So, wir machen gleich weiter mit der Bemerkung,
oder mit dem Feststellung 9.6, 9.6, so.
Nämlich für alle komplexen Zahlen, Z und W. Gelten gewisse Dinge.
Erstens, wenn ich zweimal konjugiere, seid quer,
querig, ne, dann kommt einfach Z raus.
Warum? Einmal Set quer machen, also einmal konjugieren,
ändert das Vorzeichen des imaginär Teils
Nochmal konjunktieren, ändert nochmal das Vorzeichen des Imaginärteils
und dann bin ich wieder bei dem Original angekommen.
Zweitens. Wenn ich eine Summe habe, Z plus wie,
und die konjugiere, dann ist das das Gleiche,
als wenn ich rechne, Z konjugiert, plus wegkonjugiert.
Das heißt, es ist egal,
ob sie erst die beiden komplexen Zahlen alieren und dann konjugieren oder
ob sie erst die Zahl konjugieren und dann dazu die Diskonjugierte der anderen Zahl dazu addieren.
Das heißt, erst addieren, dann konjugieren,
die für das gleiche Ergebnis wie erst konjugieren und dann addieren.
Sie erinnern sich, dass wir schon mal sowas gesehen haben,
also vor allem, wenn jetzt noch das nächste dazukommt,
nämlich Erst multiplizieren und da nicht konjubieren, ist das Gleiche wie erst konjubieren und dann multiplizieren.
Wir haben schon mal gesehen, was, wie sowas heißt.
Das war nämlich, als wir Z in Kuh eingebettet haben
und auch als wir RNC eingebettet haben.
Da haben wir sowas ein Homeoffismus genannt, und zwar ein
Homeoffismus von Ringen. Sollte man vielleicht noch überlegen, hier,
das geht aber auch ganz schnell, wenn ich null konjubiere,
null ist sozusagen in der Ebene, ist das die Zahl 0,0.
Wenn ich das konjubiere, also von der Y-Koordinationsvorzeichenumdrehe,
kommt natürlich das Gleiche raus.
Was passiert, wenn ich die 1 konjubiere
Die Eins ist eine reale Zahl, die hat als komplexe Zahl,
kann ich die hinschreiben als 1,0. Wenn ich den imaginär teile,
wenn ich da das Vorzeichen ändere, ändert sich nichts.
Also ist das eins konjunktiert, ist wieder eins.
So, sowas nennt man einen Homopoffismus von Ringen.
Also das heißt, diese Konjunkation oder Konjunieren von 10
nach C
ist ein Homopoffismus
Von Real. Okay, Beweis. Also, die erste
Formel haben wir nachgerechnet. Das haben wir nachgerechnet, das
haben wir nachgerechnet. Für Plus ist es ganz einfach,
das brauchen wir gar nicht nachzurechnen.
Und für das dritte rechnen wir es mal nach.
Beziehungsweise für Plus können Sie selber nachrechnen,
es geht ganz schnell
dritte Formel
Dritte Formel. Okay, wir nehmen uns zwei komplexe Zahlen her.
Also Z und W. Und die müssen wir jetzt natürlich irgendwie so schreiben,
dass wir ausrechnen können, was eigentlich das Produkt ist.
Also sagen wir mal, Z ist A plus EB,
so wie wir das immer hatten.
Und das möchten wir multiplizieren mit C plus ID.
Ich muss hier meinen Ton ausschalten.
So. Und jetzt überlegen, was war das nochmal?
Das war A mal C minus B mal
Äh. Plus ihm mal AC plus BD.
Plus BD. So funktionierte die Multiplikation auf den komplexen Zahlen
. So funktioniert die Multiplikation unter den komplexen Zahlen.
So, jetzt würde ich hier normalerweise ein Plus hinschreiben.
Aber ich mache gleich den Konjunkationsstrich. Ja, konjuniert heißt,
das kriegt ein Minus. Okay. Jetzt haben wir ausgerechnet,
was die eine Zahl, also weil die andere Zahl konjunktiert ist.
Also das ist sozusagen hier Z wie konjunktiert, ist gleich.
So, und jetzt rechnen wir aus, was ist denn Z konjugiert, mal weh konjugiert?
Also Z konjugiertes A-I-I-B, weh konjugiert ist c-jd. Jetzt multiplizieren wir das zusammen,
da kriegen wir A,
mal C, also wir machen ja nur Auszumut spazieren,
ja, wir kriegen A, mal C,
dann kriegen wir B, mal D, minus,
minus, also plus, also haben wir wirklich B,
mal D, mal e-quadrat, e-quadrat ist gleich minus 1,
also minus,
B,
Okay. So, und jetzt über das Vorzeichen, dazu sage ich gleich was.
Ich mache es richtig so. Also plus, eh mal,
so, und jetzt kommt A, mal Idee,
A, mal Minus-Idee, haben wir eine Minus-Idee,
also habe ich minus AD.
Und dann habe ich Beats minus I, mal BC,
also minus B, C. So,
jetzt diese Minus, die hier drin stehen,
die ziehen wir natürlich nach vorne raus und dann kriegen
wir raus
AC-B-B-D, minus e-mal, Klammer auf. AD plus.
B-C. Und das ist genau das Gleiche wieder.
Also folgt tatsächlich es. Z mal weh, konjunktiert,
das Gleiche wie Z konjunktiert mal einen Weg konjunktiert.
Alle anderen Sachen sind einfach, also das hier ist einfach,
alles andere ist klar und damit sind wir fertig mit dem Beweis.
Gut. Das ist die Bemerkung
9.7. Im Skript steht da jetzt, dass es nur Homeoffismus ist.
Das habe ich gleich da oben eingebaut. Das ist
ein Homeoffismus von Ringen. Achtung, hier richtig lesen,
ja, das Homeoffismus ist nicht etwa unterstrichen,
sondern das, was da drunter steht,
hat quer drüber für die komplexe Konjungation.
So ein Homeoffice ist dieser Homeoffismus, ja,
quer von C nach C. Der ist auch injektiv.
Können Sie sich überlegen. Ist injektiv.
Und der ist auch so reaktiv.
Und auch so rektiv
Wenn Sie vergessen haben, was injektiv und subjektiv ist,
ist das ein guter Moment, das nachzuschlagen,
im Skript vom letzten Semester.
Ja, also dieser ist injektiv und auch subjektiv, also bioaktiv.
Das heißt, die haben jetzt einen Ring-Homeoffismus von C
nach C, der bioktiv ist.
Und damit hat er eine Umkehrabbildung und sie alle können sich
mal überlegen,
was ist die Umkehrabbildung
Jobs. Umkehrabbildung. Ja,
wenn ich injektive Abbildung habe, hat die eine Umkehrabbildung.
Was ist das? Vielleicht ist das eine ganz einfache Abbildung.
Vielleicht kennen wir die schon gut. Wie auch immer. So,
und jetzt ist das, also das ist ein Homorphismus von C
auf sich selber und der auch noch bijektiv ist.
Und sowas nennt man einen Automorphismus. Dieses Quer von C
nach C ist Ein Automorphismus. Auto heißt selbst,
das Automobil ist das selbstfahrende Ding und ein Automorphismus
ist ein Homeofficemus von C auf sich selbst.
Oder von irgendeiner Struktur auf sich selbst.
Automorphismus. So. Das ist noch ein ganz besonderer Automorphismus.
Das ist nämlich ein Automorphismus, der die reellen Zahlen nicht bewegt.
Also jede komplexe Zahl, deren imaginär Teil gleich null ist,
wird natürlich auf sich selbst abgebildet durch das Konjugieren.
Das heißt, die reellen Zahlen,
jede einzelne reelle Zahl wird dadurch genau auf sich selbst abgebildet.
Aber die Zahlen, die nicht reell sind,
die werden noch was anderes abgebildet.
Die Spiegelung in der X-Achsen
So, weitere Bemerkungen hier.
9.8. Für alle Z1 und Z2. Aus C. Gilt.
Folgendes. Erstens. Der Betrag von Z
ist immer ein größer Gleichnull
Von Z1. Also der Betrag einer komplexen Zahl ist immer größer
gleich null und der Betrag einer komplexen Zahl ist gleich null,
genau dann. Ben, Z1, gleich noch alles.
Zweiter Teil. Der Betrag von Z1,
Mahlzeit 2 ist das Gleiche wie der Betrag von Z1,
mal Betrag von Z2. Dritter Teil.
Ich nehme mal an, dass Z2 ungleich null ist.
Z2. Und gleich null und durch null
So gilt. Falls Z2 ungleich null ist, so gilt. Das,
wenn ich Z1 durch Z2 teile und rechts und links von dem Bruch betrachte,
Hedrummacher, dann ist das das Gleiche,
als wenn ich Z1-Betrag geteilt durch Z2-Betrag mache.
Okay, das ist sozusagen so ähnlich wie hier
, ja
Dann gibt es viertens, ganz wichtig,
das ist die sogenannte Dreiecksungleichung, wenn ich Z1 plus C2 rechne,
und davon den Betrag bilde, dann ist das kleiner gleich.
Z1 plus, also Z1 betraglos C2-Betrag.
Und dann gibt es die umgekehrte Dreiecksungleichung, die da sagt,
Z1 minus C2 zum Betrag.
Ist größer gleich
Z1-Betrag-Z2-Betrag. Ja, das hier oben, das schreibe ich
mal hin, das ist die Dreiecks- und Gleichung.
Und ich kann Ihnen auch sagen, warum das ist.
Das liegt daran, dass wir machen einfach mal ein Bild dazu.
Sie erinnern sich an die Addition von komplexen Zahlen.
Das ist, sagen wir mal, Z1,
das ist Z2. Und hier habe ich Z1 plus
Und der Betrag davon ist einfach die Länge. Der Betrag
von so einem Fall ist einfach die Länge des Falls.
So was, was steht denn hier? Hier steht einfach nur,
dass eine Seite des Dreiecks längmäßig kleiner ist oder kleiner gleich
der Summe der beiden anderen Seiten ist. Das heißt,
wenn ich direkt von dem Punkt zu dem Punkt fahre,
dann kann das nicht länger werden,
als wenn ich erst hierhin fahre und dann dahin fahre.
Und das ist die Dreiecksunternehmen. In einem Dreieck ist
jede Seite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen
Achtung, wenn hier die Gleichheit gelten würde, ja,
in diesem Teich, dann würde das einfach heißen,
dass Z1 und Z2 sozusagen genau auf dieser Linie hier liegen.
Also das C1 und C2 genau in die gleiche Richtung zeigen.
Dann habe ich das. So, das beweisen wir jetzt
mal. Das erste. Also, der Betrag einer komplexen
Zahl ist immer größer gleich neu. Das ist klar,
warum, wenn die komplexe Zahl A plus IB ist,
ist der Betrag davon,
die Wurzel aus A Quadrat plus B Quadrat
A-Quadrat ist immer größer gleich, nur ULB-Quadrat ist immer gleich größer gleich null.
Die Summe davon ist größer gleich null, die Wurzel davon
ist größer gleich nur und das ist klar. Wann kann es denn passieren,
dass die Wurzel aus A-Quadrat plus B-Quadrat gleich null ist,
das kann doch im Grunde genommen nur dann passieren,
wenn es sowohl A als auch B gleich null sind,
weil sonst rechnen sie schnell nach,
dass wenn A oder B oder beide ungleich null sind,
dann ist das Quadrat davon echt größer als null und dann ist die Summe der beiden Verrate echt größer als neun und dann ist auch die Wurzel daraus echt größer als neu.
Also das heißt, Betrag gleich null kann nur passieren,
wenn die Zahlen dann echt nur lassen
So, zweitens rechnen wir gleich nach. So. Beweis.
Von zweitens, du weißt von zweitens, okay,
also Z1, Z2 Betrag. Was ist denn das?
Wir erinnern uns, dass der Betrag von Z1,
Also das Quadrat vom Betrag einer, also so,
das hier. Das Quadrat davon, was war das?
Das war die eine Zahl, mal der konjunktierten anderen Zahlen.
Also der Betrag einer komplexen Zahl ist die komplexe Zahl,
mal die konjunktiert komplexe Zahl und daraus die Wurzel.
Das ist die Wurzel aus, das hatten wir vorhin gemacht.
Das ist die Wurzel aus Z1, Z2, Z1,
Z2 konjunktiert
So, das können wir ein bisschen umschreiben. Nämlich,
indem wir sagen, okay, das ist Wurzel aus.
Also erstens, diesen Konjungationsstrich, der Heroard Z1 und Z2 steht,
den können wir aufspalten und daraus einen Konjungationsstrich über Z1 und über Z2 machen.
Das war ja die Bemerkung, dass diese Konjungation ein Homophomofismus ist.
Und dann können wir ins Kompositivgesetz anwenden und dann haben wir
hier Z1, Z1 quer, Z2, Z2 quer.
So, was ist das? Die Wurzeln können wir auch auseinanderziehen,
dann haben wir Wurzel aus, Z1,
Z1 quer, mal Wurzel aus,
Z2,
Quer. Und dann war das aber nichts anderes als der Betrag von Z1.
Und das ist der Betrag von C2. Okay. So,
drittens ist einfach, das folgt,
das folgt, das folgt hier aus dem, ja.
Das kann man leicht aus dem folgern. Und viertens haben wir,
glaube ich, schon mal im Kapitel über den Betrag in den reellen Zahlen.
Da haben wir diese umgekehrte Reihensung gleich schon mal gewonnen aus
der normalen Dreiecksung gleich und die geht dir für reelle Zahlen auch.
So, der Beweis 4 von der Dreiecksumgleichung,
den sparen wir uns mal. Der ist tatsächlich,
also sie können irgendwie in ganz viele Bücher gucken über die Dreiecksumgleichung.
Da stehen überall Beweise drin. Der ist auch gar nicht
so schwer, aber der ist ein bisschen mehr,
als wir jetzt hier gerade machen wollen.
Es gibt einen sehr eleganten Beweis davon.
So viel sage ich mal. Damit beende ich dieses
Video mal