Ich begrüße Sie ganz herzlich zu der ersten Vorlesung in Grundbildung,
Mathematik, in ihrer Algebra und analytische Geometrie.
Und wir fangen gleich an mit einem Thema, mit dem
wir im letzten Semester aufgehört haben, nämlich mit den rationalen Zahlen.
So, die rationalen Zahlen, die haben wir schon kennengelernt.
Wir erinnern uns noch ganz kurz, wie wir das Zahlensystem aufgebaut hatten.
Wir haben angefangen mit den natürlichen Zahlen und Gleichzeitig mit den natürlichen Zahlen
hatten wir den natürlichen Zahn zusammen mit der Null eingeführt.
Und in den natürlichen Zahlen beziehungsweise natürlichen Zahlen mit der Null,
da wissen wir schon, wir können addieren und wir können multiplizieren,
also wissen wir, wie das geht.
Aber wir können zum Beispiel nicht alle Subtraktionen ausführen.
Also es besitzt nicht jedes Element der natürlichen Zahlen,
besitzt ein Inversus bezüglich der Addition und deswegen haben wir den Zahlenbereich
hier nochmal weiter erweitert und sind auf die ganzen Zahlen gekommen und in den ganzen Zahlen besitzt jedes Element
ein Inversus bezüglich der Addition und deswegen können wir
Subtraktionen durchführen
Und in den ganzen Zahlen habe ich mir das gleich in
so ein ähnliches Problem wie vorher mit den natürlichen Zahlen.
Nämlich, wir können zum Beispiel nicht durch zwei teilen.
Eins geteilt durch zwei. Es gibt keine sinnvolle Zahl,
keine sinnvolle ganze Zahlen, die das Ergebnis dieser Rechnung sein könnte.
Und deswegen erweitern wir den Zahlenbereich nochmals und kommen auf die
rationalen Zahlen, die mit Kuh bezeichnet werden.
Und Kuh steht für Quotient und die rationalen Zahlen sollen Brüche sein.
Brüche ganzer Zahlen. Ja, wir gucken uns mal
anders zu sein
A, B, C, D. Die sind alle ganze Zahlen.
Und ich möchte haben, dass B ungleich null ist.
Und das D soll auch ungleich null sein.
Und wenn ich mir Brüche angucke, A,
geht halt durch B und C, Gitarr durch D.
Und ich stelle mir darauf vor, dass sie gleich sind,
dann wissen wir noch aus der Schule, wie man damit rechnet.
Man kann zum Beispiel Äquivalenzumformungen machen.
B und D sind beide von null verschieden.
Und deswegen kommen wir die Gleichung mit B und D
Wir könnten die auch mit null multiplizieren. Aber wenn die mit B und D multiplizieren,
wenn das jeweils Äquivalenzumformungen. Und was wir dann rauskriegen,
ist folgende Gleichung, wir kriegen raus, A,
mal D, ist das Gleiche wie zehnmal B. Ja,
wenn ich diese Gleichung multipliziere mit B,
dann kriege ich was raus und wenn ich das noch mit dem multipliziere,
dann kriege ich insgesamt raus A mal D,
da ich ziehe mal B und das war eine Äquivalenzumformung,
was wir gemacht haben.
Das heißt, die sind Gleichung hier unten,
die gilt genau dann,
wenn die
gleich unter oben gilt
Das heißt, man kann die Gleichheit von zwei Brüchen ausdrücken,
ohne dass man jeweils Brüche oder Division sagt,
sondern wir sagen einfach nur, der Zähler des ersten Buches,
mal der Nenner des zweiten Bruches oder das Gleiche sein,
wie der Zähler des zweiten Bruches,
mal dem Nenner des ersten Bruches.
Und dann haben wir sozusagen gesagt, waren diese beim Brötchen
gleich sein sollen. Das ist im Prinzip die Methode,
oder dass er sozusagen, das gibt uns eine Anleitung,
wie wir die rationalen Zahlen definieren können, rein formal.
So, und zwar machen wir das wie folgt.
Auf der Menge
Z-Kreuz, Z-Stern. Was soll das sein? Das ist
die Menge aller Paare A, Komma B. Wobei, A
, im Z liegt. Und B, in Z-Stern,
was ist Z-Stern, Z-Stern, ist Z, ohne die Null.
Wir betrachten diese Paare, also diese Menge von Paaren
und so eine Interpretation für so ein paar A, Komma
B soll sein, das soll stehen für den Bruch A
geteilt durch B. Und das ist der Grund,
warum wir hier für das B ausschließen,
dass das nur ist
So und auf dieser Menge definieren wir. Ich habe eine Äquivalent-Allation.
Schlank, nennen wir einfach nur Schlange. Und zwar definieren
wir die, indem wir sagen, das Paar A, Komma
B soll Äquivalent sein zu dem Paar C, Koma D.
Genau dann, wenn diese Gleichung gilt, die hier oben steht.
Genau dann, wenn A mal D gleich zehnmal Bier ist
So, und jetzt hatten wir im letzten Semester schon nachgerechnet,
dass das eine Äquivalenz-Relation ist, tatsächlich.
Also die ist symmetrisch und reflexiv und transitiv. Das müsste man
jetzt nachrechnen, aber das mache ich jetzt nicht noch einmal.
Und wenn wir das haben, dann können wir setzen,
Kuh soll sein, die Menge Z-Kreuz, Z-Stern,
faktorisiert nach dieser Äquivalenz-Relation Schlangen.
Ich bilde also den Faktorraum von Z-Kreuz, Z-Stern,
nach der Äquivalenz-Relationsschlange. Was war der Faktor? Das war
einfach alle Äquivalenzklassen, die Equivalenzklassen. Sie erinnern sich,
haben wir so mit eckigen Klammern geschrieben,
alle Äquivalenzklassen von Pan A,
Schlange. Wobei das Paar Akuma B. aus Z,
Kreuz, Z-Stern ist. So, das sind die,
das ist die formale Definition der Menge der rationalen Zahlenkuh.
Natürlich steckt da was hinter. Also die Vorstellung,
die wir haben, ist, wir betrachten so Paare A,
Koma B, wobei das B nicht null sein darf.
Und was bedeutet das, so ein paar A,
Koma B soll stehen für den Bruch A geteilt durch B.
Und jetzt wissen wir, dass wenn wir Brüche erweitern oder kürzen,
dann bleiben die Werte dieser Brüche gleich,
aber diese Zähner und Nenner der Brüche ändern sich natürlich.
Und die Idee hinter dieser Äquivalentsalation, Schlange ist genau,
dass Brüche, die den gleichen Wert haben sollten,
eben Äquivalent sind.
Und deswegen sind Brüche, Äquivalenzklassen von solchen Paaren.
Gut. Jetzt müssen wir darauf,
die Rechenoperationen definieren.
Definieren. Plus
Und mal. Auf Kuh. Und wie definieren wir,
dass wir sagen, okay, für A, B,
C, D. Aus. Z, Kreuz.
Z, Stern. Sei. Oder Seil. Okay,
wir müssen sagen, was ist A, Komma B,
in Klammern, davon, die Equivalenzklasse.
Ich lasse mal die Schlange da unten weg,
weil es ja klar ist, über welche Kriminellinstallation wir reden.
Plus Und C, Komma. D. Davon, die X-Rain
Ens Klasse. Was ist das? Jetzt habe ich natürlich
gleich mit der Adition angefangen. Die Adition,
das sind Wirklichkeiten ein bisschen schwieriger als die Multiplikation.
Wir erinnern uns mal kurz hier unten, wie das mit
den Burchen war. Erinnerung. Sie wissen das alles.
Erinnerung. Wie würde ich A geteilt durch B plus C
geteilt durch D rechnen? Das würde ich so machen.
Ich musste die erstmal auf den Hauptnenner bringen, auf den gemeinsamen.
Ich weiß jetzt nicht, was das kleinste gemeinsame Vielfache von B und D ist.
Das ist aber egal. Ich kann einfach die beiden
zusammen multiplizieren und dann habe ich eine Hauptnenner.
Das heißt, den ersten Bruch hier,
den erweitere ich mit
Entschuldigung. B, mal D. Den ersten Bruch erweitere ich mit D.
Und den zweiteren, zweiten Bruch erweitere ich mit B. So,
und jetzt habe ich hier in beiden Fällen B,
die unten stehen, ich kann die beiden Brüche addieren.
Das heißt, da kommt einfach raus AD plus CEB
geteilt durch B. D. So, und diese Formel hier,
die gibt mir die Motivation, dafür zu definieren,
was hier bei dem Plus rauskommen sollte.
Nämlich, ich gehe hin und sage,
okay, da sollte rauskommen,
ich darf jetzt nicht das Buch schreiben jetzt an dieser Stelle,
da sollte rauskommen A mal
Plus C mal B, das ist der Zähler des Bruches.
Komma, und was ist der Nenner des Bruches?
Der ist B mal D. Und davon die Equialence-Klasse. Auf
diese Weise definiere ich das Plus von Brüchen. So,
und jetzt sehen Sie schon, also, wir,
dieses Paar, A, Komma B und davon die Äquivalenzklasse,
das soll sozusagen stehen für den Bruch argetal durch B,
das werden wir gleich noch definieren,
wenn wir das formal so definieren,
wenn wir fertig sind mit diesen Betrachtungen über Plus und Mal
So, was wir jetzt eigentlich zeigen müssen,
das spare ich mir auch, weil wir das im letzten Semester gemacht haben.
Wir müssen eigentlich zeigen, dass plus ist wohl definiert.
So, was hieß das? Wohl definiert zu sein für so
eine Operation. Das heißt, diese Definition da oben,
ja, die Definition, das ist ja eine Definition für Äquivalenzklassen, Von Paaren.
Und wenn ich hier die Äquivalenzklasse hinschreibe und hier die Äquivalenzklasse,
dann könnte ich ja folgendes machen.
Ich könnte hier dieses A, B durch einen A-Strich-B-Strich ersetzen,
was die gleiche Äquivalenzklasse beschreibt.
Genauso könnte ich hier dieses CED durch ein anderes PC-Strich ersetzen,
was auch die gleiche Äquivalenzklasse beschreibt.
Und dann hätte ich hier eine andere Zahlen drinstehen und
dann würde ich auf dieser Seite was anderes rauskriegen.
Also das Paar, was hier steht,
wäre dann sozusagen
ein anderes
Und was ich zeigen muss, ist aber,
dass trotzdem die gleiche Äquivalenzklasse hier drüben rauskommt.
Denn ich definiere ja hier das Plus von zwei Äquivalenzklassen.
Und das darf nicht davon abhängen, welche Zahlen ich da reinschreibe,
sondern es darf nur davon abhängen, welche Äquivalenzklassen waschen.
Ja, also dieses Plus ist wohl ist wohl definiert.
Was heißt das? Die Definition hängt nicht.
Nicht von der Wahl der Repräsentanten
Von der Wahl der Repräsentanten. A, B. Und C
, Komma D. Ich mache mal ganz ausführlich der Äquivalenzklassen.
Von diesem Power B. Und C,
Komma D.
Gut. Genau das Gleiche, oder etwas Analoges,
haben wir natürlich für das Mal auch.
Ja, wir setzen nämlich die Äquivalenzklasse von A,
Komma B. Mal, Experimenzklasse von C, Komma D.
Wie definieren wir das? Das sepinieren wir einfach,
wie folgt wir multiplizieren, die beiden Dinger,
die für den Nenner stehen, ja,
A und C, für den C da stehen,
entschuldigen sie.
Und wir multiplizieren die beiden Sachen,
die im Nenner stehen und wen wir davon liefern
So, jetzt müssen wir hier wieder als Erinnerung wieder oben hinschreiben.
Natürlich, wenn die sie in den Bruch haben,
arget halt durch B und multiplizieren den mit C geteilt durch D.
Was kommt da raus daran natürlich? A mal C geteilt durch
B mal D raus. Ja, und dass hier dieser Bruch,
der entspricht sozusagen in der Äquivalenzklassenschreibweise, ist das genau das hier.
Das heißt, diese bekannte Formel benutzen wir, um zu definieren,
was das Produkt von zwei solchen Äquivalenzklassen sein soll.
Ja, und dieses hier wieder oben Da müssen wir zeigen
. Mal ist wohl definiert. Moi definiert. Ja,
das heißt also, wenn wir hier die Äquivalenzklasse gleichlassen,
aber das Paar A, B ersetzen durch irgendwas,
was die gleiche Äquivalenzklasse repräsentiert, dann kommt da genau das Gleiche.
Also und hier genau das Gleiche machen, ja,
wenn wir hier C,
Koma D durch C-Strich ersetzen und C-Strich und D-Strich repräsentieren die gleiche Equivalenzklasse,
dann muss hier drüben, auch wenn das Paar,
was hier steht,
was anderes ist,
muss die Äquivalenzklasse wieder
das Gleiche sein
Gut, das haben wir auch letztes Semester schon bewiesen.
Ich glaube, das wäre gut, wenn sie nochmal versuchen,
diesen Beweis nachzuvollziehen, damit sie einfach sehen,
was da gemacht wird.
Gut, so und jetzt haben wir, also,
wir haben Kuh definiert und auf Kuh haben wir Plus und
Mal definiert.
Definiert. So,
jetzt meine Schreibweise
Schreibweise für A und B aus Z. Mit Beeten gleich Null
. Schreiben wir. A, geteilt durch Bee.
Für die Äquivalenzklasse von dem Paar A, Commabe
Dazu dich der Referenzrenlationsschlange. Das heißt, was wir jetzt machen,
ist, wir benutzen diese Bruchschreibweise, die wir alle intuitiv sehr gut verstehen.
Und benutzen die als sozusagen Abkürzung für das,
was hier steht, als Abkürzung für die Äquivalenzklasse bezüglich der Äquivalenzrenlation Schlange
von dem Paar A. Komma B. Okay.
So, und jetzt rechnen wir Folgendes nach.
Wir rechnen nach. Co. mit Plus Mal.
Das ist ein Körper
Ein Körper. So, in einem Körper brauchen wir ja verschiedene Sachen.
Also wir wissen, wie sie erinnern sich, was wir da brauchen.
Also plus ist eine assoziative Verknüpfung. Mal ist eine assoziative
Verknüpfung. Die erfüllen beide das Kommutativgesetz und so weiter.
Das ist alles relativ einfach nachzurechnen in diesem Falle.
Zu der Vollständigkeit halber erwähnen wir mal, bei den Körperaktionen
steht ja auch, es muss gewisse neutrale Elemente geben.
Es muss ein neutrales Element bezüglich Plus geben.
Es muss ein neutrales Element bezüglich Mal geben
Ich empfehle Ihnen an dieser Stelle vielleicht nochmal ein Skript vom
letzten Semester zu gucken, was ein Körper ist.
Einfach nur, damit sie da sich wieder dran erinnern.
Das neutrale Element bezüglich Plus, was ist das?
Das ist einfach der Bruch null geteilt durch eins.
Ist. Das Neutrale. Element. Bezüglich Plus. Eins
geteilt durch eins ist Das Neutrale. Element. Bezüglich mal
. So, das rechnen wir jetzt auch nicht nach.
Das haben wir alles schon im letzten Semester gemacht. Wichtig ist,
dass Sie sich daran erinnern, diese Darstellung von diesen Brüchen
als nur geteilt durch eins oder eins geteilt durch eins,
die ist überhaupt nicht eindeutig.
Ja, also statt eins geteilt durch eins können die auch zwei geteilt
durch zwei nehmen oder drei geteilt durch drei oder minus 75 geteilt durch minus 75.
Und genauso statt null geteilt durch eins kann ich
auch null geteilt durch eine Million nehmen
Die sind alle sozusagen, die null oben haben und wo
unten irgendwas steht, die sind alle zueinander exquivalent.
Und wo oben das Gleiche steht wie unten, die sind auch alle zueinander.
Ich war alle. Gut. Okay, also das ist
ein Körper, das ist neutrale Element bezüglich plus.
Das ist das neutrale Element bezüglich mal.
Dann können wir noch ausrechnen, was sind inverse Elemente?
Ja, das zu. A, geteilt durch B. Inverse
Element, das muss ich sagen, bezüglich welcher Verknüpfung bezüglich Plus,
das können sie auch leicht ausrechnen, lautet minus A geteilt durch B.
So, jetzt müssen wir aufpassen. Das ist klar,
was das ist. A, ist eine ganze Zahl.
B ist eine ganze Zahl. Das kann ich aus der
ganzen Zahl A, kann ich die ganze Zeit Minus A machen.
Funktioniert wunderbar. In Z kann ich das machen. Und
ich kann den Bruch minus A geteilt durch B betrachten.
Eine leichte Rechnung zeigt tatsächlich, ist argetal durch B
plus minus A geteilt durch B.
Das ist gleich Null.
Aber, wir können jetzt folgendes setzen, wir setzen oder beziehungsweise setzen,
weiß ich nicht, also es ist folgendes, dass dazu Negative,
das ist ja aber das inverse Element bezüglich Plus, minus A,
natürlich das, das ist einfach dieses Jahr. Ja,
also sie können entweder sagen, wir definieren minus A getal durch B,
wobei das minus ihr vorsteht, vor dem Bruchstrich steht,
das definieren wir als minus A getal durch B oder wir können aber auch so sagen,
ihr könnt sagen, wir haben nachgerechnet,
dass minus A Also so minus A,
die beiden zusammen oben auf dem Bohrstrich,
geteilt durch Baby, können, haben nachgerechnet,
dass das das bezüglich Plus inverse zu A,
geteilt durch B ist.
Und deswegen ist es berechtigt, dass wir das Minus und
dann den Bruch A geteilt durch B nennen.
Für die Multiplikation haben wir sowas ähnliches, ja.
Falls. A, Ungleich null. Dann ist B
geteilt durch
Das zu A, getallt durch B. Inverse.
Bezüglich Mal. Was heißt das? Das heißt,
dass das Inverse bezüglich Multiplikation schreibe ich ja immer mit hochminus eins.
Das heißt, A, geht halt durch B, hochminus eins.
Das ist einfach B, getallt durch A. Wieder etwas,
was sie schnell nachrechnen können,
was wir jetzt hier nicht machen,
das ist mehr oder weniger nur als Erinnerung gedacht
So, und damit haben wir jetzt die rationalen Zahlen eingeführt.
Wir haben plus und mal auf den rationalen Zahlen definiert.
Wir haben nachgerechnet, das ist tatsächlich ein Körper.
Und wir wissen, wie das neutrale Element bezüglich plus,
wie das neutrale Element bezüglich mal aussieht. Wir wissen,
wie man zu einem Bruch den negativen Bruch ausrechnet,
nämlich indem man einfach oben den Zähler mit einem negativen Vorzeichen versieht oder das Vorzeichen,
das Teelers ändert, so soll ich sagen.
Und wenn ich einen Bruch habe,
wo der Zähler nicht null ist,
dann kann ich davon den Kehrwert bilden und ich rechne nach,
dass das genau das Inverse davon von dem Bruch
bezüglich mal
So. Und das war auch nicht die ganze Vorlesung,
aber das ist das erste Video.
Wir machen gleich weiter mit der Ordnung auf den ganzen Zahlen
, auf den rationalen Zahlen,