Guten Morgen. Wir fahren mit der Störungstheorie weiter fort.
Und wir haben, wir wollten die anwenden auf das Wasserstoffatom.
Und wir werden zwei, also wir haben die staatsanäre Störungstheorie allgemein entwickelt.
Und jetzt erwähnten wir sie eben an. Und zwar danke.
Und zwar betrachten wir zwei Korrekturen. Einmal eine Korrektur zur
genetischen Energie. Also das sind relativistische Korrekturen. Und die erste,
die wir besprechen werden, ist eine Korrektur zur genetischen Energie.
Und die zweite die im Anschluss diskutiert wird, ist,
kommt von der Wechselwirkung des Spins oder eigentlich des magnetischen Moment des Elektrons mit dem Magnetfeld,
das durch die Bewegung des Atomkerns verursacht wird.
Also ich komme danach darauf zurück, das führt dann zur sogenannten Spin-Bahn-Kopplung.
Aber jetzt erst noch ein paar allgemeine Bemerkungen,
also wenn sie die kinetische Energie hier so entwickeln, das ist der relativistische Ausdruck,
dann bekommen sie natürlich die Ruheenergie plus die nicht-relativistische Energie, aber dann eben auch höhere Ordnungstherme. Im Grunde genommen müsste man eigentlich den ganzen Ausdruck hier verwenden,
wenn wir es wirklich exakt machen will,
also nicht nur diese erste Korrektur, sondern auch höhere,
das können wir auch hier nicht machen,
weil es dazu bräuchte man die Dirergleichung,
die können wir jetzt in dieser Grundvorlesung nicht besprechen,
aber eine Anmerkung dazu,
diese Therme werden zumindestens alle immer kleiner und das sieht man daran,
dass sozusagen Pegwadrats durch,
also sozusagen die Quadrat des Impulses durch die hohe Energie ist von der Ordnung Alpha,
also die Feinstruktur, Konstante,
sowas wie 1 zu 137 ist und deshalb sieht man einen sehr leicht,
dass diese höhere Interme hier mit einer Potenz von Alpha nach unten gehen,
weil das wären höhere Potenzen von P-Quadral und deshalb bringen sie immer ihr höhere Potenzen von Alpha rein und deshalb sollte das eigentlich relativ schnell konvergieren.
Und deshalb, wenn wir uns auf die erste Ordnung der relativistischen Korrekturen beschränken,
dann können wir eben diesen Themen uns rauspicken und die anderen vernachlässigen. Okay,
damit haben wir jetzt also folgenden Ausdruck für unseren Störungshemmeltonien,
das nennen wir, haben wir ja als H1 bezeichnet,
also H0 war der bekannte Schödinger Operator für das nichtrelativistische Wasserstoffarzon
und das H1 ist halt jetzt gerade dieser Ausdruck hier,
wobei man für P natürlich dann den Operator einsetzen müssen.
Das heißt, wenn ich den mir herausschreibe,
dann bekomme ich ein minus ein Achtel, mal Pegodrat,
ins Quadrat durch ME hoch 3,
10-0 Quadrat und das kann ich jetzt folgendermaßen schreiben,
das ist eins durch
Also ich schreibe das jetzt sozusagen eins, als minus eins durch zwei ME-C0-Quadrat.
Und dann führe ich hier H0 ein plus Z mal E-0 Quadrat durch R.
Und das Ganze ins Quadrat. Weil was ich sozusagen hier
gemacht habe, ist, dass ich das P-Quadrat ausgedrückt habe.
Also ich habe sozusagen H0 gesetzt, wie immer,
P-Quadrat durch zwei
Minus Z, E-0 Quadrat durch R und habe das nach P-Quadrat aufgelöst.
Und deshalb bekommen wir hier dann diesen Ausdruck.
Also das hier ist nichts anderes als die kinetische Energie,
weil die Gesamtenergie ist und die potenzielle subtarahiere ich.
Also die Potenziale ist ja minus, deshalb,
wenn ich so tariage bin, Plus.
Und dann steht hier P-Quadrat durch zwei M,
wenn ich das quadratiere, gehe ich genau diesen Ausdruck zurück.
Jetzt wissen wir aus der Störungstheorie,
wenn wir jetzt diese Korrekturen für die Eigenwerte ausrechnen wollen,
dann ist in erster Ordnung,
dass einfach der Erwartungswert von H1 in dem ungestörten Zustand des Wasserstoffatoms,
das sich ja durch NL und M charakterisiere,
also das ist wieder die Hauptkontenzahl N, das ist der Drehimpuls,
das ist die Projektion vom Drehimpuls auf die Z-Achse und ja,
und jetzt muss ich also sozusagen dieses H1 Sandwichen zwischen den ungestörten Zuständen
Und dann sieht man relativ leicht. Zum Beispiel der erste Therm hier,
wenn ich den ausquartiere, dann kriege ich einfach nur H0 Quadrat.
Und davon der Erwartungswert im ungeschwerten Zustand ist natürlich der Eigenwert ins Quadrat.
Und deshalb bekomme ich dann minus 1 durch 2 ME 100 Quadrat.
Und dann steht hier schon mal E-N-Quadrat. Wir wissen auch,
dass im Wasserstoffattom der Energieeigenwert nur von N abhängt.
Also eigentlich müsste ich hier NLM dran schreiben,
aber der Eigenwert hängt ja nur von N ab.
Das ist sozusagen bedingt durch die hohe Symmetrie von dem Problem.
Die Rotationssymmetrie. Und die anderen Therme bekommt man jetzt,
indem man das eben ausquartriert. Und wenn ich mein 1H0 auftritt,
dann kann ich das sofort durch EN ersetzen,
weil das ist der Erwartungswert von H0, in dem Zustand ist.
Und natürlich, was aber dann überbleibt ist,
plus zweimal EN und dann muss aber hier stehen
ZE0 Quadrat und jetzt bleibt ein Erwartungswert über,
und zwar der Erwartungswert von 1 durch
Im Zustand NL. Also eigentlich müsste ich zunächst ja auch
wieder NLM schreiben, aber wir wissen, das ist rotationssymmetrisch.
Deshalb hängt es nur von L ab und nicht von M.
Und dann der letzte Term ist halt im Wesentlichen der Erwartungswert von 1 durch R-Quadrat.
Das heißt, wir haben ja ZE 0 Quadrat,
Inscodrat, mal Erwartungswert von 1 zu R-Quadrat im Zustand NL.
Und was ich jetzt nicht machen werde, ist,
das ist jetzt der schwierigste Teil an der Rechnung, diese Erwartungswerte auszurechnen.
Dazu muss man jetzt die Eigenfunktion kennen,
die haben wir ja im Prinzip abgeleitet, vor einigen Wochen.
Und das kann man machen, aber das ist eine etwas länglichere Rechnung.
Deshalb werde ich die nicht ausführen. Und stattdessen werde ich
nur das Resultatsamt geben. Und es stellt sich dann raus,
dass man das in der folgenden Art und Weise schreiben kann. NLH1,
im Zustand NLM, also der Erwartungswert von H1,
im Zustand in N-L-M, lässt sich schreiben als Z,
mal Alpha, ins Quadrat, dividierst durch N-Quadrat und dann mal en durch L plus eineinhalb, minus drei Viertel.
Und dann das Ganze multipliziert mit dem ungestörten Erwartungswert.
Also Sie sehen, das hängt von N und L ab,
aber nicht von M. Das war zu erwarten, weil H1
natürlich ein Brotationssymmetrisch ist. Das heißt, es kann nicht
von M abhängen. Es kann aber von L abhängen,
weil natürlich L die Drehimpulsbarriere beeinflusst und damit auch die Verteilung
der Radien
Und deshalb hängt dieses H1 von N und L ab, aber nicht von M.
Ja. Ja, genau. Ja, aufgetreten. Das
ist richtig, das ist bei dem Teekorn auch aufgetreten,
dass die Leute das machen, das ist nämlich der produzierte.
Ja, das habe ich dort vergessen.
Also wie Sie wahrscheinlich kennen, aus der relativistischen Quantenmechanik,
ist, muss der Impuls mit C-0 multipliziert werden.
Deshalb steht hier ein C-0-Quadrat. Aber ich gebe keine Gewehr,
dass es überall stimmt, weil ich sage,
setzen normalerweise 10-0 immer eins.
Und ich muss dann immer nachdenken, wo der Faktor genauer reinkommt.
Das ist aber unerheblich. Man kann eigentlich immer
diese Einheiten wählen, sodass man Längen in Zeiten ausdrückt.
Und dann ist es E-1. Aber deshalb habe ich es extra
noch mal so hingeschrieben. Hier muss,
also man kann es sich ja so überlegen, die Ruheenergie,
die ist ME-E-C-0-Quadrat, das ist die berühmte Einsteinformel.
Und der Impuls ist massimal Geschwindigkeit
Und deshalb muss ich den Impuls noch mit einer Geschwindigkeit multiplizieren,
damit ich Masse, mal Geschwindigkeit ins Quadrat habe, was eine Energie ist.
Und deshalb muss ich hier ein C-0-Faktor rein. SAP muss
mit 10-0 multipliziert werden, so kann man es sich auch überlegen.
Genau. Okay, gut. Das war jetzt, also
diese Störung. Und jetzt noch eine Bemerkung dazu. Wir hatten ja,
also die Störungstheorie allgemein diskutiert haben, haben wir gesagt,
dass man aufpassen muss, wenn die Grundzustände entartet sind.
Und das ist natürlich hier der Fall, weil H0,
also der Erwartungswert von H0, ich schreibe es vielleicht noch mal an.
Natürlich, der Erwartungswert von H0 in Zustand NLM,
ist natürlich der Energieeigenwert, der nur von N abhängt und nicht von L&M.
Deshalb ist das eben entartet. Und jetzt haben wir gesagt,
dass diese Formel, dass wir die Korrektur schreiben können als Erwartungswert von der Störung,
kann man eigentlich nur so schreiben, wenn diese Störung diagonal ist,
in diesem ungestörten Zuständen.
Und das müssen wir jetzt noch überprüfen. Und das ist
tatsächlich der Fall. Man kann nämlich jetzt schreiben,
dass der Erwartungswert von NLM, also von H1,
zwischen, also wenn N gleich ist,
aber im Allgemeinen hätte ich hier zwei verschiedene Drehimpulseigenzustände stehen.
Und es ist tatsächlich proportional zu Delta L.L. Strich, Delta M. M.
Strich, das heißt, das trägt nur bei,
wenn die Drehimpulsquantenzahlen gleich sind. Und das folgt daraus,
dass das H1 mit L Quadrat und LZ kommotiert.
Und das sieht man daran,
also da H1 mit L Quadrat und mit LZ kommotiert.
Und im Grunde genommen sieht man das schon daran,
dass H1 ja Nur von den ungestörten Energieeigenwerten abhängen und von
eins durch R, aber eins durch R ist radialsymmetrisch.
Das heißt, es kann nicht von L-Quadrat oder LZ abhängen.
Und damit kann man, also aus dieser Relation,
folgt, dass Hak Querquadrat mal L-Strich plus eins,
minus L mal L plus 1,
mal dieses Matrix-Element
N-E-Strich-M-Strich, dass das null sein muss, ja,
weil wenn ich das so hinschreibe und ich nehme sozusagen den Erwartungswert von diesem Kommotator,
dann kann ich das L-Quadrat immer anwenden,
entweder auf den Zustand links davon oder rechts davon und deshalb kriege ich diese Differenz,
ja, also wenn sozusagen, wenn HL-Quadrat steht,
dann kann ich, das ist ein H1, doch,
ja, das sehen wir schon,
das ist ein 1 und das ist ein Komma,
er ist ein Kommentator von 1 mit L-Quadrat,
aber hier fehlt ein Komma
H1, LZ. Also wenn ich das hier den Erwartungswert bilde,
dann ist ja der H1, L-Partral, minus 11,
Godrat, H1. Und H1, L-Quadrat, da lasse ich
das Elbadrat erst nach rechts wirken auf den Zustand.
Es gibt einfach elfstrich mal 11strich plus 1.
Und wenn ich es andersrum schreibe mit dem Minus,
dann kann ich das L-Quadratt nach links wirken lassen.
Und es gibt dann minus 11 mal 11 plus 1.
Und das Ganze muss null sein bei der Kommotator verschwindet.
Und es kann sozusagen nur, das muss sozusagen,
das kann nur dann ungleich null sein,
Also wenn es null ist, dann muss es Matrix-Element verschwinden,
wenn Elcherrich ungleich L ist.
Dann muss dieses Matrix-Element verschwinden. Und deshalb haben wir dieses Chroniker hier.
Und analog kann man es machen mit der Z-Komponente.
Da hätte man dann für den Kommotator dastehen,
Haar quer, mal M-Strich, minus M.
Und dann halt dieses Matrix-Element in Elcherrich, M-Strich.
Das müsste wieder null sein, wenn ich sozusagen jetzt diesen Kommotator,
den Erwartungswert bilde, war ich LZ einmal auf den
hier anwenden kann
Und einmal auf den hier, dann kriege ich die Differenz
und sie sehen dann, wenn Emstrich Ungleich M ist,
dann ist es nur erfüllt, wenn das Matrix-Element verschwindet.
Und deshalb muss das Matrix-Element auch proportional zu diesem Chroniker
MM-Strich sein. Das heißt, mit anderen Worten,
unsere Störung ist bereits diagonal in den ungestörten Eigenzuständen zum Drehimpuls L&M. Okay,
das war jetzt also die erste Störung und die zweite ist jetzt,
das ist die sogenannte Spin-Bahn-Kopplung
Und die muss ich jetzt ein bisschen genauer erklären,
was das ist. Also, was wir ja haben,
ist, wir haben sozusagen ein Pro-Ton-Manoring oder ein Zeichen mit
der Ladung Z mal E0, um es allgemeiner zu machen.
Und ein Elektron. Und die bewegen sich relativ zueinander.
Und ich kann natürlich jetzt auch sagen,
ich setze mich in das Ruhesystem des Elektrons.
Und dann bedeutet das natürlich, dass sich der Kern bewegt.
Wenn sich eine Ladung bewegt, dann erzeugt es ein Magnetfeld.
Ja, weil es ein Strom ist,
eine bewegte Ladung ist ein Strom und das erzeugt ein Magnetfeld.
Also mit anderen Worten, im Ruhesystem, das Elektrons erzeugt die Bewegung des Atomkerns.
Einen Strom, also einen elektrischen Strom, Und damit ein Magnetfeld.
Und da das Elektron ein magnetisches Moment trägt,
nämlich das Borsche Magnethon, muss es zu einer Wechselwirkung kommen.
Der Spin und das magnetische Moment von dem Elektron muss ich
in dem Kernmagnetfeld ausrichten. Das elektronische, in einer Weltfunktion beschreiben,
das ist das Sitzfeld, eine Bundesregierung, eine Weltfunktion definiert,
aber die haben ja keinen präzisivierten Punkt, Marianne der Refunktion.
Kann man da einfach von einem ohnestrebenden Wecker sprechen?
Jein. Der Punkt, den ich jetzt sage, ist,
diese Ableitung, die ich hier mache, ist heuristisch.
Und es stellt sich auch heraus, dass die um Faktor
2 falsch ist. Aber trotzdem diskutiere ich das hier,
weil zumindest die Struktur von dieser Spin-Bahn-Kopplung damit klar wird,
was sie nicht berennen können, ist da koeffizient.
Was man aber machen kann, ist,
dass man das im Rahmen der Dörergleichung ausrennet.
Und dann kommt es sozusagen exakt daraus.
Aber das kann ich hier nicht machen. Deshalb mache ich
das hier, heuristisch
Und mache meine Hände in die Luft und mache das ihnen qualitativ.
Aber es kommt die richtige Spin-Bahn-Kopplung heraus, was aber nicht
richtig herauskommt, ist der Vorfaktor. Genau. Also,
um das jetzt mal zu diskutieren, jetzt müssen wir erst,
ja, und der Punkt ist jetzt, dies interessiert,
um jetzt mein Argument fertig zu finden, dies induziert,
eine Wechselwirkungsenergie der Form Minus, das magnetische Moment vom Elektron,
schreibt es mal hier so, mal dieses Magnetfeld.
Ja, das haben wir ja diskutiert. Das war
die Wechselwirkungsenergie für ein Paramagnetisches Moment mit einem äußeren Magnetfeld.
Und ich nenne es dann mal H2,
weil das ist ein Beitrag zur Gesamtenergie ist,
aber eben eine Störung sozusagen,
also eine Korrektur
Weil man das erste H1 genannt haben, nenne ich das hier jetzt H2.
Jetzt bleibt es ja übrig, dieses Magnetfeld zu berechnen.
Und das kann man jetzt auf verschiedene Art und Weise machen.
Man kann einfach sagen, ja, ich nehme irgendwie
sowas wie Bioservard oder so und setzt den Strom ein.
Es ist aber einfacher, folgendes Argument zu verwenden.
Also wenn die Kerngeschwindigkeit V ist, Dann ist es induziert im Magnetfeld,
also wenn der Kern in Ruhe ist,
dann gibt es natürlich kein Magnetfeld, weil es keinen Strom gibt.
Dann gibt es nur ein elektrisches Feld, elektrostatisches Feld.
Wenn sich jetzt der Kern aber bewegt,
das ist einfach nur eine klassische Physik, dann in dem System,
in dem sich sozusagen der Kern mit Geschwindigkeit V bewegt,
ist das Magnetfeld gegeben durch folgenden Ausdruck,
minus V durch 10.0,
Wobei eh das coole Umfeld ist. Also eh ist sozusagen,
ja, das kann ich schreiben, ist minus Gradient vom Potenzial.
Und das ist nichts anderes als,
das schreibe ich jetzt mal hier so,
minus R durch R., das ist der Einheitswektor der R-Richtung,
mal die Ableitung von Potenzial nach R.
Jetzt kann man sich fragen, woher kommt diese Formel?
Das ist die Formel für die relativistische Transformation von elektromagnetischen Feldern.
Das kann ich jetzt hier nicht normal ableiten,
aber das sollten sie eigentlich in der Theorie 1
kennengelernt haben
Was passiert, wenn ich sozusagen in einem Bezugssystem ein Feld E und B habe?
Und ich setze mich in ein anderes Bezugssystem,
das mit einer Geschwindigkeit V sich bewegt,
relativ zu dem ersten Bezugssystem, dann bekomme ich solche Transformationen.
Also eigentlich müsst ihr jetzt hier schreiben, B-Strich ist gleich minus VDOS
Sinulkreuz E, weil das ist das Gestrichene, Koordinatensystem, das ist das Ungestrichene.
Das ist das System, in dem sich der Kern bewegt.
Das ist das System, in dem der Kern ruht.
Und dann gilt diese Relation. Übrigens, das ist auch
nicht ganz richtig. Hier stieg dann noch irgendwie ein Lorenz-Faktor,
aber weil ich nur erste Ordnung der Geschwindigkeit mache,
kann ich den einsetzen, ja, weil der Lorenzfaktor,
der geht wie Wurzel 1 minus V-Quadrat oder sowas und in Niedrigsordnung in V
ist er einfach eins und dann bekomme ich diese Formel, ja.
Also, wenn Sie das verwirrt, schauen Sie nochmal in der Theorie 1,
wie man elektromagnetische Felder transformiert von einem Bezugssystem zum anderen.
Jetzt muss ich gleich sagen, das ist natürlich ein bisschen geschummelt,
weil diese Transformation, die gilt nur zwischen Initialsystemen,
das Elektron ist aber kein Initialsystem,
weil es beschleunigt ist Und das ist auch der Grund dafür,
warum der koeffizient für diese Wechselwirkungsenergie, um Faktor 2 falsch rauskommt.
Aber zumindestens qualitativ kann man verstehen,
auf die Art und Weise physikalisch verstehen,
wo dieser Thermenhalt herkommt und warum der zur Spin-Bahn-Kopplung führt.
Genau, und jetzt können wir ihm diese Dinge hier zusammenfügen.
Also ich weiß jetzt im Prinzip, was mein Magnetfeld ist,
das ist dieser Ausdruck. Und jetzt muss ich das Magnetfeld
halt in diese Formel noch einsetzen und da muss ich noch
das richtige magnetische Moment fürs Elektron einsetzen.
Und das ist folgendes
Wenn man sich erinnert, das war die magnetische Wechselwirkung,
die hatte folgende Form. Das war,
ich schreibe das jetzt auch mal als H2,
das ist sozusagen unsere Störung für die Mentor,
uns interessieren, ist gleich minus e durch zwei M100.
Und dann steht hier L, das ist der wandere Impuls,
plus G mal S. Und das G war, Mal B.
Und das G, das war ungefähr zwei.
Dieses gyromagnetische Verhältnis. Und wenn ich das jetzt hier einsetze,
also und nur den Spinnen mir rauspicke,
dann bekomme ich folgenden Ausdruck. Das H2 ist dann,
also ich setze jetzt sozusagen das Geheg gleich ungefähr zwei ein,
dann kürzt sich dieser Faktor ein Halb weg,
dann habe ich minus eh durch MC0.
Eigentlich sollte ich hier wieder in E schreiben hier,
fürs Elektron.
Und dann haben wir hier S mal
Ja, und jetzt setze ich das B ein und das B ist,
das hier, und das I setze ich auch gleich noch ein.
Das sehen Sie jetzt mal, da kriegen Sie noch zwei Minuszeigen,
nämlich von der Formel der Formel, die kürzen sich dann weg.
Und im Endeffekt steht dann da,
das ist gleich minus E durch ME 100 quadrat.
Es kommt noch ein zusätzlicher Faktor 100 von diesem V durch 100 hier.
Und dann haben wir, was haben wir dann?
Dann haben wir
Mal und was bleibt dann stehen? Haben wir V-Kreuz, R?
Und dann haben wir natürlich noch eins durch R, mal die Ableitung von Potenzial nach
R. So, jetzt kann man das noch ein bisschen umformen. Man sieht jetzt,
und das ist jetzt der wichtige Teil, man sieht jetzt,
dass das hier im Wesentlichen der Drehimpuls ist,
weil wenn ich das mit ME noch multipliziert,
dann steht hier P-Kreuz R, ja,
und Pekro als R ist minus R-Kreuz P und es ist minus 11.
Das heißt, wenn ich das jetzt ausschreibe, ja,
Moment, ich mache das kurz fertig,
dann habe ich hier stehen, Hier fehlt wahrscheinlich ein Ehe,
muss ich mal schauen hier.
Eins durch ME-Quadrat, 10-0 Quadrat.
Und dann steht hier S mal L. Und dann haben wir
hier eins durch R mal Define nach DR.
Jetzt muss man sich kurz schauen, wo dieses E hingekommen ist.
Das war jetzt Ja, hier fehlten eh, glaube ich.
Ja. Okay. Und zwar haben wir den Maiplatz 2,
der FS, mal den Weg,
dann haben wir
sich geopfert
Nur, ich habe ja gesagt,
ich beschränke mich auf den Spin. Der Grund ist,
weil, also sie meinen das L. Ja, das L,
ich will sozusagen nur wissen, wie sich das,
wie der Spin wechselwerkt mit dem Kernmagnetfeld und deshalb lasse ich das L jetzt weg.
Deshalb, weil das, das heißt eben Spin-Bahnkopplung,
deshalb picke ich mir hier den Spin da raus. Okay,
jetzt genau, also hier müsst ihr noch ein E rein und jetzt haben wir insgesamt dann Folgendes,
nämlich, wenn ich das jetzt weiter umforme, dann haben wir,
ja, hier steht es jetzt im Prinzip eigentlich schon dort.
Genau. Ja, und wie gesagt, das ist,
was jetzt wichtig ist, zu sehen,
das ist jetzt der Grund,
warum das Bin-Bahn-Koppelung heißt,
weil das HA2 pro Personal
ist zu S mal
Das heisst, das Corporate and Spin, das Elektrons mit seinem Bahndreh-Impuls.
Ähm... Übrigens, wenn man hier das L noch mit dazu
nehmen will, dann wird es hier 11 Quadrat stehen.
Und das ist dann nur proportional zu 11 mal 11 plus 1.
Also das ist sozusagen weniger interessant. Das macht nur eine
globale Korrektur, die von L abhängt.
Aber was das ändert nichts an der Entartung des Zustandes,
der Therme ist interessanter, weil der von der relativen Orientierung zwischen Spin und Bahndreh-Impuls abhängt.
Wenn das andere nur proportional zu 11 Quadrat ist,
Okay, jetzt, das ist sozusagen die heuristische Ableitung,
es stellt sich jetzt aber raus, dass eben,
dass das nicht ganz richtig sein kann, weil natürlich,
wie gesagt, das Elektron ist ein, ist kein Initialsystem,
weil es beschleunigt ist und deshalb kann man diesen,
dieses Argument streng genommen so nicht durchziehen,
was man aber machen kann, ist natürlich,
man kann das innerhalb der Dirraggleichung ableiten und dann bekommt man folgenden Ausdruck,
der qualitativ völlig analog aussieht,
nur mit einem anderen Koeffizienten,
Und das Ergebnis ist jetzt folgendes, ist eben dieser Faktor 2,
also des Summen Faktor 2 kleiner,
1 durch 2 ME-Quadrats mal 10-0 Quadrats.
Und dann steht hier SMAL. Also das ist die exakte Rechnung
jetzt. Mal eins durch R, die viel nach DR
. Das ist das Resultat einer vollständigen Rechnung.
Basierend auf der Ergleichung
Bitte? Dass das die gibt jetzt.
Das Ehefeld? Das Ehefeld. Moment. Ja,
es kann sein, dass hier, also das Vieh,
das ist das Potenzial,
das schauen wir uns
das mal auf hier
Ich glaube, ich habe hier ein bisschen hin und her geschoben,
eins von diesen Faktoren, eh, mit dem Potenzial.
Denn das scheint mir vielleicht mal das Potenzial hin. Das Potenzial ist,
das müsste jetzt, also wenn es ein Kern ist,
ist es, genau, ich glaube, so ist es,
viel von R ist Z mal E-0 durch R.
Und wenn ich jetzt den Faktor eh noch drauf multipliziere,
dann habe ich eh viel von R, ist gleich,
und weil das ein Elektron ist, hat das Ladung minus E-0,
das heißt, ich bekam dann das minus Z, in null Quadrat durch R.
Und was ich, glaube ich, hier gemacht habe,
ich schaue mir hier nach noch, ja, das ging,
glaube ich, streng genommen ein bisschen durcheinander, denn,
genau, ich habe jetzt das hier als Vieh bezeichnet,
ja, also ehemal Vieh,
obwohl es eigentlich nur Vieh sein sollte.
Und darin ist jetzt diese Elektronladung, die ich hier unterschlagen habe,
rein absorbiert. Das heißt, ich kann das so schreiben,
vorausgesetzt, dass ich das jetzt Vieh von Erd taufe.
Ja, also ich habe dann jetzt viel von R,
ist gleich minus, irgendwo müsste ich das hier auch
stehen haben
Ist gleich minus Z in 0 Quadrat. Also das ist sozusagen schon
die potenzielle Energie von dem Elektron und da steckt die Elektronladung schon mit drin.
Also was hier passiert, ist es,
dass ich nicht genau unterschieden habe zwischen Potenzial und potenzieller Energie.
Potenzielle Energie ist die Ladung als Potenzial.
Und das habe ich jetzt beide Male erst viel bezeichnet.
Und hier ist aber die Elektronladung schon mit drin.
Das heißt, hier muss man jetzt eigentlich das hier einsetzen.
Genau, das ist nämlich dann Richtig, ja. Okay,
also dann stimmt es wieder, ja,
aber Sie können es auch anders schreiben,
Sie können auch hier das E mit draufschreiben,
vielleicht mache ich das mal so, ja, und dann,
was uns dann interessiert, ist das hier, also,
ja, dann kann ich das wieder ausradieren.
Und was man jetzt für das Coole und Potenzial ausrennen müssen,
ist die Ableitung von diesem Ding, ja, multipliziert mit E,
also daraus folgt sozusagen die ehemal Defi nach DR, Ist gleich,
wenn man das jetzt nach R ableiten, dann wird es positiv.
Dann steht hier ZE0 Quadrat durch Erkoldraht. Und wenn ich das hier einsetze in H2,
dann folgt insgesamt, und das, glaube ich,
ist jetzt wirklich richtig, eins durch zwei ME-Quadrats,
C00 Quadrats, S mal L, mal eins durch R,
mal ZE0 Quadrats durch R Quadrats.
Genau, also so ist jetzt alles konsistent
Das ist das Potenzial. Das wird aber noch mit der
Elektronladung multipliziert. Deshalb ist die potenzielle Energie das hier.
Und damit ist diese Ableitung ehemalig die Finas DRS das hier.
Und wenn ich das hier einsetze, bekomme ich das.
Also ich muss das hier nur im Skript einmal diesen Faktor
minus e richtig reinschreiben und das dann nicht als Fee bezeichnen,
sondern als potenzielle Energie.
Aber das Endresultat stimmt dann so.
Okay, gut
Jetzt sehen wir aber, das Wichtige ist eigentlich,
weniger diese Vorfaktoren, sondern erstens mal,
dass die Spin-Bahn-Kopplung halt S-Mal-L-S und L koppelt in der Form S-MAL.
Und dass das propersonal ist zur Ableitung des Potenzials,
des coolen Potenzials, uns noch mit einem Faktor 1 durch R.
Und jetzt gehen wir wieder genauso vor wie bei der ersten Störung.
Wir berechnen Erwartungswerte von dem H-2 in diesen verschiedenen Zuständen, also in den ungestörten Zuständen.
Und dazu Schauen wir uns erst mal dieses SMIL an.
Was kann das für Werte annehmen? Und dazu schreibe ich
zunächst mal erst mal L, um als eineinhalb mal J,
Quadrat, minus L-Quadrat, minus S-Quadrat.
Ja, weil J ist L plus S, das ist der Gesamtdrehimpuls.
Das heißt, ich kann dieses Bin-Bahn-Koppelung ausdrücken durch den Gesamtdrehimpuls und,
also Quadrat des gesamten Impulses, Quadrat des Banderimpulses und Quadrat des Spins.
Und jetzt Genau. Und jetzt kommen wir zurück zu,
ja, das kann man jetzt sofort sich ausrechnen,
nämlich angenommen, ich wende das jetzt an auf einen Zustand.
Also wir wissen natürlich, das Binnen ist ein Hype,
ja, und damit kann die Gesamtdreh impulskante Quantensaal,
die kann nur gleich sein, der Bahn-Dreh-Impuls,
Quantensaal plus minus eineinhalb, ja, weil der Bahn-Dreh-Impuls ist L,
und das Binnen ist ein Hype,
und damit kann der Gesamtsbin nur L plus minus eineinhalb sein
Und deshalb betrachte ich jetzt die Wirkung von S mal L,
auf den Zustand J, der L plus minus eineinhalb sein kann.
Und dann natürlich muss ich ihn auch spezifizieren,
den Bahnter im PUSL und die Projektion des Gesamtsbindes
auf eine der Achsen, also die üblicherweise die Z-Achsen.
Und wenn ich jetzt diesen Ausdruck hier einsetze, ja,
also das hier, dann bekomme ich ganz einfach,
also ein Hard-Querquadrat kann ich rausklammern und eineinhalb kann ich herausklammern.
Und natürlich, ja, jetzt setze ich einfach ein,
die Eigenwerte von J-Quadratien, J- mal J plus 1,
Der Eigenwert von LSL,
mal L plus 1. Und das wäre S mal S plus 1,
wobei RS 1,5 ist.
Und damit gibt es drei Viertel, also minus drei Viertel noch.
Mal dieser Eigenzustand. Und das kann man jetzt ausrechnen.
Es gibt ja nur diese beiden Möglichkeiten. Ihr habt das
L plus oder minus 1,5. Und dann sieht man leicht,
dass dieser koeffizient folgende Werte annimmt. Also das ist Hardwarequadrat
halbe. Und dann habe ich entweder oder minus L minus 1.
Und das trifft zu auf den Zustand L plus minus 1,5, L und M.
Ja, also schauen wir uns mal die beiden Fälle kurz an.
Wenn jetzt gleich L plus 1,5 ist,
dann wird diese Klammer, also diese Drehimpulsklammer da,
diese Eigenwerte, die wird es dann natürlich L plus 1,5,
mal L plus 3 halbe, minus L,
L plus 1,
minus 3 Viertel
Und jetzt sind sie sehr leicht und das ist halt L.
Und wenn J gleich L minus einhalb ist,
dann wird diese Klammer halt r-einhalb, mal 11 plus eineinhalb,
minus L-L plus 1 minus drei Viertel und das gibt es
halt dann minus 11 minus 1. Das kann man durchaus multiplizieren,
leicht sehen.
Man sieht zum Beispiel immer gleich die quadratischen Termin 11 fallen raus
und deshalb bleibt ein linearer Termin über und der hatte diese Form
und deshalb habe ich das jetzt in der Art und Weise hier zusammengefasst.
Ja, Genau, und wenn ich jetzt das wieder hier einsetze,
in dieses H2, also jetzt haben wir sozusagen ausgerechnet,
welche Werte SMAL annehmen kann.
Sie sehen auch, die haben entgegengesetzte Vorzeichen.
Also wenn jetzt gleich L plus eins ist,
plus eineinhalb ist, dann ist das halt positiv oder null.
Wenn L gleich null ist. Und wenn J gleich L
minus eineinhalb ist, ist es negativ. Das heißt,
das hängt wirklich von der relativen Orientierung zwischen Spin- und Bahndrehimpuls ab.
Das kann also sozusagen Energie dazu addieren oder subtrahieren.
Und deshalb bricht es dann auch ein Teil der Entartung von diesem,
von dem Hamiltonien niedrigster Ordnung, die wir bisher hatten.
Okay, also aber jetzt, wenn ich das hier einsetze,
dann bekomme ich also den Erwartungswert von H2.
Im Zustand N, und jetzt muss ich eben aufpassen,
jetzt gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten. Ich kann jetzt eben,
wie gesagt,
Spin-on-Bahn auf diese beiden verschiedenen Werte für J koppeln und dann
steht hier LM und dann bekommen wir insgesamt eins durch zwei ME-Quadrats,
C0-Quadrats, Hackwerk oder als halbe und dann haben wir eben L beziehungsweise minus L minus 1,
Z in Null Quadrat und dann haben wir den Erwartungswert von eins durch R hoch 3.
Und der hängt jetzt nur von N&L ab.
Ja. Ja, weil ich habe jetzt,
das gibt insgesamt eins durch Rhoch 3 hier.
Und die Störungstheorie besagt mir, dass die Korrektur erste Ordnung
durch den Erwartungswert von diesem Ding hier in den ungestörten Zuständen ist.
Und das ist eben dann dieser Ausdruck.
Wie vorher muss ich jetzt natürlich diesen Erwartungswert berechnen.
Und das mache ich jetzt hier wiederum nicht, weil das,
wie gesagt, wieder braucht eine längere Rechnung ist.
Und ich gebe das Endresultat an und das Endresultat,
also das muss man sozusagen der Berechnung berechnen.
Das ist nicht ganz trivial. Und das Resultat ist dann
folgendes.
H2, Erwartungswert
Im Zustand mit Hauptquartenzahl N. Mit Gesamtsbinden, J gleich L
plus minus eineinhalb. Bandere Impuls L und Projektion M.
ist gleich. M-E-C-0 Quadrat. Mal Z, Alpha.
Hoch 4. Dividiere es durch. 4 N hoch 3.
Das ist die Hauptquartenzahl. Mal L,
L plus
Ne, L mal L plus 1, ja doch,
ich kann es auch so schreiben. Und dann kommt noch
die zwei Möglichkeiten, je nachdem, wie S und L koppelt.
Das ist wieder der gleiche Faktor wie vorher.
Also was man hier auch sehr schön sieht, ist,
dass das sehr stark mit der Hauptgrundenzahl abfällt.
Also wenn es in einem hohen Anregungszustand sind,
dann ist diese Korrektur, wird schnell immer kleiner.
Und ich kann das auch schreiben, relativ zum Umgebung gestörten Eigenwert.
Und da kommt dann folgender Ausdruck heraus,
also das kann man auch schreiben als Minus-Z, Alpha,
ins Quadrat, deletiert durch 2N, mal l,
l plus 1,5, l plus 1. L, minus l,
minus 1. Und hier steht jetzt der ungestörte Energieeigenwert.
Also wenn man so schreibt, hat man den Vorteil,
dass man sofort sieht, was ist die relative Korrektur und sie sehen,
die es von der Ordnung Alpha Quadrat.
Und die geht auch wie eins durch N runter.
Das kann man daran sehen, weil natürlich,
sie erinnern sich, der Eigenwert, Energieeigenwert zum niedrigsten Ordnung geht,
wie eins durch N Quadrat.
Und deshalb gibt es insgesamt eins zu N hoch 3,
so wie es hier steht.
Also ich habe sozusagen den ungestörten Erwartungswert hier noch mehr ausgeklammert.
Vielleicht sollte ich der Vollständigkeit halber noch mal hinschreiben.
EN0, das war, das war,
konnte man auf folgende Art und Weise schreiben,
minus Alpha Quadrat,
mal ME-C0
Quadrat,
Mal Z-Quaderal durch Endward rats. Ja, und das habe ich
hier einfach ausgeklammert, diesen gemeinsamen Faktor. Okay. Genau,
jetzt sind wir also eigentlich mit diesen beiden Dingen fertig.
Wir haben jetzt zwei Korrekturen ausgerechnet, also nochmal zur Wiederholung.
Wir haben erst die nächsthöhere Korrektur zur kanetischen Energie ausgerechnet.
Und da hat man Im Endeffekt diesen Ausdruck erhalten. Und
dann haben wir die Spin-Bahn-Kopplung berechnet und hat mir diesen Ausdruck erhalten.
Und die kann man jetzt, die können wir natürlich jetzt zusammen addieren.
Natürlich kann man nicht, das sind beide Korrekturen zur Ordnung,
Alpha, Quadrat. Und übrigens, hier sehe ich gerade,
ist das ein Fehler, das muss Alpha Quadrat heißen.
Weil diese Korrekturenordnung, Alpha Quadrat sind, die haben dieselbe Potenz in Alpha.
Deshalb kann ich die zusammenfassen. Ich kann die ja nicht
unterscheiden. Ich kann ja nur die gesamte Energie messen.
Und da stellt sich jetzt heraus, dass die zusammengefasste Störung,
die, und die nenne ich jetzt mal, Harell,
das ist sozusagen die niedrigste relativistische Korrektur.
Im Zustand N, J gleich L plus minus 1,5,
LM. Das ist also jetzt nichts anderes als die Summe
von diesen beiden Dingern
Die lässt sich jetzt folgendermaßen schreiben. Das ist Z-Alpha ins Quadrat
, dividiert durch N-Quadrat. Und dann steht hier N,
dividiert durch J plus eineinhalb, minus drei Viertel,
mal der niedrigste Ordnungsausdruck für die Energieeigenwerte. Genau,
das sehen wir jetzt, also wenn Sie jetzt,
vielleicht, ich mache diese Rechnung ganz kurz,
Diese Zusammenfassung, was einem jetzt vielleicht auffällt zunächst ist,
dass, also wenn sie diese einzelnen Korrekturen anschauen,
dann hängen die von N&L ab.
Das hängt von N&L ab und das hängt von N&L ab.
Aber die Gesamtkorrektur hängt nur noch von J ab und hier muss ich
jetzt auch keine Fälle mehr unterscheiden plus minus oder sowas.
Und das ergibt sich eben jetzt so, dass wenn ich
das zusammenfasse, dass das nur noch von J abhängt.
J kann natürlich L plus minus eineinhalb sein,
aber der Punkt ist jetzt,
dass die Endformel nur noch vom Gesamtere Impuls abhängt
Aber natürlich heißt das auch, dass ein Teil der Entartung gebrochen wird.
Denn das EN-0, das hängt ja nicht von J ab,
das hängt ja nur von N ab.
Während diese Korrektur jetzt vom gesamten Impuls abhängt. Also dieses Spin-Bahn-Koppelung und dieser andere Therm,
die haben jetzt sozusagen die Entartung bezüglich Bahndrehimpuls und Spin gebrochen,
so dass das Ganze von J abhängt.
Aber nicht mehr von L und Es separat, sondern nur vom Gesamterehimpuls.
Jetzt schauen wir uns noch ganz kurz an, warum das tatsächlich so rauskommt.
Schauen wir uns Also ich schreibe das mal hier in Begründung.
Das ist vielleicht ganz nützlich, wenn man sich das noch überlegt.
Schauen wir uns erst mal den Fall, J gleich L
plus eineinhalb an. Also wir haben ja zwei Fälle,
J gleich L plus eineinhalb oder minus eineinhalb.
Schauen wir uns erst den an. Und da haben wir
den Erwartungswert von H2, wenn wir jetzt diese Formel verwenden,
die hier steht, dann kann ich das folgendermaßen Schreiben,
dann müssen wir halt den oberen Fall nehmen.
Da sind sie dann kürzlich hier, das L. Schreibt das jetzt mal auf hier.
Da steht also dann minus Z, Alpha, Quadrat,
E-N-N-N-0, dividierst durch 2-N, das L hat sich gekürzt,
hier steht Elplus ein halb L plus 1. Und damit,
wenn man jetzt das mit H1 zusammenführen, das H1,
wir sehen, das hat genau dieselbe Struktur, Amens.
Muss man aufpassen, dass hier A2H1. Ach ja, genau, richtig.
Jetzt, genau, wenn Sie auf diese Struktur schauen,
hier steht es nochmal, dann hat dieser erste Therm,
also ich fasse jetzt sozusagen diese Thermir zusammen.
Und ich klammere aus, den Faktor,
da muss ich jetzt noch mal aufpassen hier.
Ja, genau. Also das wird jetzt zu Z,
Alpha, Quadrat, EM null, dividiert durch EM Quadrat.
Und jetzt fasse ich Diese ganzen Faktoren zusammen. Und da
sehen Sie, da kriege ich jetzt für den Faktor,
das ist eins von diesen Ends, kürzt sich.
Und deshalb habe ich jetzt hier das,
ich habe das hier anders gemacht,
sehe ich gerade.
Zwei Momente
Ja, lassen wir uns das mal hier so schreiben.
Es gibt also eins durch L plus eineinhalb.
Minus, also das kommt jetzt von diesem Faktor her.
Das N ist zusammen eins durch, ja,
ich muss hier, glaube ich, eins durch N schreiben,
sonst stimmt das ja nicht.
Ach ja, genau, richtig. Was ich hier mache,
sorry, jetzt habe ich das.
Ich setze hier, ich klammere eins durch N aus.
Ich schaue mir nur den ersten Term an
Der Zweite, dass der stimmt, das ist offensichtlich,
weil das ist genau der Therm, der ist unverändert.
Also der steht schon da. Ich muss mich also nur um
den Therm kümmern und der geht immer wie eins durch N.
Hier um eins durch N. Hier haben wir eins durch N und der
ist auch eins durch N. Also kann ich das Ganze hier
ausklammern. Und was dann hier stehen bleibt, ist,
oder was von H1 überbleibt, ist dann 1 zu L
plus 1,5. Und den Rest kann ich jetzt abschreiben von dem H2,
bleibt dann über minus 1,5.
Da muss ich aufpassen, dass ich den Fakt einhalb habe,
weil hier halt noch ein Zweier steht.
Und dann bleibt stehen eins durch Das Groß-L-Kürziger,
da steht 1-3-L plus eineinhalb mal L plus 1.
Also eins durch L plus eineinhalb und 1-3-1 plus 1.
Und wenn ich das jetzt zusammenfasse, dann erhalte ich,
schauen wir das mal hier nochmal auf,
das kann ich abschreiben, Z-A-Alpha, Quadrat, E-N-0 durch N.
Und ich klammere, ich bringe auf den gemeinsamen Nenner,
dann steht hier eins durch zweimal 11 plus eineinhalb mal
11 plus
Und was bleibt dann über? Dann steht hier zweimal L plus 1 minus 1.
Und es gibt zwei L plus 1. Es gibt zwei L
plus 1. Und das gibt dann insgesamt eins durch L plus
1. Warum? Weil wenn ich den Zweierheim mit rein multipliziere,
dann kriege ich zwei L plus 1 und hier steht auch zwei L plus 1.
Es kürzt sich, also bleibt hier eins durch L plus 1 über.
Aber das ist jetzt Eins durch Yatt plus eineinhalb.
Ja, weil ja jetzt gleich L plus eineinhalb war.
Das heißt, in dem Fall bekomme ich tatsächlich schon mal diesen Ausdruck.
Das heißt, das stimmt schon mal und jetzt kann ich
es analog für den anderen Fall begründen.
Nämlich der Fall J gleich L minus eineinhalb. Und in diesem Fall bekomme ich dann,
da ist, das machen wir jetzt analog wie vorher,
der Erwartungswert von H2 ist, Z-Alpha-Quadrats, dividiert durch,
aha, ja, genau, jetzt,
wenn wir uns das nochmal anschauen hier,
wenn ich den Unterfall nehme,
dann bekomme ich die Minuszeigen kürzen sich und jetzt kürzt sich das L plus 1 weg.
Das heißt, ich kriege dann erwartungswert von H2 ist plus Z-Alpha ins Quadrat,
dividiert durch 2N und dann bleibt im Nenner L,
mal 11 plus 1,5 stehen.
Und das führt jetzt insgesamt So, hier fehlt noch das EN-Null natürlich.
Und das führt jetzt insgesamt auf Z-Alpha, Quadrat,
EN-N-N-N-Null, dividierst durch N. Und dann haben wir,
die Djammer wird dann zu eins durch L plus 1,5,
das ist der Teil von H1.
Und der Teil von H2, der ist dann 1,5 mal
eins durch L,
L,
Also, wenn man nur mal zurückgehen auf H1, wo stand es hier?
Das hier, das bleibt unverändert. Das heißt,
dieses 1 durch L plus 1,5, das steht hier.
Und der hat Herrn, der wird jetzt zu dem hier,
da steht also jetzt im Nenner noch 11 mal 11 plus 1,5.
Und das kann ich jetzt wieder auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Und was bleibt dann über? Dann bleibt über,
also ausklammern, eins durch zwei hell,
mal elplus eineinhalb, das ist der gemeinsame Nenner,
und dann bleibt über 2L plus 1.
Und wenn ich das ausmultipliziere, dann kürzt sich das gegen Sessian,
es bleibt 1-0 el stehen.
Und eins durch L ist aber eins durch J plus 1,5.
Schon wieder. Also da kriege ich wieder das Gleiche heraus.
1 durch Yard plus 1,5,
genauso wie hier
Und damit kann ich das tatsächlich immer in der Form schreiben.
Ja, ganz egal. Also für beide Fälle,
für J gleich L plus,
einen halben 4J gleich L minus, eineinhalb,
wird dieser Therm einfach zu 1 zu J plus 1,5. Ja,
und das ist jetzt die Begründung, warum das hier das Resultat ist,
wenn ich diese beiden Störungen zusammenrechne.
Okay. Und das ist jetzt eben diese Gesamtkorrektur.
Die niedrigste relativistische Korrektur von Ordnung,
Alpha, Gottrat
Und die hat eben jetzt diese Form. Also wie gesagt,
was auch noch wichtig ist, zu sehen hier,
ist erstens, die hängt nur von J ab.
Nicht mehr von L separat. Und sie wird auch die
relative Korrektur relativ zu diesem niedrigsten Eigenordnungseigenwert.
Es geht wie eins zur N-Quadrat. Ja, okay,
wie eins durch N, wenn dieser Thermen führt, runter.
Das heißt, wer hohe Anregungszustände wird, diese Korrektur immer unwichtiger.
Aber in der Nähe, also bei niedrigen,
zum Beispiel im Grundzustand, wenn N gleich eins ist,
kann das durchaus eine sehr wichtige Korrektur werden.
Insbesondere, wenn sie sehr schwere Kerne haben. Also erinnern sich,
dass Alphas 1 zu 137 und dieser Faktor wird ungefähr kompensiert,
wenn Z von der Größenordnung 100 ist.
Sowas gibt es zu Hause, es sind halt sehr schwere Kerne.
Also Uran hat 50 irgendwas, da wird diese Korrektur schon,
wenn ein eins ist, schon relevant.
Das ist dann gar nicht mehr so klein.
Also für große Kernladungszahlen Z ist es durchaus eine signifikante Korrektur.
Und der Grund war natürlich, warum das für große Kernladungszahl wichtig wird,
ist, bei großer Kernladungszahl bewegt sich des Elektronen im Grundzustand schon fast mit der relativistischen Energie.
Und deshalb wird halt, werden halt diese relativistischen Korrekturen dann wichtig.
Okay, gut. Das war also dazu. Das war
jetzt sozusagen eine Anwendung, der nicht der staationären Störungstheorie.
Und dass wir jetzt noch besprechen müssen in nächster Zeit ist
die zeitabhängige Störungstheorie.
Das ist auch ein
ganz wichtiges Thema
Ja, also der Unterschied ist jetzt, wir haben vorhin,
also als wir zum Beispiel jetzt dieses Potenzial hier uns angeschaut haben,
wenn wir nochmal zurückgehen hier, diese ganzen Störungen waren natürlich zeitunabhängig.
Ja, hier steckt keine Zeit drin. Und genauso bei H2 natürlich, ja.
Und deshalb ändert das nur die Eigenwerte der Energie in staationären Zuständen,
aber es führt nicht irgendwie zu einer neuen Dynamik oder sowas, ja.
Aber jetzt wollen wir uns den Fall anschauen,
wo der Hamilton Operator zeitabhängig wird und dann zu Übergängen,
zwischen stationären Zuständen führen kann, ja.
Also der Hamilton Operator H kann zeitabhängig sein. Und Dann
schauen wir uns erst mal noch mal die Freedinger ergleichen,
also die zeitabhängige Scheudinger gleich an an.
Die schaut ja immer so aus, wenn das der Zustand Psyfontee ist,
dann ist die Zeitableitung mal IH quer,
ist halt der Hamilton-Operator operierend auf den Zustand Psyfontee.
Das ist ja die allgemeine Schrödingergleichung. Und jetzt wollen wir ihm annehmen,
dass das, also bisher war das H immer zeitunabhängig,
Und in dem Fall konnte man natürlich,
dass hier trivial lösen, die man sich stationäre Zustände ansah.
Und dann ist eben die Zeitabhängigkeit in dem stationären Zustand ist trivial.
Das ist einfach eo-i, Hardquer, eoch-i-i-i-i-i-i-Energieeigenwert durchhack via Maltee.
Aber wenn das eine nicht triviale Zeitabhängigkeit hat,
dann kann man natürlich nicht mehr so ohne weiteres nach stationären Zuständen suchen.
Man kann aber immer noch diese Gleichung formal lösen,
und zwar folgendermaßen, indem man einfach ansetzt,
dass man sagt, also formale Lösungen, besteht darin,
dass man sagt, ich schreibe das Psychontee als unitären Operator,
der sozusagen mein Zustand von einer Anfangszeit T-0 zum Zeitpunkt T
transformiert oder überführt.
Und den lasse ich wirken auf den Anfangszustand
Also das wäre sozusagen ein unitärer Operator. Unitär heißt es,
wie Sie wissen, dass U-Täger gleich U ist.
Und das bringt einfach nur zum Ausdruck, dass die Wahrscheinlichkeit
erhalten ist oder die Norm des Zustandes erhalten ist.
Und gleichzeitig natürlich jetzt, wenn Sie hier, bitte,
Das heißt, er beteiligt.
Sorry. Ja, sehen Sie, ich.
Das ist schon so in Fleisch und Blut übergegangen,
dass ich das gar nicht mehr bemerke.
Also, was unitär heißt, ist das hier.
Genau. Das ist die Definition von Unitär.
Das andere, wie Herr Mittisch gewesen. Okay,
und gleichzeitig brauchen wir jetzt hier,
wenn ich jetzt hier in der Ergleichung ziehe,
gleich T0 setze, dann sollte natürlich Psy von T0
rauskommen.
Was heißt das
Das heißt, das Ufern Tenol, Tenol, die Einheitsmatrix,
sein sollte. Also mit Ufern 10-0, Tenol
gleich 1. Das ist die Anfangsbedingung sozusagen. Ja,
jetzt kann man, damit ist jetzt noch nicht viel gewonnen,
weil wir wissen ja nicht, was dieses Ufern T&T-0 ist.
Das wird natürlich irgendwie von Hafen Tee abhängen.
Aber zumindest können wir das hier einsetzen in die Schuldingergleichung.
Und dann sieht man sofort,
dass dieser unitäre Operator auch einer Differenzialgleichung genügt,
und zwar folgender
Dass nämlich IAA Quer mal die Ableitung von U nach Tee.
Gleich H von Tee, mal Ufern, T und T0S.
Also zunächst mal kriegen Sie diese Differenzialgleichung noch zusätzlich versehen mit einem Zustand,
sie von T-0, also angewandt auf diesen Zustand.
Aber da es für alle Anfangszustände gelten muss,
muss das als Operatorgleichung gelten.
Also das ist sozusagen
eine Differenzialgleichung für den Operator
Für den Operator, Ufern, Tee und Tenol.
So, jetzt die Frage, wie kann man das lösen?
Also formal kann man das folgendermaßen lösen. Also man kann sie ja
schon vorstellen, irgendwie muss man das Ding hier integrieren.
Und wenn sie immer die Struktur von der Kleidung anschauen,
dann schaut es so ähnlich aus wie eine Exponentialfunktion,
weil die Ableitung von U ist proportional zur U selbst
Aber natürlich, das sind ja jetzt hier keine Zahlen,
sondern Operatoren, da kommt es auch auf die Reihenfolge an.
Das heißt, wenn ich jetzt das Exponentiere oder löse durch eine Exponentialfunktion,
da muss ich ein bisschen aufpassen, was die Ordnung der Operatoren anbelangt.
Und man kann das folgendermaßen lösen, ich schreibe das mal
hin hier. Wenn wir uns nicht scheren müssten,
um die Ordnung von diesen Operatoren,
also insbesondere wenn T nicht zeitabhängig ist,
dann ist es kein Problem,
das zu integrieren,
weil Haare immer mit sich selbst kommotiert
Wenn aber Haar zeitabhängig ist, dann kann es sein,
dass Haar zu verschiedenen Zeitpunkten nicht kommotiert.
Also Haar von T1 kann dann unter Umständen nicht mit Haar
von T2 kommotieren, weil es sind zwei unterschiedliche Operatoren.
Wenn man diese Komplikationen mal außen vor lassen,
dann hätte ich zunächst mal diesen Ausdruck,
den haben wir auch schon mal besprochen, glaube ich,
dann kann man das einfach so integrieren.
Dass ich von T0 bis T integriere und Einfach das Haar von T-Strich so aufintegriere.
Wenn Sie mal die Operator-Eigenschaften von dem Ding hier vernachlässigen,
dann wenn Sie das differenzieren, sehen Sie das Wort,
das ist eine Lösung dieser Differenzialgleichung.
Jetzt haben wir aber das Problem hier,
dass man aufpassen muss mit der Anordnung dieser Operatoren,
weil die im Allgemeinen nicht miteinander kommotieren.
Und das kann man aber leicht lösen, das Problem,
indem man hier diesen sogenannten Zeitordnungsoperator voransetzt.
Und der ist jetzt nun folgendermaßen definiert,
Wenn sie das nämlich hier integrieren,
also wenn sie das hier Taylor expandieren hier,
dann bekommen sie ja sowas wie, ich schreibe das mal hier so an, nochmal.
Also wie das zu verstehen ist, ist ja eine Taylor-Entwicklung.
Und zum Beispiel, okay, der erste Therm ist
nullte Ordnung, es gibt einfach den Einheitsoperator.
Der zweite Therm ist minus i durch Harquer,
mal T0 durch von Tenol
Über dieses Ding, da haben wir auch noch kein Problem,
weil hier immer nur ein Operator auftritt. Aber jetzt,
wenn, sobald sie zur nächsten Ordnung gehen,
dann hätten sie zunächst mal formal sowas wie,
jetzt habe ich zweimal I, das heißt,
hier muss ein Minus stehen, soll, minus I ins Quadrat ist minus,
also sowas wie minus eins durch zwei Hakriaquadrat.
Und dann hätten wir hier eigentlich sowas wie, ja,
Integral von, also zweimal das Ding hier hinschreiben, ja,
also sowas wie DT-Strich, H von C-Strich nochmal T0 bis T. DT2-Strich A von T2-Strich.
Sowas. Da ist immer nicht mehr ganz hier. Jetzt haben wir aber ein Problem hier,
denn das ist jetzt schon quadratisch ein Haar und da kommt
es jetzt auf die Reihenfolge an und der Punkt ist aber,
Sie sehen immer, damit es eine Lösung dieser Differenzialgleichung ist,
Der muss sozusagen, das Haar von Tee hier,
das hier links steht, das ist das zur letzten Zeit.
Also wenn ich sozusagen bis Tee integriere und hier stecken alle vorhergehenden Zeiten drin.
Und dann muss ich die aber so anordnen,
dass sozusagen die spätere Zeit immer links von dem steht.
Das ist hier nicht gewährleistet, weil wenn die zwei Strich
größer ist als T-Strich, dann würde die spätere Zeit rechts stehen.
Und dieser Zeitumkehroperator, der stellt gerade jetzt sicher,
dass diese Faktoren, also die Integrale bleiben im Prinzip gleich,
dieser Zeitordnungsoperator ordnet jetzt die Reihenfolge so um,
dass die spätere Zeit immer am weitesten links steht.
Also das wäre dann irgendwie sowas, deshalb muss ich jetzt hier eben dieses Tier davor schreiben.
Und dann hätten wir zum Beispiel Tee von H von C,
sprich H von T2 Strich, ist,
und da muss man jetzt im Fall Unterscheidung machen,
das wäre sozusagen H von C-Strich H von T2 Strich,
falls T-Strich Größe als T2 Strich ist,
aber es ist eben andersrum angeordnet,
wenn T2-Strich kleiner als T2-Strich ist.
Der Zielstrich Klein-AWT2-Strich ist, ja. Das heißt,
dieser Operator ordnet es einfach so um, dass die in aufsteigender,
zeitlicher Reihenfolge von rechts nach links gelesen werden.
Und das, das kann man sich jetzt ein bisschen genau überlegen,
der stellt tatsächlich dann sicher, dass dieser Operator, dieser Differenzialgleichung genügt.
Dieser formale Ausdruck, der bringt uns eigentlich auch noch nicht viel,
weil man dem Allgemeinen, das ist zwar die formale Lösung dieser Differenzialgleichung,
Aber wenn das irgendwer komplizierter Operator ist,
ist es damit noch nicht viel gewonnen.
Also werden den sozusagen eigentlich gar nicht anwenden. Deshalb gehe
ich jetzt da hier auch nicht weiter ins Detail ein,
aber ich wollte zumindest nochmal darauf hinweisen,
dass man da eben aufpassen muss mit dieser Zeitordnungsanordnungsoperation.
Wir können natürlich einen Spezialfall anschauen, nämlich,
dann wird es wieder einfacher.
Spezialfall, H von T
ist zeitunabhängig
Ja, nur das Dumme ist, das ist bei uns jetzt nicht interessant,
weil wir wollen ja zum Beispiel Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen betrachten, da muss Hardzeit abhängig sein.
Es kann aber immer noch sein, dass selbst wenn H zeitabhängig ist, dass diese Operatoren untereinander kommotieren zu verschiedenen Zeiten. Aber im Allgemeinen wäre es nicht der Fall, der Fall sein. Jedenfalls,
wenn wir uns aber diesen Spezialfall anschauen,
dann kommt es hier nicht auf Zeitordnung an,
weil die sowieso alle miteinander kommotieren und dann kann ich mir das Tee auch schenken und vor allem kann ich das Integral ausführen,
weil das ist ja nur eine Konstante und dann erhalten sie den einfacheren Ausdruck,
dass Ufern T- und T-0 gleich ist,
ehoch-i durch a queer, ha, mal t-0,
weil in dem Fall kann ich natürlich das Haar hier,
das ist konstant,
das kann ich vorher integral ziehen und dann gibt es Integral,
trivialerweise t-0. Okay,
das dazu und jetzt wollen wir uns aber langsam dieser Zeit haben im Störungsrechnung,
ob es nähern Und dazu muss ich jetzt noch ein paar Sachen einführen,
nämlich alles, was wir jetzt hier besprochen haben,
ist, wird häufig auch be,
also insbesondere dieser Ausdruck hier.
Also diese Sache, diese beiden Gleichungen, das wird häufig
als sogenanntes Schrödinger-Bild bezeichnet. Also das ist das Bild,
in dem der Zustand sich mit der Zeit entwickelt.
Also das nennt sich Schrödinger-Bild. Der Zustand Entwickelt sich in der Zeit.
Man kann es aber auch anders auffassen und das ist dann
das sogenannte Heisenbergbild und das brauchen wir jetzt auch.
Und zwar, wir können jetzt im Heisenbergbild sind die Zustände
konstant, also zeitlich konstant.
Und die Operatoren sind die Operatoren
Sind zeitabhängig. Und das definiert man folgendermaßen, ein Operator,
der hat dann dieses Subscript H für Heisenberg.
Und das wird definiert als das A, im Schröder-Dinger-Bild,
also zum Beispiel Dreh-Impuls, meinetwegen irgendein Operator oder auch die gesamte Energie.
Und da schlägt man jetzt aber diese unitäre Entwicklung drauf.
Das heißt, ich multipliziere das von rechts mit diesem U
von T und T0 und von links mit Odega von Teons Tenol.
Das ist zunächst einfach mal eine Definition. Aber jetzt kann
man sich überlegen, was bedeutet das für die Zeitabhängigkeit?
Also die Aha nach Te, wenn ich das nach der Zeit ableite,
dann sehen Sie jetzt sofort, das gibt ein I-Durchhaar quer,
mal der sogenannte, also der Hamilton-Operator im Heisenberg-Bild,
kommutiert mit Aha von Tee
Eventuell noch eine explizite Zeitabhängigkeit von dem Operator Aha. So,
wie kann man das jetzt sehen? Das liegt daran,
also was ich hier gemacht habe, ist,
wenn ich die Zeitableitung nehme, dann kriege ich insgesamt drei Therme.
Warum? Weil das Udega von T abhängt,
das A, kann explizit von T abhängen.
Vielleicht sollte ich hier besser noch einen Tee reinschreiben.
Und natürlich das U. Und deshalb gehe ich drei Therme.
Und jetzt schauen wir uns mal an,
warum das so ist
Vielleicht schauen wir uns mal diesen Themen an.
Also wenn ich jetzt exemplarisch mal diesen Themen anschaue,
ja, das ist ja einer von den dreien.
Und ich setze jetzt für die Ableitung von UNAT
diesen Ausdruck hier oben ein. Dann steht doch hier,
Dann steht doch hier minus ich durch Haarquere.
Das kann ich ja alles abschreiben.
Von Tee. Und dann steht hier H von Tee,
mal U von Tee und Tenol.
Und andererseits, okay.
Richtig. Und dann kann ich
das erweitern
Ich mache das jetzt einmal sehr ausführlich, damit es klar wird.
Ich kann jetzt hier in der Mitte, kann ich ein U-U-Däger einführen.
Das ist ja eins, das kann ich immer machen.
Und dann ist das hier, ist ja nichts anderes wie Aha von Tee wieder.
Das ist die Definition her oben. Ja, also die
hier. Und das hier ist Haha von Tee. Ja,
also der Heisenberg, und da des Hamilton-Operators. Ja,
das heißt, insgesamt haben Sie hier schon minus IH-Quer,
mal Aha von Tee, mal Haha von Tee. Und jetzt sehen Sie sofort,
wenn Sie das Gleiche machen mit Udega,
also wenn Sie statt dem U des Udega nach Tee ableiten,
dann bekommen Sie den Thermen,
also wenn ich das mal so schreiben darf,
dann bekommen Sie genau das Gleiche,
nur mit dem entgegengesetzten Vorzeichen und natürlich sind jetzt die Operatoren stehen andersrum da.
Und wenn ich die beiden zusammenfasse, dann ist das nichts anderes als der Kommotat,
also I durch A quer, mal der Kommentator von HH mit AHA.
Und das ist genau das, was hier steht. Und dieser dritte Therm,
den kann man auch noch definieren, der kommt dann sozusagen hier,
das ist, der ist dann gegeben durch die explizite Zeitabhängigkeit von diesem A-Operator,
falls es eine gibt.
Also wenn das irgendeine Erhaltungsgröße ist, wie der Drehimpuls,
dann ist die Ableitung Null, aber im Allgemeinen steht dann
noch Das wäre sozusagen die Heisenberg-Version von der Zeitableitung.
Das heisst, es ist eine Definition von Ufern, T- und T-0, Degger.
Und dann steht halt hier A. Ja, das ist,
wenn sie die mittleren Thermen nach der Zeit ableiten hier,
dann kommt genau dieser Therm raus.
Und den habe ich jetzt abgekürzterweise auf die Art und Weise beschrieben.
Und das ist die Heisenberg-Gleichung für die zeitliche Entwicklung dieser Operatoren.
Und jetzt Jetzt habe ich vorhin erwähnt,
dass im Eisenberg-Bild die Zustände sich nicht zeitlich entwickeln.
Und deshalb kann ich das jetzt folgendermaßen definieren.
Der Zugehörige, Heisenberg, Zustand, ist folgendermaßen definiert.
Das nennt man dann Psyha. Das ist einfach
O von T- und T-0, Täger.
Wirkens auf Psyfontee
Und der ist jetzt, wenn Sie nochmal, wenn Sie zurückgehen,
auf diesen Ausdruck, wo er hier, genau. Wenn Sie das hier anschauen,
dann ist das nichts anderes als Psy von Tenul,
weil wenn ich jetzt mit dem,
also auf das hier, von links nochmal mit Odega-Werke,
dann steht hier Odega-U, das ist aber eins,
das heißt, es kommt dann insgesamt Psy von Tenul raus.
Und das ist per Construction sozusagen nicht mehr von Tee abhängig.
Das ist einfach nur der Anfangszustand. Und deshalb in diesem Meisenberg-Bild
haben Sie sozusagen die Zeitabhängigkeit, Vom Zustand abgewälzt auf die Zeitabhängigkeit der Operatoren.
Das sind völlig Äquivalent, die beiden Beschreibungen. Nur ist
halt in unter bestimmten Umständen, ist vielleicht eine Beschreibung zweckmäßiger als die andere.
Und insbesondere für die zeitabhängige Störungstheorie ist das Heisenbergbild beziehungsweise eine Variation davon,
das sogenannte Wechselwirkungsbild, das kommen wir dann gleich dazu, ist eben zweckmäßig.
Und da fange ich jetzt noch ganz kurz damit an,
nur dass sie die Idee bekommen, Bisher haben wir überhaupt nicht das alles,
was ich jetzt gesagt habe, ist vollständig allgemein,
es hat nichts mit Störungstheorie bisher zu tun.
Wir haben also noch keine zeitabhängige Störungstheorie gemacht, das war alles,
alle diese Diskussionen, also zum Beispiel diese Differenzaglangung,
die gilt vollkommen allgemein und ist keine Ernährung.
Aber jetzt wollen wir uns eben überlegen, was passiert jetzt,
wenn, also wenn ich einen Hamilton Operator habe,
der von der Zeit abhängt und ich nehme aber an,
dass der sozusagen aus einem zeitunabhängigen Teil H0 besteht und einer zeitabhängigen Störung.
Also die Motivation ist, beispielsweise dass wir uns anschauen,
Übergänge zwischen atomaren Zuständen, unter dem Einfluss von Strahlung.
Also wenn sie jetzt eine elektromagnetische Welle auf dem Atom,
einen Atom bestrahlen, mit einer elektromagnetischen Welle,
dann gibt es im Allgemeinen Übergänge Absorption.
Das heißt, sie springen von einem niedrigen Zustand in den Hören.
Und das wäre gerade so eine Störung. Da wird also zum Beispiel,
wenn das eine Welle ist, dann wäre das eine harmonische Zeitabhängigkeit.
Und dann wollen sie ausrechnen,
das H0 gibt ihnen die Energieeigenzustände und dann wollen sie wissen,
wie häufig pro Zeiteinheit springt man zum Beispiel von einem Rüttberg-Zustand in den anderen.
Und dann kann ich das auf die Art und Weise ansetzen und muss dann halt ausrechnen,
muss das als keine Störung auffassen und dann eine Theorie dazu entwickeln,
wie man diese Raten ausrennen kann.
Das ist genau das, was wir machen wollen im Folgenden.
Und zusätzlich wird man im Allgemeinen ansetzen,
dass diese Störung V von Tee null ist,
wenn Tee kleiner gleich irgendeine Anfangszeit T-0 ist.
Genau, und ich glaube, da kommen wir jetzt nicht mehr
weiter und deshalb mache ich das dann beim nächsten Mal.
Also wir werden das sozusagen zerlegen in einen ungestörten Zustand,
Psynull, der nur von H0 abhängt und diese Störung und die
werden wir dann in der Zeit integrieren und daraus dann im Endeffekt,
was wir ableiten wollen,
ist die sogenannte Firme ist goldene Regel.
Das ist eine Formel für die Übergangsrate zwischen stationären Eigenzuständen
unter Einwirkung einer Störung und diese Firme
ist goldene Regel
Die hat dann wieder was zu tun.
Im Endeffekt stellt sich heraus, dass die Rate ist,
proportional zu dem Matrix-Element von der Störung zwischen den beiden Zuständen,
zwischen denen sie Übergänge haben.
Oder beziehungsweise zum Betragsquadrat dieser Matrix-Elemente. Und das werden wir
uns dann am Mittwoch noch genauer anschauen.
Gut, danke