Herzlich willkommen zum bereits dritten Termin in der Strukturchemie.
Kleine Wiedereingewöhnung an das Thema. Eine Woche ist ja immer
ein relativ langer Zeitraum. Womit hatten wir uns befasst beim letzten Mal?
Wir hatten uns befasst, wie und in welcher sinnvollen Art
und Weise wir Elementarzellen bestimmen, aufstellen und dergleichen mehr.
Und das ist hier noch einmal zusammengefasst.
Es gibt im Prinzip drei Grundsätze, zunächst mal möglichst klein.
Das heißt möglichst kurze Gittervektoren und Symmetrie des Kristalls oder
des Kristallgitters soll sich in der Elementarzelle widerspiegeln.
Und das heißt, wir suchen solche Geravektoren,
die entweder parallel zu Symmetrie-Achsen verlaufen oder senkrecht zu Symmetrie-Ebenen, Spiegelebenen verlaufen.
Und wenn wir es nicht gerade mit dem sehr sonderbaren,
trigonalen und hexagonalen Kristallsystem zu tun haben,
mit dem wir uns heute auch noch ausführlich befassen werden,
dann heißt das nichts anderes, als dass man möglichst nach orthogonalen Achsen sucht.
Okay, und ja, wir hatten den ersten Fall besprochen,
in dem selbst die primitive Elementarzelle all diese Bedingungen erfüllt gewissermaßen.
Nämlich hier, rechtwinklig, kurze Gittersektoren.
Deshalb ist die Elementarzelle eins allen weiteren Möglichkeiten vorzuziehen.
Und dann hatten wir aber einen Fall besprochen,
nämlich den hier, wo sämtliche primitive Elementarzellen schiefwinklig sind.
Und es gibt zwar eine hier, die Nummer zwei,
die zwar auch die Symmetrie des Gitters erkennen lässt,
aber es gibt eine bessere,
und das ist die hier mit drei gekennzeichnete Elementarzelle,
das ist eine zentrierte Elementarzelle,
denn hier sind zwar die Gittervektoren länger,
aber wir haben einen rechten Winkel
Und das ist das Entscheidende hier. Die Symmetrie kommt etwas besser zur Geltung,
tritt besser zu Tage bei diesen zentrierten Elementarzellen. So,
und als kleine Übung hatte ich ihn optional gewissermaßen als Hausaufgabe hier,
dieses Muster mal mit auf den Weg gegeben.
Und da sollten sie mal nach möglichen und sinnvollen Elementarzellen suchen,
zunächst mal ganz gleich, ob zentriert oder nicht,
ob kleinstmöglich oder größtmöglich.
Und das erste war ja eigentlich schon offensichtlich gewissermaßen,
dass diese Punkte nämlich keine Gitterpunkte darstellen.
Warum kann das
keine Gitterpunkte sein
Ja. Wir sind nicht alle voneinander an regelmäßigen Abständen. Ja,
und wenn Sie das mit Hilfe von Gitter Vektorn ausdrücken müssen,
also der nochmal zur Wiederholung,
die sind alle nicht in einem gleichmäßigen oder regelmäßigen Abstand zueinander,
diese Punkte, stimmt.
Und wenn Sie das mit Gitter Vektoren ausdrücken müssten.
Wir haben ja eine zweidimensionale Anordnung und deshalb haben wir im Prinzip
auch irgendwie ein zweidimensionales Gitter und für die Beschreibung dieses Gitters
brauchen wir zwei Gitter Vektoren
Und wenn man jetzt sich anfängt, ein paar Gitter-Vektoren hier herauszusuchen,
das habe ich immer gemacht, dann sieht man Folgendes.
Das könnte zunächst ja mal ein Gitter-Vektor sein und das auch,
weil sie zwei Punkte ineinander überführen.
Hier auch noch in einem rechten Winkel zueinander angeordnet sind.
Aber dann, wenn man es fortführt,
dann sieht man, dass natürlich die weitere Translation eingemäß,
dass sich dieses Gitter-Vektors im Niemandsland landet und deshalb können das keine Gitterpunkte darstellen.
Okay, so, jetzt bin ich gespannt auf Ihre Antworten.
Was haben Sie herausgefunden? Wie könnten mögliche Elementarzellen
hier verlaufen
Ja. Äh... Diese hier. So. Um wie viele davon?
Vier von den vieren. In einem Quadrat. Also,
man sieht hier, gewissermaßen diese Vierer-Anordnung,
die aber alle irgendwie chief zueinander angeordnet sind.
Und deshalb ist es nicht ganz unvernünftig.
Vier davon zu nehmen und das als Wiederholeinheit zu wählen.
Das sieht man relativ schnell. Und das habe ich hier
auch mal gemacht. So sieht das dann aus
Und wenn das eine Elementarzell ist,
dann können wir ja das gesamte Muster reproduzieren,
indem wir die Elementarzellen aneinanderlegen, in den beiden Richtungen des Gitters.
Und das passiert hier auch. Nun stellt sich aber raus,
das kann ich Ihnen schon mal so sagen,
dass das nicht die kleinsten mögliche Elementarzelle ist,
das hier ist bereits eine zentrierte Elementarzelle.
Hat jemand eine kleinere Elementarzelle gefunden?
Eine primitive. Niemand ist auch nicht so ganz trivial.
So sieht sie aus. Wie
viele Punkte umfasst Sie noch
Genau, die Hälfte. Und zwar diese acht Punkte,
die hier so gewissermaßen auf einer Elipse liegen.
Und auch das ist natürlich eine Elementarzelle,
denn wir können durch Toures aneinanderfügen in den beiden Richtungen von Gitterweckton.
Das gesamte Muster reproduzieren. Und diese kleinstmögliche Elementarzelle ist schon rechtwinklig,
also besteht keine Notwendigkeit, eine größere zu wählen.
In diesem Fall wäre also die kleinstmögliche, die Primitive,
tatsächlich die beste Elementarzelle.
Jetzt müssen wir uns noch ein bisschen darüber unterhalten,
wie ist eigentlich
das Verhältnis von Motiv zu Gitterpunkt
Und da hatten wir beide uns, glaube ich,
letztes Mal auch schon so ein bisschen drüber unterhalten.
Gewöhnlich sagt man, naja,
die Gitterpunkte liegen an den Ecken, an der Elementarzelle.
Und das wird auch meistens so gemacht. Aber es besteht eigentlich
keine puren Notwendigkeit dafür. Ich könnte zum Beispiel sagen,
wenn es nicht um eine primitive Elementarzelle handelt,
dann muss natürlich genau ein Gitterpunkt in dieser Elementarzelle liegen.
Also könnte ich ja sagen, das da ist mein Gitterpunkt.
Mitten im Zentrum der Zelle, was repräsentiert dieser Gitterpunkt?
Naja, die gesamte Basis, das gesamte Motiv.
In diesem Fall diese acht Punkte, die auf dieser Elipse liegen.
Sie sind gewissermaßen zusammengeschmolzen im Zentrum dieser Zelle
Und weitere Gitterpunkte kommen in dieser Zelle nicht vor.
Man könnte natürlich auch sagen, in dem konventionellen Bild
Gitterpunkte liegen immer an den Ecken, dass wir das Ganze so machen.
Wie viele Gitterpunkte haben wir in der Zelle? Jeweils ein Viertel.
Also genau, ein Gitterpunkt. Insgesamt. Und ein Gitterpunkt,
ein Viertelgitterpunkt, repräsentiert natürlich jetzt nur noch ein Viertel des Motivs.
Und damit genau zwei dieser Pünktchen, Kügelchen, Atome.
Okay. Wie sieht es bei der Zentrierten aus?
Naja. Dann haben wir wohl offensichtlich Hier,
den zusätzlichen, geht der Punkt im Zentrum dieser Zelle,
der genau diese acht Pünktchen repräsentiert und wir haben zusätzlich an den Ecken welche,
die gehören natürlich immer zu viel elementar sein gleichzeitig.
Deshalb im Prinzip immer nur wieder ein Viertel für die eine dort dargestellte Elementarzelle.
Das wäre das zentrale Motiv und da wiederholen sich die Einheiten an den Eckpunkten.
Sie sind nicht einverstanden? Doch. Gut. Soweit dazu. So,
und dann hatten wir Uns mit den Bravelke dann beschäftigt.
Also, wir untersuchen jetzt eigentlich prinzipiell sämtliche verschiedenen Möglichkeiten.
Gitter im dreidimensionalen Raum überhaupt aufzustellen. Und dann haben wir
nicht nur die sieben kleinstmöglichen Gitter, Maschengitter, Elementarzellen,
sondern wir kommen zu insgesamt sieben weiteren zentrierten Gittern.
Und da gucken wir uns an,
was gibt es für Arten der Zentrierung?
Klar, nichts zentriert, hat aber ein eigenes Zentrierungssymbol,
nämlich P für Primitiv.
Dann gibt es
das einseitig flächenzentrierte
Einer Fläche, jeweils ein Gitterpunkt mehr. Und das ist üblicherweise,
wenn man sich das auswählen darf, die Fläche C,
manchmal auch die Fläche A oder B, das ist nicht verboten.
Und die Fläche C wird ja durch die Gittervektoren A und B
bestimmt. Dann gibt es den Innen beziehungsweise raumzentrierten Typen,
Zentrierungssymbol ist I und es gibt den allseitig flächenzentrierten Typ F.
Wie viele Gitterpunkte Prozelle haben wir? Das können wir schnell
uns erarbeiten, primitiv, hatten wir eben schon gesagt,
an jeder Ecke. Jetzt sind dreidimensional ein Achtel Gitterpunkt,
macht also achtmal ein Achtel, wenn Man könnte es so ausdrücken,
jeder Gitterpunkt gehört zu acht Elementarzellen gleichzeitig.
Und deshalb ist nur dieses eine Achtel zu einer Elementarzelle zugehörig.
Einseitig flächenzentriert, haben wir natürlich den einen Punkt von eben,
achtmal ein Achtel an der Ecke.
Und wir haben jeweils zwei halbe zusätzlich,
macht er also zwei Gitterpunkte pro Elementarzelle. Jetzt wissen wir,
die einseitig flächenzentrierte Elementarzelle muss doppelt so groß sein.
Ja. Als dieser Begriff zum ersten Mal auftauchte,
geht der Punkt,
das wurde es ja erstmal so als Gedankenanfangskurs
Wie eingeworfen wird. Also es sind einfach Europäer und Periode schauen.
Jetzt fängt es aber an, irgendwie einen Zusammenhang zwischen den
Anzahlen von irgendwie Atom oder die Ruhe irgendwie, um das beizugeben.
Ja, der Zusammenhang. Oder bastelt man sich das dann
schon so schlecht? Ja, also die Frage ist,
nach dem Zusammenhang nochmal zwischen Gitterpunkt und Basis oder Motiv?
Was stellt dieser Gitterpunkt dar? Und das ist von Fall
zu Fall natürlich verschieden. Es gibt Monekülkristalle zum Beispiel,
da besteht das Motiv, Und damit der Gitterpunkt aus einem Monekül.
Zum Beispiel beim Zoll Monekül. Und dann gibt es solche,
wo ein Gitterpunkt zwei Moneküle repräsentiert. Oder drei Johnsorten gleichzeitig
. Nichtsdestotrotz können wir das immer darauf zurückführen, dass wir
diese Anordnung haben. Und das heißt jetzt nicht,
dass, wie wir eben schon gesehen haben beim zweidimensionalen Beispiel,
tatsächlich hier ein Atom setzen müsste oder eine Atomgruppierung.
Das nicht
Ja, vielleicht machen wir das relativ zum Ende dieser Vorlesung nochmal,
dass ich ein ganz konkretes Beispiel ihn raussuche und wir versuchen uns dieses Verhältnis nochmal zu erarbeiten.
Tatsächlich kann man sich reale Kristallstrukturen anguckt, denkt man so,
ja, wo ist da jetzt ein Gitterpunkt?
Den findet man nicht, auf der Ecke der Elementarzelle
setzt meist gar nichts, zumindest bei organischen Molekülkristallen.
Und wie ist dieses Feld? Es ist tatsächlich nicht einfach
zu erfassen. Aber wenn man zunächst mal festhält,
jeder Gitterpunkt stellt ein Motiv dar,
nur es ist nicht ganz klar, wie das Motiv aussieht,
also es ist aus einem Molekül,
zwei Molekül,
drei Jugendsorten besteht
Was wollte ich sagen? Habe ich vergessen. Genau. Dann ist zumindest mal klar,
bei der Wahl der Elementarzelle und des Gitters,
wie viele dieser Motive fasse ich zusammen,
um diese Metrie des Gitters bestmöglich nahezustellen.
Okay, wir waren bei der Zahl der Gitterpunkte pro Elementarzelle
, fehlt natürlich noch das innen- und flächenzentrierte innenzentriert.
Klar, dieser zusätzliche Gitterpunkt im Innern der Elementarzelle
gehört natürlich vollständig nur zu dieser einen Elementarzelle.
Deshalb zwei Gitterpunkte insgesamt hohe Dementarzelle
Oder flächenzentriert, das ist auch klar. Vom einenseitig
vielleicht einen zentrierten, abgeleitet hatten wir ja zusätzlich ein.
Jetzt haben wir sechs Flächen, macht also drei zusätzlich Sinn.
Vier Gitterpunkte pro Elementarzelle. So, jetzt ist so
ein kleines Rätsel eigentlich entstanden. Wir haben kennengelernt,
die sieben Kristallsysteme, zu denen sieben primitive Gitter gehören.
Jetzt haben wir vier Abende Zentrierung, primitiv,
einseitig Flächen, inzentriert, allseitig Flächen zentriert.
Und trotzdem sagt, oh Güstbrave,
das ist nur 14 prinzipiell verschiedene Gittertypen im Dreidimensionalen
Raum gibt. Das müssen wir uns erklären. Zunächst will
ich Ihnen mal zeigen, so sehen Sie aus.
Das sind alle denkbaren 14. Bravel-Gittertypen. Und die sind hier
in einer Art Anordnung, Spalte, Zeile, dargestellt.
Hier sind die Kristallsysteme und in den Zeilen sind die entsprechenden Zentrierungstypen
und offensichtlich sehen wir, dass da einige Lehrstellen sind.
Es gibt nicht zu jedem Kristallsystem jede Art der Zentrierung.
Es sind Lehrstellen vorhanden
Kleine Vorwegnahme, wenn sie die Gitter durchzählen,
dann werden sie auf 15 kommen.
Und das liegt daran, dass hier so ein Doppeleintrag ist.
Da kümmern wir uns gleich drum. Und dann gibt es
noch so einen speziellen Fall der Innenzentrierung, der nennt sich R-Zentrierung.
Das wird auch noch im Rahmen dieser Vorlesung behandelt. Okay,
also, es gibt nur 14 prinzipiell verschiedene Arten von Gittern.
Die Frage ist, warum? Haben Sie eine Idee?
Obwohl wir eigentlich 28 erwarten. Ja,
zum Beispiel das aus geometrischen Gründen
Tschüss. Ja, das ist ja, also weil das
schief ist, kann der ja nicht selber dezentrieren.
Also im Prinzip angeführt wurden Beispiele, zum Beispiel bei den Chief-Winklingen,
sehr Chieflingen gegen Kristall, es ist dem Triclin, Monoclin,
kann es doch aus Symmetriegründen nicht noch zusätzlich was im Zentrum geben.
Gucken wir uns ein Beispiel an, ob das stimmt,
aber der Hinweis, dass die Symmetrie ganz entscheidend ist,
ist völlig richtig.
Bestimmt ja, Kristallsysteme erlauben nicht zum Beispiel die einseitige Flächenzentrierung.
Das kubische Kristallsystem erlaubt keine einseitige Flächenzentrierung.
Das zu zeigen ist relativ langwierig. Deshalb sparen wir uns
das. Aber es gibt noch einen zweiten Grund,
warum wir nur 14 brauchen eher sie, ja? Ja,
ich wüsste jetzt kein genaues Beispiel, aber zum Ende sagen,
dass es praktisch dasselbe ist, wie was anderes.
Es ist dasselbe, wie wir schon haben, obwohl,
ja, also das ist fasst es ganz gut zusammen im
Prinzip und das Stichwort dafür ist, Redundanz.
Lateinisch, im Überfluss vorhanden, überzählig. Und das heißt,
dass bestimmte Gittertypen ineinander überführbar sind und damit nichts Eigenständiges darstellen.
Diese 14 bezieht sich auf die Eigenständigkeit,
auf die prinzipielle Unterscheidbarkeit von Gittertypen. Ja,
und das Zweite wurde schon auch genannt, aus den Metriegründen ist,
sind einige Gittertypen nicht oder einige Zentrierungen nicht möglich.
Wir gucken uns mal für die Redundanz.
Ein Beispiel an. Es gibt natürlich das primitive tetrabonale Gitter
Jetzt fragen wir uns, bräuchte man das allseitig flächenzentrierte Ted-Dragonale,
Kristallsystem oder Gittersystem oder können wir es vielleicht nicht überführen in ein anderes,
in eine andere Art der Zentrierung?
Was jetzt also machen müssen, geistig ist,
sich in diesem Gebilde eine neue Fläche zu suchen, aus Gitterpunkten,
die dreidimensional im Geiste zu erweitern und dann zu erkennen,
ah, man könnte es auch als,
ja,
andere Zentrierungsart auffassen
Ideen. Achso, hiervor, ne?
Ja, jetzt musst du mal. Ja. Also,
neue Grundfläche soll sein, dass hier.
Ja. Und jetzt ist das vielleicht perspektivisch etwas komisch gezeichnet.
Petrogonal heißt ja eigentlich A gleich B. Das sieht ja so
ein bisschen recht, wirklich ein bisschen wie ein Rechteck aus,
soll aber eigentlich ein Quadrat sein.
Genau. Jetzt sieht man das auch vielleicht deutlicher.
Das ist nämlich auch ein Quadrat,
wenn das
ein Quadrat ist
Und dann haben sie den noch dazugenommen und das nach oben verlängert.
Und dann haben wir was für einen Zentrierungstypen vorliegen.
Eine Inzentrierung. Da ist sie eingezeichnet. Ganz genau.
Tertrogonal inzentriert. Beide Zentrierungen sind möglich. Aber da sie
ineinander überführbar sind, sind sie nicht prinzipiell voneinander verschieden.
Zweites Beispiel, Monoclin, es gibt natürlich das Primitiv-Monokline.
Jetzt kommt ihr Beispiel, können wir dort einen Gitterpunkt in
der Mitte zusätzlich einführen?
Ja, kann man. Bist symmetriemäßig erlaubt. Aber wie
könnte man es vielleicht in einen weiteren Zentrierungstyp umwandeln
Ja. Aha, also das hier soll weitergehen, ja,
und dann wäre das jetzt ja zunächst mal nur eine Kante,
also von diesem Gitterpunkt im Zentrum,
zum nächsten wäre nur eine Kante.
Wie mache ich daraus eine Fläche?
Wie, was? Ach so, ja
Ah ja. Ja, das können Sie ja zum nächsten Mal
vielleicht mal zeichnen. Vielleicht ist das auch eine Möglichkeit.
So weit reicht mein Vorstellungsvermögen gerade auch gar nicht.
Wir werden das beim nächsten Mal durchspielen.
Also die Möglichkeit habe ich nicht gefunden. Ich habe aber
was anderes, ja.
Aus acht Mittelpunkten
Aha. Mit dem anderen Winkel, ne? Ja.
Das kann gut sein. Auch das werde ich nochmal nachgucken.
Hätten wir also inzentriert, war bei Ihnen auch inzentriert?
Ja. Noch eine Möglichkeit? Ja. Wie denn?
Was flächenzentriert ist? Einseitig oder allseitig? Ja. Durch
den Punkt, was
Ja. Ja, das ist jetzt doch eine ganz gute Idee. So,
die beiden verbinden,
also gewissermaßen die Diagonalfläche hineinlegen und dann ist der hier genau auf der Fläche und dann,
wenn wir das im Geiste fortführen, dann sieht man,
das ist einseitig vielleicht zentriert und mit der entsprechenden richtigen Wahl der Gittervektoren ist das dann üblicherweise zentriert,
monoklinc zentriert und auch diese beiden Stellen deshalb kann er prinzipiell unterschiedlichen Gittertypen da.
Was hat sich geändert zwischen diesem und diesem?
Also außer der Art der Zentrierung, jetzt von der Metrik.
Ja. Der Winkel ist ja größer, kleiner.
Also, wir haben ja rechte Winkel hier und hier hier.
Also, das heißt, wir müssen diesen Winkel hier betrachten
im Vergleich zu diesem hier
Ist fast fast identisch, würde ich sagen. Ist auch nicht
so entscheidend. Wichtig ist, ja, er kann sich ändern.
Und deshalb gibt es eine Präferenz bei den Cristalographen, die wählen,
also die wiederum vielleicht vorausgeschickt, das ist natürlich nicht verboten.
Den Typen gibt es tatsächlich. Und welche Zentrierung wählt man,
jetzt bei einer Kristallstrukturanalyse zum Beispiel, eigentlich diese,
wo der Winkel, der schiefe Pinkelwetter näher 90 Grad ist,
also möglichst nicht schief.
Und das kann man ab und zu erreichen,
indem man entweder den 10-zentrierten in den innenzentrierten oder den innenzentrierten
in den C-zentrierten
Okay. So, und jetzt, wahrscheinlich sogar den Rest
der Stunde, befassen wir uns mit dieser Spalte.
Die ist sehr interessant. Hext aber nur altrigonal, romboide
Zentrierung. Und ich möchte das ein bisschen ausführlicher machen,
weil doch häufig darüber so hinweggegangen wird. Und diese Kristallsysteme
aber sehr schwierig zu verstehen sind, zu erfassen sind.
Deshalb nehmen wir uns dafür ein bisschen Zeit. Okay.
Für das Hexorginale Kristallsystem gucken wir uns nochmal die Hexorgonalprimitive Elementarzelle an,
die wir ja im Prinzip abgeleitet hatten,
aus der Dreiteilung eines solchen hexagonalen Christmas mit den Kantenlängen A
gleich B und einem eventuell unterschiedlichen C und einem Winkel von 120 Grad.
Und diese vier Aspekte möchte ich im Prinzip durchgehen,
wobei wir zusammen nur diese drei besprechen und das vierte
können sie sich vielleicht mal zu Hause selbst überlegen.
Und der erste Aspekt ist, zu wie viel Elementarzellen gehört das zentrale Atom?
Also wir setzen jetzt die Gitterpunkte durch konkrete Atome und fragen uns,
wenn wir jetzt hier nochmal drauf sehen, sehen wir so etwas hier.
Das ist ja eine primitive Elementarzelle von oben gesehen.
Und wir fragen uns, zu wie vielen Elementarziellen gehört dieses Atom,
was da gewissermaßen in der Mitte des Sterns, des Mercedes-Sterns sitzt?
Ja, sechs. Wie kommen Sie drauf
Ja, und dieses Eckatom gehört zu drei Rauten,
sagen sie hier, in der Ebene,
und da wäre dreidimensional, denken müssen,
müssen wir natürlich hier noch uns eine weitere hexagonale Säule vorstellen.
Kommen wir auf sechs, ist eine Überlegung.
Was sagen Sie dazu? Wer ist das Teil anschauen,
dann fliegen wir die Elementarteile nur durch, Transkation.
Ja. Ja. Aber üben die dann tatsächlich eine Klangklangheit
nur Das ist stark. Die Elementarzelle zum ganzen Kristall wird nur verschoben.
Wird nicht rotiert. Sie wollten auch noch was sagen.
So, ne? Das hatten wir ja eben.
Eine primitive Elementarzelle besteht aus einem Gitterpunkt. Wenn wir jetzt
das Gitterpunkt mit dem Atom gleichsetzen, also mit dem Motiv,
muss so ein Eckatom zu acht elementar sein und gleichzeitig gehören.
Immer. Nämlich vier in der Ebene und vier darüber oder darunter. Das heißt,
das, was wir hier sehen, sind nicht drei Elementarzellen,
sondern es ist das Konstrukt,
Wenn wir jetzt mal die Umgebung dieser primitiven Elementarzelle ein bisschen erweitern,
bis wir tatsächlich diese Punkte an diesen Ecken hier sehen,
ist das Ergebnis der Zusammenfügung von einer ganzen,
dann einer halben Nachbarzelle in dieser Richtung verschoben,
einer weiteren ganzen,
in dieser Richtung verschoben und nochmal einer halben in dieser Richtung verschoben.
Und das beantwortet uns natürlich schon die Frage, wie man
elementar sein korrekt aneinander fügt, nämlich immer nur durch Verschiebeoperationen.
Denn diese Art und Weise Und jetzt ist die Frage,
wo ist da jetzt das Sexagonale? Naja,
man sieht es ja eigentlich,
wir wählen uns mal einen Punkt heraus, zum Beispiel den,
den Geld markierten und dann hat der ja wohl offensichtlich eine
hexagonale Umgebung und der auch und wenn man das Gitter erweitern würde,
hat jeder eine hexagonale Umgebung.
Und das führt uns zu der Frage, ja,
wo sitzt denn jetzt eigentlich die sechszielige Drehachse?
Wenn wir jetzt nur diese eine Elementarzelle uns betrachten
Wann? Würfel, der hat zum Beispiel ja eine 4-tätige Drehachse,
da geht die wohl offensichtlich hier im Zentrum durch, ja.
Auf einem, genau, die muss doch eigentlich da durchgehen.
Wollten sie auch sagen? Auf einem Gitterpunkt oder in diesem Fall
auf einmal tun, weil wir das gleich gesetzt haben.
Genau. Wir machen die Überprüfung, wir tun mal so,
als würde die Rotationsärzte durchs Zentrum dieser Elementarfälle laufen, also da,
angedeutet mit so einem Sechseck und dann rotieren wir mal darum,
10, 20,
30,
40,
60. Offensichtlich keine Symmetrieoperation, aber das haben sie korrekt gesagt,
wenn es auf einem dieser Gitterpunkte liegt oder Atome,
dann führt es dazu,
dass dieses Atom auf dieses überführt wird,
dieses auf dieses, das bleibt vollständig in Ruhe,
es sitzt hier auf der Symmetrieachse und das hier wird hierhin überführt und jetzt können Sie sagen,
das ist ja ein Trick.
Das ist ja gar nicht in sich überführt,
aber wir drehen natürlich immer das ganze Gitter und jeder Gitterpunkt
ist der durch Translation erhalten wird,
völlig identisch mit diesen hier.
So sind Kristalle eben
So würde das entstehen. Ein Punkt hier würde dann überführt werden
in diesem Punkt. Und so entsteht das gesamte Gitter.
Und wenn man sich das ein bisschen größeren Maßstab ansieht,
dann sieht man auch die extagonale Drehsymmetrie,
insbesondere wenn die Ecken abgeknipst sind.
Okay. So, das war die primitive exagonale Elementarzelle.
Und jetzt müssen wir uns noch mit diesem Dualismus
vom Hexagonal und trigonal auseinandersetzen.
Und dazu müssen wir
uns kurz mit fraktionalen Koordinaten befassen
Die auch Atom- oder Lageparameter genannt haben. Und die Atomlagen geben Antwort auf
diese Frage, wo liegen die Atome in der Elementarzelle?
Und dabei wird immer natürlich das kristallografische Achsensystem verwendet. Das heißt,
es wird gefragt, wie viel muss ich entlang A oder
B oder C laufen, um zum Atom zu kommen?
Nur werden jetzt bei diesen fraktionalen Koordinaten nicht absolute Koordinaten genommen, sondern relative,
indem sie ins Verhältnis gesetzt werden, zu den Gitterkonstanten.
Also sind fraktionale Atomkoordinaten Bruchteile dieser Gitterkonstanten. Das gucken wir
uns mal an hier. Wir haben eine Elementarzelle, 2015 Augenströmen,
alles rechtwinklig. Und ein Atom 1 möge diese absoluten Koordinaten haben,
2,15, 7,5. Das heißt, jetzt teilen wir diese absoluten Koordinaten durch,
die Metrik durch die Gitterkonstanz unterhalten, 05, 05, 05.
Was ist der Vorteil? Man weiß sofort,
das muss in der Mitte liegen
Alle Guetta Constanten als Eins-Gesetz gewissermaßen, den fraktionalen Anteil gebildet, der Absolut-Koordinate.
05 oder 5 oder 5 muss im Zentrum sein.
0 und 0 muss im Ursprung sein. Gut, das
wäre bei Absoluten auch so. Aber vielleicht hier noch ein
zweites Beispiel. Genau. 1.05.0. 1.05.05.0 in Richtung C. Das heißt,
er bleibt hier liegen und schon wieder weiß ich, das muss irgendwie speziell liegen.
Nämlich auf einer Kantenmitte. Und so kann man gewissermaßen die Gesamtheit auf der möglichen Position in einer Elementarzelle so darstellen,
dass man sehr schnell unterscheiden kann, liegt das irgendwo,
XYZ, sind irgendwelche schiefen Ziffern,
kleiner als eins natürlich, oder kleiner gleich eins,
oder haben wir nicht spezielle Werte von ein halb null,
in einigen Kristallsystemen auch ein Viertel oder ein Drittel,
das sind dann die speziellen Lagen.
Okay, das behalten wir im Hinterkopf und wenden uns jetzt
diesem Kram hierzu, hexagonal, trigonal und Romboeder.
Das erste Interessante ist, das trigonale Kristalle gewissermaßen in
zwei Sorten vorkommen
Wenn man gezwungen wäre, alle triggionalen Kristalle oder Kristalle,
die im Trigonalen Kristallsystem kristallisieren, wenn man ausführlicher sein wollte,
dann gibt es solche, die so aussehen,
nämlich genauso wie das Hexagonale und solche Tricklinkristalle,
die sehen so aus, nämlich wie ein Romboeder.
Und ein Romboeder ist ja gekennzeichnet dadurch,
dass wir drei gleich lange Seiten haben,
drei gleiche Winkel,
aber die
üblicherweise größer oder kleiner 90 Grad sind
Also wir stellen gewissermaßen den Würfel auf eine der Eckpunkte,
gucken jetzt entlang der dreitstelligen Drehachse und ziehen den auseinander
oder schubsen ihn zusammen, stauchen oder strecken.
So können wir von einem Würfel ein gestauchtes oder ein gestrecktes Romboeder erhalten.
Die dreizellige Drehachse bleibt erhalten. Ich ziehe ja genau entlang
dieser Drehachse. Aber es bleibt dabei,
dass die Kantenlängen gleich sind und die winkeln sich gleichartig verändern
Okay. So, jetzt nehmen wir so einen auf den Eckpunkt,
gestelltes Würfelchen, was zum Romboeder geworden ist und gucken,
jetzt entlang dieser dreizelligen Drehachse, die nenne ich mal C-Strich.
Und jetzt gucken wir uns die Atomposition an,
entlang dieser Achse gewissermaßen und sehen, naja,
das beginnt die Runden mit dem unteren Punkt bei null und dann liegen die Dreiertome hier,
genau auf ein Drittel,
die sind hier in schwarz gekennzeichnet und die in weiß gekennzeichneten,
liegen jetzt auf zwei Drittel und das hier liegt auf eins.
Da ist die dreizellige Drehachse
Und das kann ich auch als Projektion zeichnen.
Was soll das? Es gibt das Problem in der Christolografie,
dass es bestimmte Regeln sind, gibt, die immer eingehalten werden sollen.
Und eine dieser Regeln heißt, die Achse höchster Zähligkeit soll
entlang der Zehachse verlaufen. Nun,
wenn wir so eine Romboide haben mit A, B,
C, dann ist das nicht identisch mit der dreizähligen Drehachse.
Wir müssen also zusehen,
dass die dreizählige Drehachse die neue C-Achse wird
Das ist der Sinn dieser Operation. Wir gucken uns jetzt
also hier in der Projektion von obendrauf dieses Gebilde an,
haben damit ja auch gewissermaßen neue Richtung A,
Strich und B-Strich, senkrecht zur Beamer-Ebene wäre die C-Strich-Richtung.
Und jetzt wenden wir das Prinzip der Aneinanderreihung von Elementarzellen
an und machen erweitern dieses Muster mal.
Und dann kommen wir vielleicht zu einem solchen Gebilde.
Das heißt, einmal in diese Richtung aneinander gefügt,
einmal in diese Richtung und einmal in beide Richtungen,
sodass wir vier dieser Gebilde aneinander gefügt haben,
in der A-Strich-B-Strich-Ebene
Und jetzt sehen sie was. Könnte man jetzt
eine neue Elementarzelle wählen, die vielleicht ihnen bekannt vorkommt.
Von der Metrik her.
Ja, also
Ja. Naja, gut. Extragonale, finde ich.
Die Hexagonale, wenn sie sich nicht irren, genau,
wie würden sie, welche Punkte würden sie als neue Gitterpunkte wählen?
Ja, das ist auch, das ist auch,
das ist auch,
kann man
Exakt. Aus den Grauen könnte man eine hexagonale Elementarzelle basteln.
Richtig wurde gesagt, die liegen ja alle auf unterschiedlichen Höhen,
aber wenn wir eine Sorte nehmen,
die auf derselben Höhe sind und davon vier Stück,
dann könnten wir das doch als neue Grundfläche nehmen.
Und das wären zum Beispiel die Grauen. Wie wäre es
mit den Weißen? Ebenso. Und die, die am
hervorstechendsten sind, die Roten, die vielleicht auch, ne?
Die genau, genau. Die habe ich jetzt gewählt.
Das ist unsere neue zentrierte Elementarzelle und die enthält wie
viele Gitterpunkte
Ja. Zwei. Insgesamt? Also wir sehen ja in der Projektion
und aber diese beiden gehören ja schon mal mindestens dazu,
oder? So, ich dachte, jemals zur Hilfe.
Dann sind es drei. Genau. Also wir haben natürlich,
wir stellen uns das wieder dreidimensional vor,
diese Eckpunkte gehören immer zu acht Elementarzellen gleichzeitig,
achtmal ein Achtel sind eins und diese beiden liegen aber im Inneren vollständig.
Ein neuer Typ der Innenzentrierung,
die Rombo-Eder-Zentrierung
Und sie liegen bezüglich der fraktionalen Koordinaten entlang der neuen Achse
C auf den Koordinaten, ein Drittel und zwei Drittel.
Und es sieht genauso aus wie unsere exagonale Elementarzelle,
nur dass auf der Höhe ein Drittel und zwei Drittel,
zwei zusätzliche Atome sitzen oder Gitterpunkte.
Und wenn sie drei Gitterpunkte umfasst,
dann muss sie natürlich auch dreimal so groß sein vom Volumen.
Eine Frage, ja. Ja, das ist ja
so vorgestellt, dass wir einen Würfel nachvollziehen.
Ja, ein, zwei
Und so weiter. Und ja, vor einem Stück.
Länger, an diese beiden Siege, aber genau. Die Frage war,
müssen diese drei jeweils gleich eingefärbten Aptome oder Atomsorten,
denn immer auf den fraktionalen Koordinaten ein Drittel und zwei Drittel sein?
Ich könnte mir doch auch vorstellen, ich nehme diesen Würfel
und ziehe den entlang der dreithelligen Achse ja nun ganz bisschen auseinander.
Wo ich war. Also,
wo ich da dann vielleicht ein Spezialfall habe, dieser Geschichte,
dass man daraus... Egal wie war die auseinanderzieht,
die Winkel müssen immer gleich sein, also Alphagleich, Better Gleichgammer.
Und A, gleich B, gleich C, müssen die,
können die nicht auf ein Viertel und dreiviertel liegen,
ist ja im Prinzip die Frage.
Ich glaube nicht
Ich werde das auch zum nächsten Mal vielleicht beweisen können.
Ich glaube, es muss immer so sein.
Kann es aber tatsächlich jetzt nicht spontan ihn beweisen. Okay,
hier ist es nochmal der gleich, oder direkt dazu.
Ja. Beim Würfel stehen die auch auf ein Drittel und
zwei Drittel.
Das ist völlig korrekt
Ja, aber so ganz, also ja,
so ganz einsichtig sofort ist es eigentlich nicht, ne?
Ich fand den Einwand schon hilfreich. Ja. Beim Würfel
ist es schon so, dann muss es doch,
wenn ich das langstrecke, immer so bleiben.
Ja, das ist natürlich wenig mathematisch. Vielleicht finde ich
auch keine mathematische Erklärung, aber danke für den Hinweis.
Dann haben wir schon mal diese intuitive Überzeugung erlangt, ja.
Ich kann an die zweiten Hinterbinden ja immer eine gleiche Welt
aus dem Wort haben
Das ist die erste, die aufbreitet.
Ob ich die gerade jetzt tue oder so auflege,
die gleichen Winter auch, weil es eine gleiche Länge hat,
dann weißt du es ja auch.
Gleiche Länge, gleiche Winkel, dann müssen die Abstände
auch immer im relativen Verhältnis gleich bleiben.
In etwa habe ich sie da richtig zusammengefasst,
Man könnte es vervielfachen, aber wenn man, was ist
nicht symmetrisch? Das habe ich noch nicht richtig verstanden.
Okay. Zwei Minuten haben wir noch. Vielleicht schaffen wir
noch den letzten Rest. Hat ein Rombo-etrisches Gitter eine sechsstellige
Drehsymmetrie. Oder sagen wir, ein Gitter,
ein trigonales Gitter in exagonaler Metrik und drombo-etrischer Zentrierung
Ja. Ja. Sehr richtig. Es müsste daraus
eine Dreizüllige werden. Wir können es ja nochmal versuchen.
Wir wissen, die Drehsemetrie muss irgendwie durch die Gitterpunkte gehen.
Und jetzt drehen wir um 60 Grad,
sechsjährige Drehachse und man sieht, aha,
der Graue kommt auf dem Weißen zu liegen und
der Weiße auf dem Grauen
Das ist natürlich keine Symmetri-Operation und deshalb haben wir nur
eine 3CG-Resimetrie, die wiederum durch den Gitterpunkt hier läuft.
Und dann wird das in dieser Art und Weise überführt und
das ganze Gitter gebildet. So ist das hier nochmal aufgezeichnet.
Und jetzt müssen wir uns noch um das Letzte kümmern.
Wieso kann jetzt was Trikotnales aussehen, wie was Hexagonales?
Das haben wir verstanden, das primitive Rombo-etrische Gitter kann
in ein hexagonales Gitter überführt werden mit zwei zusätzlichen Punkten,
aber was Trigonales sieht jetzt plötzlich aus wie was Hexagonales.
Das ist doch merkwürdig
Wie kann das sein? Ja, das System ist nicht mehr 90.
120. Das ist beim Trigonalen auch der Fall. Es gibt
trigonale Kristalle, die sehen genauso aus mit dieser Metrik,
hexagonaler Metrik, 120 Gradwinkel.
Und trotzdem ist das nur trigonal. Das heißt,
es hat nur eine dreizeitige Drehsymmetrie. Was für einen geistigen
Übergang müssen wir machen? Hier sind es Gitterpunkte.
Kann man sich vorstellen als Kugeln und haben eine unendliche Hosemmetrie.
Aber was stellt der Gitterpunkt dann dar? Im Trigonalen?
Ja. Wir müssen irgendwie eine Atomanordnung haben,
die diese hexagonale Symmetrie offensichtlich zerstört und was Trigonales übrig bleibt.
Zum Beispiel eine Anordnung von drei Atomen. Also hier,
solange wir beim Gitterpunkt sind, sieht man natürlich wieder was Hexagonales,
aber wenn wir jeden Gitterpunkt, jetzt tue ich ein tatsächliches Motiv repräsentieren,
dann sieht man, das ist natürlich die Rotation um 60 Grad,
keine Symmetrieoperation ist
Aber um 120 Grad schon. Deshalb dreizehntige Drehsymmetrie. Und deshalb können sie auch gleich aussehen,
weil natürlich die zweimalige Rotation um 60 Grad,
auch im Hexagonalen, eine Symmetrieoperation ist,
60 Grad und 120 Grad gedreht im Exagonalen,
ist nicht unterscheidbar.
120 Grad Drehung sind, kompatibel mit dem Hexagonalen Gitter,
beim Trigonalen, muss man eben gleich um 120 Grad rotieren.
Ja, wer ist sie?
Ja,
Sekundale jetzt
Doch, das würde im Prinzip immer so aussehen.
Bei einer Rotation um 120 Grad müssten sie ihr Motiv immer umkehren.
Da wir aber, ja, da wir aber,
ja, das Translationsprinzip von Gitterpunkt zu Gitterpunkt haben,
können wir da nicht plötzlich die eine Orientierung und die andere haben.
Okay, noch eine Frage. Die Unterscheidung zwischen Trigoral und
der extagonalen Rotschaft abhängig, was man erzählt.
Das ist bei dem so eine sechsjährige Demofration. Wirklich nicht
nur dafür auch, dass zwei Elementarbedeckungen Da gibt es auch andere Aufpassungen.
Da haben wir eine, also woran liegt das,
dass man hexagonales Gitter von der Metrik haben kann,
aber einige sind Tricklin, andere sind exagonal.
Das ist tatsächlich entscheidend abhängig vom Motiv. Und das muss
sich irgendwie im Motiv widerspiegeln. Ja. Ich kenne zumindest keins.
Also die Frage nochmal für alle, gibt es einatomige Kristallstrukturen,
wo dann der Gitterpunkt gewissermaßen identisch wäre mit dem Motiv,
die regional sind. Ich kenne keins. Aber ja,
nun kenne ich auch nicht alle drei Millionen Kristallstrukturen,
die es bisher gibt, vielleicht. Machen sie nicht auf
die Suche. Okay, ein bisschen überzogen, sorry.
Nächstes Mal befassen wir uns dann mit einer weiteren Stufe auf
unserer Klassifizierung der Kristallsysteme und die Zahlen werden immer größer.
Sieben Kristallsysteme, 14 Bravelke, da 32 kristallografische Funkgruppen.
Da geht es um die äußere Symmetrie von Kristallen.
Das war es bis zum nächsten Donnerstag