Erstens V plus W. Zweitens, zweimal V. Und drittens
das Scalar-Produkt von V&W. Okay, fangen wir einfach an.
Die Lösung. Geht so. Also was ist V plus W
? Was müssen wir da machen? Da müssen wir die
beiden Vektoren hinschreiben. 1, 2, 3. Plus 3
, 3, 3. Und wir müssen uns daran erinnern,
wie man so Triebel addiert. Die addiert man so,
dass man die ersten Komponenten addiert, also 1 plus 3,
2 plus 2 plus 3 und 3
Und dann muss man aber aufpassen, wenn ich eins plus drei rechne,
kommt vier raus, und das ist alles wunderbar.
Wenn ich zwei plus drei rechne, kommt fünf raus,
und dann müssen wir uns aber erinnern,
dass wir hier in Z5 rechnen.
Das heißt, wir müssen immer, wenn wir über fünf
rüberkommen, müssen wir gleich Monoloo 5 rechnen.
Fünf Module 5 ist null, also ist das Ergebnis wirklich kein Null.
Und hier müssen wir drei plus drei rechnen,
drei plus drei ist sechs, Module 5 ist eins.
Das heißt, das ist das Ergebnis der Addition von V&W.
Jetzt gucken wir uns mal zwei V an.
Das ist zweimal, Klammer auf,
eins,
Drei. Und wieder muss ich die zwei mit jeder Komponente multiplizieren,
also zweimal die erste Komponente, was ist das, das ist zwei.
Zweimal die zweite Komponente, das ergibt vier.
Und zweimal die dritte Komponente ist sechs, aber jetzt muss
ich Modulo 5 rechnen und deswegen kommt da eins raus.
Das ist also der Vektor zweimal V. Gut.
Das Skalarprodukt. V., W. Davon das Skalarprodukt.
Wie funktionierte das? Das funktioniert so? Ich schreibe
die Vektoren nicht mehr hin,
dass ich muss
Von V, die erste Komponente mit der ersten Komponente von W multiplizieren,
dann addiere ich dazu zweite Komponente von V,
mal zweite Komponente von W und dazu addiere ich dritte Komponente
von V mal dritte Komponente von W. Also,
ich muss rechnen.
Eins mal drei plus zwei mal drei plus drei mal drei.
So, jetzt muss ich alles Modul 5 rechnen,
also einmal drei S3 plus zwei mal drei ist sechs,
Modul 5 ist eins,
plus drei mal drei
ist 9 Modul 5 ist vier
Also habe ich 3 plus 1 plus 4, das ist 8,
Modulu 5 ist 3. So, ich schreibe jetzt hier,
eigentlich müsste ich sozusagen an diesen Stellen immer hinschreiben,
so was wie, ist kongruent und so weiter.
Das müsste ich schreiben, wenn ich diese 1,
2, 3 und so weiter, wenn ich meinen würde,
dass das tatsächlich ganze Zahlen sind.
Das sind aber in diesem Falle nicht ganze Zahlen,
sondern das sind die Abkürzungen für die Äquivalenzklassen hier.
Das heißt, wenn ich hier gleich schreibe, meine ich
Gleichheit in Z 5 sozusagen. Und bei gleicher NZ 5,
da muss ich im Rechnen 3 plus 1 plus 4,
ist 8 Modulu 3
Okay. Also ich schreibe mal deutlich hin,
damit sie da nicht verwirrt sind, in Z5. Okay.
Gut. Machen wir nächste Aufgabe. Bestimme den Betrag von
dem Vektor V gleich. 3, 4,
6. Nee,
Zwölf. Und das ist ein Vector, der ist jetzt in R
hoch 3. Also, das ist ein Triple von reellen Zahlen.
So interpretieren wir das jetzt. Okay, wie macht man
das? Man geht hin und sagt, okay,
das ist der Betrag von V. Der Betrag von V war definiert,
als nimm die Wurzel aus dem Skala-Produkt von V mit sich selber.
Okay, das Skala-Produkt von V mit sich selber können wir
ausrechnen.
Das ist
3 mal 3, also die erste Komponente,
die erste Komponente hier mit der ersten Komponente da multiplizieren,
das ist 3 mal 3, 3 mal 3. Plus,
zweite Komponente hier, mal zweite Komponente da,
das ist 4 mal 4. Plus,
dritte Komponente hier und mal dritte Komponente,
da also zwölf mal zwölf,
zwölf mal zwölf und jetzt mal eine Klammer hier zu kurz geraten,
ich mach die einfach länger.
So, was ist das? Es ist nichts anderes als
die Wurzel aus, jetzt müssen wir mal rechnen,
also das ist neun, plus 16,
das ist zusammen 25 plus 12 Quadrat,
144. Also, das hier ist 25 plus
144. Ist 160, 69, 169. 169.
Und jetzt haben sie in der Schule irgendwann mal gelernt,
was ist 169, das ist das Quadrat von 13, also 13.
Die Wurzel daraus. Okay, das heißt,
der Betrag von V ist nichts anderes als 13. Okay.
Ich schließe das Video mal ab und gleich geht es weiter
mit den nächsten Aufgaben