Guten Morgen. Wir hatten letztes Mal angefangen oder beziehungsweise eigentlich
schon fast fertig besprochen, den Fall der Asphärisch,
der radialen Schödingergleichung für konstantes Potenzial, also insbesondere auch,
wenn das Potenzial null ist.
Und wir hatten da diese radiale Schödingergleichung gelöst, also die hier.
Und natürlich, das ist eine Gleichung zweiter Differenzialgang,
zweiter Ordnung. Das heißt, die hat zwei
linear unabhängige Lösungen
Und wir hatten da gesehen,
dass die Lösungen als sphärische Bestsell-Funktionen und zwerrische Neumann-Funktionen bekannt sind,
wobei die sphärische Bestsell-Funktion am Ursprung endlich bleibt,
während die Sphärische Neumann-Funktion singulär ist.
Und wir haben auch gesehen, dass man oft diese Linearkombination bildet.
Es sind natürlich genauso Lösungen, die heißen dann sphärische Handelfunktionen, Erster und zweiter Ordnung.
Und ich will nicht mehr auf die Details eingehen,
vielleicht noch ganz kurz die die allgemeine Form dieser der sphärischen Basel-Funktion,
da hatten wir gefunden, dass die sich folgendermaßen schreiben lassen kann,
beziehungsweise definiert ist.
Das ist dieser Operator, El mal angewandt,
auf die Funktion Sinus von Rodoich, Rot.
Das heißt, insbesondere kann man daraus ablesen, ja,
vielleicht mache ich das gleich auch noch mal mit der Neumann-Funktion.
Das ist völlig analog, bis auf ein Vorzeichen und Dass
ich das hier auf Cosenhos Rot durch Rot anwende.
Und man sieht insbesondere, wenn hier L gleich null ist,
also kein Drehimpuls, dann ist das im Wesentlichen Sinus.
Oder dann ist das Sinus Rot durch Rot und es bleibt endlich bei Rot gleich null.
Während wenn ich hier zum Beispiel ebenfalls L gleich null setze,
dann kommt daraus minus großen, das rote rot.
Und es divergiert natürlich bei Rot gleich null. Zur Erinnerung dieses Rot,
es war eine dimensionslose, radiale Koordinate,
definiert als Karma-R, wobei K die radiale Wellenzahl ist,
also wenn das V0 konstant ist, was wir angenommen haben,
dann ist es diese Wurzel hier und wenn sie ungebundene Streuzustände haben,
dann ist es eh größer als V0,
damit ist das K auch positiv und reell,
während wenn es in Bindungszustand hätten,
dann wäre das eh kleiner als V0 und dann wird es imaginär,
sodass man hier noch einen Faktor I davor hätte.
Und dann hat man noch die Asymptotik von diesen Funktionen kurz hingeschimpft,
für sehr große Roh und das brauchen wir jetzt,
wenn wir Streutheorie diskutieren werden.
Also für Roh sehr groß gegen eins. Und das habe ich
jetzt hier ohne Beweis angegeben. Kann man das JL,
also die sphärische Bessel-Funktion, die geht dann gegen eins durch Roh.
Mal Sinus von roh-LP halbe. Und die Neumann-Funktion,
die geht gegen minus eins durch Roh.
Malcosnos von roh-LP halbe. Und die Hankelfunktionen HL12,
das sind dann sozusagen Ebene Wellen in Rohr,
im Wesentlichen, bis auf diesen Dämpfungsfaktor 1 durch Rohr.
Hier steht ein I. Joch, plus minus I und dann steht hier Roma minus LP-Halde.
Also wenn man sich das physikalisch vorzustellen hat, ist,
das ist eigentlich intuitiv relativ klar, dass das so sein muss.
Wenn sie eine, eigentlich beschreibt sozusagen Kugelwellen. Und eine Kugelwelle,
da geht die Amplitude immer mit eins durch Rohr runter und wenn man das betragsbatteriert,
wir werden das dann nachher auch machen,
dann entspricht der Fluss der Teilchen, der geht wie eins durch Europa,
Draht oder wie eins durch Ärgodrat.
Und das ist klar wegen der Wahrscheinlichkeitserhaltung. Oder wir haben Zeitteilchenzahlhaltung,
wenn sie einen Fluss haben. Also das ist wie sozusagen,
wenn es in den Sternen irgendwie als großer Entfernung betrachten,
dann geht der Fluss wie eins durch R-Quadrat runter.
Und genauso ist es hier, wenn sie das quadrieren,
dann gibt es sowas wie einen Fluss.
Und es geht auch wie eins durch R-Quadrat. Und der
andere Faktor ist einfach eine Schwingung in der radialen Richtung.
Das ist halt einmal Sinus und einmal Ecosnus
Und diese Phase, diese zusätzliche Phase, die kommt von der Drehimpulsbarriere,
weil sozusagen der Drehimpuls eine abstoßende Kraft darstellt.
Dadurch wird sozusagen die Wellenfunktion weiter nach außen gedrückt. Das heißt,
die Phase bei einem bestimmten konstanten R verringert sich und das ist
halt proportional zu L und es kommt halt so raus.
Das heißt, wenn sie L gleich Null setzen,
dann ist es einfach nur der Sinus hier,
weil in dem Fall haben sie keine Drehimpulsbarriere,
aber für positive L wird die Wellenfunktion weit rausgedrückt und deshalb bringen sie hier so eine Phase.
Also das ist jetzt intuitiv physikalisch interpretiert sozusagen,
was man hier mathematisch als Lösung rausbekomme. Und natürlich,
wenn ich hier diese, wenn ich diese Linearkombinationen bilde,
ich glaube, hier habe ich irgendwie einen Faktor I vergessen,
wo war das nochmal?
Ja, genau, hier muss das sein.
Das muss natürlich heißen, plus minus I. Mal en.
L. Und natürlich, wenn sie Sinus und Cosnus so kombinieren,
in der wir es in dieser Art und Weise,
dann kriegen sie halt Staatsinos und Cosnus,
kriegen sie halt die Exponentialfunktion der Form
Okay, also das war sozusagen das Wichtigste zu diesen sphärischen Radialfunktionen.
Und dann hat man noch den sphärischen Potenzialtopf angeschaut, also Bindungszustände.
Das mache ich auch noch ganz kurz. Das hat man
nicht mehr ganz fertig bekommen. Das war also dann 12-
2-2 sphärischer Potenzialtopf. Und die Idee war,
dass wir hier sozusagen im Radial ein Potenzial haben,
das Konstantes und Negativ für Radio ein kleiner A. Und ansonsten null.
Also das ist einfach sowas, wenn ich hier VX,
V von X auftrage. Und hier ist X und hier
ist null. Dann haben wir halt irgendwie sowas,
ja. Und die Tiefe hier, das ist minus V0.
Und dann haben wir gesagt, okay,
darauf können wir jetzt diesen ganzen Kram hier anwenden.
Wobei das K durch das hier gegeben ist.
Und also ja, genau, ich muss vielleicht noch hinschreiben,
dass, also ich betrachte das jetzt für Energien
Also Bindungszustände mit Energie-EB, die zwischen minus V0 und Null
liegt. Und natürlich erzählen Sie, wenn ich hier,
dass für jedes EB einsetze, dann ist das immer noch größer Null hier.
Das heißt, es ist reell. Solange der Radius eher
kleiner ISA ist. Und damit haben wir entweder natürlich,
jetzt muss man sich überlegen, welche dieser Funktionen wird,
das heißt, wir wissen schon, dass der Radiale Funktion eine dieser Funktionen Funktionen sein wird.
Und weil die Wellenfunktionen am Ursprung stetig und endlich bleiben muss,
kann es nur die sphärische Basel-Funktion sein. Das heißt,
wir können dann hinschreiben schon mal, daraus folgt RL von R,
das ist die radiale Funktion, radiale Wellenfunktion.
Also ohne den Winkelanteil, das ist natürlich nur eine Kugelfunktion,
ist irgendeine konstante, mal JL von, jetzt muss ich hier aufpassen,
das habe ich jetzt hier Ach so, ja, genau, richtig.
Ich schreibe das jetzt als Kuh und ich schreibe dann gleich noch,
was, also für Radien kleiner als A,
muss das diese Form haben, damit das endlich bleibt am Ursprung.
Und jetzt habe ich hier Kuh geschrieben,
also eigentlich muss ich hier einsetzen,
aber ich muss sozusagen V0 durch Minus V0 ersetzen,
weil das das Potenzial ist.
Und damit bekomme ich Kuh ist Wurzel aus 2M,
mal Bindungsenergie plus V0, dividiert durch Hakware.
Und jetzt kann man sich fragen,
was passiert für eher größer als A
Naja, aber die Bindungsenergie negativ ist, wird das und das Potenzial wird null,
dann heißt das natürlich hier, dass ich was immer Geniales bekomme.
Das heißt, ich muss eigentlich dann schreiben,
dass Kappa, also in dem Fall wird sozusagen K,
gleich I, mal Kappa, mit Kappa gleich,
das ist jetzt reell definiert, als Wurzel aus minus 2M,
mal die Bindungsenergie durch Harg quer.
Das ist jetzt positiv und reell, aber dafür muss ich
das ISA vorschreiben für das K. Und jetzt kann ich mir überlegen,
Und das Roh wird natürlich jetzt sozusagen das Roh,
wird damit I KR oder mit anderen Worten, sorry,
I Kappa, ja, natürlich, ja.
Das heißt, das Roh wird positiv imaginär.
Und wenn ich das jetzt hier einsetze, ja,
also ich setze hier für Roh positive imaginäre Zahlen ein und dann sehe ich schon, dann gibt es vielleicht, glaube ich, jetzt nochmal hier so auf. Daraus folgt also,
dass diese sphärischen dank der Funktionen als Funktion des Radius oder genau,
also von Roh, für große Roh,
geht es dann wie minus plus durch Roh oder I durch,
ja, ich muss ja für Roh muss ich E-Kappa R einsetzen,
das heißt,
dann kürzt sich auch das I weg und dann haben wir hier minus plus 1 durch Kappa,
ja, so muss ich das eingeschreiben und dann steht hier eh hoch minus plus KPR und dann noch eine Phase,
die mich jetzt nicht interessiert, vielleicht gebe ich dir hier nah ran,
mal eh hoch minus plus ILP-Halway,
die interessiert aber nicht.
Wichtig ist, dieser Exponentialfaktor,
weil jetzt sehen sie schon, es gibt zwei Möglichkeiten,
entweder die Funktion wächst exponentiell oder sie ist exponentiell unterdrückt für große Radien und natürlich,
wenn das ein Bindungszustand sein soll, muss der normierbar sein und dann
Da kommt natürlich nur die exponentiell gedämpfte Lösung in Frage,
weil alles andere wäre nicht quadratintegrierbar. Das heißt, ich weiß,
dass für große Radien oder VR größer als A muss es die Handelfunktion,
die erste Handelfunktion sein, weil nur die exponentiell abfällt.
Und dann habe ich eben diese Kombination hier und das
ist dann Tetra mal r-a. Also diese Heavy-Side-Funktion,
die stellt mir nur sicher,
dass hier sozusagen der Bereich R-K-N-A heraus projiziert wird und hier
der Bereich Erdgrößer SA
Genau. Soweit sind wir noch gekommen. Und jetzt ist natürlich die Frage,
so wie es dasteht, ist es jetzt noch nicht die richtige Lösung,
weil die unter Umständen, also weil diese koeffizienten A und B noch gar nicht bestimmt sind.
Und natürlich kriege ich jetzt eine Bedingung oder eigentlich zwei Bedingungen,
die Funktion und ihre erste Ableitung muss stetig sein bei R gleich A. Also wieder solche Anschlussbestimmungen oder Stetigkeitsbedingungen. Ja,
also ich schreibe das mal hier auf, Stetigkeit Bedingungen,
die bestehen darin, dass, vielleicht schreibe ich das mal hier so,
dass die Funktion, wenn er gegen A-Minus geht,
also sozusagen von Radien kleiner als A kommend,
muss gleich sein RL,
wenn er gegen A plus geht,
also von rechts kommt und genauso für die erste Ableitung
So, und wenn ich jetzt das hier einsetze,
die beiden Zweige dieser Funktion, die stehen ja da,
das sind diese beiden eben, dann habe ich folgende Bedingungen.
Daraus folgt also, dass einmal A, mal JL von QA
gleich sein muss, B, mal HL1 von Ikapa A.
Und für die Ableitung bekommen wir folgendes raus, dass A,
mal Kuh, mal JL Strich von QA, sein muss,
B, mal I, Kapa, mal HL1 von Ikaba.
Hier kommen also jeweils noch die Wellenzahlen drunter,
weil wenn ich das Argument dieser sphärischen Bessel bzw. Hankelfunktion differenziere,
dann muss ich nachdifferenzieren,
das bringt mir hier einen Faktor Kuh raus und hier einen Faktor E-Kapa.
Also das sind die beiden Stetigkeitsbedingungen, ob es hier fehlt ein Strich,
das ist natürlich die Ableitung. Und jetzt kann man ganz
elegant diese unbekannten die uns jetzt auch nicht weiter interessieren.
Diese konstanten loswerden, indem wir diese beiden Gleichungen durcheinander dividieren,
weil sich dann links abwärts und rechts kürzt sich B weg.
Und wenn ich das durchführe, dann bekomme ich die eigentliche Stetigkeitsbedingung,
die sozusagen die beiden Wellenzahlen zueinander in Bezug setzt.
Also die Vision daraus folgt, dass Kuh mal,
und jetzt kann ich, also hier steht immer sowas wie Jörg Schrich,
durch J, das ist nichts anderes als die Ableitung vom Logarithmus J-L.
Also um das mal hier ganz kompakt zu schreiben,
kann ich das hier so schreiben, genommen am,
vielleicht sollte ich das genau so schreiben, dann genommen am Argument Kuh mal A.
Und das muss gleich sein I-Kappa, mal die Ableitung vom
Log von HL1 nach Tero am Argument I-Kappa A.
Das ist die allgemeine Stetigkeitsbedingung. Und wir wollen uns
jetzt nicht auf den allgemeinen Fall einlassen.
Wir schauen nur einen Spezialfall an
Und zwar den Fall L gleich 0, weil der am einfachsten ist.
Da wissen wir nämlich, wie diese Funktionen aussehen.
Und zwar in diesem Fall haben wir,
dass die radiale Wellenfunktion hat, dann folgende Form.
Das ist eine andere konstante A-Strich, dividierst durch R,
mal Sinus, also sie erinnern sich,
die sphärische Basel-Funktion zur Ordnung L
gleich 0 ist im Wesentlichen der Sinus
Arguments dividiert durch R. Und deshalb bekomme ich hier Singos QR
durch R. Das gilt für R-Kleiner A. Und die Handelfunktion,
die ist die Welt exponentiell ab mit eo-kappa
R. So haben wir das vorhin konstruiert. Und das muss
ich hier so ansetzen. Also das ist ein Spezialfall,
wenn Sie sozusagen hier L gleich 0 setzen und die Funktion einsetzen.
Da gibt es eben diesen geschlossenen Ausdruck,
diesen einfachen Ausdruck
Den hier, da steht hier im Wesentlichen Sinus, Roh durch Roh.
Und die Linearkombination aus den beiden gibt sie exponentiell Gedämpfte.
Lösung. Und wenn ich jetzt hier meine Stetigkeitsbedingungen anwende,
da gehe ich jetzt vielleicht ein bisschen schneller durch,
dann bekommen sie, also machen sie dieselbe Übung nochmal,
dann bekommen sie minus Kotangenz, QA, muss gleich sein, Kapa durch Kuh.
Warum? Weil, vielleicht schreiben wir es nochmal hin,
die beiden Stetigkeitsbedingungen Wenn ich, genau,
ich kann das so folgendermaßen ableiten, wenn er null von R stetig ist,
dann muss auch er mal R 0,
R mal R 0 von R stetig.
Also ich stetig differenzierbar. Und daraus folgt zunächst mal,
dass Ku mal Sinus QR gleich sein muss,
minus Kappa
mal eher-kappa
Sorry, das muss natürlich auch heißen, nicht er,
weil es ist die Städtigkeitsbedingung ist.
Und die erste Ableitung, die wäre die Ableitung vom Sinus,
ist der Kosenus, also wir bekommen Kuh, Kosenus,
QA und die erste Ableitung.
Moment, jetzt habe ich hier irgendwas, ja,
sorry, da steht überhaupt kein Kuh.
Also das ist die Städtigkeitsbedingung, ja. Also haben wir
hier diese Relation. Und natürlich stehen hier noch
die A-Strichs und die B-Strichs da
Und wenn ich das einmal differenziere, dann bekomme ich Arschtrich Kuh Cosenos,
QA, ist gleich Minuskappa, B-Strich eominuskappa.
Und wenn ich das jetzt wieder durcheinander dividiere, dann bekomme ich gerade diese Gleichung.
Weil natürlich, wenn der Cosenos durch den Sinos ist,
ist der Co-Tangens. Und das hier gibt Kappa auf der
rechten Seite noch mit einem Minuszeigen, relatives Minuszeigen.
Das Exponentialfaktor kürzt sich weg. Das Kuh kann ich auf
die andere Seite bringen und dann kommt diese Relation raus. Und das Interessante ist jetzt,
Wenn Sie jetzt in Ihren Notes ein paar Wochen zurückgehen,
dann sehen Sie, dass es genau die Stetigkeitsbedingungen für das Eindimensionale Problem,
eindimensionaler Potenzialtopf, identisch mit Stetigkeitsbedingungen für eindimensionalen Potenzialtopf.
Das ist auch nicht so erstaunlich, weil wenn ich L gleich null setze,
Dann habe ich keine Drehimpulsbarriere und dann ist es faktisch ein eindimensionales Problem.
Und deshalb kriege ich auch die gleiche Stettigkeitsbedingung raus.
Natürlich für El Größer 0 stimmt es nicht mehr,
weil das Potenzial dann halt,
ich kann das zwar eindimensional auffassen, als Funktion von R,
aber ich habe eben diesen zusätzlichen Beitrag von der Drehimpulsbarriere, nämlich diesen Beitrag.
Und das entspricht nicht mehr einem konstanten, eindimensionalen Potenzial.
Deshalb ist es nicht erstaunlich, dass wenn El Größer 0 ist,
dass ich dann kompliziertere Städte Bedingungen erhalte, nämlich die hier.
Die gilt für alle L, während die ja nur für L gleich 0 gilt.
Für L gleich 0 haben sie keine Drehimpulsbarriere und damit wird es wirklich eindimensional. Ein Coralla davon ist,
dass, das haben wir in meinendimensionalen Fall gesehen,
also ja, vielleicht, jetzt habe ich noch was vergessen hier,
wenn Sie sich erinnern, im eindimensionalen Problem hatten wir,
da kann ja er auch negative Werte annehmen,
weil das eine X-Koordinate wird und die geht von minus bis plus unendlich.
Das heißt, wir müssen hier Dass er bei null abschneiden,
weil das ja ein Radius ist. Und dann entspricht es
in Stetigkeitsbedingungen für einen eindimensionalen Potenzialtopf, für ungerade Bindungszustände.
Ja, also im eindimensionalen Fall für gerade Bindungszustände,
da hatten wir eine andere Bedingung, die trifft ja nicht zu,
weil wir hier sozusagen diesen Halbstrahl haben von null bis unendlich.
Das hat jetzt eine interessante Konsequenz, weil wenn Sie nochmal anschauen,
was wir damals erhalten haben, Wir haben gefunden,
damals, dass solche ungeraden Bindungszustände nur existieren,
wenn der Potenzialtopf eine bestimmte Mindesttiefe hat,
also Bindungszustände existieren.
Nur für V0 größer, und da haben wir eine Formel abgeleitet,
das war minus Pikwaderat durch 8 und dann Hardquare-Qualdrat durch MA-Qualdrat
Das ist jetzt hier auch der Fall. Und der Punkt ist jetzt der,
dass im Dreidimensionalen ist es eine absolute Bedingung,
denn der Punkt ist natürlich,
das gilt jetzt zunächst mal nur für L gleich Null.
Aber für L größer Null wird das Potenzial ja nur abstoßenderweise die Drehimpulsbarriere dazu kriegen.
Das heißt, mit anderen Leuten im Dreidimensionalen Problem,
wenn sie schon für L gleich Null keinen Bindungszustand bekommen,
dann bekommen sie für L größer Null erst recht keinen.
Das heißt, mit anderen Worten,
das ist eine absolute Bedingung für das dreidimensionale Potenzial.
Wenn die verletzt ist,
dann haben sie
überhaupt keinen Bindungszustand
Das sind nur Vater da. Das kommt heraus, wenn du dich dort hältst.
Und so was, für den, für das Pferd.
Was kommt heraus? Ja, genau. Ja,
das ist aber nicht erlaubt, weil das singulär ist am Ursprung.
Die Funktion muss endlich bleiben. Das hat mir sozusagen
gerade diese eine Möglichkeit herausgefiltert. Genau. Okay,
also das ist doch ein interessantes Resultat,
weil wenn ihnen jemand jetzt irgendwie so ein Potenzialtopf gibt,
dann können sie mit der Bedingung gleich oder prüfen,
ob der zu einem Bindungszustand führt oder nicht.
Also das ist sozusagen jetzt ein interessantes Ergebnis aus dieser Diskussion,
abgeleitet durch diese Analogie zum eindimensionalen Fall. Okay,
jetzt will ich zu einer Sache kommen,
die vielleicht ein bisschen fortgeschritten schon ist,
aber die ich trotzdem noch gern diskutieren würde,
weil wir auch einmal zumindestens das Konzept vom Wirkungsquerschnitt gehört haben sollten.
Und dazu machen wir jetzt ein bisschen Streu-Theorie. Und dazu
ist diese Diskussion mit den sphärischen Basel-Funktionen auch nützlich, als Vorbereitung.
Und damit will ich jetzt anfangen mit der sogenannten Streu-Ampletude.
Und das sogenannte optische Theorien
Also, wie der Name schon sagt,
Streuetheorie hat was zu tun mit ungebundenen Streuzuständen.
Also, wir haben sozusagen, die Idee ist eigentlich folgende.
Wir haben hier irgendwo im Ursprung ein Potenzial,
V von R. Das aber relativ schnell abfällt.
Und wir haben eine Ebenewelle, die aus dem Unendlichen reinkommt.
Und dann an diesem Potenzial teilweise gestreut wird. Was passiert,
wenn sie so ein lokalisiertes,
radialsymmetrisches Potenzial haben oder einen Teil der Welle streut ist,
dass sie
eine Kugelwelle bekommen
Das heißt, mit anderen Worten war es im allgemeinen Fall passieren wird,
ist, dass ein Teil dieser Ebenenwelle wird absorbiert.
Den Fall schauen wir uns aber gar nicht an,
weil das ist eine zusätzliche Komplikation ist.
Aber das könnte auch passieren. Und ein Teil wird gestreut in
eine Kugelwelle. Also das ist das physikalische Bild dahinter.
Jetzt müssen wir natürlich ein bisschen quantitativer werden.
Und dazu schreiben wir jetzt nochmal die stationäre Schuldigenergleichung auf für
diesen Fall. Und was wir auch gleich sehen können,
ist, Das ist ja eine Ebenewelle,
die aus dem Anändlichen kommt und wir nehmen an,
dass der Limes von V von Ära, für Ära gegen unendlich,
gegen null geht.
Also das sozusagen weit weg vom Ursprung,
ist die Ebenewelle ungestört, es gibt kein Potenzial.
Damit ist natürlich die Energie von dem Zustand einfach die chinesische Energie im Unentlichen,
und das ist Hardquerquadrat, mal K-Quadrat,
das ist die Wellenzahl dieser Ebenenwelle, dividiert durch zwei M.
Wenn ich jetzt dafür die Schrödingergleichung, die stationäre Schuldingergleichung anschaut,
dann schaut die folgendermaßen aus, Und ich nehme diese Wellenfunktion,
die wird jetzt nur von der Wellenzahl K im Unendlichen abhängen.
Deshalb nehme ich den Index Psychar, gleichzeitig hier den Vector auch drüber schreiben.
Und das ist eine Funktion von R. Und das soll natürlich,
weil das ist ein stationärer Zustand sein soll,
sollte es gerade eh mal Psychar sein.
Und ich setze jetzt das eh gleich ein. Mal Psychar
von R. Und natürlich unser Hammeltonien ist wie immer minus eins durch
Also Hardwarequadrat durch zwei M mal Laplace für die kinetische Energie,
plus unser radialsymmetrisches, oder wir fangen erstmal mit einem allgemeinen Potenzial,
V van R an. Wenn ich das jetzt hier einsetze,
dann, und das Ganze ein bisschen umschreibe,
also ich werde jetzt sozusagen mit zwei,
ich will diese Vorfaktoren loswerden, das heißt,
ich multipliziere das Ganze mit zwei M durch Haar Querquadrat,
und dann lautet diese Gleichung folgendermaßen,
die lautet dann Laplace plus Kaar Quadrat,
Wirkend auf Sikar van R. Ist gleich 2M durch Hack Querquadrat,
mal V van R, mal Psychar van R.
Also ich habe sozusagen den Potenzialtherm auf die rechte Seite gebracht und ich habe
den Energietherm und die kinetische Energie auf die linke Seite gebracht.
Und ich glaube, dieses Ding hier, dieser Operator hier
, der heißt auch Hellmolzgleichung
Und jetzt, im Grunde genommen müssen wir diese Gleichung lösen. Und sie sehen natürlich,
das kann man nicht geschlossen lösen im Allgemeinen Fall,
weil auf der rechten Seite steht ja auch das Psychar von R. Ich
kann das aber formal umschreiben und dafür schon gewisse Dinge lernen,
die mir was über die allgemeinen Eigenschaften von diesem,
von dieser Wellenfunktion geben oder mir zur Schau stellen sozusagen.
Und zwar hat diese Form, ich würde es nützlich sein,
Und wenn ich erstmal nicht diese allgemeine Form nehme,
sondern auf der rechten Seite so eine Art Quelltherm hinschreibe,
und zwar einfach eine Delta-Funktion.
Und wenn auf der rechten Seite einfach eine Delta-Funktion steht,
dann nennt man die Lösung von der Gleichung die Greenshare-Funktion.
Geh von R. Und die löst also jetzt Folgendes,
die löst die Gleichung nabbler Quadrat plus Ka-Quadrat.
Mal geh von R,
ist gleich
Ja, und okay, da müsste ich jetzt eigentlich noch,
ich schreibe jetzt hier noch mit, das Car mit als Argument,
weil das hängt ja auch von Carb.
Und das soll gleich einer dreidimensionalen Delta-Funktion sein. Also das
wäre sozusagen die Gleichung, die Ihnen eine Kugelwelle beschreibt,
wenn Sie im Ursprung eine im Ursprung lokalisierte Quelle haben.
Das ist diese Delta-Funktion. Genau. Und wenn ich diese,
also wir werden jetzt gleich diskutieren,
was diese griechische Funktion ist, ich werde es ableiten,
sogar auf zwei verschiedene Art und Weise,
wobei sie die zweite Art und Weise vielleicht nicht vollständig verstehen werden,
aber wir es trotzdem erwähnen.
Und falls wir, und sobald wir diese Lösung haben,
können wir jetzt diese Gleichung ein bisschen umschreiben und zwar auf folgende Art und Weise.
Also Integralform der stationären Schuldigenergleichung Ist dann folgende,
nämlich Sie Ka von R ist gleich, E hoch IKR.
Plus 2 M, dividiert durch Haqui Aquadrat.
Und dann haben wir hier das Integral über den Raum.
Und dann habe ich hier diese grinsche Funktion,
gehe von r-r-strich, und das hängt auch von Ka ab,
mal V von R-strich
Mal Sica von Erstrich. Das ist die Behauptung,
das ist sozusagen eine andere Form dieser Gleichung. Der Punkt ist jetzt erstmal,
dieser Therm, ja, das beschreibt die Ebene Welle,
die hier reinkommt und natürlich erfüllt diese Ebene Welle,
diese Differenzialgleichung, wo die rechte Seite null ist.
Wenn sie das zweimal ableiten, dann bekommen sie minus K-Quadrat,
plus K-Quadrat gibt null. Das ist also sozusagen der homogene
Teil. Und das ist der inhomogene Teil,
denn wenn sie jetzt hier diesen Operator anwenden auf das Ding hier,
dann bekommt das Er steht ja nur hier drinnen
Also, wenn ich jetzt sozusagen hier Laplace plus Karqua Draht,
Anwende auf die gringsche Funktion, dann kommt er raus,
dass das Delta von r-erstrich ist.
Und dann können sie dieses Integral anniliert, dann sozusagen diese Delta-Funktion.
Und sie bekam die rechte Seite raus.
Deshalb ist diese schreibweise Äquivalent zu dir hier.
Vorausgesetzt, ich habe diese grimmsche Funktion,
die diese Eigenschaft besetzt
Der Punkt ist, was haben wir gewonnen? Der Punkt ist,
dass wir jetzt ein bisschen, also wie man diese Kleidung
physikalisch verstehen muss, ist gerade dieses Bild hier.
Also wir haben eine Ebene Welle, die einläuft.
Und wir haben verschiedene Punktsquellen, nämlich das Potenzial,
das eben nicht nur am Ursprung sitzt, sondern gewisse endliche Ausdehnung hat.
Und sozusagen zur Quelle von dieser gestreuten Kugelwelle wird.
Und jeder Punkt wird sozusagen gewichtet mit der griechischen Funktion als Funktion des Abstandes von Erstrich.
Und ich muss halt über alle Erstrich, integrieren,
weil dieses Potenzial ausgeschmiert ist und sozusagen eine Überlagerung von verschiedenen Kugelwellen,
die an leicht verschiedenen Orten erstrich starten.
So kann man das physikalisch interpretieren. Ja, jetzt.
Und jetzt kann man schon folgende Sache im Vorgriff erwähnen.
Natürlich ist das immer noch eine implizite Gleichung für PCK,
weil das PCK links und rechts erscheint.
Was ich aber wieder machen kann,
ist, ich kann zum Beispiel wieder eine Störungsentwicklung machen,
indem ich diese Gleichung iteriere. Das heißt,
das PCK wieder einsetze und wenn ich zum Beispiel nur diesen Themen einsetze,
dann habe ich einen expliziten Ausdruck,
der ist dann erster Ordnung in diesem Potenzial und das nennen sie auch die bornische Ernährung.
Darauf werden wir dann später noch zurückkommen. Aber so wie die Gleichung dasteht,
ist sie noch exakt, sie ist keine Ernährung gemacht worden,
wobei sie aber halt keine explizite Lösung darstellt,
weil das sie auf der rechten Seite ebenfalls auftritt.
Bevor wir diese Gleichung jetzt weiterverarbeiten können,
muss ich jetzt mir überlegen, was diese grinsche Funktion ist.
Und die Behauptung ist folgende, Es gibt zwei Typen davon,
es gibt die sogenannte retardierte und die avancierte grimmische Funktion.
Und die hat folgende Lösung, also die nennt man
jetzt G plus minus, von R und K.
Und die hat folgende Lösung, das ist minus E-Hoch plus
minus IKR,
dividiert durch vier PR
Ja. Genau, also das ist eine relativ einfache Lösung.
Und die Interpretation, die physikalische Interpretation ist wieder einfach,
das ist eine Amplitude, die wir eins durch R abfällt.
Und eine Phase, eine Welle, die halt radial rausläuft und die Wellenzahl K besitzt.
Und der Punkt ist aber, dass Plus-Minus hier,
das bezeichnet jetzt zwei verschiedene Wellen, entweder eine auslaufende oder eine einlaufende Welle.
Wie kann man sich das vorstellen? Wir haben ja hier
Die staatsanähre Schuldingergleichung, aber man muss immer im Hinterkopf behalten,
dass die Zeitabhängigkeit ist ja immer sowas wie ein zusätzlicher Faktor eo-i, E-T durch Hakvia.
Und wenn ich das jetzt mit dieser grinschen Funktion multipliziere,
dann bekomme ich ja sowas wie Eho, jetzt kann ich sozusagen das I ausklammern,
dann habe ich hier plus minus KR, E-T durch Haarquer.
Und jetzt sehen Sie schon, Also das ist ein Phasenfaktor.
Und Sie sehen, wenn ich hier das Pluszeichen nehme,
dann bleibt die Phase konstant, wenn ich die Zeit erhöhe,
wenn ich gleichzeitig den Radius erhöhe.
Also sozusagen, wenn ich das Pluszeichen nehme,
ich schreibe das mal explizit hier in plus KR,
minus E-T durch Harquere, wenn ich das konstant setze,
dann erhalte ich, dass er gleich irgendeine andere Konstante ist,
plus E durch Harquer K Maltee.
Das heißt, mit anderen Worten, Wenn die Zeit,
also wenn ich die Zeit erhöhe, dann wird er größer.
Und deshalb ist es eine auslaufende Welle. Da ging,
wenn ich hier das Minuszeichen nehme, dann ist es genau andersrum,
dann wird sich das R verkleinern, wenn sich das Tee vergrößert.
Und damit entspricht es einer einlaufenden Welle. Das ist der Grund,
warum hier, wenn ich das Pluszeichen habe,
ist es eine retardierte chrinische Funktion, weil die sozusagen kausal ist,
also weil die Störung vom Ursprung wegläuft.
Während, wenn ich es andersrum mache in der Zeit,
dann ist es die avancierte chrinische Funktion,
die einer einlaufenden Welle entspricht
Wir brauchen hier jetzt natürlich nur die Retardierte,
weil wir ein kausales Problem haben.
Wir wollen passieren, was passiert. Wir wollen Sinn,
was passiert, wenn die Welle gestreut wird.
Und eine Kugelwelle nach außen läuft, nicht nach innen.
Aber mathematisch gesehen gibt es diese andere Lösung ganz genauso.
Okay, jetzt die Behauptung ist also,
dass diese beiden Versionen der Grinch Funktion diese Gleichung erfüllen.
Das müssen wir jetzt noch zeigen. Und da gibt es
verschiedene Möglichkeiten, wie man es zeigt.
Erstens mal vielleicht ein Hinweis, wenn Sie K gleich Null
setzen hier, dann steht hier einfach nur minus 1 zu
4 PR
Dann ist es ein statisches Problem. Und dann ist es
einfach die, dann ist es die chrinische Funktion vom Laplace-Operator.
Und die kennen sie wahrscheinlich alle aus der Elektrostatik,
weil da haben sie solche Gleichungen wie Laplace von dem Potenzial,
ist gleich eine Ladungsdichte. Und da wissen sie,
dass das Potenzial wie eins durch vier PR abfällt.
Und das ist genau dieser Faktor. Das heißt,
eigentlich ist diese grinsche Funktion fast das Gleiche wie ein statisches,
elektrostatisches Problem, nur dass sie halt noch diesen,
weil sie die Welle mit Wellenzahl K haben,
haben sie halt diesen Phasencharakter noch mit dabei
Ja, jetzt wollen wir das trotzdem aber noch ein bisschen quantitativer zeigen,
warum diese grinsche Funktion tatsächlich diese Gleichung hier erfüllt.
Und dazu schreibe ich jetzt, schaue ich mir erst mal an,
was passiert, wenn er größer Null ist, ja,
dann kann ich Delta plus K-Quadrat, angewandt auf diese Funktion.
Kann ich folgendermaßen schreiben? Ich schreibe jetzt den Laplace-Operator
in Kugelkoordinaten und weil das alles nur von R abhängt,
vom Absolutbetrag von R, ist das radialsymmetrisch, das heißt,
ich brauche nur den radialen Anteil des Laplace-Operators,
und den sollten sie mittlerweile kennen.
Der schaut folgendermaßen aus. Das ist das hier,
und dann haben wir hier die Ableitung von G plus minus, nach Era.
Ich lasse jetzt da mal die Argumente von GPlus minus weg.
Und natürlich haben wir dann noch den Thermen plus Caquadrat mal
GPlus minus. Ja, wenn Sie das jetzt ausixen,
Vielleicht mache ich das jetzt nicht im Detail,
aber das kann sie selbst ausprobieren.
Dann sieht man sehr schnell, dass es tatsächlich null gibt.
Ja, vielleicht gebe ich einen Teilschritt mal an.
Also wenn Sie hier die radiale Ableitung ausrechnen,
dann kriegen Sie ja zunächst mal zwei Therme,
dann kriegen Sie minus,
minus plus IK,
mal eho plus minus IKR
Durch vier PR. Und sie bekommen einen Teil plus eh hoch plus-minus-i-k-r
dividiert durch 4P. R-Quadrat. Jetzt sehen Sie aber schon,
dass der, genau, dass der zweite,
also wenn ich das jetzt mit R-Quadrat multipliziere, dann fliegt der weg,
sodass ich hier nur noch einen zusätzlichen Phasenfaktor drin habe,
den ich nach R differenzieren muss.
Und ja, und da bekomme ich sozusagen noch meinen K runter.
Und der Therm, wenn sie denn zwei mehr differenzieren,
Dann bekommen Sie insgesamt das Karquadrat und das Ganze kurzt sich weg.
Ich glaube, ich gehe jetzt nicht auf alle Teilschritte durch,
das können Sie selber mal versuchen, aber jedenfalls ist das Ergebnis dann null.
Aber natürlich gilt es nur, warum gilt es nur für R größer null?
Weil wenn er gleich null wird, dann macht dieser Ausdruck
keinen Sinn mehr, weil das natürlich singulär wird.
Wie kriege ich jetzt also diesen Delta-Funktionsanteil raus? Also den hier,
ja, desverifiziere ich dadurch, dass ich den geossen Satz anwende,
ich integriere jetzt diese Gleichung um eine kleine Kugel mit einem Radius R,
Auf beiden Seiten, ja, also Integration, über eine Kugel mit Radius, Großer.
Dann bekomme ich, also auf der rechten Seite bekomme ich einfach eins,
das heißt, dann folgt daraus, dass Ich schreibe das hier mal,
folgendermaßen an, dann folgt er, dass, ah,
genau, jetzt schreibe ich auch diese Sache gleich in der Form,
das wäre also die Divergenz vom Gradienten von Gplus minus,
ja, plus Karquadrat,
mal Gplus minus.
Das Ganze integriert über R, und es gibt eins,
und der Witz ist jetzt natürlich der, wie schon gesagt,
Jetzt kann ich hier den tauschen Satz anwenden.
Das Volumenintegral über eine Divergenz ist, dass Oberflächenintegral,
also ich schaue hier mal vielleicht noch, eher kleiner gleich.
Denn Radius der Kugel an. Und wenn ich das jetzt hier mit dem tauschen Satz verbinde,
dann habe ich hier, also der gausche Ersatz sagt,
dass das Volumenintegral einer Divergenz gleich dem Oberflächenintegral,
also ist das sozusagen vom von dieser Funktion ist.
Also da würde jetzt hier stehen, Gradient von G
plus minus, integriert über die Oberfläche der Kugel.
Und ich schreibe das hier so als DA,
das ist sozusagen das Flächenelement der Kugel.
Und, richtig. Und was passiert mit dem zweiten Themen
hier? Jetzt ist der Trick der, dass ich,
eigentlich muss ich den noch hinschreiben,
also steht hier sowas wie plus Karquadrat mal
Das Volumenintegral von G-Plus-Minus. Und es gibt eins. Und
jetzt nehme ich aber den Limes, dieser Kugel lasse ich gegen null gehen lassen.
Er lasse ich gegen null gehen. Und jetzt sehen Sie
schon sofort, dass der Therm dann nicht mehr beiträgt.
Warum ist es so? Weil natürlich, ich schreibe das
vielleicht mal hier so, ja, vielleicht schreibe ich das noch.
Das Ganze ist ja radialsymmetrisch. Das heißt,
ich kann das hier schreiben als Integral über den Radios nur.
Ja, und da haben wir von 0 bis Gross R.
Und dann haben wir hier sowas wie DR, mal 4PR, Quadrat G plus minus. Jetzt,
wenn Sie aber sich das G plus minus,
das ist jetzt irgendwie verschwunden, hier steht's, ja,
wenn Sie das hier einsetzen, dann sehen Sie schon,
also das R-Quadrat, kürzt das 1 durch R und es bleibt sogar noch ein R über.
Und es ist dann völlig klar, dass das wird proportional
zu groß,
Und natürlich, wenn ich eher gegen null gehen lasse,
dann geht es gegen null. Das heißt,
im Liebeskleiner Radien kann ich den Therm hier null setzen.
Ich muss mich also dann nur noch um diesen Therm kümmern.
Und jetzt schauen wir uns an, was das Ganze bringt.
Also erstens mal, ich muss ich jetzt ausrechnen,
den Gradienten von G plus minus. Und da muss man
jetzt ein bisschen aufpassen, es sind ja zwei Therme.
Es ist dieser Therm und dieser Therm. Das heißt eigentlich,
wenn ich den Gradienten hier bilde, muss ich den differenzieren und den.
Jetzt, meine Behauptung ist aber folgende, Wenn ich den Thermen differenziere,
dann liefert der im Limes groß eher gegen null keinen Beitrag.
Warum ist das so? Weil wenn ich den nach Erde
differenziere, dann kommt ja nur ein Plus-minus-IK runter.
Das Ganze geht also immer noch wie eins durch R.
Und wenn ich davon das Volumen integral bilde und den Radius der Kugel
gegen null gehen lasse, dann geht es gegen null.
Genauso wie vorher, weil wenn ich den Therm ableite,
dann kriege ich ja nur was,
was wieder proportional zu geht plus minus ist,
bis auf den Wagner plus minus IK.
Und das ist genau das gleiche Argument wie hier. Das heißt,
es reicht, wenn ich hier nur den Nenner nach Erde differenziere.
Also kann ich hier schreiben, das ist dann Minus,
jetzt muss man aufpassen mit den Vorzeigen.
Es gibt natürlich dann insgesamt ein Plus, EO plus minus IKR.
Und dann steht hier durch 4 PR-Quaddrat. Und dann,
das ist natürlich ein Gradient, da muss ich dann multiplizieren mit dem Einheitsweg in der ER-Richtung.
Also sowas wie Erweckter dividiert durch R. Plus, ja,
und jetzt kommt eigentlich der Phasenfaktor. Also ich schreibe das mal der Vollständigkeit halber hin. Dann steht hier Wenn ich also den Phasenfaktor da differenziere,
dann kriege ich minus plus IK,
minus plus IK und dann steht hier er durch R und dann steht hier eh plus minus IKR durch 4PR,
aber wie gesagt, der Therm,
wenn ich den hier einsetze und sozusagen über die Fläche integriere,
die Fläche geht wie R Quadrat,
das Ding geht aber nur wie eins durch R,
das heißt im Limes von R gegen 0 trägt es nicht mehr bei.
Der Witz ist aber jetzt der,
wir sehen jetzt Wenn ich das über die Fläche integriere,
die Fläche ist vier PR-Quadrat, das kürzt gerade diesen Faktor raus.
Also schreibe ich das mal hier hin.
Guardient von G plus minus über die Fläche integriert.
Er gibt es dann einfach nur, was bleibt da über?
Es ist dann einfach e plus minus IK Gross R. Ja, das ist alles.
Hier des R muss natürlich oben stehen. Ja,
Und wenn ich jetzt eher gegen null gehen lasse,
gross er gegen null, den Radius der Kugel,
dann geht es gegen eins.
Und damit habe ich gezeigt, dass das stimmt.
Also das geht gegen eins für Gross R gegen null.
Ja, und das zeigt jetzt meine Behauptung. Also nochmal,
ich habe sozusagen gezeigt,
dass für R ungleich null löst es die Gleichung hier oben,
wenn auf der Seite, auf der rechten Seite einfach null steht.
Und für R gleich null erzeugt es gerade
den richtigen Gradienten
Nach außen hin, sodass mithilfe des couchen Satzes
halt das tatsächlich zu einer Delta-Funktion wird.
Also wenn ich das hier über sehr kleine Kugel integriere,
mit Radius gegen null, dann geben beide Seiten geben eins sozusagen.
Also der Gradient von Gege, dem Wesentlichen,
der einster Ergodrat, wenn ich das über die Kugeloberfläche integriere,
hört sich das weg und ist die Konstante gerade eins.
Also das ist der, das schließt sozusagen diesen Beweis ab.
Damit haben wir also jetzt gesehen,
dass das tatsächlich die grinische Funktion ist für diesen Operator,
für diesen sogenannten Helmholtz-Operator
Ja, gut, Anbetracht der Zeit lasse ich vielleicht die zweite Ableitung weg.
Man kann das auch mit Hilfe von Fui Transformation zeigen,
aber das wird jetzt vielleicht ein bisschen langwierig.
Das lasse ich jetzt erstmal weg. Und wenn man,
falls wir wieder erwarten, am Schluss nochmal Zeit haben,
dann kann ich ja nochmal darauf zurückkommen. Wichtig ist nur,
dass Sie verstanden haben, zumindest ungefähr, wo das herkommt.
Und das haben wir ja mit diesem Argument jetzt beleuchtet.
Okay, jetzt haben also diese grinsche Funktion und jetzt wollen
wir die hier einsetzen. Ja, also wir haben,
das Ding ist ausgerechnet und wir wollen das jetzt hier einsetzen.
Und dazu müssen wir jetzt Folgendes machen.
Also wir bekommen jetzt... Wenn wir das hier einsetzen,
dann bekommen wir sowas wie, ja genau,
und wir wollen natürlich die Avanciert, die Reta,
die Defunktion,
also ich schreibe die noch mal hin,
gehe plus von r-er-strich und
Das ist ja minus, eh hoch, I-K-R,
jetzt muss ich hier natürlich schreiben, sorry,
jetzt muss ich hier schreiben, den Betrag von r-erstrich,
ja, dividiert durch 4P mal r-erstrich.
Ja, das muss ich ja hier einsetzen für das hier.
Und dann über alle r-strich integrieren. Jetzt mache ich
eine Näherung, und zwar Ich nehme jetzt an,
wenn sie noch mal auf diese Skizze zurückgehen.
Ich habe das ja hier schon angedeutet. Ich nehme an,
dass dieses Potenzial lokalisiert ist bei R gleich Null.
Das heißt, die Reichweite von dem Potenzial soll nicht sehr groß sein.
Und ich will jetzt meinen Psy von K berechnen an einem Punkt, der sehr weit wegliegt.
Das heißt, ich kann folgende Ernährung machen. Ich kann annehmen,
dass er sehr groß ist gegen R-Strich, also die Beträge von R- und R-Strich.
Und damit folgt Also das entspricht sozusagen dem lokalisierten Potenzial,
kleiner Reichweite sozusagen, schaue ich das mal so hin.
Und dann kann ich das hier,
also den Abstand zwischen diesen beiden Punkten, kann ich annähern,
also wenn ich erstrich komplett vernachlässigen würde und da würde natürlich hier nur er stehen,
aber jetzt brauche ich noch die erste Korrektur und die sieht aus,
Das ist eher minus das Skalabprodukt von R mal eher Strich dividiert durch R. Ja,
das kann man leicht sehen, indem man das Taylor entwickelt hier.
Genau. Das bedeutet jetzt, dass das G-Plus von R-R-Strich und K kann ich annähern.
Durch eh hoch I-K-R, mal ehoch-i K-Strich mal R-Strich,
ich sage gleich, wo das herkommt, genau, dividiere es durch 4PR. Genau,
und jetzt, was ich hier geschrieben habe,
ist mit K-Strich ist definiert als K,
das ist der Absolutbetrag von K mal R durch R. Also das Bild ist jetzt folgendes,
ich schreibe das vielleicht nochmal hier an,
wir haben hier diese Welle, diese Ebene Welle,
die hier reinkommt mit Wellensaal K,
dann haben wir hier die Streuung
Und ich will jetzt anschauen, was passiert an einem Punkt.
R, der sehr weit draußen liegt. Und die grinische Funktion,
an diesem Punkt R, minus Erstrich, sieht eben so aus. Das heißt,
sie haben die Ebene Welle, die vom Ursprung wegläuft,
mal eine kleine Korrektur, die von der Tatsache her rührt,
dass eben das Erstrich nicht genau Null ist,
sondern vielleicht so ein klein wenig daneben.
Also ich nehme an, das Potenzial ist irgendwie hier so lokalisiert,
sodass hier zum Beispiel Das Erstrich,
so ein klein wenig vom Ursprung weg sich befindet.
Und dann habe ich diese Ernährung gemacht und damit habe ich diesen Ausdruck hier erhalten.
Und hier steht jetzt eigentlich zunächst mal, wenn Sie das hier einsetzen,
dann steht hier, vielleicht schreibe ich das nochmal hin,
was wir ja zunächst eigentlich bekommen im Exponenten, ist minus i,
K, mal R, ärmer, erstrich durch R.
Und das habe ich jetzt eben umgeschrieben als minus Ich, K-Strich, mal Erstrich.
Und das Karstrich habe ich definiert als den Absolutbetrag von K,
mal R durch R, das reproduziert mir gerade diesen Thermen.
Was ist also jetzt die Interpretation? Die Interpretation ist einfach die,
dass das K, das ursprünglich jetzt hier zum Beispiel in der X-Achse zeigt,
nach der Streuung eben in eine andere Richtung zeigt, weil das Teilchen gestreut wird.
Also das Karstrich würde dann in derselben Richtung WR zeigen.
Ja, also damit wird beschreibt, diese Situation Oder beschreibt dieser Ansatz,
die Situation, dass ein Teilchen, das mit Wellenzahl K reinkommt,
gestreut wird, in einen Zustand mit Wellenzahl K-Strich,
wobei K-Strich denselben Absolutbetrag hat als K,
das ist also elastische Streuung, es wird kein Energiewert,
nicht verändert, aber das K-Strich zeigt in einer anderen Richtung,
weil es das Zeichen eben gestreut wurde.
Okay, jetzt, wenn wir diese Geschichte hier,
also diese Näherung für die chrinische Funktion, schlussendlich Wo war es, genau.
Hier, noch mehr einsetzen, ja,
dann bekommen wir jetzt schlussendlich folgenden Ausdruck.
Ja, genau. Und da muss ich jetzt dazu schreiben,
ich habe ja diese Ernährungen hier gemacht. Ja,
ich habe angenommen, dass wir uns sehr weit entfernt befinden vom Ursprung des Potenzials.
Und deshalb muss ich jetzt hier auch,
also wenn ich das jetzt hier einsetze,
dann gilt das natürlich auch nur für sehr große R.
Deshalb schreibe ich jetzt hier gleich mal an,
liebes R gegen Unendlich, von CKA,
Ja, der erste Therm ändert sich nicht,
das ist die Ebene Welle, die reinkommt.
Und jetzt haben wir aber, ja,
und der Witz ist jetzt der, wenn sie sich das anschauen,
hier ist immer ein Faktor E-Hoch-I-K-R im Spiel,
der hängt ja auch nicht von E-Strich ab.
Das heißt, den kann ich auch gleich rausziehen.
Und ich habe auch einen Faktor 1 durch R.
Und die zwei Faktoren, die ziehe ich jetzt raus.
Also ich schreibe jetzt hier sozusagen eh hoch I-K-R durch R. Also
hier jetzt bitte aufpassen, das ist nicht das Gleiche wie das hier.
Hier wird der Wellenzahl Vektor mit dem Radiosvektor Skala multipliziert
Hier werden die absolut Beträge miteinander multipliziert. Das ist nicht
das Gleiche. Also das ist sozusagen die auslaufende Kugelwelle,
die ist radialsymmetrisch. Das Ding hier ist nicht radialsymmetrisch,
weil es ja eine ebene Welle ist, die in einer bestimmten Richtung K läuft.
Also das ist wirklich zwei verschiedene Phasenfaktoren. Und den ganzen Rest,
den nenne ich jetzt einfach F,
und das muss ich jetzt gleich definieren, was das ist.
Und das hängt dann nur noch von K und K Strich ab.
Also K-Strich ist dieser gesteuerte Wellenzahl hier. Und jetzt muss ich,
ja, und ich schreibe das jetzt auch suggestiv als Ob sie in,
das ist sozusagen die einlaufende Ebene Welle, plus eine gestreute Welle,
und das nenne ich PCS von K und R. Ja,
also PCN, um es nochmal, das ist halt die Ebene Welle, ja.
So, und jetzt, was erhalten wir jetzt für diesen Restfaktor hier,
dieses F von K und K-Strich, das erhalte ich jetzt,
indem ich den Rest hier oben einsetze, ja,
und das kann man jetzt leicht ablesen, was das ist,
wenn ich das hier einsetze, Mit F von K und K-Strich ist gleich minus M dividiert durch zwei P, A Queerquadrat.
Vielleicht sollte ich da nochmal zurück. Ja, also diese Faktoren,
die kommen halt, die kommen von diesem Vorfaktor hier.
Und dann haben wir hier Genau. Und dann haben wir
das Integral, das überbleibt. Und jetzt haben wir hier eo-iK-Strich,
mal Erstrich, mal V van Erstrich, mal Psyca von Erstrich.
Also der Faktor hier, der rührt daher,
dass das ist der Faktor, den man, das ist genau dieser Faktor.
Der taucht jetzt hier auf
Und dann haben wir noch einen Faktor 1 durch 4IP.
Deshalb kommt hier nochmal eins, also nochmal eins durch 2IP,
weil von da oben waren Faktor 2M, glaube ich, genau.
Also das kommt, das kommt dann alles so hin.
So, und dieses Ding hier, das hat auch einen Namen,
das ist die sogenannte Streuamplitude. Warum heißt der Streuamplitude? Naja,
der Punkt ist, wir sehen, wir sehen schon,
also die Gesamtwellenfunktion besteht jetzt aus der ursprünglichen einlaufenden Ebenenwelle,
plus einer Kugelwelle mit der Normierung geben durch dieses F,
das heißt, dieses F beschreibt die Ampletoure dieser Welle und deshalb heißt die Streuamplethode.
Übrigens, das hat die Dimension einer Länge,
das sieht man hier sofort, weil das Ganze ist natürlich dimensionslos,
aber hier stehen eins zu Herr und deshalb muss das durch eine Länge hier kompensiert werden.
Das heißt, das hat Dimension einer Länge. Ja,
und die Interpretation ist jetzt folgende, dass man eben sagt,
Das beschreibt die Ampletoure für Streuung aus einer Richtung K in die neue Richtung K-Strich.
Und Sie sehen schon, dass es irgendwie so eine Art feue Transformation von dem Potenzial.
Natürlich steckt hier noch die Funktion Psykar von Erstrich
Selbst mit drin. Also das ist keine explizite Lösung.
Aber wenn ich jetzt zum Beispiel als Näherung hier einfach nur
den ersten Term einsetzen würde, dann ist das nichts anderes,
als eine Feuer transformierte zur Wellenzahl k-k-strich.
Und das ist dann übrigens die bornische Nährung.
Darauf kann man später noch zurück. Jetzt will ich aber Erstmal
den allgemeinen Fall betrachten, wo ich hier noch gar keine Nährung mache.
Ich kann nämlich ein paar allgemeine Eigenschaften hier postulieren.
Und zwar, ich weiss ja, aus der Diskussion,
die wir vor einigen Stunden hatten, wie dieses Psychar ganz allgemein ausschauen muss.
Also für ein, jetzt nehmen wir an,
dass das Potenzial radialsymmetrisch ist, also für ein radialsymmetrisches Potenzial,
Das heißt, dass V nur vom Absolutbetrag von R abhängt,
haben wir uns ja schon des Öfteren darüber unterhalten,
wie man diese radiale, Schuldingergleichung lösen kann.
Und zwar kann ich das folgendermaßen schreiben, das Psychar von R,
also die gesamte Wellenfunktion, also die einlaufende Ebenewelle,
plus die gestreute Welle, muss von folgender Form sein.
L gleich null bis unendlich, mit irgendwelchen konstanten CL,
mal RL, das sind dann hier solche Besselfunktionen, mal diese Legendre Polynome.
Eigentlich müsst ihr hier zunächst mal sowas wie YLM stehen.
Aber ich nehme jetzt radialsymmetrisches Potenzial an. Das heißt,
mein Problem ist Rotationssymmetrisch, um die K-Achse,
also um die Achse des einlaufenden Teichens, das heißt, keine AC Motalabhängigkeit.
Und deshalb tragen nur die Funktionen für M gleich null bei.
Und das sind halt die genre Polynome. Also ich kann
ja M30 setzen und dann ist das im Wesentlichen das Genre Polynome.
Also diese Das gilt allgemein, wobei das ist RRL,
bestimmte Eigenschaften hat, auf die wir jetzt nochmal kurz zurückkommen.
Und zwar, wir wissen schon, dass asymptotische Verhalten von
diesen RRLs. Das sind nämlich jetzt, genau,
also ich schreibe das erstmal hin und dann diskutiere ich das.
Das wird proportional sein zu eins durch R, das ist
immer diese abfallende Kugelwelle, mal eine Osttilation, Sinus-KR-PL-Halbe.
Und Sie erkennen jetzt das asymptotische Verhalten von asphärischen Bestsell-Funktionen.
Also wenn ich jetzt sozusagen ein freies Problem hätte ohne Potenzial,
dann könnte ich hier die Klammer schließen und dann wäre das korrekt.
Aber wir haben ja jetzt ein Potenzial, das ist auch
nicht unbedingt konstant, sondern das hat eben eine komplizierte R-R-Abhängigkeit.
Trotzdem wird sich am asymptotischen Verhalten,
also solange sozusagen das Potenzial gegen Null geht im Unendlichen,
ja,
also Limes von V von RVR
ging unendlich
Ist null. Muss es immer noch dieselbe asymptotische Form haben,
nur dass ich, also an dem 1. R kann sich nichts ändern.
Das einzige, was sich ändern kann,
ist die Phase von dem Ding. Und das heißt,
ich kann jetzt hier eine Phase einführen und die kenne ich
natürlich nicht und die wird auch von K abhängen und natürlich vom Potenzial.
Und das nennt man dann eine sogenannte Streuphase. Also wobei,
Für, wenn das V von R identisch gleich null wäre,
dann wäre diese Streuphase null, weil sie dann einfach als Lösung die Sphärische Bässelfunktion erhalten.
Und von der wissen wir, dass sie diese Asymptotik hat,
wobei diese Phase nicht da ist.
Also wenn man nochmal zurückgehen, das war irgendwo am Anfang gestanden.
Irgendwo hatte ich es hier geschrieben. Ja, hier steht
es. Das ist die Asymptotik von dem Ding.
Und sie sehen, okay, das Roh,
das Roh ist jetzt ka mal R.
Deshalb steht hier ka mal
Hier steht wieder dieses minus LP-Halbe. Und wenn ich kein
Potenzial habe, dann ist es bereits die radiale Lösung.
Also dann ist RL gleich JL. Und andererseits,
wenn das Potenzial nicht null ist, aber im Unendlichen halt verschwindet,
dann muss es immer noch diese Asymptotik haben.
Wobei aber die Phase, das Einzige, was sich ändern kann,
ist jetzt, dass hier eine andere Phase steht.
Und das Ding nennt man Streuphase. Das heißt,
physikalisch betrachtet, also bei Verschwinden Potenzial ist das null,
nennt sich das Streuphase.
Wie kann man sich das physikalisch vorstellen
Wenn ich ein Potenzial habe, so wie hier,
dann im Endeffekt das Potenzial im Unendlichen wird nichts machen,
weil es da sozusagen null ist.
Aber was es ändern kann, ist die Phase dieser Welle.
Zum Beispiel, wenn das ein abstoßendes Potenzial ist,
dann wird die Wellenfunktion weiter nach außen gedrückt.
Und deshalb hätten wir jetzt hier zum Beispiel dann unter Umständen eine negative Phase.
Also das kann man sich qualitativ so vorstellen, dass dieses Potenzial,
dass sozusagen die Anzahl der Schwingungen bei kleinen Radien ändert,
wird deshalb bei großen Radien einfach zu einer konstanten Phasenverschiebung führen.
Das ist die Idee dahinter
Ja. Okay, jetzt können wir das Ganze hier einsetzen.
Also ich nehme jetzt diese Asymptotik hier und setze das hier ein. Ja,
also das RAL von hier setze ich hier ein und ich setze,
ich drücke gleichzeitig den Sinus aus durch ehochplus-iKR, ja,
also ich terlege den einfach in Exponentialfunktionen und daraus folgt,
Das gilt natürlich wiederum nur für große R.
Das heisst, er gegen unendlich. Psychar von R. hat
dann folgende Formen. Das erscheint jetzt einfach durch Einsätzen.
Das ist also ein Minus, ehoch-minus-i-kR. Dividiere es durch zwei E-R.
Also das ist jetzt ein klein wenig Rechnerei,
weil man muss ja hier einfach Sinus gleich 1 durch 2I mal eh hoch,
idet mal das Argument minus eominus e mal das Argument einsetzen.
Und dann haben wir hier Summe L gleich null,
bis unendlich mal CEL
Eh hoch minus i, Delta LK,
das ist diese Phase, dann haben wir eh hoch E-LP-Halbe,
das kommt von dem anderen, Anteil in der Phase,
mal P-L von Cosenostätter.
Und dann haben wir plus eh hoch IKR,
das ist jetzt mit dem anderen Vorzeichen im Exponenten durch zwei eher.
CL mal ihr, und jetzt drehen sich hier einfach
die Vorzeichen um. Mal PL von Cosenostätter. Wiederum,
was bedeutet das
Wir haben jetzt die gesamte stationäre Schrödinger-Wellenfunktion aufgeteilt in eine auslaufende Kugelwelle.
Das ist eine auslaufende Kugelwelle. Und das ist
eine einlaufende Kugelwelle. Jetzt wissen wir aber schon,
die gestreute Welle, wenn das ein kausaler Streuprozess ist,
der kann nur aus dieser auslaufenden Kugelwelle bestehen.
Und wenn man das jetzt genauer verstehen wollen,
dann müssen wir jetzt diese Ebenewelle noch ausdrücken durch eine Überlagerung von Kugelwellen.
Das ist jetzt ein bisschen mathematisch,
nicht so ganz trivial und die Rechnung mache ich jetzt
auch nicht
Ich kann, das ist der Ausdruck, den ich jetzt noch brauche.
Ich muss sozusagen das E-Hoch-IKR, diese Ebenewelle, ausdrücken durch
ein- und auslaufende Kugelwelle und die Antwort ist folgende ohne Beweis.
Das kann man durch Entwicklung nach Kugelfunktionen zeigen.
Das ist ein bisschen leider ein bisschen längerlicher Ausdruck hier.
Brauchen Sie die Details jetzt auch nicht merken,
aber zumindest das Prinzip, wo das herkommt.
Und da tauchen jetzt wieder diese sphärischen Basel-Funktionen auf
PL von Cosmos Teta. Und das gibt dann für Ärging
unnendlich. Also das gilt dann für Ärging unendlich.
Das geht gegen Summe L gleich null bis unendlich.
Und dann steht hier IOL und dann steht 2L plus 1.
Und dann steht hier irgendwie der Sinus von KR-LP-Halve.
Ich habe jetzt hier wieder die Asymptotik des Sphärischen Pässelfunktion eingesetzt.
Es ist wieder dieser Ausdruck hier.
MyPL von Cosmos Teta
Okay. Ja. So, jetzt, was wir machen können,
jetzt hätte ich vielleicht das hier nummerieren sollen, das ist aber jetzt egal.
Wir haben jetzt, ja genau, vielleicht mal,
vielleicht sage ich das so her,
wir haben, wenn Sie jetzt genau aufpassen,
dann haben wir jetzt zwei verschiedene Gleichungen für dieses Gesamtwellenfunktion Psychar
von R. Wir haben nämlich diesen Ausdruck hier und wir haben Diesen Ausdruck hier.
Und wenn ich hier für die Ebene wälle,
jetzt diesen Ausdruck hier einsetze, dann kann ich die beiden Ausdrücke vergleichen.
Ja, die müssen ja identisch sein, die kann ich gleichsetzen.
Und wenn ich das gleichsetze, dann bekomme ich eine Gleichung für
diese koeffizienten CL einerseits und andererseits eine Gleichung für die Streuamblitude.
Ja, also was ich mache, da gehe ich jetzt,
das mache ich jetzt nicht im Detail, sondern schreibe das Ergebnis an.
Also Vergleich, der beiden Ausdrücke. Für sie K von R,
im Limes, dass er gegen unendlich geht. Er gibt,
und zwar, was ich hier machen müssen, ist,
wenn sie das anschauen, sie haben immer zwei Arten von Wellen.
Einmal haben sie die Auslaufende Kugelwelle und einmal die Einlaufende.
Das heißt, sie vergleichen die Koeffizienten von der Auslaufenden und von der Einlaufenden Welle.
Und deshalb bringen sie für ein gegebenes L,
für einen Drehimpuls L,
bekommen sie
zwei Gleichungen
Die eine Gleichung ist für die konstanten CL und die andere
Gleichung ist dann für die Streuamtmethode. Und das Ergebnis,
also ich schreibe das vielleicht mal hin, Vergleich der koeffizienten.
Von ehoch plus-minus-iKR, separat. Er gibt jetzt
folgenden Ausdruck. Das gibt zunächst mal die CLs,
die interessieren uns jetzt eigentlich weniger,
die werde ich dann nah einfach einsetzen,
aber ich schreibe das mal
der Vollständigkeitshalber hin
Und das ist jetzt das eigentlich wichtige Resultat, die Streuampletode.
Die sieht folgendermaßen aus, dass es eins durch K und dann
haben wir hier eine Summe von L gleich null bis unendlich.
Und dann steht hier eh hoch, zwei I,
Delta 11 von K, minus eins, dividiert durch zwei I,
my 2L plus 1, PL von Cosenos Täter.
Die Ausdrücke sind ein bisschen kompliziert, aber eine Sache ist
relativ leicht zu verstehen. Und zwar, Sie sehen jetzt sofort,
wenn diese Streuphase null ist, also wenn ich zum Beispiel
kein Potenzial habe, dann habe ich auch keine Streuphase.
Das habe ich ja hier erklärt, wenn das Potenzial identisch
gleich null ist, dann ist die Streuphase null.
Wenn Sie das hier einsetzen, dann kommt null raus,
weil EU null ist eins und dann kürzt sich das.
Das heißt, die Streuampletude verschwindet, wenn ich kein Potenzial habe,
das macht auch Sinn, wenn ich kein Potenzial habe, sollte nichts streuen.
Also wenn Sie nochmal rübergehen auf diesen Ausdruck hier,
wenn ich kein Potenzial habe, wenn das Potenzial identisch null ist,
behalte ich eine Ebene Welle, dann kann ich keine auslaufende,
gestreute Kugelwelle haben.
Deshalb muss das F-0 sein. Und tatsächlich ist es null,
wenn diese Streuphasen alle null sind. Und das Wichtige ist jetzt,
dass dieser Ausdruck eigentlich nur noch von diesen Streuphasen abhängt.
Ja, alles andere sind bekannte Funktionen.
Das ist das Genrepolynom und das sind irgendwelche Konstanten.
Ja, gut, wie machen wir weiter jetzt? Ja,
vielleicht, jetzt geben wir die Zeit ein bisschen aus,
deshalb muss ich das auf nächstes Mal vertagen
Genau, ich schreibe jetzt vielleicht hier noch nur eine Sache an.
Das kann man ein bisschen umschreiben,
indem man einen Faktor eh hoch i, Delta L ausklammert.
Und dann bekommen sie folgenden Ausdruck eh hoch i, Delta L von K.
Und dann steht hier im Wesentlichen der Sinus der Streuphase.
Und was ich Das nächste Mal jetzt machen will,
ist, und das war mir so ein bisschen wichtig,
deshalb wollte ich das noch machen,
basierend auf diesem Ausdruck für die Streuampletoure,
kann ich jetzt einen Wirkungsquerschnitt definieren.
Also die Frage ist jetzt, Sie wissen das vielleicht aus der Experimentalphysik,
ein Wirkungsquerschnitt hängt immer damit zusammen, dass die Rate ist,
ein Wirkungsquerschnitt mal den Fluss der Teilchen, der ankommt.
Und der Fluss der Teilchen für eine Ebene Welle,
das ist trivial,
das haben wir
schon mehrfach berechnet
Und wir wissen aber, wir können jetzt aber
die Rate der Streuung berechnen über diesen Ausdruck.
Und damit bekommen wir auch einen Ausdruck für den Wirkungsgewehrschnitt.
Und es wird sich herausstellen,
dass der differenzielle Wirkungsgewehrschnitt für Streuung in ein bestimmtes Raumwinkel-Event Omega
ist nichts anders als das Betragsquadrat von der Streuamplethode.
Das werden wir dann beim nächsten Mal sehen.
Jetzt eine kurze Frage vielleicht. Am nächsten Montag ist ja
noch Vorlesung. Wer von Ihnen plant, hier zu sein.
Nur einmal, okay, es sind also doch einige.
Dann machen wir das noch
Und schauen wir mal, wie weit wir kommen.
Vielleicht kann man da auch ein bisschen was zur Pillasur sagen
und so weiter. Dagegen mache ich keine Übungsgruppe mehr,
weil dann nur die Montagsgruppen wären und die anderen werden ja sowieso nicht.
Und deshalb brauchen wir das dann nicht,
dann machen wir nur die Vorlesung am nächsten Montag.
Okay, gut, dann höre ich hier auf für heute.
Und wir werden das dann am Mittwoch noch fertigstellen,
das Ganze