Okay, dann machen wir mal weiter hier.
Wir haben letztes Mal Diskussionen. Addition von Drehimpulsen,
diskutiert und hatten dann angefangen, dass auf den Fall von
zwei Spin-1-Halbs anzuwenden, haben aber dann abgebrochen.
Deshalb fange ich das nochmal von Neuem an. Zunächst aber nochmal ganz kurz Zusammenfassung,
was sozusagen die Quintessenz von der Diskussion war. Nämlich,
wenn wir die Eigenzustände von zwei unabhängigen Drehimpulsen kombinieren in den Produktzustand,
so wie hier, dann ist eben dieser Produktzustand im Allgemeinen kein Eigenzustand von Gesamtdrehimpuls.
Und wenn man das zu einem Eigenzustand vom Gesamtdrehimpuls machen will,
dann muss man eben sozusagen über diese M1 und M2 hier summieren,
mit geeigneten Koeffizienten, und diese Koeffizienten nennen sich Graph Gordon, oeffizienten.
Und es stellt sich heraus, wenn man das so macht,
dass der Gesamtdrehimpuls oder die genauer gesagte gesamte gesamte Impulsquantenzahl,
die hat die Deck dann einen Bereich ab zwischen J1-Jahr 2 Betrag und J1 plus Jahr 2.
Und insgesamt sind es insgesamt Sind das 2 J1 plus 1 mal
2 Jahre 2 plus 1 Zustände. Ja,
weil hier natürlich für jeden dieser einzelnen Faktoren hier haben sie
jeweils 2 J plus 1 Zustände und deshalb multiplizieren sie die Anzahl der Zustände in der Art und Weise.
Und wir hatten uns dann doch abzählen auch davon überzeugt, dass tatsächlich,
wenn J über diesen Bereich läuft und man summiert über alle,
über die Entartung von J, also für jedes J gibt es ja 2 J plus 1 Teilzustände.
Und wenn man das zwischen diesen beiden Schranken summiert,
dann kommt auch der Anzahl der Zustände heraus.
Also das ist gewissermaßen eine Drehung dieser Basis von Produktzuständen in Eigenzustände vom Gesamtdrehimpulsoperator J.
Und im Allgemeinen hatte ich ja auch gesagt,
dass die Berechnung von diesem Klebsch-Gordon-Koeffizienten ist für den allgemeinen Fall ziemlich kompliziert.
Damit will ich mich auch gar nicht länger aufhalten.
Da gibt es also Reklusionsformen und so weiter.
Aber für einige einfache Fälle kann man das sozusagen direkt machen und einen davon hat man angefangen zu diskutieren, nämlich Kombination von zwei Spinneneinhalb Zuständen. Ja,
jetzt kann man sich schon überlegen, jeder,
das binnen ein Halbzuständ, der hat zwei Teilzustände, ja,
zweimal eineinhalb plus eins ist zwei, nämlich Spin-Up und Spin-Down,
also haben Sie, wenn Sie das Produkt davon bilden,
insgesamt vier Zustände, nämlich beides Binnens ab,
beides Binnens down oder einer ab und einer down und jeweils,
in welcher das der eins oder zwei ist,
gibt es zwei weitere, also insgesamt vier, ja,
also wir haben jetzt in dem Fall sozusagen J1 gleich,
J2 gleich eineinhalb,
Und in diesem Fall ist alles noch hinreichends einfach, sodass wir das explizit machen können.
Und das will ich jetzt im folgenden eben durchführen.
Wir haben das dann auch immer mit S bezeichnet,
weil eine halbzahlige Drehilimpulse sind eben im allgemeinen Spins.
Und natürlich keine Bahn, andere Impulse. Deshalb schreibe ich
das häufig so, als S gleich S1 plus S2,
statt dem J hier. Und ja,
und dann haben wir jetzt, also diese Produktzustände,
diese Produktzustände hier, da gibt es eben vier Stück davon,
nämlich, wie gesagt, wie gerade Gesagt,
gibt es beide Spins-Ups, beide Spins-Down, erst das Spin-Up,
zweites Spin-Down oder umgekehrt.
Das sind die vier Zustände, die hier auf der rechten Seite auftreten.
Wir werden aber gleich sehen, dass diese beiden Zustände,
die haben ja, das ist offensichtlich, die haben den Maximalspin,
weil die Z-Komponente davon ist ja schon eins.
Hier ist es eins, hier ist es minus eins.
Und damit müssen die zu dem Multiplate mit S-Gleich 1 gehören.
Es stellt sich aber heraus, dass diese beiden,
diese Mischzustände, die sind weder Spin 1, es bin null.
Wenn sie diese Formel anschauen, dann sehen sie auch,
es gibt nur zwei Möglichkeiten für den Gesamtspin.
Entweder ist es eins, nämlich eineinhalb plus eineinhalb oder null.
Und es stellt sich heraus, dass diese beiden Zustände,
die sind jeweils Mischungen von dem Spin-1 und dem Spin-0-Zustand.
Also die sind keine Eigenzustände zum Gesamtspin. Es wird sich dann gleich herausstellen,
dass man kann daraus Eigenzustände vom Gesamtspin machen,
indem man die symmetrische und die antisemetrische Kombination nimmt.
Also die symmetrische Kombination, die entspricht dann Spin-1 und die antisemetrische P0.
Und das werden wir jetzt im Detail sehen,
warum das so ist
Also zunächst mal gilt natürlich das SZ,
wirkend auf diesen Double-Spin-Up-Zustand, ist dann natürlich Hardqueer.
Mal dieser Zustand, weil das Hardware-Hall üblos Hardware halbe ist.
Analog, wenn wir beide nach unten haben, dann ist
es halt minus Hardqueer. Und es ist auch klar,
dass wenn SZ auf diese Mist-Mischzustände trifft,
dann kommt null raus,
weil sich natürlich die gerade zu null addieren
Genau. Jetzt als nächstes wollen wir aber eben herausfinden,
welchen Gesamt ich bin, das entspricht und dazu schreiben wir das S-Quadrat als,
das ist ja das Quadrat von S1 plus S2 und das
kann ich ausquartieren und dann steht hier natürlich einfach das hier.
Und er ist ein Quadrat, beides ein Spin-1 halbes,
hat den Eigenwert 3 halbe, also J mal J plus 1,
wenn sie da J gleich Wenn sie in der J gleich eineinhalb einsetzen,
dann kommt eben dreieinhalb raus.
Sorry, drei Viertel zunächst mal, aber wir haben zwei von denen,
also dreieinhalbe. Dreieinhalbe, Hack Querkodrat. Und dann,
also ich schreibe das vielleicht hier nochmal hin,
er ist eins Quadrat, ist gleich erst zwei Quadrat,
ist ja drei Viertel, mal Hack Querkodrat.
Und dann haben wir nur noch dieses Galaprodukt,
und das schreibe ich jetzt leicht um, in folgende Form.
Das ist zweimal S1Z, S2Z,
plus S1 plus S2 minus, plus die andere Kombination.
Also S2 plus S1 minus. Wobei natürlich wieder S,
Eth, sorry, S, S plus minus I,
ist natürlich S-X-I plus minus I-S-I-S-Y. So,
wenn wir das immer gemacht haben, wenn sie das ausportrieren,
dann kriegen sie für die letzten beiden,
für die letzten drei Therme
einfach zweimal S,
1x S2 raus
Ich meine, die Komponente ist eh klar und dann steht
noch zusätzlich plus, er ist eins, ist XS2X plus,
zwei S1, YS, zwei Y.
Und das habe ich halt in der Form umgeschrieben. Okay,
und das ist jetzt sehr hilfreich, weil wenn man diese Relation anwenden,
dann können wir direkt sehen, dass S-Quaddrat wirkend auf den Zustand,
wo beide Spins up sind, ist zwei Haar-Quer-Quadrat.
Mal diesen Zustand, warum? Weil,
genau, das muss ich jetzt vielleicht ein bisschen genauer begründen
Also, S1 plus wirkend auf Spin-Up, ist null und
genauso S2 plus wirkend auf Spin-Up, ist ebenfalls null.
Also, wenn Sie das hier anschauen, wenn Sie diesen,
also, genau, also schauen wir uns erstmal die ersten beiden Teile an.
S1Z und S2Z ist jeweils Hardware halbe. Also steht hier
doch insgesamt ein Halbpark Querquadrat und wenn ich das mit drei Halbjahr Querquadrat zusammenatiere,
kommt zwei Hack-Werkquadrate raus und der Punkt ist jetzt,
diese Operatoren null liefern, warum?
Weil sie sehen, hier ist immer ein Aufsteigeoperator vertreten.
Und wenn ich ihn aufsteige, Operator auf Spin-Up, anwende,
muss null rauskommen, weil ich kann nicht höher steigen als Spin-Up.
Ich habe ja nur diese zwei Zustände und wenn ich den
Höchsten nehme und darauf mit dem Aufsteigeoperator operiere, dann muss null rauskommen.
Das heißt, diese beiden Therme, die er hier ist null,
weil wenn der auf den ersten Spin abtrifft,
gibt es null und der ist null,
weil wenn der hier auf den zweiten Spin abtrifft, ist er genauso null.
Also das beweist diese Formel und natürlich und natürlich völlig analog
für den Fall, dass beide nach unten zeigen
Und natürlich folgt daraus jetzt, dass sozusagen die S-Quantenzahl eins sein muss,
weil der Eigenzustand hat den Eigenwert erst mal S-Plus 1 und es gibt gerade zwei,
also bis auf den Fachterhandwerk, natürlich.
Ja. Bitte? Weil, okay,
dann schreibe ich es noch mal hin,
weil das ist ja nichts anderes als S1,
mal S1 plus
Und wenn sie da erst eins gleich eineinhalb einsetzen,
kommen sie auf drei Viertel und da gibt es zwei davon, deshalb drei halbe.
Okay, also das zeigt jetzt schon mal, das hätte man,
also um das zu, um diese Gleichung zu bekommen,
hätte man diese Rechnung gar nicht machen müssen.
Warum? Weil wir wissen schon hier, das SZ hat
den Eigenwert-Tag wehr und damit muss der Gesamtspinn eins sein.
Da kann nicht null sein, weil Gesamtspinn null könnte nie
eine Z-Komponente von eins haben, die kann nur null sein.
Also das hätte man auch erraten können. Was aber jetzt nicht
so ganz trivial ist, ist natürlich, Gibt es dafür
insgesamt drei Zustände und wir haben aber jetzt erst zwei.
Wir haben diesen Double Spin-Up, Double Spin-Down und einer zu
den Multiplet, erst gleich eins fehlt uns noch.
Und das können wir jetzt aber leicht erzeugen,
indem wir einfach auf den, also der dritte Zustand des,
er ist gleich eins Multiplets, erhält man indem man zum Beispiel S-Minus,
den Absteige-Operator auf den Double Speen Up-Zustand anwendet.
Und das kann man jetzt sofort ausrechnen, das S-Minus,
das ist ja sozusagen S-Minus 1 plus S-Minus 2 und besteht aus diesen beiden Teilen.
Und wenn ich das hier anwende auf diesen Spin-Up-Zustand, also das hier,
Dann sehen Sie, was passiert, der hier senkt,
der führt sozusagen spin-up ins Spin-down über, weil das ein Absteigeroperator ist.
Es gibt nur zwei Zustände, entweder Ab- oder Sau.
Das heißt, der hier verwandelt den ersten Spin-up,
den Spin-down, und der hier verwandelt den zweiten, Spin-up in Spin-down. Das heißt,
ich bekomme dann die Kombination, Spin-down, Spin-up, plus Spin-up,
Spin-down, Und wenn ich das Ganze jetzt noch normieren will,
also das ist jetzt noch nicht auf eins normiert,
aber wenn ich das jetzt normieren will,
dann bekomme ich, das sieht man jetzt sofort,
weil die beiden zueinander orthogonal sind,
dann bekomme ich halt den Zustand, dividiert durch Wurzel
2. Weil wenn ich das Betragspatrio, dann kommt eins raus,
weil die sind ja paraweise aufeinander, orthogonal. Das heißt,
wenn ich da die Betragsparate bilde und zu mir kriege ich
zwei raus und das dividiere ich durch zwei, das gibt eins.
Das heißt, das ist jetzt tatsächlich der dritte im Bunde sozusagen,
zu dem Multiplate S gleich 1. Das heißt also jetzt ganz klarerweise,
Daraus folgt eben, dass es, Quadrat,
wirken auf diesen Zustand, auf den symmetarisierten Mischzustand,
ist tatsächlich wieder zwei Haar Querquadrat mal, das hier.
Das können Sie ja auch explizit nachprüfen, indem Sie diese Formel zum Beispiel wieder verwenden.
Das mache ich jetzt nicht, aber das zeigt,
dass dieser Zustand, dieser dritte Zustand ist.
Und daraus folgt also jetzt das Triplet, Er ist gleich eins,
also ich bin eins, besteht jetzt aus folgenden Zuständen.
Ich ordne die jetzt mal so als Vektor an,
also Dreier weckt das sozusagen, zweimal SBN-Up, der Mittlere,
der hat natürlich auch SZ gleich null, das wäre eben dieser Mischzustand.
Und der Unterste ist beides Binsdown. Und der entspricht SZ gleich Quer,
der entspricht SZ gleich null und der ist SZ gleich minus Haakwerk.
Ja, und die haben alle Essquadrats gleich ein,
oder ha, zweimal Haar Querquadrat, ja,
also schreibt das hier nochmal hier ein Essquadrat,
wer dann zweimal Haar Querquadrat für diese Zustände.
So, jetzt haben wir aber, also wir haben jetzt drei,
wir haben ja ursprünglich vier Zustände gehabt, ne, die vier.
Wir haben jetzt draußen eine Elinearkombination gebildet und die drei bilden jetzt den Eins-Zustand.
Jetzt fehlt uns noch einer und es ist klar,
was das für einer sein muss, das kann nur der Antisemmetrische sein,
weil der auf alle diesen Orthogonal steht.
Das heißt, ich kann jetzt den dritten Zustand,
den vierten Zustand bilden und der ist dann halt
Spin-0. Das heißt, wir haben dann, ist diese antisemitrische Kombination.
Und den schreibe ich dann folgendermaßen 0-
0. Also das ist sozusagen der Zustand, der Spin-0 entspricht,
Gesamtspin-0 und natürlich die Z-Komponente genauso.
Deshalb schreibe ich 0-0. Und der ist downs,
bin up, minus Spin-up, Spin-down, dividiert durch Wurzel 2.
Das Wurzel 2 steht wieder hier, damit es auf eins
normiert ist. Und man sieht ja sofort der Zustand,
der ist natürlich Portokornal zu diesen drei.
Und der entspricht jetzt sozusagen dem Spin-Null-Zustand.
Also er ist gleich null und natürlich SZ Gleichnull.
Also um es nochmal vielleicht ganz ausführlich aufzuschreiben,
das wäre der Zustand für den S-Quadrat eben Null gibt und
auch SZ gibt Null
Und damit haben wir jetzt alle vier Zustände konstruiert.
Also wir haben sozusagen zwei, nochmal zur Wiederholung,
wir haben zwei Spinnen, ein Halbzustände kombiniert.
Und da gibt es nur zwei Möglichkeiten,
entweder die addieren sich zu eins oder sie subträieren sich zu null.
Und weil ich bin eins, drei Komponenten hat,
haben wir diese drei Komponenten und das P.0 hat nur eine
Komponente und das ist eben dieser hier.
Und das ist ein Beispiel, das Einfachste wahrscheinlich,
das Einfachste, nicht triviale Beispiel für diese Plebsporten-Koeffizienten.
Das entspricht jetzt hier dem Fall wo eben J eins,
gleich Jahr zwei, kein halbes. Und J,
der gesamte Impuls, oder wir haben es mit S bezeichnet,
kann nur eins oder null sein.
Also die Gesamtdrehimpulsquantenzahl kann nur eins oder null sein.
Man kann jetzt sogar sogenannte Projektoren bilden. Also wenn man
jetzt gewissermaßen auf diesem Hilfertraum operiert,
auf diesen vier Zuständen oder auch auf diese Produktzustände hier,
Dann kann man die sozusagen projizieren auf den Spin 1 und ich bin null Zustand.
Und diese Projektoren, nennt man die, auf Triplet-Zustände,
mit S gleich 1 und Singlet-Zustand.
Er ist gleich null, entsprechend dann folgenden P1,
ist gleich drei Viertel,
mal drei Viertel Plus
S1, mal S2, dividiert durch Arc-Werkquadrat. Und P0 ist natürlich dann 1 minus P1,
weil die müssen sich natürlich auf 1 addieren,
weil jeder Zustand hat entweder Spin1 oder Spin0 und das
ist dann halt ein Viertel, als hier eben Plus,
ein Viertel minus S1, mal S2, durch Arc-Werkquadrat.
Warum stimmt das so? Weil natürlich Und wenn Sie das nochmal anschauen,
hier, vielleicht schreibe ich das hier mal hin, da S1,
mal S2, jetzt verwende ich diese Gleichung hier oben.
Ich fahre mir das, also ich löse die auf,
mache erst eins, mal S2. Und dann steht hier,
das ist ein Halb, mal S,
Quadrat, minus S1, Quadrat minus S2, Quadrat.
Und das ist damit ein Halbmal S-Quadrat minus drei,
halbe H-Querquadrat
Ja. Und wenn Sie jetzt in dieser Gleichung, also S-Quadrat,
ist S mal S plus 1, mal Hack Querquadrat.
Das heißt, wenn Sie hier es gleich, klein S
gleich 1 einsetzen, dann kommt Essquadrat gleich 2 raus.
Also ich lasse jetzt mal die, ich setze mal das
Hack Querquadrat 1, damit ich die nicht mal mitdiskutieren muss.
Dann steht hier 2, minus drei, halbe.
Und 2 minus drei, halbe,
das ist eineinhalb und dann steht hier insgesamt ein Viertel
Und damit habe ich drei Viertel plus ein Viertel, das ist eins.
Das heißt, das ist tatsächlich der Projektor auf den Zustand erst gleich eins.
Dagegen, wenn ich jetzt erst gleich null setze,
dann ist es einfach null hier.
Und okay, schauen wir das vielleicht nochmal ausführlich hin,
für es gleich einsam, also erfolgendes erhalten.
S1, mal S2, ist drei Viertel, Hack-Werkodrat,
und für S gleich null ist es eins, mal S2.
Ja, da ist jetzt das hier null.
Und dann kommt hier minus drei Viertel Hack-Werkodrat raus
Und jetzt sehen Sie sofort,
dass diese beiden Dinger jeweils auf den Zustand S gleich 1,
beziehungsweise er ist gleich null projizieren,
denn wenn ich das hier einsetze, dann kommt,
Moment, was habe ich jetzt gesagt,
das ist Esquadrat gleich 2, minus dreieinhalb bis eineinhalb,
ein Viertel.
Hier habe ich mich verschrieben, das muss ein Viertel heißen natürlich.
Und dann habe ich drei Viertel plus ein Viertel,
das ist eins
Ja, dagegen, wenn ich diesen Operator auf den S gleich-Null-Zustand wirken lasse,
dann steht hier dreiviertel, minus, dreiviertel, das gibt null.
Das heißt, klarerweise projiziert der den Zustand S gleich-1 raus,
weil wenn ich ihn auf den S gleich-1-Zustand wirken lasse, kommt eins raus.
Und wenn ich ihn auf S gleich-Null weglasse, kommt null raus.
Und hier genau umgekehrt, wenn ich das hier auf den S-gleich-1-Zustand wirken lasse,
dann steht hier ein Viertel, minus ein Viertel, das ist null.
Das heißt, der wird vernichtet. Und wenn ich ihn
dagegen auf den S gleich-Null-Zustand wirken lasse, dann kommt hier raus,
ein Viertel, minus minus dreiviertel und das ist eins.
Und deshalb projizieren diese beiden Operatoren auch den Triple-Zustand beziehungsweise auf den Singlet-Zustand.
Okay, also das ist eigentlich so ein wichtiges Beispiel,
wenn man zwei elementares bin, ein Halbs kombiniert.
Jetzt brauchen wir noch einen anderen Fall,
den ich aber nicht ausführlich diskutieren will, und zwar aber zumindest anmerken werde,
einer der häufig in der Atomphysik auftritt, im Zusammenhang mit der sogenannten Spin-Bahn-Kopplung.
Das ist der Fall, wo ich Zum Beispiel einen Drehimpuls habe,
der muss dann ganz zahlig sein,
dann nehmen wir den einfachsten, nicht revialen Fall,
wo er eins ist, der ein paar andere Impuls eins.
Und ich kombiniere den mit einem Spin von einem Elektron,
der natürlich eineinhalb entspricht. Und dann würde ich
sozusagen den Gesamtdrehmpuls bilden aus dem Bahndrehimpuls plus den Spin.
Und der bahnt der Impuls, Fettigwandensaal, L gleich eins
und der Spin hätte Drehimpuls, er ist gleich eineinhalb.
Also das würde ich als Ja, eins bezeichne ich dann als L,
weil das ist ein Bandre-Impuls ist und ich bin der zweite Drehimpuls,
das ist ein Spin, deshalb bezeichne ich das als S.
Und dann ist die, dann haben wir also die Situation,
dass wir einen Bahndrehimpuls mit einem Spin koppeln oder zusammen addieren und für diese Zustände verwenden,
verwendet man dann häufig die folgende abgekürzte Notation.
Nämlich, dass ich eben sage, das ist JM und L,
also weil das Spin immer ein halb ist,
kann ich mir den sozusagen Dieses S kann ich mir schenken,
den zweiten, weil der immer ein halb ist.
Und das wird dann nicht mehr erwähnt.
Deshalb schreibt man nur noch JML. Und das, was
damit gemeint ist, ist im JML S gleich eineinhalb.
Und wieder kann ich natürlich das Quadrat bilden.
Und dann habe ich L-Quadrat plus S-Quadrat plus 2L mal S.
Und das kann ich wieder so umschreiben,
dass ich sage, das ist L-Quadrat plus S-Quadrat
Plus 2, LZ, SZ. Und dann haben wir hier
so was wie L plus S-Minus plus L-S-S-Plus. Die beiden,
die sind jeweils schon, das werden einfach Zahlen,
weil die haben sozusagen, das kann ich vielleicht einmal ausschreiben,
das wird natürlich einfach Hardqueerquadrat mal L,
mal L plus 1. Das ist der Eigenwert zu dem,
achso ja,
hier haben wir jetzt auch noch Elgleich eins angenommen,
aber ich lasse es jetzt mal hier
so allgemeiner stehen
Dass das ein beliebiger Bahndreh-Impuls ist L. Dann hat er
diesen Eigenwert und der hat natürlich wieder den Eigenwert Haarquerquerquerquadrat,
mal drei Viertel müsste das sein.
Genau. Und ohne Beweis gebe ich jetzt folgende Formel an.
Also was passiert, wenn man die beiden addiert?
Was kriegt man dann den gesamten Impuls raus?
Und die Formel ist folgende, wie gesagt,
ohne Beweis, aber die kann man so ähnlich ableiten,
wie wir das mit den beiden Spins gemacht haben.
Also was jetzt passieren kann, ist,
wenn ich zum Wandere-Impuls und ich bin ein Hype, addiere,
dann kann der Gesamtere-Impuls entweder L plus-einhalb sein oder L minus-einhalb.
Das sind die beiden Fälle. Deshalb schreibe ich hier L plus minus-einhalb.
Und natürlich habe ich dann die Endquantenzahl und die Bahn der Impulsquantenzahl.
Und da stellt sich jetzt raus, dass man das folgendermaßen schreiben kann.
Das ist plus minus. Also wenn ich jetzt hier plus minus schreibe,
dann beziehe ich mich immer entweder auf den Fall,
wo ich das obere Vorzeigen nehme oder das untere.
Das heißt, ich muss hier in der Formel dann
immer konsequent entweder das obere oder das untere Vorzeichen nehmen.
Also hier steht dann Wurzel aus, L,
also plus minus what's lars, L plus minus M,
plus 1,5, durch 2L plus 1, multipliziert mit dem Zustand L,
m-1,5, das ist der Drehpulsanteil, also der Bahndrehimpulsanteil.
Und das muss ich natürlich mit Spin-Up kombinieren,
weil die Gesamtquantenzahl in der Z-Richtung muss M sein und weil hier M-1,5 steht,
muss ich das mit 1,5 addieren und deshalb muss ich hier m-minus
1,5 mit Spin-Up kombinieren und die andere Kombination ist natürlich,
dass ich M plus 1,5 mit Spin-Down kombiniere.
Und der Term hat auch einen Koeffizienten, der sieht folgendermaßen aus,
plus L minus plus M steht dann hier, diesmal,
plus 1,5 dividiert durch 2,11 plus 1. Und dann habe ich jetzt eben,
wie gesagt, dieses L mal M plus 1,5 multipliziert mit Spin-Down.
Also was heißt es? Schreibt es nochmal hier hin,
das ist der Spin. Also mit anderen Worten,
Ich habe einen Bahndreh-Impuls mit Quantengesamtquantenzahl L kombiniert mit einem Spin 1,5.
Und da gibt es nur zwei Möglichkeiten, das zu kombinieren.
Nämlich entweder ich habe sozusagen Spin-Up kombiniert mit M-minus 1,5 oder Spin-Down mit M-Plus eineinhalb.
Beide Male ist dann die Quantenzahl für die Z-Komponente des gesamten
Impulses ist M, weil sich die beiden einfach addieren.
Und in diesem Fall kann ich insgesamt J für den
gesamten Impuls entweder EDP Plus 1,5 bekommen oder L minus
Und ich kriege dann die beiden Proeffizienten. Sie sehen auch,
die sind bereits so konstruiert, dass das hier auf eins normiert ist.
Warum? Weil wenn ich das betrachtbart habe von dem,
so ein Betragsparat von dem addiere,
dann steht hier L plus minus eineinhalb,
plus L minus plus, sorry, L plus minus M,
plus L minus plus M, das kürzt sich,
da steht also 2L, plus zweimal innerhalb,
das ist 2L plus 1 und das kürzt genau den weg und deshalb kommt eins raus.
Das ist auch noch normiert. Vielleicht schreibe ich das mal
hier so hin, dass hier ist Nicht als Betragsquartieriere mit.
Sorry, das muss ein Plus sein natürlich. Plus,
und das assiert sich zu eins. Also das ist hier
schon so gewählt und sichergestellt, dass der Neue,
der Eigenzustand vom Gesamtdrehimpuls auf eins wieder normiert ist.
Ja, also das ist ein Eigenzustand
Von J hat's Quadrat, also dem Gesamtdrehimpuls, ja.
Während diese beiden Teilzustände sind keine Eigenzustände von J-Quadrat.
Das ist wieder ein Spezialfall dieser Klepschgorden-Geschichte. Wenn wir nochmal zurückgehen zur
allgemeinen Form dieser Grebsch-Gorden-Entwicklung, dann sehen Sie hier halt,
da haben Sie halt in dem Fall nur zwei Therme,
weil einer der Spins, einer der Drehimpulszustände ist ein Spin,
eineinhalb.
Und deshalb kann M nur über zwei Werte laufen.
Und das sind halt
gerade diese beiden Therme hier
Wenn sie das hier mit, wenn sie einen Wandre-Impuls mit Spin 1 kombinieren würden,
dann hätten sie hier drei Therme, weil ich bin 1,
kann drei verschiedene Zustände annehmen, also drei verschiedene Projektionen auf die Z-Achse.
Okay, also da ist so viel dazu. Wie gesagt,
ich werde diese Formel nicht ableiten oder beweisen,
dass es nur, um es einmal zu sehen,
das ist relevant, wenn man es in Bahnkopplung machen,
das wissen sie jetzt auch noch nicht, was das ist,
aber darauf kommen wir jetzt als nächstes,
wenn wir das Spin-Bahn-Kopplung, hatte ich schon mal erwähnt,
das ist sozusagen eine Korrektur, eine relativistische Korrektur,
dem nicht-relativistischen Wasserstoffatom.
Und in einem etwas breiteren Kontext kommen wir jetzt zu dem Thema,
nämlich Störungstheorie. Das ist auch ein ganz wichtiges Kapitel noch.
Und zwar gibt es da zwei verschiedene Versionen.
Entweder wir interessieren uns für Eigenzustände des Hamiltoniens.
Das heißt, wir versuchen stationäre Zustände zu bestimmen.
Dann verwendet man die sogenannte stationäre Störungstheorie
Oder man interessiert sich für dynamische Fragen, wie zum Beispiel
Übergänge zwischen zwei Atomniveaus und am Einfluss von der äußeren Störung.
Das ist dann ein dynamisches Problem, weil ich mich dann
nicht mehr in einem Energieeigenzustand befinde, sondern Übergänge studiere.
Das wäre dann die zeitabhängige Störungstheorie, die wären wir dann im Anschluss diskutieren.
Aber zunächst mal die stationäre Störungstheorie. Wozu braucht man das eigentlich? Naja,
das Problem ist, im Allgemeinen hat man einen Hamilton-Operator,
Und natürlich, wenn man stationäre Zustände bestimmen will,
dann muss man irgendwie Eigenzustände von diesem Haar finden.
Oft geht es aber analytisch nicht. Es gibt keine geschlossene Lösung für
viele Probleme. Wir haben Beispiele für exakt lösbare Probleme,
jetzt mindestens zwei diskutiert. Einmal den harmonischen Ostselator,
den kann man exakt lösen. Und das zweite war,
das Wasserstoffatom in nicht-relativistischer Ernährung. Da haben wir die Eigenfunktionen
alle exakt gelöst. Aber im Allgemeinen ist das Leben nicht
so einfach. Und häufig kann man das nicht. Und was man dann machen kann,
ist, Dass man sagt,
man zerlegt den Hamiltonien in geschickter Weise in einen Teil,
von dem ich analytische Lösungen bestimmen kann und einen anderen Teil,
der sozusagen dann so eine Art,
der da möglichst klein sein soll, in einem bestimmten Sinne,
der dann eine Störung darstellt.
Also dann wäre sozusagen der Teil,
der wäre exakt lösbar, also analytisch lösbar.
Und das wäre so
eine Art Störung
Und so ähnlich, wie man das in der Taylor-Entwicklung macht,
würde man dann irgendwie versuchen, nach dieser Störung zu entwickeln.
Das heißt, etwas, genau,
und häufiger häufig macht man das dann so,
dass man hier noch ein Parameter-Landa davor setzt.
Das ist eine Zahl. Und man entwickelt sozusagen dann in
Lander für Lamda sehr klein gegen eins. Und um das
jetzt etwas formaler hinzuschreiben, Also ich nehme ja an,
dass ich sozusagen dieses erste Problem mit dem H0 exakt lösen kann,
das heisst es, ich kann Eigenfunktionen von H0 finden,
die nenne ich dann N0, ja,
das sind irgendwelche Zuspende, die durch eine Quantenzahl,
die ich jetzt hier schematisch mit N0 bezeichne,
charakterisiert sind.
Und natürlich haben die dann auch einen Bekannten Eigenwert, den nenne ich EN0.
Also Beispiel, wie gesagt, harmonischer Ostilator oder Wasserstoffatom, nicht relativistisch erfallen.
Genau, und was wir aber eigentlich wollen ist,
oder was wir eigentlich suchen, sind Eigenwerte zum Gesamthermilton hin.
Also sind Eigenwerte und Eigenmunktionen. Und die nenne ich dann
halt immer jeweils EN ohne das Null. Und zugehörige Eigenfunktionen,
oder Eigenzustände, N. Von Haar. Das heißt,
was ich suche, ist folgendes, ich suche ein N des Haar,
von dem Haar ein dass das ein Eigenzustand von H ist.
Und natürlich kann ich jetzt das H einsetzen, das ist H0 plus Lander H1.
Und wenn das auf End wirkt, dann soll halt EN mal enger rauskommen.
Genau. Und wir wollen jetzt irgendwie versuchen,
das heißt, keine Störung zu betrachten. Das heißt,
ich nehme an, dass dieser Störterm sehr kleines,
also Lamm, das erklären gegen eins.
Und dann versuchen, eine Ernährungsformel abzuleiten für EN und für
diese Zustände ausgedrückt durch diese ungestörten Eigenwerte und Zustände mit dem
Nuller dran
Dazu wählen wir zweckmäßigerweise die Normierung folgendermaßen.
Also um die Formeln sozusagen ein bisschen einfacher zu machen,
ich normiere ein N-0 oder alle N-0,
also alle diese Eigenzustände zum ungestörten Hämetonnen, normiere ich auf eins.
Und zusätzlich wähle ich, dass die Projektionen von dem neuen Zustand auf den alten auch eins ist.
Solange, das kann ich immer machen, solange,
also natürlich, wenn Wenn überhaupt keine Störung da ist,
also wenn ich ein Lamm da gleich null setze, dann ist er endgleich ein Null.
Und dann ist diese Bedingung identisch mit der her.
Das ist nichts Neues. Aber was man sich vorstellen muss,
ist, dass wenn ich eine kleine Störung anschalte,
dann mischt dieser neue Eigentzustand,
also der wird dann sozusagen größtenteils aus dem alten N-0 bestehen,
aber mit kleinen Beimischungen von anderen Eigenzuständen,
von dem alten H0. Das heißt,
es wird irgendwie so was sein.
Ich schreibe das mal hier schematisch an. N wird es irgendwie ein Null plus irgendwas,
was Ordnung Lamm da ist und dann irgendwelche Koeffizienten,
ich nenne die mal Lamm, ich nenne die mal CM oder CM,
ja, mal M0. Irgendwie sowas wird es sein.
Und solange dieser neue Zustand, also wenn der sozusagen aus
einem signifikanten Anteil, aus dem alten Zustand besteht,
ist sein Skalarprodukt mit N0 sicherlich nicht null.
Und ich kann dann die Normierung,
weil die Normierung von N kann ich ja frei wählen,
kann ich immer so einstellen, dass diese Projektion auch eins ist.
Warum ich das mache, ich wäre gleich ersichtlich,
weil einfach, ich wäre sozusagen Skalarprodukte von dieser Gleichung
bilden und dann würden wir häufig solche Therme erhalten
Dass es ein Wein war, wenn ich die einfach einsetzen kann,
damit ich die nicht immer mitschleppen muss.
Ansonsten muss ich das immer mitschleppen, diesen Ausdruck.
Okay, also jetzt setze ich formal diese Entwicklung hier ein.
Also ich setze jetzt folgenden Ansatz ein. N soll gleich sein,
N 0, plus eben, wie ich gerade gesagt habe,
eine Beimischung von M Ungleich-Endzuständen.
Und da wäre jetzt, das kann ich formal schreiben,
das M0 projiziert auf
Mal M0. Ja, das kann ich ja immer schreiben.
Also warum kann ich noch mal zur,
vielleicht zur Erklärung, warum kann ich das überhaupt ansetzen?
Naja, wir wissen, dass die Eigenzustände von H0 den Hilbertraum komplett aufspannen.
Das heißt, ich kann jedem beliebigen zustand nach diesen Eigenzuständen entwickeln.
Und deshalb kann ich das hier so ansetzen. Okay,
jetzt muss ich vielleicht diese ersten Schritte,
will ich jetzt im Detail erklären, weil die wichtig sind.
Ich nenne jetzt mal Ich sollte den beiden Gleichungen vielleicht,
oder ich sollte in dieser Gleichung einen Namen geben,
nämlich diese hier, die ist jetzt wichtig.
Die nenne ich ihm jetzt mal Stern. Und ich multipliziere
die jetzt von links mit diesem Bratzustand N0. Also multiplikation von Stern,
mit N0. Und Anwendung, von,
ich nenne das jetzt hier mal zwei Sternen, ergibt.
Und das kann man jetzt vielleicht mal langsam ausführen, was das ergibt.
Also wenn ich jetzt das von links mit,
scheinbar das erst mal ausführlich hin, wenn ich das hier,
also diese Gleichung von links mit N0 multipliziert, dann kommt Folgendes raus.
Ist gleich, und dann haben wir hier N0,
H0, N plus Landa, N0,
H1,
Ist gleich EN, N0N. Ja, das kriegen wir,
wenn wir einfach hier von links N0,
also ventualen Eigenzustand N0 ran multiplizieren.
Jetzt sehen Sie schon, das vereinfacht sich schon wegen dieser Bedingung hier,
das kann ich jetzt nämlich gleich schon mal weglassen.
Und hier kann ich auch nochmal vereinfachen, denn ich weiß ja,
dass N0 ein Eigenzustand von H0 ist, zum Eigenwert
EN0. Das heißt, es wird einfach nur EN0 im Wesentlichen.
Und das kann ich auch vereinfachen, weil ich weiß per Konstruktion,
dass N einen Eigenzustand zu haar ist, zum Eigenwert GDN.
Also setze ich das jetzt hier mal ein.
Also dann steht er auf der linken Seite,
steht zunächst mal EN und dann steht hier noch N-0 mal N.
Schreibt es jetzt ruhig mal ganz ausführlich aus.
Auf der rechten Seite steht eben EN-0 mal Skalaprodukt von
N-0 mit
Und dann haben wir hier ein Plus Lamda, Skalabprodukt N0 H1 N.
Und auf der rechten Seite haben wir, ja,
das kann ich abschreiben. Und jetzt, der Witz ist halt,
mit dieser Wahl kann ich jetzt diese ganzen,
also diese Dinger, die kann ich herauskürzen,
weil ich die Wahl so getreffen habe, getroffen habe,
dass das eins ist.
Das heißt, dann folgt,
dass EN gleich ist,
EN 0 plus Lamda N0
N. Genau, das ist schon alles, ja.
Ich sehe gerade, das hätte ich gar nicht mehr hinschreiben,
das steht jetzt doppelt dran aus irgendeinem Grund,
das brauche ich ja nicht mehr, ja.
So, jetzt muss man hier sich diese Geige mal genauer anschauen,
was bedeutet das. Zunächst sieht es so aus,
als hätten wir jetzt sozusagen schon die Lösung für den neuen Energieeigenwert.
Stimmt aber natürlich nicht ganz,
weil hier auf der rechten Seite steht ja der neue Zustand Ende,
den ich gar nicht kenne
Ja. Das heißt, in gewisser Hinsicht ist das
keine explizite Kleidung für EN, sondern eine implizite Gleichung,
die hängt jetzt von dem neuen Zustand ab.
Aber sie werden wahrscheinlich schon ahnen, worauf es rausläuft.
Ich kann das iterieren und kann sagen, ja,
zur ersten, also wenn ich sozusagen die Änderung in dem
Energieeigenwert nur zur ersten Ordnung in Lamda bestimmen will,
dann kann ich hier einfach N durch N0 ersetzen.
Denn N weicht ja von N0 ab,
bereits durch die Störung, die proportional zu Lamda ist.
Und dann wird es ein geschlossener Ausdruck,
das ist nämlich einfach das Matrix-Element von H1 im Zustand N0.
Und dann habe ich eine Abschätzung erster Ordnung für den neuen Energieeigenwert-EN.
Man kann ihn aber sogar iterieren, aber um das zu iterieren,
brauche ich jetzt auch noch einen Ausdruck für N, für den Zustand innen.
Und den wollen wir uns auch ableiten. Und das kann man
auf andere Art und Weise machen, und zwar auf folgendermaßen.
Multiplikation Stern mit M0 Ungleich N0. Er gibt, ups. Folgendes,
nämlich, okay, jetzt müssen wir es doch nochmal anschauen.
Das hier multipliziere ich jetzt von links mit M0.
Und was kommt dann hier raus? Dann haben wir hier,
das geht jetzt so ähnlich wie vorhin,
dann steht hier sowas wie EN minus die M0,
multipliziert mit M0 projiziert auf N, ist gleich Landa,
M0, H1 N.
Schauen wir mal bestimmt. Also ich habe sozusagen das von
links mit M0 montifiziert. Ich kann weder verwenden,
dass es einen Eigenzustand von HS, zum einen Wert EN
, deshalb steht das hier.
Und auf der rechten Seite haben wir H0 von links multipliziert mit M0,
es gibt aber einfach EN 0 und weil ich das hier rübergebracht habe,
steht Minus zeigen und was überbleibt es wiederum nur für
das Galaprodukt von M0 mit
Und was dann überbleibt, ist der letzte Tern hier.
Und der ist sozusagen Lander, mal M0H1N. Also das ist diese Gleichung hier.
Und warum ist es jetzt, wozu brauchen wir das jetzt?
Weil ich jetzt gewissermaßen, dass wir da einsetzen kann.
Und zwar... Genau. Also ich löse das jetzt für dieses 0N auf. Ja,
ich kann einfach sozusagen durch diese Energiedifferenz dividieren und setze,
dass hier, nein, ja,
hier steht ja genau diese Kombination M0N. Ich setze den Ausdruck dafür ein.
Und was folgt daraus? Dann folgt,
dass N gleich ist, N 0, plus Lamda.
Und dann steht hier M ungleich Endsumme über M und gleich N.
Und dann habe ich hier halt dieses Matrix-Element M0 H1 N muss ich dividieren durch E-N-E-M 0. Jetzt,
wenn sie diese, also das sind sozusagen die beiden Hauptergebnisse,
ich nenne die mal A und B,
aber sie sehen auch dieser Ausdruck hier,
ist implizit in Ende, denn dieser neue Zustand,
der steht ja auch rechts noch mit drin.
Aber die Idee ist jetzt, dass ich sozusagen diese Ausdrücke iterieren kann.
Das heißt, ich kann, was ich machen kann,
ist, ich setze zum Beispiel in A,
setze ich die neue Gleichung in En wieder ein und so
weiter,
um den B ebenfalls
Und dann kriegen sie im Prinzip immer höhere Thermen,
die immer höhere Potenzen von Lamda enthalten.
Und dann kriegen sie eine Störungsreihe. Also iteratives Einsetzen.
Von N, in Gleichung A und B.
Er gibt eine Störungsreihe.
Eine Störungsentwicklung sozusagen
Und die hat auch einen Namen, die heißt Brillioir Widner-Reihe.
Und im Prinzip ist das die Vorgehensweise, wenn man Störungstheorie macht.
Wenn man jetzt bei einer bestimmten Ordnung Lamda hoch Lamda hoch N oder
so abbrechen will, dann würde man einfach in der entstehenden Reihenentwicklung
Da steht er rechts immer wieder eng,
der neue Zustand und den würde ich einfach mit N0 ersetzen,
dann breche ich die Reihe ab.
Also insbesondere muss ich gleich sagen, in der Praxis werden wir
eigentlich nur die erste Ordnung benötigen, zumindest in dieser Vorlesung.
Das heißt, in dem Fall brauchen sie eigentlich gar nichts iterieren.
Sie können einfach in der Gleichung A und B das N durch N0 ersetzen.
Und dann haben sie die Ausdrücke erster Ordnung. Aber im Prinzip
kann man eben höher gehen, indem man das iteriert.
Also Abbruch, dieser Reihen, Bei einer bestimmten Ordnung,
Lamda Hochkar, ich nenne es mal Ka,
damit man es nicht mit dem N verwechseln kann,
durch Sätzen von oder Substituieren von endlich N0 auf der rechten Seite dieser Reihen.
Genau, und wenn man das jetzt macht, ich hebe jetzt,
ich mache Ich mache das jetzt bis zur zweiten Ordnung,
allerdings, also die erste Ordnung, die kann man sofort ablesen,
wie ich schon gesagt habe, den ich ja eng gleich in Null setze.
Die zweite Ordnung ist nicht so ganz trivial,
wenn wir schon einmal einsetzen muss, dann haben wir hier eine Doppelsumme,
die leite ich jetzt nicht im Detail ab,
sondern schreibe nur das Resultat hin, das kann man aber sofort,
das ist immer noch relativ einfach.
Und das Resultat zur zweiten Ordnung lautet dann,
oder bis zur zweiten Ordnung, Also N wäre ein Null.
Plus Lamda und dann kommt jetzt schon diese Summe über M.
Ungleich N. Dann kommt hier das Kalarprodukt von M.0. H1 N.0,
die sie dir jetzt durch EN-EM 0.
Das wäre sozusagen der TM-Erstordnung
Und der Thermen zweiter Ordnung, den schreibe ich auch noch hin,
das ist Lamda Quadrat und dann wie,
wie ich schon gesagt habe, ist das dann eine Doppelsumme hier.
Also das wäre dann zwei Indizes, J und M,
die jeweils ungleich eng sein müssen. Und dann haben wir hier zwei,
also das Produkt von zwei Skala, von zwei Projektionen von H1,
H1 steht hier N0 und hier steht J0, H1,
jetzt wird auf M0, Und dementsprechend habe ich im Lenner auch zwei Energierifferenzen.
Das ist dann EEM-EM-0 mal EN-J0. Ja,
und hier steht ja jetzt der Zustand J.0 steht hier.
Ja, das wäre bis zur zweiten Ordnung.
Genauso ähnlich kriegt man den Energieeigenwert zur zweiten Ordnung.
Das ist dann natürlich EN-0. Die erste Korrektur ist Lander,
mal N-0 projiziert,
also A1 gesandwich dazwischen
Plus Lande, Quadrat. Eine Summe über M ungleich N.
Und dann steht hier das Absolut Betragsquadrat von M0H1 M.
N0 soll. Dividiert durch die Energiedifferenz EN-EM 0. Jetzt sehen
Sie auch eine Sache, die man hier sieht.
Hier steht eigentlich immer noch das EN drin.
Also sozusagen dieser neue Energieeigenwert
Den wir eigentlich noch nicht kennt. Häufig setzt man den
einfach hier in dieser Formel dann gleich EN-0. Der Grund ist,
wenn man eh nur zur ersten Ordnung gehen will, dann ist das okay.
Weil wenn ich hier eine Korrektur für EN anbringe,
dann werde ich ja schon zweite Ordnung in Lamda.
Also für unsere Zwecke und für höhere Ordnungen will ich das
jetzt gar nicht weiter ausführen,
aber für unsere Zwecke ist es dann ausreichend,
dass wir diese Lamda-Godrat haben wir vergessen und hier einfach EN-0 setzen.
Also zur ersten Ordnung
Das fehlt da? Ach so, ja, okay.
Und zwar müsste es Wasser sein, vielleicht können sie mir gleich sagen.
Ja, es muss M0 sein, ja,
weil das ist ja der Zustand, über den ich summiere.
Okay, ja, das ist eigentlich,
das geht eigentlich relativ schmerzlos, wie gesagt,
also diese Ausdrücke, Die sind übrigens so wichtig,
dass man die sogar auswendig wissen sollte, weil man die häufig anwenden kann.
Wir werden sie auch nachher auf spezielle Beispiele anwenden.
Also diese Ausdrücke, Ersterordnung. Jetzt will ich aber noch
auf eine mögliche Komplikation hinweisen. Und zwar, ich habe
jetzt hier nicht gesprochen über die Möglichkeit, dass die ungestörten Zustände entartet sind.
Das heißt, dass es zu einem Energieeigenwert mehrere Zustände gibt. Und wenn sie da genau auf die Firma starren,
dann sehen sie, dass es ein Problem gibt,
weil hier muss ich zwar über M,
also ich kriege hier kein Problem, ich kriege hier kein,
wenn die Zustände nicht entartet sind,
also es gibt für jeden Energieeigenwert nur einen Zustand,
dann ist alles okay,
weil hier steht in der Summe M um gleich N und das kann damit nie,
hier können niemals die gleichen Indizes auftauchen und wenn die nicht entartet sind,
dann sind Energien auch alle verschieden.
Das heißt, hier wird nie null stehen. Was passiert aber,
wenn ich jetzt einen Energieeigenwert habe, der entartet ist,
sprich, es gibt mehrere Unterzustände, mit derselben Energie,
dann kann es passieren, dass hier mal null steht.
Weil ich muss ja M über alle anderen Zustände ungleich eng laufen lassen.
Da könnte aber einer dabei sein mit genau der gleichen Energie,
weil der eben entartet ist.
Und dann würde hier null stehen. Und dann ist es nicht definiert.
Was mache ich in dem Fall? Und da gibt es,
da muss man dann sozusagen einen Zwischenschritt noch machen.
Man muss dann in diesem Unterraum der entarteten Zustände zu einem Energieeigenwert,
muss man das H1 diagonalisieren, sodass sozusagen Dieser Therm
nur ungleich null sein kann, wenn die gleichen Zustände darauf treffen.
Denn dann ist es so,
dass wenn ich hier sozusagen einen Therm habe mit M. Ungleich N,
dann wäre dieser, der Zähler wird dann sozusagen null,
weil das diagonal wird.
Und dann habe ich das Problem wieder vermieden. Das heißt,
in dem Fall muss ich diesen Zwischenschritt machen und den will
ich noch ganz kurz erläutern.
Also falls Eigenwerte EN-0, teilweise entartet sind.
Ups. Muss man zunächst... Eine Basis im Raum dieser
entarteten Zustände finden, ich nenne es mal dann,
Nö. Hier habe ich es Alpha genannt. Im Gegensatz
zur NI. Also das wären dann Linearkombinationen von NE.
Muss man zunächst eine Basis in Alpha 0 finden,
in der H1 diagonal ist. Das heißt also,
in dieser Basis hätten wir dann N-Alpha 0,
H1 N-Better 0,
wäre proportional zu Chroniker Alpha
am Wetter
Und hat dann einen Eigenwert H1 Alpha. Also,
dass das möglich ist, sollte relativ offensichtlich sein,
weil H1, also H0 sind hermittisch und damit auch H1
und hermittische Madritzen kann man immer diagonalisieren.
Ich führe es aber trotzdem mal ein bisschen genauer aus.
Also, wir befinden uns jetzt sozusagen in einem Unterraum von
Zuständen zu einem gegebenen Energieeigenwert, EN-0.
Also, das ist im Allgemeinen ein endlicher Hilfertraum,
das sind ein paar Vektoren,
sozusagen ein paar Zustände
Sodass das normalerweise eine endliche Matrix ist und die kann man halt als AG Preis
dann diagonalisieren. Das ist übrigens nicht akademisch das Thema,
weil sie kennen solche Felder, das Wasserstoffattom ist hochentartet,
weil da die Energiezustände von dem Ungestörten, nicht relativistischen Emethonien,
die hängen nur von einer Quantensaal ab,
statt von den Dreien, die es insgesamt gibt,
nämlich von der Hauptquantenzahl N,
aber nicht vom gesamten Impuls L und auch nicht von der Projektion des Drehimpulses auf die Z-Achse.
Das heißt, da haben wir so einen in der Artenfall.
Und tatsächlich, wenn man Korrekturen dazu berechnet, dann kann das sozusagen ein Issue werden.
Also dann kann man auf diesen Fall tatsächlich treffen. Glücklicherweise,
das werden wir nachher dann auch im Anwendungsbeispiel sehen,
sind diese Zustände vom ungestörten Wasserstoffatom in niedrigster Ordnung,
die sind bezüglich der Störung schon diagonal, sodass man gar nichts mehr machen muss.
Also das ist ein Spezialfall. Aber wenn das nicht so ist,
dann muss man sowas erst mal finden und wie kann man das ansetzen?
Also ich schreibe das nochmal hier hin, im Unterraum der Zustände,
zu gegebenen Energie, Eigenwert, wie N0, kann man jetzt eben,
also ich bezeichne die ursprünglichen Zustände als NI0 und ich will ihm die Basis rotieren.
Ich schreibe ein Alpha 0,
ist gleich eine Summe von I, gleich 1,
ich nenne es mal N, das ist sozusagen der Entartungsgrad,
dass die Anzahl der Zustände zu diesem gegebenen Eigenwert,
Entartungsgrad von irgendwelchen koeffizienten CI-Alpha mal alten Zustände NI0. Und daraus folgt,
dass dieses Matrix-Element, das sich hier oben finden will,
also ich nenne es mal H1, Alpha Better,
das ist ja sozusagen die Matrix von H1 in dieser Basis.
Und wenn ich diese reine Entwicklung einsetze, dann bekomme ich halt Summe IJ,
gleich 1 bis N und dann steht hier CI,
Alpha, Stern, also H1 J, H1 J,
Sie, J, Better.
Ja, und wenn ich diese, wenn ich diesen Ansatz jetzt verwende,
schreibe das mal gleichsetzen mit der Forderung,
dass das diagonal werden muss,
also dass sozusagen H1 N. Wetter 0 gleich Haar Alpha 1,
Delta, Alpha Better ist.
Gleichsetzen mit dieser Forderung und Multiplikation mit C. K. Alpha und
Summation über Alpha. Er gibt dann Folgendes,
nämlich ein paar 1 KJ,
Jatz Pezza. Ist gleich Haarbetter 1. CK Better.
Und hier muss ich über J summieren. Und das ist
nichts anderes als eine Matrix-Gleichung. Ja, also die sozusagen für
ein gegebenes Better würden diese Koeffizienten einen Spaltenweck da aufspannen.
Und das sind dann gerade die Eigenwektoren. Und diese Kleidung besagt halt,
dass diese Eigenvektoren sozusagen, genau, also Das bedeutet,
dass C, J, Wetter für Gegebenes sind Eigenvektoren.
Der Matrix, H1, KJ, der sagt diese Gleichung aus.
Ja, weil das ist einfach, das ist eine Matrix
und ich multipliziere die mit diesem Spaltenvektor und was kommt raus,
der Eigenwert mal, der ursprüngliche Spaltenwechsel.
Und das ist halt gerade diese Forderung. Und wir wissen,
dass es dazu eine Lösung gibt, weil das eine hermitische Matrix ist.
Also mit anderen Worten, ich habe es nochmal so hingeschrieben,
dass man auch in Matrix-Form sieht, dass das tatsächlich diagonalisierbar ist.
Und die Eigenwerte, wenn man so unendlich dimensionales Problem hat,
die werden dann dadurch bestimmt,
dass sich die determinante von dieser Matrix-Lamm da mal die Einheit Matrix null setze.
Also die Eigenwerte, diese H1-Better werden durch die Bedingungen
Die Terminante von H1 KJ-H-Better 1 Delta KJ gleich null.
Bestimmt. Und wie gesagt,
ich erwähne das hier nur in der Vollständigkeit halber,
weil in dem einen Fall, wo wir die Störungstheorie tatsächlich anwenden werden,
da ist das H1 schon schon von Haus aus diagonal in den Eigenzuständen des Wasserstoffalbums.
Das heißt, diesen Schritt müssen wir hier gar nicht machen.
Aber im allgemeinen Fall kann das passieren. Und wie gesagt,
wenn jetzt nochmal, wenn ich das diagonal kriege,
dann sind natürlich solche Ausdrücke, wo M ungleich endet,
sind immer automatisch null.
Und damit tritt das Problem nicht auf, weil dann im Zähler
auch null steht. Also das ist sozusagen den Schritt,
den man dann dorthin zusätzlich machen muss. Okay,
genau, bevor ich jetzt zu einem konkreten Beispiel komme,
Noch eine weitere oder noch ein weiterer Aspekt der Störungstheorie.
Also das ist ein weit verbreitetes Problem, dass man
irgendwelche Hemetoniens hat, die man nicht exakt lösen kann.
Und da gibt es die verschiedensten Methoden aus numerischer Methoden.
Ich habe zum Beispiel letztes Semester die Vorlesung Computational Ephysics,
da haben wir uns im Detail damit auseinandergesetzt.
Und eines dieser Prinzipien möchte ich noch mal erwähnen,
und das ist das sogenannte ritzische Variationsprinzip,
das ist also eigentlich nicht Störungstheorien in dem Sinne,
sondern diesen Variationsprinzip
Und das ist auch eigentlich nur anwendbar auf den Fall,
wo man den Grundzustand sucht.
Zum Annähern von Grundzuständen. Und die Idee ist sehr einfach
. Deshalb kann ich dir jetzt hier in ein oder zwei
Zeilen hinschreiben
Angenommen, wir haben einen Ort und Normalbad, eine Orts- und Normalbasis. N,
das müssen aber keine Eigenzustände von meinem Hämmeltonien sein,
das kann irgendeine Ort und Normalbasis sein, dann gilt ja,
dann kann ich ja immer jeden sozusagen für jeden beliebigen Zustand,
sie gilt folgendes, dass der Erwartungswert von H im Zustand sieht,
den kann ich natürlich,
da kann ich jetzt sozusagen eine vollständige Ach so,
ja, jetzt habe ich, genau, jetzt habe ich,
jetzt nehme ich tatsächlich den Spezialfall,
dass N die Basis der Eigenzustände von H ist.
Und wenn ich das so mache, dann kann ich natürlich das schreiben,
das ist einfach die Summe über diese Eigenzustände, mal die Eigenwerte.
Und dann steht hier sozusagen die Wahrscheinlichkeit,
dass in dem Zustand Psy der Zustand N realisiert ist,
also eigentlich das Betragsquadrat von dem Skalarprodukt.
Und der Witz ist jetzt der,
wenn man das so anschreibt, wenn ich den Grundzustand suche,
Dann ist EEN natürlich immer per Definition größer gleich,
dem niedrigsten Energieeigenwärts, den ich mit E0 bezeichne.
Und dann steht hier natürlich sozusagen nur noch dieses Galaprodukt hier.
Und per Definition summiert sich das zu eins oder eigentlich zu der Norm von PC.
Also steht hier eh null mal PC, PC, ja.
Und das ist jetzt der zentrale Punkt von diesem Variationsprinzip.
Ich kann das umschreiben,
in eine Ungleichung für
Also daraus folgt sozusagen, dass E0 immer kleiner gleich ist,
den Erwartungswert von dem Hermetonien in jedem x-beliebigen Zustand Psy dividiert durch die quadrierte Norm von Psy. Ja, das gilt immer. Und die Idee beim,
also wenn sie natürlich den Grundzustand schon kennen,
dann gilt hier das Gleichheitszeichen, ja,
weil dann ist H mal Psynul ist dann schon E0 und dann kommt,
dann ist hier Gleichheit gewährleistet,
aber im Allgemeinen kennen sie den Grundzustand halt nicht,
Aber sie können, und das ist jetzt die Idee beim Ritschen Variationsprinzip,
sie können sich zum Beispiel auf einen, meinetwegen,
endlichen Teil der Raum des Hilberts Raum beschränken,
des Psy liegt dann in dem Teilraum,
sie machen eine reine Entwicklung in Basiszuständen und versuchen dann,
die rechte Seite zu minimieren und dadurch nähern sie sich sozusagen an diesem Grundzustand an.
Also ich kann gewissermaßen dann
Testfunktionen einführen
Testfunktionen, die von einem oder mehreren Parametern abhängen,
ich nenne es mal hier Müll, also Psyphan Müll,
wobei Mühe jetzt auch für mehrere Parameter stehen kann.
Und dann kann ich, dann gilt diese Ungleichung natürlich noch immer,
aber der Witz ist jetzt der,
dass ich die rechte Seite minimieren kann über Mühe.
Das heißt, ich kann jetzt hier einsetzen, vorausgesetzt,
ich kann diese Skalarprodukte hier berechnen, explizit,
dann kann ich diesen Ausdruck bilden.
Und wenn ich den analytisch ausrechnen kann,
kann ich auch das Minimum im Allgemeinen davon berechnen.
Und das wird dann bei einem bestimmten Müh bei einem bestimmten Wert für Mühe minimiert.
Und dazu, also das wäre sozusagen Minimum realisiert,
bei einem Müh gleich Müh-Null. Und dann wäre sozusagen die Idee,
dass das Grundzustand wird dann abproximiert, Durch dieses Psyphan 00.
Das ist die Idee dabei. Und natürlich,
man kann sich jetzt schon denken, dass das auch zu numerischen Methoden führen wird,
weil häufig kann man dann zum Beispiel dieses Galaprodukt in numerisch ausrechnen und numerische Methoden verwenden, um solche minimal zu bestimmen.
Wir haben das auch mal gemacht in so einem Zusammenhang. Genau,
also insbesondere kann man auch noch zeigen,
wenn man gewissermaßen Wenn das Pie gleich einem Energieeigenzustand eng ist,
plus einem anderen Zustand, der orthogonal dazu liegt,
dann folgt zum Beispiel schon mal, dass dieser Erwartungswert,
sie ha, sie dividiert durch Normquadrat von Psie,
ist dann der Eigenwert-EN plus ein Ausdruck der quadratisch in Mühe ist.
Das liegt daran, dass lineare Therme, wo sozusagen hier nur eins,
das Mühle einmal auftritt, diese Null, weil ich angenommen habe,
dass die keine Projektion auf diesen Energieeigenzustand haben.
Und dann ist das sozusagen von der Ordnung Mühlquadrat.
Und damit hat es dann gewissermaßen vermüglich null ein Minimum.
So kann man das aussehen. Aber natürlich wird man nicht immer
diese Eigenfunktion kennen von vornherein und dann entsprechend müheorthogonal dazu bestimmen können.
Aber wenn das so ist, dann sieht man hier schon direkt,
dass das ein Minimum entspricht in Müll,
weil die Abweigung von der Ordnung Müllquadrate ist gewissermaßen.
Gut, genau. Jetzt wollen wir, was wir da
in der Störungstheorie gelernt haben, an ein paar Beispielen anwenden.
Da komme ich jetzt heute nicht mehr sehr weit,
aber ich will zunächst mal das Beispiel angeben,
dass wir dann nächstes Mal genauer diskutieren
Die haben durchaus praktischen Wert oder praktische Anwendungen,
zwar die wollen wir uns anschauen,
die zwei wichtigsten relativistischen Korrekturen.
In ein Enlektronensystemen,
also in ein Elektronenatomen oder Ionen
Ja, also wir haben den nicht-relariistischen Fall, den haben wir ausgewählt behandelt,
da haben wir auch die Eigenfunktionen und eigene Energieeinwerte exakt bestehen.
Das waren diese Rüttbergniveaus. Und jetzt wollen wir dazu Korrekturen diskutieren,
die von relativistischen Effekten her rühren. Und der erste,
der einem da natürlich einfällt, ist,
wir haben natürlich, was wir im Endeffekt gemacht haben,
weil es wir die nicht-relativistische Ernährung betrachtet haben, ist,
dass wir, es gibt ja diese Dispersionsrelation für Elektron,
dass die Energie,
also die kinetische Energie müsste ich genau gesagt sagen,
kinetische Energie ist Wurzel aus P-Quadrat plus M-Quadrat.
Ich lasse jetzt mal die 10-0s weg,
um ein bisschen Scheibearbeit zu sparen.
Also P-Quadrat plus die Masse des Elektrons ins Quadrat.
Und wenn ich das entwickle, dann kriege ich natürlich ME,
das ist die Ruhemasse plus P-Quadrat, durch zwei ME.
Aber da hört es ja nicht auf.
Also eigentlich müsste ich ja den exakten Ausdruck verwenden.
Ich kann den aber auch Taylor entwickeln für kleine Impulse.
Und dann ist der nächst höhere Therm,
der hat dann die Form minus ein Achtel
P-Quadrat, ins Quadrat, dividiert durch Mhoch 3, MEO 3.
Und das ist jetzt im Prinzip natürlich ein Korrekturterm,
in dem wir in der nicht-relasuristischen Rechnung natürlich nicht berücksichtigt haben.
Und das ist ein zusätzlicher Termin im Hemmeltonien.
Und den kann ich jetzt gewissermaßen als eine Störung auffassen,
im Sinne von hier oben, dass ich sage, das ist hier eine Störung H1.
Und das würde dann folgende Form haben. Das H1 wäre ja,
einfach dieser Therm, den schreibe ich noch mehr ab hier
erst mal, Pegodrat, Quadrat, durch M-E-M-E-Hoch 3.
Und jetzt kann man den ein bisschen zweckmäßig umformen,
nämlich ich kann das schreiben als eins durch zwei M-E. Und jetzt,
der Punkt ist folgender, wenn Sie da genauer hinschauen,
dann ist, also wenn ich das Quadrat rausziehe hier,
dann steht ja hier im Wesen, also ich kann das so hinschreiben,
dass das wieder P-Quadrat durch M wird.
Und das ist ja die kinetische, die nicht-relativistische, genetische Energie.
Und die kann ich ausdrücken durch den Gesamt, Hämiltonien,
in nicht relativistischer Ernährung, minus die potenzielle Energie.
Und wenn sie das machen, dann erhalten sie Folgendes.
Das ist H0. Das ist das, was wir bisher im Wasserstoffatom verwendet haben.
Das ist einfach P-Quadrat durch 2M, minus E0-Quadrat durch R.
Und da muss ich jetzt, oder minus Z in 0 Quadrat durch R.
Und da muss ich jetzt die potenzielle Energie abziehen.
Das heißt, ich muss Z-E-0 Quadrat durch R addieren.
Und das Ganze dann quaddrieren. Und der Vorteil,
wenn ich das so schreibe, ist,
dass Die Eigenwerte von H0, die kenne ich ja schon.
Das heißt, im Endeffekt, was jetzt herauskommt,
ist ein zusätzlicher Tärn, der wie eins durch R geht.
Und wie wir gelernt haben, ändern sich die,
ja, und das H0 schreibe ich auch nochmal hin.
Das H0 ist natürlich P-Quadrat durch zwei ME,
minus Z-E-0-Quadrat durch R. Das heißt, wir haben jetzt im Sinne der Störungstheorie,
haben wir einen neuen Operator H, der ist die Summe von H0 plus H1.
Jetzt hier habe ich kein Lamda oder beziehungsweise entspricht diesem Tärn,
wenn ich lamm da gleich einsetze, aber die Formel für die erste Ordnung,
Energiekorrektur, die kann ich ja trotzdem verwenden.
Wo steht sie nochmal? Ja, hier, nicht diese Formel. Und dann würde jetzt hier eben stehen,
dass EN, kann ich jetzt direkt abschreiben,
hier und hier Lamm da gleich einsetzen,
dann habe ich hier EN 0 plus der Erwartungswert von diesem H1 im Zustand N0. Sodass ich jetzt,
was übrig bleibt, und das machen wir am nächsten Montag,
Von diesem Operator H0,
H1, die Erwartungswerte in den ungestörten Zuständen auszurechnen.
Die Erzahl ist einfach, weil davon ist ja ein Null schon ein Eigenzustand,
aber der Term ist nicht brivial,
weil dann brauchen wir sowas wie Erwartungswert von eins durch R-Quadrat oder sowas im Zustand N0. Das kam aber alles analytisch ausrechnen und dann kriegt man eben eine Störung erster Ordnung sozusagen. Jetzt kann man sich vielleicht denken,
Moment, wenn ich Lamm da gleich einsetze,
dann ist das ja nicht mehr klein und was passiert ist,
dann nicht, wird das dann nicht wichtig,
aber man kann sich das so vorstellen,
ich habe das Land da sozusagen jetzt in das H1,
in das H1 substituiert oder eliminiert oder verschoben, ja,
und im gewissen Sinne ist das H1 klein gegen H0 und der Sinn davon ist folgender,
weil wenn Sie das H1 anschauen, dann ist es sowas wie die kinetische Energie,
multipliziert mit P-Quadrats durch M-Quadrats, ja,
und das ist klein gegen eins, weil es nicht relazifistisch ist,
ja, also die genetische Energie ist irgendwie sowas wie Alpha,
also ein hundertstel Mal der Ruheenergie und Deshalb in dem Sinne ist H1 klein,
weil das H0 mal eins zu 100 oder sowas ist,
weil Pek-Moderator durch M-Quadrat halt 100 oder so eins durch 100 ist.
Und in dem Fall kann ich das H1 tatsächlich als
kleine Störung auffassen und dann ist das eben eine Korrektur.
Das werden wir auch sehen. Die hat tatsächlich die Ordnung Alpha,
also die Feinstrukturkonstante. Das heißt, diese Korrektur wird um
einen Faktor Alpha kleiner sein als der ungestörte Energieeigenwert.
Also Faktor 1 auf 137 oder sowas. Okay,
und die Details, die machen wir dann am nächsten Montag.
Okay, danke schön