Guten Morgen, wir machen weiter mit den Drehen,
den Drehimpuls und die Pauli-Gleichung beziehungsweise Spin und Pauli-Gleichung.
Ich habe noch einmal die Pauli-Gleichung hingeschrieben in einem allgemeinen elektromagnetischen Feld,
charakterisiert durch ein Vektorpotenzial A und ein Scalarius-Potenzial Vieh. Und der Therm,
der dem Spin entspricht, das ist dieser Therm hier,
und das ist also sozusagen die Ladung des Teilchens in Einheiten der Elementarladung,
mal diese skyromagnetische Verhältnis, das für elementares Spin,
ein halb Vermeonen, in guter Nährung 2 ist,
sodass dieses gehalbe praktisch 1 ist, bis auf Promille-Korrekturen oder so.
Das Mühe B ist das Borsche Magneton,
das habe ich auch nochmal hingeschrieben. Und diese Siegmas,
die ich in einen Weg da zusammen gefasst habe,
also diese Schreibweise Sigma Vector, bedeutet halt,
der Vector der Madrizen, Sigma X, Sigma Y,
Sigma Z, das sind die berühmten Pauli-Matrizen und die habe ich auch noch mal hingeschrieben.
Übrigens eine Randbemerkung, sie sind natürlich diese Pauli-Matrizen sind hermittisch,
also das heisst, wenn ich die hermittisch konjugiere,
dann kommt wieder
das Gleiche raus
Und man kann zeigen, dass jede hermittische, zwei Kreuz 2,
Matrix, lässt sich entwickeln, in die Pauli-Matritzen und zusätzlich noch die Einheitsmatrix.
Das heißt, wenn ich eine Herrmitte für Matrix M habe,
M gleich MDR, also zwei Kreuz 2, Matrix,
dann kann ich sozusagen dieses M schreiben als 10-0,
mal eine Einheitsmatrix plus CX, Sigma X plus,
oder jetzt sollte ich vielleicht besser die 1, 2,
3 schreibweise verwenden.
Also C1, Sigma 1 plus C2, Sigma 2 plus C3, Sigma 3.
Und das lässt sich natürlich zusammenfassen als C weckt er mal Sigma. Ja,
also das ist auch noch mal wichtig, dass diese,
das kann man, das kann man auch gebrauchen,
wenn man zweidimensionale Quantensysteme hat, Heimmeter ein Operator zum Beispiel ist immer hermittisch.
Und der muss dann sozusagen diese Form haben automatisch
In dem Zusammenhang gibt es im letzten Übungsblatt eine Aufgabe.
Ich hatte ja schon erwähnt, letztes Mal,
diese Potenziale sind ja eigentlich nicht eindeutig bestimmt, sondern die lassen sich eich transformieren.
Also schreibe ich vielleicht auch nochmal hin, Potenziale, Bar und Vieh,
nicht, also für gegebene Feldstärken, sagen wir mal,
für Gegebenes, Ehe und B fällt nicht eindeutig Bestimmt,
sondern nur bis auf bis auf eine sogenannte Eicht-Transformation.
Und diese Eicht-Transformation, die hat folgende Form.
Da sollten sie eigentlich aus der Elektrodynamik kennen, also Physik 1.
Ich kann immer sozusagen von einem A zu einem A-Strich übergehen,
das sich von A unterscheidet, durch den Gradienten,
von einer beliebigen Orts- und zeitabhängigen Skalanfunktion Lamda und gleichzeitig muss
ich dann viel Strich transformieren in Vieh minus eins durch 10-0,
mal die Ableitung von dieser Funktion nach Tee.
Also das, ich habe jetzt bei Vieh und A,
habe ich die Orts- und Zeitabhängigkeit weggelassen,
aber es sind genauso Funktionen von R&T. Ja,
sodass ich sozusagen diese Pauli-Gleichung genauso gut in den A-Strich und Viehstrich hinschreiben könnte.
Und dann stellt sich natürlich die Frage, ist es dann physikalisch Äquivalent?
Das sollte natürlich physikalisch Äquivalent sein, Das heißt,
wenn ich statt A, A-Strich anstatt viel, viel Strich verwende,
sollte die Lösung der Schrödingergleichung bis auf einen Phasenfaktor gleich sein.
Und das tut es auch und das kann man zeigen und
das wird im Zusammenhang mit diesem Übungsplatz hier gemacht.
Und da ist mir nur aufgefallen, dass es hier einen kleinen Druckfehler gibt im Hinweis. Deshalb schreibe ich dem nochmal an hier. Also der Trick,
das ist eigentlich schon der ganze Trick, ist,
dass man diese Ableitung minus Iha-Quer, Gradient,
minus E durch C0 mal A-Strich, Wirkend auf eine Wellenfunktion,
CR, CE von R, umschreiben kann,
in die entsprechende Kombination mit dem alten Vektorpotential,
also minus e durch 10-0 mal A,
und da hat bei dem Hinweis, stand sie ja auch A,
Strich, das darf aber nicht da sein,
weil sonst wäre es ja das Gleiche.
Also hier muss nur A stehen, indem ich eine
geeignete Phase wähle, die von R abhängen kann.
Also jetzt hier geht es um stationäre Zustände,
das heißt die Zeitabhängigkeit kann ich mir mal schenken hier
Und dann soll man zeigen, dass dann Folgendes gilt,
nämlich wenn ich sozusagen die Wellenfunktion mit einer ortsabhängigen Phase multipliziere.
Und ich wende diese Kombination mit dem neuen Vektorpotenzial an,
dann soll derselbe herauskommen, wie wenn ich diese Kombination mit
dem alten Vektorpotenzial auf die ursprüngliche Wellenfunktion anwende, also ohne die Phase.
Und die Phase wird dann von links drauf multipliziert.
Also da muss man darauf achten, dass das natürlich nicht kommotiert.
Also der Phasenfaktor kommotiert nicht mit diesem mit diesem Operator,
weil die Phase im Allgemeinen ortsabhängig ist, das heißt,
der Gradient wirkt auf diese Phase.
Und natürlich kommuniziert er mit A-Strich, weil das sind ja
nur Zahlen und mit A, aber nicht mit dem Gradienten.
Und der Trick besteht jetzt darin,
dass man die Phase so geeignet wählt, dass dieser Extrafaktor,
der durch den Gradienten hier erzeugt wird,
dass der gerade diesen Beitrag hier eliminiert, sodass wieder das alte Potenzial rauskommt.
Also das ist diese eine Version dieser Eichenvariante und ich denke,
das ist sehr lehrreich, das mal zu sehen,
dass man das einmal in der Form macht.
Und da kann man auch sehen,
Dinge ergleichen und tatsächlich zu äquivalenten Zuständen führt,
egal welches Potenzial ich hier nehme, also bis auf eine eichte Transformation.
Das wollte ich nochmal kurz ansprechen. Also wie gesagt,
in dem Hinweis muss hier ein A stehen,
statt ein A-Strich auf der rechten Seite.
Ja. Beim ersten EU-Kaltern war noch nie ein Verstehen.
Ja, die Phase ist ein E, ja.
Genau. Also das muss was vom Betrag eins sein
Okay, gut. Wie ich letztes Mal angekündigt hatte,
müssen wir jetzt auch über Addition von Drehimpulsen sprechen.
Bevor ich das mache, will ich aber noch einen kurzen Einschub machen.
Ein gewissermaßen eine Kuriosität. Und zwar, wir haben also
jetzt die ganze Zeit von Spin-1-Halb gesprochen. Und wenn sie sich nochmal anschauen,
wir hatten mal über Drehungen gesprochen, Also was passiert sozusagen,
wenn ich eine Drehung durchführe und da hatten wir gesagt,
dass der unitäre Operator, der eine Drehung um den Winkel Vieh entspricht,
der ist gegeben durch diesen Ausdruck hier.
Ehochi durch Haarquer, Vieh mal L. Ja,
also wir hatten damals gesagt, das hat man auch explizit gezeigt,
dass L gewissermaßen die Erzeugende dieser Drehung ist,
dieser Drehung ist.
Und wenn ich also Eho,
ich doch auch quer mal viermal L nehme,
dann entspricht es sozusagen
der Wirkung der Drehung auf eine Wellenfunktion
Jetzt haben wir aber gefunden, dass wir nehmen,
also das L, war damals der Bahndrehimpuls,
aber wir haben ja jetzt gesehen,
dass wir auch einen Spin haben, also könnte ich,
wenn ich sozusagen eine Wellenfunktion habe, eines Teichens mit intrinsischem Spin,
dann habe ich ja auch diesen Operator hier, Vieh mal S,
also wo ich jetzt den Spin einsetze und nehmen wir mal an jetzt,
die Drehung findet statt, um die Z-Achse,
sodass ich hier sozusagen Vimal EZ schreiben kann,
dann wird dieser Ausdruck ja zu eh hoch Idu durch Hakria,
Vieh mal die Z-Komponente vom Spin
Jetzt wissen wir aber, dass die Z-Komponente vom Spin halbzahlig ist.
Das heißt, wir haben zum Beispiel einen Zustand,
wenn ich das jetzt irgendwie auf einem Zustand spin-up oder sowas anwende,
dann würde hier ja einfach nur stehen,
dann kann ich hier sozusagen das SZ durch Haarquerhalbe ersetzen.
Und dann haben wir hier insgesamt, wenn ich das hier reinsubsubstituiere,
dann haben wir hier insgesamt eh hoch Vieh halbe.
Ja, weil sozusagen substituiert, SZ wirkt auf Spin-Up,
ist ja Haar quer halbe. Und das ist jetzt,
wenn Sie das überdenken, ist das kurios,
zunächst auf erste Sicht,
weil wenn ich jetzt zum Beispiel um 2P rotiere,
also Rotation,
um 2P,
er gibt den Phasenfaktor eh hoch
EP. Und das ist minus eins. Das heißt,
mit anderen Worten, wenn ich eine Spin-Eigenfunktion,
also Spin einen Halb nehme und ich rotiere um 2P,
dann kommt nicht die ursprüngliche Wellenfunktion raus,
sondern die Wellenfunktion mal minus eins.
Was sie wundern sollte, denn eine Drehung um 2P ist
die Identität. Also man wird zunächst mal naiv erwarten,
wenn ich ein Teilchen sozusagen um 2P drehe,
dann muss genau wieder das Gleiche rauskommen.
Jetzt sehen wir, aber es kommt nicht genau das Gleiche raus.
Es kommt nur bis auf den Faktor minus eins
das Gleiche raus.
Und das könnte sich zunächst mal verwirren
Aber die Auflösung der Verwirrung besteht darin, dass natürlich,
wenn ich sozusagen statt der Wellenfunktion fehe, jetzt die Wellenfunktion minus feh habe,
ist die natürlich physikalisch trotzdem noch Äquivalent zu der ursprünglichen,
weil Wellenfunktionen sind ja nur bis auf Phasenfaktoren definiert.
Und damit spielt es sozusagen keine Rolle. Aber trotzdem ist
die Wellenfunktion nicht identisch bei einer Rotation um 2P,
sondern würde erst identisch werden durch eine Rotation um 4P,
weil dann hier EOI Mal zwei stehen würde und das ist wieder eins.
Und mathematisch, ich will jetzt nicht genau darüber drüber darauf eingehen,
aber mathematisch hängt es damit zusammen, dass die Drehung,
also sozusagen die Gruppe der Drehungen,
ist nicht einfach zusammenhängend, wie man so schön sagt,
in der Mathematik, sondern ist sozusagen zweifach zusammenhängend.
Was heißt es? Wenn ich,
also man muss sich das Ganze als projektive Darstellung vorstellen,
also im Grunde genommen ist das eine projektive Darstellung, Der Erdrehungen.
Und die Drehungen bildende Gruppe, die nennt sich SO3,
das sind sozusagen die Menge aller Transformationen,
die die Norm in Variante lassen, also Drehungen einfach.
Und deren projektiven Darstellungen, das müsste jetzt nicht im Detail verstehen,
was eine projektive Darstellung ist, aber diese projektive Darstellungen,
die ist, diese Gruppe der projektiven Darstellungen,
die ist Isomorph
Zur Einheitskugel in vier Dimensionen, das nennt man S3,
bis auf ein Faktor Z2, das heißt Z2, das sind die Punkte auf entgegengesetzten Enden,
oder entgegengesetzte Punkte auf einer Kugel werden identifiziert. Und das führt jetzt dazu,
dass wenn ich zwei Drehungen miteinander multipliziere,
also ich nenne mal die Drehung 1,
das würde durch ein Gruppenelement G1 charakterisiert werden und eine weitere Drehung geht es weit durch ein Gruppenelement G2 und die Zugehörigen unitären Matrizen,
die sozusagen auf die Wellenfunktion wirken,
da würde man jetzt normalerweise denken,
Das ist sozusagen der zusammengesetzten Drehung entspricht,
also indem ich sozusagen die beiden Gruppenelemente in SO3 multipliziere und dazu die zugehörige unitäre Matrix konstruiere,
also die unitäre Matrix, das wäre dann sowas wie das hier.
Und normal würde man denken, das ist gleich, aber es ist nicht gleich,
sondern es ist nur gleich bis auf einen Faktor minus 1 hoch N.
Und wenn man das sozusagen jetzt genauer sich anschaut,
dann könnte man auf der Gruppe der Drehungen sich einen Pfad definieren.
Also G1G2 sind sozusagen Elemente aus SO3. Das sind die Drehungen. Und wenn ich jetzt einen Pfad mir anschaue,
also von der Einheitsmatrix, zuerst gehend nach Drehung G1,
also das ist jetzt im abstrakten Gruppenraum der Drehungen,
dann gehe ich nach G1 G2 und fahren dort wieder zurück zur Einheitsmatrix,
dann ist sozusagen, bekomme ich eben nicht die Einheitsmatrix,
sondern nur die Einheitsmatrix bis auf einen Faktor minus 1 hoch N.
Und deshalb heißt diese Gruppe zweifach zusammenhängt. Und das N ist dann
die sogenannte Windungszahl dieser Kurve oder des Pfades des geschlossenen Pfades.
Von 1 über G1 nach G1 G2 und zurück
Nach. Eins. Ja, also das ist wie zum Beispiel,
stellen Sie sich das vor, wenn Sie einen Todos haben,
ja, dann ist klar, was die Windungszahl ist,
wenn Sie eine geschlossene Kurve haben,
dann kann die entweder auf der Oberfläche des Todes so verlaufen,
dass ich die kontinuiere, kontinuierlich auf einen Punkt kontrahieren kann,
wenn aber die Kurve einmal geschlossen um den Todos rumläuft,
dann kann ich diese Kurve nicht kontinuierlich auf einen Punkt kontrahieren.
Das heißt, wenn die Windungszahl größer ist als null,
also 1, 2, 3 und so weiter,
dann kann ich das nicht auf null kontrahieren,
Und in dem Fall ist es so ähnlich,
nur dass es kein Todos ist, sondern eine Kugel,
eine Höhe, die müssen alle Kugel.
Und da kann man auch solche Windungszahlen definieren.
Und diese zusammengesetzte Rotation hat eben dann diesen zusätzlichen Faktor her.
Und deshalb ist das, sagt man, ist das hier zweifach zusammenhängend.
Also ich will das nur am Rande erwähnen, für diejenigen,
die vielleicht aus der Mathematik sowas schon öfter gehört haben,
das kann man sozusagen gruppentheoretisch sehr gut verstehen, woher solche Faktoren kommen.
Und ich wollte es in diesem Zusammenhang
mal erwähnen
Weil wir eben hier diese unitäre Matrix besprochen haben und weil
sich eben für Spineinhalb dieser nicht triviale Fall ergibt,
dass das bei einer kompletten Drehung um 380 Grad halt nicht eins gibt,
360 Grad soll halt nicht eins ergibt, sondern minus eins.
Und das ist genau dieser Faktor hier. Okay, gut.
Deshalb, wie gesagt, nur als Zwischenbemerkung für Leute,
die sich für solche mathematischen Feinheiten interessieren.
Jetzt kommen wir zu dem nächsten Kapitel.
Da geht es um Addition von Drehimpulsen
Also wir haben, der Fall ist deshalb von Relevanz,
weil natürlich im Allgemeinen haben wir zum Beispiel Bahndreh-Impuls und Spin
und die kombinieren sich dann zu einem Gesamtdreh-Impuls.
Und normalerweise ist es auch so, dass nur der gesamte Impuls erhalten ist,
das hängt auch wieder mit dem Nöter-Theorien zusammen.
Und System ist normal, wenn ein System rotations-in-Variante ist,
dann ist der gesamte Impuls erhalten, aber nicht notwendigerweise die Einzeltrehimpulse von einzelnen Komponenten.
Also beispielsweise Bahndreh-Impulse an Spin müssen nicht separat erhalten sein,
aber deren Summe, was dann der gesamte Impuls ist,
ist dann schon erhalten.
Also um das möglichst allgemein zu halten, Betrachten wir den Fall,
von zwei Drehen, also von zwei Quantensystemen, mit Drehimpuls.
J1 und Jahr zwei und noch zur Notation,
ich verwende meistens das J,
wenn ich von dem Gesamterehimpuls spreche, dagegen L,
verwende ich normalerweise für einen Bahndrehimpuls und S
für einen Spin
Aber J ist sozusagen allgemeiner, weil das gilt für jede
Art von Fanterieimpuls. Und dann wollen wir uns eben anschauen,
was passiert jetzt, wenn ich die beiden addiere?
Und natürlich sind es jetzt nicht einfach nur klassische Vektoren,
sondern Operatoren. Ja, das sind ja,
also wenn sie zum Beispiel Spin und Bandre Impuls kombinieren,
den Bandre Impuls, den kennen wir schon was,
dessen Operator ist, das sind irgendwelche Ableitungen, Gradienten,
also Erkreuz P im Wesentlichen,
ja.
Und es sind also,
es ist als Operatoren
zu verstehen
Natürlich genügen diese Operatoren wieder den üblichen Kombinationsrelationen, die schreibe ich vielleicht auch nochmal hin.
Also da steht dann sowas wie J-I, Y-T-J.
Also wenn man sich einzelne Komponenten davon rauspickt,
dann ist es der Kommotator von Y-I,
mit Y-T-J ist IH Quer, Äpsel an I,
Y-K, mal J-K.
Wobei ich hier wieder die Summenkonvention verwende. Das heisst,
ich zu mir in dem Fall über K,
weil dieser Index doppelt auftritt.
Also das gilt sozusagen für jede Art von Drehimpuls
Wir haben das ursprünglich nur für den Bahndrehimpuls gemacht und dann später für den Spin,
aber das, wie ich immer wieder betont habe,
ist die definierende Eigenschaft von dem Drehimpuls.
Wir haben diese Relation auch verwendet, um zum Beispiel
die möglichen Eigenwerte abzuleiten. Das war ja eine Konsequenz,
ausschließlich von diesen Kommodationsrelationen und nicht davon,
welche Art von Drehimpuls wir hier konkret haben,
ob das jetzt Bahndrehimpuls oder das Binnen ist.
Ja, also das ist immer das Zentrale,
das sind diese Kommotatorelationen und diesen Relationen
genügt halt
jeder Drehimpulsoperator
Ja, und jetzt wollen wir schauen, was dabei rauskommt.
Also wir nehmen jetzt an, dass zum Beispiel System 1
in einem Eigenzustand vom Gesamterehimpuls J1 Quadrat ist und genauso System 2,
ein Eigenzustand von J2 Quadrat.
Und wir nehmen an, das Detailsysteme unabhängig voneinander sind.
Und das bedeutet, insbesondere, dass die beiden Teilstücke,
also ich nenne es jetzt mal J1I,
Würde kommotieren mit J2J für alle I und J,
weil die voneinander unabhängig sind.
Also hier kann IJ von 1 bis 3 laufen.
Genau. Und wenn man das so haben, dann können wir natürlich,
wir haben jetzt gewissermaßen zwei Teilquantensysteme und die Wellenfunktion von dem
kombinierten System ist immer so eine Art Tänzerprodukt,
wie man das nennt, in der Mathematik von den beiden Teilräumen.
Das heißt, ich kann jetzt solche Zustände bilden,
sogenannte Produktzustände, Indem ich halt zum Beispiel J1M1 nehme,
das wäre sozusagen der Eigenzustand zum Drehimpuls J1 mit Projektion M1 auf die Z-Achse.
Und ich mache das Gleiche für die zweite Komponente. Und das sind,
das sind per Konstruktion, Eigenzustände von J1 Quadrat,
J1Z, Und, ja, zwei Quadrat.
Und, ja, zwei Z. Ja,
deshalb haben wir auch hier insgesamt vier Quantenzahlen drinstehen.
Und das sind gerade die Eigenwerte von diesen Operatoren. Also,
J1, also, J1 ist nicht der Eigenwert von J1 Quadrat,
aber J1 Quadrat hat den Eigenwert J1, mal J1 plus 1,
mal Hack-Quer-Quadrats, ja.
Und genauso für Jahr 2 und M1 ist der Eigenwert von
J1 Z bis auf den Faktor Hack quer wie immer.
Ja, vielleicht schreibe ich das nochmal explizit hin hier.
Also das wäre jetzt gewissermaßen J1, Quadrat,
wirkt auf diesen Zustand. Es hakt Querquadrat J1,
J1 plus 1, mal den Zustand.
Und J1,
Z wirkend auf den Produktzustand
Es ist Harquer M1. Ja, und genauso für,
wenn ich hier eine 2 stehen habe,
schreibe ich jetzt nicht mehr extra hin, das ist völlig analog natürlich.
Genau. Diese Zustände sind auch,
also sind auch Eigenzustände von J1Z plus J2Z zum Eigenwert,
ja, die kann ich einfach hadieren, ja.
Hardqueer M1 plus M2, ja, das ist trivial,
weil das sind Eigenzustände zu J1Z und Jahr 2 Sätze prat,
also natürlich auch zur Summe, ja, die Eigenwerte addieren sich einfach.
Aber, und das ist jetzt der Punkt,
das sind im Allgemeinen nicht Eigenzustände von JQuadrat.
Im Allgemeinen nicht Eigenzustände Zum Gesamtere Impuls, also zu J-Quadrat
. Und warum ist es so? Weil der Kommunator,
also weil sozusagen J-Quadrat, nicht mit J-1-Set, kommotiert.
Natürlich kommentiert, J hat das Quadrat mit J-Z,
also mit J-1-Z plus J-2-Z,
aber nicht mit der einzelnen Projektion vom System 1
auf Z. Und warum ist es so?
Das können wir uns leicht überlegen
Ich schreibe das hier vielleicht nochmal an. J Quadrat,
vielleicht schreiben wir das hier irgendwie. J,
Quadrat ist ja J, J, 1. Plus Jahr 2,
Quadrat, eigentlich sollte ich hier ein großes Jahr schreiben.
Ich schreibe jetzt plötzlich mal mein kleines,
aber so wie ich sie ja oben gemacht habe,
also groß, so sollte ich schreiben. Ja,
und wenn ich das jetzt ausmultipliziert, dann bekomme ich J,
1, Quadrat plus Jahr 2 Quadrat plus 2 J, 1 mal Jahr 2.
Und wenn ich das jetzt kommotiere, Dann,
vielleicht schreibe ich das mal ein bisschen im Detail hin,
damit es ganz klar wird.
Also wenn ich das jetzt hier einsetze, ja,
dann steht ja hier, J1, Quadrat,
Kommotiert mit J1Z, plus J12, Quadrat mit J1Z,
plus 2
Kommotator von J1 mal Jahr 2,
kommotiert mit
Ja, die ersten Therme, die sind null.
Warum? Weil da steht ja nur der Einser-Index und wir
wissen, dass jede Komponente vom Drehimpuls, Mediatquadrats kommotiert.
Also der ist sowieso null. Der ist daher null,
weil wir ja angenommen haben, dass die beiden Teilsysteme unabhängig sind.
Und hier stehen zwei verschiedene Initzess, also ist das auch null.
Und damit bleibt nur der dritte Therm über. Und den schreibe ich jetzt gleich mal in der, also den schreibe ich jetzt sozusagen gleich explizit mal an. Da steht ja dann sowas wie,
Dort 1, X, J2X plus J1, Y,
Y, 2, Y plus J1, Z,
Jahr 2 Zeit, kommotiert mit J1,
Z. Und wenn man das jetzt explizit kommotieren,
also natürlich kommotiert J1, Z, immer mit allem,
was ein Zweier hier stehen hat, aufgrund dieser Relation,
die sind ja unabhängig, aber sie sehen,
also J1, Z, kommotiert auch mit dem hier,
weil hier einfach nur J1, Z steht,
das kommotiert ja mit sich selbst, aber J1,
Z kommotiert natürlich nicht mit J1X und mit J1,
Y. Und da muss ich dann diese Relation einsetzen und wenn ich das mache,
dann bekomme ich folgendes, nämlich, das ist IHA quer,
das können wir jetzt explizit hinschreiben.
Also, wenn Sie diese Relation anwenden, J1X kommotiert mit J1Z,
dann bekommen Sie minus IHA Quer, J1Y. Und wenn ich J1Y,
Milliard1Z kommentiere, dann kriegen Sie plus IHA Quer,
J1X, ja, und wenn ich das zusammenfasse,
dann bekomme ich IHA Quer, J1X,
das ist der, den ich gerade genannt habe,
der wird natürlich mit dem entsprechenden Jahr 2Y multipliziert und hier steht es genau andersrum,
also vertauscht mit zwischen eins und zwei.
J1, Y, mal J2X. Und das ist natürlich ungleich null. Ja,
das kürzt sich nicht weg, weil hier stehen ja die zwei verschiedenen,
also hier steht eins und hier steht zwei,
die kann man nicht einfach wegkürzen.
Und deshalb kommotiert der gesamte Impuls nicht mit der Projektion einer,
also von System eins oder das System zwei auf die Z-Achse,
nur mit der Gesamtprojektion.
Also J1, Z, plus Jahr zwei Z,
aber nicht mit den einzelnen Teilen
Und deshalb sind diese Zustände im Allgemeinen keine Eigenzustände zum Gesamtre-Impuls.
Weil das sind Zustände, Eigenzustände zu diesen einzelnen Projektionen.
Hier stehen sie, J1Z,
ein Jahr 2Z und natürlich zu J12 Quadratio 2 Quadrat.
Aber wie wir gerade gesehen haben, kommotiert J1Z und J2Z
, analog, nicht mit dem Gesamtdrehimpuls.
Und deshalb kann man nicht erwarten,
dass die hier eine Eigenfunktion zu J2Rs bilden
Okay, wir können die aber so konstruieren. Und zwar,
also, genau, das ist jetzt der nächste Schritt.
Also, wir suchen jetzt eigene Funktionen,
die schreibe ich in der folgenden Phase,
die schreibe ich folgendermaßen.
Oder eigenzustände. JM,
J1, Jahr
Und das bildet sogar einen vollständigen Satz von Operatoren. Ja,
Sie erinnern sich, ein vollständiger Satz von Operatoren, sind Operatoren,
die paarweise miteinander kommotieren und deren Eigenwerte den Eigenzustand eindeutig charakterisieren.
Und zwar sind es jetzt folgende. Das ist jetzt im J-Quadrat,
das ist der Gesamtreimpuls, JZ, also die Projektion des Gesamtintererimpuls
auf die Z-Achse und Die Einzeldrehimpulse, also die Gesamteinzeltrehimpulse.
Also um nochmal, um das nochmal zu betonen,
was ist der Unterschied zwischen diesem,
also das vielleicht um das nochmal ganz klar zu machen,
das sind Kommas hier, das ist nicht eins.
Also das ist hier J1, M1, Komma und so weiter.
Also was ist jetzt der, sorry, jetzt habe ich es schon wieder falsch.
Das sind Komma, keine eins. Also J, Komma,
Komma J1 und J2. Und hier oben ist auch kein Weg zu haben. Also,
um nochmal klarzumachen, was ist der Unterschied zwischen dem Zustand und dem,
der Unterschied ist,
dass das hier Eigenzustände von J Quadrat sind und von JZ,
während das hier Eigenzustand, Eigenzustandssende von J1Z und J2Z separat sind.
Also hier steht es ja nochmal, Und diese Zustände diagonalisieren
diese Operatoren und diese Zustände diagonalisieren diese Operatoren.
Und sie sehen, das sind nicht die gleichen.
Was ich gemacht habe, ich habe sozusagen ausgetauscht,
statt J1Z und Jahr 2 zu diagonalisieren, diagonalisiere ich jetzt J-Quadrat und JZ,
also den gesamteren Impuls und seine Komponente auf die Z-Achse.
Und das ist nicht das Gleiche aufgrund der Tatsache,
dass diese beiden Dinger nicht miteinander kommentieren.
Das heißt, was ich jetzt erwarten kann, ist,
dass diese Basiszustände sind irgendwie Linearkombination von denen hier
Ja, weil die sozusagen denselben Hilbertraum aufspannen, aber halt
andere Operatoren diagonalisieren. Und tatsächlich gibt es diese Entwicklung und
die Komponenten in dieser Entwicklung, die sind bekannt als Clapge-Gordon-Koeffizienten.
Und wir werden die nicht systematisch entwickeln,
aber zumindestens in einzelnen Teil-, Beispielen diskutieren.
Also zunächst mal noch, warum kann man das überhaupt machen?
Also nochmal, um klarzustellen, warum kommotieren diese Kommentatoren
ein paarerweise
Das ist, glaube ich, klar. Ihr habt Quadrat,
kommuniziert natürlich mit JZ, weil es ein Drehimpuls ist.
Ihr hat 1 Quadrat konnotiert, mit ihr hat 2 Quadrat,
weil die beiden teilsysteme unabhängig sind.
Aber man könnte sich jetzt noch fragen,
warum kommotiert die J1 Quadrat mit JZ Quadrat beispielsweise?
Und das liegt daran, das schreibe ich vielleicht nochmal hin.
Für den Fall, dass das jemand nicht klar ist.
Also wenn ich hier J Quadrat kommotiere mit J1 Quadrat,
warum ist das null? Naja, ich kann hier reinschreiben,
J ist ja J1 plus Jahr 2,
wenn ich das ausmultipliziere,
kriege ich
J1 Quadrat plus
Ja, 2 Quadratsplus 2, J1 mal Jahr 2,
kommotiert mit J1 Quadrat. Und sie sehen, die ersten beiden Therme,
die fallen trivialerweise weg, weil J1 Quadrat natürlich mit sich selbst kommuniziert,
aber auch mit J2 Quadrat, weil das Unabhängige Teilsysteme sind.
Und was ihr dann stehen bleibt, ist, zwei J1
mal J2 kommotiert mit J1 Quadrat. Und jetzt muss man nur wissen,
ja, zwei kommotiert natürlich mit allen Komponenten von J1,
weil wie gesagt, aufgrund dieser Relation, unabhängige Teilsysteme,
aber wir wissen auch, dass jede einzelne Komponente,
also ich schreibe das mal so hin,
dass es null da J1I, natürlich mit dem gesamteren Impuls kommotiert.
Und damit stehen hier lauter Nuller drin und deshalb kommotieren die beide miteinander.
Und J1 Quadrat kommotiert natürlich auch mit JZ,
weil JZ ist JZ1 plus JZ2 und natürlich kommotiert J1 Quadratmeter JZ1,
weil das nur eine Komponente ist und mit JZ2 sowieso,
weil es wieder unabhängige Detailsysteme sind.
Also die Operatoren sind tatsächlich ein paarweise die kommentieren ein paarweise und wie wir sehen werden,
ist, wenn ich sozusagen alle Eigenwerte eines Zustandes zu diesen vier Operatoren festlege,
dann ist der Zustand auch, bis natürlich auf den Phasenfaktor, wie immer, eindeutig bestimmt.
Okay, also jetzt geht es sozusagen darum,
das ist jetzt so ein bisschen, ist jetzt ein bisschen Notation und Rechnerei,
aber im Grunde genommen, was ich jetzt ausrechnen will,
ich schreibe das mal hier so an, man schreibt jetzt
Also das wäre jetzt sozusagen dieser neue Zustand,
Eigenzustand zum Gesamtdrehmpuls, konstruiert aus J1 und Jahr 2.
Und man schreibt es jetzt folgendermaßen, das ist eine Summe,
das ist jetzt diese Entwicklung, in diese Funktionen hier.
Und das ist eine Summe über M1, also wir wissen natürlich,
das M, das schreibe ich auch nochmal hin,
M ist M1 plus M2.
Das heißt, ich kann hier, das M ist festgelegt,
Und ich kann aber das M konstruieren aus verschiedenen Kombinationen von M1 und M2.
Das heißt, über eins von den beiden muss ich summieren.
Das andere ist dann automatisch festgelegt von dieser Gleichung.
Das heißt, ich kann hier schreiben, Summe über M1.
Und M2 ist dann natürlich automatisch festgelegt.
Es ist nämlich M-M1. Und dann habe ich diese Projektionskoeffizienten.
Also ich habe sozusagen J1, M1, J2,
M2, projiziert auf diesen neuen Zustand
J, 1,
Jahr 2. Und dann habe ich hier J1, M1,
das sind diese Produktzustände, von denen ich vorhin gesprochen habe.
Und diese Dinge, das sind diese Entwicklungskoeffizienten zwischen diesen beiden Basissätzen hier,
die nennt man halt jetzt, diese Clapt Gordon-Koeffizienten.
Da gibt es auch Tabellen dafür, die kann man sozusagen nachschauen,
wenn man sie nicht selber ausrechnen will.
Gordon heißt es mit dem A hinten
Aber im Prinzip kann man die auch ausrechnen. Jetzt,
ach so, ja, jetzt muss ich vielleicht noch
ein bisschen hier nachkarren, was das hier gibt.
Das ist dann, ja, genau.
Man kann sich jetzt zunächst mal fragen,
das ist vielleicht, das sollte ich vielleicht nochmal betonen hier
Warum stehen hier immer die gleichen J1 und Jahr 2 drin?
Es könnte ja sein, dass da vielleicht neue dazukommen.
Aber das kann man folgendermaßen sehen, dass das nicht der Fall ist.
Ich kann nämlich folgenden Trick anwenden. Nämlich, ich kann Folgendes hinschreiben. J,
ich schreibe jetzt hier mal, das ist jetzt genau,
das ist jetzt ein bisschen Scheibarbeit, JI-Strich, ja,
sorry, den Eigenwert, das schreibe ich immer dieser Form JE-Strich,
mal JE-Strich plus 1. Und dann schreibe ich jetzt folgenden Koeffizienten hin.
Ich schreibe jetzt sozusagen das Komplex konjugierte von dem hierhin. Also,
aber jetzt mit anderen Lot 1 und Jahr 2,
die nenne ich im JCO1-Strich und Jahr 2-Strich, M1,
Jahr 2-Strich M2, projiziert auf JM und J1.J2.
Was ich zeigen will ist,
Dass diese Projektion nur dann ungleich null ist,
wenn jetzt ein Strich gleich J1 und Jahr zwei Strich gleich Jahr zwei ist.
So, wie kann ich das umschreiben? Jetzt verwende ich
sozusagen hier einen kleinen Trick. Ich setze jetzt,
das ist ja der Eigenwert, von einem von JE-Quadrat sozusagen.
Also setze ich jetzt statt den koeffizienten explizit hinzuschreiben,
schreibe ich das noch mega ab,
hier jetzt einen Strich,
M1. Und dann steht hier J2,
Und stattdessen, statt jetzt den Koeffizienten hierhin,
hierhin zu schreiben, setze ich einfach J-E-Quadrat ein.
Ja, und den Rest kann ich abschreiben, J-M. Und
dann steht hier J1, J2. Warum darf ich das machen? Ja,
ihr habt eins, J-I-Quadrat ist hermitisch, das heisst,
das kann ich sozusagen nach links wirken lassen.
Und dann kommt natürlich, also, ja,
wenn ich das auf links wirken lasse, je nachdem,
ob ich eins oder zwei ist, kommt eben J einen Strich,
mal J einen Strich plus eins raus oder selber mit zwei.
Das ist genau das. Also, ich kann ich kann hier eins oder zwei sein.
Ja, ich habe den Eigenwert ausgedrückt durch den Operator.
Und weil der nach links wirken kann,
auf die Art und Weise, kann ich das so ersetzen.
Genau. Jetzt kann ich dieses Ding aber auch nach rechts wirken lassen.
Und dann kommt natürlich genau das Gleiche raus, nur jetzt ohne Strich.
Ja, weil hier schien ja jetzt sozusagen die Ungestrichenen.
Das heißt, hier steht jetzt J-I, mal J-I plus 1
und dann die ganze Schose nochmal abgeschrieben, dieses Matrix-Element.
Also J, ein Strich, M1, Jahr 2,
Strich M2, JM, J1, Jahr 2.
Und das kann nur gelten, wenn J-I-Strich gleich J-I ist,
weil sonst diese beiden Koeffizienten nicht gleich sind.
Also das ist sozusagen der Beweis dafür, dass hier tatsächlich
immer die gleiche Kombination J1 und J2 stehen muss.
Genauso kann man zeigen, dass J hat dies Jahr eigentlich
schon hingeschrieben, dass M gleich M1 plus M2 ist.
Das ist eigentlich, glaube ich, unmittelbar verständlich,
aber ich schreibe es trotzdem nochmal sicherheitshalber hin.
Ich kann also M1 plus M2 schreiben, mal dieses,
wieder dieses Matrix-Element, J1, M1, Jahr 2,
M2, projiziert auf den Zustand JM, J1, J2.
Und ich ersetze, ich habe jetzt übrigens die Hack-Queers rausgelassen,
ja, also eigentlich Spreng genommen müsste hier noch ein Hack-Querquadrat
hin und her auch, aber die habe ich jetzt weggelassen.
Das kann ich jetzt wieder ausdrücken, indem ich das JZ dazwischen sandwiche,
weil es gibt ja sozusagen den Eigenwert M1 plus M2,
ja, also wenn ich sozusagen J1 Das ist noch mal abgeschrieben.
Und dann setze ich jetzt das JZ hier ein.
Und warum gibt es das Gleiche? Ja, ich kann
das JZ nach links wirken lassen. Und erinnern sich,
JZ ist natürlich JZ1 plus JZ2. Die Summe der beiden Zeile.
Und die AZ1, auf denen gibt es halt M1 und JZ2,
auf denen geteilt M2. Und deshalb steht hier die Summe.
Ich kann aber jetzt genauso gut das JZ nach rechts
wirken lassen und per Definition gibt es mir dann ein M.
Und deshalb steht dann insgesamt M mal das Ding hier.
Aber. Jahr 2, M2, J, M,
J, 1, Jahr 2. Und daraus sieht man jetzt nochmal,
wenn man halt diese beiden Teile vergleicht, das kann nur stimmen,
wenn M gleich M1 plus M2 ist.
Okay, also wir haben sozusagen diese beiden Eigenschaften,
der Klebschgorden-Käuffizienten, die besagen,
dass dieser Koeffizient nur dann ungleich null sein kann,
wenn er auf der linken Seite die gleichen J1 und J2 stehen.
Ich kann das ja nicht hier, J1,
Strich oder Zwei-Strich setzen, die müssen dann gleich sein.
Und gleichzeitig muss gelten, dass M gleich M1 plus M2 ist.
Vielleicht schreibe ich das nochmal sauer hin. Ja, also
zunächst mal hätte man ja allgemein sowas wie J1 Strich.
M1,
J2 Strich
Projiziert auf JM, J1, J2, ungleich null,
nur falls J einen Strich gleich J1, J2 Strich,
gleich Jahr 2, und M gleich M1 plus M2 ist.
Okay, also das ist alles ein bisschen mathematisch,
aber man kann sich das sozusagen versinnbildlicht foltermaßen vorstellen,
nehmen wir an, wir hätten einen Drehimpuls J hat 1,
das ist der hier.
Und einen anderen Drehimpuls J2. Und ich nehme jetzt an,
ohne Einschränkung der Allgemeinheit, dass J1,
also der Eigenwert zum Eigenwektor, zum Drehimpuls 1,
ist größer gleich J2. Wenn das nicht der Fall ist,
dann drehe ich einfach 1 und 2 um.
Das heißt, ich kann mir irgendwie sowas vorstellen.
Und die beiden Dinge muss ich jetzt addieren. Und
wenn man sich das so darstellt, dann kann man,
und im Grunde genommen ist dieser Clabs-Gordon-Käufer nichts anderes als das
Selbst der nimmt jetzt Eigenzustände von J1 und J2 und dessen Projektionen auf die Z-Richtung
. Und drückt sie aus durch den Gesamtdrehimpuls und seine Projektion
auf die Z-Richtung. Und der Punkt ist,
dass es nicht das Gleiche, weil, wie gesagt,
das sind im Allgemeinen keine Eigenfunktionen von dem gesamten Impuls.
Und deshalb stehen hier, deshalb ist dieses Ding hier nicht einfach diagonal,
sondern das ist irgendeine Matrix, eine kompliziertere Matrix.
Was man aber auf alle Fälle sagen kann, ist,
dass natürlich zunächst mal die MI ist, also diese Einzelprojektion,
die laufen natürlich von JI, minus Yati bis plus Yati.
Ja, wie immer. Also für ich gleich 1 bis 2.
Also für die beiden Teilsysteme. Jetzt kann man sich überlegen,
der extremste Zustand tritt auf, wenn die genau parallel sind.
Also wenn sich die aufaddieren und das entspricht gerade,
also wenn ich sozusagen zum Beispiel für der Maximalwert für M1,
ist natürlich J1 und der Maximalwert für M2 ist Y2. Das heißt,
das Maximum, was ich für M kriegen kann,
ist J1 plus Jahr
Mehr geht nicht, weil Mainz ist kleiner gleich, J1 und M2, keiner gleiche J2.
Das Minimum, das ich kriegen kann, völlig analog ist,
das Gleiche mit einem Minuszeichen davor. Das heißt,
meine Projektion von meinem gesamten Impuls wird laufen zwischen minus J1,
minus Jahr 2 und plus J1 plus Jahr 2. Und jetzt muss man sich noch überlegen,
wenn ich M fixiere, wie viele Teilzustände gibt es dafür?
Und was leicht zu sehen ist, ist, dass natürlich,
also für diese beiden Extremzustände gibt es nur eine Kombination.
Warum? Weil wenn sie M maximal,
also ich schreibe das mal hin hier, M,
gleich J1 plus Jahr 2 gibt es nur einen,
nur eine mögliche Kombination. Und die wäre natürlich,
nämlich, dass M1 gleich J1 ist und M2 gleich Jahr 2.
Eine andere Kombination gibt es nicht. Wenn ich jetzt aber,
jetzt kann ich sozusagen so weitermachen und mir schauen,
was passiert jetzt mit dem nächst kleineren Wert.
Und da gibt es jetzt schon zwei mögliche Kombinationen.
Warum? Weil wenn ich sozusagen einen unterhalb von Maximum bin,
dann gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder ich nehme M1 gleich ab 1,
minus 1 und M2 gleiche U2 oder ich nehme M1 gleiche Ort 1 und M2 gleiche Ort 2,
minus 1. Es gibt beide Male, J1 plus Jahr 2, minus 1.
Also gibt es dafür schon zwei. Zwei Möglichkeiten. Und
die schreibe ich jetzt in dem Fall noch einmal Expliziten,
nämlich M1 gleich, J1 und M2 gleich J2 minus 1 oder M1
gleich J1 minus 1 und M2 gleich Jahr 2.
Und jetzt kann man sich schon denken,
wenn ich immer weiter runtergehe,
dann gibt es immer einen Zustand mehr,
sodass dann Folgendes gilt für M und das geht allerdings nicht beliebig weiter runter,
sondern deshalb lasse ich das jetzt noch hoffen.
Aber es gibt dann insgesamt, genau,
also ich schreibe das mal hin, für M Größer gleich,
J1 minus Jahr 2, gibt es J1 plus Jahr 2
plus minus, säu, minus M plus 1 Zustände.
So, schauen wir uns das an,
ob das stimmt, also für den Extremfall,
dass M-Geich J1 plus Jahr 2 ist, steht hier eins.
Wenn ich hier M das hier ersetze,
das ist das gleiche wie der Betrag natürlich,
dann kürzen sich den,
da steht hier eins
Wenn Emma eins kleiner wird, dann ziehe ich hier eins weniger
ab und damit gibt es zwei Zustände und so weiter.
Und je größer M wird, umso mehr Zustände gibt es,
deshalb gibt es hier dieses Minus-M. Also das stimmt hier.
Allerdings, und das sehen wir jetzt auch gleich,
gilt es nur für M-Betrag, größer gleich, J1 minus Jahr 2.
Und für den anderen Fall, nämlich das M-Betrag,
kleiner, gleich, J1 minus Jahr 2,
es stellt sich raus,
gibt es zwei Jahr 2 plus 1 Zustände
Ja, also da nimmt es dann,
wenn ich sozusagen mit meinem M vom Betrag her kleiner als J1 minus Jahr 2 wäre,
dann ist die Anzahl der Zustände immer gleich, nämlich zweimal J2 plus 1.
Und das wollen wir jetzt noch kurz zeigen, warum das so ist.
Das ist nämlich folgender Grund. Warum ist das nochmal so genau? Also nehmen wir jetzt an,
dass M-Betrag, kleiner gleich, j1-jahr 2 ist, also erinnern sich ab angenommen,
dass J1 größer gleicher 2 ist, deshalb ist diese Zahl natürlich immer größer gleich null, sonst wird die Ungleichung keinen Sinn machen. Genau,
und in diesem Fall ist natürlich, jetzt nehmen wir uns mal den,
nehmen wir uns mal das positive M raus,
also für null kleiner gleich M, kleiner gleich j1-jahr 2,
folgt das M1 Natürlich gleich m-m2 ist und genau,
und jetzt muss ich hier ableiten, was ist sozusagen,
jetzt muss ich zeigen, dass das M1, egal,
also genau, ich zeige jetzt, also für alle M2,
die betragsmäßig kleiner gleich als J2 sind,
ist auch dass M1 betragsmäßig kleiner gleiche Ort 1,
sodass ich für jeden dieser Fälle ein M1 bekomme,
das auch sozusagen zulässig ist für den Drehimpuls J1.
Und deshalb gibt es insgesamt so viele Kombinationsmöglichkeiten, wie das mögliche M2 gibt.
Und von denen wissen wir, das sind 2 J2 plus 1.
Also muss ich jetzt nur noch diese Ungleichung zeigen. Und das kann ich dadurch,
dass ich zum Beispiel schreibe hier M1, da,
also das ist jetzt die Begründung, da M1,
da muss ich jetzt eine Ungleichung hinschreiben,
wenn Sie das hier anschauen, M1 ist M minus M2.
Damit ist M1 auf alle Fälle kleiner, gleich M plus J2. Warum? Weil das Minus,
also das M2 ist immer größer gleich,
minus Jahr 2 und damit ist M1 kleiner gleich M plus J2. Und per Definition habe ich ja angenommen,
dass M kleiner, gleich J1 Minus J2 ist,
wenn ich das hier einsetze, dann steht hier Sorry,
das muss dann ein kleiner Gleich sein.
Kleiner Gleich, J.J.1. Also der erste Teil der Ungleichung hier ist gezeigt,
jetzt müssen wir noch die Ungleichung zeigen,
nämlich M1 ist gleichzeitig größer gleich M-J.2, weil wenn sie diese Ungleichnummer anschauen,
das kann nicht kleiner werden, das kann nicht,
ja, das kann nicht kleiner werden als M-J.2,
weil M2, kleiner Gleich J.2 ist.
Und wenn ich jetzt hier wieder mein M einsetze,
Aber M ist gleichzeitig größer gleich null.
Das habe ich jetzt hier angenommen. Und damit geht hier
auch, dass das hier größer gleich minus J2 ist.
Und damit habe ich gezeigt, dass M1,
kleiner gleich J1 und größer gleich minus Jahr 2,
und damit insbesondere auch größer gleich minus J1 ist.
Und damit ist das ein möglicher Wert für den Drehimpuls 1.
Und genauso, wenn M kleiner gleich null ist,
den Fall sage ich jetzt nicht mehr,
dann kann man das genauso zeigen.
Völlig analog. Das heißt,
was bedeutet das jetzt?
Daraus folgt
Die Behauptung, die ich hier aufgestellt habe,
wenn M vom Betrag her, kleiner gleicher, 1 minus Jahr 2 wird,
dann gibt es genau 2 Jahr 2 plus 1 Kombinationen.
Da ging, wenn M vom Betrag her größer,
gleicher, 1 minus Jahr 2 ist,
dann gibt es sukzessive weniger Zustände und insbesondere der Höchstmögliche,
wo M gleich J1 plus Jahr 2 ist,
da gibt es eben dann nur noch einen.
Also das ist sozusagen diese Kombination. Genau. Und
damit sieht man jetzt auch, dass daraus folgt jetzt,
dass der Gesamtdrehimpuls Der kann erstens mal nicht größer als J1 plus CO2 werden,
aber er muss auch größer gleich als J1 minus Jahr 2 Betrag sein.
Und ich habe jetzt das verallgemeinert für den Fall,
wo keine Beziehung zwischen J1 und J2 steht.
Natürlich, wenn J1 größer gleich auch zwei ist,
können Sie das Betragszeigen weglassen, aber das gilt auch für die umgekehrte Kombination.
Genau. Und jetzt können wir nochmal,
qualitativ erschließt sich das hier auch aus diesem Bild.
Wenn sie zwei verschiedene Drehimpulse J1 und J2 haben,
dann kann die Summe, also das sind ja Vektoren,
und die Summe kann höchstens die Summe der Beträge sein,
also J1 plus 2, ja 2,
und die Differenz oder die vektoräre Summe muss aber gleichzeitig vom Betrag her größer gleich sein,
der Differenz der Beträge.
Und das ist genau diese Ungleichung hier. Das kann man
sozusagen vektoriell aus diesem Bild ablesen, aber ich habe das
auch über die Anzahl der möglichen möglichen Projektionen hier abgeleitet.
Jetzt kann man noch mal überprüfen,
dass das wirklich die gleichen Anzahl der Zustände gibt.
Wir können also jetzt Folgendes machen. Wir können,
also wir können jetzt zu mir die Anzahl der Zustände zu
einem bestimmten gegebenen J, ist natürlich zwei J plus eins.
Und jetzt müssen wir über alle möglichen möglichen J summieren.
Und das haben wir jetzt gerade gemacht. Wir haben gesehen,
dass J minimal J1 minus Jahr zwei ist und maximal J1 plus Jahr zwei.
Also wenn ich diese Summe jetzt auswerte, Dann kann ich die ein bisschen umschreiben.
Ich mache jetzt hier, Moment, wie mache ich das jetzt hier?
Genau. Genau, ich verschiebe das Ganze hier,
um, also ich gehe jetzt sozusagen statt von J.G.J.1 minus
im Jahr 2 bis J1 plus Jahr 2, addiere ich Okay,
lassen Sie mich das erst mal hinschreiben und dann diskutieren wir das.
Gehe ich von K gleich null bis zwei J2. Das ist genau derselbe Bereich,
weil wenn sie das ja von dem hier abziehen, dann kriegen sie gerade zwei Jahre zwei.
Also in dieser Summe haben sie gerade zwei Jahre zwei plus eins Therme.
Weil das sieht man, wenn man hier die obere Grenze, die untere Grenze von der oberen abzieht. Und wenn ich das so schreibe,
dann muss ich natürlich hier Also den Zweier kann ich hier ausklammern und dann steht hier J1,
minus Jahr 2, plus ab plus K. Plus eins,
ja, das stimmt deshalb, weil wenn ich hier bei K gleich 0 anfange,
dann ist der erste Therm zweimal J1 minus, ja,
zweit ist es genau das Gleiche,
wenn Sie hier bei J gleich J1 minus Jahr 2 anfangen,
dann steht der erste Therm ja drin,
das ist zweimal J1 minus Jahr 2, ja,
und wenn Sie bis gar gleich zwei Jahr zwei hier einsetzen,
dann steht hier Ja, eins, plus Jahr zwei,
und es ist genau das Geile,
wenn Sie hier J-G-J-1 plus Jahr 2 einsetzen.
Also ich habe sozusagen nur den Simulationsbereich hier verschoben und die Summe ist aber die gleiche.
So, jetzt kann man das ein bisschen vereinfachen. Erstens mal haben wir hier im Moment,
das haben wir, genau, ich muss jetzt folgendes,
ich lasse jetzt erstmal, also es gibt hier Therme,
die nicht von K abhängen, ja,
und es gibt Therme, die von K abhängen,
die separiere ich jetzt einfach aus.
Der erste Therm, Der ist nicht gar abhängig,
den kann ich also gleich rausschreiben. Das ist zweimal J1
, minus Jahr 2. Und wie viele gibt es davon?
Das hängt jetzt, und im Moment soll,
da kommt natürlich auch noch ein Plus eins dazu.
Also lassen Sie mich das so schreiben, die konstanten Therme,
die sind zwei J1, minus zwei, J2 plus eins.
Und wie viele gibt es davon? Naja, zwei,
J2 plus eins. Und dann bleibt aber noch über,
plus zweimal die Summe von K gleich 0 bis 2 Jahr 2 K. Ja,
das ist dieser Themen hier.
Denn zwei Jahre habe ich vorgezogen. Und jetzt,
da gibt es eine einfache Formel für dieses Ding hier.
Das ist einfach nichts anderes als, ja,
ich schreibe das mal, das steht jetzt ein bisschen blöd dort,
weil es hier noch mit dem Vaktor 2 verziert ist.
Aber es gilt folgende Summe, wenn ich hier von K
gleich 0 bis N summiere über
Dann steht, dann kommt raus, das ist N mal N plus 1, halbe.
Das gilt immer, ja. Und wenn ich hier,
hier sehen Sie jetzt, wenn ich das mit dem vergleiche,
dann ist das N gleich zweimal Jahr 2. Also wenn ich das hier einsetze,
dann kürzt sich ein Zweier hier weg, dann steht hier Jahr 2,
mal zwei Jahr 2 plus 1. Also bekomme ich insgesamt,
lasse mich das nochmal aufschreiben hier,
der erste Tim wird abgeschrieben, Und okay,
jetzt müssen wir ein bisschen aufpassen mit den ganzen Zweier hier.
Wir haben dann insgesamt, also der Zweier,
der kürzt sich gegen den und dann kann ich N gleich 2 Jahre 2 einsetzen.
Das heißt, ich bekomme 2 Jahre 2 mal 2
Jahre 2 plus 1. Und das kann ich vereinfachen,
indem ich 2 J1 plus 2, indem ich 2,
wenn es 2 Jahre 2 hier ausklammere, irgendwas Stimmt ja nicht.
Ah, okay. Hier habe ich. Sorry. Da
fehlt natürlich was. Plus eins. Jetzt kann ich also
zwei, J2 plus eins ausklammern. Und dann steht hier
zwei J1 minus zwei, J2 plus zwei, J2.
Und es gibt insgesamt, irgendwo fehlt noch ein Einser.
Ja, der fehlt natürlich noch. Hier stehen noch eins.
Plus eins. Und das gibt insgesamt, also zwei Jahre,
zwei plus eins, mal zwei J1 plus eins.
So, und das ist jetzt Sollte ihn jetzt was sagen,
weil, was habe ich jetzt gemacht?
Ich habe sozusagen meine neue Basis, also die hier,
ich habe abgezählt, wie viele Zustände das es gibt,
ja, das ist das hier.
Weil wir wissen, in dieser neuen Basis kann der Gesamtdrehimpuls
laufen von J1 minus Jahr 2 bis J1 plus Jahr 2.
Und jeder der Einzeldrehimpulse hat 2 J plus 1 unabhängige M-Komponenten.
Diese Summe habe ich ausgeführt und habe erhalten,
dass das 2 Jahr 2 plus 1 mal 2 J1 plus 1 ist.
Und das ist natürlich gleich, die der Anzahl der Zustände von diesem Produktzuständen,
weil die sind unabhängig voneinander und für gegebenes Jahr 1 und Jahr 2 gibt es davon,
jeweils 2 J1 plus 2 J1 plus 1 bzw. 2 Uhr 2 plus 1.
Das heißt, ich habe jetzt nochmal wirklich nachgerendet,
dass die Anzahl der Zustände in diesen beiden Vasen,
also entweder diese Basis oder diese Basis hier, gleich ist.
Wie es natürlich sein muss, weil wenn die den gleichen Hilbertraum ausspannen,
dann müssen sie natürlich gleich viele Elemente haben.
Also ich schreibe das nochmal explizit hin. Damit ist explizit gezeigt,
Das, die Anzahl, der Basiszustände, J1,
M1, Mal, J2, M2,
Gleich der Anzahl der neuen Basiszustände, JM J, 1,
Jahr 2. Ist, wenn der Gesamtdreh-Impuls halt zwischen J,
1, Minusjahr 2 und J,
1 plus Jahr 2 läuft.
Ja, also man kann sich nochmal dieses Bild vor Augen erhalten.
Der Punkt ist eben der, jeder, also wir addieren
zwei Drehimpulse, die sind charakterisiert durch ihren Gesamtwert.
Ihr habt 1 und Jahr 2 und die können natürlich komplett unterschiedliche Orientierungen zueinander haben.
Und von den Dingen gibt es zwei J1 plus 1 Zustände
und von den Dingen gibt es zwei Jahr 2 plus 1 Zustände.
Und die kombiniere ich jetzt alle in neue Zustände,
die Eigenzustände vom gesamteren Impuls sind.
Und der gesamte Impuls kann dann folgende Werte haben.
Und wenn ich dessen Eigenzustände alle aufsummiere,
dann kriege ich natürlich genau die gleiche Zahl.
Also statt diesem Konstrukt hier bekomme ich sozusagen jetzt ein neues,
einen neuen gesamtere Impuls. Vielleicht schreibe ich das ja nochmal so hin.
Sie hätten also Diesen größeren Drehimpuls und irgendwie den kleineren.
Und wenn ich die beiden addiere, jetzt habe ich es ungeschrieben,
Tinkschön, sage ich nochmal, weil ich das addieren will hier,
weil ich ein bisschen mehr Platz.
Also das ist jetzt J1. Und das ist Jahr 2. Und
wenn ich die beiden addiere, dann schreibe ich den weg,
dann hier nochmal so drauf hier.
Dann, also ja, 2, dann ist das natürlich der gesamte Drehimpuls.
Ja, also der hier. Und sie sehen jetzt schon,
der gesamte Impuls, der kann unterschiedlich groß sein,
je nachdem, wie die Orientierung von J2 relativ zu J1
Aber ob ich jetzt sozusagen alle Orientierungen von J1 und J2
betrachte oder zuerst den gesamteren Impuls und der hat dann verschiedene absolute Werte und verschiedene Orientierungen,
wenn ich das jeweils alle Möglichkeiten abzähle,
dann kriege ich dieselbe Anzahl der Zustände heraus.
Also die beiden sind halt Äquivalent zueinander,
die beiden Basen und die stehen zueinander in Beziehung durch diese Klebsportenkoeffizienten.
Hier steht es nochmal. Das ist diese Relation
Genau, also diese neuen Zustände, die den gesamten Impuls diagonalisieren,
sind Linearkombinationen von diesen alten Produktzuständen. Und wir wissen gleichzeitig,
dass halt jetzt dieses J Werte annehmen kann zwischen den Betrag von J1,
minus Jahr 2 und J1 plus J2. Okay,
das ist der allgemeinste Fall und wie gesagt,
wie man diese Dinger dann ausrechnet, die können,
je nachdem, also wenn das relativ hohe Drehimpulse sind,
dann werden die ziemlich kompliziert, diese Koeffizienten.
Deshalb machen wir das hier natürlich nicht allgemein,
aber wir Betrachten jetzt einfache Fälle. Und der einfachste,
nicht triviale Fall ist, also spezielle Fälle sozusagen jetzt,
der einfachste, nicht triviale Fall ist, zwei ist bin ein Halbs.
Also das wäre jetzt J1 gleich eineinhalb und ihr habt zwei gleich eineinhalb.
Was passiert, wenn ich zwei Spins addiere? Also S,
jetzt kann ich statt JS schreiben, weil sie es jetzt um Spins handelt.
Also S ist S1 plus S2. Und Ja,
und dann sind natürlich unsere vier,
dann haben wir von diesen Produktzuständen, also J1,
M1, mal J2, M2. Wie viele gibt es da?
Naja, vier. Weil wir wissen, dass ein Spin-Einhalb-Zustand hat zwei Orientierungen.
Jetzt multipliziere ich zwei davon, die unabhängig voneinander sind.
Also gibt es insgesamt vier. Und natürlich entsprechend die in
der Notation, die ich letztes Mal eingeführt habe,
den vier Möglichkeiten, entweder beide Spins zeigen nach oben
Ja. Oder einer zeigt nach oben und einer zeigt nach unten,
wobei ich das unterschiedlich machen kann, je nachdem,
ob es bin,
eins oder das Ben 2 nach oben oder unten zeigt.
Oder beide zeigen nach unten. Das sind die vier Basiszustände
in diesem Produktzustand. Das sind aber jetzt eben keine Eigenzustände
zum gesamten Essquadrat, also zum gesamten Spin.
Und ich will jetzt eben solche Eigenzustände konstruieren und dadurch,
und damit muss ich wieder solche, so eine Expansion machen.
Also nur jetzt eben für diesen Fall,
dass wir zwei Spin-1,5 Zustände haben
Bevor wir das machen, wollen wir erst mal uns überlegen, wie bestimmte Operatoren auf diese Basiszustände jetzt, auf diese Produktzustände wirken. Also erstens mal ist natürlich,
wenn man zum Beispiel die Z-Komponente nehmen, von Spin-Up,
dann ist die natürlich haarquer,
weil wir die zwei Haarquer-Halbes einfach addieren, also haarquer,
mal doppelt Spin-Up und die beiden mittleren Zustände,
die geben null, weil das gesamte Gesamtprojektion ist null,
weil ich bin up, jetzt bin down, kombiniere,
das gibt in der Summe null,
Und er ist z-wirkend auf die Doppel-Zweifache nach unten zeigen,
gibt minus Hakwehr mal den beidenmaligen Spin-Down-Zustand.
Ja, jetzt, wie gesagt, ich habe gerade gesagt,
dass im Allgemeinen diese Zustände keinen Eigenzustände von Esquadrat
sind und deshalb müssen wir uns jetzt erstmal um Esquadrat kümmern
Und dazu schreibe ich jetzt erstmal S-Quadrats auf, was das ist.
Also ich quartiere sozusagen diese Relation, ja.
Also wir haben ja S-Quadrats, ja. Bitte? Ja,
habe ich. Ich habe gewartet, dass jemand was sagt.
Wollen Sie das jetzt machen? Ich wollte eigentlich schon vor
dem Spin eineinhalb aufhören, aber ich habe niemanden gesehen.
Okay, dann machen wir das jetzt und dann wiederhole ich
das nächstes Mal