So, ich begrüße Sie ganz herzlich zu der zweiten Vorlesung.
Grundbildung, Mathematik. Und wir fangen jetzt noch ein bisschen mehr
mit der Algibra an oder der Linie an Algibra, als gestern schon.
Und zwar geht es heute um die Konstruktion der komplexen Zahlen.
Die komplexen Zahlen sind historisch, waren jeden ein bisschen umstritten.
Also die reellen Zahlen, also man hat das natürlich früher
alles nicht so formal gemacht, wie wir das machen.
Die reellen Zahlen, die wurden halt,
die waren halt einfach irgendwie da und man hat sich überlegt,
was die für Eigenschaften haben und so Sachen
Und irgendwann ist man auf das Problem gestoßen, also schon lange,
dass man ja gewisse quadratische Gleichungen nicht lösen kann in den reellen Zahlen.
Also sie wissen alle, dass wir nicht
die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen können zum Beispiel.
Und um dieses Problem zu beheben, wurden im 16. Jahrhundert,
wurden die komplexen Zahlen eingeführt. Und der Haken an der
Sache ist, dass das ein bisschen umstritten war.
Also viele Leute hatten irgendwie das Gefühl,
dass man das sowas nicht machen darf.
Heute sind wir da irgendwie ein bisschen weiter,
haben da keines Puppel mehr und wir werden gleich sehen,
wie das geht
So, als allererstes werde ich Ihnen etwas intuitiven sozusagen Zugang geben.
Also wir fangen mal an, nochmal mit den Zahlensystemen,
was wir schon kennen. Harry kennen die natürlichen Zahlen,
die kennen wir. N-0 schreibe ich nicht mehr extra hin.
Ja, Endo gibt es natürlich auch noch irgendwo dazwischen.
Die natürlichen Zahlen liegen in den ganzen Zahlen drin.
Multiplizieren und Adien können wir schon auf den natürlichen Zahlen,
aber wir können zum Beispiel nicht subtrahieren und wir können nicht dividieren.
Das Problem mit der Subtraktion, das lösen wir,
indem wir in die ganzen Zahlen gehen.
Da können wir jetzt auch subtrahieren. Wenn ich sage,
da können wir subtrahieren, Ist das denn wirklich das Gleiche,
wie es existieren für alle Zahlen inverse bezüglich der Addition?
Dann haben wir am Montag,
sind wir noch weitergegangen und haben die rationalen Zahlen konstruiert.
Das löst das Problem mit der Division in den rationalen Zahlen,
können wir Zahlen durcheinander dividieren, was das Gleiche ist,
wie es gibt inverse bezüglich der Multiplikation.
Der einzige Haken ist natürlich, dass wir die durch Null
teilen können. Das ist aber ein grundsätzliches Problem.
Wir können das
nicht lösen
Man kann durch Null einfach nicht teilen, fertig. Nächste Stufe sind die reellen Zahlen.
Ja, was war denn das Problem mit Kuh? Das Problem mit Kuh waren das so gewisse Sachen,
die nicht existiert haben,
wie zum Beispiel Wurzel 2. Oder wenn man dann anfängt,
Geometrie zu betrachten, kommt man irgendwo auf die Idee,
dass man möglicherweise so eine Zahl wie P braucht oder wenn man anfängt,
radioaktiven Zerfall oder exponentielles Wachstum zu betrachten,
was im Moment ganz aktuell ist,
kommt man darauf,
dass man auch vielleicht so eine Zahl wie E
bräuchte und all diese Zahlen sind in dem Kuh
nicht drin
Ja, das Problem löst man, indem man, das liegt eben daran,
dass das Kuh unvollständig ist, das hat gewisse Lücken.
Und das Problem löst man dann, indem man zur R übergeht,
da liegt das Kuh nochmal sehr dicht drin,
zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine rationale Zahl,
aber dieses R ist groß genug,
dass es diese Lücken nicht mehr hat.
Trotzdem können wir immer noch nicht Wurzel aus minus eins
ziehen in dem R und dieses Problem,
das lösen wir, wenn wir dann,
indem wir dann schließlich die komplexen Zahlen nehmen.
Und damit sind wir für sozusagen unsere Zwecke auch fertig.
Es gibt größere Zahlbereiche, also man kann das C auch
noch erweitern und handelt sich dann aber größere Nachteile ein.
Das C ist aus rein algebraischer Sicht, also wenn es ums reine Rechnen geht,
ist das viel, viel besser als er. Ja,
es wird so sein, das werden wir nicht beweisen,
aber es ist so, dass es in C nicht nur so ist,
dass sich plötzlich Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen kann,
sondern ich kann plötzlich, plötzlich haben alle null,
alle Polynome haben plötzlich null Stellen.
Ja, also alle Polynome, die jetzt nicht gerade konstant sind,
alle nicht konstanten Polynome in C haben null Stellen und
das Polynom zum Beispiel x Quadrat plus eins.
Das hat natürlich keine neue Stelle. Keine. Nur Steller
. In R. Aber C schon. Ja,
und mit komplizierteren Polynomen, die nicht konstant sind,
ist es immer noch so, die haben alle Nullstellen in C,
auch wenn sie nicht unbedingt Null stellen in reellen Zahlen haben müssen.
Deswegen ist C so wichtig. Das C hat ganz,
ganz wichtige algebragere Eigenschaften. Mathematik ist ohne C,
ohne die komplexen Zahlen im Grunde genommen nicht mehr denkbar.
Ja, also insbesondere in der Physik oder in der Elektrotechnik oder sowas
, da rechnet man die ganze Zeit mit komplexen Zahlen
So, aber im Schritt von R nach C verlieren wir schon gewisse Sachen.
Und zwar ist die Sache, die wir im Schritt von
R nach C verlieren werden, ist die Anordnung.
Auf R haben wir, das ist ein Angeordneter Körper,
wir haben eine Relation, kleiner gleich,
die sich gut verträgt mit den Operationen plus und mal.
Auf den komplexen Zahlen haben wir das nicht mehr.
Wir können die komplexen Zahlen nicht anordnen mit den guten Eigenschaften,
wie wir das bei den Reellen sagen können.
Das heißt, hier haben mehr Podinome Nullstellen,
was super ist
Aber hier haben wir eine Ordnung. Und das ist der Grund,
warum in der ganzen Mathematik sowohl die reellen Zahlen als auch die komplexen Zahlen betrachtet.
Manchmal ist es vorteilhaft, die komplexen Zahlen zu betrachten.
Manchmal ist es vorteilhaft, die reellen Zahlen zu betrachten.
So, also es ist wichtig, beides zu kennen.
Es geht dann noch weiter, ja,
es gibt noch weitere Zahlbereiche, ja,
da gibt es die Quarter Neonen und die Oktaven und so Sachen.
Die sind aber für den, also meistens sind die relativ unwichtig.
Und zwar ist der Grund dafür, dass sie so unwichtig sind.
Erstens ist es da relativ kompliziert zu rechnen. Gut,
das ist jetzt vielleicht nicht unbedingt ein guter Grund,
aber der Hauptgrund ist,
ich verliere noch
weitere Eigenschaften
Ich kann dieses sinnvoll, das Ziel zwar erweitern,
aber irgendwann verliere ich dann sowas wie die Kommentativität der Multiplikation
oder so Sachen, weil es einfach nicht anders geht.
So, und deswegen hören wir auf bei C,
die komplexen Zahlen sind wichtig.
Und die reellen Zahlen verlieren aber nicht an Wichtigkeit,
weil die eben diese Anordnung haben, die die komplexen Zahlen nicht haben.
Okay, so, jetzt gucken wir uns noch mal dieses Polynom an.
Warum hat denn dieses Polynom X Quadrat plus 1,
warum hat das keine Nullstände in R?
Das ist ganz einfach. Wir wissen,
dass das Quadrat jeder Zahl, jeder reellen Zahl ist größer
als Null.
Das haben wir
irgendwann mal bewiesen
Also das Quadrat einer jeden reellen Zahl ist größer. Das heißt,
egal, was sie da für dieses X einsetzen,
sie kriegen irgendwas raus, was mindestens nur ist,
und jetzt addieren sie noch eins dazu,
dann sind sie immer größer, null, echt größer als null.
Das heißt, wir können niemals null rauskriegen in den reellen Zahlen.
Das liegt daran, dass wir diese Anordnung hier haben.
Wir wissen eben, was es bedeutet, größer null
zu sein. Und jetzt bauen wir einen Zahlenbereich C,
der hat die Eigenschaft, dass wir da zwar,
dass wir da eine Nullstelle von dieser Gleichung haben,
ja, aber wir müssen diese Anordnung aufgeben,
weil wir sonst eben zu diesem Widerspruch kommen sollen
So, okay, wie machen wir das?
Wir machen das so. Das sieht so aus,
als wäre das jetzt wirklich Zauberei, aber wir werden gleich sehen,
dass man das tatsächlich in einem strengen Sinne machen kann.
Also wir fügen zu den reellen Zeit R.
Eine neue Zahl.
Die wir ihnen hinzu
Was hat es mit diesem I auf sich?
Warum heißt das I? Das heißt I für imaginäre Einheit
. Das ist sozusagen eine vorgestellte Zahl. Die stellen wir
uns vor. Wir stellen uns diese Zahl vor.
Und was soll die Eigenschaft von dieser Zahl sein?
Die Eigenschaft von dieser Zahl soll sein, das soll gelten.
Es soll gelten. I zum Quadrat ist gleich minus eins
. Das heißt, I löst die Gleichung
Ihr löst die Gleichung X-Quadrat plus 1. Gleich null,
ja, wenn sie dafür das X-I einsetzen,
dann ist X-Quadrat gleich minus eins, plus eins ist gleich neu.
So, wir stellen uns also vor, dass es so
eine Zahl gibt. Und jetzt gucken wir uns mal an,
was so mit den Lösungen von quadratischen Gleichungen ist.
Sie erinnern sich alle, quadratische Gleichung sieht so aus,
Plus PX plus. Kuh. Gleich null. Die hat die Lösungen.
Die hat die Lösung X1 und X2. Gleich minus P halbe.
Plus minus. Wurzel aus P halbe zum Quadrat minus Kuh. So,
aber natürlich hat die Lösung, das kann sein,
dass hier das, was da drunter steht,
dass das negativ ist, ja.
Und wenn das negativ ist, dann haben wir ein Problem, ja.
Also wir haben im letzten Semester mussten wir irgendwie sowas sagen wie falls.
P, halbe zum Quadrat, minus Kuh.
Großer Gleichnull. Ich rede jetzt über die reellen Zahlen.
Also in den reellen Zahlen hat das diese beiden Lösungen,
falls das größer Gleichnull ist. Die Frage ist,
was machen wir, wenn das kleine Arztnull ist?
Und das gucken wir uns auf dem nächsten Blatt an
So, wir gucken uns wieder an. Also,
wir betrachten wieder die Gleichung. X-Quadrat plus PX plus Q.
Gleich 0. So, jetzt nehmen wir mal Folgendes an.
Wir nehmen mal an
Das, was da unter der Wurzel steht bei der Lösung,
das war nämlich P-Halbe zum Quadrat,
minus Kuh oder meinetwegen auch P-Q oder Viertel oder was auch immer.
Angenommen, das ist kleiner als Nuckel.
Dann können wir ja folgendes machen. Wir können,
also wir gucken uns nochmal an X12 gleich,
minus P-Halbe plus minus Wurzel aus,
P-Halbe zum Quadrat minus Kuh
Und jetzt drehen wir mal hier sozusagen das Vorzeichen um.
Das heißt, was ich machen möchte, ist, ich möchte hier minus eins ausklammern.
Dann haben wir vorgestern, haben wir minus p halbe,
plus minus. Wurzel aus, minus eins, mal,
und jetzt kann ich hier sozusagen in der Differenz,
kann ich die beiden Zahlen vertauschen,
weil ich ja negatives Vorzeichen davor schreibe.
Also habe ich Q-P halbe zum Quadrat, Klammer zu,
die kann man noch ein bisschen länger ziehen
Okay. So, jetzt diese,
man erinnere sich an die Rechenregeln für Wurzeln. Also,
ich kann das schreiben als, Entschuldigung, minus P-Halbe.
Plus minus. Und jetzt kann ich hier Wurzel aus
minus 1 rausziehen. Mal Wurzeln aus. Co-minus P-Halbe.
Zum Quadrat. So, der Witz ist das,
was hier unter der Wurzel steht
Das ist jetzt größer als nur. Ich habe angenommen,
da oben, das P halbe zum Vertrag minus Kuh,
dass das kleiner als null ist.
Dann habe ich hier das Vorzeichen umgedreht,
also einfach die beiden Elemente der Differenz, die beiden,
also sozusagen die beiden Sumanten hier vertauscht und das Vorzeichen hier so gelassen.
Das heißt, ich habe einfach das Vorzeichen umgedreht von dem
Ding und dann, wenn es vorher kleiner null ist,
ist es Minus davon, das größer als null.
Und ich habe diese Wurzel aus Minus 1 daraus gezogen.
So, und diese Wurzel aus Minus 1,
was ist der Wurzel aus Minus 1?
Das ist genau dieses I. Ja, I ist eine Zahl,
deren Quadrat gleich minus eins ist.
Das heißt, wenn ich das hier mal so schreibe,
dann kriege ich Äh, minus.
P halbe, plus minus. I mal Wurzel aus
cu-p halbe zum Quadrat. So, und der Witz ist
jetzt Porgner. Der Witz ist, das hier,
was unter der Wurzel steht, das ist positiv.
Das heißt, diese Wurzel hier ist schlicht und ergreifend eine reelle Zahl.
Das ist eine reelle Zahl. Und jetzt multipliziere ich
die hier mit dem Faktor I. Und de facto,
das I ist sozusagen in Symbol für eine Zahl,
für Wurzel aus minus 1.
Das ist ein Symbol für eine Zahl,
deren Quadrat gleich minus 1 ist
So, und jetzt habe ich minus p halbe,
plus minus i mal das. So, das heißt,
also, wenn es eine Zahl. I mit.
I-Quadrat, gleich minus eins gäbe.
Dann... Könnte ich so
Jede quadratische Gleichung lösen. So,
ich habe jetzt natürlich ein bisschen geschummelt, ja.
Also was habe ich geschummelt? Ich habe zum Beispiel geschummelt,
dass diese quadratischen Gleichungen, die ich hier oben angenommen habe,
was habe ich denn da gesagt?
Also da habe ich, ich bin davon ausgegangen,
dass natürlich P und Q,
dass das reelle Zahlen sind
Und dann löse ich irgendwelche Gleichungen hier und benutze dieses I,
diese Wurzel aus minus 1 und sozusagen die Lösung,
die der quadratischen Gleichung hinzuschritten. Das heißt,
ich betrachte quadratische Gleichung mit koeffizienten P und Q,
die reelle Zahlen sind und löse die dann und kriege etwas raus,
wo das Ida vorkommt, was aber keine reelle Zahl ist.
So, das ist der erste Arken. Das zweite ist,
ich habe hier die ganze Zeit die PQ-Formel benutzt und das stellt sich natürlich mit Berechtigung die Frage,
ich kann auch die PQ-Formel gar nicht benutzen,
wenn ich hier plötzlich über komische Zahlen rede,
die nicht reelle Zahlen sind.
Die Antwort darauf ist, diese PQ-Formel,
die gilt glücklicherweise in jedem Körper
Das heißt, in jedem Körper,
wenn ich so eine quadratische Gleichung habe, gilt die PQ-Formel.
Ich muss natürlich dann richtig interpretieren, was bedeutet diese Wurzel her.
Aber das kann ich natürlich, das kann ich, das kann ich tun.
Das ist kein Problem. Also in dem Moment,
wo wir diese Zahl I zur Verfügung haben und der Zahlbereich,
in dem wir rechnen, die reellen Zahlen enthält,
sodass wir hier diese Koeffizienten aus R wählen können.
Und das Ganze ein Körper ist, kann ich plötzlich alle diese quadratische Gleichung lösen.
Die nächste Frage ist dann natürlich, was passiert denn,
wenn ich jetzt das I sozusagen für diese Koeffizienten,
wenn ich da dieses I, diese komische Zahl auch erlaube, da einzusetzen.
Was ist denn dann? Ja, und die Antwort ist
eben ein bisschen überraschend. Die Antwort ist,
ich kann trotzdem immer noch alle quadratischen Gleichungen lösen,
auch wenn ich für P und Q nicht nur reelle Zahlen zulasse,
sondern dann eben auch zum Beispiel dieses I zulasse.
Und das Ganze geht dann eben, wie ich vorhin schon,
oder wie ich schon quasi fast versprochen habe,
das geht dann weiter für alle Polynomen, ja.
Wann immer hier irgendein Polynom steht, gleich Null,
und das Polynom ist nicht nur konstant,
dann kann ich das eben lösen.
In den komplexen Zahlen. So,
und wie halte ich die komplexen Zahlen,
die komplexen Zahlen halte ich einfach,
indem ich zu den reellen Zahlen noch eine Zahl I hinzufüge
Mit der Eigenschaft, dass Iqualor gleich minus eins ist.
So, und was muss ich denn da,
wie dieses Hinzufügen, ja, wie macht man das?
Das macht man einfach so, man geht hin und sagt, okay, definiere.
C, das ist unser Zeichen für die komplexen Zahlen.
Das sind alle Zahlen von der Form A plus I mal B,
wobei A und B aus den reellen Zahlen sind.
So, fertig. Das ist alles, was ich an dieser Stelle
zu der Definition von C erstmal sagen für eine Sekunde. So,
sie sehen schon, die Zahlen, die hier oben rauskommen,
ich möchte diese quadratische Gleichung lösen, ich habe das Pech,
dass das in den reellen Zahlen nicht einfach so geht,
weil dieses Ding hier kleiner als null ist.
Dieses Teil heißt übrigens die Diskriminante, das ist die sogenannte Diskriminante der Gleichung.
Wenn die diskriminante kleiner als null ist, dann kann ich
den reellen Zahlen nicht lösen. Und ich habe hier argumentiert,
wenn ich wüsste, dass ich so ein I habe,
was die Wurzel aus minus eins ist,
dann könnte ich es eben doch lösen und das ist die Formel und sie sehen die Lösung,
die rauskommen,
haben alle die Form
reelle Zahl
Plus oder plus oder minus, minus ist ja sozusagen
auch eigentlich plus und dann ein Vorzeichen, ja.
Also ich habe hier reelle Zahlen, plus I mal irgendeine andere reelle Zahl.
Das heißt, dieses Format, was hier steht,
A plus IB, wobei A von B aus R sind,
ist genau das Format von diesen Lösungen von quadratischen Gleichmen,
die ich hier oben angegeben habe.
Und jetzt wollen wir mal gucken, wie wir
damit rechnen können
Rechnen. Mit komplexen Zahlen. So,
wir stellen uns mal vor, also sein A,
B, C, D, die seien alle aus R.
Und die komplexen Zahlen, die haben die Form A plus IB.
Und ich möchte zwei davon addieren.
Also zum Beispiel die hier
Ich möchte diese beiden komplexen Zahlen addieren. So,
ich habe schon angekündigt, was ich haben möchte, ist,
dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden. Das heißt,
ich stelle mir aber vor, wie wäre es, wenn ich,
ich habe einen Körper, der enthält die reellen Zahlen,
der hinterhält dieses I und über das I weiß ich erstmal nur,
dass das Quadrat davon gleich minus eins ist.
Und ich weiß, dass es ein Körper ist.
Das gelten also alle Rechenregeln im Körper. Das heißt,
plus ist assoziativ, ich darf Klammern weglassen und es gilt das Kommentativgesetz.
Das heißt, ich kann das auf jeden Fall
mal umschreiben als A plus C plus.
Dann habe ich I plus B, ich schaue es mal
einfach aus,
ja I plus B plus
Mal, mal die B plus E-Mail D. So. Das Distributivgesetz gilt auch,
das heißt, ich darf das I ausklammern,
ich habe A plus C plus E mal,
Klammer auf, B plus D. Mit anderen Worten,
was ich hier gemacht habe, ist, ich habe das,
das mithilfe der Körperaktion sozusagen umgerechnet in eine Form,
wo ich hier wieder eine reelle Zahl habe und hier aber
auch eine reelle Zahl habe
Das heißt, das, was ich hier ausgerechnet habe,
ist auf jeden Fall wieder in meiner Menge C drin.
Die Menge C besteht ja aus allen Zahlen,
die die Form haben, reelle Zahl plus eh mal andere reelle Zahlen.
Ja, und ich habe hier wieder diese Form. Das heißt,
ich habe jetzt ausgerechnet, wie ich in C zwei Zahlen
einfach addieren kann und ich musste dafür gar nicht viel tun.
Ich musste im Grunde genommen nur wissen, dass das ein Körper ist.
So, zweite Aufgabe, jetzt multiplizieren wir.
Wie multipliziere ich denn zwei solche Complexen Zahlen
Ja, das ist ein Körper und in einem Körper können wir ausmultiplizieren.
Ausmultiplizieren ist ja nichts anderes, als sagen wir mal
eine geschickte Anwendung des Distributivgesetzes. Wir können das ausmultiplizieren,
indem wir das AMLC rechnen, plus A mal Idee,
plus IB mal C plus IB mal Idee.
Okay, machen wir mal. Also,
wir haben hier A mal C, plus, Entschuldigung.
Was ist ein Mahlzeichen denn, A mal Idee?
Plus. IB mal
Close IB mal Idee. Okay, das ist jetzt erst
mal blöd, weil das nicht von der Form ist,
reelle Zahl plus ihm mal eine andere Redezahl, jedenfalls nicht so offensichtlich.
Wir gucken mal, wie das weitergeht. So,
das Kommentativgesetz und Assoziativgesetz, der Multiplikation gilt natürlich, weil das ein Körper sein soll.
Also haben wir hier I und I, die können wir sozusagen,
also wir können hier das B und das I vertauschen,
dann haben wir I mal,
also I Quadrat und von dem wissen wir,
dass es minus eins ist.
Das heißt, das hier können wir vereinfachen,
also dieses ehemal B plus emal D,
das ist eigentlich nichts anderes als minus Das heißt,
wir können hier schon mal hinschreiben, das AC.
Und dann haben wir hier minus-bma.de. Super. Und dann haben wir hier
noch zwei Ausdrücke, wo jeweils das I einmal vorkommt.
Und jetzt klammern wir hier einfach mal das I aus und
dann kriegen wir folgendes, dann kriegen wir eh mal,
Klammer auf, hier haben wir A.de.
Kloß. I mal BC an, was ich ausgeklammert habe,
da hatte nur noch BC, glaube ich.
So, und wieder ist es so,
dieser Teil hier vorne,
ist eine reelle Zahl
Und dieser Teil, hier ist auch eine reelle Zahl.
Und damit ist dieses Produkt, was wir hier ausgerechnet haben,
auch wieder ein Element vom C. Also das heißt,
diese Menge C, die wir da definiert haben,
die einfach besteht aus allen Zahlen,
die irgendwie diese Form haben, A plus IB.
Diese Menge ist auf jeden Fall abgeschlossen unter Adition Multipegazon.
Das ist ja schon mal gut. Okay. So,
jetzt machen wir mal weiter. Also wir machen mal,
was haben wir denn hier benutzt,
um diese Vereinfachung hier zu machen, um diese Vereinfachung zu machen,
haben wir eigentlich nur benutzt, dass das I mal I,
also Quadrat ist das gleich, minus eins ist,
das braucht man an dieser Stelle.
Mehr braucht man nicht
So, jetzt kommt die eine Sache,
die in den komplexen Zahlen nicht so einfach ist.
Und zwar ist es die Sache mit der Division. Also nochmal,
wir stellen uns vor, wir haben den Körper,
der die reellen Zahlen enthält und der diese Zahl,
diese imaginäre Einheit I enthält, deren Quadrat eben minus eins ist.
Jetzt möchte ich mal ausrechnen, was ist denn das Multiplikative
Inverse zu irgendwas? Also wir wollen mal ausrechnen,
was ist denn A plus IB
Hoch minus eins. Natürlich können wir das nur dann machen,
wenn wir sozusagen voraussetzen, dass das hier nicht null ist,
ja, durch null kann ich immer noch nicht teilen,
das geht in keinem Körper.
Also wir setzen voraus, dass das nicht null ist,
muss man sich vielleicht mal überlegen, was das heißt,
aber werden wir gleich sehen.
Und dann versuchen wir das einfach auszurechnen.
So, also das ist nichts anderes als eins durch.
A plus iB. Okay
Was können wir machen, um sozusagen hier unten im Nenner dieses Bruches,
das da loszuwerden? Also wir haben irgendwie das Gefühl,
wir können durch reelle Zahlen teilen, aber wir können nicht durch dieses IDA-Teil.
Das wissen wir einfach nicht, was das macht.
Sondern da gibt es jetzt einen Trick, und zwar ist
der Trick folgender. Und das ist der Trick,
den sie sich wirklich immer merken müssen, wenn sie mit komplexen Zahlen rechnen.
Wie lösen wir dieses Problem? Dieses Problem lösen wir,
indem wir diesen Bruch, den wir hier haben, erweitern.
Und zwar kann man, es gibt eine Erweiterung dieses Bruches,
die so ist, dass da unten aus dieser komplexen Zahl
plötzlich eine reelle Zahl wird und das vereinfacht,
das ist drastisch.
Und zwar erweitern wir einfach mit A
minus IB
Wenn ich die komplexe Zahl A-Plus-IB habe, dann ist dieses A-Minus-IB,
das, was man die dazu konjugiert, komplexe Zahlen nennt.
Und das muss ich natürlich oben auch machen.
Ich möchte ja den Wert des Buches nicht verändern.
Entschuldigung, ich möchte den Wert des Buches nicht verändern,
also A-Ebay. Damit erweitere ich diesen Bruch. Um und um
. Das müssen wir uns mal überlegen, was rauskommt.
Also oben steht jetzt A-Minus-IB. Und unten,
was steht denn unten? Jetzt müssen wir mal ausmultiplizieren.
Oder wir können auch die binomische Formel nehmen. Es gibt ja
eine binomische Formel für A plus irgendwas mal A-Minus irgendwas.
Und wie lautet die, die lautet so,
man soll A-Quadrat nehmen, minus das Quadrat vor diesem Ding
Die zum Quadrat. So, was ist denn IB-Quadrat?
Da haben wir wieder toll mal dieses i drin.
Das heißt, wir haben hier A-IB, steht oben.
Und unten steht A-Quadrat, minus i-Quadrat, B-Quadrat.
I-Quadrat ist minus 1, also habe ich minus,
mal minus 1, ist plus. Und dann bleibt dann
noch Spake-Quadrat stehen, also plus Spake-Quadrat. Das heißt,
diese geniale Erweiterung dieses Buches hier sorgt dafür,
dass ich plötzlich hier drunter stehen habe, A-Quadrat plus B-Quadrat,
was einfach eine reelle Zahl ist.
Dann kann ich das noch anders aufschreiben,
dann kann ich das schreiben als A,
geteilt durch A-Quadrat plus B-Quadrat
Plus, und jetzt mache ich jetzt mal ganz super sorgfältig,
eh mal, und das steht hier oben minus B. geteilt durch.
Argfalt. Plus. B-Krabbat. So,
und jetzt sehen wir tatsächlich, wenn mich hier so eine Zahl habe,
die ungleich null ist, dann kann ich davon,
dass inverse bezüglich der Multiplikation bilden, und zwar einfach nur,
indem ich die üblichen Rechenregeln für Körper benutze.
Also hier sieht es so aus, als ob ich über Brüche
rechne und rede und die Erweiterung und diese ganzen Sachen machen.
Aber diese Sachen, das können sie alles in jedem Körper
machen.
Das ist überhaupt kein Problem
So, und jetzt weiß ich auch, wie das aussieht.
So, wann geht denn das? Das geht natürlich dann,
falls Aquada plus B-Quadrat und gleich null ist.
So, falls. Falls arg fahren rat, plus B-Quadrat.
Ungleich nur alles geht das. So, und was ist denn
jetzt hiermit? Also dieses A-Quadrat plus B-Quadrat ist ungleich null,
genau und dann, wenn, naja,
also das sind jetzt alles reelle Zahlen
Ich weiß, das A-Quadrat und B-Quadrat, die sind beide größer,
gleich null. Und wenn ich jetzt hier eine Zahl hätte,
die echt größer als null ist und das Quadrat bilde,
dann kriege ich irgendwas raus, was echt größer als null ist.
Und das hier kann dich negativ sein, das heißt,
insgesamt kriege ich was raus, was echt größer als null ist.
Das heißt, wenn eine von diesen Zahlen A und B überhaupt nur Ungleichnull ist,
dann ist ja Quadrat größer als null und das ist insgesamt größer als null.
Und die einzige Möglichkeit, das Antwort hat plus B,
Quadrat gleich null ist, ist,
wenn sowohl als auch B gleich null sind,
das ist genau dann der Fall,
wenn A Beide gleich null sind.
Und das ist der Fall, wenn ich hier dieser koeffizient
null ist und da dieser koeffizient null ist.
Also wenn ich habe null plus eh mal null.
Ja, das ist genau dann der Fall. Und das
ist das, was sozusagen die komplexe Zahl null ist.
Gleich noch alles. Ja, also sie sehen hier,
ich kann teilen durch komplexe Zahlen, die von null verschieden sind.
Und was heißt die null in diesem Falle? Das heißt,
dass das Arnull und das B gleichzeitig auch nur ist.
Daraufhin wir noch später eingehen. So. Und damit lasse ich
es mal für dieses Video
Ja, in dem nächsten Video, das war jetzt alle
sehr informell. Ich habe so getan,
als ob ich so eine Zahl I hätte, die die Eigenschaft hat,
dass ihre Quadrat gleich minus 1 ist, genau.
Und was ich im nächsten Schritt tun möchte, ist,
das sozusagen exakt machen. Das heißt, ich möchte wirklich
jetzt sauber die komplexen Zahlen konstruieren aus den reellen Zahlen heraus.
Und dann plus und mal darauf definieren und so weiter,
so, dass die komplexen Zahlen eben all diese Eigenschaften hat haben,
die ich eben behauptet habe.
Was ich eben gemacht habe, war im Grunde genommen nur so,
dass ich getan habe, als hätte ich schon einen Körper,
den die reellen Zahlen enthält und der die Wurzel aus minus
1 enthält
Und dann habe ich mal überlegt, wie man in diesen Körper rechnen könnte.
Und jetzt mache ich es umgekehrt. Jetzt konstruiere ich so
einen Körper und benutze aber natürlich das, was ich gerade ausgerechnet habe sozusagen.
Das benutze ich für die Definition der Rechtenoperation. Das ist
im Grunde genommen so ähnlich, wie wir das mit den Brüchen gemacht haben.
Da habe ich sozusagen, erst haben wir gewusst,
wie man mit Brüchen ungefähr rechnen muss,
aber wir wussten sozusagen noch nicht,
ob es die Menge der rationalen Zahlen überhaupt gibt.
Und dann habe ich die Menge der rationalen,
mit dieser rationalen Zahlen, mit dieser exponenzklassen Konstruktion definiert.
Und da konnte man dann tatsächlich genauso rechnen,
wie wir das von Brüchen gewöhnt sind.
Und genau diesen Vorgang machen wir jetzt mit den komplexen Zahlen
auch.
Also bis zum nächsten Video