Zum Anfang einen wunderschönen guten Nachmittag und herzlich willkommen
zum zweiten Termin in der Strukturchemie. Kleiner technischer Hinweis,
diese Vorlesung wird ja aufgezeichnet und sie finden den ersten Termin
und alle weiteren hier unter dieser Adresse,
ist dann im PDF zu finden.
Sie können sich aber auch einfach dorthin navigieren,
wenn sie zur Hauptseite Lecture to go gehen und dann zum Pachbereich Chemie.
Da finden sie die Aufzeichnung. Heute bin ich ganz grün,
weil ein Kabel defekt ist, insofern mich sieht man aber
sowieso nur so klein.
Der Ton funktioniert einwandfrei und
das Folien-Grabbing funktioniert einwandfrei insofern
Auf mein Gesicht können Sie dann auch noch verzichten.
Okay, was haben wir letztes Mal geschafft? Wir haben
uns vorgearbeitet zur Elementarzelle. Zum Prinzip der Elementarzelle. Und hatten festgestellt,
alle Elementarzellen dieser Welt bestehen aus sechs Flächen, sind sechs Flächner,
von denen je zwei kongruent sind und in parallelen Ebenen angeordnet sind.
Und das ist eine solche allgemeine Parallel-Epipet-Form. Und im allgemeinen Fall
sind die Seiten ungleich lang und die Winkel ungleich 90 Grad.
Okay, dann, wie hatten wir uns eigentlich diesem Prinzip genähert,
durch das Zerteilen von größeren Einheiten gewissermaßen.
Und beim Würfel hatten wir drei Möglichkeiten erkannt,
wie man das in reguläre Baueinheiten verteilen kann.
Ein großer Würfel wird ein kleiner Würfel oder zu quadratischen Platten
oder zu Schuhkartons oder Mauersteinen.
Es fielen, aber weitere Antwortmöglichkeiten. Zum Beispiel könnte man
ja hier entlang der Flächendiagonale einen Schnitt setzen und hätte zwei trigonale Prismen sozusagen.
Die Frage ist dann, geht das auf dieselbe Art und Weise
unendlich weiter oder nicht?
Und das ist da natürlich nicht der Fall.
Das ist schon mal
ein unterschiedliches Prinzip
Eine zweite Möglichkeit, die genannt wurde, wir können es
ja vielleicht in Tetraeda teilen, so ein Würfel.
Und ich erinnerte mich noch dunkel, dass das wohl geht,
dass das aber keine regulären Tetraeda dann sind.
Und ich habe tatsächlich so ein YouTube-Video gefunden,
da ist es, was ihnen zeigt,
wie man einen solchen Würfel zerteilt, in Tetraeda,
die drei Flächendiagonalen, zerschneiden das Ding in sechs Tetraeda,
aber wir sehen,
die Seiten sehen alle nicht gleichseitige Dreiecke und haben unterschiedliche Größen
Aber es ist natürlich eine Zerteilmöglichkeit, in gleichartige Teile.
Nur, wenn wir diesen ersten Dreierschnitt gesetzt haben,
können wir dieses Prinzip nicht weiter fortführen.
Und das ist ja das Prinzip der Elementarzelle. Entweder so gedacht,
ich nehme eine Elementarzelle und reihe sie aneinander,
um den ganzen Kristall zu ergeben oder umgekehrt.
Ich zerteile einen Ausgangskörper, in immer kleinere Einheiten,
bis ich bei der Elementarzelle angelangt bin.
Okay. Gut, und dann hatten wir uns mit der
ersten Stufe der Klassifizierung von Kristallen beschäftigt.
Und das sind die Kristallsysteme
Also unterschiedlich prinzipielle Formen der Elementarzellen führen zu unterschiedlichen Kristallsystemen.
Und diese sieben Kristallsysteme, die es gibt,
die haben bestimmte Namen und diese Namen, muss man schlichtweg lernen,
sie sind hier in etwa steigender Symmetrie angeordnet.
Und dann hatte ich schon angefangen zu erläutern,
dass das Sortierkriterium die Symmetrie ist.
Und das gucken wir uns dann nochmal ein bisschen genauer an.
Gucken wir uns genauer an. Mein neuer
grüner Laser möchte nicht so
Gut, muss ich das mal hier machen.
Mal gucken, ob er sich wieder fängt. Also,
das Sortierkriterium ist die Symmetrie und das führt dazu,
dass von den Gitterparametern,
also Gitterkonstanten bzw. länger der Gittervektoren und der Winkel,
bestimmte Werte ausgeschlossen sind, eingeschränkt sind.
Und im allgemeinen Fall im Triclean mit der sogenannten Symmetrie,
mit der maximalen Symmetrie 1 quer, haben wir keinerlei Einschränkungen.
Das heißt,
die Gitterkonstanten können beliebige Werte annehmen und die Winkel auch
Im Monoclin ist es schon ein bisschen anders. Die Gitterkonstanten
können beliebig sein, aber zweiter Winkel sind 90 Grad.
Und zwar eine typische Monocline-Elementarzelle sieht so aus.
Und jetzt gucken Sie und ich, entlang der Achse,
wo dieser schiefe Winkel auftaucht, der ist dann hier.
Wetter, es gibt einen schiefen Winkel,
aber der Rest ist offensichtlich rechtwinkelig.
Ohne clean. Dann geht's weiter. Oder auch nicht.
Ich starte das hier nochmal neu,
glaube ich.
Irgendwie hängt er gerade
Aha, jetzt ist er wieder in der Spur.
Sehr schön. Das nächst höhersymmetrische ist das Autorenwische-Christalsystem.
Das hier ist eine orttypische, orthororömische Zelle. Die Kanten
sind alle ungleich lang, aber es ist völlkommen rechtwinklig.
Alpha gleich Better, gleich Gamma. Gleich 90 Grad,
verdrogonal, trigonal und hexagonal. Dort ist es so,
dass jeweils zwei der Achsen identisch sind.
A gleich B und wir im TED-Rogonalen wiederum alles rechtwinklig haben.
Das wäre hier der allgemeine Fall. A gleich B. Man sieht
ein Quadrat und die Höhe Kann gleich A oder B sein,
muss aber nicht. Und im allgemeinen Fall ist sie ungleich.
Aber nur im Allgemeinen. Und beim Trigonalen und Hexagonalen ist
interessant, irgendwie sehen die Spezifikationen ja vollkommen ideentisch aus.
Und deshalb fasst man diese beiden Kristallsysteme auch zusammen zur sogenannten Hexorgonalen Kristallfamilie.
Sie haben dieselben Restriktionen, A gleich B wiederum.
Wir haben zwei rechte Winkel, aber ein Winkel ist 120 Grad.
Und das wäre hier zu sehen. In dieser Richtung sehe
ich einen 120-Grad-Winkel unter West, ist aber wiederum Rechtwinkelig.
Und schließlich, wie ein Würfel aussieht,
den habe ich jetzt nicht mitgebracht, das wissen sie natürlich.
Die Kubische Symmetrie mit dieser Bezeichnung, M3 QM,
die wir noch nicht verstehen, führt dazu, dass symmetriebedingt,
a, gleich B, gleich C sein muss,
und Alphagleichwetter, gleich 90 grabt.
Okay, diese Art von Auflistung,
welche Gitterkonstanten haben wir bei welchem Kristallsystem?
Findet man eigentlich in jedem beliebigen Lehrbuch für allgemeine anorganische Chemie,
Kristallografie, Mineralogie und so weiter?
Und sie sieht häufig so aus
Und das ist leider, man muss eigentlich streng genommen sagen,
falsch oder zumindest nicht ganz richtig.
Denn gucken wir uns mal den ersten Eintrag an. Tree Clean,
da steht, ja, da steht jetzt nichts mehr von,
inwieweit sind die Wertebereiche eingeschränkt, sondern die Gitterkonstanten haben zu sein,
sodass A-Ungleich-B-Ungleich-C. Und Alpha, Ungleichwetter, Ungleichgamma, ungleich 90 Grad.
Das ist nur der wahrscheinlichste Fall für eine Symmetrie,
die wir so bezeichnen. Aber es ist nicht ausgeschlossen,
dass hier A gleich B ist zum Beispiel oder Alpha 90 Grad ist.
Das ist nicht ausgeschlossen. Und das heißt,
wir finden hier in dieser Art der Übersicht All diese
rot eingekringelten Einträge, die im Prinzip falsch sind.
Das muss nicht so sein. Also, jetzt könnten Sie sagen,
das hier sei falsch, Better ist, Better ist eigentlich immer,
steht hier, ja, ungleich 90 Grad.
Und ich sage, nee, aus dieser Symmetrieforderung folgt das nicht unbedingt.
Eine zweite Sache ist, gibt es denn in der Natur
überhaupt Beispiele, wo wir nur eine monokline Symmetrie haben,
aber Better 90 Grad ist, ja, die gibt es.
Es gibt eigentlich zu jedem Kristallsystem einen Spezialfall,
abweichend ist, zu diesen hier so falsch präsentierten Einträgen.
Und das ist gewissermaßen mein empirischer Beweis, bei dieser wunderschönen Verbindung,
Naturstrom Kalium Zinkfossfahrt, in denen wir so Fossfahrt,
Tetraede haben, und die sind dann eckenverknüpft zu Zink,
U4-Tetraedern und in diesen kanalartigen Hohlräumen befinden sich Natrium und Kalium John.
Und man sieht, das ist das Ergebnis der Kristallstrukturanalyse,
ja, A, Ungleich-B, Ungleich-CE, das stimmt ja noch,
Alpha 90, G, 90, ja, stimmt auch.
Und Better
Das ist der gewöhnlich schiefe Winkel. Der ist hier experimentell bestimmt
zu 90,00 Grad. Aber wir haben nur monokline Symmetrie.
Und es gibt Beispiele für andere Kristallsysteme zum Beispiel, Pseudokubische, Kristalle.
Die Elementarzelle ist absolut rechtwinklig. Alle Seiten sind gleich lang,
aber die Symmetrie ist nicht kubisch, kubisch.
Und das muss man verstehen, wie hier,
was determiniert diese Metrie, determiniert die Metrik und nicht die Metrik determiniert,
das Kristallsystem
Und das müssen wir uns veränderlichen. Und deshalb ganz kurzes Frage-Antwort-Spiel.
Wir haben ein paar Kristalle vermessen mit der Röntgenstrukturanalyse und dann nach
fünf bis zehn Minuten kriegt man schon die Ghetta-Konstanten raus.
Und dafür sei ein erstes Beispiel, A, gleich B,
12 Angström, C, gleich 12,1 Angström.
Alphabetta kann man gleich 90 Grad. Zu welchem Kristallsystem könnte
dieser Kristall gehören? Die Struktur kennen wir noch nicht.
Diese Metrieelemente können wir noch nicht. Nur die reine
Metrik.
Ja. Das war halt nicht das Gedächtnis mit einem Peter Konzern.
Also eine mögliche Antwort, sagen Sie tetragonal. A,
gleich B, das stimmt ja offensichtlich. Dann 90 Grad,
das stimmt auch. Könnte also tetragonal sein, genau.
Was noch? Es könnte Triclin sein. Ja,
wenn hier das jeden beliebigen Wert annehmen darf und jeder einen beliebigen Winkel,
dann kann es natürlich auch Triclin sein, völlig richtig.
Was noch
Ja. Genau, und das schließt dann die Mitantwort ein.
Genau, es könnte alles auch unterhalb von tagtagonal sein.
Es kann monoklin sein, keine Vorgaben der Gelbner konstant.
Also warum sollten sie nicht so sein? Alpha und Gamma
90 Grad, über Better ist nichts ausgesagt.
Darf also jeden beliebigen Wert annehmen und damit auch 90 Grad.
Genau. Das ist die Antwort, Tricklin, Monoklin,
Otto Runde, Chatrogonal. Zweites Beispiel, A,
gleich B, gleich C, gleich 12,
Angström, Alpha Better 90 Grad,
Gamma 120 Grad
Ja. Sie würden schon mal passen, ne?
Also A, gleich B, das stimmt,
trigonal und exagonal, Alphabetter 90 Grad, Gamma 120 Grad.
Die passen schon mal, richtig? Noch was? Ja
. Sie? Trickling könnte es auch sein. Trickling könnte
es auch sein. Keine Vorgaben. Jeder beliebige Währt.
Trickling könnte es auch sein. Und? Monoclean,
keine Vorgaben und Alpha und Gamma sind 90 Grad, ja.
Das ist eine interessante Antwort. Die würde ich erstmal
durchgehen lassen. Was ist hier
die Schwierigkeit
Da steht ja, Gamma sei 120 Grad. Hier steht
, Gamma ist 90 Grad. Wie verträgt sich das?
In ihren Augen. Aber ich habe nicht gesehen, dass
da Gamma war. Ja, ja. Ja. Dass
die alle Hände gehen runter, das wurde richtig erkannt.
Genau. Wenn ein Winkel schief ist gewissermaßen und zwei rechtwinklig,
dann müssen wir festlegen, in welche Richtung blicken wir.
Welcher Winkel ist das denn überhaupt
Und das können wir natürlich auch Gamma nennen oder Better oder Alpha.
Es gibt nur eine Konvention, diesen Winkel Better zu nennen,
der also zwischen A und C liegt.
Und wenn wir uns hier an die Konvention gehalten haben,
dann würde das Monokline herausfallen. Wenn wir diese Konvention
noch nicht beachtet hätten, dann wäre das auch möglich.
Sehr richtig. Trieglin hexagonal, Trigonal, in Klammern,
Monoklin, je nach Konvention.
Okay, gut. Also nochmal die wichtige Botschaft ist,
die Metrik, aus der können wir gewisse Kristallsysteme ausschließen.
Aber sie bestimmt nicht eindeutig diese Metrie und damit das Kristallsystem,
sondern ist genau umgekehrt. Wir müssen erst die Symmetrie bestimmen
und dann können wir die Zuordnung zu Kristallsystemen vornehmen.
Denn es kann selbst Kristalle geben, die von der Symmetrie her Triglin sind,
aber bei denen zufälligerweise gilt, A, gleich B,
gleich C, Alpha, gleich Better gleich, G,
gleich 90 Grad.
Und umgekehrt, wenn ein Kristall kubisch ist,
kubische Symmetrie hat, dann müssen aus der Symmetrie heraus notwendigerweise A,
gleich B,
gleich C sein
Alpha gleich. Better gleich, Gamma gleich. 90 Grad
. Okay. Dann hatten wir uns beim letzten Mal ja
schon so ein bisschen über den Begriff der Kristallstruktur unterhalten.
Kristalle besitzen eine Kristallstruktur und jetzt, um das ein bisschen näher spezifizieren,
und dafür gibt es eine einfache Formel und die
lautet da oben Kristallstruktur ist gleich Gitter plus Basis,
beziehungsweise manchmal wird die Basis auch Motiv genannt.
Was ist ein Gitter? Das,
was man hier sieht und ein bisschen mathematisch beschrieben ist es,
im Prinzip so eine unendliche Anordnung von Punkten im Raum gewöhnlich,
bei dreidimensionalen Kristallen oder bei Schichten in der Ebene oder entlang eines Stabes,
an der Linie, bei der alle Punkte die gleiche Umgebung aufweisen.
Und charakterisiert ist dieses Gitter, dadurch,
dass die Gitterpunkte durch Gittervektoren ineinander überführbar sind.
Und das sind die Transstellationsvektoren. Und das ist hier für
diesen zweidimensionalen Fall mal aufgezeichnet. Also diese zwei Gittervektoren,
unsere Kantenlängen mit einer gewissen Richtung überführen,
jeweils den Punkt,
den benachbarten
Und die Frage ist jetzt, ja, das ist erstmal
ein mathematisches Gebilde. Aber ein Gitterpunkt an sich,
während der Gitterpunkt nicht zufälligerweise mit einem Autor übereinstimmt,
dann repräsentiert er im Prinzip entweder nichts oder eben den gesamten Inhalt dieser Elementarzelle.
Und das heißt, wir müssen gewissermaßen diesen Gitter jetzt,
unser eigentliches, chemisches, kristallografisches Motiv überlagern.
Und das könnte zum Beispiel dieses sein, ein dreiatomiges Molekül,
orange, blau und grünes Atom in diesen Winkeln.
Und jetzt wenden wir dieses Translationsprinzip an und erhalten unseren Kristall, unsere Kristallstruktur.
Da sind die Gitterpunkte weg. Die repräsentieren jeweils nur eine einzige Basis,
aber die sind selbst ja nicht Bestandteil des Kristalls.
Und wenn wir uns das hier so ansehen,
dann wird aber auch klar, dass dieses Translationsprinzip,
so wie es für die Gitterpunkte gilt,
für jedes einzelne Atom des Motivs gilt.
Also wenn wir alle Orangehabenden verbinden, ergibt sich dasselbe Gitter,
als wenn wir alle blauen verbinden,
als wenn wir alle
grün miteinander verbinden
Von Zelle zu Zelle gilt immer dasselbe.
Translationsprinzip. Oder anders rausgedrückt, die Bausteine einer Kristallstruktur,
und zwar alle, und da liegen dem gleichen Translationsprinzip.
Okay, das nochmal kurz zusammengefasst. Wir sind bei der
ersten Stufe der Klassifizierung von Kristallsystemen und die erste Stufe ist,
wie ist das Kristallsystem? Und da ist das Ordnungskriterium,
die Symmetrie, und diese Metrie, bestimmt gewisse Einschränkungen für die Metrik.
Und die Kristallstruktur kann man mit einer mathematischen Konstruktion des Gitters
bestimmen oder beschreiben
Wobei jeder Gitterpunkt ein, eine Basis, ein Motiv repräsentiert. Okay. So,
wenn es sieben prinzipiell verschiedene Kristallsystemen,
Formen von Elementarzellen gibt und wir das Translationsprinzip kennen,
wir können das alles immer aneinander fügen,
aber das ist im Prinzip die einzig erlaubte Form des Aufbaus des Kristalls,
dann könnte man auf die Idee kommen,
es gibt auch nur sieben prinzipiell verschiedene äußere Kristallformen,
Morphologien.
Das ist offenkundig nicht der Fall, spätestens wenn sie Mal
hier drüben ins mineralogische Museum gucken und sich die ganzen Schaustöcke ansehen,
dann finden Sie eine nahezu unendliche Vielfalt an Kristallformen.
Wie ist das zu erklären? Das ist ja irgendwie ein bisschen rätselhaft.
Wir haben eigentlich sieben unterschiedliche Elementarzellenformen und eine unendliche Varianten,
einen unendlichen Variantenbereichtum in der Form,
die man so makroskopisch bei Christian findet.
Was sind mögliche Erklärungen
Dann muss man das so vorteilen,
ein spezifischer Netzgebeln schauen oder beziehungsweise Kassette des Kristalls bevorzugt werden,
was dazu führt, dass immer unterschiedliche Kristalle unterschiedliche Kristalle gebildet werden.
Ja, Facetten, ja,
könnte man so als äußere Begrenzungsflächen bezeichnen und die werden irgendwie bevorzugt,
ja, innerhalb eines Kristallsystems können verschiedene Atome bzw. Ionen
dieses Bilden und auch in verschiedenen stechometrischen Verhältnissen.
Ja. Daraus unterschiedlich große Hardzellen zum Beispiel entstehen.
Und da hat Variation reinkommen
Also über die Zusammensetzung, sagen sie eh, und die Größe gewissermaßen.
Ja, wenn wir mal abstrahieren von dem konkreten chemischen Inhalt,
gibt es nicht doch noch Variationsmöglichkeiten,
wie wir von derselben Elementarzellenform zu unterschiedlich äußeren makroskopischen Gestalten kommen.
Das ist so ein Hinweis. Ja,
also wenn ich mir vorstelle, dass irgendeine Feldspalte oder so,
kann natürlich beide auch unterschiedliche Formen haben.
Und das kann ja auch dadurch kommen,
dass sie einfach ein anderes Template davon ausgehen
Ah ja. Also so ein Abdruckmechanismus. Ja, das gibt es auch.
Also viele Kristalle wachsen zum Beispiel nicht gemäß ihrer natürlichen Morphologie,
sondern weil sie sich umgewandelt haben aus einem anderen Kristall,
deren Form sie annehmen.
Zum Beispiel in irgendeinem Einschluss eines Berges oder so.
Das stimmt. Also da war schon viel Richtiges dabei.
Als erstes müssen wir uns natürlich klarmachen, das,
was wir makroskopisch sehen, sind meist gar keine einzelnen Kristalle.
Keine Einkristalle, sondern ein Aggregat an ganz vielen.
Das macht schon mal eine Vielfalt dieser äußeren Erscheinungen aus,
zum Beispiel bei unserem Quarzkristall hier. Das hier ist vielleicht ein einzelner Kristall,
aber das Ganze ist natürlich ein Aggregat an vielen Kristallen.
So, aber selbst, wenn wir einen einzelnen Kristall nehmen,
kommt es vor, dass wir ganz verschiedene Formen sehen und ein Paradebeispiel ist dafür...
Das Pyrit. Man sieht hier ein wunderschönes Exemplar,
eines Pyrit-Fundstückes, der hier deutlich zu sehen kubische gestaltet.
Die sind zwar alle so miteinander verwachsen und bilden auch
ein Aggregat, aber das einzelne Stück sozusagen ist kubisch.
Und das ist auch die prinzipiell vorherrschende, häufigste Form beim Pyrit,
was chemisch gesehen ist, Eisen Diesel-Feed.
Und ja, interessanterweise, es gehört zum kubischen Kristallsystem,
eine entsprechende Raumgruppe, die zum kubischen Kristallsystem gehört.
Das werden wir noch erläutern, was das hier heißt.
Aber kubisches Kristallsystem, kubisches Äußeres. Und vom chemischen Aufbau ist es so,
dass wir hier Eisen, Schwefel 6 Oktaeda haben.
Und Schwefel, Schwefel F3, Tetraeda.
Man könnte es auch auffassen als Derivat der Natrium-Klorid-Struktur,
in dem wir eine lächelzentrierte Zelle von Eisenionen haben und
auf den Kantenmitten liegen jeweils S2-Einheiten in wechselnder Orientierung.
So sieht das Ganze aus. Ja,
und wie gesagt, der Würfel ist die häufigste Form,
aber all diese Formen gibt es auch noch.
Zum Beispiel ein Oktaeda, ein Rom-Bechestodiker, Eder,
ein pentagonalistotiker Eder oder auch solche Zwischenformen gewissermaßen,
wo hier zum Beispiel so die Kanten des Würfels ein bisschen abgeschliffen sind,
so sieht das jedenfalls aus.
Und insgesamt findet man, hat man bisher gefunden,
60 verschiedene Formen.
Sie hatten eine Frage
Heißt, gerade wenn man es über völlig diese Bekannten zu was weiß.
Bei der Avatar ist es doch kurz ziehen.
Das sind doch meistens so Stimmen, das Körpervermehrung.
Was sind das bitte? Die werden doch meistens durch,
durchdringen, das Körper im Sturm, als durchdringens Körper.
So, ja, was meinen Sie damit?
Mit Durchdringungskörper? Das, ja. Ja. Ja,
das gucken wir uns auch gleich an. Das ist ein
gutes Stichwort, wie man diese Form eigentlich auffassen kann.
Aber zunächst mal, wie kommen Sie überhaupt zustande
Und zwar, das wurde auch schon so ein bisschen angedeutet, da war für Richtiges dabei.
Wir müssen uns gewissermaßen die relative Flächenentwicklung angucken beim Kristallwachstum.
Und die muss nicht in alle Raumrechnungen gleich sein.
Und dazu wieder gewissermaßen die Umdrehung des Prinzips der Elementar tatsächlich.
Jetzt nehmen wir Elementarzellen und fügen sie aneinander in der einen Art und Weise,
naja, wenn wir eine kubische Elementarzelle haben,
dann ist es nicht unwahrscheinlich, dass wir eine kubische Mauphologie haben.
Aber es könnte auch so sein, wie hier angedeutet,
auf dem unteren Bild,
dass wir gewissermaßen in den drei Richtungen eines gedachten Achsensystems,
irgendwie ein schnelleres Wachstum haben und das Ganze so aussieht.
Und das hier ist, was für ein Körper?
Also ein bisschen rau, aber prinzipiell ein Oktaeda.
Wir haben ja acht Dreiecke und wenn der nur weit genug wächst,
dann werden die Flächen immer Ebene, sodass dann hier irgendwann so eine Dreiecksfläche erscheint.
Das ist eine Orte, Eder. Und das würde man dann,
wenn man die Flächen bezeichnen müsste, nach ihren Miller-Indizes machen.
Sie hatten das Stichwort Netzebenenschar gesagt. Und die äußerste Netzebenenschar
eines Kristalls hat dieselbe Bezeichnung, wie die darunter liegenden Netzebenen scharren.
Das heißt, die Begrenzungsfläche heißt genauso wie die Netzebenenschar.
Und das wäre in diesem Fall 1-1-1.
Das ist hier nochmal abgeleitet aus diesem, ja, kubisch-flächenzentrierten Anordnung.
Das wäre also eher eine Ebene parallel zur raumdiagonale,
die wir dort als äußere Begrenzungsfläche sehen.
So kann man sich das vorstellen. Und über das Kristallwachstum
sind Meterweise Regale vollgeschrieben worden. Das ist einen enormen Klopp
komplexes Thema. Es gibt unglaublich viele Faktoren,
die das konkrete Kristallwachstum beeinflussen, Temperatur, Zusammensetzung der Lösung.
Da haben wir bestimmte Konzentrationsgradienten, haben wir gewisse Additive,
die die Ausbildung bestimmter Flächen bevorzugt oder unterdrückt und dergleichen mehr.
Sie hat noch eine Meldung, nein, genau.
Und dann fiel das Stichwort Durchdringungskörper. Wir hatten gesehen,
dass es da so Zwischenformen gab und die kann man
sich tatsächlich als Übereinanderlagerung gewisser Elementarformen vorstellen
Und dann gab es bis vor kurzem auch eine sehr nette Anwendung im Netz
von dem hier gezeichneten Museum für Mineralien und Mathematik in Oberwolfach,
wo es so ein Java-Applet gab,
was aber inzwischen irgendwie eingestellt wurde,
weil ja auch die meisten Browser gar nicht mehr mit Java laufen.
Ich habe mir aber einen entsprechenden Ersatz gesucht und das hier
ist dieser entsprechende Ersatz und das läuft in jedem Browser.
Math to touch, so machen wir das und wir suchen uns hier die Polyeder.
So, dann Sind hier so gewisse Elementarformen von Polyedern gezeigt,
die man durch die Betätigung dieser Skibregler miteinander mischen kann.
Und das Schöne ist, dass das hier auch noch animiert werden kann.
Man kann dem auch so einen kleinen Stops geben.
Und man kann es auch wieder anhalten. Wir können für die Regelung dessen,
wie tief will ich eigentlich in den Körper hinein, sind die Transparenzebenen steuern.
Und sie können auch noch die Farbvariation hier steuern mit diesem Fabrad.
So, und dann ist hier ausgewählt, dieser Grundkörper,
der aber offensichtlich so angeschliffene Ecken hat, und das ist dieser Slider,
und so können sie durch die Mischung verschiedener Polyeder realistische, äußere Kristallformen erscheinen.
Jetzt sind wir anscheinend hier angelangt bei diesem Grundkörper,
dem Icosaeda, und jetzt entsteht eine Mischform,
und jetzt sind wir bei diesem hier, dem pentagonalen Todekaeder,
und das können wir natürlich auch mit dem Würfel machen,
und dann entstehen hier die abgeflachten Kanten,
und es entsteht dieser Körper hier
Und aha, ja, andere N-Form, Oktaeder.
Damit, ja, wer damit mal ein bisschen rumspielen möchte,
Mathematik zum Anfassen im Netz. Okay. Gut,
wir wollen nicht ewig lange uns mit der Morphologie,
mit der äußeren Form von Christallen beschäftigen,
aber ein bisschen mitreden wollen wir da schon.
Wie beschreibt man die Morphologie? Mit zwei weiteren Fremdwörtern und
die stehen hier,
Tracht und Habitus
Was heißt das? Als Tracht bezeichnet man die Gesamtheit,
in der einem Kristall entwickelten Formen. Das heißt, man untersucht,
welche Flächenarten sind wie zueinander angegeordnet und wie viele gibt es davon?
Die relative Flächenentwicklung, also das Größenverhältnis dieser zusammenkommenden Flächen,
der bewirkt den Habitus. Das gucken wir uns bei diesen
beiden Beispielen mal ein bisschen näher an.
Also das hier soll ein gleicher Habitus sein,
Isometrisch heißt der, heißt in allen drei Dimensionen,
in etwa gleich ausgedehnt,
aber verschiedene Tracht
Nämlich, klar, der Würfel besteht aus sechs Quadraten.
Oktaeda aus acht Dreiecken. Romben, Drodekaeda aus zwölf Romben und dergleichen mehr.
Das wäre die spezifische Tracht, die man angeben könnte.
Zwölf Romben. Acht, Dreiecke. Und die haben natürlich
dann meistens irgendwelche Namen, wenn es reguläre Poliäder sind.
Umgekehrt kann es natürlich der Fall sein,
dass wir jetzt eine gleiche Flächenkombination haben, eine Tracht,
aber die Gestalt irgendwie unterschiedlich aussieht.
Gleiche Tracht
Soll das hier sein? Warum? Weil wir in all
diesen drei Kristallen eine obere Deckplatte, sechs Eck,
dann sechs Trapeze, dann sechs Rechtecke,
sechs Trapeze und eine sechs-eckige Grundfläche haben.
Diese Flächenkombination ist identisch. Gleiche Tracht. Aber der hier
ist plattgedrückt und der da ist langgestreckt und der da ist in etwa isometrisch.
Das ist der Habitos. Genau, das ist hier nochmal zusammengefasst.
Zwei Kristalle können Bei gleicher Tracht verschiedenen Habito-Sermen, das war das hier.
Oder bei gleichem Habitus, nämlich alle isometrisch, verschiedene Trachten zeigen.
So wie im alltäglichen Leben ja auch. Und der Habitos,
der wird typischerweise auch angegeben,
wenn sie in ihrer Massearbeit irgendwelche Röntgen-Strukturanalysen gemacht haben oder machen lassen,
dann wird auch immer angegeben, wie sah dieser Kristall eigentlich aus?
Und dann findet man solche Beschreibungen hier,
also wie eine Nabel oder Blockartig, Otto Ombish oder wie
auch immer.
Ja, ja
Eine abgeschlossene Tschüssteile. Also ob das jetzt ein großer makroskopischer
Einkristall ist oder einfach... Es bezieht sich immer auf den Einkristall.
Genau, auf einen makroskopischen. Wie groß der ist,
ist eigentlich wurscht. Genau. In diesen Ausdrücken kommt ja
eher genau dieses relative Flächenverhältnis zum Tragen. Also eine Platte
hat irgendwie immer nur eine größere Grundfläche als die Höhe.
Und bei der Nadel ist es genau umgekehrt. Die ist
entlang einer Achse sehr ausgedehnt, hat aber eine kleine Unfläche.
Und ja, genau. Also das hier ist tatsächlich
eher so eine geometrische Beschreibung
Betracht wäre schon recht spezifisch, welche Flächen liegen in welcher Kombination vor.
Wer sich dafür interessiert, dem kann ich diese Buchreihe,
diese Monografiereihe empfehlen, Erich Offermann,
Kristalle und ihre Formen, ein echter Liebhaber,
der diese drei reichhaltig ausgestatteten Bände in einem Eigenverlag publiziert hat,
weil er keinen Verlag gefunden hat,
der solche teure Bücher überhaupt noch herstellen möchte und vielleicht
das Thema auch nicht so interessant findet
Und dort sind auf jeweils circa 200 Doppelseiten alle möglichen Kristallformen erklärt.
So kann das zum Beispiel aussehen. Und aus welchen Grundkörpern,
was wir eben bei Mav to touch gesehen haben,
die aufgebaut sind und welche Miller-Indie-Cs die haben.
Und eine Besonderheit ist, dass er stereoskopische Zeichnungen davon angefertigt hat.
Und auch eine Sehhilfe für das Stereoskopische Sehen dabei gelegt hat.
Also stereopophisches Sehen kann man ja auf zwei Arten rot-grün,
rot-blau.
Das wäre das eine
Oder man gibt den beiden Augen ein getrenntes Bild,
was aus leicht unterschiedlicher Perspektive gezeichnet ist,
auf dem Blatt Papier und versucht jetzt so leicht zu schielen
und dass das linke Auge nur die linke Zeichnung und ihres
rechte Auge die rechte Zeichnung sieht.
Und dafür ist diese Konstruktion hier. Die trennt jetzt die
beiden Bilder mit diesem schwarzen Mittelschaft und hat auch sogar ein Nasenloch.
Also so rum. So, genau. Also,
das dürfen Sie sich auch bei mir mal ausleihen,
wenn Sie da Spaß dran haben
Okay. Er schreibt, also er ist ein echter Liebhaber,
er schreibt dann in dem Vorwort,
es interessierten sich so wenig für Kristallformt,
aber ist das doch so spannend?
Und vielleicht haben sie sogar Spaß daran, die Kristalle zu zeichnen.
Ja, vielleicht. Okay. So,
jetzt machen wir ein bisschen weiter mit der Systematisierung.
Und zwar kommen wir jetzt zu den Bravel-Gittern. Wir haben
im Prinzip bisher sieben Elementarzellenformen kennengelernt und eigentlich nur solche,
die durch einen Gitter beschrieben werden,
wo gewissermaßen die Gitterpunkte an den Eckpunkten dieser Elementarzellen sind
Oder anders ausgedrückt, die Verknüpfungspunkte von elementar zur Elementarzelle kann ich als Gitterpunkt betrachten.
Das sind die sieben prinzipiell unterschiedlich aussehenden sieben Elementarzellenformen.
Und dazu gehören entsprechend die sieben primitiven Gitter. Hier gibt es
eine Besonderheit, auf die wir beim nächsten Mal eingehen,
nämlich einerseits, wie auch die Metrik identisch war,
das Trigonale und Hexagonale sehen manchmal gleich aus.
Nämlich so. Und es gibt noch irgendwie so eine Spezialform,
die wir noch gar nicht behandelt haben,
die sieht so aus
Etwas Trigonales, etwas Rom-Boetrisches mit so einer dreizelligen Achse.
Das stellen wir ein bisschen zurück. Aber im Prinzip
sieben Kristallsysteme, sieben primitive Gitter. So,
dass diese sieben primitiven Gitter oder sieben Elementarzellen sind immer die
kleinsten möglichen, die wir überhaupt finden können.
Und sie waren ja dadurch bestimmt, dass die gesamte Symmetrie
drin sein muss. Und die Formeleinheit entsprechend der Stechometrie
sein muss. Die kleinste muss aber nicht unbedingt immer
die vernünftigste sein
Und die Frage ist auch,
gibt es nicht bestimmte Konventionen bei der Wahl der Elementarzellung?
Das gehen wir mal anhand von zwei, drei Beispielen durch.
Wir sehen ein solches Gitter. Welche Elementarzelle würden Sie wählen
? Und warum? Ja. So, warum haben Sie
diese Elementarzelle gewählt? War jetzt viereckig. Ja,
wenn ich, wie könnte ich es dann machen?
Ich nehme mal diese hier
Ist die auch viereckig? Ja, aber was unterscheidet ihr
Viereck von dem Viereck, was ich immer eingezeichnet habe?
Man würde ja intuitiv... Das ist etwas großartig, die Arbeit.
Ja, ist das so? Aber es ist ein guter Hinweis
. Es wurde gesagt, wenn ich diese Schiefwinklige nehme,
dann ist die vielleicht größer als die Rechtwinklige.
Ja. Das Quadratische ist, okay, ich höre die
nicht.
Aha. Ja
Das würde auch da auch ankommen, in welche Richtung man irgendwie leiden kann.
Vollidiot. Richtig? Ja. Ja. Also es soll
hier tatsächlich so leichte Rechtecke sein und nicht Quadrate,
aber was euch da A und B nenne, ist im Prinzip wurscht.
Aber es war schon viel richtig. Sie haben gesagt,
rechte Winkel sind schön. Sie haben gesagt,
Symmetrie ist schön. Und sie hatten gesagt, bitte?
Die Größe, genau. Also wir suchen eine Kleinszenamentarzelle,
die möglichst symmetrisch und die möglichst rechtlich ist.
So könnte man es eigentlich zusammenfassen. Und das heißt,
Intuitiv, würde man sofort diese Elementarzelle wählen.
Es gäbe noch andere Möglichkeiten, zum Beispiel diese Schiefwinkligen.
Und das wären alles vollständig äquivalente Elementarzellen. Und weil sie aus einem einzigen Gitterpunkt bestehen,
in der Ebene, haben wir ja nur vier Gitterpunkte,
vier Viertel, ein Gitterpunkt, hatten die auch alle denselben Inhalt.
Alle dasselbe Volumen. Okay. Es muss auch nicht
so sein, dass die Gitterpunkte an den Ecken sind.
Es gilt lediglich, dass gesamte Kristallgitter muss ich aus dem Verschiebeprinzip ergeben.
Und das heißt, ich könnte die Elementarzelle auch so wählen,
dass ich den Gitterpunkt hier nie mitersetze
Das verschiebe, in diese Richtung, in diese Richtung,
ergibt sie auch der gesamte Kristall.
Aber typischerweise macht man das eher so. Okay,
also wir merken uns, die Elementarzelle soll so klein wie möglich sein.
Das heißt, man würde natürlich nicht unnötigerweise eine Seuche,
Elementarzelle wählen, die hier sechs Punkte umfasst.
Die Gittervektoren sollen möglichst kurz sein. Das können wir ja
auch nochmal vergleichen. Bei Elementarzelle 1 und 2,
naja, diese Gitterkonstante, die sind identisch,
aber die hier ist natürlich viel länger.
Also wähle ich doch lieber die hier.
Die ist kürzer
Und das hatten sie richtigerweise gesagt. Gleichzeitig soll diese Metrie
des Kristalls sich widerspiegeln in der Wahl. Und das heißt,
wir suchen Gitter-Vektoren, die entweder parallel zu Symmetrieachsen sind oder senkrecht zu Spiegelebenen.
Kurz gesagt, man sucht möglichst orthogonale Achsen,
mit dem Spezialfall des Trigonalen und Hexerbanalen.
Dort sucht man möglichst 120-Grad-Winkel. Und nun ist es aber so,
dass zwar hier diese Bedingungen für die Elementarzelle 1 erfüllt sind,
für dieses Gitter, möglichst rechtfinklich, möglichst kurze,
möglichst kurze Gitter-Vektoren und auch diese Metrie spiegelt sich hier gut wieder,
aber wir könnten ja mal
dieses Beispiel hier nehmen
Was für gute Elementarzellen gibt es dort?
Ja. Doch. Aber da ist ja der Punkt,
der geht der Punkt in der Mitte und nicht in der Ecke.
Richtig. Darauf folgenden, darauf. In der Vorredung vorher hatten sie halt gesagt,
dass die Gitterpunkte in den Ecken sein müssen, um eine positive.
Das ist die übliche Fassung davon. Gitterpunkte nur in den Ecken,
aber wenn wir genau sind, dann ist ein Gitterpunkt an
der Ecke immer nur zu einem Achtel überhaupt Inhalt der Zelle.
Und deshalb in fast jede Zelle
genau ein Gitterpunkt
Wo ich den Ursprung setze,
da gibt es bestimmte Konventionen und das ist häufig so,
dass ich ihn in die Ecke lege,
aber es ist nicht verboten, den Gitterpunkt in die Mitte zu setzen.
Okay. Dieses Beispiel, was gibt es hier für,
das ist so ein kleiner Widerspruch, da stimmt es,
vielleicht sollte ich das nochmal anders formulieren im nächsten Durchgang.
Was wäre hier eine gute Möglichkeit bei diesem Gitter, meine Elementarzelle zu finden?
Ja. An der Rautenform. Zum Beispiel sowas,
ja, könnte man machen. Ja. Das ist ja
ein exeponales Einführen, das ist mal etwas vierte Kapitel.
Welche vier? Das ist mal spannend. An der Ecke,
so und jetzt? Haben wir hier? Hier? Hier
und hier und hier? Ja. Stimmt. Das ist
nicht ganz hexoronal. Das ist auch Absicht. Natürlich,
sonst hätten sie recht, wenn es hexoronal wäre,
dann müssten wir 120-Grad-Winkel suchen,
aber wenn sie sich mal dieses Sechseck als Umgebung angucken,
das ist nicht gleichförmig
Also leicht abweichen von exagonal, ja. Ist das
ein Quadrat oder? Nein, ein Viereck. Ja,
also wieder so ein Rechtwing, so ein,
wie nennt man, so ein Rechteck, genau. Also,
Raute wurde gesagt und auch dieser Körper wurde hier gezeigt,
so etwas quasi Hexagonales, aber wir sehen,
sowohl Elementarzelle 1 als auch Elementarzelle 2 sind schiefwinklig.
Und jetzt ist die Frage, ist unser Gitter nicht vielleicht
höher symmetrisch
Und kann man durch die Wahl der Elementarzelle, die eventuell größer ist, diese Symmetrie nicht besser widerspiegeln.
Und genau das ist der Fall, durch das,
was Sie gesagt haben, wir könnten eine etwas größere Elementarzelle nehmen,
die zusätzlich einen Gitterpunkt hier in der Mitte hat,
gewissermaßen sowas inzentriert ist, im Zweidimmensionalen ist inzentriert gleich Flächen zentriert.
Das würde man hier machen,
also aus Gründen der Symmetrie wählt man in solchen Fällen,
wo wir nur Schiefwinkliges bei primitiven Gittern finden,
was höher Symmetrisches gewissermaßen wählt, die Elementarzelle größer,
kommt zu zentrierten Elementarzellen,
um sie dann mit einem höher symmetrischen Achsensystemen beschreiben zu kennen,
wo wir offensichtlich sehen,
dass jetzt auch diese Gittervektoren parallel bzw. senkrecht zu Symmetrie,
Achsen und Spiegelebene liegen.
Denn die tritt hier deutlich zu Tage, indem wir uns mal vergewissern.
Hier haben wir eine Spiegelebene, da haben wir eine
Spiegelebene und die laufen absolut senkrecht zu diesen Gittervektoren.
Das wäre auch noch bei Elementarzelle zwei der Fall,
dass die Symmetrie des Gitters kann sich ja nicht ändern dadurch,
dass sich irgendeine Elementarzelle wähle, aber wenn ich mich auf die Elementarzelle beschränke,
dann kann es sein,
dass sich diese Methoden nicht widerspiegelt und das ist genau bei eins.
Also eins ist der absolut Miserabliste Fall oder die Miserabliste Wahl,
die ich treffen kann.
Zwei wäre okay, aber drei ist besser.
Also gilt das Prinzip, Kleinheit nicht prioritär, sondern Symmetrie.
Genau. Okay. Das war ein relativ einfache Beispiel,
aber die Wahl der Elementarzelle können durchaus schwierig,
anspruchsvoll sein und das ist bei diesem Muster hier mal der Fall.
Jetzt stellen diese blauen Pünktchen keine Gitterpunkte mehr dar,
das kann gar nicht sein,
dass das Gitterpunkte sind
Die müssten ja einem dieser Kristallsysteme entsprechen,
sondern jetzt haben wir Atomanordnung. Und ich würde vorschlagen,
als kleine Hausaufgabe suchen sie die beste Elementarzelle.
Die kleinste, die rechtwinkeligste für dieses Muster.
Auflösung in der nächsten Stunde. Jetzt ist die Zeit
schon wieder vorbei.
Bis zum nächsten Donnerstag