So, ich begrüße Sie ganz herzlich zur ersten Vorlesung in
der zweiten Woche dieses Semesters.
Und wir reden noch ein bisschen über die komplexen Zahlen.
Und zwar interessiert uns heute folgendes. Die geometrische Klimatische Deutung
. Der Addition. Komplexer Zahlen
Richtig spannend wird es im Grunde genommen erst, wenn wir
die Multiplikation machen, aber wir fangen mal mit der Addition an.
Und zwar haben wir, Sie erinnern sich an unsere ursprüngliche Definition,
oder an unsere formale Definition, wir haben die komplexen Zahlen,
C definiert als die Menge à la Para AB,
A, B sind reelle Zahlen.
Also mit anderen Worten ist es nichts anderes als das
kathesische Produkt von A mit sich selbst.
Und das ist gleich, das ist nichts anderes als die Ebene
Und die Ebene haben wir in der Schule schon 10.000 Mal gesehen,
die Veranschauung nicht mehr meistens durch ein Koordinatensystem.
Und wir stellen uns vor, dass die Punkte in der Ebene,
ich mache mal da ein Alten dran, ja,
sagen wir mal, hier ist eins,
zwei und so weiter, hier haben wir eins, zwei.
Wir betrachten mal diesen Punkt hier. Den stellen wir uns
vor als Vektor. Also ich muss jetzt an dieser Stelle nicht sagen,
was Vektoren sind, das diskutieren wir in dieser Vorlesung noch ausreichen.
Aber das ist einfach ein Pfeil,
der losgeht im Nullpunkt und der, sagen wir mal,
in diesem Punkt endet.
Und dieser Punkt,
der hat die Koordinaten 2,
Als komplexe Zahl geschrieben, wäre das zwei plus I mal eins.
Ja, so in unserer Schreibweise für komplexe Zahlen.
Jetzt stelle ich mir hier einen anderen Vektor vor.
Das ist, sagen wir mal, der Vektor.
Welchen nehme ich denn da mal? Ich nehme mal diesen
Back to her. Der ist ein bisschen krumm geworden,
aber das ist, glaube ich, nicht so schlimm.
Und der hat da
die Koordinaten
Der hat die Kordinaten 1, 2. So,
den kann ich auch als komplexe Zahl schreiben,
das ist nämlich die komplexe Zahl 1 plus 2 mal I. Gut.
Jetzt gucke ich mir mal an, was passiert,
wenn ich diese beiden Vektoren oder diese beiden Punkte in der Ebene,
beziehungsweise diese beiden komplexen Zahlen addiere.
Also 2 plus I, das einmal kann ich ja weglassen.
Plus dieser Punkt da, das ist 1 plus 2 I,
da reicht nicht schnell aus.
Was ist das? Das ist 3? Plus 3 mal
In Paaren, realer Zahlen gerechnet, steht hier 2,1. Entschuldigung,
Pierce, das sollte dein gleicher Zeichen sein,
sondern das soll dein Pluszeichen sein.
Da wollte ich hier Klammern drum machen. So, 2,1 plus
1,2. Jetzt erinnern wir uns, wie müssen wir addieren?
Wir müssen in der ersten Komponente addieren und wir müssen in
der zweiten Komponente addieren. Also steht da das Paar 3,3. So,
diese Rechnung hier oben und diese Rechnung da unten,
das ist genau das Gleiche,
nur dass ich die komplexen Zahlen anders notiert habe
Ja, wir haben gesehen, wie man sozusagen diese Schreibweise,
in diese Schreibweise überführt und umgekehrt, was der Zusammenhang genau ist.
Ja, es ist nämlich einfach, das ist der Faktor,
der vor dem I steht und das ist das,
was als reelle Zahl da vorne steht und kein I hat.
Okay, also was rauskommt, ist 3, also 3,3,
der Punkt 3,3. Also muss ich hier hingehen, nach drei
und hier oben muss ich auch hingehen, nach drei.
Und dann bin ich hier bei 3,3, bam.
Wie kriege ich das, dieses 3,3? Dieses 3,3 kriege ich,
indem ich diesen einen Punkt hier nehme,
ich schreibe es mir hin,
ja,
So, ich nehme diesen einen Vektor hier, diesen Vektor.
Neben diesem Vektor und verschiebe den so, der dreht sich nicht,
nichts, ja, aber ich den Punkt,
wo der ansetzt, den Fußpunkt des Vektors hier,
den schiebe ich mal an die Spitze vor diesem anderen Vektor.
Und wenn ich dann diesen Vektor hier eintrage, ja,
der geht zwei nach oben und eins nach rechts,
bin ich da.
Und das ist genau der Punkt. Die geometrische,
die manchmal so Striche rein, ja,
also ich nehme diesen Backtor hier,
diesen Vektor
Und schiebe den so hoch,
dass der Fußpunkt in diesem Vektor zu liegen,
in der Fallspitze von diesem Vektor zum Liegen kommt.
Das heißt, was mache ich eigentlich? Bei der Addition für
den Vektor mache ich nichts anderes als in der Ebene hinzugehen
und die Vektoren erst den einen Vektor zu nehmen und dann
den anderen Vektor sozusagen da ansetzen zu lassen in gleicher Richtung,
mit gleicher Länge wie vorher.
Und den tue ich einfach da hinten dran.
Das ist einfach Addition von diesen Vektoren in der Ebene.
Ich gehe einfach hin und setze die sozusagen hintereinander und
dann kriege ich irgendwann raus. Und das ist aber genau
die gleiche Operation wie die Addition von komplexen Zahlen
Ich es so, wie ich sie definiert habe.
Ja, das ist genau das Gleiche.
Das ist die geometrische Interpretation von Additionen von komplexen Zahlen.
Ich stelle mir die vor, sozusagen als Pfeile.
Herr Fußpunkt ist zunächst mal null und dann zeigt die Pfeilspielze
irgendwo hin. Und wenn ich zwei Pfeile addiere,
dann gehe ich einfach hin und sage, nimm den ersten Fall,
lass ihn von null ausgehen bis zur Spitze und setze den zweiten Fall,
verschiebe den so,
dass der Fußpunkt in der Spitze des ersten Falls sitzt und gucke an,
wo du rauskommst.
Und dieser Punkt, beziehungsweise dieser Pfeil von hier nach da,
das ist dann die Lösung,
das ist das Ergebnis der Addition
So. Wir halten mal folgendes fest, was im Skript steht.
9,3 oder 9.3, vielmehr. 9.3. Wir nehmen Erdquadrat mit Plus.
Wobei. Plus die Komponentenweise, wir nennen das Komponentenweise,
Komponenten. Addition ist. Das ist eine arbische Gruppe.
Woher wissen wir das? Das wissen wir daher,
dass dieses Plus auf diesem R-Quadrat,
das ist genau das Plus der komplexen Zahlen,
also die komplexen Zahlen haben wir als Menge einfach R-Quadrat gesetzt
und das Plus darauf ist genau diese komponentenweise Addition.
Das heißt, ich nehme die erste Komponente und addiere sie
zu der ersten Komponente.
Ich nehme die zweite Komponente und hat ihre zweiten Komponente unterwegs
Und die zweite Komponente des Ergebnisses raus. Ja,
und wir wissen schon, dass es in jedem Körper,
der Körper nur mit dem Plus zusammen,
eine Awelschuh grob, also die Menge,
die unterliegende Menge des Körpers, zusammen mit dem Plus.
Das ist eine abelische Gruppe. Und da dieses Erdquadrat mit dem Plus,
das ist eben die abelische Gruppe,
die zu dem Körper C gehört, die Gruppe der Adition,
die zu dem Koppel C gehört.
Gut. Damit lasse ich es fürs Erste
und es gibt gleich ein weiteres Video