Okay, guten Morgen, da fangen wir an, beziehungsweise schließen die Vorlesung ab heute.
Wir haben letztes Mal angefangen mit dem Thema Mehrteilchensysteme,
Firmionen, Bosonen und Erinnerung, schreibe ich das nochmal an,
eine wichtige Operation war, also eine Mehrteilchen,
Wellenfunktion hängt ja von N-Koordinatenabfällen, Teilchen.
Und wir hatten gesagt, dass die Permutationsoperator,
der sozusagen die Argumente vertauscht oder permutiert, genau gesagt,
in der Art und Weise, der hat bestimmte,
der muss sozusagen kommotieren mit allen, Wabeln.
Also das wäre sozusagen Kommentator mit irgendeinem Operator, der eine Observabel beschreibt,
sollte verschwinden, weil die Teilchen eben ununterscheidbar sein, ununterscheidbar sind.
Und dann hatten wir gesehen, dass, oder dann hatten wir besprochen kurz,
dass zwei Fälle realisiert sind in der Natur, einmal,
dass die Wellenfunktion komplett in Variante ist, unter solchen Permutationen.
Das heißt, das hier ist wieder die ursprüngliche Funktion.
Und das ist sozusagen die vollständig symmetrische Variante.
Und dann haben wir die sogenannte vollständig antisemmetrische Variante,
wo sie hier noch ein Vorzeichen drin haben,
das mit der Signatur der Permutation zusammenhängt.
Also einfach damit, ob die Permutation gerade oder um gerade
ist. Und das nennt man dann vollständig
Antisemetrisch. Und diese beiden Fälle entsprechen eben gerade den Bosonnen und den Fährmironen.
Und dann hatten wir noch gesagt, dass natürlich im Allgemeinen hat,
also wird der Hemmeltonien jetzt eine Funktion sein von allen diesen N-Koordinaten und im Hemmelson-Formulismus sind es ja Funktionen von Koordinaten und Impulsen.
In der Form Und wenn sie es mit nicht wechselwirken,
ein Zeichen zu tun haben,
dann sollte dieser Himmel Tonnen einfach zerfallen in eine Summe von Einteichen,
Himmeltoniens, also zum R-E-P-I, von I-Gleich 1 bis N,
wobei dieses, man kann natürlich, man könnte tatsächlich jetzt ein Haar,
ein Einteilchen, Hemil Tonien, unterschiedlich für jedes Teilchen einführen,
aber wenn die Zeichen EU ununterscheidbar sind,
dann wird auch der Himmeltonien der Gleiche sein, ja,
also das heißt,
man wird sowas erwarten und Im Allgemeinen kommt jetzt natürlich eine Wechselwirkung dazu,
die von allen Koordinaten abhängt.
Ja, also irgendwie sowas. Und das zerfällt dann nicht
einfach mehr in eine Summe von Potenzialen, sondern...
Also das wäre sozusagen der freie Teil. Und hier werden die Wechselwirkungen implementiert. Und als Beispiel,
wenn man zum Beispiel zwei Teilchenwechselwirkungen hat,
hätte man beispielsweise das Cool am Potenzial,
Dass wir dann beispielsweise irgendeine,
also das Quadrat oder eigentlich das Produkt der beiden Ladungen,
E-1, Mai E-2, dividiert durch den Abstand von zwei solchen Teilchen.
Und natürlich klarerweise, dieses Potenzial hängt jetzt von beiden Koordinaten ab.
Das heißt, es lässt sich nicht mehr so als Summe
über Einzelteile schreiben. Und das ist dann der komplizierte Teil,
wo man dann Nährungsverfahren anwenden muss,
wie zum Beispiel die Hard Refaktnährung,
die wir hier nicht diskutieren werden
Aber ich wollte mich hier nur auf den Teil beschränken.
Also was passiert zu sagen, wenn der Hermel Tonnen einfach nur aus Einteilchen Beiträgen besteht.
Und wir haben dann gesagt, wir nehmen an,
dass wir sozusagen diese Einzeichen, Hermel Tonions lösen können.
Das heißt, wir können sie insbesondere diagonalisieren,
in der Form, dass wir hier einteilchen, Wellenfunktionen erhalten.
Die hängen von irgendeiner Quantenzahl N ab, mit einem Eigenwert Äpzilon N.
Und wenn das der Fall ist in dieser Form,
Also das ist sozusagen N, ist die Einteilchen, Quantenzahl.
Wenn das der Form ist, dann können wir jetzt natürlich diese Funktion nun,
also diese Vielteilchen-Wellenfunktion können wir dann konstruieren und das mache ich jetzt folgendermaßen,
Also das wäre sozusagen dann ein Produkt von Einteilchen,
Wellenfunktionen zunächst mal.
Also ich bilde jetzt erstmal die Produktzustände.
Die hängen eben von allen diesen Endkoordinaten ab. Und es
ist dann ein Produkt von I gleich 1 bis 1,
für jedes Teilchen, jeder Zeichen befindet sich in einer dieser Eigenfunktionen,
also ob sie NI von RI.
Und dann muss ich sozusagen eine Quantensalfe des Gesamtteilchensystems einführen,
die nenne ich jetzt dieses N mit dem Strich, mit dem Unterstrich hier.
Und das ist zu verstehen, als die Endteilchen, Quantenzahl.
Und das ist einfach sozusagen Dieser Endhuppe von Einteichen, Quantenzahlen.
Also bisher habe ich noch nichts gemacht. Ich habe weder
symmetrisiert noch antisemitisiert. Ich habe einfach angenommen,
dass jedes dieser Teilchen befindet sich in einem Energieeigenzustand von einem Einteichen, Himmeltonien.
Und ich multipliziere einfach die Einteichenfunktionen. Und natürlich,
genau, jetzt können wir uns noch überlegen,
wenn ich jetzt zum Beispiel, jetzt kann ich mir überlegen,
was ist die Gesamtenergie, von diesem Zustand.
Und dazu, wenn dich jetzt den Gesamthermiltonien an,
jetzt kommen wir wieder in der Form schreiben wie vorhin.
Und das muss ich erst auf die Wellenfunktion hier anwenden.
Also das wäre dann Psy-N von R1 bis RN.
Und das gibt jetzt auch einen Energieeigenwert, eh mit dieser Vieh-Entheilchen Quantensaal N unterstrich.
Und natürlich ist es, weil der Himmel Tonnen,
Also wenn Sie jetzt diesen Ansatz hier einsetzen,
ohne die Wechselwirkungen natürlich, dann haben Sie Entherme und für das IT-Teichen,
wenn Sie das hier anwenden, auf diesen Produktzustand,
dann wirkt er ja nur auf die IT-Koordinate hier und gibt als Eigenwert Epsilon N.E.
Das heißt, das hier wird einfach die Summe aus diesen Einteichen
Energien sein, also Epsilon N.E. und das muss ich summieren
von I
gleich 1 bis
Genau. Und jetzt werde ich das gleich ein bisschen umschreiben.
Ich habe das letztes Mal schon angedeutet, wenn ich jetzt diesen Zustand,
also so wie er jetzt steht, hat der noch keine Symmetrie.
Das heißt, mit anderen Worten,
hier nehme ich die Teilchen noch als Unterscheidbaren,
weil ich sage, Zeichen eins ist im Zustand N1,
Zeichen zwei ist im Zustand, N2.
Und erst später werde ich dann das Symmetrisieren oder Antisemitisieren,
wobei das eben dazu führt,
dass sich Teilchen 1,
2 und so weiter
gar nicht mehr
unterscheiden kann
Und man kann aber jetzt schon sehen,
wenn zum Beispiel mehrere Teilchen in einem Einteilchenzustand in sich befinden,
dann kann ich das auch umschreiben,
als die Summe über alle möglichen Einteilchenzustände.
N. Also jetzt summiere ich nicht mehr über die Teilchen,
über den Teilchenindex, sondern über die Zustände dieser einzelnen Teilchen.
Und dann nehme ich mir die Energie Äpsel an N. raus.
Und dann muss ich das multiplizieren mit der sogenannten Besetzungszahl,
So, jetzt hätte ich hier mehr Platz lassen sollen.
Groß, en. N von diesem Zustand.
Und wie ist jetzt das definiert mit der Besetzungszahl?
Also die Besetzungszahl sagt ihnen einfach nur,
wie viele Teilchen sich in einem bestimmten Endteilchenzustand befinden.
Das heißt N-N in diesem N-Unterstrichzustand ist, das kann man jetzt etwas kompliziert an.
Das ist die Anzahl der Indizes, der Einteilchen in die CSI,
Das läuft natürlich von 1 bis 1, weil wir ein Teilchen haben.
Für die gilt, dass NI gleich N ist.
Also sie gehen sozusagen, sie setzen, legen ein Teilchen,
Quantenzahl fest und dann gehen sie doch alle Endteilchen durch und checken,
ob das IT-Teichen sich in dem Zustand N befindet.
Wenn ja, dann erhöhen sie die Besetzungszahl um eins,
wenn nicht, dann bleibt es eh null.
Also das zählt sozusagen nur die Anzahl der Teilchen ab,
die sich in einem gegebenen Einteilchenzustand charakterisiert durch diese Quantenzahl N befinden.
Und natürlich sind diese beiden gleich. Also ich kann entweder Die Einzelenergien,
jeder einzelnen Teilchen aufsummieren oder ich kann über alle Einzeichen Energien insumieren,
multipliziert mit der Anzahl der Teilchen, die sie in dem jeweiligen Zustand befindet.
Das ist natürlich das Gleiche. Und der Punkt ist jetzt eben,
wenn ich jetzt diese, und da gibt es jetzt zwei Versionen davon,
wenn ich diese Produktzustände jetzt symmetrisiere, beziehungsweise Antisemitisiere,
dann bekomme ich eben diese bosonischen und firmianischen Zustand.
Also mosonische oder bosonische Vielteilchenzustand. Der wird jetzt folgendermaßen konstruiert,
der nennt man, und das Wichtige ist jetzt,
wenn ich gar nicht mehr, wenn ich die einzelnen Teilchen nicht unterscheiden kann,
dann zählt natürlich nur noch die Besetzungszahl.
Also wenn ich zum Beispiel als einfaches Beispiel,
ich habe drei Teilchen und zwei davon befinden sich im Grundzustand und eines in dem ersten Angerätenzustand,
dann ist die Besetzungszahl für den Grundzustand zwei
Und die Besetzungszahl für den ersten angeregten Zustand ist eins.
Und die Besetzungszahl für jeden höheren Zustand ist null. Und wenn ich von Besetzungszahlen spreche,
dann spreche ich jetzt gar nicht mehr von Teilchen eins,
zwei oder drei, weil die sowieso nicht unterscheidbar sind,
sondern nur noch von den Anzahl der Teilchen,
die sich in einem bestimmten Einteilchenzustand befinden.
Deshalb kann dieser sowohl der Bosonische als auch der fermionische Fehlteilchenzustand,
der kann jetzt nur noch von diesen Besetzungszahlen abhängen,
nicht mehr von den einzelnen,
also wie sozusagen diese Argumente RI auf diese Einteilchenfunktionen verteile.
Und man macht es dann folgendermaßen, Man nennt es einen Zustand,
der wird jetzt eben charakterisiert von diesen Besetzungszahlen.
Und ich schreibe da eine Klammer rum, weil natürlich,
ich brauche die Besetzungszahlen für jeden einzelnen Einteilchenzustand N.
Natürlich die meisten davon werden null sein, wenn ich nur drei Zeichen habe,
dann ist die Summe über alle Besetzungszahlen SN,
das ist eine weitere Eigenschaft.
Vielleicht sollte ich die hier draufschreiben. Also die Summe über alle Besetzungszahlen,
die muss natürlich gleich der Anzahl der Teilchen sein,
weil jedes Teilchen befindet sich in genau einem Zustand
Und wenn ich alle Besetzungszahlen aussuche, dann muss die Anzahl
Dateichen rauskommen. Und diesen Zustand schreibe ich jetzt folgendermaßen,
der ist jetzt nur noch von diesen Besetzungszahlen charakterisiert.
Und da gibt es natürlich für jeden ein Teilchen Zustand,
gibt es eine Besetzungszahl, deshalb ist das eine ganze Menge.
Deshalb schreibe ich diese geschwungenen Klammern dazwischen, weil es ist
eine Menge von Besetzungszahlen ist. Und jetzt gibt es eben zwei Möglichkeiten,
entweder ich symmetrisiere oder ich antisemetrisiere, wenn es personisch ist,
symmetrisiere ich, dann schreibe ich hier den Plus-Zustand.
Und manchmal schreibt man das auch folgendermaßen, dass man sagt,
PC Plus Und natürlich hängt der von allen Koordinaten ab.
Aber jetzt eben in symmetrisierter Art und Weise.
Und das kann man jetzt folgendermaßen schreiben, dass ich einen Normierungsfaktor einführe,
das ist Wurzel aus, das ist jetzt ein bisschen kompliziert.
Das ist das Produkt aus allen einteiligen Zuständen und den zugehörigen Besetzungszahlen, die wir dir,
und zwar die Fakultät der Besetzungszahlen, dividiert durch die Fakultät der Gesamtzeichensaal.
Und dann steht hier eine Summe über alle Permutationen,
von diesem Objekt, also von diesen Produkten von Einteilchenzuständen,
also NP1 von R1 bis NPN von RN.
Und es sieht jetzt ein bisschen komisch aus mit dieser Normierung,
aber der Punkt ist folgender, diese Summe,
also sie können das auch über, so wie es jetzt dasteht,
so mir ich über alle Permutationen, aber der Strich hier bedeutet,
dass ich nur über die Permutationen summiere,
die zu Thermen führen, die aufeinander orthogonal sind.
Also stellen Sie sich vor, zum Beispiel Teilchen 1 und Teilchen 2,
also zum Beispiel, ich mache hier mal ein kleines Beispiel angenommen,
ich habe nur zwei Teilchen.
Und dann haben Sie hier, und beide befinden sich in dem gleichen Zustand,
also nennen wir hier das MyN, dann hätte ich irgendwie so einen Therm hier.
Ja, aber wenn ich den jetzt permotiere,
also wenn ich sozusagen Teilchen 1 mit Teilchen 2 austausche,
dann bekomme ich ja folgenden Ausdruck.
Und der ist identisch mit dem Ursprünglichen. Das heißt,
einige dieser Permodationen werden zu Thermen führen, die gar nicht anders sind,
also die nicht unterschiedlich sind, sondern die identisch sind.
Nämlich, wenn ich immer Teilchenkoordinaten austausche, für Teilchen,
die sich sowieso in den gleichen Zuständen befinden.
Und deshalb summiere ich hier nicht über alle Permutationen,
sondern nur über diejenigen, die mir wirklich verschiedene Funktionen,
also verschiedene Therme hergeben. Also beispielsweise,
wenn ich jetzt hier stattdessen Diese beiden Teilchen in unterschiedlichen Zuständen habe,
also N-1, Ungleich-N-2, dann wäre dieser Therm,
den ich nach Permutation bekomme, der wäre dann nicht mehr identisch zu dem,
der wäre sogar orthogonal zu dem.
Denn wenn ich das hier sozusagen das Kalarprodukt bilde,
dann hätte ich zum Beispiel das Integral über CN-1,
Stern von R2, mal PCN2 von R2 und die
sind ein paarweise orthogonal und es gibt null.
Und deshalb ist das hier die Summe über alle Therme,
die nicht identisch sind, sondern ein paarweise zueinander orthogonal sind.
Und da kann man leicht zeigen, dass die Anzahl dieser Therme
ist gerade der Kehrwert von diesem, von diesem Ding her.
Und deshalb nomieren wir das Ganze sozusagen auf eins.
Also das ist sozusagen die Anzahl aller Permutationen oder die anderen,
vielleicht schreibe ich das mal hier so hin.
Also die Summe Sternen-P läuft über Enfakultät,
dividiert durch dieses Produkt von den von diesen Besetzungszahlen,
Fakultät, unterschiedliche, oder sogar orthogonale Therme.
Und wenn ich das auf eins normieren will,
jeder dieser Einzeltherme ist schon auf eins normiert, weil ich angenommen habe,
dass das Psy, dass die Einteilchenwellenfunktion auf eins normiert sind.
Und deshalb, wenn ich davon diese Anzahl habe,
dann muss ich durch diesen Wurzelfaktor,
also inverse, an die Wurzel daraus multiplizieren,
damit der ganze Zustand wieder auf eins normiert ist.
Also das wäre diese Sache hier
Genau. Also das wäre jetzt dieser bosonische Zustand.
Und jetzt brauchen wir noch den Firmionation-Zustand. Also der zugehörige
firmionische. Viel Teichen-Zustand. Der sieht jetzt folgendermaßen aus,
also der hängt wieder nur von den Besetzungszahlen
ab natürlich
Und jetzt, jetzt kommt was Wichtiges. Jetzt müssen wir antisemitisieren. Das heißt,
ich mache jetzt hier erstmal die Summe über alle Permutationen, mal das Vorzeichen der Permutation.
Und dann schreibe ich hier einfach genau dasselbe hin wie vorher.
Das ist also jetzt PC, NP1 von R1 und so weiter, bis PC NPN von RN. Ja,
und jetzt ist Folgendes,
jetzt wenn man so über die Normierung unterhalten, Angenommen,
also das hatten wir letztes Mal schon diskutiert,
dass dieser Zustand, wenn Sie das jetzt genauer überlegen,
wenn sich zwei Teilchen, also wir fangen ja mit diesem Produktzustand an,
angenommen zwei dieser Teilchen befinden sich im gleichen Zustand,
dann ist es automatisch die gesamte Wellenfunktion null.
Das heißt, die existiert gar nicht.
Warum ist es so? Also daraus folgt sozusagen alle Einteilchen
, Zustände
Müssen voneinander verschieden voneinander verschieden sein. Andernfalls habe ich immer Therme von folgender Form,
dass ich sage, zum Beispiel Zeichen 1 und Teichen 2,
würden sich ja dann in dem gleichen Zustand befinden.
Und wenn ich jetzt diese Operation, diese Antisemitarisierung ausführe,
dann habe ich ja einen Therm, den zusätzlichen Ternen,
wo ich sozusagen die Argumente vertauschen muss.
Und das gibt mir ein Minuszeichen, weil das nur eine Vertauschtschaft von zwei Koordinaten ist.
Und dann steht hier CN von R2, MyPCN von R1.
So ein Therm habe ich immer. Und das ist natürlich
insgesamt null, weil der neue Therme sidentisch zum Alten,
weil eben hier das gleiche End steht.
Und damit verschwindet der ganze Ausdruck. Das heißt,
dieser Ausdruck, der ist nur dann ungleich null,
Wenn alle diese einzeichnen, Quantenzahlen unterschiedlich sind,
und dann sind sie natürlich auch alle paarweise aufeinander orthogonal.
Und wie viele Permutationen gibt es? Naja, N-Fakultät.
Und deshalb, wenn ich das Ganze auf einzelnarmieren will,
dann muss ich noch durch die Wurzel aus Enfakultät dividieren.
Und das ist jetzt diese permionische, dieser firmionische Zustand.
Und übrigens kann ich den auch noch etwas anders hinschreiben als Form einer Determinante.
Also vielleicht erinnern sie sich, dass hier,
das sieht so aus, wie eine determinante von Spaltenvektoren.
Und ich kann das auch folgendermaßen dann hinschreiben, dass ich sage,
dieser Zustand, der ist bis auf diesen Narmierungsfaktor,
ist, dass die determinante, von einer Matrix,
wo die Spalten, die verschiedenen Zustände umfassen,
also hier würde dann stehen CN1 und so weiter,
bis sie NN.
Alles zur gleichen Koordinate
Und die Zeilen entsprechen verschiedenen, sorry,
also was habe ich jetzt gesagt, die spalten entsprechend alle der gleichen Koordinate,
aber unterschiedlichen Zuständen und die Zeilen entsprechend dem gleichen Zustand,
aber unterschiedlichen Koordinaten.
Das heißt, hier würde ich sozusagen das Psy N1,
also auf der Zeile ist der Quantenzustand immer der gleiche und die Argumente variieren.
Und auf der Spalte ist das Argument das Gleiche und die
Zustände variieren. Also hätte ich dann sowas hier und hier
hätte ich dann CNN von RN
Ja, also, warum ist das gleich?
Weil das hier nichts anderes, das ist nichts anderes als
die Definition der Determinante von diesem Matrix-Konstrukt her.
Und da sieht man jetzt auch nochmal sehr schön,
dass das tatsächlich nur dann ungleich null ist,
wenn alle diese Einteichenzustände unterschiedlich sind. Denn was passiert,
wenn zwei von denen gleich sind oder zueinander proportional sind,
dann wissen sie aus elementarer Algebra, wenn sie eine Matrix haben,
Und zwei Zeilen sind linear voneinander abhängig.
Das heißt, eine Zeile ist, bis auf eine konstante,
identisch, zu einer anderen Zeile, dann ist die determinante automatisch Null.
Und genau so ist es hier. Und das zeigt nochmal ganz klar,
dass dieser Zustand nur existiert, wenn sämtliche Einteilchenzustände unterschiedlich sind.
Das ist das paulische Ausschließungsprinzip, das Besagtheit, das sich
in einen Zustand nie mehr als ein Fairmehren befinden kann.
Das heißt, mit anderen Worten, zwei Fairmehren können nicht
die gleichen Zustände besetzen.
Und das ist jetzt hier nochmal auf mathematische Art und Weise
Ja, also das ist ungefähr so das,
was ich hier dazu noch sagen wollte. Wenn Sie also irgendwie
zum Beispiel Atomphysik mit mehreren Elektronen haben und so weiter,
dann werden Sie immer solche Zustände betrachten müssen.
Elektron sind Firmialen. Das heisst, die an viel Teilchen
Zustände müssen diese Form haben. Und durch diese Zustände beschrieben,
aber natürlich, wenn Sie jetzt richtige Atomphysik und so weiter machen,
dann müssen Sie natürlich auch diese Wechselwirkungstherme mitnehmen.
Also zum Beispiel das hier, die Kohleumwechselwirkung. Und dann
würden Sie gewissermaßen mit so einem Zustand anfangen und den dann entsprechend verändern,
indem sie versuchen, diese Wechselwirkungen mit zu berücksichtigen.
Und da gibt es Gleichungen dafür,
dass es ihnen dann zum Beispiel die hartere Vorkleidung,
auf die wir hier nicht mehr weiter eingehen,
aber jedenfalls würden sie da mit solchen vollständig antisemetrischen Zuständen arbeiten und entsprechend dann viele Teilchen in Störungstheorie sozusagen beschreiben.
Und beim Bosonischen Zustand noch mit zur Erinnerung eben,
da, sorry, da muss ich jetzt natürlich eins zurückgehen
oder hier eins vorgehen
Genau, hier steht er nochmal, ja.
Da dürfen verschiedene Teilchen natürlich in den gleichen Zuständen sein,
ja, weil hier kein Minuszeichen davor steht.
Das heißt, da ist natürlich erlaubt, dass ich im gleichen Zustand bin.
Und deshalb schaut der Normierungsfaktor auch ein bisschen anders aus.
Und der ist vollständig symmetrisch und die Besetzungszahl kann beliebig hoch sein in einem Zustand.
Also die läuft dann sozusagen von null bis unendlich.
Also um das vielleicht nochmal hier anzudeuten, für den Bohrsonnen
schreibe ich vielleicht hier noch mit drauf, da läuft die Besetzungszahl immer
Von 0 bis unendlich. Es hat praktisch alles erlaubt.
Während hier die Besetzungszahl entweder nur 0 oder 1 sein kann.
Das macht dann übrigens auch in der Thermodynamik einen großen Unterschied.
In der dritten Vorlesung zur theoretischen Physik, da haben sie
es ja dann auch mit statistischer Mechanik zu tun.
Und da werden sie dann auch diesen Besetzungszahlen begegnen. Und wenn sie zum Beispiel irgendwie Bolzmann-Faktoren oder Zustand zum oder sowas ausrechnen,
dann macht es einen großen Unterschied,
ob sie Also was sozusagen der Bereich von Werten von Besetzungszahlen sind,
vielleicht als Ausblick, da ist es zum Beispiel,
da gibt es diese berühmte, also im thermischen Gleichgewicht,
das beweise ich jetzt nicht mehr,
dass es nur ein Ausblick sozusagen auf die nächste Theorievorlesung,
da haben Sie die der Erwartungswert der Besetzungszahl in einem bestimmten Zustand N,
ist in diesem Fall
Da gibt es jetzt zwei Möglichkeiten. Entweder das ist eins
dividiert durch eh hoch. Das ist die Zugehörige Energie,
EN, dividiert durch KBT. Und dann steht hier ein
Plus oder ein minus eins und das Plus eins ist für Fermeonen.
Und das minus eins ist für Bosonnen. Ja,
also sie können jetzt zum Beispiel den Erwartungswert angenommen,
sie haben ein System im Thermischen Gleichgewicht,
dann können sie auch solche Erwartungswerte für Besetzungszahlen ausrechnen.
Und die schauen dann so aus,
Und das ist der Unterschied in dem Vorzeigen von dem Eins her,
der rührt gerade daher,
dass eben bei Femionen sind nur über zwei Zustände summieren können,
nämlich entweder Besetzungszahl 0 oder Eins,
werden es für Bossonnen eben alles zwischen 0 und endlich ergibt.
Und es gibt gerade dann diese Erwartungswerte,
also es schlägt sich dann direkt nieder in diesen Erwartungswerten von Besetzungszahlen.
Sie sehen auch zum Beispiel hier, wenn ich hier ein Plus stehen habe,
dann ist es immer strikt kleiner gleich Eins,
weil ja Das ist positiv und hier steht plus eins,
also das ist immer kleiner, gleich eins.
Dagegen, wenn da ein Miner steht, dann kann das
beliebig groß werden. Und tatsächlich kann das gegen unendlich werden.
Und dann spricht man von einem Bose Einstein-Kondenssaat.
Also wenn sozusagen die Energie gegen Null geht,
dann geht der Faktor gegen eins.
Dann haben sie hier eins, minus eins,
dann steht null im Nenner, dann devagiert es.
Und das entspricht dann dem Bose Einstein-Kondenssaat. Also,
um das nochmal zusammenzufassen, das ist ja keiner gleich eins
für Fermeonen.
Aber unbeschränkt oder potenziell unbeschränkt
Für Bosonnen. Und das hat was mit diesem Bose-Einstein-Kondensat zu tun.
Gut, also ich wollte das nur noch erwähnen,
weil solche Sachen werden sie dann in solchen Dingen,
werden sie dann auch in der Thermodynamik und Statistik begegnen.
Okay, jetzt kommt das letzte Kapitel, das ist so
ein bisschen mehr Fun mit Quantenmechanik und zwar Es wird auch relativ kurz sein.
Und zwar geht es da um die sogenannte belsche Ungleichung.
Und verschränkte Zustände. Und da betrachten wir wieder den einfachsten möglichen Zustand.
Wir haben ja schon mal zwei Spin, ein Hype-Zustände,
haben wir schon mal diskutiert. Und wir haben da Denn Singulett-Zustand,
also wenn man zwei solche Zustände kombinieren, zwei Spinner in Halbzustände,
dann können wir entweder das Bin1 oder das Bin0 bekommen.
Und das Bin0-Zustand, das ist dir hier,
also da ist der Gesamtsbinde ist null und seine Projektion,
also auf eine bestimmte Achse ist auch null.
Und da hat man gesehen, in der normierten Art und Weise
ist es beschrieben durch Spin-Up, Teilchen 1, Spin-Down,
Zeichen 2 minus Spin-Down, Teilchen 1, Spin-Up Teilchen 2.
Da hat man bewiesen damals oder gezeigt,
dass es tatsächlich dem Singulett-Zuständen Zustand entspricht fürs B0.
Und hier seid ihr eigentlich ein Singular verwenden,
weil es davon natürlich nur einen gibt, also Zustand.
Ja, und dieser Zustand, der hat ganz interessante Eigenschaften.
Und zwar, wenn, also der Punkt ist erstmal der,
wenn ich diese Zustände hinschreibe,
dann beziehen sich die ja auf eine Spin-Projektion in einem bestimmten Koordinatensystem,
also entlang einer bestimmten Achse.
Wir haben übrigerweise die Z-Achse verwendet. Ich kann das natürlich
relativ zu jeder beliebigen anderen Achse machen, meinetwegen die X- oder die Y-Achse.
Und er stellt sich heraus, wenn ich irgendeine andere Achse nehme,
dann schaut der Zustand ganz genauso aus.
Also ich kann den Spin quantisieren, entlang von einer beliebigen
Achse, der Singulate-Zustand schaut immer so aus.
Also das ist sozusagen unabhängig von der Quantisierungsachse. Das ist
auch klar, weil Spin-0 ist Rotations- in Variante. Das heißt,
wenn ich meine Achse relativ zu der ich den Spin messe,
drehe, dann darf sich nichts ändern, weil es ist B-0,
wenn ich das B-0 drehe, dann passiert gar nichts, weil es keine Vorzugsrichtung gibt.
Das heißt aber jetzt auch, ich kann zum Beispiel,
vorhin wir es machen, ich kann, ich kann sozusagen,
wenn ich so einen singulären Zustand habe, dann ist völlig klar,
dass wenn ich jetzt eine Messung ausführe, von dem ersten Teilchen,
und es zeigt in einer bestimmten Richtung,
und ich messe dann das zweite Teilchen in der gleichen Richtung,
dann ist garantiert, dass das Bin von Teilchen 2 immer minus der Spin von Teilchen 1 ist.
Also das ist diese Verschränkung. Das heißt, also daraus folgt,
dass Mess, also weil es sozusagen Drehimpuls von Teilchen 1,
entlang einer gegebenen Achse N sei Plus, Haarquerhalbe,
dann folgt es sofort, dass der Drehimpuls von Teilchen 2 entlang der gleichen Achse,
minus Haarquerhalbe sein muss.
Weil das liegt an dieser Konstelluktion,
dass die immer zwei Therme, die hier beide Thermen,
die hier stehen, haben immer jeweils genau umgekehrte Spin-Orientationen.
Und das gilt sogar dann, wenn sich diese zwei Teilchen,
die in einem verschränkten Zustand sich befinden, beliebig weit voneinander entfernt sind.
Also es gibt durchaus Fälle, wo man sowas erzeugen kann,
beispielsweise Wenn Sie einen Pion haben, ein neutrales Pion,
dann ist der Haupt, der Fallskanal, ist in zwei Photonen.
Und natürlich, das geladene Pion hat Bin null.
Das heißt, dieser Zwei-Photon-Zustand, der muss aus Bin null haben,
weil Drehimpulse es erhalten. Jetzt Photon, das ist jetzt
nicht ganz einfach, wie das hier über ein Photon hat.
Spin 1 und ich bin eineinhalb, aber im Prinzip
läuft es auf das Gleiche raus. Nämlich,
wenn Sie jetzt zum Beispiel, wenn das Pion in Ruhe ist,
dann sagt Ihnen Impulserhaltung auch,
dass die beiden Photonnen in entgegengesetzte Richtung wegfliegen müssen.
Also ich hätte dann irgendwie sowas
Das eine Vorzaun geht hier raus und das andere muss
genau in der anderen Richtung wegfliegen, aufgrund von Impulserhaltung.
Und gleichzeitig weiß ich, dass die beiden Spins
sich zu null addieren müssen. Das heißt zum Beispiel,
wenn dieses Photon den Spin in dieser Richtung hat,
dann muss das andere Photon genau in ein Gegengesetz der Richtung haben.
Und der Witz ist jetzt der, sie können so eine
Apparatur bauen und dann können sie die Spins von diesen Photonen in makroskopischen Abständen messen.
Also die Photonen, die gehen ja mit Lichtgeschwindigkeit heraus.
Und wenn jetzt ihr Messgerät sagt, okay,
ich messe das Photon hat Spin in der Richtung,
dann muss das andere, also auf der anderen,
auf dem anderen Ende des Raumes mussten, Spin genau in der entgegengesetzten Richtung haben.
Das heißt, die sind korreliert, die sind nicht unabhängig voneinander. Natürlich,
ich weiß nicht, was das Resultat einer Messung ist,
aber wenn ich die eine Messung gemacht habe,
dann weiß ich sofort, dass das Resultat der anderen Messung,
die aber sehr weit weg stattfinden kann.
Also ich kann natürlich auch die umgekehrte Situation haben,
oder ich bin von dem Photon in der anderen Richtung zeigt,
aber ich weiß dann immer,
dass das zweite Photon,
den Spin genau in der entgegengesetzten Richtung haben muss
Das nennt sich, oder das hat zumindest zu tun,
mit dem sogenannten Einstein Bodolski, Rosenparadoxan. Und daran haben sich diese drei Herren gestört,
oder insbesondere der Einstein, weil er gesagt hat,
das kann irgendwie nicht sein, weil das Kausalität verlässt,
allerdings stellt sich heraus, dass das kein Widerspruch ist zur Kausalität,
und zwar deshalb, das kann ich jetzt hier nicht genauer ausführen,
aber stellt sich heraus,
dass man mit dieser Korrelation keine Informationen transportieren kann.
Also Kausalität verletzen sie nur dann,
wenn sie irgendwie nicht triviale Informationen sozusagen mit Überlichtgeschwindigkeit propagieren können.
Eine genauere Analyse zeigt ihnen allerdings, dass dieses Binz zwar korrelierten,
dass sie damit aber keine Informationen transportieren können.
Insofern liegt es kein Widerspruch vor sozusagen. Aber es ist
trotzdem interessant zu sagen, sich diese Situation mal vorzustellen,
weil irgendwie schaut es auf den ersten Blick so aus,
als ob diese zwei Teilchen sozusagen mit Überlichtgeschwindigkeit kommunizieren.
Denn wenn ich eine Messung mache, ein Teilchen eins,
und das Binget in eine Richtung, dann,
wenn ich die gleiche Messung Bei dem anderen Teilchen mache,
dann weißt du es genau, in welche Richtung das es zeigen muss.
Also das ist auf den ersten Blick etwas erstaunlich.
Und das hat ihn zu diesem Paradoxon geführt.
Und in dem Zusammenhang ist jetzt noch eine andere Sache,
die man diskutieren kann. Und zwar, das wurde lange nach,
sozusagen über mehrere Jahrzehnte, sogar heute teilweise noch diskutiert,
ob die Quantenmechanik nicht doch irgendwie klassisch ist.
Aber mit irgendwelchen verborgenen Parametern, also was sei das,
was soll das jetzt heißen,
verborgene Parameter
Fragezeichen. Also der Punkt ist, dass diese Korrelation irgendwie
von dieser Quantenstruktur, von dem Zustand her rührt,
weil es eben so ein Singulet-Zustand ist.
Und die Frage ist, ob diese Korrelation nicht von irgendeinem
zusätzlichen Information her rührt, die vielleicht nicht völlig offensichtlich ist.
Und das führt dann zu diesem, und die Antwort ist nein,
man kann da einen Widerspruch ableiten und das will ich
hier nochmal kurz demonstrieren.
Und zwar geht das Argument folgendermaßen
Versucht, es möglichst einfach zu machen.
Und die belche Ungleichung für einen sehr einfachen Fall ableiten.
Und zwar, was muss ich jetzt hier machen?
Also ich mache folgende Messung. Betrachte einen Detektor,
der Zeichen 1 registriert, Falls die Projektion seines Spins auf
eine vorgegebene Achse N1 positiv ist und dann so ähnlich und einen Detektor 2
Der Teilchen 2 registriert. Falls, also genau das Gleiche,
nur dass ich im Allgemeinen eine andere Achse nehme,
falls Projektion seine Spins auf eine andere Achse,
eine im Allgemeinen, andere Achse N2, Positives.
Und ich mache jetzt viele solcher Messungen in diesem verschränkten Zustand,
also in diesem Singulate-Zustand. Ich nehme ja wieder diesen Fall raus hier.
Und ich betreibe damit Statistik. Und ich will jetzt ausrechnen,
in wie vielen Fällen, also die Achsen N1 und N2
sind fest vorgegeben. Und ich meine jetzt viele,
ich produziere viele dieser Singulate-Zustände und mache immer wieder Messungen,
Detektor 1, Detektor 2 und so weiter.
Und dann zähle ich den Anteil von Versuchsergebnissen, wo beide Detektoren ansprechen.
Und das nenne ich also Anzahl von Fällen, in denen
beide Detektoren registrieren. Und das kann ich ausrechnen,
das ist nämlich Folgendes, ich nenne das N12 und natürlich
hängt es ab von N1 und
Also von diesen beiden Achsen. Und ja,
wie rechnet man das in der Quantenmechanik aus?
Also das ist ein Erwartungswert. Das heißt,
da muss ich jetzt mein Singulett-Zustand links und rechts drauf projizieren.
Und natürlich, das haben wir schon mal kennengelernt,
das ist der Projektionsoperator.
Also ich schreibe das erst mal an,
ein halb mal eins
Plus Sigma 1, das ist jetzt die Vektor der Pauli-Matrizen für Teilchen 1.
Und dann das Gleiche nochmal für Teilchen 2. Und Brüder projiziert
auf den Singlet-Zustand. Das ist diese Anzahl der Fälle.
Warum? Weil sie sehen, das hier, das ist
ein Projektionsoperator. Und wenn der Spin von Teilchen 1,
plus Haarquer halbe ist, dann gibt dieser Operator gerade eins,
weil dann ist das Sigma 1 sozusagen mal eins, mal N1,
wird eins, dann steht hier eins plus eins,
dividiert durch zwei, das ist eins.
Wenn dagegen der Spin in der negativen Richtung zeigt,
also wenn Sigmar 1, mal N1,
minus eins ist, dann gibt es natürlich null.
Das heißt, dieser Operator, der projiziert mir gerade
den Fall raus, wo Detektor 1 registriert.
Und genauso für den hier. Da ist der einzige Unterschied
ist jetzt, jetzt geht der Point dann nicht mehr,
dass hier die Pauli-Matrix-Verteilchen weiterhin steht.
Und das kann ich ausrechnen
Da muss ich nur noch ein paar kleine allgebräische Umformungen machen.
Ich kann nämlich jetzt schreiben, das ist das Gleiche wie
den ersten Thermo lasse ich unverändert und den zweiten Therm,
da ersetze ich jetzt das Sigma 2 einfach der minus Sigma 1.
Warum kann ich das machen? Naja,
weil ich weiß, ich bin in einem beschränkten Zustand,
das heißt, dass sozusagen der Erwartungswert von Sigma 1
ist immer gerade das Negative von Erwartungswert von Sigma 2
und damit kann ich das hier umdrehen.
Und jetzt kann ich das
sehr leicht ausrechnen
Jetzt müssen sie sich ein bisschen erinnern an Eigenschaften der Pauli-Matrizen.
Da haben wir sowas wie,
also wenn sie das außen multiplizieren, dann haben sie,
dann kriegen sie im Endeffekt folgenden Ausdruck, nämlich,
also erstmal haben wir hier das ein Viertel und dann
haben wir hier,
vielleicht multiplizieren wir das hier erstmal aus
Ja, also das wäre,
da muss ich jetzt hier dieses 0-0 rausschreiben,
ups, 0-0. Und dann steht also hier erstmal eins,
plus Sigma 1, mal N1, minus Sigma 1, mal N2.
Und dann steht hier Herr Minus, Sigma 1,
mal N1. Sigma 1, mal N2. Und natürlich der Erwartungswert
von Sigma in einem Zustand, in dem Singular-Zustand ist immer null.
Das heißt, die zweite Therme fallen sowieso weg.
Und der hier, das kann man jetzt leicht ausrechnen,
das ist einfach das Skalarprodukt von N1 und N2. Sodass,
sodass im Endeffekt überbleibt, es ist gleich ein Viertel,
mal 1 minus N1 mal N2.
Also das ist vielleicht eine kleine Zwischenrechnung,
die können Sie aber auch selber machen,
indem Sie hier diesen Singular-Zustand hier anwenden
Und dann den Erwartungswert von dem Operator auserrennen. Und also
man kann es, genau, man kann es vielleicht,
vielleicht sollte ich trotzdem noch sagen, wie das geht.
Also ich fand es ja ausschreiben, Sigma 1,
mal N1, mal Sigma 2, zigma 1, mal N2.
Das ist ja folgendes, das ist sowas wie Sigma 1,
X, N1, X plus Sigma 1,
Y N1,
Schluss, Sigmar 1, Z, N1, Z.
Und das Gleiche hier normal mit N2. Und jetzt sehen Sie folgendes,
in dem Produkt, wenn ich den Erwartungswert bilde, dann fallen die Mischtherme immer raus.
Warum? Weil wenn zwei Pauli-Matrizen, zwei unterschiedliche Pauli-Matrizen aufeinandertreffen,
dann gibt es jeweils die dritte Pauli-Matrix, also sowas wie Sigmar X,
Sigmar Y ist Sigmar Z, bis auf irgendwelche Vorfaktoren.
Und deren Erwartungswert ist null. Also können hier nur die diagonalen Therme beitragen,
Aber Sigmar 1, Quadrats, Sigmar 1, Quadrats,
30, 9, 9, 9, 9, 8, 7,
1. Und deshalb steht hier im Endeffekt N1X, N11,
N2X, plus N1, Y N2, Y, plus N1, N2Z.
Und das ist gerade N1, mal N2. Ja, so sieht man das.
Das macht auch Sinn, wenn Sie sehen zum Beispiel,
wenn ich die zwei Achsen parallel zueinander wähle,
dann kommt null raus, weil das dann eins, minus eins geht.
Und das ist klar, weil Dann, das würde ja bedeuten,
dass ich zähle die Anzahl der Messungen,
wo sozusagen ich bin Teilchen 1, positiven Spin hat und Teilchen 2,
ebenfalls positiven Spin, entlang derselben Achse.
Die sind aber ein Singulate-Zustand, das heißt,
es kann gar nicht sein, weil die Spins immer entgegengesetzt gerichtet sind.
Deshalb muss in dem Fall null rauskommen, wenn N1 identisch mit N2 ist.
Wenn natürlich jetzt zum Beispiel N2 genau minus N1 ist,
dann kommt hier ein Halb raus,
weil dann haben sie eben zwei verschiedene orientierte Achsen entlang die ganze Messen.
Und dann trägt wieder sozusagen diese Sache bei,
dass die Teilchen eben gerade antikuelliert sind.
Genau. Okay, also das ist jetzt das Resultat,
das sie aus der Quantenmechanik bekommen.
Jetzt will ich annehmen, dass es sowas wie verborgene Parameter gibt.
Und das heißt, ich will jetzt annehmen,
dass es irgendwie, was ich mit verborgenen Parametern meine, ist,
dass ich annehme, dass irgendwie die Spins bereits vorherbestimmt sind.
Also nicht vorherbestimmt, ist vielleicht der falsche Ausdruck,
aber dass die Dispins deterministisch sind, in gewisser Art und Weise.
Wenn ich so argumentiere, dann kann ich folgende Gleichung aufstellen.
Ich kann jetzt diese, ich kann jetzt diese relative Anzahl von Versuchsergebnissen auch anders darstellen.
Und zwar Kann ich schreiben. Das ist,
lassen wir erst die Gleichung anschreiben und dann erkläre ich, was das bedeutet.
Das kann ich als Summe schreiben von N1 von N1
und dann führe ich eine neue sogenannte Referenzachse NR an,
ein, plus N1 und dann steht hier N1. NR mal und N2.
So, was bedeutet das jetzt? Ich nenne das N1,
da gibt es also jetzt zwei Argumente, Und die Definition davon ist,
dass die Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen eins, positives Binnenprojektion,
auf die Achsen im linken Argument hat,
Und negative Projektionen auf Achsen, im rechten Argument.
Ja, und Sie sehen, was ich jetzt hier gemacht habe,
ist, ich habe eine Referenzachse eingeführt und habe gesagt,
es gibt zwei, also wenn ich jetzt sozusagen eine dritte Achse einführe,
dann gibt es ja nur zwei Möglichkeiten.
Wenn der Spin irgendwie klassisch ist, dann hat er auch ein Wohldefinitiv,
dann musste er auch einen Wohldefinitiv definierten Wert haben,
relativ zu dieser neuen Referenz Achse NR.
Und da gibt es nur zwei Möglichkeiten. Entweder diese Projektion
ist positiv oder negativ. Und was ich hier hingeschrieben habe,
ist, beide Möglichkeiten, ich summiere die einfach.
Die sind gegenseitig ausgeschlossen. Also die sind orthogonal zueinander,
weil entweder ist es positiv oder ist es negativ.
Und deshalb kann ich einfach summieren. Also es sollte gelten,
wenn das Bin irgendwie eine klassische Eigenschaft hat. Das heißt,
seine Projektion entlang von der beliebigen Achse hat immer einen eindeutigen Wert sozusagen.
Also sollte diese Summengleichung gelten
Dann haben wir, dann kann ich noch eine Gleichung hinschreiben. Und zwar,
also ich kann das Spiel jetzt auf verschiedene Art und Weisen
treiben und ich kann jetzt das hier auch,
also ich kann jetzt hier das Argument ein bisschen vertauschen
und kann zum Beispiel schreiben,
das ist N1 mal N1 von NR und hier steht dann
N2 und dann habe ich hier Plus N1 von NR
N1, N2. Ja, das ist immer das gleiche Spiel.
Das ist die Wahrscheinlichkeit,
dass sozusagen das Teilchen eins relativ zur Referenzachse NR positiven Spin
hat und Teilchen 2 relativ zur Referenz zur Achse in zwei Negativen bin.
Das kann ich schreiben, als diese Summe der Wahrscheinlichkeiten.
Wobei sozusagen das Teilchen eins jetzt wieder entweder relativ zur Achse N1
, positive Projektion hat oder halt negative Projektionen.
Und über diese beiden Möglichkeiten muss ich summieren.
Ja, genau. Und jetzt, wenn sie diese,
also diese beiden Gleichungen sollten gelten, wenn sich der Spin einfach klassisch verhält.
Und da können wir jetzt folgendes ableiten, eine Ungleichung.
Und es wird dann zu dieser belgischen Ungleichung.
Und zwar folgt daraus jetzt
Das, wenn wir uns zunächst diese zweite Gleichung anschauen,
dann folgt daraus, dass N1 von N1,
ob es das kann man irgendwie nicht so richtig lesen hier,
N1, NR N2, dass das kleiner gleich ist,
dieser summierten Wahrscheinlichkeit.
Das hier. So, warum ist es?
Weil ich habe mir sozusagen einen von diesen Faktoren rausgepickt,
nämlich den hier und habe gesagt, Der muss kleiner gleich sein,
dem, was auf der linken Seite steht.
Das ist offensichtlich, weil das sind alles Größen,
die sind größer, gleich null.
Und die eine ist die Summe aus zwei positiven Größen,
also muss der erste Faktor, der erste Romant,
muss kleiner, geister Summe sein, das ist logisch.
Und genauso, wenn sie diese Summe anschauen,
dann kann ich mir den Faktor rauspicken und das muss dann kleiner gleich dem hier sein.
Das heißt, ich kann jetzt auch schreiben, N1 von N1,
NR, N2. Ist kleiner gleich, N12 von N1 und NR.
Ja. Ja, der ist nach dem ersten Argument hier.
Ja, also der Mittelstrich teilt immer positive versus negative Spin-Projektion,
wenn ich das richtig... Genau. Ja,
und wie kommen wir jetzt hier zu einer Ungleichung für eins, zwei?
Jetzt kann ich, genau, und diese beiden,
wenn sie jetzt diese beiden Ungleichungen anschauen,
dann sollten das gerade die rechten Seiten sein in dieser Gleichung hier.
Stimmt es, Das Jahr ist der hier und dass ihr
, ist der Herr, genau.
Also jetzt setze ich diese beiden Gleichungen auf der rechten Seite hier ein und dann folgt,
und das ist jetzt die sogenannte belgische Ungleichung für diesen Fall,
N1,2 von N1 und N2, ist kleiner gleich,
N1,2 von N1.
Und NR plus N1,2 von NR und
Ja, also ich habe sozusagen,
was ich eigentlich eingeführt habe, ist,
ich habe so eine Mittelachse eingeführt, eine neue Referenzachse,
ja, und habe sozusagen die Wahrscheinlichkeiten aufgespalten,
in zwei Teilwahrscheinlichkeiten unter der Annahme,
dass die Messung entlang dieser neuen Referenzachse nicht die Messung entlang von N1 und N2 beeinflusst.
Also so wie es, wie man es für einen glassischen,
für eine klassische Größe erwarten würde.
Und der Punkt ist jetzt aber folgender,
dass das nennt sich also jetzt
die belgische Ungleichung
Und wir haben aber jetzt, also das würde sozusagen
diese Ungleichung, müsste ein klassischer Spinnen erfüllen.
Und andererseits haben wir das Resultat quantmechanisch ausgerechnet für diese N12.
Das ist nämlich das hier. Also vielleicht sollte ich das nochmal,
das war N12, vielleicht sollte ich es nochmal hinschreiben.
Also andererseits, das wäre sozusagen die Eigenschaft,
oder ich schreibe es mal so hin,
sollte von einem klassischen Ich bin erfüllt sein.
Andererseits sagt, die Quantenmechanik, voraus,
dass N-1-2 von N-1 und N-2 gleich ist,
ein Viertel, mal 1 minus N-1 mal N-2.
Und jetzt muss ich nur noch einen Fall finden,
Für den diese beiden, verdient diese Gleichung mit dieser Ungleichung Widerspruch steht.
Also ich muss sozusagen eine geeignete Achsen finden,
Achsenorientierung finden, für die diese Ungleichung verletzt ist.
Und das kann man jetzt leicht ausknobeln. Und zwar für diese,
für die Wahl, das N1,
zum Beispiel in der X-Achse zeigt, und N2 in der Y-Achse.
Und die Referenzachse soll Koplanar sein, und zwar gerade 45
Grad, zwischen X und Y auch gesehen.
Also eins durch Wurzel zweimal, EX plus EY.
Und dann ist diese Ungleichung verletzt. Warum? Weil,
in diesem Fall ist N12 von N1 und N2.
Das ist einfach ein Viertel. Ja, warum?
Weil natürlich jetzt EXS orthogonal auf EY, das heißt,
das ist Null, das heißt, es gibt ein Viertel.
Und andererseits ist aber Die beiden Größen,
die hier auf der rechten Seite stehen, die kann man auch ausrechnen, natürlich.
Und zwar sind die N12 von N1 und NR.
Das ist auch das Gleiche wie N12 von NR und N2.
Und zwar ist es gerade ein Viertel, mal 1,
minus 1, der Wurzel 2. Warum?
Weil jetzt natürlich die Projektion von NR auf N1 oder
Die ihr seid gerade 1 zu Hubertel 2. Das sind wir
direkt an dem. Und jetzt das hier ist aber,
das heißt, dass sozusagen die Rechte der HSV,
die rechte Seite der Ungleichung, ist damit eineinhalb,
mal eins, minus eins der Hubertel 2.
Und das ist sicherlich kleiner als ein Hype,
mal eins, minus eineinhalb.
Und das ist ein Viertel
Ja, das heißt, die rechte Seite ist echt kleiner wie die linke,
aber in dieser klassischen Ableitung sollte sie größer sein als die linke Seite.
Das heißt, das ist ein echter Widerspruch.
Und das ist jetzt ein Beispiel, wo man sieht,
dass das nicht funktioniert mit dieser klassischen Betrachtung.
Also nochmal zur Wiederholung, was ich hier gemacht habe.
Ich habe hier diese gemeinsame Wahrscheinlichkeit,
dass das Teilchen 1 positiven Spin-off auf die Achse N1 hat und Teilchen 2 Ebenfalls positiven Spin,
hat auf die Achse N2, habe ich dargestellt,
auf zwei verschiedene Art und Weisen, als Summe.
Und was ich ihr ja auch gemacht habe, was wichtig ist,
ich habe jetzt hier immer, was rechts hier steht,
bedeutet negative Projektion des Bins von Teichen 1 auf diese Achsen.
Das entspricht natürlich in diesem verschränkten Zustand positiver Projektion von Teichen 2 auf diese Achse.
Ich habe hier immer alles nur durch Teichen 1 ausgedrückt,
denn in einem Singulate-Zustand dreht sich das genau um.
Das heißt, wenn die Projektion für Teichen eins positiv ist,
dann ist natürlich die Projektion von Teichen 2 entsprechend negativ.
Und ich habe diese Sache auf zwei verschiedene Art und Weisen
Indem ich gesagt habe, wenn der Spin-klassisches und einen eindeutigen Wert hat,
dann kann es keinen Unterschied machen, wenn ich eine dritte Messung ausführe,
relativ zu einer dritten Achse und beide Möglichkeiten summiere.
Also beide Möglichkeiten für die Spin-Projektionen relativ zur dritten Achse, einfach summiere.
Beschließt sich gegenseitig aus, also müssen sich die Wahrscheinlichkeiten summieren.
Und das habe ich auf zwei verschiedene Art und Weisen gemacht.
Und daraus habe ich eine Ungleichung abgeleitet und die dann wieder eingesetzt.
Und dann habe ich diese belgische Ungleichung erhalten. Und dann sieht man aber,
dass der quantenmechanische Ausdruck für diese Wahrscheinlichkeit Zeichen 1,
positive Projektion auf ACN1 und teile ich in zwei positive Projektionen auf ACN2, dieser Ungleichung widerspricht.
Also der einzige Schluss, den man daraus ziehen kann,
ist, dass der Spin eben keine klassische Größe sein kann.
Das heißt, er kann keinen vordefinierten Wert haben. Mit anderen Worten,
was vor der Messung rauskommt, hängt von der Art der Messung ab.
Also die Messung kann sozusagen die Orientierung von dem Spin ändern.
Das entspricht auch dieser Kollaps der Wellenfunktion sozusagen,
wenn sie eine Messung durchführen, dann ändert sich der Zustand,
Und das muss man hier berücksichtigen. Und wenn man diese,
das berücksichtigt man eben nicht, wenn man so eine klassische,
so ein klassisches Argument durchzieht, wo man annimmt,
dass dieser Binde eine feste, einen festen Wert hat, ja.
Das hat der Quatsch sicherlich zu mir,
weil Sin 1 und 2 von Amtszeit von der Einblicke gesprochen.
Aber das sind trotzdem jetzt Wahrscheinlichkeiten zu tapedieren. Ja,
klar, das waren die relative Anzahl der Messwerte,
also des Ausgangs einer Messung relativ zu allen Messungen.
Also das ist eine Wahrscheinlichkeit. Das ist, N12 ist,
Wahrscheinlichkeit, warum, weil es der Erwartungswert ist von diesem Ding hier,
normierter Erwartungswert dafür, dass zwei Dinge passieren,
nämlich dass Teilchen 1 positives Binnenprojektion auf Achse N1 hat und Teilchen 2 positive Projektionen auf Achse N2,
was negative Projektionen von Teilchen,
von Spin-Teichen 1 auf die Achse N2 entspricht.
Das ist genau, das ist eine Wahrscheinlichkeit, weil ich zwei Projektionen,
das sind ja beides Projektionsoperatoren, deren Eigenwert es in 0 oder 1
Und damit ist, wenn ich die multipliziere,
dann kann ich nur was zwischen null und eins rauskriegen.
Das ist eine Wahrscheinlichkeit. Okay, also das dazu. Man kann natürlich,
da gibt es viele Variationen von dieser belgischen Ungleichung,
aber das ist vielleicht eine der einfachsten,
wobei man trotzdem ein bisschen aufpassen muss mit dieser Argumentation,
dass man hier sozusagen die Vorzeichen richtig rumkriegt und dass man auch definiert,
was diese Bedingten Wahrscheinlichkeiten sozusagen genau bedeuten.
Also sehen, ich habe hier immer eins geschrieben, das heißt,
dass ich alles immer nur auf Teilchen 1 bezogen habe,
beziehungsweise auf den Spin von Teichen 1.
Das kann ich machen, weil in einem verschränkten Zustand,
wenn ich Quantenmechanisch den Spin von Teichen 1 messe in einem bestimmten Richtung,
dann weiß ich automatisch, dass das Bin von Teichen 2
auf derselben Achse genau das Negative davon ist.
Deshalb kann ich mich auf Teilchen 1 beschränken.
Das gilt aber natürlich nur in diesem singulären Zustand.
Also wir haben alle diese Argumente beziehungsweise diese Ableitung,
die ich ja gemacht habe, beziehen sich auf diesen verschränkten Singulet-Zustand.
Also der hier
Nochmal, ja. Und wie gesagt,
es ist auch eine gute Übung vielleicht,
das können sie auch vielleicht selber versuchen, überzeugen sich davon,
dass das tatsächlich unabhängig von der Grantisierungsachse der Spin-Projektion ist.
Das heißt, sie kriegen immer diesen Ausdruck,
egal relativ zu welcher Achse sie Spin-up und Spin-down definieren.
Also das ist in Variante unter Rotationen, wie es sein muss.
Okay, gut, das schließt eigentlich alles ab,
was ich
so erzählen wollte
Und ja, damit ist die Vorlesung beendet.
Auch vielleicht eine Erinnerung zur Klausur. Sie wissen wahrscheinlich die
Regelungen. Sie müssen sich immer vorher registrieren bzw. abmelden.
Also vergessen Sie das nicht, ins Diene. Das geht,
glaube ich, bis zu drei Tagen vor der Klausur.
Das heisst, machen Sie das frühzeitig.
Ich weiss immer nie, wie das funktioniert.
Ich glaube, wenn es in der Vorlesung registriert sind,
sind Sie wahrscheinlich per Defaults, zunächst mal auffällig Klausur registriert.
Wenn Sie nicht vorhaben, mitzuschreiben, müssen Sie sich wahrscheinlich extra abmelden.
Also das noch mal checken, dass Sie wirklich angemeldet sind.
Aber wenn Sie nicht angemeldet sind, dann können sie eigentlich
auch nicht mitschreiben, außer in irgendwelchen Härtefällen oder sowas.
Aber also das nochmal überprüfen, bitte. Okay, gibt es
irgendwelche Fragen noch, ja? Seid ihr da hinten gestürzt,
wo ihr jetzt euer Sport hört, immer noch das,
was wir gemacht haben, zu hören? Nur,
also Sie können sich auf den Stoff der Übungsaufgaben beschränken,
also der tabellischen Ungleichung werde ich nichts machen, aber ansonsten ist halt alles,
was wir so in Übungen gemacht haben, kann natürlich potenziell relevant sein.
Also ich würde mir auch nochmal so stark,
also es gibt so gewisse Standardsachen, die immer wieder auftreten,
die einfachsten Quantensysteme, zwei Niveausysteme, sehr wichtig,
harmonischer Ascelator ist sehr wichtig, Wasserstoffatom, wobei Wasserstoffe,
jetzt um die Eigenfunktionen sind,
zu kompliziert für eine Klausur, aber sie sollten wissen,
was die Energieeigenwerte sind an solche Dinge, ja.
Also vor allem diese einfachsten und nicht trivialen Quantensysteme,
die sollte man immer wissen, also Spin-Einheit,
Pauli-Matrizen und solche Dinge, ja.
Andere Fragen. Also es ist zwei Stunden,
Wissen Sie ja wahrscheinlich, am 27. von 10 bis 12.
In diesem und in dem anderen Hörsaal, weil sie ja relativ viele sind.
Ich glaube, ich werde es so machen.
Also Sie wissen, das ist wahrscheinlich von anderen Klausuren.
Jede zweite Reihe wird freigehalten, Abstand, irgendwie zwei Plätze oder so.
Und ich glaube, am effizientesten ist es, wenn ich
Ihre Identität sozusagen beim Durchgehen kontrollieren, nicht beim Eingang.
Dann geht es, weil sonst gibt es vielleicht einen Rückstau
beim Einlass. Deshalb legen Sie Ihre ID daneben hin,
dass ich, wenn ich dann während der Klausur durchgehe,
dass ich mein abchecken kann, wie registriert war und so weiter.
Also nehmen Sie Ihre ID mit, legen Sie daneben hin
und dann gehe ich zwischenzeitlich durch oder jemand anders.
Ja, gibt es da sonst noch irgendwas, was wir sprechen müssen?
Also Klausureinsicht weiß ich jetzt noch nicht,
weil ich dann auch eine Zeit lang weg bin.
Kann sein, dass das dann erst im September oder so
klappt. Aber die Noten werden dann irgendwann ins Diene eingetragen
Und das wird sicherlich vor September passieren,
aber da müssen wir vielleicht irgendwie einen Termin ausmachen.
Vielleicht kann ich eine E-Mail über Stine verschicken oder so,
waren sie die Einsicht machen können. Da muss ich
erst mal auf den Kalender schauen und ich nehme an,
dass viele von ihnen auch im August nicht da sein werden.
Ich auch nicht. Und von daher müssen wir mal schauen,
wie wir das im September dann hinkriegen.
Sonst irgendwelche Fragen? Achso, ja genau, vielleicht noch
eine Sache, die ich ab und zu gefragt worden bin.
Die Modalitäten sind ansonsten genauso wie bei der Übungsklausur.
Das heißt, sie können vier Seiten beschreiben,
also zwei Papier
Papierseiten vorher an der Rückseite, ja,
aber da würde ich mir nur die wichtigsten Sachen aufschreiben und einen einfachen Taschenrechner zur Not,
wobei ich denke, dass wir den gar nicht brauchen,
aber keine Handys, keine Computer, ja,
und solche Sachen, kein Internet, also Handys ausschalten,
wobei ihn das wahrscheinlich sowieso nicht so viel helfen wird,
weil das dann teilweise konkrete Rechnungen sind,
die sie bestimmt nicht im Internet so finden auf die Art und Weise,
also konzentrieren sie sich mehr auf Idee, wie sie was angehen,
Es gibt ja ein paar Standardprobleme, die man verschieden variieren kann,
aber so die Hauptideen müssen halt da sein,
wie löst man eine Schrödinger gleich und solche Dinge halt.
Also wenn irgendwelche irgendwas bei der Angabe fehlt, irgendwelche Details,
daran soll es nicht scheitern, das heißt,
ich habe sowieso eigentlich alles, was ich denke,
was man braucht, in die Angabe reingeschrieben,
aber falls ich doch was vergessen haben sollte,
dann würde ich das notfalls auch an die Tafel anschreiben während der Klausur,
also halten sie sich nicht mit irgendwelchen Details auf,
dass sie jetzt irgendwie, was weiß ich,
die Lagia polynome Enterordnung mit sämtlichen Vorfaktoren aufschreiben oder sowas.
Also das wäre dann etwas übertrieben, das Wichtiger ist eigentlich,
dass sie die Prinzipien verstehen und wie man bestimmte Dinge angeht.
Gibt es da eine passende Zeitung? Ja, wie gesagt
, sehr ähnlich zur Übungsklausur. Ich weiß nicht mehr,
wie viele man da hatten. Ich glaube vier oder so
. Also ähnlich wird es sein. Ich meine,
in zwei Stunden kann man nicht wahnsinnig viel machen.
Und wie immer wird es wahrscheinlich so eine Art Aufwärmaufbau begeben,
wo es mir um allgemeine Dinge geht und dann aber
auch mal eine konkrete Rechnung
Ja. Also wird so eine Mischung aus konkreten Sangsein und
auch ein bisschen Verständnis fragen. Oder wo sie irgendwie erst
mal nachdenken müssen, um eine Lösung zu finden. Übrigens,
das empfiehlt sich immer, dass sie nicht irgendwie wild drauf losrechnen,
sondern sich erst mal vielleicht fünf Minuten Zeit nehmen und überlegen,
wie kann ich das am schnellsten, effizienter, not elegantesten angehen.
Das spart oft sehr viel Zeit. Also nicht einfach
irgendwie mechanisch vorgehen, sondern vielleicht erst mal kurz nachdenken.
Manchmal ergeben sich Lösungen bereits ohne Rechnung, indem man einfach nachdenkt,
warum muss das so sein oder kann das nicht so sein und so weiter.
Ich habe jetzt auch jetzt das übrigens. Also eigentlich sollte alles auf der Klausur sein,
die hat irgendwie, ich weiß nicht, acht Bögen,
also mit vorher an der Rückseite, sollte das eigentlich erreichen.
Aber eigentlich ist, falls Ihnen die Anzahl der Schieds,
also der Seiten von der Klausur nicht reichen und sie machen irgendwelche Rechnungen,
dann ist, glaube ich, auf Schmierpapier,
dann ist eigentlich normal die Regel, dass sie die mit abgeben sollten.
Also wenn Sie irgendwelche Schmierpapier sagen, man,
im Prinzip können Sie das machen,
aber dann müssen Sie es eigentlich
mit abgeben
Also falls die nicht reichen, werde ich nicht verbieten,
dass sie irgendwie zusätzliche Bögen beschreiben, aber die sollten sie damit abgeben.
Ersten Versuche. Ja, ja. Aber versuchen sie nicht,
weil das ist mir manchmal passiert, dass dann die Lösungen irgendwie querbeet waren,
also dass dann Lösungen zur Aufgabe 4 irgendwo im letzten Teil
von nach der Angabe von der Aufgabe 1 sind.
Und das macht es manchmal passiert sogar, dass man das
dann übersieht und dann gibt es halt keine Punkte.
Also versuchen sie schon, die Aufgabe 1 in den Bereich
der Aufgabe 1 zu rein zu schreiben und nicht irgendwo anders.
Oder wenn es nicht ausreicht, dann ganz klar auf dem Schmierpapier markieren,
Aufgabe 1 und dazulegen, weil sonst finden wir es unter Umständen nicht.
Okay. Gut, sonst noch irgendwas, weil sonst werde ich schließen. Ja,
eine sei vielleicht noch, es gibt ja eine Nachklausel,
ich habe jetzt den Termin vergessen, aber das ist,
glaube ich, alles in Stine angekündigt, irgendwann im Oktober.
Also wir hoffen ja,
dass die meisten von Ihnen das nicht brauchen, aber ansonsten,
ja, gibt es halt eine zweite Chance und ja,
aber hoffen wir mal, dass das nicht so viele sind,
die das dann benötigen werden.
Und da sind auch wieder die Modalitäten ganz genauso.
Ja, also selbe Anzahl von Notes und gleiche Zeit,
etwa ein gleicher Schwierigkeitsgrad, natürlich nicht identisch, klar.
Aber im Wesentlichen dieselbe Form, ja. Okay,
gut, dann verabschiede ich mich und wünsche viel Glück für
die Klausur und auch für die weiteren Veranstaltungen im Bachelorstudium