Schönen Mittag, also Nachmittag. Wir fahren fort mit dieser Zeit
abhängigen Störungstheorie, die ich letztes Mal angefangen habe zu diskutieren.
Ganz kurz zur Erinnerung. Die wichtigsten Aspekte. Wir haben gesagt,
dass die zeitliche Entwicklung von dem Zustand formal, zumindestens,
beschrieben wird durch so einen unitären Operator,
der einfach gleich ist,
einen Zeitordnungsoperator mal die Exponentialfunktion von dem Integral des zeitabhängigen Hemmeltoniens,
also sowas wie das hier
Und sodass sozusagen der Zustand zum Zeitpunkt T einfach gegeben wird
durch die Aktion von diesem unitären Operator auf den Zustand zum Zeitpunkt T0. Und ich hatte gesagt,
dass diese Zeitordnung, wenn man das hier Taylor entwickelt formal,
dann stellt es einfach nur sicher, dass die Hamiltonians,
die in dem Argument auftauchen,
bei höheren Potenzen sind es ja immer mindestens zwei,
dass die in zeitlicher Reihenfolge so angeordnet werden,
dass immer die Späteste Zeit, am weitesten links steht.
Das ist sozusagen die formale Lösung der zeitabhängigen Schuldingergleichung.
Und dann sind wir Übergang gegangen. Das ist eigentlich jetzt
zunächst mal das Schrödinger-Bild, also wo der Zustand zeitabhängig ist.
Und dann haben wir gesagt, wir können das aber auch
anders definieren, sodass wir den Zustand zeitunabhängig machen.
Und stattdessen einen Heisenberg, das Heisenberg-Bild, verwenden.
Und in diesem Bild ist sozusagen der Heisenberg-Zustand ist definiert,
als die Umkehr Transformation, Udega, wirkend auf Psyphan Tee.
Und wenn sie das ja oben für Psyphan Tee einsetzen,
bei Udega, MEU, die Einheitsmatrix ist,
kommt dann natürlich einfach nur Psy von T-0 raus, sodass das nicht mehr zeitabhängig ist.
Stattdessen werden dann die Operatoren zeitabhängig, sodass wir,
und zwar überfolgende Definition,
wo wir also hier des Udega von links ran multiplizieren und
des Ufernrechts an den Operator Das ist der Operator sozusagen im Heisenberg-Bild und da hatten wir dann gesehen,
dass die totale Zeitableitung von diesem Heisenberg-Operator ist dann gerade getieben durch,
die durch Haar quer, mal der Kommotator,
jetzt in alle Operatoren im Heisenberg-Bild zu nehmen.
Deshalb muss ich hier immer den Index Haar oder das Subscript Haar
hinschreiben und eventuell plus noch eine mögliche explizite Zeitabhängigkeit von diesem Operator A.
Also wenn das A sozusagen nicht zeitabhängig ist,
dann ist dieser Thermir nicht da
Und wie gesagt, diese Schreibweise, H-H und Aha ist so definitiv wie hier,
wobei hier halt jetzt bei dem H-H-Werde hier statt Ades der Hemetonien selbst stehen.
Das heißt, wir haben gewissermaßen die Zeitabhängigkeit des Zustandes auf die Operatoren abgewälzt. Also jetzt ist sozusagen,
jetzt kann ich den Zustand konstant halten,
aber wenn ich jetzt zum Beispiel die zeitliche Entwicklung einer Messgröße mir anschaue,
dann muss ich mir diesen Operator anschauen und der ist natürlich jetzt zeitabhängig,
sodass zum Beispiel, wenn sich der Drehmpuls ändert oder so,
dann ändert sich zwar in dem Heisenberg-Bilder Zustand nicht,
aber der Drehimpuls operater Selbstwert zeitabhängig durch diese Transformation.
Und ich muss eben dann mit diesem Operator arbeiten, wenn ich die Messgröße bestimmen will.
Aber mathematisch ist es natürlich völlig äquivalent. Okay,
das hat bisher jetzt zunächst alles noch gar nichts mit Störungstheorie zu tun,
aber jetzt kommen wir sozusagen zur Störungstheorie. Und da hatten wir gesagt,
wenn ich jetzt den Fall habe, dass Der Himmeltonien,
aus einem zeitunabhängigen, ungestörten Operator besteht, den ich explizit lösen kann,
also dessen Energie eigenzuständig ich explizit finden kann, und eine zeitabhängige Störung.
Wobei ich auch noch annehmen kann, dass V von T
gleich Null ist, wenn Tee kleiner gleich T-0 ist.
Also ich schalte sozusagen diese Störung zu einem bestimmten Zeitpunkt T-0 an. Und nachdem ich annehme,
dass das H0 ein lösbares Problem ist, weiß, kann ich,
natürlich kann ich jetzt schreiben sozusagen, dass die ungestörte Wellenfunktion,
und da schreibe ich dann immer so einen Nuller dran,
alles, was sich sozusagen auf das H0 ausschließlich bezieht,
hat diesen Index null.
Und diese Wellenfunktion genügt natürlich der Schöningergleichung mit H0.
Was wir aber jetzt natürlich wirklich lösen wollen, ist,
die Schuldingergleichung für das gesamte Haar einschließlich der zeitabhängigen Störung,
das heißt, ich will eigentlich lösen,
diese Gleichung.
Und da steht jetzt
eben der Gesamthemmeltonien drin
Und das wirkt auf Psychonti. Und ja, mit der Anfangsbedingung,
mit der Anfangsbedingung, dass dieses Psychontee gleich ist,
ob sie null von Tee, bevor die Störung angeschaltet wird.
Das heißt, für Zeiten Tee kleiner,
gleich 10-0, aber für Zeiten größer.
Tenol wird dann natürlich Psychontee vom Psynol von Tee abweichen,
aufgrund dieser Störung.
Und das wollen wir jetzt irgendwie lösen, dieses Problem,
zumindestens näherungsweise. Und dazu führe ich jetzt eine weitere,
einen weiteren Trick, ein sozusagen die sogenannte Wechselwirkungsdarstellung.
Der Trick besteht darin, also dem gebe ich jetzt einen weiteren Index,
das nenne ich dann mit einem Subscript Eva,
der steht für Interraction sozusagen.
Und die Definition ist einfach folgende,
das kann man sich auch überlegen,
dass das Sinn macht
Ich nehme sozusagen die vollständige Lösung, projiziere aber die triviale Zeitentwicklung aufgrund von H0 raus.
Das heisst, ich multipliziere das. Also normalerweise,
wenn sie keine Störung hätten, dann wäre ja,
also schreib das vielleicht hier mal so hin, ohne Störung,
haben sie ja einfach das Psychontee gleiches ehoch-i-h-0t durch Haquir mal,
also ja, okay, jetzt muss ich Formal ist man sich das, sorry.
Sie fahren Tee, ist gleich ehoch-minus-i, H0-t-minus-t-0,
sondern es ist eingeschwärmt durch Akquire.
Dann wirkend auf sie Font-T-0. Das wäre sozusagen die zeitliche Entwicklung,
die wir hätten, wenn das Bau gar nicht da wäre.
Und diese triviale, also trivial deshalb,
weil ich annehme, dass ich das lösen kann,
dass ich die Eigenwerte von H0 kenne und so weiter und auch die Eigenzustände,
projiziere ich jetzt hier raus.
Das heißt, ich multipliziere mit dem Inversen Darf an.
Das ist natürlich das Gleiche, oder das ist das Vorzeichen,
von ihr sich ändert. Und deshalb schreibe ich das in
folgender Form. Das ist eh hoch I-H-0-T durch Akria.
Also die Idee ist dabei, dass in diesem Wechselwirkungsbild die
Änderung von dem Psy nur aufgrund der Störung her rührt.
Mit anderen Worten, wenn ich die Störung wieder ausschalte,
dann wäre das ja auch eine Konstante,
weil das Psychontee halt wie eominus I-H-0-T geht und das wird von links mit Ego plus I-H-0-T multipliziert,
kürzt sich weg und das Ganze hängt dann gar nicht mehr von der Zeit Tee ab.
Aber sobald ich die Störung einschalte, wird sich das natürlich ändern,
aber es wird sich eben nur ändern aufgrund der Störung und nicht aufgrund von H0.
So, jetzt setze ich das ein in die Schrödingergleichung.
Also in diese, in die komplette Schrödingergleichung, Moment,
hier stets, sorry, hier. Und dann erhalte ich Folgendes,
das höre ich jetzt nicht im Detail aus,
aber das kann man leicht durcheinsetzen,
klären oder sich vergewissern davon
Also ich kriege jetzt sozusagen eine Schödingergleichung für dieses Wechselwirkungsbild,
für den Zustand im Wechselwirkungsbild. Und was nicht erstaunlich ist,
das muss irgendwie was auf der rechten Seite steht, muss proportional zur Störung sein.
V. Und zwar ist es V. Also es ist jetzt nicht V von Tee,
sondern VI von Tee, es ist die Störung im Wechselwirkungsbild und ich definiere die gleich,
mal dieser Zustand im Wechselwirkungsbild, mit,
und das kann man jetzt schon erraten, was das ist,
VI von Tee, das ist eben wieder so was wie IOI,
H0T, durch Haquer mal V von T,
mal eo-minus-i, Androidtien, von Haquer.
Ja, also das ist eine gute Übung,
machen Sie das vielleicht für sich selbst mal,
vergewissern Sie sich, dass diese Gleichung gilt, ja,
indem Sie die Schuldigenergeigung für Psychontee benutzen und die umschreiben als Gleichung für dieses CI von Tee,
ja, wo dieses H0 sozusagen heraus projiziert worden ist.
Ja, und man sieht jetzt natürlich sofort explizit,
wenn die Störung nicht da ist, also wenn V0 ist,
dann ist natürlich auch VI0 und dann ist das einfach konstant,
weil auf der rechten Seite Null steht
Okay, und der Vorteil ist jetzt, ich kann das jetzt auch als Integralgleichung anschreiben,
die ich dann sozusagen iterieren kann. Und das mache ich jetzt,
also formal integriere ich jetzt diese Gleichung und dann folgt,
dass sie von Tee im Welchsverwirkungsbild ist gleich,
sie von Tee 0, Und dann haben wir hier,
wenn ich das integriere,
dann habe ich minus Idu durch Hakwear und das Integral von 100 bis T,
DC-Strich, VI von T-Strich, mal sie von T-Strich im Wechselwirkungsbild.
Also da muss man jetzt natürlich aufpassen, wenn man das,
also das ist sozusagen diese Formulierung ist völlig äquivalent,
mathematisch zu der hier, das ist halt die integrierte Version.
Und ich habe bisher auch noch keine Ernährung gemacht,
aber die Gleichung ist auch nicht sehr nützlich,
weil auf der rechten Seite steht das CE ja immer noch,
nachdem ich lösen will.
Das ist also eine implizite Gleichung. Aber wie man das schon mehrfach hatten,
der Vorurteil, wenn ich das so schreibe, ist,
dass ich das jetzt iterieren kann.
Das heißt, ich kann jetzt zum Beispiel schreiben, okay,
in null der Ordnung setze ich jetzt das Psy-CE einfach gleich
Psy von T.0. Und dann ist das eine Konstante. Und
dann kriege ich ein Integral, das ist erste Ordnung in der Wechselwirkung.
Und dann kann ich so weitermachen. Dann kriege ich sozusagen
die Ernährung. Erster Ordnung, die kann ich hier wieder einsetzen.
Und dann kriege ich ein TM-Zweiter Ordner und so weiter. Und das nennt sich dann eine von Neumann-Reihe. Und also Iteration Er gibt,
dann folgendes, nämlich, dass,
also die nullte Ernährung ist sozusagen, dass gar nichts passiert,
ja, also dass das Psy konstant bleibt, nämlich der Wert,
den es hatte zur Zeitpunkt, die gleich nur,
t-gleich T-0, als ich die Störung angeschaltet habe,
dernächst der nächste Therm ist erste Ordnung und den erhält man dadurch,
dass ich eben hier einfach das hier einsetze, ja,
und damit ist es dann folgende folgendes Integral,
Das ist dann DT-Strich.
Und dann steht hier VI von T-Strich. Und hier haben wir jetzt
einfach das Psyphon T-0-I. Und wenn ich das jetzt einmal weiter iteriere,
also ich setze jetzt sozusagen, das ist ja jetzt,
wenn ich hier abbreche, dann ist das schon erste Ordnung.
Und ich setze jetzt diesen Ausdruck hier wieder ein.
Und dann sehen Sie, als nächsten Themen kriege ich ein Doppelintegral.
Und so geht es im Prinzip weiter. Also wenn ich
in diesen zweiten Ordnungsthemen noch hinschreibe und danach habe ich keine Lust mehr sozusagen,
weil es dann immer längere Ausdrücke werden,
aber den schreibe ich noch hin,
dann kriegen Sie halt den nächst höheren Ordnungsthemen
Der ist dann, sieht dann folgendermaßen aus,
da muss ich jetzt die, ah ja, genau,
das geht jetzt hier nur bis T-Strich, ja,
und da muss ich dann über T-2-Strich integrieren,
da muss man dann schon ein bisschen aufpassen,
dass man die Integrationsvariablen entsprechend anders benennt.
Ja, und dann haben wir hier wieder den Therm-Nulter-Ordnung,
der hier uns eben plus und so weiter höhere Therme,
aber sie sehen ganz klar, dass dass sozusagen,
dass das eine aufsteigende,
dass diese Therme aufsteigende Ordnung in dieser Wechselwirkung sind.
Das ist das zweite Ordnung. Und wenn sie das jetzt wiederholen,
dann kriegen sie die dritte Ordnung und so weiter.
Ja. Genau. So, jetzt wollen wir das anwenden.
Und das alles ist noch ganz allgemein. Ich habe auch
noch nicht spezifiziert, was diese Störung sein könnte.
Also das kann man ganz allgemein ansetzen. Wir sehen uns
jetzt aber zunächst mal an, Ich habe gesagt,
ich nehme an, dass ich die Eigenzustände von H0 kenne.
Und die haben dann natürlich eine sozusagen triviale Zeitentwicklung.
Ob es von Hanno ist, sollte ich sagen. Von H0,
zum Eigenwert, wie habe ich das hier bezeichnet,
der EN0. Und hier sollte ich, ich schaue das mal so her, N-0.
Also das ist so,
die Bezeichnung ist jetzt so ähnlich wie bei der stationären Störungstheorie,
da habe ich das auch immer mit einem Nuller hier,
mit einem Index 0 bezeichnet.
Und die Zeitentwicklung ist natürlich trivial. Dann,
die hat folgende Form N-0 von T. Und das ist jetzt
im Schuldinger-Bild natürlich. Das ist halt einfach eominus i,
e-n-0 und das ist jetzt gar kein Operator mehr,
sondern eine Zahl des Energieeigenwert, mal ein Null von da einfach N-0.
Ich habe jetzt sozusagen stillschweigend angenommen,
ich habe das T-0 jetzt sozusagen, das T-0 hier 0 gesetzt,
sodass ich mich immer teamminus T-0 schreiben muss.
Also das heißt, der Ausdruck wäre eins,
wenn ich T gleich Null setze. Aber das ist,
wenn sie das verschieben wollen, dann haben sie nur einen trivialen Phasenfaktorunterschied.
Also das spielt keine Rolle. Genau, und jetzt,
was wir jetzt machen wollen, ist,
also die Idee ist ja folgende, wenn das H0,
also stellen sie sich ja das H0 meinetwegen vor,
die Eigenzustände,
die Bindungszustände vom Wasserstoffatom
Und die Störung besteht zum Beispiel aus einem elektromagnetischen Feld,
das auf das Atom eingestrahlt wird. Und ich will sehen,
welche Übergänge zwischen diesen Bindungszuständen durch das Feld induziert wird.
Das wäre dann meine Störung. Also meine Störung in dem Fall
wäre ein elektromagnetisches Feld. Und deshalb macht es jetzt Sinn,
dass ich annehme, dass der ursprüngliche Zustand,
also der Anfangszustand, einer dieser Bindungszustände ist.
Also wir wählen, wir wählen jetzt sozusagen,
dass der ungestörte Zustand ist, Ich nenne es dann mal M-0 von TS.
Also einer dieser Bindungszustände, unsere Eigenzustände von H-0.
Und wir interessieren uns, also wir wollen bestimmen,
die Übergangswahrscheinlichkeit oder die Wahrscheinlichkeitsamplitude, ja, Übergangswahrscheinlichkeit.
Von M-0 zu einem anderen Eigenzustand von H-0, ich mit N0 bezeichne.
Ja. Und natürlich ist diese, ist das diese Übergangswahrscheinlichkeit,
ist der Betrag von der Amplitude und die Amplitude
ist einfach N0 von Tee projiziert auf Psyphon Tee.
Ja. Und das kann ich jetzt natürlich berechnen.
Und zwar setze ich jetzt erstmal das N0 ein,
das steht ja hier, also das sind diese Zustände.
Und dann habe ich sozusagen, ich kann das dann
schreiben als in null ohne des Tee.
Und dann muss ich hier Echo IH0T durch Haar querschreiben.
Und hier bleibt das Psychon-Tee stehen. Und jetzt sehen Sie,
das lässt sich jetzt sofort vereinfachen, denn was hier steht,
wenn Sie diese definitiv, wo schauen Sie jetzt hier?
Hier, genau. Wenn Sie diese Definition anschauen,
dann ist das hier genau sie im Wechselwirkungsbild.
Das heißt, das wird jetzt N0 projiziert auf sie
von Tee im Wechselwirkungsbild
Ja, und der Vorteil davon ist jetzt, dass N0,
das ist gar nicht mehr zeitabhängig, ja.
Das heißt, was ich projizieren muss, ist,
dass N0 auf Psychonthemen, Wechselwirkungsbild, das heißt,
sobald ich Psychonthee im Wechselwirkungsbild kenne, kann ich sofort solche Übergangsamtpläthoden berechnen.
Und wenn ich die Betragspateriere kriege, ich halte die Übergangswahrscheinlichkeit.
Und das wollen wir jetzt mal machen. Wir setzen jetzt
für das Psychonthee im Wechselwirkungsbild diese Neumann-Reihe ein, ja.
Und ich gehe jetzt auch nur bis zur ersten Ordnung,
ja, also einsetzen, In der Neumann-Reihe, er gibt dann, dass diese Übergangsamtlethode gleich ist.
Ja, jetzt schauen wir mal, was hier passiert.
Wenn ich den ersten Themen hier nehme und wie gesagt,
ich habe angenommen,
dass hier steht es noch einmal Psynull von T ist M0 von T. Das heißt,
der erste Themen ist M0 und wenn ich das auf N0 jetzt hier,
dann bekomme ich natürlich einfach einen Chroniker, Delta MN,
weil die sind ja Eigenzustände, die sind paarweise aufeinander ortagonal.
Das heißt, der erste Therm ist trivial, ja,
weil sozusagen das hier einfach M0 ist, ja,
und das ist M0. Also steht hier das Chroniker MM.
Und der zweite Therm ist natürlich der, der mich interessiert.
Das gibt dann was, was nicht revial ist, aufgrund der Störung.
Und der ist dann minus I durch Haar quer.
Und dann müssen wir hier das Integral von T0 bis T
anschreiben. DT-Strich. Und dann habe ich Projektion
Und dann schreibe ich das hier einfach ab.
Das ist dann VI von T-Strich. Und das muss ich
projizieren auf M0. Weil natürlich sie von T-0 im Wechselwirkungsbild
ist M0. Und deshalb habe ich jetzt dieses Übergangsmatrix-Element.
Und dann habe ich noch, ja, genau,
und jetzt kann ich, das ist auch schon alles.
Und jetzt kann ich die Definition von VOI einsetzen,
die steht hier. Und sie sehen jetzt diese H0 hier,
die geben einfach Exponentialfunktionen, weil die werden ja angewandt auf
Eigenzustände von
Das heißt, das kann ich jetzt weiter vereinfachen.
Und dann steht hier, das ist gleich Delta NM.
Und dann steht hier minus i durch Hakrea,
Integral von 100 bis T. TC Strich.
Und dann steht hier E hoch i, auf die
das eine Energiedifferenz, ja, E-N-0-minus-e-e-e-m-0. C-Strich durch Hakrea.
Und was überbleibt, ist dann N-0,
V von T-Strich,
Und das ist jetzt nicht mehr im Wechselwirkungsbild,
das ist wirklich das Ursprüngliche der Ursprünglichkeitsstörung,
Störungstörungstherm im Scheudingerbild, weil da kein Index trägt.
Ich habe einfach diese Definition hier eingesetzt. Und das ist ein wichtiges Resultat,
denn jetzt kann ich die Übergangswahrscheinlichkeit ausrechnen,
für den Fall, dass N ungleich M ist,
dann ist nämlich der Therm gar nicht da.
Und da muss ich das hier nur betragsbatterieren.
Also daraus folgt jetzt für in Ungleich
Wird damit die Übergangswahrscheinlichkeit, dass wir von Zustand M
in den Zustand entgehen. Und die ist natürlich zeitabhängig.
Und das ist einfach das Betragsquadrat von dem Ding hier.
Also N0T projiziert auf Psyphon-Tee, Betragsquadrat. Und das
ist gerade das, was ich jetzt gerade ausgerechnet habe.
Also setze ich das Resultat ein. Und da kommt einfach
dieses Quadrat, das ist Integrals.
Dann habe ich also eins durch ein Querquadrat.
Und hier steht Integral-T0 bis
DT-Strich, e-hoch-i, E-N-0-E-M-0, Tee durch Hardqueer.
Und dann dieses Matrix-Element. Betragsquadrats. Ja,
also das sollte sich so ein bisschen erinnern an die stationäre Störungstheorie,
da haben wir auch gesehen, dass irgendwie zum Beispiel die Energieverschiebung
aufgrund von der Störung hat immer so mit Matrix-Elementen von der Störung zu tun.
Und hier ist es genau das Gleiche, nur mit dem Unterschied,
dass jetzt dieses Matrix-Element, die beiden Zustände,
die ich da von links und rechts ran sandwiche,
die sind jetzt ungleich, weil ich ein Ungleich-M angenommen habe.
Ich will ja nicht realen Übergang von einem Zustand in den anderen anschauen.
Genau. Das ist ein relativ allgemeiner Ausdruck und dazu wollen wir
uns jetzt verschiedene Fälle anschauen. Und zwar einmal den Fall,
also sie sind, wenn das hier zeitunabhängig wäre,
dann kann ich das Integral sofort ausführen,
weil das ist einfach nur eine Exponentialfunktion ist.
Harmonische Funktion
Also schaue ich mir den Fall das erste Mal an,
das ist der einfachste Fall. Das wäre sozusagen eine Instantan
eingeschaltete Störung, die ansonsten zeitlich konstant ist. Das heißt,
der Ansatz mathematisch jetzt gesehen ist das V von T,
gleich V, eine konstante, mal Täter von T ist.
Das heißt, das ist null, wenn sie kleiner Null ist,
Und halt eins, also das ist die Heavy-Side-Funktion.
Also ich schalte das einfach sprungartig ein und dann bleibt es konstant.
Und dann kann ich dieses Integral sofort ausrechnen.
Also das Tenol kann ich jetzt hier null setzen,
weil das ist sozusagen der Zeitpunkt, zu dem ich anschalte.
Und ja, und das kann man jetzt sofort ausführen.
Und du hast dann überbleibt, ist folgendes,
nämlich das PM nach N von T, diese Übergangswahrscheinlichkeit.
Zunächst mal kann ich dieses Matrix-Element rausziehen.
Da habe ich jetzt N-0V,
Bedarfsport hat, durch Hack-Querquadrat. Und dann habe ich
ein eigentlich triviales Zeitintegral hier stehen von dieser Energiedifferenz.
Und das kann ich sofort ausführen. Und dann erhalte ich,
ja. Okay, also was hier überbleibt, ist,
Sie sehen, es gibt im Wesentlichen den Sinus hier
Wenn ich das integriere, dividiere durch die Energiedifferenz.
Und wenn Sie das genauer anschauen,
dann schreibe das jetzt mal folgendermaßen Sinus von Omega-N-M-T,
halbe, dividiere es durch Omega-N-M halbe.
Und das Ganze quadriert, wobei dieses Omega-N-M,
das ist die Frequenz, die dem Übergang entspricht.
Also das ist einfach
die Energiedifferenz durch Fragwir
Genau, und jetzt ist der Punkt, wenn Sie das genauer anschauen,
dass Sie die ganze Zeit Abhängigkeit steckt in dem Sinus drin.
Was wir jetzt sehen werden, ist, dass wenn das Tees
ja groß wird, dann wird es im Wesentlichen eine Delta-Funktion.
Und das ist auch nicht erstaunlich, oder genauer gesagt,
es wird eine Delta-Funktion, mal die Zeit.
Das werden wir gleich sehen, warum das so ist.
Und das bedeutet, dass Übergänge nur stattfinden können,
wenn die beiden, der Anfangszustand, der Inzustand,
gleiche Energie haben. Das ist auch kein Wunder,
weil ich habe eine Zeit unabhängige Störung,
die kann keine Energie übertragen,
weil keine Zeitabhängigkeit da ist
Deshalb geht der Übergang nur, wenn die Anfangs- und Endenergie gleich sind.
Also das muss null sein. Und die wächst dann proportional zurzeit mit
der Zeit Tee an, sodass ich eine konstante Übergangsrate habe.
Also ich kann dann Wahrscheinlichkeit pro Zeit ausrechnen, das ist eine Rate.
Und das ist dann im Wesentlichen von diesem Matrix-Element gegeben.
Und das führen wir jetzt ein bisschen genauer aus.
Und dazu schreibe ich, dass hier ein bisschen um,
und zwar schreibe ich das folgendermaßen um, als Tee,
das ist diese angekündigte Zeitabhängigkeit, die ziehe ich heraus,
also was,
was proportional zur Zeit anwächst
Mal irgendwelche Konstanten hier. Und dann führe ich eine neue Funktion ein.
Die hängt selbst, die hängt selbst noch von Tee ab,
aber im Limästheken gegen unendlich, werden wir sehen, ist es eine Delta-Funktion.
Also Delta Tee nenne ich das, von Omega-N-M halbe.
Und dann der Rest ist einfach dieses Matrix-Element.
N-0-V-M-0. Quadrat. Und wie habe ich das definiert,
dass Omega-Tee von Alpha, das ist einfach eine Definition zunächst mal,
das habe ich definiert als Sinusquadrat von Alpha Tee,
dividiert durch Pi mal Alpha Quadrat Tee.
Ja, also ich werde jetzt nicht jeden einzelnen Faktor kommentieren,
aber ich glaube, das ist ziemlich offensichtlich, wenn sie das hier einsetzen.
Ja, das Tee kürzt sich und dann kriegen sie genau
diesen Ausdruck heraus. Also das ist eigentlich nur eine Umschreibung,
aber der Punkt ist jetzt eben, wir wollen zeigen,
dass Limis Tee gegen Unendlich von diesem Delta Tee von Alpha ist,
das suggeriert ja auch schon die Schreibweise, ist einfach die Delta-Funktion.
Und der Grund ist folgender, Man kann leicht zeigen,
dass sozusagen die, wie mache ich das jetzt, genau.
Also erstens mal, wenn Sie diesen Ausdruck anschauen,
wenn Ihr T sehr groß wird, dann sehen Sie,
dass der Sinus sehr stark oszilliert. Das heißt,
wenn Sie irgendwie so über eine endliche Zeit ermitteln,
dann wird es für Alpha ungleich null,
oszilliert es sehr schnell und außerdem fällt es wie eins durch Tee ab und damit geht es gegen null.
Wenn jedoch Tee gegen null geht,
Dann kann man ja den Sinus entwickeln,
dann steht sowas wie Alpha-Quadrat, MyTee-Quadrat, das Alpha-Quadrat kürzt sich,
ein Tee bleibt stehen und wenn das Tee groß wird,
dann wird es immer größer.
Das heißt, man sieht im Ausdruck schon an,
das ist ein Ding, das wird sozusagen immer mehr Spike am Ursprung.
Das heißt, es wird, je größer das Tee wird,
umso umso mehr ist es gespiked als Funktion von Eifer,
und zwar um Alpha gleich Null herum.
Um jetzt zu zeigen, dass das wirklich eine Delta-Funktion ist,
muss man nur erzeigen, dass das Integral von dem Ding Eins ist,
und zwar unabhängig von Tee.
Und das kann man leicht zeigen. Also das Integral von,
ich schreibe das mal so hin, das ist immer eins,
also für alle Tee. Und das liegt daran,
weil dieses Integral, das lässt sich halt umschreiben als Integral,
wenn ich jetzt eine Variablensubstitution mache,
dann kann ich das so schreiben als DX,
mal Sinusquadrat X
dividiert durch Pi mal
Also das können Sie in der Formelsammlung nachschauen, dass es
tatsächlich immer eins. Also wenn Sie diese Variablen-Substitution machen,
dann fällt das Tee sozusagen raus.
Das wird in X absolviert und tritt hier gar nicht mehr
explizit auf. Und deshalb gilt es für alle Tee.
Also das ist sozusagen der Beweis oder die Demonstration,
dass dieses Delta-Tee tatsächlich zu einer Delta-Funktion wird, bei hinreichend großen Tee.
Jetzt kann man sich fragen, was heißt das?
Hinreichend großes Tee
Naja, das heißt natürlich, dass angenommen, ich habe
meine Zustände, haben eine bestimmte Energieverteilung. Und also eine bestimmte,
so eine bestimmte, genau, eine gewisse Energieunschärfe,
also wenn sozusagen Omega MN mal Tee,
das ist ja ungefähr, nehmen wir an,
dieses Omega M ist eine bestimmte Also wenn in meinen Übergang zwischen zwei Zuständen habe ich eine charakteristische Energieänderung,
und die nennen wir mal Delta E, das könnte zum Beispiel,
ja, grob gesprochen, die Bindungsenergie vom Wasserstoffatom sein.
Das wäre also dann Delta E durch Harg Quer mal Tee
. Und wenn das sehr groß gegen zwei P ist,
dann habe ich genau das, was ich vorhin gesagt habe,
dann habe ich den Fall, dass das halt extrem schnell ostilliert hier als Funktion von der Energiedifferenz.
Und dann kann ich sozusagen diesen Grenzübergang mir anschauen.
Also hinreichend große Tee heißt also genau, dass diese Relation gilt,
dass das Delta-E-MICs ja groß gegen zwei P ist.
Und in diesem Fall, wenn ich jetzt zurückgehe auf diesen Ausdruck,
dann folgt daraus jetzt sofort, dass die Übergangsrate,
die nenne ich dann Gamma-MN.
Das ist einfach diese Übergangswahrscheinlichkeit dividiert durch die Zeit.
Also das ist nochmal genau der gleiche Ausdruck.
Und jetzt steht hier die Delta-Funktion von Omega-N-M-Halbe. Und das
halbe kann ich noch rausziehen. Und sie wissen wahrscheinlich,
sie kennen diese Relation, ich schreibe das mal hin.
Also eine Delta-Funktion von Alpha mal X ist immer eins durch
Betrag von Alpha mal die Delta-Funktion von X. Das heißt,
wenn ich das ein halb noch rausziehen will, dann bekomme ich einen Faktor 2 dazu.
Und deshalb habe ich dann insgesamt 2P durch Haarquer
mal die Delta-Funktion von der Energiedifferenz
Und dann habe ich nur noch das Matrix-Element. Also N-0
, V, M-0, Betragsquadrat. Und diese Formel,
ich weiß gar nicht, dass hier wieder, auszuwischen hier,
übrigens, vielleicht wundern sie sich, wo ist es,
hier steht Hack, Werk, Quadrat, hier steht noch Hack quer.
Der Grund ist, dass ich Omega-N-M eingesetzt habe,
da steht hier ein Eins durch Hack quer,
wenn ich das aus der Delta-Funktion rausziehe,
dann kommt ein Faktor Hack quer dazu,
deshalb steht hier noch einer im Nenner.
Und diese Formel, die ist sehr berühmt,
die hat einen Namen,
das ist Fermis goldene Regel
Und also, um das jetzt nochmal sozusagen zu demonstrieren,
was bedeutet das? Das bedeutet,
wenn ich eine konstante Störung habe, eine zeitunabhängige Störung,
dann kann die Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen erzeugen,
die aber Energie erhalten müssen.
Deshalb steht hier eine Welt der Funktion und die Rate
ist gegeben, ja,
die ist halt proportional zum Betragsquadrat
Des Matrix-Elements zwischen der Störung zwischen diesen beiden Zuständen, N0 und M0.
Genau. Das ist eine Formulierung von firmis goldener Regel.
Natürlich ist jetzt zunächst mal, das gilt für ein Paar von Zuständen, M&N.
Jetzt hat man aber häufig zum Beispiel den Fall,
in der Atomphysik, können Sie zum Beispiel den Fall haben,
dass Sie ein Atom bestrahlen und mit zwei Tonnen und Sie ironisieren das Photon.
Der Endzustand ist ein Kontinuumszustand, der nicht gebunden ist.
Das heißt, sie haben unter Umständen sehr viele Zustände N,
in die dieser Anfangszustand übergehen kann. Das heißt,
ich muss das hier noch irgendwie über die Endzustände integrieren.
Und da nimmt man jetzt an oder man kann sozusagen jetzt diese Formel integrieren.
Und das macht man folgendermaßen, dass man annimmt, dass der Abstand,
also solange der Abstand, also Summation, Über Endzustände.
N, ich nehme an, dass der Abstand der Energieabstand zwischen benachbarten Energie,
zwischen benachbarten Endzuständen N, folgende Bedingungen erfüllt.
Nämlich, dass diese Funktion Delta T. von N-0-EM0 T durch Haarquere.
Das sollten diese Funktionen hinreichend breit ist. Also dass sozusagen,
eigentlich steht ja statt der Delta-Funktion zunächst mal das hier.
Wir haben ja die Delta-Funktion nur im Liebesvertäglichen endlich erhalten,
aber für endliche Zeiten steht eigentlich das hier.
Und wenn ich jetzt über ein Kontinuum von Zuständen integrieren will,
dann, und ich will das als Integral ausdrücken,
dann macht es nur Sinn, wenn diese Funktion,
als Funktion der Energiedifferenz die breiter ist,
als der Abstand zwischen benachbarten Zuständen.
Dann kann ich diese diskreten Zustände als Kontinuum auffassen.
Ich mache mal so eine Skizze hier.
Also wenn ich hier jetzt zum Beispiel die Energiedifferenz auftrage,
ja, und ich plotte und ich habe diskrete Zustände,
die aber sehr eng beieinander liegen, ja, also irgendwie sowas.
Und meine Funktion Delta Tee von dieser Energiedifferenz ist aber sehr breit,
ja, also irgendwie sowas,
ja, und hier in der Mitte ist irgendwo null
Also hier ist der Nullpunkt. Und wenn diese Bedingung erfüllt ist,
also wenn diese Zustände sehr viel enger liegen,
als die Breite von dieser Funktion, dann kann ich einfach integrieren.
Also statt über diskrete Zustände zu summieren,
was ich eigentlich machen müsste hier, kann ich integrieren.
Und dann kann ich einfach sagen, die Zustände haben eine
bestimmte Dichte pro Energieintervall. Ich kann sagen,
ich habe so und so viele Zustände pro Energieintervall.
Und dann kann ich das ausnützen und bekomme dann Folgendes,
dann kann ich annähern die Summe von diesen Übergangsraten
Summiert über alle Endzustände N. Kann ich dann annähern als integral,
über die Energie des Endzustandes, DEN,
mal diese Energiedichte, das nennt man dann auch Phasenraumdichte,
mal diese Übergangsrate von M nach N.
Und wenn Sie jetzt da diese Formel einsetzen, dann integriert sich diese Delta-Funktion raus,
weil das wird jetzt sozusagen über die Energie integriert.
Und damit bekommen Sie dann ein noch einfacheren Ausdruck,
der ist dann sozusagen gegeben durch 2P durch Hard Queer,
mal die Dichte der Zustände bei der Energie-EM,
das ist die Energie vom Anfangszustand und dann natürlich das Matrix-Element.
Und das ist eine andere Form von Firmis goldener Riegel,
also das ist sozusagen die Energie,
die Anzahl der Zustände,
Anzahl der Endzustände,
sollte ich vielleicht sagen,
pro Energieintervall
Okay, jetzt habe ich noch nicht gesagt, wann denn diese Bedingung erfüllt ist.
Ich habe diese Skizze gemacht und habe gesagt,
das kann ich so annähern, wenn diese Funktion sehr breit ist gegen Delta E.
Diese Bedingung muss ich jetzt mir noch aufschreiben,
aber das ist jetzt relativ klar, es muss halt gelten,
dass sozusagen das Argument hier, das Argument, wenn ich hier,
also wenn ich für diese Energiedifferenz die Energiedifferenz zwischen benachbarten Zuständen einsetze,
dann muss das Argument halt sehr groß gegen eins sein.
Das heißt, mit anderen Worten, die Bedingung ist,
Dass Tee sehr groß sein muss gegen zwei PH
Quer durch Delta E. Dann haben wir diese Situation,
also sozusagen Endzustände in diesem Fall für diese Bedingung können die
Endzustände als Kontinuum aufgefasst werden.
Ach, jetzt habe ich es im Moment,
das ist die, habe ich es jetzt genau falsch lang hingefunden?
Ja, sorry, jetzt habe ich es genau falsch schon hingeschrieben.
Nochmal zurück. Also ich will ja gerade,
dass das sehr breit ist, das heißt,
der Ausdruck des Argument hier muss klein sein gegen P.
Also es ist genau andersrum, sorry. Ja,
wenn ich das klein mache, dann steht hier,
Tee muss sehr klein sein gegen das hier.
Weil wenn das Tees ja groß ist, diesen Ausdruck,
dann haben wir ja vorher argumentiert, dann wird das eine Delta-Funktion.
Das heißt, der schaut dann nicht so breit aus,
sondern das wäre ja so ein Peak. Wenn ich so einen Peak habe,
dann kann ich diese Verteilung der Endzustände nicht mehr als Kontinuum auffassen,
weil dann höchstens einer davon rausgepickt wird.
Das heißt, die Zeiten müssen hinreichend kurz sein,
sodass diese Delta-Funktion noch hinreichend breit ist, sodass diese diskreten Zustände wie im Kontinuum erscheinen.
In der Praxis ist das aber eigentlich immer gewährleistet,
wenn diese benachbarten Zustände, wenn sie ein Kontinuum,
zum Beispiel nicht die buntene Streuzustände haben,
dann sind die immer die Energierifferenzen, sind extrem klein,
sodass diese Bedingungen nicht sehr restriktiv ist,
weil auf der rechten Seite halt was sehr Großes steht.
Also deshalb kommt diese Form von Fernmissgoldener Regel immer dann zum Tragen,
wenn sie zum Beispiel das Problem haben,
dass sie ionisieren in ein Kontinuum von ungebundenen Zuständen.
Dagegen diese Version kommt zum Tragen, wenn sie nur einzelne diskrete Bindungszustände haben,
dann haben sie eben unter Umständen nur den Übergang von einem einen anderen oder in sehr wenige andere Zustände.
Und dann gibt es eben, dann trägt diese Formel,
die sozusagen nur von diesem einen Endzustand abhängt.
Also das sind diese beiden Fälle, in denen
die Firmis goldene Regel ursprünglich typischerweise angewandt werden. Okay,
jetzt haben wir nur noch einen Fall, und zwar,
wir haben natürlich jetzt angenommen,
da bin ich jetzt höher heraus, okay,
ja hier,
wir haben,
wo war es
Ja, wir haben ja diesen Ball betrachtet, konstante,
zeitunabhängige Störung. Jetzt habe ich schon immer von Photonen gesprang,
von Strahlung und natürlich, wenn es ein Photon,
also wenn sie jetzt aufgepasst hätten, hätten sie mir vielleicht die Frage gestellt,
das kann ich doch gar nicht anwenden,
weil ein Foton ist eben keine zeitlich ab,
zeitlich konstante Störung, das schwingt ja,
ja, mit einer bestimmten Frequenz.
Das heißt, eigentlich muss ich mir jetzt den Fall anschauen,
wo das V nicht konstant ist, sondern eine harmonische Funktion ist
Und das mache ich jetzt auch noch kurz.
Er stellt sich aber glücklicherweise heraus,
dass ich an der Formel kaum was ändert,
nur dass das Argument hier noch einen zusätzlichen Thermen bekommt,
nämlich die Frequenz, mit der das Foul schwingt.
Also die Idee ist jetzt folgende, eine harmonische,
zeitabhängige Störung oder periodische Störung. Die würde dann folgendermaßen aussehen,
VV&T, ist und weil ich sicherstellen will,
dass das Ganze reell ist,
bleibe ich das als F mal eh hoch-i-omega-t plus das konjugierte,
sodass das ein hermitischer Operator ist.
Ja. Habe ich die nicht auf? Ah,
die habe ich nicht, okay. Also ich schaue mir
den Fall an und dazu muss ich jetzt noch sagen,
wobei der FF ist ist ein Zeit, wo Zeit unabhängiger Operator war.
Also wir haben ja im Prinzip sowas schon mal gemacht,
wir haben schon mal die Schrödingergleichung im elektromagnetischen Feld diskutiert und
die Details sind jetzt hier nicht so relevant,
aber wir haben gesehen, dass es im Wesentlichen über das Vektorpotenzial koppelt.
Also ein Photon kann man beschreiben durch den Weg und Potenzial,
dann würde halt hier so ein Vektorpotenzial stehen und die Zeitabhängigkeit
habe ich jetzt in diese Faktoren geschoben und ich habe einfach angenommen,
dass das harmonisch ist,
weil das zum Beispiel eine Welle ist,
die nur mit einer Frequenz schwingt
Jetzt die Details, werde ich jetzt nicht mehr nochmal durchgehen,
aber man kann sich leicht vorstellen,
dass wenn sie zum Beispiel jetzt nochmal in dieser Rechnung zurückschauen,
die wir hier gemacht haben, also vor allem diese hier,
ja, wenn ich jetzt hier was einsetze,
was einfach mit einer Frequenz schwingt, also sowas wie das hier,
ja, dann ändert sich gar nicht viel,
weil sie kriegen hier nur noch einen zusätzlichen E-Hoch plus oder minus I-Omega-Faktor,
den können sie damit reinziehen,
sodass alles, was sich an dieser Rechnung ändert,
am Schluss einfach daran besteht,
dass in diesem Argument halt noch ein Omega abgezogen wird oder dazu addiert,
je nachdem, wer jetzt Wortzeichen hier drin steht.
Das heißt, ich kann sozusagen durch diese einfache Analogiebetrachtung,
kann ich sofort schließen, dass meine Übergangsrate folgendermaßen geschrieben werden kann.
Die besteht jetzt aus zwei Therme,
weil halt dieses Omega aus zwei verschiedenen Vorzeigen haben kann.
Und dann steht hier zwei Peter H. Quer.
Und dann haben wir einmal die Delta-Funktion von EN00000,
Minus hark quer Amega. Und das muss ich multiplizieren mit dem Betragsquadrat von F,
also Amplitude von F zwischen N0 und N0. Und dann habe ich
noch den Fall, wo das Fortzeichen genau andersrum ist.
Plus Hakware Omega und das zugehörige Matrix-Element hat natürlich dann den addiongierten Operator drin stehen.
Also wie man sich das physikalisch vorstellen muss, ist,
wenn ich sowas habe, dann kann ich zum Beispiel,
wenn das ein Fotoanfeld beschreibt,
dann kann das Photon entweder absorbiert werden Ja,
schauen wir uns mal an, wie das hier aussieht.
Also das war die ursprüngliche Energie. Und wenn ein Foto und absorbiert wird,
dann wäre es der Therm, weil der Endzustand hat dann eine Energie,
die um Haar quer omega größer ist, als die ursprüngliche.
Wenn ich das andere Vorzeichen nehme,
dann ist der Endzustand, hat weniger Energie als der Anfangszustand.
Und das würde Emissionen von den Fotonen entsprechen.
Also sie haben hier beide Fälle drin,
weil sie ja diese beiden Frequenzen drin haben.
Und einer dieser Prozesse entspricht Absorption und der andere
halt Emissionen von Photonen
Also der in der Atomphysik ist dann hauptsächlich dieser Ausdruck von
fairmissoldener Regel dann relevant. Aber sie sehen,
man kann sich das sehr leicht merken und ich empfehle das auch,
dass man sich diese Formel merkt sogar.
Also diese Übergangsrate ist im Wesentlichen immer,
das Quadrat von dem Matrix-Element, von der Störung zwischen den beiden,
Anfangs- und Endzustand, noch versehen mit einer Delta-Funktion,
die Energieerhaltung entspricht und dann halt noch ein Faktor 2 Pedo-Hard quer.
Also das Endresultat ist eigentlich relativ einfach. Also das ist nochmal,
weil es so wichtig ist, Fermirs goldene Riegel.
Für harmonische oder periodische Besuchser vielleicht periodische Störung. Okay.
Gut, jetzt haben wir noch eine gute halbe Stunde,
da kann ich das hier noch machen.
Also das schließt jetzt diese Sache mit der Störungstheorie ab.
Was ich jetzt in der verbleibenden Zeit noch machen will,
ist, mal schauen,
wie weit man da noch kommt nächste Woche
Ich will so ein bisschen Streutheorie nach Möglichkeiten machen.
Und auch das Konzept vom Wirkungsquerschnitt einführen. Und das führt
sich eigentlich am besten ein im Zusammenhang mit der Streutheorie.
Und bevor ich überhaupt Streutheorie machen kann,
muss ich noch ein bisschen diskutieren. Den Fall,
dass wir ein dreidimensionales Problem haben, das radial symmetrisch ist.
Wir haben das im Prinzip schon mal gehabt.
Aber jetzt schauen wir uns noch mal speziell den Fall an,
wo sozusagen das Potenzial Streckenweise konstantes.
Also das ist jetzt sozusagen gewissermaßen ein Schuh,
radialsymmetrische Probleme, schreibe ich vielleicht mal.
Mit Schreckenweise konstanten Zentralpotential
Es gibt noch einen anderen Grund,
warum ich das gerne diskutieren möchte,
weil die Lösung von solchen Fällen führen zu sehr wichtigen und bekannten Funktionen,
nämlich die sogenannten sphärischen Pässelfunktionen und deshalb will ich das hier auch diskutieren,
weil sie die zumindest in der theoretischen Physik,
die weise denen sehr oft begegnen.
Also schauen wir uns erstmal,
und das ist jetzt alles wieder stationär, das heißt,
wir schauen uns in 12,1 die Lösung der stationären Schuldingergleichung an.
Und da müssen Sie jetzt eventuell mal zurückblättern und sich die entsprechende Vergleichung noch mal anschauen.
Wir hatten das im Zusammenhang mit dem Wasserstoffatom diskutiert.
Also wir werden jetzt sozusagen annehmen, dass V von R
gleich V0 gleich konstant ist. Und die radiale Schrödingergleichung,
die müssen wir jetzt eventuell noch mal nachschlagen, die hat folgende Form.
Das ist minus Hardwarequadrat durch 2M. Dann haben wir hier aufgrund
dieser gekrümmten Metrik haben wir diese etwas modifizierte zweite Ableitung.
Und dann haben wir die Drehimpulsbarriere. Also ich nehme jetzt
immer an, dass ich mich einen bestimmten Drehimpulszustand befinde,
sodass der Winkelabhängige Teil bereits heraus produziert ist.
Und dann haben wir hier für den radialen Teil diese Gleichung.
Und das hatten wir dann irgendwie RRL genannt. Das ist
der Radialteil der Welt und der schönen Ergleichung. Und das,
wenn das ein Eigenzustand ist, dann ist das halt gleich
die Energie mal RL von R. Also das ist die radiale radiale Schrödingergleichung.
Zum Drehimpuls El Quadrat, gleich Hakwia Quadratma,
Elma El plus 1. Sodass die gesamte,
die Gesamtwellenfunktion würde dann noch multipliziert werden mit einem,
mit einer Kugelfunktion Y LM von den Winkeln.
Aber wir interessieren uns jetzt nur für den radialen Teil
Jetzt kann man natürlich wieder, weil jetzt ist V0
konstant ist, das macht es jetzt ein bisschen einfacher.
Sie sehen, der Therm hat genau die gleiche Form
wie dieser, weil das sind ja beides Konstanten.
Die können wir also zusammenfassen und einfach mal so eine Wellenzahl wieder definieren,
nämlich Wurzel aus 2M, mal e-V0, dividiert durch Hakiar.
Sowas hatten wir ja schon öfter. Und jetzt kann man,
es gibt es natürlich wieder zwei Fälle,
wenn eh größer gleich V0 ist,
dann ist das natürlich positiv
Dann haben wir sozusagen so eine Art ungebundenen Zustand. Wenn aber eh kleiner ist als FA0,
dann wird es natürlich imaginär und dann muss ich eigentlich schreiben,
K ist gleich I mal Kappa,
wobei das Kappa wieder genau andersrum definiert ist,
wo halt dann hier V0-E steht, sodass das positiv wird.
Aber das kann man beides natürlich so machen. Und genau,
und in diesem Fall,
also dass wir natürlich K größer null und in diesem Fall
wäre das Kappa größer null und
das Kaviar imaginär
Okay. Jetzt mit dieser Definition können wir eine neue radiale Koordinate einführen.
Also ich definiere jetzt sozusagen roh, er ist K mal R.
Und dann lässt sich diese radiale Schuldingergleichung folgendermaßen umschreiben.
Ich wäre jetzt vielleicht nicht immer alle Details genau durchgehen,
aber ich glaube, das ist relativ. Klar,
also sie dividieren das einfach durch e-V0, diese ganze Gleichung,
dann steht oder eigentlich durch V0-E, dann steht auf der rechten,
auf der linken Seite steht dann eins.
Und hier stehen halt im Wesentlichen steht dann so was wie Rohquadrats,
weil diese Vorfaktoren, Vorfaktoren können sie zusammenfassen in Karl Quadrat.
Und hier steht immer in quadratisches R und es gibt dann sowas wie eins durch Europa Draht. Und wenn ich das alles hinschreibe,
dann steht also jetzt im Endeffekt Folgendes da,
die noch, die Rohquadrat, plus zwei Mal,
also Moment, ich bin jetzt in der Zeile gesprungen,
das war jetzt, diese muss ich erst hier,
plus zwei durch Roh, mal die nach Tero,
minus, el,
mal el plus eins durch Rohquadrat und hier steht plus eins.
Und das Ganze wirkt auf RRL und gibt null.
Ja, also nochmal, Ich habe sozusagen das E-0. Ich
habe die ganze Sache noch mit minus eins multipliziert.
Und dann steht hier halt auf der rechten Seite sowas wie e-V0. Ja,
und das ist halt im Wesentlichen kein Quadrat.
Und da ich jetzt das in Ruhe ausdrücke, muss ich durch Karl Quadrat tivitieren.
Deshalb steht hier eins und so weiter. Also das ist,
glaube ich, vielleicht müssen sie nochmal fünf Minuten hinsetzen,
aber das ist, glaube ich, ziemlich straightfour,
dass man sieht, dass das in der Form dann geschrieben werden kann.
Und der Vorteil ist natürlich jetzt, dass das Roh ist,
dimensionslos. Das hat keine Einheiten mehr. Das ist
eine Zahl
Sodass das dann zu einer mathematischen Definition von diesen Funktionen führt,
die nicht mehr von der Länge oder so abhängen.
Ja, also das ist jetzt diese radiale Schrödingergleichung für konstantes Potenzial.
Und jetzt mache ich einen Ansatz für RL,
der sich als sinnvoll herausstellt, und zwar,
ich schreibe das als Rohhoch-L, mal eine neue Funktion hiel von Roh.
Und Genau. Und wenn Sie jetzt diese Definition hier einsetzen,
in diese Differenzialgleichung, dann kriegen Sie natürlich eine neue Differenzialgleichung für dieses HeL.
Und ich bin mir jetzt nicht ganz sicher,
wie viele Details ich für die Rechnung machen soll.
Ich glaube, die kann man vielleicht auch selber machen,
aber ich schreibe erst mal das Resultat an.
Also was daraus folgt, ist,
dass die zweite Ableitung nach Roh plus zweimal 11 plus 1,
dividiert es durch Roh mal die nach Diro, Plus eins.
Wir wirken uns auf Heel von Roh, gleich Null wird.
Vielleicht statt das alles hier im Detail aufzuschreiben,
schreibe ich vielleicht nur kurz an, wie man das ausrechnet.
Also natürlich klarerweise, wenn sie starten ja mit dieser Gleichung,
das heißt, sie müssen halt die erste und die zweite Ableitung ausrechnen.
Und wenn sie das machen,
dann haben sie halt sowas wie die RRL nach Tiroh,
ist gleich L, mal Rohhoch, L minus eins,
mal KL plus Rohhochel, mal DHL nach Tero.
Und für die zweite Ableitung haben sie einen, also vielleicht,
ja genau, vielleicht so viel mache ich noch.
Da gibt es jetzt insgesamt vier Therme, zwei davon
kann man zusammenfassen. Also sie sehen zum Beispiel,
dass der Therm, der linear in KHL ist,
dann muss ich das noch mal differenzieren.
Und da bekomme ich dann L, mal L minus 1,
mal Rohhochel minus 2,
mal HL,
Und dann habe ich hier plus,
da gibt es jetzt zwei Therme, die identisch sind.
Also wenn ich diese Mischableitungen nehme, die sind beide mal gleich.
Deshalb werden die verdoppelt und da steht hier insgesamt plus zwei L,
mal rohhoch, L minus 1, D, hi,
L nach Diro.
Und der letzte Therm ist plus rohhoch,
El und hier steht dann die zweite Ableitung.
Und vielleicht eine Sache, die ich jetzt hinweisen will,
ist folgende.
Also das begründet auch die Zweckmäßigkeit dieses Ansatzes
Wenn Sie das jetzt hier einsetzen, ja, dann sehen Sie
sehr schnell, dass der Therm halt den gerade rauskürzt.
Und deshalb bekommen Sie dann diese Gleichung und da steht dann sozusagen,
der Einsatz war noch da, aber nicht mehr dieser Therm.
Und okay, die restlichen Therme können Sie selber zusammensammeln, das ist vielleicht zu viel Detail. Genau,
und der Punkt ist jetzt, wir wollen das irgendwie lösen,
wir wollen Lösungen dieser Gleichung angeben und das führt uns erst dann zu diesen sphärischen Pässelfunktionen,
aber bevor ich das mache, ist noch eine interessante Beobachtung,
Also man kann zeigen, oder man zeigt, dass,
falls, vielleicht nenne ich diese gleichen Mal Sterne,
damit ich mich darauf beziehen kann, falls HeL Stern löst,
so löst, eine neue Funktion,
die ich mit HeL plus 1 bezeichne.
Und zwar ist die einfach eins durch Roh mal die Ableitung von dem alten Kiel.
Das löst Stern, wobei durch L plus 1 ersetzt wird.
Also mit anderen Worten, das ist so eine Iteration,
wenn ich, ich kann, das ist sehr nützlich,
weil das erlaubt mir sozusagen diese Gleichung nur für L
gleich Null zu lösen und das ist relativ einfach.
Und die Restlichen, die kann ich dann durch Iteration,
durch mehrfache Anwendung von diesem Operator erzeugen.
Also wenn ich es einmal für L gleich Null gelöst habe,
dann habe ich es sozusagen für alle Eltern gelöst.
Das ist der Vorteil. Also daraus folgt sozusagen die Rekursionsrelation,
dass das HEL dann nichts anderes ist,
als dieser Operator L
mal angewandt
Auf Chinul. Elmal angewandt auf Chinul ist Lösung von Sternen.
Und wie gesagt, wiederum vielleicht nicht alle Details dazu,
aber wie zeigt man das? Wie habe ich das jetzt
hier gemacht? Ja, genau. Also man kann,
genau, vielleicht gebe ich nur die wichtigsten Schritte an,
ohne alle Details
Hier zu machen. Wenn Sie das zeigen wollen,
dann müssen Sie natürlich diese ersten und zweiten Ableitungen von diesem neuen GL ausrechnen.
Und ich schreibe mal ganz kurz das an,
dass zum Beispiel die erste Ableitung ist halt dann,
ja, minus eins durch Rohquadrat,
mal DCL nach Tero plus eins durch Roh,
mal die zweite Ableitung von Chiel nach Rob.
Und ja, vielleicht noch die zweite kurz Da haben sie also dann,
das ist ja zum Beispiel, die haben zwei durch Rohhoch 3,
mal die Kiel nach Tero, minus zwei durch Rohquadrat,
mal die zweite Ableitung von Kiel.
Und dann haben wir einen Ter mit der dritten Ableitung.
Und jetzt sehen Sie, wenn Sie diese beiden Dinger hier,
die müssen Sie jetzt hier einsetzen, dann sehen Sie schon, Sie kriegen dann
Eine Differenzialgeigung für das alte HiEL, aber dummerweise mit Thermen bis zur dritten Ableitung.
Und wenn sie dir alle zusammen sammeln, müssen sie zeigen,
dass die Null ergeben, und das kann man dadurch machen,
dass man diese Gleichung für das Ursprüngliche HiEL einmal differenziert,
weil dann kriegen sie hier auch dritte Ableitungen und so weiter.
Also bis zur dritten Ableitung. Und den Schritt,
den führe ich jetzt nicht im Detail aus. Also sozusagen,
ich schalte nur die Schritte an Einsätzen in Sternen,
wobei ich natürlich jetzt L durch L plus 1 substituieren muss
Und einmaliges differenzieren, von Sternen für L,
als er jetzt für das Vorher, für das Vorhergehen der L,
führt dann, führt dann insgesamt wieder zu Null,
womit gezeigt ist, dass diese Behauptung,
die ich ja aufgestellt habe, gilt.
Und ja, und jetzt können wir alles zusammenfassen.
Ah ja, okay, bevor ich das hier mache.
Jetzt schauen wir uns genau. Ich habe ja gesagt,
ich kann also diese Iterationsgang hier anwenden,
was uns aber jetzt noch fehlt, ist die Gleichung für Chino.
Und die schauen wir uns jetzt ganz kurz an.
Also wenn ich jetzt L gleich null setze, dann steht ja hier,
das ist jetzt nochmal wichtig, dann steht hier Folgendes.
Dann haben wir hier Die zwei nach D-Rokodrat,
plus zwei durch Rot, die nach D-Rot,
plus eins, Hinul, gleich Null.
Das ist die Gleichung für Hinul. Ich habe einfach jetzt
diese Gleichung für Elgleich 1 verwendet. Und jetzt kann man,
okay, vielleicht mache ich das hier ganz kurz durch einen Trick.
Ich kann nämlich jetzt Folgendes zeigen. Eins durch Rot,
mal die zweite Ableitung von Romarchi 0. Nach Thero-Quadrat. Das
ist, da kriegen sie zwei Therme. Nämlich einmal,
wo sie nur das Hinul differenzieren, dann kürzt sich das Rot.
Aber sie kriegen noch einen zusätzlichen Therm. Also das gibt einfach
den hier. Aber sie kriegen auch noch den Therm plus zwei
durch Rot. Mal D-0 nach Thero. Und das bedeutet,
dass ich diese Gleichung foltermaßen umschreiben kann, nämlich in folgende Form,
dass, dass das gleich minus Romachi 0 wird.
Was ist passiert? Also ich habe sozusagen,
wenn sie diese Geichung einmal durch Rot dividieren und dann diese und dann diese Identität verwenden,
also wenn sie das hier, diese beiden Therme durch Rot dividieren,
dann kriegen sie ja gerade, Moment,
hier stimmt das nicht jetzt,
habe ich das richtig geschrieben
Nö, genau, okay, sorry. Wenn das hier,
also diese ersten beiden Therme, die sind ja identisch mit dem.
Und damit kann ich diese ersten beiden Thermen durch den hier ersetzen.
Und dann steht, und dann, wenn ich das Ganze
mit Roh multipliziere, dann kriege ich genau diese Gleichung.
Vielleicht sollte ich es mir mal hinschreiben,
also daraus folgt diesen
einen Zwischenschritt
Ja, also wie gesagt, diese beiden,
sie haben ja hier, die sind identisch mit denen,
deshalb kann ich das so schreiben, da kann ich also schreiben,
eins durch Rom, mal die zweite Ableitung von Rochinvoldor nach Tirol,
ist gleich, minus hinul.
Ja, ich habe den Rest jetzt nur auf die linke Seite,
auf die rechte Seite gebracht und wenn ich das mit Rom ultipliziere,
dann habe ich genau die Gleichung. Und der Punkt ist jetzt,
die Gleichung, die ist sofort zu lösen, das ist nämlich,
Bruder wird die gelöst, du hast Sinus und Cosenus,
ja, das heißt, also wird gelöst,
durch Rochy Null, gleich Sinus von Roh,
oder Rochy Null, gleich Cosenmostro.
Ja, warum? Weil die zweite Ableitung vom Sinus ist halt Minus Sinus.
Das ist genau das, was hier dort entsteht.
Und genauso wie ein Cosenus. Das heißt, wir haben jetzt
zwei Lösungen für Chinul, oder zunächst mal für Rochy Null.
Und wenn ich jetzt noch durch Roh dividiere,
dann bekomme ich zwei Möglichkeiten und die haben auch einen Namen,
Die erste, die heißt J.0 von Rot.
Und das ist halt dann der Sinus von Rot durch Rot.
Und die zweite, die nennt man dann häufig N.0 von Rot.
Und aus irgendwelchen Konventionsgründen ist das nicht der Kosinus, sondern Minuskosenus.
Aber das sind ja nur bestimmt bis auf eine Konstante.
Das heißt, ich kann das immer mit einer konstanten multiplizieren.
Und das löst, und ich nenne das nochmal hier,
zwei Sterne. Also wenn sie dieser Zwischenschritt hier,
wenn sie den nicht mögen,
dann können sie das auch direkt überprüfen,
indem sie die beiden Dinger hier einsetzen
Und sich davon vergewissern, dass das tatsächlich null gibt.
Ja, und das sind jetzt relativ wichtige Funktionen,
die nennen sich jetzt, das ist nämlich jetzt die sogenannte sphärische Besserfunktion,
null der Ordnung.
Und das ist die sphärische Neumann-Funktion, null der Ordnung.
Das hisphärische Besserfunktion für L gleich null.
Und das ist die sphärische Neumann-Funktion
So eher gleich null. Und der Witz ist jetzt der,
dass wir die entsprechenden Bässe- und Neumann-Funktionen für größere L,
also für L, ungleich null, die können wir jetzt sofort erhalten,
indem wir halt diese Iperationsgleichung ansetzen.
Und insgesamt erhalten wir dann folgendes, nämlich JL von Roh,
Und jetzt muss man ein bisschen aufpassen,
wir müssen mehrere Sachen zusammensammeln. Wir haben gesagt,
dass HEL, das kann ich jetzt so erzeugen,
aber ich will ja sozusagen die gesamte Radialfunktion und sie erinnern sich,
wir haben da vorher so eine Substitution gemacht.
Das heißt, ich muss das ganze Ding jetzt noch mit
Rohbuch L multiplizieren. Und deshalb bekomme ich dann insgesamt Folgendes,
nämlich minus Rohbuch L. und dieses Minus ist reine Konvention.
Also ich kann auch genauso gut Plus Rohbuch L scheiden,
aber es ist sowieso nur bis auf eine Konstante festgelegt
Und das hat bestimmte historische Gründe, dass man diese Konvention verwendet. Ja,
und der Rest ist jetzt einfach Anwendung dieses Operators, El Mal,
auf den Fall J gleich Null und der Fall J gleich Null,
der steht da, das ist Sinus von Rot durch Rot.
Ja, und das ist jetzt tatsächlich die sphärische Bestsell-Funktion für
beliebige Ordnung
Zu L. Und so ähnlich kann man das natürlich auch mit der Neumann-Funktion machen,
dann schaut sich das ganz genauso aus,
nur dass ich jetzt Flacinos rosa-rot halt im Wesentlichen kosenos von Rodrich Roset verwende.
Und die Konvention ist dann schlussendlich folgende,
dass es folgendermaßen definiert, NL von Ro.
Und da ist auch wieder eine Konvention, da steht dann minus,
minus Rohhoch L. Und dann steht halt Das hier,
und das muss jetzt angewandt werden, auf Kosnuss Brot durch Rot.
Ja, also nochmal, das Statement ist folgendes.
Damit lösen die Funktionen, RL, das sind die ursprünglichen Radialen, Schuldigerwellenfunktionen.
Und das kann jetzt eben im Allgemeinen eine Linearkombination diesen beiden Seinen.
Also ich nenne es mal jetzt irgendwie C-1 von J11 von
Roh plus C-2 von N11 von Roh.
Die radiale, Schrödingergleichung. Zu L. Genau. Was jetzt
vielleicht auch noch interessant ist, ist vor ihm das,
Nämlich, und deshalb wird es jetzt auch für Streubprobleme interessant.
Also zunächst mal sehen Sie,
warum man diese Wahl getroffen hat hier, ist folgender Grund,
wenn Sie hier Roh gegen Null gehen lassen,
dann geht es gegen eins.
Das heißt, das bleibt endlich, währenddessen hier divergiert.
Also Sie haben dann in der Physik gewisse Probleme,
wo Sie dann irgendwelche Randbedingungen haben, zum Beispiel,
dass die Wellenfunktionen im Ursprung endlich bleiben muss.
Und das projiziert ihnen dann nur einen in dieser beiden Fälle
raus, nämlich die sphärischen Pässefunktionen,
nicht die neue Mann-Funktion
Also das heißt, durch solche Argumente, mit Konvergenz oder Stetigkeit,
kriegt man dann meistens nur noch eine von diesen beiden.
Und was auch noch wichtig ist, das ist eine weitere Konvention,
die wir möglicherweise noch verwenden, wenn wir diese Streubrobleme diskutieren.
Das sind die sogenannten, also eine Linearkombination von diesen beiden,
Neumann und Resselfunktionen, die nennen sich dann sphärische Handelfunktionen.
Und die haben auch einen physikalischen Hintergrund.
Das sind nämlich dann gestreute Wellen beschreiben, die sozusagen.
Und die sind folgendermaßen definiert, die haben,
da gibt es also zwei Versionen davon, HL 1 und 2.
Und das sind einfach Linearkombinationen, die sind folgendermaßen definiert.
Das ist J11 und Roh, plus oder minus, eh mal die Neumann-Funktion.
Und was ich jetzt nicht zeigen werde, werde aber,
was ich einfach nur aufschreiben, werde es,
dass für sehr große Roh, also Roh gegen unendlich,
haben die ein bestimmtes asymptotisches Verhalten
Und zwar ist die Basel-Funktion, die geht gegen eins
durch Roh, mal Sinus, von roh-minus-Ll-P-Halbe.
Das wäre ich jetzt hier nicht zeigen, warum das so ist.
NL von Roh. Wichtig ist nur zu wissen, dass die alle,
also dass sozusagen die Amplitude immer wie eins durch Roh geht.
Nur die Phase ist unterschiedlich. Hier haben sie Kosenus von roh-minus-L-P-Halbe.
Und für diese Handelfunktion, da haben sie sozusagen eine Exponential Welle,
also minus plus I durch Roh, mal E hoch, plus minus I.
Und dann haben wir hier roh minus Elti-Halde. Genau. Ja,
das war sozusagen eine Diskussion von ein paar speziellen Funktionen,
die häufiger in der theoretischen Physik zum Einsatz kommen.
Jetzt wollen wir das Ganze natürlich anwenden und wir können jetzt,
jetzt haben wir nicht mehr sehr viel Zeit,
aber vielleicht Da wäre mich auch relativ kurz fassen,
aber wir können das jetzt anwenden auf den sphärischer,
auf den sphärischen Potenzialtopf.
Also wir haben ja so Potenzialtöpfe schon öfter gehabt,
aber das war üblicherweise in einer Dimension. Jetzt betrachten wir den Fall,
dass wir drei Dimensionen haben und das Ganze radialsymmetrisch ist.
Und dann haben wir ein Kastenpotenzial in drei Dimensionen.
Das hat dann die Form minus V0 mal Täter von a-r,
Wobei A und V0 positiv sein sollen.
Und A ist natürlich einfach der Radius, also das ist wieder die Heavy-Side-Funktion.
Das heißt, das Ding ist plus eins, wenn R-Client dann gleich A ist.
Und es ist null, wenn er größer A wird.
Das heißt, deshalb ist das so ein Pootenzial-Topf.
Das heißt, bei kleinen Radien ist es minus V0.
Und für Radien R größer A ist es null. Genau,
und der Punkt ist jetzt, wir kennen jetzt die Lösung von dem Ding.
Das sind nämlich eben diese sphärischen Pässe und Neumann-Funktionen. Nur,
wenn jetzt, wenn wir so einen Topf haben, dann,
dann haben wir wieder Stetigkeitsbedingungen bei R gleich A. Also nehmen wir uns erstmal an,
schauen wir uns mal Bindungszustände an.
Bindungszustände bedeutet, dass die Energie zwischen minus V0 und 0
liegt. Und jetzt muss ich ein bisschen aufpassen hier,
wenn er kleine, ja genau,
also wenn Sie jetzt auf den letzten Abschnitt zurückgehen,
Dann müssen wir jetzt zwei Fälle unterscheiden.
Also wir interessieren uns jetzt für diese radiale Schuldinger, Wellenfunktion.
Und wir schauen uns jetzt erstmal den Fall eher kleiner A an.
Und im Prinzip können wir das lösen, weil das ist
genau der Fall, den wir jetzt besprochen haben.
Das ist der Fall hier. Ja, hier. Und sie sehen,
wir befinden uns jetzt in dem Fall, weil das Found,
okay, das Foundal ist jetzt in unserem Fall negativ.
Und die Energie, die Bindung Energie ist,
aber hilft dir jetzt mal, die ist größer gleich,
minus fahr 0, also eh größer gleich fahr.
Man muss sich hier jetzt, ja,
ich habe das Vorzeichen umgedreht, sodass das Farmul positiv ist.
Jedenfalls der wichtige Punkt ist, dass diese Kombination hier positiv ist.
Also die Bindungsenergie ist größer als die Tiefe des Potenzialtops.
Deshalb ist das K positiv. Und damit muss das eine
äsphärische Besselfunktion sein. Also kann ich hier einfach schreiben,
dass es JAMA, JL von QR, wobei Q gleich ist,
Wurzel aus 2M, mal EB plus V0.
Durch Akquir. Also, okay,
da muss man jetzt ein bisschen aufpassen, dass es diese Formel hier,
wobei ich aber das Vorzeichen von V0 vertauscht habe,
weil das jetzt ein Potenzialtopf ist.
Und hier habe ich die Bindungsenergie eingesetzt. Deshalb kriege ich
diesen Ausdruck. So, jetzt kann man sie fragen.
Es gibt auch noch zwei Lösungen. Es gibt ja nicht
nur die sphärische Besselfunktion, es gibt auch tosphärische Neumann-Funktion.
Warum kann ich die da nicht auch dazusetzen?
Der Grund ist einfach der, das,
was ich vorher erwähnt habe, divergiert am Nullpunkt.
Und weil das eine Wellbe-Haved-Wellenfunktion sein soll, kann ich nur die sphärische Besser-Funktion nehmen.
Die bleibt nämlich endlich. Das sehen Sie nochmal,
wo sieht man das nochmal? Ja, hier zum Beispiel,
wenn L gleich Null ist, dann bleibt es endlich.
Und übrigens stimmt es dann auch. Also genau,
das stimmt dann auch für höhere L. Und deshalb können Sie
hier nur dieses IOL setzen. Jetzt für den Fall,
dass er größer als A ist, haben wir,
wenn wir jetzt hier zurückgehen, Dann haben wir das Potenzial verschwindet dann.
Und ich habe ein Bindungszug, also dann sind wir in
dem Fall, das FA0 wäre dann hier null.
Und das ist aber negativ. Das heißt, wir sind
in dem Fall. Das heißt, ich muss hier,
da wird das Kappa imaginär. Und jetzt, beziehungsweise
das Körper wird nicht imaginär, sondern das K-Wert imaginär.
Und das Körper bleibt positiv. Und in diesem Fall kann ich,
da kriege ich jetzt die erste Hankelfunktion,
ich begründe gleich warum,
von E-Cappa mal
Für diesen Fall. Und warum kann ich jetzt hier nur,
das ist eine Eins hier,
warum kann ich hier nur diese eine Funktion verwenden,
dann schauen wir uns das noch mal an hier.
Genau, das liegt an dieser Asymptotik. Denn ich muss jetzt hier,
Sie sehen das Argument, hat selber noch ein I drin.
Und wenn ich jetzt hier für das Roh I mal Roh
einsetze, dann bekomme ich minus oder plus mal Roh.
Die plus mal Roh funktioniert aber nicht, weil das exponentiell anwachsen würde bei großen Radien.
Also da geht nur die Lösung mit dem Plus hier,
weil das dann minus roh gibt. Und deshalb muss hier,
kann nur die erste Handelfunktion drinstehen. Also das heißt,
wir haben jetzt schon in diesen beiden Bereichen eher kleiner als A&R größer als A,
können wir nur jeweils eine dieser sphärischen Bässel- oder Neumann-Funktionen haben,
aufgrund von Stetigkeit bzw. der Forderung, dass das hier exponentiell abfallen muss.
Und das Nächste, das schaffen wir jetzt nicht mehr,
aber das mache ich dann beim nächsten Mal noch fertig.
Natürlich haben sie jetzt noch eine Stetigkeitsbedingung, ja,
und das legt dann fest, diese konstanten A und B,
ja, weil das ist jetzt natürlich, wenn ich so allgemein schreibe,
dann ist das bei Ärger ich A nicht unbedingt stetig,
ja.
Das heißt, sie bekommen dann eine zusätzliche Bedingung und die
schauen wir uns dann am nächsten Montag noch an.
Okay,
dann bis nächsten Montag