So, es geht weiter, und zwar mit der Anordnung
der rationalen Zahlen. Und was auch ganz wichtig ist,
wie die Erinnerung der Rationalzahlen,
wie die ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen reinpassen.
Damit vorne machen. Die Anordnung und die Einbettung.
Die Einbettung von Z in Kur. Nur über die Einbettung
hatten wir schon gesprochen,
die Sache mit der Einmeldung
ist ganz einfach
Wir machen mich vor, dass wir definieren eine Abbildung.
Wir definieren eine Abbildung. Wenn wir sie mal eh wie Einbettung,
das soll eine Abbildung sein, die geht von Z. Nach Kuh.
Und die macht Folgendes, die nimmt eine ganze Zahl A
und bildet sie ab auf die Zahl.
Also auf den Bruch arget halt durch eins.
So, dann gilt eine gewisse Sache
Dann ist. Nee, ist injektiv. Außerdem gilt folgendes
. E von null. Was ist E von null?
E von null, bist einfach... A, äh,
gut. E von null ist einfach null geteilt durch eins.
Und null geteilt durch eins war das neutrale Element bezüglich
plus in
Ja, das heißt, die Null in Z,
die ganze Zahl Null, wird abgebildet auf das Null-Element von Kuh.
Und was auch geht, ist, dass das E von
1, das ist natürlich eins durch eins.
Und sie erinnern sich, eins durch eins war das
neutrale Element bezüglich der Multiplikation in den nationalen Zahlen.
Das heißt, die neutralen Elemente bezüglich Plus und Mal,
die es in Z ja gibt,
Die werden auf die entsprechenden neutralen Elemente von Kuh abgebildet.
Das ist schon mal gut. So,
dass das eh injektiv ist, muss man nachrechnen,
das rechnet man relativ schnell nach.
Das mache ich jetzt an dieser Stelle nicht.
So, weiterhin gilt folgendes. Für alle. A,
Komma B. Aus Z. Ist efon.
A. Plus B. Was ist das
Von A plus B ist natürlich nichts anderes als A plus B,
geteilt durch eins, ja, ich brauche ja bloß da
oben an dieser Stelle A plus B, anstelle von A einzusetzen.
Und jetzt weiß ich aber, wie ich Brücher addiere,
nämlich, dass es in diesem Fall sozusagen zufällig das Gleiche
wie A durch 1 plus begeteilt durch eins.
Warum ist das der Fall? Das liegt daran,
dass wenn ich A durch 1 plus B geht,
natürlich eins rechne, da muss ich erstmal diesen Bruch mit diesem Nenner
hier erweitern und diesen Bruch mit diesen Nenner hier erweitern.
Gut, aber das ist in beiden Fällen eins.
Das heißt, das ändert sich überhaupt nichts. Das heißt,
argelt halt durch eins plus B-geteilt, durch eins,
die kann ich einfach addieren, weil die sozusagen schon die gleichen Aufnahmen haben.
Und ich kriege das raus. Ja, das ist sozusagen nach
unserer Formel für plus auf den rationalen Zahlen kommt das hier raus.
Und das hier kann ich aber auch anders schreiben,
was kann ich schreiben als EVA plus, nicht von B. Was bedeutet das? Das bedeutet,
dass wenn ich das E von einer ganzen Zahl ausrechnen möchte,
es ist egal,
ob ich erst die beiden ganzen Zahlen addiere und dann
mithilfe von E in die rationalen Zahlen abbilde oder ob ich
erst A und B getrennt sozusagen die rationalen Zahlen abbilde und
dann addiere.
Und es geht noch was, nämlich E von A.
Müssen wir natürlich anders schreiben. E von A mal B.
Das ist folgendes. Das ist natürlich A mal B,
geteilt durch eins. Und wieder sehen wir,
dass das das gleiche VR-Gitar natürlich eins mal B geteilt durch
eins nach unseren Formeln für die Multiplikation von Brüchen.
So, das hier kann ich schreiben als, Entschuldigung,
E von A
mal E von
Was bedeutet das? Das bedeutet, dass,
wenn ich das Produkt von zwei ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen abbilde,
dann kriege ich das Gleiche raus,
als wenn ich erst die beiden ganzen Zahlen abbilde und dann das Produkt davon nehme.
Das heißt, es ist egal,
ob sie essen in den ganzen Zahlen,
multiplizieren oder addieren und dann das Ergebnis rüberschicken oder ob sie erst
die Summanten bzw. Faktoren rüberschicken und dann in den rationalen Zahlen ausrechnen,
was da rauskommt.
Das heißt, die Multiplikation verdreht sich sozusagen gut mit der Abbildung eh.
Und das Plus verdreht sich gut mit der Abbildung eh.
Und dazu kommt, dass auch die neutralen Elemente,
dass das eh sozusagen auch gut ist bezüglich der neutralen Elemente,
plötzlich Multiplikation und Addition.
Und so eine Abbildung nennt man diesen Zusammenhang eh ist.
Ein sogenannter Homophismus. Jetzt sollte ich sagen, von was
für Strukturen? Ja, sie werden in der Mathematik
noch viele Homeofficemen kennenlernen. In diesem Falle sind das
Homeofficemen von Ringen
Die Strukturen, in denen ich plus und mal habe und
neutrale Elemente bezüglich plus und mal,
wo die üblichen Rechenregeln gelten, die nenne ich Ringe.
Das Z ist ja ein, das Z ist ein Ring,
aber das Z ist kein Körper. Das Kuh ist ein Körper,
das Z ist aber kein Körper, warum, weil eben keine Inversen,
also üblicherweise jedenfalls keine Inversen bezüglich der Multiplikation existieren.
Gut. So, jetzt haben wir also, wir haben
diesen injektiven Humorismus von Z nach Kuh und der erlaubt Folgendes zu machen.
Wir sagen jetzt einfach, Wir identifizieren... ... jede ganze Zahl.
Diese Zahl. So schreiben wir jetzt zur AOS Z. Mit
dem Bruch. Mit dem Bruch wagelt halt durch eins.
Aus Kuh. Und auf diese Weise können wir uns vorstellen,
dass die ganzen Zahlen spezielle rationale Zahlen sind, mithilfe von dieser Identifizierung.
Das heißt, wir fassen das Z auf als wirklich Teilmenge von Co.
Obwohl das rein formal ist, ist keine Teilmenge von Co. warum?
Hier sind irgendwie ganze Zahlen drin und da sind irgendwie Äquivalenzklassen von Paaren von ganzen Zahlen drin,
aber wir können trotzdem jede ganze Zahl hier mit einem Element von Q identifizieren und diese Rechenregeln,
die ich hier aufgeschrieben habe, die sagen,
dass es auch keinen Konflikt zwischen den Rechenoperationen in Z und in Q gibt.
Also wenn ich diese Identifizierung davor nehme,
dann geht alles glatt,
so wie ich mir das vorstelle
Und wir sagen, wir fassen das Z auf als Teilnehmer vom Kopf.
So, jetzt kommen wir, das war sozusagen der Einmaltelbettungsteil,
jetzt komme ich zum Anordnungsteil. Wir wollen aus dem Kuh
einen Angeordnetenkörper machen. Was haben wir denn schon angeordnet?
Wir haben die natürlichen Zahlen, die haben wir sozusagen,
da wissen wir, was die Ordnung drauf ist.
Wir haben über Angeordnete Körper gesprochen,
als wir über die reellen Zahlen gesprochen haben.
Und wir erinnern uns, wie war das mit den Angeordnetenkörpern,
bei den Angeordnetenkörpern?
Da habe ich
eine Ordnung drauf
Die irgendwie gutartig sich verträgt mit den Rechenoperationen. Aber so
habe ich gar nicht angefangen. Sondern ich habe angefangen,
dass ich gesagt habe, wir definieren,
was die positiven Elemente sind des Körpers.
Und das machen wir hier auch.
Wir setzen Q-Plus. Einfach als die Menge der Brüche.
A geteilt durch B. Wobei A und B
aus Ensit
Also wir lassen jetzt nicht mehr hier oben alle ganzen Zahlen
zu und hier unten alle ganzen Zahlen außer den Null,
sondern wir sagen, wir lassen nur noch Elemente von Enzo,
also weder A, noch B,
dürfen Null sein und die sollen auch beide natürlich die Zahl sein und das nimmt ihr Co-Plus.
Und was soll Co-Stern sein? Co-Stern soll sein. A,
geht halt durch B, aus Co,
wobei das A und gleich Null ist
Ich kann das auch anders schreiben, ja,
also wenn ich hier einen Bruch habe,
argeteilt durch B, wobei das A gleich null ist,
dann ist der immer Äquivalent zu dem Bruch,
null geteilt durch eins und das war die null bezüglich der Addition.
Also ich nehme dieses Q-Stern, das ist nichts anderes,
als ich nehme die rationalen Zahlen,
die nicht das neutrale Element bezüglich plus sind, also rationale Zahlen außergeblich.
So, und jetzt werde ich mal ein bisschen gründlicher,
also wie viel schreibt man hier drunter,
das ist sozusagen Q ohne den Bruch null
Geht halt durch eins. So, jetzt bin ich
ein bisschen gründlicher vorgehen als bisher. Bisher habe ich
das alles eigentlich nur aus dem letzten Semester wiederholt.
Und jetzt kommt hier ein bisschen was Neues.
Die Anordnung der rationalen Zahlen hatten wir ja noch nicht diskutiert.
So, das ist 8.5 im Skript. Es gilt folgendes
. AA1. A1 sagt, für alle A aus.
So, jetzt müssen wir ein bisschen aufpassen.
Ich hoffe, dass, dass, äh,
das notationsmäßig nicht so sehr zu einem Konflikt führt hier.
Ähm, ich ändere mal die Notation hier.
Ich nehme mal Kuh, wirklich Kuh für die rationale Zahl.
Also QR und so weiter, das steht für rationale Zahlen.
Im Skript steht dann A, aber ich denke,
sie können das sozusagen hier, ähm,
sie werden es trotzdem, sie werden es hier verstehen.
Ich glaube, die Illustration ist besser,
wenn ich das so mache. Also, für alle Kuh
aus Kuhstern gilt.
Das. Entweder
Ist das Kuh in Kuplus. Oder Minuskuh ist in Kuplus. Ja,
also wenn sie eine rationale Zahl haben, die nicht null ist,
dann ist sie entweder positiv oder das Negative diese Zahl ist positiv.
Und als nächstes stelle ich noch fest,
null geteilt durch eins, ist nicht Element von Kuplus.
So,
und A2.
Für alle
Kuh und R. Aus Kuplus. Geilt folgendes. Nämlich,
also ich will sagen, das Q Plus ist abgeschlossen unter Plus und Mal.
Q plus R ist wieder aus Kuplus.
Und Kuh mal R. ist auch wieder aus Kuplus.
Der Beweis davon ist relativ einfach. Als erstes stelle ich
das hier fest
Sein A, B aus N. Die Elemente aus Kuplus,
die sind ja Brüche der Form A durch B,
wobei A und B beide natürliche Zahlen sind.
So, angenommen, der Bruch A, geteilt durch B,
ist 0 durch 1. Jetzt erinnere ich mich daran,
was bedeutet das? Also das hier ist eine Äquivalenzklasse,
nämlich die Äquivalenz, dass du von dem VA,
Kummer B, das ist auch eine Äquivalenzklasse,
nämlich die von dem Par 0,1. Wann sind diese zwei Äquivalenzklassen gleich?
Die sind dann gleich in A mal 1.
Das Gleiche ist wie B mal
Ja, also es folgt A mal 1 ist das Gleiche
wie B mal 0. Jetzt wissen wir aber,
was A mal 1 ist, das ist nämlich einfach,
wir rechnen einfach den ganzen Zahlen jetzt.
A mal 1 ist nichts anderes als A.
Und B mal 0 haben wir schon mal ausgerechnet, ist 0.
Und das ist aber ein Widerspruch. So,
also das wissen wir schon mal
So, jetzt wollen wir hier ausrechnen, dass jede rationale Zahl,
die nicht von der Form 0-1 ist,
entweder haben wir Q für die rationale Zahl Q,
die nicht von der Form 0 geteilt durch eins ist,
wissen wir,
entweder die ist in Q-Plus oder das Negative davon ist in Q-Plus.
Gut, also sei die rationale Zahl.
Q, die schreiben wir mal als A geteilt durch B.
Das können wir machen
Und wir nehmen an, das ist aus Kuhstern.
Was heißt das? Das heißt, das ist A, Ungleichnull sein muss.
A, Ungleichnull. Warum? Wir wissen eigentlich nur,
dass Argetal durch B nicht null geteilt durch Eins ist.
Aber wir wissen, dass alle Brüche von der Form,
das können Sie ganz gleich nachrechnen,
als alle Brüche von der Form nur geteilt durch irgendwas,
Äquivalent sind zu dem Bruch nur geteilt durch Eins.
Die sind all das neutrale Element bezüglich der Addition und der rationalen Zahl.
Das heißt, Das A ist ungleich null. Gut.
Und wir können folgende Fälle unterscheiden. Und zwar haben das
vier Fälle. Vier Fälle. Was kann denn alles passieren?
Der erste Fall ist A und B sind beide aus N.
Okay, was passiert in diesem Falle?
Dann ist A durch B, das ist das Kuh,
ja, Kuhgleich an durch B, ist aus Q Plus.
Das ist einfach die Definition von Q Plus,
die wir getroffen haben.
Zweiter Fall
Jetzt müssen wir uns daran erinnern,
wie wir waren in die ganzen Zahlen aufgebaut, ja,
also A und B sind ganze Zahlen,
welche ganzen Zahlen gibt es denn,
wir haben uns erinnert, oder wir erinnern uns,
die ganzen Zahlen sind N-0 plus alle negativen natürlichen Zahlen,
also alle natürlichen Zahlen mit Minus davor.
Das heißt, der nächste Fall ist minus A, wie soll ich sagen,
ich sag mal einfach minus A aus N und B aus N.
Das ist sozusagen der Fall, das ist sozusagen der Fall,
wo das A Von der Form ist minus eine natürliche Zahl.
Okay. So, was mache ich hier in diesem Falle?
In diesem Fall gilt, dass minus minus a geteilt durch B,
also das additive Inverse von minus a geteilt durch B.
Was ist denn das? Das additive Inverse bekomme ich,
indem ich hier vorne im Zähler das Vorzeichen umdrehe.
Das heißt, das ist einfach
a geteilt durch
Moment, ich bin gerade ein bisschen verwirrt.
Das ist alle Teil durch B. Okay, wunderbar.
Und was ist mit minus A minus A ist aus N?
Und B ist aus N, das heißt minus A geteilt.
Ich B ist aus Kuplus. Kuplus. So,
jetzt kann ich diese gleich mit da umdrehen.
Entschuldigen, ich hätte die gleich andersrum hinschreiben sollen.
Also minus A wird halt durch B. Das ist minus minus
A wird halt durch
Schon wieder irritiert. Nein. Minus A, geteilt durch B
, ist gleich. Nein, andersrum. So. Minus A
geteilt durch B ist minus A geteilt durch B, so.
Und das minus A ist aus N und das B ist
aus N. Entschuldigung. Das ist eigentlich ganz einfach.
Quatsch, nicht aus Ellen, sondern aus Kurt Plus.
Das war eben etwas verwirrt. So, dieses minus A
durch B, das ist ja nichts anderes als Minus Kuh.
Das heißt, hier steht Minus Kuh ist aus Kuplus
Jetzt muss ich umblättern. Also wir haben jetzt
den ersten Fall, A und B sind aus N.
In diesem Falle ist Kuh aus Kuplus, das ist klar.
Jetzt haben wir minus A ist aus N und B ist aus N.
In diesem Fall hat es minus Kuh aus Kuplus.
Was gibt es noch für zwei Fälle? Der nächste Fall
ist das minus A und minus B aus N sind.
Und der dritte Fall, der vierte Fall ist das A
aus N ist und minus B aus N ist.
Und dann rechnen wir, es ist vollkommen klar,
dass sozusagen Also es ist ganz einfach.
Wenn A und B aus N sind oder minus A und minus B aus N sind,
dann ist dieser Bruch hier jeweils in Kuplus mit einer einfachen Rechnung.
Und wenn die sozusagen unterschiedliche Vorstreichen haben,
also wenn minus A aus N ist und B aus N
ist oder wenn A aus N ist und minus B aus N ist,
dann ist jeweils minus Kuh aus Kuplus.
Damit sind wir fertig. Also Fälle. Drei,
vier gehen irgendwie analog
So, das zeigt A1. Jetzt kommt A2. Jetzt muss ich auf ein zweites Blatt.
Weitergehen und der Beweis von A2. Was ist A2 nochmal?
A2 war kurz und schlampig ausgedrückt. Kuh ist Q Plus
ist unter. Plus. Und mal abgeschlossen. So,
wie beweise ich das? Okay, wir gucken uns mal an.
Wir nehmen mal also sein Sein QR aus Kuplus. Dann
gibt es A und B, also Wähle. Oh mal,
A, B, so wie C und D,
aus den natürlichen Zahlen N,
derart das Kuh gleich A durch B ist,
R gleich C durch die ist.
Und jetzt gucken wir mal, was ist denn Kuh mal R,
Kuh mal R,
ist dann A mal C,
geteilt durch B mal
Mit AC, wenn ich zwei natürliche Zahlen multipliziere,
bin ich wieder eine natürliche Zahl. Und wenn ich B und D
multipliziere, dann bin ich auch in den natürlichen Zahlen.
Also folgt. Kuh mal, R ist aus Q Plus.
Das ist ein Bruch. Obwohl ich eine natürliche Zahl durch eine natürliche Zahl teile.
Zweiter Teil, ich muss zeigen, dass unter Adizenz,
das zeigt sozusagen, dass Q Plus unter Mal abgeschlossen ist.
Q Plus ist unter der Addition abgeschlossen.
Wir nehmen wieder Q gleich A durch B,
R gleich C durch D und das sind alles natürliche Zahlen.
Und jetzt rechnen wir aus, was ist Q Plus R.
Was ist Q Plus R?
Die Formel war so. Also ich schreibe das mal hin,
ich schreibe das mal als A durch B plus C durch D hin,
weil wir dann besser sehen, was die Summe davon ist.
Das war A mal D plus C
mal B und in Nenner steht B mal die.
So, das passiert aber ganz einfach, folgendes.
Es gilt. Jetzt nehme ich A mal D. Ich nehme
zwei natürliche Zahlen, multipliziere die, kommt eine natürliche Zahl raus.
Plus jetzt nehme ich zehn mal B wieder das Produkt von
zwei natürlichen Zahlen, ist ja eine natürliche Zahl.
Und jetzt an die riecht diese natürliche Zahl und diese
natürliche Zahl und es kommt eine natürliche Zahl raus
Außerdem ist es natürlich B mal D, auch eine natürliche Zahl.
Und daraus folgt, dass Q plus R
ein Quotient von zwei natürlichen Zahlen ist.
Also ist das ein Q plus. Und das beendet diesen
Beweis. Gut. Also Folgerung. Q mit Plus und
Mal ist ein Angeordneter
Ein angeordneter Körper. So, das ist ja schon mal schön. Also,
die rationalen Zahlen sind ein anordnender Körper, die ganzen Zahlen passen da sozusagen rein.
Wir haben die ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen eingebettet.
Sie erinnern sich auf den ganzen Zahlen, kennen wir auch eine Anordnung. Ja,
also ich habe jetzt natürlich nur definiert,
was die positiven rationalen Zahlen sind, aber wir wissen,
wenn ich weiß, was die positiven rationalen Zahlen sind,
dann kann ich auch definieren,
weil eine rationale Zahl kleiner als eine andere ist,
nämlich eine rationale Zahl ist kleiner als eine andere rationale Zahl,
wenn ich etwas Positives zu der kleineren Zahl dazu addieren kann und dann die größere Zahl rauskriege.
So ist die Ordnung, definiert so,
hängt die Ordnung damit zusammen,
was Positives,
was die positiven Elemente sind
In den ganzen Zahlen habe ich auch eine Ordnung. Ja,
das ist nämlich genau das Gleiche. Eine ganze Zahl oder
so ähnlich. Eine ganze Zahl ist kleiner als eine andere ganze Zahl,
wenn ich eine natürliche Zahl zu der kleineren ganzen Zahl dazu addieren kann und die größere ganze Zahl rauskommt.
Und jetzt kann man aber leicht sehen,
dass das sozusagen auch zusammenpasst, ja, also zwei ganze Zahlen,
eine ganze Zahl ist kleiner als eine andere ganze Zahl,
genau dann, wenn,
nachdem ich sie in die rationalen Zahlen eingebettet habe oder in die rationalen Zahlen abgebildet haben mit dieser Abbildung E,
wenn dann Die erste Zahl, die rationalzeitig rauskriege,
klein ist als die zweite.
Also die Ordnung sozusagen auf Z und den rationalen Zahlen,
die stimmen auch richtig gut überein. Wunderbar. So,
und jetzt kommen wir noch zu einem Kapitel,
was wir hier nur ganz, ganz kurz anschneiden,
und zwar deswegen, weil es eigentlich in der Nadels ist,
gehört und die Analyse ist,
ist erst im dritten Semester Stoff.
Wir sollten trotzdem ganz kurz was darüber sagen.
Wir haben im letzten Semester, haben wir definiert,
oder haben wir die reellen Zahlen eingeführt?
Einfach axomatisch, wir haben gesagt, die reellen Zahlen
sind ein
Äh... Angeordneter Körper, und er erfüllt das Vorständigkeitsextrem und so weiter.
Jetzt will ich ganz kurz darüber reden, wie man die reellen Zahlen konstruieren kann.
Wir haben jetzt sozusagen, natürlich Zahlen haben wir gewissermaßen konstruiert,
nein. Die natürlichen Zahlen haben wir auch actimomatisch eingeführt.
Wir haben gesagt, es gelten die Piano-Aktionen. Dann haben wir die ganzen Zahlen,
die haben wir eingeführt,
also die haben wir sozusagen konstruiert, die rationalen Zahlen,
die haben wir jetzt auch konstruiert und die Frage ist,
was passiert jetzt mit der reellen Zahlen, die können wir auch konstruieren.
Man muss sozusagen nur einmal die natürlichen Zahlen sozusagen deren Existenz fordern,
ja, und dann kann man von da aus loskonstruieren,
bis zu den reellen Zahlen hin und noch weiter,
das werden wir auch noch sehen.
Also, die Konstruktion, der Realzheim. So,
das ist der Rest sozusagen im Skript von Kapitel 8,
die Konstruktion der Realzahlen
Ich habe gerade eben schon gesagt, die reellen Zahlen,
die bilden mit plus mal kleiner, einen Angeordnetenkörper.
Die bilden einen angeordneten Körper, das wissen wir schon.
Wir wissen auch,
dass dieser anordnete Körper vollständig ist
So, was war die Vollständigkeit?
Da gibt es verschiedene Definitionen, aber wir können sagen,
jede Nicht-Lehre, Beschränkte.
Beschränkte Teilmenge.
Hat ein Zupremium
So, dieses Vollständigkeitsaxium, das gilt zum Beispiel in den rationalen Zahlen nicht. Ja,
was zum Beispiel, also eine Menge von rationalen Zahlen,
die beschränkt ist, aber die kein Supremum hat,
die kennen sie alle, nämlich wir nehmen die Zahlen,
ich schreibe das mal so hin,
also Beispiel.
Und wir betrachten mal einfach die Menge aller rationalen Zahlen
Ich mache das mal gleich aus Q Plus,
also aller rationalen Zahlen sozusagen größer als null.
Mit der Eigenschaft des Kuhquadrat kleiner als zweites.
Das ist nicht leer. Beschränkt. Und hat in,
Entschuldigung,
in Kuh
kein Supremo
Was war das zu Bremen? Das so Premium war die kleinste obere Schranke.
Wir gucken uns mal an, wie diese Menge da so ungefähr aussieht.
Das ist der Zahlenstrahl. Hier haben wir mal die Null.
Ja, da steht in Q Plus. Das heißt,
es sind nur Sachen drin, die größer als Q Plus sind.
Das heißt, es ist irgendwie so ein,
das fängt sozusagen da an. Und so dann,
was ist denn, also wenn wir jetzt hier Gleichheit hätten,
wenn wir Q Quadrat gleich zwei ist, dann wäre Q positiv.
Das wäre sozusagen Wurzel 2. Also hier irgendwo wurde die Wurzel 2
sitzen und diese Zahlen, die ich hier betrachte in meiner Menge,
sind sozusagen Zahlen, die zwischen null und wurzeln zwei liegen.
Und wenn ich jetzt das Supremum von dieser Menge hier ausrechnen wollte,
dann, also in reellen Zahlen, was ja vollständig ist,
da konnte ich das machen.
Und da kommt halt Wurzel 2 raus, aber Wurzel 2
ist eben nicht rational, das wissen wir ja.
Und man kann sozusagen auch direkt in Kuh zeigen,
dass diese Menge hier kein Supremum umarmen kann
Das ist nicht ganz so einfach, aber ich denke,
sie können sich das gut vorstellen. Diese Menge hat in Kuh kein Supremum.
Es gibt eben keine kleinste obere Schranke. Da ist ein Kuh,
hat einfach an dieser Stelle, die ich da haben möchte,
ein Loch, wenn ich etwas mache,
was ein bisschen größer ist als Wurzel 2,
eine rationale Zahl, die ein bisschen größer ist als Wurzel 2.
Dann kann ich eine kleinere rationale Zahl finden,
die immer noch nicht in der Menge ist.
Und umgekehrt, wenn ich in der Menge drin bin,
dann kann ich auch immer noch eine etwas größere Zahl finden,
die immer noch in der Menge drin ist.
Und an dieser Stelle, wo die Wurzel 2 eben eigentlich hingehört,
hat Kuh sozusagen ein Loch. Und die Frage ist,
was man jetzt in den reellen Zahlen machen oder wie man jetzt die reellen Zahlen konstruieren kann,
So, dass, wie kann man die reellen Zahlen konstruieren,
sodass diese Löcher von Kuh sozusagen gefüllt werden.
Und da gibt es zwei mögliche Konstruktionen, ja,
also Füllen der Löcher. Die erste Methode,
das sind die sogenannten Delkinsch-Schnitte, die der Kind, so.
Vom Karl, der hat Babykind verschnitten
Die Kindschaft. Schnitte, wie funktioniert das mit den
delikantischen Schnitten? Das funktioniert so. Und dass man...
Ich schiebe das mal ein bisschen auf hier.
Ein Delikinscher Schnitt funktioniert so, dass man sich hier,
hier stellt man sich die rationalen Zahlen vor.
Co. Und was ist ein delikinscher Schnitt? Ein Kuhen,
der die Kinscher Schnitt in Kuh ist einfach eine Menge von Zahlen,
die klein sind,
zusammen mit einer Menge von Zahlen,
die groß sind
So. Alle Elemente der kleineren Menge hier, also jede Zahl,
die hier in der Menge A drin ist,
ist kleiner als jede Zahl,
die in der Menge B drin ist.
Und die Vereinigung von A und B soll aber ganz cool sein.
Das heißt, es ist nicht so,
dass hier irgendwelche rationalen Zahlen ausgelassen werden.
Zum Beispiel Wurzel 2, hier spielt ein wichtiges Beispiel.
Sie können zum Beispiel hier alle Zahlen nehmen,
A,
alle rationalen Zahlen
Die entweder kleiner als null sind oder die größer als,
oder großer Gleichsnull sind und deren Quadrat kleiner als Wurzel 2,
äh als 2, Entschuldigung,
dann haben sie sinngemäß hier sozusagen alle rationalen Zahlen drin,
die kleiner als Wurzel 2 sind.
Und hier in B hätten sie dann,
also wenn sie das A haben, ehrlich gesagt,
dann ist das B, ist eindeutig bestimmt, wenn ich verlange,
dass A vereinigt mit B ganz cool sein soll.
Dann haben sie hier oben alle rationalen Zahlen,
die größer sind als Wurzel 2. Und sowas ist ein delikinscher Schnitt.
Und jetzt nehmen wir alle Delikinsch-Schnitte. Das heißt,
alle Paare von Mengen A-Komma B,
sodass alle Elemente von A,
kleiner sind als alle Elemente von B und
die Vereinigung von A und B
ist cool
Ja, für jede rationale Zahl kriege ich einen delekinischen Schnitt,
nämlich, indem ich sage, ich hebe mich in rationale Zahl.
Cool, jetzt gucke ich mir einfach alle Elemente an,
alle rationalen Zahlen an,
die kleiner sind als diese Zahl Kuh und alle Elemente hier,
die größer gleich dieser Zahl Kusel.
Dann habe ich für jede rationale Zahl, habe ich dann schon Delektion-Schnitt.
Da muss ich noch ein bisschen aufpassen, ja, ich möchte eigentlich vermeiden.
Also diese Konstruktion hier, wenn ich alle Zahlen nehme,
die kleiner sind als Kuh und hier alle, die größer Gleichkuh sind,
das sollte irgendwie das Gleiche sein wie, wenn ich nehme alles,
was kleiner Gleichkuh ist und alles, was echt größer,
cool ist.
Das sind technische Details. Wichtig ist, dass sozusagen diese Lücken,
die ich hier bei Wurzel 2 habe,
diese Lücke, die kann ich ja irgendwie beschreiben.
Ich kann die beschreiben durch die rationalen Zahlen,
die drunter sind und die rationalen Zahlen, die über der Lücke drüber sind.
Und diese Beschreibung von Lücken sozusagen, die nenne ich delekinische Schnitte.
Und was ich jetzt mache, ist,
und das ist irgendwie ein genialer Schachzug, ich sage,
was sind reelle Zahlen,
das sind einfach
diese delekinischen Schnitte
Ja, und jetzt muss ich darauf Multiplikation, Addition und
so weiter definieren. Das ist alles ein bisschen aufwendig,
kann ich aber machen. Und dann kriege ich etwas raus,
was größer ist als die rationalen, als die rationalen Zahlen.
Das sind eben die reellen Zahlen. Und die sind dann vollständig.
Und wenn ich dann nochmal diese Konstruktion hier machen würde,
jetzt mit reellen Zahlen statt von rationalen Zahlen,
würde ich nicht mehr mehr rauskriegen, sondern ich würde einfach,
sozusagen, das ist dann die reellen Zahlen sind dann voll,
wenn ich nochmal diese delikante Schnittkonstruktion auf die reellen Zahlen loslasse,
kriege ich nicht mehr mehr raus.
Gut, da gibt es noch
eine zweite Konstruktion
Und zwar ist die zweite Konstruktion. Zweite Konstruktion. Das sind
sogenannte Koshi-Folgen. Und hier passiert Folgendes, so ein ähnliches Phänomen.
Was ich ja hier zum Beispiel machen könnte, ist,
ich könnte versuchen, mir so eine Folge zu wählen von
rationalen Zahlen
Die sich immer näher an hier diese Obergrenze,
diese Wurzel 2, die aber generationale Zahl ist, annähert.
So, und diese Folge sieht sozusagen so aus,
als würde sie gegen Wurzel 2 konvergieren,
aber in Kuh ist ja das Wurzel 2, das ist ja da nicht drin.
Das heißt, diese Folge sieht aus,
als würde sie konvergieren, aber sie konvergiert nicht gegen,
kann nicht gegen Wurzel 2 konvergieren,
weil das keine rationale Zahl ist und ich rechne jetzt im Moment nur in der rationalen Zahl.
Und Kuschi hatte eine sehr gute Idee, die hatte eine Idee,
dass man Sie haben wahrscheinlich in der Schule alle Grenzwerte gesehen.
Ja, also diese Folge hier,
die hat in den reellen Zahlen, hätte ihnen Grenzwertwurzel 2,
aber in den rationalen Zahlen gibt es diese Wurzel 2 nicht.
Und was der Koschi gesehen hat, ist,
wie man eine Folge, wie man beschreiben kann,
dass eine Folge quasi konvergieren möchte.
Nur, dass das Problem ist, dass der Grenzwert irgendwie nicht so existiert.
Und diese Grenzwerte von Koschi-Folgen, die existieren aber in sozusagen größeren Mengen.
Also wenn ich in Q zum Beispiel Access habe,
ich habe ja diese Folge gebaut,
die in Q keinen Grenzwert hat,
aber in den Realzern hat sie
schon geerzählt
So, und was ich jetzt mache, ist,
dass ich einfach sage, okay,
wenn ich zwei Koshi-Folgen habe in den rationalen Zahlen,
die irgendwie gegen das Gleiche konvergieren sollten, so moralisch,
dann sage ich, die sind expivalent.
Und jetzt nehme ich einfach die Äquivalenzklassen von Koshi-Folgen.
Und das sind dann die reellen Zahlen. Das heißt,
ich sammle in gewissermaßen, was ich beschreibe, reelle Zahlen so,
ich gebe in den rationalen Zahlen eine Folge an,
die sozusagen gegen diese reelle Zahl konvergieren sollte.
Und alle anderen Folgen von rationalen Zahlen, die gegen das
Gleiche kombinieren sollten, die nenne ich Äquivalent zu dieser Folge.
Und dann sage ich, dieses Ding, dieses Objekt,
diese Äquivalenzklasse von Koshi-Folgen
Das soll meine reelle Zahl jetzt sein. So,
also sie sehen, das ist ein ganzes Stück komplizierter als das,
was wir bisher gemacht haben. Und es ist vor allem etwas,
was sozusagen auch weitaus mehr in der Nanalysis stattfindet.
Also das ist sozusagen viel mehr Analysis, als das,
was wir in diesem Semester eigentlich machen wollen.
Deswegen verschieben wir das auf das dritte Semester. Ja,
aber es gibt also durchaus eine Konstruktion,
wie man aus den rationalen Zahlen die reellen Zahlen machen kann.
Und wenn sie sich da ausreichend mit beschäftigt haben,
dann werden diese Konstruktionen auch gar nicht mehr so abstrus aussehen,
wie das vielleicht im Moment noch der Fall ist
Gut, damit lasse ich es erstmal sein für den Montag.
Und ich hoffe, dass sie sich auf dieses neue Format,
sie sich gut einstellen können.
Es wird sicherlich viele Ecken und Kanten geben,
die irgendwie noch ein bisschen ausgebessert werden müssen.
Und natürlich ist es so, dass auch meine Zeit limitiert ist.
Also sie haben gesehen, dass es so Stellen gibt,
wo ich stocke, die ich nicht rausgeschnitten habe und so weiter.
Das liegt einfach daran, dass man natürlich
zehn Stunden mit so einem Video verbringen kann
Aber die Zeit habe ich einfach nicht. Das heißt,
neben den ganzen anderen Sachen, die noch zu tun sind,
versuche ich einen guten Kompromiss zu finden zwischen vernünftig präsentiertes Video
und relativ unaufwendige, also zeitunaufwendige Erzeugung des Videos.
Ich möchte Sie bitten, immer wenn Sie so ein Video sehen,
gleichzeitig auch oder nicht gleichzeitig, sondern nachher, vorher,
wie auch immer, ins Skript zu gucken.
Im Skript steht das alles relativ genau drin. Und was
ich im Video mache, ist eigentlich nur zu erklären,
was im Skript passiert
Normalerweise können Sie Zwischenfragen stellen. Jetzt können Sie Fragen in Übungen stellen.
Am Montag um 15 Uhr können Sie mir direkt Fragen stellen.
Wir gucken mal, wie das alles funktioniert.
Ich wünsche Ihnen in jedem Fall ein schönes,
weiteres Semester, ein schönes und erfolgreiches,
weiteres Semester