So, wir sind jetzt hier beim zweiten Teil des Videos über die komplexen Zahlen.
Und wir werden jetzt richtig definieren, was zäh ist.
Bevor wir damit anfangen, werde ich noch ein paar Beispiele rechnen.
Wir haben bisher vorhin das alles nur,
sagen wir mal, ein bisschen abstrakt gemacht.
Ich will mal ganz konkrete Beispiele mit komplexen Zahlen ausrechnen.
Zum Beispiel. Wenn wir fünf plus zweimal zwei I schreiben
Und dazu addieren 3 minus 7i. So, ich hatte,
vorher habe ich die komplexen Zahlen immer geschrieben in dem Format A plus IB.
Und jetzt schreibe ich plötzlich Zahl plus Zahl mal I.
Also Reale Zahl plus Reale Zahl mal I. Das ist einfach deswegen,
weil wenn ich zwei als Faktor habe hier als Koeffizienten,
es liest sich das einfach besser,
es liest sich besser, wenn ich zwei I schreibe,
als wenn ich ihm mal zwei schreibe.
Aber das Kommentativgesetz, das sollte ja gelten.
Insofern ist das alles kein Problem. Okay, so,
jetzt gucken wir uns an, wie rechnen wir das aus?
Das rechnen wir einfach so aus, indem wir die Therme,
wo Nur reelle Zahlen vorkommen, zusammentun.
Also 5 plus 3. Und die Thermo, wo das I vorkommt,
die tun wir auch zusammen. Plus 2 E plus 7
E. Und jetzt können wir da das ein bisschen vereinfachen,
also 5 plus 3 sind 8. Und 7 I plus 2 E sind 9 E.
Und jetzt steht es fast in der Form da,
die wir als offizielle Form für die komplexen Zahlen geschrieben gewählt haben,
nämlich 8 plus 5 I, so wie es zuerst definiert habe,
war das 8 plus I mal 9. Aber so,
glaube ich, kann man das besser lesen,
wenn da wirkliche Zahlen drinstehen.
So, erstes Beispiel. Zweites Beispiel,
wir machen das mal mit einer Multiplikation
Die Rechnung, die stehen auch im Skript, ja,
wenn sie den auch nachvollziehen wollen.
Also plus zwei E möchte ich jetzt multiplizieren. Entschuldigung,
ich habe mich hier irgendwo mit den Vorzeichen vertan.
Das muss natürlich minus sieben E heißen und dann haben wir zwei minus sieben,
dann haben wir, Entschuldigung, dann haben wir da acht minus zwei,
minus sieben sind minus fünf, minus fünf.
Entschuldigung. So, wir kommen zur Multiplikation.
Bei der Multiplikation multiplizieren wir die gleichen Sachen miteinander.
Also drei, minus 7i. Multiplizieren wir mit 5
plus 2i. Und ich habe ihnen gesagt,
in dem Körper können wir immer ausmultiplizieren einfach.
Das machen wir jetzt. Also 5 mal 3 ist
15. 5 mal minus 7i ist minus 35i.
Minus 35i. 2i mal 3 ist 6i, plus 6i.
Und 2i Mal minus 7i ist minus 14. Und dann habe
ich immer eh, also minus 14 mal eh Quadrat.
Das E-Quadrat können wir vereinfachen, das wissen wir ja schon.
Also wir haben erst mal 15, dabei lasse ich es,
minus 35 plus 6 sind also minus 29. E.
Und jetzt habe ich hier minus 14i Quadrat.
Daraus mache ich, aus dem E-Quadrat mache ich minus eins,
minus eins, mal minus 14 sind plus 14. Klaus 14.
Also kommt insgesamt raus,
29 minus 29i
Okay, anders zusammen. So, Multiplikation. Jetzt kommt noch
ein Beispiel zur Division, nämlich wir wollen mal ausrechnen.
Ich mache mal ein Beispiel, was nicht im Skript steht.
Wir wollen das dividieren. Wir wollen einfach mal ausrechnen,
was ist denn 2 plus 2i? Geteilt durch 1 minus 5i.
Ich habe keine Ahnung, was da rauskommt. So,
also, wir machen den Trick, den wir vorher gemacht haben,
um das, was im Nenner steht,
um da sozusagen das E wegzukriegen, um das aus der,
also wir wollen den Bruch so umschreiben,
dass im Nenner keine komplexe Zahl mehr steht,
sondern nur eine reelle Zahl.
Und wie machen wir das? Das machen wir,
mit dem wir in dem Buch erweitern.
Und zwar erweitern wir den mit der konjugiert komplexen Zahl zu 1,
minus 5i. Wie kriegt man die konjugiert komplexe Zahl?
Die kriegt man einfach, indem man hier bei diesem Teil,
wo das E steht, das Vorzeichen ändert.
Das heißt, wir erweitern diesen Bruch,
das ist der ursprüngliche Bruch und wir erweitern jetzt
mit 1 plus 5i
Neben ist man ja, damit sich der Woche nicht ändert,
müssen wir das Gleiche hier oben auch einschreiben.
So, was passiert, wenn wir das machen?
Wir müssen ausrechnen, was da rauskommt. Oben multiplizieren wir
wieder aus. Also habe ich zweimal eins, S2,
dann habe ich zweimal 5i. Das ist plus 10i.
Dann habe ich zweimal eins, also zwei E-Mail 1,
Entschuldigung, dann habe ich zwei E-Mail 1, das ist 2i.
Und dann habe ich zwei E mal 5i.
Das sind 10i-Quadrat. Die Quadrat ist minus eins,
also ändert sich das Vorzeichen,
weil mich hier
eine 10 stellen
Sonst rechnen wir gleich noch weiter aus.
So, hier unten, was steht jetzt hier unten?
Hier unten steht 1 plus 5i und da steht,
als minus 5i mal 1 plus 5i. Okay,
jetzt ist es ja so, die minomische Formel,
die sagt uns, wenn wir irgendwas,
also wenn wir A minus B mal A plus B rechnen,
dann können wir daraus A quadrat-b-quadrat,
also die kriegen wir in diesem Fall daraus 1 zum Quadrat,
das ändert natürlich nicht viel.
Und dann minus 5i
In Klammern zum Quadrat. Fünf zum Quadrat sind 25,
Iquadrat sind minus eins. Das heißt, ich hören wir
minus und dann minus eins mal irgendwas, also wir draußen plus.
Und dann darf er die 25 stellen.
Also jetzt hätte ich auch fünf Vorrat einschreiben können. Okay,
jetzt passen wir das weiter zusammen und dann kriegen wir raus,
zwei minus zehn sind minus acht,
plus 10 I plus zwei I sind 12 I.
Das ganze Geteil durch
Kann ich das hübscher hinschreiben? Da habe ich
nämlich minus acht geteilt durch 26, kann ich kürzen,
sind 4 durch 13, also 4, 3 Zehntel.
4, 13. plus 12, durch 26 sind 6, 13. 6. 13. E.
Jetzt habe ich da diese Division hier durchgeführt. Wichtig ist tatsächlich immer,
wenn sie eine komplexe Zahl im Nenner haben,
erweitern sie den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl,
also hier vor den Thermen, der das I enthält,
Ändern Sie das Vorzeichen? Ja, also aus 1,
minus 5i wird 1 plus 5i aus A plus IB,
wird a minus iB und so weiter,
mit dieser konjunktiert komplexen Zahl, erweitern Sie den Bruch.
Dann können Sie durch diesen minomischen, durch die belomische Formel,
kriegen Sie dann hier unten was,
steht was raus, wo kein E-Mail drin vorkommt.
Das ist, das muss man sich wirklich die ganze Zeit merken.
So, jetzt haben wir einige Beispiele zum Rechnen mit komplexen Zahlen gemacht.
Sie müssen sich im Grunde genommen außer diesem Rechentrick hier mit diesem Erweitern des Bruches,
müssen Sie sich fast nichts merken,
nur immer wenn I Quadrat steht, wie hier zum Beispiel,
da müssen Sie es durch minus 1 ersetzen,
Das ist das Einzige, was sie sich für das Rechnen mit komplexen Zahlen merken müssen. So,
und jetzt wollen wir aber, also all das,
was ich bisher gemacht habe,
noch in der Vorlesung vorher, basierte sozusagen darauf,
dass basierte darauf, dass ich davon ausgegangen bin,
dass es einen Körper gibt,
der die reellen Zahlen enthält und der auch das Li enthält.
Und jetzt müssen wir diesen Körper konstruieren.
Wie konstruieren wir diesen Körper? Das ist eigentlich gar nicht
so schwer. Das ist im Skript Nummer
Das ist eine Definition. Das ist die offizielle Definition der
komplexen Zahlen. Definition. Okay, also wir setzen folgendes.
C wird, ups, ja, Kreuz, ja.
Wir nehmen einfach R-Kreuz R, sollen die komplexen Zahlen sein.
So, das sieht ein bisschen abstrus aus.
Also das sind ja, was ist denn das R-Kreuz?
Ja, das sind ja alle Paare.
A,
guck mal,
Und Arkuma B sind beide. A und B sind beide reelle Zahlen.
So, das ist weniger abstrus als man denken könnte,
denn wir haben ja vorhin eben die komplexen Zahlen sozusagen hingeschrieben in der Form A plus IB.
Und dieses Parameter A und B, die da drin vorkommt in dieser Darstellung,
sind eben die, die hier in diesem Paar auftauchen.
Ja, also dieses Paar A, Komma
B soll einfach stehen für die komplexe Zahl A plus IB,
nur dass das im Moment, sozusagen sind wir noch abstrakter,
schreiben wir das Paar da hin.
Jetzt geht's weiter. Jetzt müssen wir definieren,
was Plus und Mal sein sollen.
Und zwar sagen wir, wie folgt. Für A,
B, C, D, aus R. Seien.
A, B, Plus. C, D. Was soll das
sein? Das soll einfach sein A plus C, Komma
B plus D. In Klammern dahinter schreibe ich mal folgendes,
was wir sozusagen ausgerechnet hatten für die komplexen Zahlen.
A plus IB, was sollte das A plus IB
Plus C plus Idee. Was ist das, was da rauskommt? Das ist A plus C plus,
die mal B, B plus D. Ja,
das heißt, in dieser Darstellung mit dem I,
wie wir das vorher, vorher gerechnet haben,
wenn man zwei solche komplexen Zahlen addiert,
dann kriegt man sozusagen den ersten Teil hier,
den ersten Teil des Ergebnisses, die erste Reale Zahlen,
die in dem Ergebnis steht,
das ist einfach die Summe der beiden ersten Teile von diesen komplexen Zahlen.
Und das, was hinter dem E-Sheet,
das ist einfach die Summe von dem und dem.
Und das wird reflektiert hier. Ich nehme mir die beiden ersten Komponenten,
das sind die sogenannten Realteile und addiere die und dann nehme ich die beiden zweiten Komponenten,
das sind die sogenannten Imaginärteile und Artire,
das schreibe ich gleich mal hier hin.
Das Ding heißt Realteil.
Und das ja heißt Imaginärteil
Ja, Teil. Okay, genauso wie A plus I mal B,
habe ich hier den Realteil und hier den Imagilärteil.
Gut, jetzt muss ich die Multiplikation, die muss ich auch definieren.
A mal, äh, A komm mal B,
mal C, Komma D, möchte ich definieren.
Was soll das sein? So, jetzt erinnern wir uns
mal an die Formel, die wir da hatten, ja.
Also A plus IB möchte ich multiplizieren mit C plus ID.
So, und da stellte sich was raus,
da stellte sich raus,
was da rauskommt
A, C, minus B, D plus E mal. A, die plus BC. Okay,
das können Sie nachgucken sozusagen, das waren die Formen,
die wir vorhin ausgerechnet haben und ich nehme das als Anregung,
um hier als Ergebnis was zu nehmen,
also das hier sollte der Realzahl sein,
das ist natürlich der imaginären Teil von dem Ergebnis sein,
da schreibe ich einfach hin,
dann nehmen wir einfach mal A, C minus,
B, AD plus BC.
So definieren wir die Multiplikation. So, und dieses C
mit Plus und der Multiplikation, das heißt der Körper.
Der komplexen Zahl. Das ist der Körper der komplexen Zahlen
. Wo wir merken, die im Skript dazu steht,
Was vollkommen klar ist, es ist klar.
Das Plus und mal Verknüpfung. Verknüpfung. Auf C
sind. Ja, das heißt Plus und mal und beides
Abbildung von C Kreuz
In die komplexen Zahlen. C. Also wenn ich zwei
komplexe Zahlen addiere, kommt wieder eine komplexe Zahl raus,
wenn ich zwei komplexe Zahlen multipliziere, kommt wieder eine komplexe Zahl raus.
Das ist ja das Erste, was ich erstmal brauche.
Gut. So, jetzt möchten wir noch wissen,
da steht schon der Körper der komplexen Zahlen.
Die Frage ist, was sind die neutralen Elemente?
Und da können wir als erstes Folgendes feststellen,
nämlich 0,0 ist das neutrale Element bezüglich
Bezüglich Plus. Ja, warum? Wenn ich A,
Komma B plus 0,0 rechne. Ja, aber es kommt dann raus,
dann kommt A plus 0, P plus 0 raus.
Und das ist natürlich das Gleiche wie A, Komma B.
Dass das Kombitativgesetz gilt für Plus ist auch ganz schnell zu sehen,
ja, weil hier schreibe ich ja nur A plus C,
B plus D hin.
Wenn ich hier A, B und CD vertausche,
dann steht das hier in der anderen Reihenfolge,
aber das Kombitativgesetz für Plus in den reellen Zahlen
gilt ja
Ja, also es ist klar,
dass ich sozusagen für dieses neutrale Element muss ich nur die Summe in die eine Richtung,
also ich muss nur das neutrale Element nach rechts schreiben und gucken,
was passiert, wenn ich es auf die linke Seite tue,
dann kommt genau das Gleiche aus.
Was ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation?
Das neutrale Inmainment-System Multiplikation ist 1,0. Das ist neutral. Bezüglich
der Multiplikation. Und dazu muss ich hingehen und sagen,
okay, ich multimate pliziere mal das Paar A,
Komma B,
mit dem Paar
Wieder, das ist jetzt nicht ganz so einfach zu sehen.
Diese Formel hier, die ist ja relativ aufwendig.
Aber sie sehen, wenn sie A, A,
B und CD vertauschen, was passiert denn dann?
Dann vertauschen sich hier die Faktoren. A und C, kein Problem.
Komputative Gesetze, Multiplikation. Hier vertauschen sich die Faktoren,
auch kein Problem, multiplikomputativgesetz der Multiplikation und den Reellenzahlen.
Die beiden Faktoren vertauschen sich und die beiden Faktoren vertauschen sich
Aber es bleibt genau die gleiche Zahl, da stehen.
Also das Konnotativgesetz bezüglich Mal gilt auch,
lässt sich relativ leicht nachrechnen. Und ich teste mal,
was passiert, wenn ich A, B mit 1,0 multipliziere.
Dann gucke ich mir diese Formel an. Also A mal
Bese und ich multipliziere mit 1,0. Wie geht das? Also
A, das A soll ich multiplizieren mit dem ersten,
was da steht. Dann habe ich da A stehen.
A mal 1. Und dann muss ich das Zweite mit
dem zweiten multiplizieren
Und es kriegt ein negatives Vorzeichen. Aber wenn ich B
mit null multipliziere, dann kommt der null raus.
Und wenn ich dann minus null habe, dann macht das auch nichts.
Also wenn ich Arminus null rechne, dann darf er A stehen.
Und jetzt muss ich das Zweite gucken, was in der
zweiten Komponente da steht. Das ist A mal D,
also A mal D, ist in diesem Falle null.
Und plus B mal C, B ist B und C
ist 1, also B. Das ist genau das Richtige,
was da rauskommt. Also ich habe jetzt schon gesehen,
okay, die neutralen Elemente bezüglich plus und mal
sind 0-0 und 1-
Und die bezeichnen wir dann natürlich auch mit null beziehungsweise eins.
Im Moment führt das noch ein bisschen zur Verwirrung,
weil ich jetzt nicht weiß,
ob ich die komplexe Teilnull meine oder die Reelle zahlen
null oder die komplexe Zahl 1 oder die komplexe Zahl,
die reelle Zahl 1. Aber wir werden gleich sozusagen die reellen
Zahlen mit einer gewissen Teilmenge der komplexen Zahlen identifizieren,
dann geht dieses Problem weg
So. Okay, wir gucken mal, was passiert mit den reellen Zahlen.
Oder beziehungsweise wir berechnen erst mal ein Stückchen weiter.
Wir gucken mal an, was passiert mit 0-1,
wenn wir das quadrieren. So, wie war die Formel
? Also, ich schreibe das mal lieber so hin,
dann kann ich da, dann behalte ich besser den Überblick.
Was war das jetzt? Was steckte da drin mein Produkt
? Da muss ich hinschreiben, null mal null.
Die beiden ersten Komponenten, minus dem Produkt der beiden zweiten
Komponenten,
eins mal
Eins, mal eins. Komma. Und dann muss ich über Kreuz rechnen.
Dann muss ich rechnen. 0 mal 1. Plus 1 mal
0. Ja, so kann man sich das auch nahmen.
Wie funktioniert das Produkt von komplexen Zahlen,
wenn die so als Paare hingeschrieben werden?
Das erste, die erste Komponente ist, erste Komponente,
mal erste Komponente, minus zweite Komponente, mal zweite Komponente.
Und was hier hinten steht, das ist erste Komponente,
mal zweite Komponente plus erste zweite Komponente,
mal erste Komponente.
So,
das steht jetzt hier
Okay, na gut, ich sehe sofort, was das ist,
das ist minus eins, steht hier und sonst steht da null.
Jetzt habe ich gesagt, die eins,
1,0 ist das neutrale Element bezüglich Plus, äh, Entschuldigung,
ist das neutrale Element bezüglich mal bei den komplexen Zahlen.
Das heißt, dieses Ding, was hier steht, das ist natürlich das Gleiche wie minus 1,0.
In Wirklichkeit muss ich das erst ausrechnen, ja,
dass sozusagen, wenn ich hier dieses Minus da vorne stehen habe,
dass ich das so rausziehen kann und dass das da wirklich
das Inverse bezüglich Plus von diesem Ding hier ist,
dass es sozusagen noch nicht so klar,
aber das können Sie mir an dieser Stelle
vielleicht glauben
Und das hier habe ich festgestellt,
es ist ein neutrale Element bezüglich der Multiplikation,
dass ich normalerweise einfach als Eins schreibe.
Das heißt, da kommt wirklich minus eins raus.
Ja, also dieses 0-1 zum Quadrat,
da kommt irgendwie, da kommt schon minus eins raus.
Also es ist zumindest plausibel, dass das alles das Richtige tut.
Ja, und deswegen setze ich I, kann ich einfach setzen als das.
Dieses Objekt bezeichne ich einfach mit I,
weil ich schon quasi weiß, dass das Quadrat davon minus eins ist.
Das ist irgendwie schon gut, günstig.
So, was mache ich jetzt mit den reellen Zahlen
Einbetten. Von, ja, in C. Und ein Betten von R&C,
wie mache ich das? Ich gucke mir mal an,
folgende Abbildung, die geht von R nach C,
ich möchte dir gar keinen Namen geben,
weil ich den irgendwie gleich vollkommen vergessen werde.
Und was mache ich? Ich bilde jedes kleine U ab
auf U,0. Das ist auch richtig so,
denn ich erinnere mich an die Darstellung von komplexen Zahlen,
als A-Plus-IB. Und was passiert mit reellen Zahlen?
Die haben diesen I-Anteil nicht
Das heißt, das sind die,
die bei denen der imaginär Teil, das,
was hinter dem I steht, bei dem das Null ist.
Deswegen funktioniert das super. So, und jetzt gucken wir
mal, was da mit Addition und Multiplikation ist.
Ich habe U,0 plus V,0. Was ist das?
Das ist, ich muss die ersten beiden Komponenten addieren.
Das ist U plus V. Und ich muss die zweiten Komponenten
addieren. Das ist 0 plus Null. Also das ist
gleich U plus V, Komma 0. Das ist sozusagen einfach
eine reelle Zahl und der imaginär Teil,
das, was der zweiten Komponente steht,
das ist einfach Null
Bär. Multiplikation, das ist noch ein bisschen interessanter.
Ich multipliziere zwei komplexe Zahlen, wo der imaginär Teil gleich null ist.
Und was kommt raus? Also, wie war das?
Ich muss die beiden ersten Komponenten multiplizieren. OmalV. Dann muss ich
davon abziehen, das Produkt der zweiten Komponenten. Okay,
so, zweite Hälfte, zweite Komponente von dem Produkt.
Ich multipliziere über Kreuz, Oma null.
Plus 0 mal
So, klar, was rauskommt, das ist einfach Oma V, Komma 0.
So, das heißt, wenn ich mit dieser Abbildung hier,
ja, die U auf U,0 abbildet.
Es ist vollkommen klar, dass diese Abbildung injektiv ist.
Ja, das ist vollkommen klar. Wenn ich hier zwei verschiedene Dinge habe,
dann wird es da auch auf zwei verschiedene Sachen abgebildet.
Klar. Wenn ich mit Hilfe dieser injektiven Abbildung das R identifiziere,
mit einer Teilmenge vom C, nämlich der Teilmenge von C,
die besteht aus allen paar U,0,
nämlich das U sozusagen quasi gleichsätze, dem U,
Dann stelle ich hier Folgendes fest.
Die Rechengesetze oder das Rechnen mit diesen Dingern,
die hinter der zweiten Stelle eine Null stehen haben,
funktioniert genauso wie das Rechnen mit komplexen, mit reellen Zahlen.
Denn das hier entspricht ja einfach den reellen Zahlen U und V. Ja,
und wenn ich die Summe U plus V rechne,
in den komplexen Zahlen hier, dann kriege ich das hier raus,
was wieder der reellen Zahl U plus V entspricht.
Und hier genau das Gleiche. Ja,
also die Multiplikation von solchen speziellen komplexen Zahlen,
die hier von den reellen Zahlen herkommen, von Reellzahlen herkommen,
die Multiplikation läuft genauso ab wie in R.
Jetzt kann ich
das ganz vornehmen aus
Drücken. Das haben wir schon mal gesehen.
Bemerkung. Die Abbildung, also die Abbildung da oben,
die Abbildung von.
Ja. Nach C. ist ein injektiver Homophoismus
Von Ringen. Das haben sie schon mal gesehen,
dieses Wort injektiver Homehoffismus von Ringen.
Nämlich als wir die ganzen Zahlen Z, die sind ja
auch ein Ring, eingebettet haben in die rationalen Zahlen.
Das war auch ein injektiver Homehoffismus von Ringen. Und das heißt
im Grunde genommen nur, dass wir den einen Ring,
in diesem Falle R auffassen können, als Teilmenge von C.
Und das Rechnen in R, das ändert sich nicht.
Wir können das uns so vorstellen,
dass wir einfach dieses R vergrößern zu einem größeren Zahlenbereich C. Und wir wissen dann,
wie wir komplexe Zahlen addieren und wenn diese komplexen Zahlen zufällig reelle Zahlen sind,
werden die genauso addiert wie vorher.
Wenn die beiden komplexen Zahlen zufällig in Wirklichkeit eigentlich schon reelle
Zahlen sind, dann werden sie genauso multipliziert wie vorher.
Nichts anderes ist das, was hier steht.
Okay, also wir können... Wir können damit.
Ja, die reellen Zahlen als Teilmenge.
Von C auffassen
So, und das machen wir dann auch. Ja,
also wir werden jetzt noch ein bisschen weiterrechnen mit dieser Paar-Darstellung, aber wir werden irgendwann davon wegkommen.
So, wie war das mit dieser Paar-Darstellung jetzt?
Das Paar A, Koma B kann ich ja hinschreiben als A,
Koma 0 plus 0, B. Ja, wenn sie das ausrechnen,
nach denen, wie will das Plus definiert haben,
wenn sie A, Koma 0 plus 0,
B rechnen, dann kriegen sie genau A plus B raus.
Und das können wir noch anders machen,
das können wir, jetzt habe ich identifiziert, ja,
wir haben so Paare von der Form A,
Koma 0,
haben wir identifiziert mit der reellen Zahl A
einfach so
Aber was passiert hier hinten? Da kann man sich Folgendes überlegen,
wenn ich B, Komma 0 rechne und das multipliziere mit 0,1. Was passiert denn da?
Also, wie war das? Ich muss. Die ersten beiden Komponenten,
also die beiden ersten Komponenten so, wollte ich sagen,
B mal 0 rechnen, das ist null,
minus 0 mal 1, das ist auch null.
Okay, also in der ersten Komponente, davon steht null.
Und was passiert in der zweiten Komponente? Da muss ich
über Kreuz rechnen, da muss ich B mal 1,
das ist B, plus 0 mal 0 rechnen.
Das heißt, in der zweiten Komponente von diesem Produkt
steht einfach
In der ersten Komponente steht null, in der zweiten Komponente
steht B, also 0 B kann ich tatsächlich schreiben,
als B, 0 mal 0,1. Gut, super.
Und das ist bei ja aber was. Dieses B,
0, das war ja die reelle Zahl.
B. Damit haben wir das identifiziert. Und 0,1,
das haben wir hier oben gesetzt,
0,1 ist einfach das,
was wir als I schreiben
Das heißt, dieses Paar, A, guck mal,
B, können wir,
nachdem wir die reellen Zahlen mit einer Timinge von C identifiziert
haben und nachdem wir dieses Paar 0,1 als I schreiben,
können wir das auch schreiben, als A, plus IB.
Und damit haben wir diese intuitive Darstellung, die wir
ganz am Anfang benutzt haben, um damit ein bisschen rumzurechnen.
Diese Darstellung haben wir jetzt wiedergefunden, ja. Diese Darstellung mit den Paaren,
A, Komma B,
die kann ich auch interpretieren als Darstellung der Form A plus IB,
wie wir das vorher gemacht haben.
So, und jetzt kommt der große Satz,
das ist im Skript,
ist das 9-
Nämlich C plus Mal. Ist ein Körper. Der... die reellen Zahlen,
also den Körper, der reellen Zahlen, würde ich sagen,
enthält. Und wenn ich sage, der den Körper,
der die reellen Zahlen enthält, dann meine ich nicht nur,
dass die reellen Zahnteilmenge vom C sind, sondern ich meine natürlich auch,
dass die Addition und Multiplikation auf den reellen Zahlen die gleiche ist wie die auf C.
Also das heißt,
wenn ich hier auf C das betrachte und das einfach einschränke auf die reellen Zahlen,
dann ist das Plus von C eingeschränkt auf die reellen Zahlen,
das normale Plus von R und die Multiplikation auf C eingeschränkt auf die reellen Zahlen,
ist aber die Multiplikation auf R. Genau so ist das.
So und jetzt der Beweis davon, ist klar,
muss ich nachrechnen. Ja, ich werde das nicht komplett
nachrechnen. Im Skript steht ein Beweis, warum das Plus
das Assoziativgesetz erfüllt und warum das mal das Assoziativgesetz erfüllt.
Ja, das ist ja auch wichtig
Das können Sie mal sich mal im Skript angucken und versuchen nachzuvollziehen.
Das ist nicht so schwierig. Über die Kommentativgesetze habe ich
schon geredet. Ich habe schon gesagt, dass die,
wie soll ich sagen, dass die erfüllt sind.
Da sieht man relativ schnell, was natürlich ein bisschen länglich ist,
ist nachzurechnen, dass das Distemotivgesetz erfüllt ist.
Und ich schaue mich mal hier um. Also was schwierig
ist, ist nachzurechnen, dass das Distemotivgesetz erfüllt ist.
Das ist ein bisschen länglich. Da werden wir später nochmal
drüber reden. Ja, das ist auch nicht unmöglich,
aber das ist halt einfach, das verbraucht einfach Zeit.
Existenz von Inversen, da habe ich auch was dazu gesagt
Also bezüglich Plus kriegt man die Inversen einfach,
das Inverse von einem Paar A, Komma
B bezüglich Plus ist einfach das Paar minus A, Komma minus B.
Das Inverse bezüglich der Multiplikation für das Inverse bezüglich der Multiplikation,
da haben wir auch schon ein bisschen rumgerechnet,
wie man A plus IB hoch minus 1 ausrechnet und das ist sozusagen genau das,
was man da rauskriegt,
ist genau das Richtige in der Nase bezüglich der Multiplikation
So, was machen wir? Dispressivgesetze, assoziativ, kommertativ Gesetz,
Existenz von Inversen, die Existenz von neutralen Elementen, die haben wir schon gemacht.
Und damit sind wir quasi durch, damit zu zeigen,
dass C plus mal ein Körper ist,
was sich wirklich tatsächlich jetzt hier quasi nicht mal im Ansatz gesagt habe,
ist, dass Distributivgesetz, aber das können Sie glauben,
das kann man durchrechnen,
das können Sie vielleicht nochmal zu Fuß einfach mal ausprobieren,
das ist ja nicht so schwierig,
aber es ist halt doch eine längliche Rechnung.
So, und damit verabschiede ich mich für heute