Guten Mittag, dann machen wir mal weiter und versuche heute die Diskussion vom Wasserstoffathon abzuschließen.
Und wir hatten letztes Mal nach längerer Rechnung,
also wir hatten uns das letzte Mal auf die Radialfunktion konzentriert.
Und wir hatten gesehen, wir hatten es in der Art und Weise angesetzt.
Also das ist die radiale Abhängigkeit von solchen Bindungszuständen. Und der Grund,
warum wir diese beiden Faktoren hier herausgezogen haben, ist,
dass die das Asymptotische Verhalten für Roh gegen Null,
das ist dann dieser Therm, beziehungsweise roh gegen unendlich.
Das ist dieser Zernbeschreiben. Und der Rest, der überbleibt,
der dann sozusagen relevant ist, bei endlichen Ros,
ist dann durch diesen Teil beschrieben. Und da hatten wir gezeigt,
dass das ein Polynom ist, und zwar ein sogenanntes Lager-Polynom,
und dieses Lager-Polynom, das hat zwei Indizes,
und der relevante Teil für das Wasserstoffatom hat dieser Indizes,
also der obere Index ist 2,1 plus 1,
und der unsere SN plus L,
wobei N diese Hauptquantenzahl war.
Und ich hatte dann letztes Mal noch die Allgemeine Gleichung für diese Lagia-Polynome hingeschrieben.
Das ist folgende, erfolgende Gleichung. Das ist also LRX mal.
Und diese Dinge heißen allgemein LSR. Und davon die zweite Ableitung,
also die erfüllen sozusagen nicht gewöhnliche Differenzierergleichung zweiter Ordnung mit irgendwelchen Koeffizienten,
die ich jetzt hier noch mehr anschreibe.
Das ist also LSR-Strich. Plus R minus S. Mal LSR.
Und das ist null. Und dann hatte ich behauptet,
dass das gelöst wird, durch folgenden,
also das sind die vielleichtzeitig den Namen auch noch mal hinschreiben,
da sind die sogenannten zugeordneten Lagiapolynome.
Ja, und dann hatten wir noch ohne Beweis sozusagen hingeschrieben,
was die Lösung davon ist,
nämlich LSR von X. Und das ist natürlich eine Potenzreihe,
die aber nur endlich für die Zärme hat,
sonst wäre sie ja kein Polynom.
Und zwar läuft es der Index von X,
also die Potenz von X,
genauer gesagt,
läuft von 0
bis rminus
Und die Koeffizienten sind folgendermaßen, das ist minus eins
hoch Carb plus S. Und dann haben sie hier Erefakultät,
Quadrat, also der Koeffizient hier ist ein bisschen kompliziert,
mal dividiert durch Carlfakultät, Carb plus S, Fakultät,
R minus K minus S,
Fakultät und dann haben wir die Potenz X hoch Car.
Und ich wollte jetzt noch mal kurz zeigen,
warum das tatsächlich diese Differenziergang erfüllt
Sie vorstellen, die Rechnung ist ein bisschen länglich,
also Sie müssen vielleicht nicht alle Details nachvollziehen,
aber zumindestens die Idee, wenn man sowas zeigt.
Also im Prinzip ist es einfach, ja,
das ist ein Polynom und hier kommt bis zur zweiten Ableitung vor,
das heißt,
ich muss das halt entsprechend oft ableiten und muss dann mir jeden,
also auf der linken Seite den Koeffizienten von jeder Potenz xhochk anschauen und die müssen alle null sein,
damit das identisch erfüllt sind, erfüllt ist.
Das heißt, ich rechne diese Ableitungen aus und fasse jeweils
eine Potenz, xhochk zusammen und überzeuge mich dann davon,
dass der koeffizient wirklich für jedes K 0 wird.
Also rechnen wir zunächst mal die, also ich schreibe das mal so hin,
bitte ist es der Welt an der Beweis.
Ich rechne jetzt erst mal den ersten Thermen aus, also dieses X-L-S-R-2-Strich.
Also die Striche stehen natürlich immer wieder für Ableitung.
Und da schreibe ich jetzt Folgendes hin.
Das ist zunächst mal Summe über K-Strich. Das ist sozusagen,
also was ich jetzt mache, ist in dieser Definition hier,
setze ich substituiere ich Ka durch Karstrich. Das ist einfach deshalb,
weil ich nachher, da komme ich ja dann, bin ich ableite,
komme verschiedene Potenzen vor und nachher greife ich mir eine raus,
nämlich X hoch K,
aber da werden andere Potenzen drinstehen und deshalb schreibe ich das jetzt hier,
SK-Strich, um die unterscheiden zu können.
Und wenn sie sehen jetzt schon, wenn ich hier zweimal ableite,
dann ist der erste nicht verschwindende Beitrag,
kommt von K gleich 2. Wenn ich zum Beispiel X zweimal ableite,
dann kommt null raus.
Also muss ich hier bei K gleich 2 anfangen.
Das kann, nenne ich jetzt aber K-Strich und deshalb
fängt die Summe so an,
das ist dann Karstrich gleich
Bis R-minus S. Und dann, ja, der Rest ist Abschreiben.
Ich habe hier zum Beispiel noch das Minus-einshoch, K-Strich plus S.
Und dann habe ich natürlich, das ist sogar eine Konstante,
die könnte ich eigentlich nach vorne ziehen.
R-R-Fakultät ins Quadrat. Und jetzt muss man ein bisschen aufpassen.
Ich habe ja hier zwei mehr abgeleitet und es bringt
einen Faktor K, mal K-minus 1 runter.
Das bringt mit dem hier im Nenner zusammenfassen.
Das gibt dann im Nenner K-minus 2 Fakultät.
Das K heißt jetzt K-Strich, also muss ich hier
K-Strich minus 2 Fakultät schreiben
Und den Rest kann ich abschreiben, der ändert sich nicht.
Da steht also ein Karstrich plus S, Fakultät.
Und dann haben wir r-karstrich minus S, Fakultät.
Und was bleibt über? Naja, ich habe zwei mehr
abgeleitet. Das heißt zunächst, eigentlich würde hier stehen,
x-och-karstrich minus zwei, aber ich multipliziere nochmal mit einem Mix.
Also muss hier stehen, karstrich minus 1. Also das ist
der erste Term. Und jetzt, wenn dich einen kleinen
Trick an, jetzt benenne ich die Summationsvariable wieder um.
Und zwar folgendermaßen, dass ich K definiere,
als Karstrich minus 1 und lasse mich das erst noch hinschreiben
und dann erkläre ich den Rest.
Und zwar kann ich das so machen,
dass ich das K jetzt wieder von 0 bis R-S laufen lasse.
Ich sage gleich, warum. Und natürlich muss ich jetzt
hier in diesem Ausdruck immer Karstrich durch Carplus 1 ersetzen.
Und wenn ich das hier mache, dann steht hier minus
1 hoch K plus S plus 1.
Das ist ja nur ein Vorerzeichen.
R-Fakultät hoch ins Quadrat
Dividiert durch und dann habe ich hier in ka minus 1
Fakultät und hier habe ich ein K plus S plus 1 Fakultät
und hier habe ich ein r-k-s-1 fakultät und die Potenz wird natürlich x hoch K.
Deshalb habe ich auch das K-strich so gewählt. Jetzt kann man sich überlegen,
wenn man genau hinschaut, dann sieht man, dass jetzt,
dass ich jetzt plötzlich zwei Therme mehr in der Summe habe,
weil hier ging es von zwei los und hier geht es
plötzlich von null los
Jetzt kann man sich fragen, darf ich das machen?
Und der Grund, die Antwort ist ja. Und der Punkt ist nämlich folgender,
wenn sie hier zum Beispiel K gleich null setzen,
dann steht hier,
also das ist jetzt so ein bisschen eine formale Regel hier,
dann steht hier eigentlich formal minus eins Wakultät.
Und wenn man das allgemeiner definiert, die Fakultät,
dann ist es unendlich. Das heißt,
der Therm trägt automatisch nichts bei,
obwohl er hier mit dabei steht,
aber der Koeffizient wird eins doch unendlich
Und deshalb kann ich mir das sozusagen schenken oder ich kann
ihn mit dazu zählen, weil Theatern automatisch verschwindet.
Genau, und genauso, wenn K gleich rminusss ist,
das würde ja K-Strich gleich rminus S-S-Plus 1 entsprechen.
Das heißt, ich hätte diesen Therm zusätzlich dazu addiert,
was ich eigentlich nicht machen darf.
Aber wenn ich hier K gleich rminus S setze,
dann haben Sie hier auch wieder ein minus 1 F-Fakultät und das ist wieder unendlich.
Und deshalb trägt das nichts bei. Also deshalb kann ich
die Summe so erweitern wegen Dieser Vorschrift,
das minus eins Fakultät gleich Unendliches, sozusagen. Der Grund,
warum ich diese Summe so erweitert habe, ist,
ich will am Schluss, wenn ich koeffizienten Vergleich mache,
dann will ich alle Therme haben, so haben,
dass sie über dieselben, über denselben,
über dasselbe Intervall in Karl laufen.
Deshalb will ich hier genauso wie bei der ursprünglichen Definition wieder
den Bereich zwischen 0 und R minus S haben und
nicht nur zwischen 1 und R minus S minus 1.
Das ist der Grund eigentlich. Okay,
also das war jetzt der erste Therm,
jetzt brauchen wir noch die weiteren beiden,
also den und den hier
Dann schauen wir uns erst mal diesen Thermen der ersten Ableitung an.
Es gibt also jetzt, was brauche ich da genau,
da gibt es auch noch diesen X-Therm, also das stört jetzt nicht.
Also schaue ich hier LSR-Strich hin und das mache ich jetzt
auch wieder so ähnlich wie vorher.
Ich nenne es jetzt, ich nehme zunächst das K-Strich,
das von 1 bis Rminus S läuft.
Also mit anderen Worten, ich nehme wieder diese Definition
her,
nenne es K-Strich
Und weil ich einmal ableite, muss ich eigentlich zunächst mal bei eins anfangen.
Weil wenn ich XO 0 ableite, dann kommt null raus.
Also muss ich hier bei Karstrich gleich eins anfangen.
Und die koeffizient kann ich zusammensammeln. Genauso wie vorher.
Das gibt dann minus eins auch Karstrich plus S.
Der steht immer mit dabei. Und dann haben wir hier
, was haben wir hier? Dann haben wir das,
ja, dann habe ich wieder das Gleiche wie vorher.
Wenn ich das differenziere, dann kommt ein Ka runter,
das kann ich mit Kfakultät zusammenfassen, also Karstrich minus eins, Fakultät.
Und dann habe ich, der Rest ändert sich wieder nicht,
das ist Karstrich plus
Fakultät und r-k-strich-s-fakultät. Das ist so wie da drüben.
Und dann habe ich natürlich hier x-hoch-k-strich-minus 1, weil ich abgeleitet habe.
Und jetzt mache ich denselben Trick wie vorher.
Ich schreibe das wieder in K um, Summe über K.
Wobei K gleich K-strich-minus 1 ist. Und damit läuft es wieder bei Null los. Und ich laufe auch bis r-s-s. Das heißt,
ich kaufe mir wieder zwei neue Therme ein,
aber die sind wieder jeweils Null, weil wenn ich sozusagen K-strich gleich Null setze,
was K gleich 1 entspricht, Nö, was, sorry,
wenn ich, genau, schreiben wir erst mal hin,
was das in K bedeutet, also das,
und dann schauen wir uns die beiden Randthermen noch mehr an und vergewissern uns, dass die verschwinden.
Also wenn ich das in K umschreibe, dann habe ich hier,
also man erinnert sich, K-Strich ist Kaplus 1,
das heißt, hier steht K plus S plus 1,
das bleibt unverändert, hier kommt es dann, im Moment,
irgendwas stimmt hier nicht, da habe ich, ach so,
ich bin in der falschen Zeile hier, deshalb, genau,
dann steht hier K-Fakultät, weil K-Strich minus 1 gleich K ist Und hier haben wir K plus S, plus 1, Fakultät.
Und dann haben wir hier r-k-k-minus-s-minus-s-fakultät. Und hier haben wir x-hoch K.
Und jetzt schauen wir uns noch mal die Randtherme an.
Wenn ich jetzt hier bei K-Strich gleich 1,
also der untere Therm, der stimmt sozusagen sowieso schon,
weil wenn ich hier K-Strich gleich einsetze, dann ist K natürlich null.
Also das stimmt schon. Ich habe aber hier jetzt K
gleich r-s-s als oberen Begrenzungsthermen. Und das entspricht eigentlich den
Karstrich gleich rminus S plus 1, ja,
aber für den fällt dann wieder einer dieser Therme weg.
Also der hier, denn hier Karstrich,
gleich r minus S plus 1 ist,
dann wird er hier wieder minus 1 Fakultät stehen,
das ist unendlich und deshalb kann ich den hier so dazuschreiben.
Gut, und dann haben wir jetzt eigentlich alles.
Natürlich haben wir jetzt auch noch den Therm,
aber der steht ja schon, den kann ich einfach abschreiben,
der steht ja hier schon da.
Und jetzt muss ich diese drei Therme aufaddieren und zwar so,
dass ich immer eine Potenz,
eine gemeinsame Potenz ausklammere
Und dann kann man sie leicht überzeugen,
dass der Koeffizient von xhochk, der linken Seite der Definitionsgleichung,
von LSR ist dann folgendermaßen gegeben.
Und ich glaube, die haben ja alle so die ähnliche Struktur.
Die haben alle zum Beispiel dieses R-Fakultek-Vertrag gemeinsam,
das kann ich
gleich ausklammern
Die meisten dieser Therme schauen sehr ähnlich aus. Sie sind nicht identisch,
weil meistens reicht es hier unten um eins ab.
Oder einer, der Therme reicht um eins ab.
Aber ich kann immer einen gemeinsamen Faktor ausklammern und bei
den Einzelthermen muss ich dann entsprechend korrigieren.
Also was ich jetzt hier ausklammere, ist minus eins hoch,
Carplus S plus eins. Das R-Fakultät, Quadrat,
weil das ist sowieso immer das Gleiche.
Und dann hier unten klammere ich aus, Carp,
Akkultät durch Carplus S plus eins,
Fakultät und r-k-k-s-fakultät
Ja, das ist eine Wahl, das könnte ich
auch anders machen, aber wenn ich es anders mache,
dann werden diese Therme, die danach kommen, anders.
Also das kann man machen, wie man will,
aber das ist hier relativ zweckmäßig. So,
jetzt schaue ich mir den ersten Therm noch mehr an,
das ist der hier. Das muss ich auf diesen Ausdruck starren,
ja, und ich muss den auf diese Form bringen,
jetzt sehen wir schon, hier gibt es genau einen Unterschied,
nämlich statt Paarfakultät im Nenner steht hier kaminus 1 Fakultät,
das heißt, um das hier richtig zu kriegen, muss ich das Ding hier mit K multiplizieren.
Ja, das heißt, ich muss hier ein K rausmultiplizieren,
damit dann im Nenner wirklich Carminus-1-Fakultät steht.
Und hier ist auch noch eine Korrektur nötig,
denn hier steht r-carminus-s-minus-1 und nicht r-carminus-s.
Und das kriege ich dadurch hin, dass ich das hier mit r-carminus-s multipliziere.
Also steht dann r-carminus-kaminus-s. Das wäre der erste Therm. Dann haben wir den zweiten,
da gibt es jetzt zwei verschiedene Versionen davon, eine,
der ohne x und einmal der mit x,
also schauen wir uns erstmal den ohne x an.
Das ist natürlich dann erstmal ein koeffizientes S-Plus-1 und dann müssen
wir uns den Rest anschauen,
der steht hier
Muss ich das mit dem vergleichen? Schauen wir mal,
was da unterschiedlich ist. Nur der Term. Das heißt,
ich muss hier nur mit rminus k-s-s multiplizieren.
Ja, das stimmt auch. rminus k-k-s-s. Und jetzt
haben wir eine kleine Komplikation hier, weil hier steht noch
ein Term, der mit x multipliziert wird.
Das heißt, ich muss dieses Ding hier nochmal mit x multiplizieren.
Dann steht aber hier dummerweise x-hoch ka plus eins.
Das heißt, ich muss sozusagen K durch ka minus einsubsitionieren
Damit ich wieder die gleiche Potenz rauskriege. Und was dann überbleibt,
ist plus, Moment, warum ist das Plus hier?
Weil, ja, schauen wir das erst mal hin.
Das wäre also dann plus, dass wir hier selber schauen,
dass das, ja, K,
mal K plus S plus 1. Und ich bin gerade etwas irritiert,
weil das eigentlich Ich frage mich gerade, wo das Minus zeigen hingekommen ist.
Also wenn ich hier von K nach, ah,
okay, ja, ja, richtig, okay,
wenn ich hier von K nach K minus 1 übergehe,
dann ändert sich das Vorzeigen hier natürlich.
Das heißt, hier kommt ein Minus rein,
hier steht aber ein zusätzliches Minus,
es gibt wieder ein Plus und deshalb habe ich hier ein Plus.
Das ist der Grund. Ja, und wenn es jetzt
hier von das mit x multiplizieren und dann von K nach K minus 1 übergehen,
dann steht ja hier K minus 1 Fakultät.
Deshalb muss ich das hier mit K multiplizieren.
Und hier steht, der kommt dann schon richtig raus,
weil ich hier von Karl nach Karl-Minus 1 geht,
dann schaut er schon genauso aus wie der.
Aber hier ist er wieder um eins verschoben. Das heißt,
hier hätte ich ja dann stehen, K-Plus S-Fakultät,
aber hier muss ich Papels S-Plus 1 haben.
Also muss ich das Ganze noch mit Carblus S-Plus 1 multiplizieren.
Also dann stimmt es. Und der letzte Themen ist wieder einfach,
weil das ist einfach das Polynons selbst noch multipliziert mit Rminus S,
also habe ich diesen Themen hier.
Und da sehen wir jetzt auch noch eine Sache.
Da sehen Sie hier das Vorzeichen ist andersrum wie hier.
Deshalb kommt der negativ rein. Und dann,
wenn ich das hier mit dem vergleiche,
dann ist der Therm
noch anders
Und das heißt, ich muss noch mit Carples S plus 1 multiplizieren.
Das heißt, ich kriege dann insgesamt heraus,
minus r-s, mal Carples S plus 1. Das ist jetzt
der koeffizient von xhochk und wenn wir alles richtig gemacht haben,
dann muss der null ergeben und tatsächlich ergibt der null,
das sieht man. Also der Therm natürlich nicht,
aber diese Klammer gibt null und das kann man jetzt leicht sehen.
Was kann ich hier machen? Ich habe es ein bisschen vereinfacht,
wenn man sich das genauer anschaut, dann kann man hier,
glaube ich, noch was ausklammern, nämlich K plus S plus eins,
habe ich hier ausgeklammert.
Ja, schon, lass uns das mal so schreiben.
Also ich erschreibe jetzt hier nur die Klammer ab,
dann habe ich hier K plus S plus eins. Ja,
ich habe sozusagen diese beiden Thermen zusammengefasst, dieses Ding hier ausgeklammert,
dann kriege ich hier Caplus S plus eins, mal r-kaminus S.
Das waren die ersten beiden Therme und die zweiten beiden Therme,
da kann ich wieder das K plus S plus 1 ausklammern
und dann habe ich Moment, Carblus, S plus 1 ausgeklammert.
Und dann bleibt über, dann bleibt, okay,
sorry, ja, Vorsicht. Der letzte Therm,
der hat hier ein Minuszeichen drin,
ich habe Carblus S plus 1 ausgeklammert, dann steht hier,
Moment, irgendwas, irritieren mich gerade.
Ich habe das andersrum hingeschrieben, deshalb fangen wir da mal von vorn an.
Also ich mache das, ich klammere ein Minuszeichen aus,
Ein Minus K plus S plus 1. Und dann kann ich mit richtig,
sorum geht es dann.
Dann habe ich hier r-s vom zweiten Therm und minus K vom ersten.
Genau, so ist es. Und jetzt sehen Sie sofort
, dass es null. Das kürzt sich alles weg,
weil wir haben jetzt genau dieselbe Struktur. Der hat,
der ist jetzt andersherum hingeschrien, aber das ist natürlich genau das Gleiche.
Also auf die Art und Weise haben wir tatsächlich gezeigt,
dass diese Lagia-Polynome, also die Norma,
die hier,
dass die tatsächlich
diese Differenzialgang erfüllen
Und dann hatte ich letztes Mal noch eine andere Darstellung dieser Lagierpolinome angegeben ohne Beweis,
die schreibe ich einfach mal ganz kurz hin.
Wir wollen auch nicht zu viel technische Rechnungen machen,
deshalb deshalb beweise ich das jetzt nicht,
sondern gib das nur noch mal an.
Das ist halt alles so ein höher,
also gewisse Ableitungen von Exponentialfunktionen und Potenzen im Wesentlichen.
Ob es, das ist nicht hier.
Die R nach DEX,
R von ehoch-x-x-x-or
Also so kann man das auch schreiben. Und jetzt noch
eine Sache, die ich nicht beweisen werde, Dinormierung.
Also am Schluss, jetzt in einer halben Stunde oder so,
wollen wir alles zusammenfassen. Also wir wollen die gesamte Wellenfunktion hinschreiben,
also die Winkelabhängigkeit und die Radialabhängigkeit, einschließlich Normierung.
Das Ganze soll auf 1 normiert sein. Also müssen wir
uns auch kümmern, um die Normierung von diesem Lagierpolynomen.
Und da gebe ich wiederum ohne Beweis an,
folgende Formel, das Integral von null bis unendlich,
über x, von x hoch S plus 1,
mal eo minus x und dann das Quadrat von so einem Lagiapolinum.
Das hat folgenden Wert, dass es zwei R minus S
plus 1, R auf Akkultät Quadrat, dividitierst durch r-s-fakultät.
Ja, das müssen wir jetzt an dieser Form einfach als gegeben hinnehmen.
Ich sollte vielleicht nochmal auf die Struktur von dem Insigral hinweisen,
auch man sieht das Integral konvergiert,
weil hier so eine Exponentialfunktion darin steht.
Ja, also das ist auf alle Fälle Konsergenz.
Und hier stehen irgendwelche Potenzen. Und natürlich,
wenn X ja groß wird, gewinnt immer die Exponentialfunktion,
das heißt, das Ding konserviert wirklich.
Auch wenn hier eine positive Potenz steht,
die ja eigentlich anwachsen würde, aber sie haben ja diesen Faktor mit drin.
Das gibt also einen endlichen Wert und das ist eben dieser Wert.
So, jetzt fassen wir das alles mal zusammen.
Und unsere komplette Eigenfunktion sieht jetzt folgendermaßen aus
Die hat also drei Quantenzahlen, die sogenannte Hauptquantenzahl und
vielleicht sollte ich noch mal zur Erinnerung anschreiben.
Das hatten wir ja letztes Mal abgeleitet,
die Energieeigenwerte sind gegeben durch minus MZ hoch 4,
mal i0 hoch. So, Z Quadrat natürlich,
weil das Elektron hat Ladung 1, nur der Kern hat Ladung Z.
Also das in dieser Form dividiert durch zwei HQR-Quadrat End-Quadrats.
Das waren die Energie-Eigenwerte und die zugehörigen Energie-Eigenfunktionen Die können wir jetzt
sozusagen hier zusammenfassen in Polarkoordinaten. Und das ist jetzt eben das Ding,
dass wir jetzt lange diskutiert haben, die Radialabhängigkeit,
mal die Kugelfunktion. Und für die Radialabhängigkeit haben wir natürlich,
das haben wir so umgeschrieben, das war unser UL von Kappa R,
delidiert es durch Kappa R und wenn wir jetzt,
ich glaube, der steht hier noch irgendwo dran,
Ja, sorry, das war jetzt der falsche Keyboard hier.
Hier. Hier steht das UL nochmal. Wenn ich jetzt
roh gleich Kappa R einsetze, dann steht hier einfach Kappa R hoch L. Mal eo-kappa
R. Und hier steht jetzt dieses Lagier, also dieses WL,
dieses WL von Kappa R. Und dieses WR war im Wesentlichen das Lagierpolynum,
dummerweise allerdings genommen zum zweifachen Argument,
also das ist noch nicht zusätzliche Komplikation,
dass ich hier nicht einfach Körper eher schon zweimal Körper eher steht.
Und natürlich, wenn ich das so schreibe,
dann ist das Ganze eigentlich noch nicht normiert.
Und deshalb wollen wir uns jetzt noch, also vielleicht schreibe ich,
jetzt setze ich das WL von hier gleich noch ein.
Schreibt das so ein bisschen um. Dann habe ich hier vorne dran,
eine noch zu spezifizierende Normierungskonstante, C,
Groß-C. Und hier haben wir eben das Lagiapolin,
umso wie es hier steht,
2L plus 1 mal N plus L genommen am Argument 2 Kappa R. Ja,
und das Körper hatten wir auch irgendwo stehen, nochmal heute.
Das war, glaube ich, hier oben, rechts oben.
Also das ist im Wesentlichen eine Funktion von der Energie.
Also die Energie ist die hier natürlich. Wir werden das
auch nachher kurz noch einsetzen, weil sie werden sehen,
dass das was mit dem Burschen Radius zu tun hat.
Das ist eine Länge in Skala,
eine typische charakteristische radiale Längenskala für die Größe des Atoms.
Und das ist für Z-Greif 1 zumindestens, im Wesentlichen Tabor-Radius.
Das werden wir aber nachher noch sehen. So,
jetzt, der letzte Punkt ist,
wenn wir jetzt wirklich eine enormierte Funktion hier einsetzen oder erhalten wollen,
dann müssen wir uns jetzt noch auf dieses C hier konzentrieren und das bestimmen.
Das ist jetzt nicht so wahnsinnig wichtig. Man kann ja auch unnormierte Wellenfunktionen nehmen,
aber ich will es vielleicht einmal noch einmal kurz demonstrieren,
wie man das Ziel dann erhält.
Ja, also es wird ja gefordert. Also der Punkt ist,
die Kugelfunktionen, die sind bereits auf eins normiert.
Also da muss ich nichts mehr machen. Sie erinnern sich,
wenn ich das hier über alle Raumwinkel integriere,
dann hatten wir das so definiert, dass das eins ergibt.
Das war eine Definition. Das kann man natürlich auch anders normieren,
aber normalerweise wird immer irgendwie vorausgesetzt,
dass die Kugelfunktionen auf eins normiert sind und dann muss ich
mich nur noch um den radialen Teil kümmern und der muss dann auch auf eins normiert sein,
weil natürlich das Produkt von den beiden Normierungen eins ergeben muss.
Das heißt, ich habe die Bedingung, dass eins gleich ist,
Ja, und jetzt müssen wir das radiale Integral ausrechnen.
Das ist die RR-Quadrat. Es kommt vom Volumenelement in Google-Koordinaten
und dann das Betragsquadrat der radialen Funktion.
Und wenn wir das jetzt alles hier einsetzen, also das hier,
ja, und alle Therme zusammensammeln, also diesen,
natürlich gibt es jetzt hier zunächst mal C-Betragsquadrat, ja.
Und dass sie wollen wir dann nachher so wählen,
dass es tatsächlich eins gibt, ja.
Aber jetzt muss ich die restlichen Faktoren zusammensammeln
Sehen Sie jetzt zum Beispiel, ich will jetzt,
was ich jetzt machen möchte, ist, dass ich den Rest,
also das ist dieses Integral, auf diese Form bringe.
Und hier ist es X, das ist ja schon eine dimensionslose Variable,
also sollte ich nach Möglichkeit diese,
also das X sollte dann gleich zwei Kappa mal ärgern,
damit ich das in der Form schreiben werde.
Das heißt, ich muss noch ein bisschen umformen hier und ich mache das jetzt in zwei Schritten,
ich transformiere erstmal auf Kappa mal R,
Und da sehen Sie schon, ich kann das mit Kapahoch 3 erweitern,
dann wird es einfach roh.
Und da muss ich natürlich das Körperhoch 3 dividieren. Das heißt,
deshalb kommt hier ein 1 durch Körperhoch 3 zunächst mal.
Und dann habe ich, dann kann ich schreiben,
das ist dann die KapaR, mal KapaR, Quadrat.
Und jetzt muss ich die restlichen Faktoren zusammensammeln. Das wird
patriert, das heißt, hier kommt ein 2L dazu.
Und deshalb ist es insgesamt 2L plus 2.
Also das 2L kommt vom Quadrat, von dem hier.
Und das 2 kommt von Ergodrat.
Also habe ich das hier
Und wenn ich das quartiere,
dann kommt natürlich auch ein Faktor Eyo minus 2 KPR.
Und was bleibt über? Ja, das Betragspadrat von dem Holynom.
Also L2, L plus 1, N plus L,
zwei KPR-Betragsquadrats. Und jetzt mache ich den,
der sieht jetzt schon fast so aus, wie dieses Integral.
Nur, dass hier noch kein X hoch irgendwas steht.
Und deshalb muss ich jetzt noch eine Substitution machen,
indem ich sozusagen X definiere, als zwei Kappa-R.
Und wenn ich das noch durchführe, dann erhalte ich noch eine Potenz von zwei.
Und zwar steht jetzt insgesamt CB3-Quadrat und dann kaufen sie sich
eine Potenz von zwei ein, nämlich diese hier.
Das kommt, ja, das sind ja insgesamt zwei L
plus drei solche Faktoren, wo ich durch zwei dividieren muss,
um dieses Zwei-Körper-R zu kompensieren. Es gibt diesen Faktor,
dann bleibt das Kappa hoch drei unten stehen und dann kann ich alles in X umschreiben,
dann steht hier die X, X hoch zwei L plus zwei,
e hoch minus X und Das hier.
So, und das sieht jetzt, das sieht jetzt schon genauso aus,
wie das Ding da oben. Ja, also das sieht genauso aus wie das hier. Für den Fall,
dass, ja, jetzt muss man vergleichen,
dass S gleich, hier hatte ich es mir,
genau, das S gleich, das ist sozusagen wie oben,
für S gleich 2L plus 1 und er gleich N plus L. Das heißt,
ich kann das jetzt direkt einsetzen,
und indem ich für R&S so substituiere,
und dann bekomme ich insgesamt den ersten Faktor kann ich noch mehr abschreiben.
Und das Integral gibt dann,
also das muss ich jetzt hier ablesen,
wenn Sie jetzt hier das einsetzen,
was ist 2R minus S plus 1,
da bleibt das heute dann 2N überbleiben,
tut es auch,
glaube ich
Also 2N. Und This R ist einfach N plus L.
Also bekomme ich N plus 11 Fakultät hoch
3. Und im Nenner steht R-S- und R-Minus-S ist N-L-minus 1.
Also habe ich das hier. Das ist nichts anderes als
die Radialquantenzahl. N-S-L-minus 1. Okay, und jetzt bin ich
fertig, denn ich kann jetzt natürlich noch C auflösen.
Das invertiere ich einfach und nehme die Quadratwurzel daraus.
Und dann kann ich
alles zusammensammeln
Und schlussendlich habe ich dann folgende normierte Version von der Gesamtwellenfunktion.
Also schreibe ich das nochmal auf. Das wäre also jetzt,
sie, NLM von R, Teta 4, bis gleich.
Und ja, da kommt jetzt einfach nur,
also das muss ich jetzt alles stürzen.
Und die Quadratwurzel daraus nehmen, also bekomme ich Wurzeln aus,
n-l minus 1,
Zwei Kappa hoch 3. Ich habe das noch ein bisschen zusammengefasst mit
diesen Patenzen von 2 durch 2N mal N plus L, Fakultät hoch
3. Und dann bleibt stehen 2 KPR hoch L,
Eo-Kappa. Und hier steht es, jetzt es lag Eapolinum
Ja. Genau. Also Sie sehen,
ich habe hier zum Beispiel auch,
jetzt steht hier wieder ein Zwei drin, das liegt daran,
dass ich diese Zweierfaktoren zwei hoch zwei L,
wenn ich da die Wurzel draus nehme,
dann steht ja zwei hoch L, das ist genau der Faktor,
den habe ich da mit reingezogen.
Also das sollte so stimmen. Also jetzt haben Sie einmal nach längerer Rechnung gesehen,
das ist sozusagen die auf eins namierte,
die auf eins namierten Eigenzustände vom Wasserstoffatom,
Wobei man natürlich wissen muss, was die Lagea-Polynomie, achso,
ja, hier muss ich natürlich nur noch die Kugelfunktion dazuschreiben.
Wenn ich das so in der Art und Weise schreibe.
Uns die Lagea-Polynome, die sind gegeben durch diesen Ausdruck hier.
Wo steht es nochmal, der hier? Also jetzt haben sie
alle sozusagen bis auf den letzten Faktor im Prinzip dastehen.
Und das Ding ist auf eins narmiert. Oder
sogar besser gesagt noch, die sind ein paarweise orthogonal.
Das heißt, die haben folgende Eigenschaft
Nämlich, wenn ich jetzt das alles über dreidimensionalen Ortsraum integriere und
ich picke mir eine von diesen Funktionen raus und falte die sozusagen oder bilde das Kalarprodukt mit einer anderen,
also mit N-Strich-L-Strich-M-Strich von R, dann kommt,
dann zerfällt es natürlich ein Radialteil und in einen Winkelanteil und die sind beide Ort und normal.
Das heißt, beide Ort und Conal und auch 1 normiert.
Und deshalb steht dann hier einfach Delta in den Strich,
Delta LL-Strich,
Delta M.
Strich. Also das heißt, die sind, das,
dieses Karlaprodukt ist nur dann ungleich null, wenn alle Quantenzahlen gleich sind.
Und in diesem Fall ist es eins, weil ich eben alles
auf eins nummiert habe. Okay, gut. Also das ist,
wie gesagt, das ist alles ein bisschen technisch,
weil diese Polynomen nicht so ganz einfach sind,
aber man soll es vielleicht einmal in der Karriere gesehen haben,
wie sowas aussieht im Detail.
Jetzt kommen wir zurück auf eigentlich dieser Konstanten. Also wir
interessieren uns jetzt nicht unbedingt über alle Details in dieser Wellenfunktion,
aber wir wollen zum Beispiel schon wissen, grob gesprochen,
Was ist die Ausdehnung der Wellenfunktion?
Und das ist wieder natürlich gesteuert. Sie sehen das ja
hier schon, das fällt wie eominus kappa R-Up.
Das heißt, die charakteristische radiale Ausdehnung von dem Zustand ist eins durch Kappa.
Also sollten wir jetzt erst mal noch mal genauer anschauen,
was Kappa ist. Ja, da steht ja noch nicht Fußball.
Ja, ehrlich gesagt weiß ich selber nicht, warum.
Das kann sein, dass das ein, also der Punkt ist,
es ändert ja nichts an der Norm.
Es kann sein, dass das Konvention ist,
dass das in einem Buch so drin stand.
Man braucht es aber eigentlich nicht. Das könnte historische Gründe
haben. Ehrlich gesagt weiß ich es aber auch nicht.
Vielleicht habe ich es aber einfach nur, ist das
ein Type oder was
Das brauchen wir im Prinzip nicht, ja,
weil sie können immer in Phasen, der sollte vielleicht noch mal betonen,
die Synamierung legt die Wellenfunktion auch noch nicht ganz eindeutig fest,
ja, weil ich immer noch einen Phasenfaktor drauf multiplizieren kann.
Und in dem Fall wäre es halt minus eins, ja.
Aber der spielt physikalisch keine Rolle, ja, also alles,
jeder Zustand ist immer nur bis auf eine Phase bestimmt, wenn er normiert ist.
Also schauen wir uns das Kappa noch mal an, Sie erinnern sich,
das war zunächst mal definiert, also minus zwei M-E,
Wurzel daraus durch Harquer und jetzt setze ich noch mal die,
diese Energieeigenwerte an, ein, die wir hier stehen haben,
ups hier, natürlich plötzlich dann erstmal in das Minus und das vereinfacht sich und wir erhalten dann folgendes.
Das ist M, mal Z, Elementalladung ins Quadrat,
dividiert durch Hakvia, Quadrat, mal hin. Und das schreibt man jetzt häufig abkürzend als Z durch N,
mal A, ja,
also das hängt ja in der Form von N und Z,
also alles, diese M-E-0 und Hakvia,
das sind ja fundamentale Konstanten und nur Z und N
können variieren und deshalb kann ich das in der Form schreiben und wenn ich das in der Form schreibe,
dann ist A ein charakteristischer Radius,
Und das ist nichts anderes als der Borsche Radius.
Also mit A, und wenn ich das jetzt vergleiche,
dann sehen Sie hier das A ist H-Querquerquadrat durch M mal in null Quadrat.
Und wenn Sie da Zahlen einsetzen, sollten Sie auch mal
spaßhalber versuchen, weil das ist immer manchmal das Problem,
in solchen Dingen ist immer die richtigen Einheiten zu verwenden.
Das heißt, es gibt keine richtigen und keine falschen Einheiten.
Es gibt nur verschiedene Wahlen der Einheiten.
Und zum Beispiel in der Elektrostatik oder Elektrodynamik,
da haben Sie ja auch das CGS und das SI-System
Und der Wert von der Elementalladung hängt vom System ab.
Das heißt, und natürlich dann auch der Wert von Hardqueer.
Und deshalb müssen sie hier aufpassen,
wenn sie das sozusagen in der entsprechenden Koordinaten einsetzen,
dann bekommen sie aber immer, sollten sie immer folgen,
einen Wert in Zentimeter rausbekommen.
Das ist 0,529, mai 10, minus 8, Zentimeter.
Und das ist dieser Bursche-Radius. Ja,
also sie sehen auch in dieser Formel,
wenn ich das so hinschreibe, dann kann ich auch gleich
Und dann kann ich auch gleich sehen, dass,
vielleicht sollte ich das nochmal hinschreiben, eins durchkapert.
Das ist ja die charakteristische Ausdehnung von dem Zustand.
Und der ist dann A, dividiert durch Z mal N.
Das heißt, was heißt das? Je größer die Quantenzahl
ist, die Hauptbandensaal, umso ausgedehnter ist der Zustand.
Wenn sie angeregte Zustände vom Wasserstoffatom haben,
also höhere Rützberg-Zustände, dann sind die natürlich auch ausgedehnter.
Andererseits, wenn sie nicht Wasserstoff haben, sondern ein
höher geladenen Kern, entsprechend kleiner, wie eins durch Z.
Da sieht man also an dieser Rechnung auch.
Ja, genau. Und jetzt noch ein Hinweis,
das wollte ich jetzt noch kurz auch diskutieren hier.
Sie sehen, ihr tritt immer dieses E0-Quadrats auf und
das hat was mit der Feinstrukturkonstanten zu tun.
Und in diesen Einheiten, so wie es ich geschrieben habe,
ist die Feinstrukturkonstante einfach eh null Quadrat dividiert durch Harquer C0.
Und wenn sie da Zahlen einsetzen, dann kommt hier heraus,
ein durch
Das ist sozusagen so eine Art elektrodynamische Kopplungskonstante.
Deshalb ist sie auch klein gegen eins.
Deshalb kann man auch Störungstheorie machen in der Quanten-Elektrodynamik.
Und das ist diese Kombination. Also ich verwende meistens Einheiten,
wo Haarqueren 1001 ist und das e-0 ist dann irgendwie sowas wie 0,08 irgendwas.
Und wenn sie das patrieren, dann kommt tatsächlich so was raus.
Okay, mit diesen Konventionen kann man auch nochmal
die Energieeigenwerte so ein bisschen umschreiben
Und die sehen dann folgendermaßen aus, also EN,
ist gleich Minus, Z, E0 ins Quadrat, dividiert durch 2A-N-Quadrats.
Also was sie hier gemacht hat, sie sind jetzt,
das schaut ein bisschen anders aus wie das hier,
weil ich für diese Kombination, also für diese E0,
ich habe sozusagen gewissermaßen, was habe ich hier gemacht?
Ich habe sozusagen die Masse eliminiert und ausgedrückt durch den Borschener Ladius.
Und wenn sie das hier einsetzen, Ich glaube,
das brauche ich jetzt nicht im Detail vorrechnen, das ist klar,
wenn ich das hier einsetze, kommen Sie diesen Ausdruck hier.
Und eine andere Art und Weise,
wie man das auch noch schreiben kann, ist,
als Minusalpha-Quadrat, mal M10-0-Quadrat, halbe, mal Z-Quadrat durch Endquadrat.
Und das ist auch sozusagen lehrreich, das so zu schreiben,
den M10-0-Quadrat, also ich hätte vielleicht sagen sollen,
M, was ist M eigentlich, die Masse von was,
wenn sie einen Maßerstoffattom haben,
ist es natürlich die Elektronmasse
Also wir sind in der Ernährung,
dass der Kern sehr viel schwerer ist als das Electron.
Und dann kann man den sozusagen als,
das haben wir ja immer gemacht, wir haben angenommen,
der ist in Ruhe, das ist ein Zentralpotenzial, unendlich schwerer Kern.
Deshalb britt dessen Masse überhaupt nicht auf. Und dann ist
die einzige Masse, von dem alles abhängt, halt die Elektronmasse.
Also das müsste sich denken als Elektronmasse.
Wir haben aber gleich im Anschluss noch kurz diskutieren,
wie groß der Fehler ist, den man macht,
wenn man den Kern also nennt wie schwer annimmt.
Man kann natürlich auch sozusagen sagen, die reduzierte Masse nehmen,
das ist das, was mit einer klassischen Mechanik macht,
dann kriegt man keine Korrekturen. Und natürlich ist es nicht erstaunlich,
die Korrekturen sind von der Größenordnung, Elektrolmasse durch Protonmasse.
Und das ist irgendwie sowas wie eins durch 2000. Also
relativ kleine Korrekturen. Aber bevor ich zu denen komme,
nochmal zu diesem Ausdruck. Also wenn das hier die Elektronmasse ist,
dann ist es ja die Elektronruheenergie. Und Sie sehen jetzt
die Bindungsenergie, ist von der Größenordnung Ruheenergie des Elektrons mal Alpha-Quadrat.
Das heißt, es ist natürlich sehr viel kleiner als die Ruheenergie,
nämlich um Faktor Alpha Quadrat,
also sozusagen weniger als 10 und minus 4 mal die Ruheenergie von dem Elektron.
Deshalb ist das auch relativ suggestiv, dass in der Art
und Weise zu schreiben, das sozusagen auf die Ruhemasse zu skalieren.
Und dann kommt man hier auf diesen Faktor Alpha Quadrat.
Im Endeffekt der Grund, warum es Alpha Quadrat ist,
ist halt, weil hier ein E0 hoch 4 steht.
Und Alpha ist im Wesentlichen Emmelquadrat. Okay, ja,
jetzt können wir natürlich hier auch Zahlen einsetzen und der einfachste Fall,
nämlich Z-gleich 1 und Ngleich 1, das ist der Grundzustand vom Wasserstoffatom,
Der ist natürlich sehr interessant und deshalb gebe ich da nochmal jetzt explizit die Bindungsenergie an,
dann steht es eben, dann ergibt sich das E1,
also für Hauptgewandtenzahl 1 und Z gleich 1,
ist die Bindungsenergie so,
als wie minus 13,6 Elektronvolt.
Und manchmal wird es auch bezeichnet als ein Rützberg.
Und das haben Sie sicher schon vorher mal gehört,
im Experimentalphysik oder so, dass es diese sehr wichtige Bindungsenergie vom Wasserstoffattom.
Sie sind dann auch natürlich, wenn ich jetzt zur höheren Hauptbandenzahlen übergehe,
dann haben die genau eine analoge Bindungsenergie,
aber das hier nochmal dividiert durch Endquadrat.
Das nennt man dann übrigens auch Leimann-System,
also waren wir dann Übergänge zwischen diesen Zuständen haben kann.
Ich schreibe das vielleicht noch gleich auf. Also zuständige Übergänge
zwischen Bindungszuständen, Mit Hauptquantensaal N. Haben dann folgende Frequenzen,
also wenn sie dann Photon,
also sie können sozusagen von einem niedrigen Zustand in einen höheren Übergehen,
in dem sie in Photon absorbieren oder andersrum von einem höheren in den niedrigen Fallen,
in dem sie in Photon emittieren und die Energiedifferenz zwischen diesen Zuständen ist halt gerade die Energie von dem Foton.
Und wir wissen, die Energie von dem Photon ist haarquer, mal die Kreisfrequenz.
Das heißt, wenn ich einen Übergang habe zwischen zwei Zuständen M&N,
dann ist diese Frequenz gegeben durch diese Formel, das ist dann Energieerhaltung.
Und jetzt kann ich hier meine Formel von vorhin einsetzen,
das ist dann ein Z-Quadrat, mal eins durch Endquadrat,
minus eins durch Endquadrat Rückbergs. Also das sind jetzt hier Zahlen,
Dimensionslose, Zahlen und das ist ein Rückberg, das heißt,
so skaliert es mit diesen Quantenzahlen und mit der Kernladungszahl.
Und Sie sehen jetzt, es gibt eine ein ganzes Spektrum und typischerweise,
wenn man z.B. N festhält und dann M größer als N wählt,
dann kriegen sie irgendwie so Dinge,
die hier aus dem Tode standen,
also irgendwie so eine Struktur, wie das hier.
Wobei, okay, wenn, sorry, vielleicht sollte ich das.
Also die größte Energiedifferenz ist, wenn sie M nach unendlich
gehen lassen, das wäre dann irgendwie sowas.
Und nach unten hin werden dann, werden die Dinge
halt immer niederfrequent irgendwie sowas
Und das kann man ja so ausrechnen.
Also das wäre jetzt zum Beispiel für fixiertes N. Ja,
ich glaube, ich muss das ein bisschen genauer machen.
Was ich hier, also Plotte wäre sozusagen die Frequenz,
das muss man mal genauer überleben,
wir fixieren,
wir fixieren
Nicht M, sondern N, da habe ich mich schon überschrieben hier.
Ich wollte hier einen fixieren. Und wenn ich M gegen
Unendlich gehen lasse, dann kriege ich die höchste Frequenz.
Das wäre also das hier, das wäre sozusagen M gegen Unendlich.
Und Sie sehen schon, wenn M sehr groß ist,
dann nähere ich mich asymptotisch diesem Ding an.
Aber die Abstände sind sehr klein. Und dann wird sozusagen
die Abstände immer größer. Und der letzte Ausdruck,
Level hier, der würde M gleich N plus 1 entsprechen.
Also so sieht das dann aus. Und das natürlich,
wenn M gleich N plus 1 wird,
dann ist die Frequenz die Übergangsfrequenz am niedrigsten,
weil es sich dann um benachbarte Zustände handelt.
Also qualitativ würde dieses Spektrum so aussehen. Und für jedes N
haben sie so eine Leiter, so ein Spektrum sozusagen.
Und die haben dann verschiedene Namen, zum Beispiel,
wenn ich mich richtig erinnere, Engleich 1,
er nennt sich dann Leimen, also Leimen Alpha wäre zum Beispiel
Der erste Übergang und so weiter. Und dann in der Astrophese
kennt man das auch, das wären dann sogenannte Liman-Limit-Systeme,
da springen sie gerade von Engleich 1 bis zum Zustand,
wo M gegen Unendlich geht.
Und der erste Übergang, der heißt dann Liman Alpha,
der zweite Leimann Better und so weiter.
Wie die anderen heißen, habe ich jetzt vergessen,
die haben sozusagen für die niedrigsten N,
haben die alle eigene Namen.
Okay, noch ein paar Worte zu Spezialfällen dieser Zustände
Dieser Bindungszustände hier. Und zwar, wir können uns
mal anschauen, wie schauen denn die niedrigsten Radialzustände aus.
Und das mache ich jetzt auch hier ohne Rechnung,
sondern gebe nur die Resultate an.
Niedrigste, radiale Eigenfunktionen. Also der Einfachste ist zum Beispiel
R10 von
Den kann ich dann folgendermaßen schreiben. Das ist zweimal Z
durch A, Bruch 3, halbe, mal eo-z-r durch A.
Also das können sie im Prinzip sich selbst ableiten,
wenn sie diese Formel verwenden und dann müssen sie halt das niedrigste Lagierpolynom so weiter einsetzen.
Und dann kommen sie auf solche Ausdrücke.
Also hier sehen sie zum Beispiel schon, was passiert,
wenn Das ist übrigens ein Spezialfall von dem Fall,
wo der zweite Index gerade der erste minus eins ist.
Dann haben Sie hier keine Potenz mehr stehen, sondern nur eine Exponentialfunktion.
Das ist sozusagen das niedrigste Lagia-Polynom hier. Und ein nächst höheres wäre dann,
wenn ich hier R2-0 von R schreibe,
und dann habe ich sowas wie zweimal Z durch 2A hoch dreihalbe.
Und dann haben Sie hier tatsächlich eine Potenz von R,
nämlich Aero 1,
mit dabei
Mal eine Exponentialfunktion. Und hier steht dann 2A. Und eine gebe ich noch an,
R21 von R, das ist dann eins durch Wurzel aus 3,
mal Z dividiert durch 2A, hoch 3, halbe,
mal ZR, dividiert durch A, Ehoch-ZR,
durch 2A. Ja, also wie kriegen Sie das raus?
Im Prinzip einfach, indem Sie hier diesen allgemeinen Ausdruck nehmen.
Und dann brauchen Sie natürlich noch die Lagia-Apolynome,
aber die haben wir ja auch schon hingeschrieben,
das war der Ausdruck. Und sie sehen jetzt insbesondere,
das kann man ja diesem Ausdruck ablesen,
die Lagia-Polynome haben nur einen einzigen Term,
nämlich für K gleich 0, wenn er gleich S ist.
Dann sind die konstant, weil dann ist die,
dann gibt es keine höhere Potenz als X hoch 0 und das ist konstant.
Und wenn sie das vergleichen, also wann ist er gleich S
in unserem Fall und da schauen wir jetzt hier nochmal rein,
Ärgergleich esse es, wenn diese beiden Dinge gleich sind.
Und wenn ich das gleichsetze, dann steht hier,
schauen wir uns das mal an hier.
Also wenn 2L plus 1 gleich N plus 11 wird,
dann folgt er daraus, dass N gleich L plus 1 wird.
Und das ist genau der Fall hier. Wenn ich also
jetzt zum Beispiel, wir hatten das ja so geschrieben,
dass wir hier nochmal zurückgehen, genau.
Also wenn jetzt N gleich L plus 1 ist,
das heißt sozusagen der erste Index hier,
der auftaucht,
ist immer
um eins größer wie
Das waren gerade diese Fälle, also der Fall und der Fall.
So, nur der Fall hier. Und
dann haben sie tatsächlich hier kein Polynom mehr drin stehen.
Das heißt, dann ist es tatsächlich nur eine Exponentialfunktion.
Okay, also das ist so ein paar allgemeine Hinweise dazu.
Und vielleicht noch eine Bemerkung,
die radialen Funktionen
Er, NL von R, die haben
genau NR gleich N-L, minus 1, positive Nullstellen.
Das ist auch nicht verwunderlich, weil das ist die Radialquantenzahl.
Und das kennen sie auch aus anderen Systemen,
wenn sie zum Beispiel in eindimensionalen Potenzialkasten haben,
dann ist die Quantenzahl, die die Wellenzahl beschreibt,
zählt im Wesentlichen die Nullstellen ab, die nicht trivialen Nullstellen der Eigenfunktion.
Und genauso ist es hier. Also insbesondere zum Beispiel,
NR gleich null ist, dann gibt es keine positiven Nullstellen
und das ist tatsächlich der Fall hier.
Weil in diesem Fall ist N gleich L plus 1
und damit ist NR gleich null.
Und deshalb hat das Ding keine Nullstelle, keine positive Nullstelle.
Hier genauso, ja, hier ist auch sozusagen engleich L
plus 1 und damit NR gleich null.
Und das Ding hat keine positive Nullstelle. Es hat natürlich
eine Nullstelle bei R gleich null, aber nicht bei einem positiven Radius.
Und diese Potenz hier, die kommt von diesem allgemeinen Faktor
hier, also wenn sie hier,
das ist die Drehimpulsbarriere
Also wenn sie einen gewissen Drehmpuls haben, hier ist er zwei,
dann ist natürlich hier von vornherein ein gewisser Zeug,
Drehmpuls hier ist eins, weil es hier steht,
dann muss das proportional zu R-H-L sein.
Das ist dieser Faktor. Aber wenn ansonsten das,
was hier links davon steht, also N,
wenn endgleich L plus eins ist,
dann haben sie hier nur Potenzen von R und keine Restpolynome.
Und deshalb auch keine positiven Nullstellen. Nur wenn ein größer wird
als L plus eins, dann haben sie auch Nullstellen.
Und das ist zum Beispiel hier realisiert.
Hier ist N gleich zwei und L ist Null
Das heißt, N ist L plus 2 und damit gibt es
NR gleich 1 und es hat genau eine positive Nullstelle,
nämlich wenn das Ding hier null wird.
Und das wird null, wenn er gleich 2A durch Z
ist und das ist positiv. Also so kann man das
auch nochmal verstehen, durch dieses Abzellen von Null stellen,
dass das was zu tun hat mit der radialen Quantenzahl.
Okay, und vielleicht noch ein Spezialfall, ah ja,
vielleicht sollte ich das da noch hinschreiben. Also in diesem Spezialfall,
wenn also N gleich L plus 1 ist,
sodass hier die Radialfunktion N-1 lautet, Von er,
dann ist dieses Ding proportional zu er hoch, n minus eins,
mal ehoch-kappa R. Oder weil endgleich L plus eins ist,
ist das natürlich das Gleiche wie Eroch L. mal ehochminus Kappa
R. Also das ist sozusagen endgleich L plus eins.
Und das ist hier, das sind diese beiden Fälle.
Beispiele hierfür sind diese beiden Fälle und da sind sie tatsächlich,
das hat diese, das hat die Exponentialfunktion drin und ein Faktor R-Hoch
L. Hier ist überhaupt kein Faktor eher dabei,
weil L gleich null ist und hier ist ein Faktor dabei,
weil L gleich eins ist
Ja. Und in diesem Fall, wie bei uns schon
vergewissert haben, wenn N gleich L plus 1 ist,
dann ist es Lagea-Polynorm eine Konstante.
Das können wir uns auch noch mal kurz anschauen, wo stand es.
Definition vom Lagea-Polynorm. Hier, ja. Dann ist nämlich
S gleich R. Und dann haben sie nur diesen konstanten Themen hier.
Und deshalb alles, was überbleibt, ist dann das,
was man von vornherein, das war die Acentotik,
die wir absepariert haben.
Und das Polynorm, das hier heranmultipliziert wird,
ist einfach nur eine Konstante.
Also keine Nullstellen,
keine positiven Nullstellen
Okay, gut. Was brauchen wir jetzt noch? Ach so,
ja. Genau, also was ich jetzt noch machen wollte,
ist Folgendes auszurechnen. Erwartungswerte vom Radius und Standardabweichung vom Radius
. Das ist ja eine Wellenfunktion. Das heißt,
der Radius ist nicht, ist keine Schaf definierte Größe,
sondern der hat Mittelwert und eine mehr oder weniger breite Verteilung.
Und in diesen Zuständen verengt gleich L plus 1,
da wollen wir uns jetzt noch mal anschauen,
die Erwartungswerte vom Radius und seine Standardabweichung.
Und genau. Und was wir hierzu brauchen, ist folgendes.
Also wir wollen sozusagen sowas ausrechnen wie Erwartungswert vom Radius,
in dem Zustand N-N-minus 1. Also genau in so einem Zustand hier.
Und sie sehen schon, Was ich, um sowas auszurechnen,
muss ich das betragsquatrieren und dann mit Ära multiplizieren und über alle Radien integrieren.
Das heißt, ich erhalte stets in Zigrale von folgendem Typ,
die ich dazu brauche, null bis unendlich,
DR und irgendeine Potenz von R, mal eo-kappa R. Ja
, so jetzt sieht man nicht so gut.
Das ist ein Kar hier, ja. Also nochmal,
um solche Dinge auszurechnen hier, brauche ich immer Integrale von der Struktur.
Das integral, das ist aber allgemein bekannt,
das lässt sich leicht analytisch ausrechnen, das Resultat ist einfach
Barfakultät dividiert durch Kappa hoch, Carplus 1. Ja, genau.
Und wenn ich das jetzt hier mache, dann,
ja, ich weiß nicht,
ob ich das jetzt hier alles im Detail rechnen soll,
vielleicht mache ich das nicht im Detail, sondern gebe nur das Resultat bekannt.
Ja, also ich sage ihm nochmal, wie man sowas ausrechnet,
also der Erwartungswert von dem Ding hier wäre natürlich,
oder wenn ich es allgemeiner schreibe, lassen wir das mal allgemeiner schreiben hier,
Genau, vielleicht mache ich das jetzt so.
Der Erwartungswert von R hoch, nennen wir das mal B,
also irgendeine Potenz von R,
den kann ich ja dann schreiben als Integral von null bis unendlich, DR.
Und dann habe ich hier das Volumenelement in Kugelkoordinaten,
das ist zunächst mal R-Quadrat. Und dann natürlich,
weil ich den Erwartungswert von RFB haben will,
plus B, also R hoch 2 plus B,
und dann mal das Betragsquadrat der Radialfunktion
Ja, und weil ich die in diesen Zuständen wissen will,
der Grund ist einfach, dass die Rechnung einfacher wird.
Ja, also ich bescheide, ich beschränke mich sozusagen auf Zustände,
wo endgleich L plus 1 ist, ja,
sodass ich das so scheinen kann.
Weil nur in dem Fall haben sie halt hier keine Polynome
stehen und deshalb wird Integration halt einfacher, ja.
Wenn ich das jetzt allgemeinern würde, soll ich das,
das ist ein 1, nicht ein L N minus 1, ja.
Wenn ich jetzt hier eine andere Kombination hätte, also der Drehmpuls,
Kleiner als N-Minus 1, dann wäre es komplizierter,
weil ich dann hier irgendwelche Polynome habe.
Und es lässt sich nicht mehr so einfach ausrechnen.
Aber so ein Integral kann ich immer sofort ausrechnen,
indem ich diese Relation verwende. Wir kennen auch,
was die RNN-1 sind, einschließlich ihrer Normierung.
Also können Sie mehr glauben, dass man das ausrechnen kann.
Und ich gebe jetzt einfach nur das Resultat an für
den Erwartungswert von R und für seine Varianz.
Und das Resultat ist Folgendes
Der Erwartungswert von R, in diesem Zustand, N-N-Minus 1,
der ist einfach gegeben durch A, durch 2Z,
mal 2N plus 1, mal N. Ja,
also zunächst mal, wenn man auf diese Formel schaut,
das ist auch immer was, was ich immer in der Physik betone,
bevor sie ins Detail gehen, überzeugen sie sich,
dass die Formel aus Dimensionsgründen Sinn macht.
Das heißt, die Dimension von der Größe, die Links stehen,
musste natürlich die gleiche sein, wie gerecht steht.
Und das stimmt ja auch, weil das ist ein Radius A
ist der Bursche Radius. Und alles andere sind Zahlen.
Also es ist einfach eine Länge. Wenn ich jetzt das Gleiche hinschreibe,
erwartungswert von R-Quadrat, dann muss das irgendwas sein,
was proportional so arg quadrat ist, aus Dimensionsgründen.
Und wenn man es genauer ausrechnet, dann kommt Folgendes raus.
Ehre Quadrat, Erwartungswert, ist dann A-Quadrat,
also tatsächlich das Quadrat von A und dann halt irgendwelche Konstanten.
Und die stellen sich raus, haben diese Form mal N plus 1,5.
Das ist jetzt nicht so wahnsinnig interessant, aber was Interessantes ist,
die Varianz von R Also in diesem Zustand,
und das ist natürlich nichts anderes als die Wurzel aus dem Erwartungswert von R-Quadrat,
minus das Quadrat des Erwartungswerts.
Und wenn ich das jetzt, wenn Sie die beiden Dinger
hier einsetzen, dann können Sie das sofort leicht ausrechnen.
Und was dann rauskommt, ist A,
N durch Z, Wurzel aus eineinhalb,
mal N
plus eineinhalb
Und das ist jetzt immer noch nicht die Interessanteste Größe,
sondern wir wollen ausrechnen, wie groß ist die Varianz, relativ zum Erwartungswert.
Weil das sagt was über die Breite der Verteilung, über die Unschärfe,
über die relative Unschärfe. Und wenn sie das halt alles einsetzen hier,
dann bekommen sie was Interessantes, nämlich,
dass es eins durch Wurzel 2,
N plus 1. Und das ist jetzt deshalb interessant,
weil sie sehen, wenn N, also die Hauptmandenzahl sehr groß wird,
dann wird es sehr klein.
Das heißt, mit anderen Worten,
die relative Unschärfe im Radius
wird immer kleiner
Und das ist nicht erstaunlich, das würden Sie erwarten,
weil hohe Hauptquandenzahlen entsprechen Zuständen, die immer klassischer sind,
die werden immer größer.
Und wenn Sie hohe Quantenzahlen haben, dann ist im Allgemeinen
ein System, das ist immer klassischer aussieht.
Und natürlich ein klassischer Zustand hat normalerweise im Prinzip billige kleine Unschärfe.
Und das heißt, das muss ja klein werden und
das tut es auch, wie eins der Wurzel enden.
Also das ist auch wieder eine Inkarnation sozusagen oder eine Konsequenz
vom Korrespondenzprinzip, sehr hoch angeregte Zustände sind relativ klassisch
Und das sehen Sie hier auch an dieser Unschärfe.
Und im Prinzip können Sie das eben alles ausrechnen,
mithilfe dieser Eigenfunktionen, die wir hier abgeleitet haben.
Ich habe jetzt nicht alle Schritte dieser Rechnung nachvollzogen,
aber wie gesagt, mit diesen Normierungsintegralen und so weiter
können Sie das im Prinzip selber auch nochmal nachrechnen.
Also das war noch ein Aspekt, den ich hier nochmal betonen wollte.
Jetzt zum Abschluss vom Wasserstoffattom noch eine Bemerkung.
Wir haben ja immer bisher eigentlich dieses sogenannte Zentralkraftfeld angenommen.
Und im Prinzip haben wir immer den Fall gehabt,
wo das Kulon-Potenzial konzentriert war, um R gleich null.
Das heißt, mit anderen Worten,
die Quelle von dem coolen Potenzial war in Ruhe.
Und das ist es natürlich in Wirklichkeit nicht streng genommen,
weil der Kern hat endliche Masse, der bewegt sich selbst.
Jetzt können wir uns überlegen, wie ändert sich das,
wenn man wirklich beide Teilchen in Betracht zieht?
Und das ist dann natürlich ein Zwei-Körper-Problem.
Also was wir bisher hatten, war eigentlich ein Eigenkörperproblem,
weil wir nur die Bewegung von einem Elektronen in einem fixierten Potenzial betrachtet haben.
Jetzt haben wir wirklich zwei, nämlich ein Proton beispielsweise
und ein Elektron
Und da können sie natürlich schon erraten, was passiert,
aus der klassischen Mechanik wissen sie,
wie man sowas macht, wenn man Zweikörper hat,
dann hat man immer im Kepler-Problem zum Beispiel,
geht man über zur sogenannten reduzierten Masse.
Bevor ich das aber jetzt,
ich will das natürlich etwas genauer diskutieren, das heißt,
ich schreibe jetzt auch mal den Hämmeltonien etwas genauer noch an
und ich führe zwei Massen ein für die beiden Teilchen,
also zwei Körperprobleme für Teilchen
mit Massen M1 und
Und für diesen Fall hat der Himmel Tonnen dann,
also nach wie vor, natürlich nicht relativistisch ein Meltonien,
das heißt, wir nehmen an, dass beide Teilchen nicht relativistisch sind.
Dann hat der Himmel Ton in die Form,
das ist Impuls vom ersten Teilchen, P1,
Quadrat durch 2 M1, plus das Gleiche für das zweite Teilchen.
Und dann haben wir im Allgemeinen eine Wechselwirkung,
die nur vom Abstand der beiden Teilchen abhängt,
wie es beim Kolumb-Potenzial der Fall ist.
Ja, und jetzt, wenn Sie sowas klassisch machen,
dann sollten Sie schon wissen,
wie man das macht.
Man führt eine sogenannte reduzierte Masse ein
Mühe und die ist definiert als M1, M2 dividiert durch
M1 plus M2. Also sie sehen zum Beispiel insbesondere,
wenn zum Beispiel M2 sehr klein ist, gegen M1,
dann ist es Mühe im Wesentlichen M2.
Und das ist der Fall, den wir haben,
wenn man Pro-Zone-Elektron haben, dann ist das Elektron sehr viel leichter,
es ist Proton und die reduzierte Masse ist,
bis auf ein Promillnährung oder so gleich der Elektronmasse.
Also eine Masse des leichteren Teilchens
Aber trotzdem ist dieser Fall nicht akademisch. Erstens mal deshalb,
weil mittlerweile ist zum Beispiel Spektroskopie so genau,
dass man solche Spektrallinen so genau vermessen kann,
dass sie durchaus den Effekt von der Masse vom Proton sehen können,
in den Energieniveaus.
Sogar darüber hinaus, dass es Hyperfeinstrukturen, solche Dinge,
die wir später noch kurz ansprechen werden.
Und das heißt aber, dass man solche Korrekturen dann
schon irgendwie, zumindestens qualitativ verstehen sollte.
Es gibt auch noch einen anderen Grund, warum das relevant ist.
Es gibt auch Bindungszustände von Elektronnen mit Positron,
die nennt man dann Positronion
Und in dem Fall ist M1 gleich M2. Und dann ist
die Korrektur natürlich sehr groß, weil die beiden Maßen gleich sind.
Wenn die beiden Maßen gleich sind, dann sehen sie hier,
die ist reduzierte Masse, ein halbmal die Masse von Eindelteilchen.
Das heißt, in 50 Prozent Korrektur. Und Positronium kann
man natürlich völlig analog eigentlich, wie ein Wasserstoffatom beschreiben,
nur dass die effektive Masse dann halt nicht mehr nahe an
der Elektronmasse liegt, sondern eineinhalbmal die Elektronmasse ist.
Das heißt, entsprechend gingen sie auch andere Energiniveaus,
nämlich um 50 Prozent anders. Korrigiert durch diese reduzierte Masse.
Okay, Jetzt machen wir mal weiter. Was nützt uns
diese reduzierte Masse? Naja, wie sieht das aus der
klassischen Mechanik her? Kann man jetzt zwei,
also eigentlich in gewisser Hinsicht haben wir jetzt zunächst einen sechsdimensionales Problem,
weil wir haben zwei Teilchen, zwei Impulse.
Aber eine, man kann das jetzt so separieren,
dass eine Bewegung sich reduziert auf die Bewegung vom Massenzentrum.
Und das ist einfach nur eine unbeschleunigte Bewegung,
die dann in der Quantenmechanik zu einer Ebenenwelle wird.
Und nur die Relativbewegung wird dann zu einem Bindungszustand oder
auch nicht
Das heißt, wir führen jetzt zwei Sets von Koordinaten ein.
Einmal die sogenannte Relativkoordinate. Das ist natürlich einfach R-1-R-2. Also das sind
die Ortskoordinaten von den beiden Teilchen. Und genauso einen relativ Impuls,
der wird allerdings gewichtet mit den Massen in der folgenden Art und Weise.
Ja, genau, M1 plus M2. Und dann haben wir eine Das ist sozusagen,
das ist die Position vom Massenzentrum, die nenne ich RC,
und das ist dann M1 mal R-1 plus M2,
R-2, das ist einfach das Massenzentrum.
Und der gemeinsame Impuls ist dann dementsprechend einfach die Summe der
beiden Teilimpulse. Und manchmal kann man die Gesamtmasse einführen,
das ist halt dann die Summe der Einzelmassen. Gut,
jetzt, ich werde nicht alles im Detail vorrechnen,
aber man kann jetzt sich leicht davon überzeugen,
wenn sie diese Definitionen einsetzen, dann sind diese,
also die Koordinaten und Impulse für die Relativbewegung,
die erfüllen genau die gleichen Kommutationsrelationen wie die einzelnen Impuls- und Ortskoordinaten.
Und genauso für die Koordinaten der gemeinsamen Bewegung. Das heißt,
sie haben sozusagen dann sowas wie, ich schreibe das mal hin,
wenn ich jetzt in die einzelnen Komponenten, also alle,
das sind ja alles Vektoren,
das heißt, die haben alle drei Komponenten natürlich.
Das heißt, ich kann zum Beispiel schreiben, XR,
also die Relativkoordinate und davon die Komponente Mühe, also Mühe
würde dann von Mühe und Mühe würde von 1 bis 3 laufen.
Und ich kommotiere das mit dem relativen Impuls und davon die Komponente
Mühe. Und ich kann das gleiche Spiel treiben,
schreiben mit der Koordinaten für die gemeinsame Bewegung, dieses XC Mühe und PC Mü.
Und da können sie sich selbst leicht davon überzeugen,
dass es tatsächlich die kanonische Kommotationsrelation dass das,
gerade hier fehlt ein Ihak queer, Ihak queer, Delta-Menü.
Und wobei man dann schreiben kann,
dass zum Beispiel der quantenmechanische Impulsoperator in der Ortsdarstellung natürlich,
ist dann minus Ihak quer, mal der Gradient,
also der Gradient bezüglich der Relativkoordinate und dieser Gesamtimpulsoperator ist minus Ihak quer,
der Gradienz relativ zur Ortskoordinate des Massenzentrums.
Das kann man dann so schreiben. Und damit kann man sich auch überzeugen,
dass der kinetische Teil von dem Hemmeltonien hier,
den kann ich folgendermaßen umschreiben, also P1,
Quadrat durch 2 M1 plus P2, Quadrat durch 2 M2,
den kann ich dann schreiben als Impuls für die Relativbewegung ins Quadrat,
durch zweimal die reduzierte Masse,
plus Gesamtimpuls,
dividiert durch die Gesamtmasse
Und was, also wie gesagt,
diese Dinge habe ich jetzt nicht im Detail vorgerechnet,
aber ich glaube, das können sie ziemlich leicht nachvollziehen,
indem sie diese Definitionen hier nochmal verwenden.
Und der Punkt ist jetzt, wenn ich jetzt meine Schrödingergrechnung anschaue,
für diesen Hamiltonien, und ich setze diese Identität ein,
dann kann ich einen Separationsansatz machen.
Denn was sie jetzt feststellen, also scheinbar ist erst nochmal hin,
wir haben ja jetzt dann die Schrödingergrechnung, also die stationäre Schödingergleichung,
schreibe ich dann da mit folgendermaßen, oder kann ich folgendermaßen schreiben minus h
Querquadrat durch zwei Mühe. Und das gibt dann Lablas R,
das R steht immer für relativ. Und minus Hackwerk,
Gott reiht durch zwei Gesamt, zweimal Gesamtmasse,
mal Lablas wirkend auf die Schwerpunktskoordinate, plus V von R,
C von R, relativ muss das natürlich heißen,
weil es nur vom Abstand der Koordinaten abhängt.
Und das hier jetzt wirkend auf einen gesuchten Eigenzustand,
Und dessen Energie nenne ich jetzt E-Tilde.
Und natürlich hängt dieser Zustand von der Relativkoordinaten ab und von der Koordinate des Massenzentrums.
Also, Moment. Ja, genau. Und das wird dann,
wenn es ein Eigenzustand ist, zum Eigenwert E-Tilde,
dann muss das natürlich diese Gleichung erfüllen.
So, und wenn Sie jetzt diese Gleichung genauer anschauen,
dann stellen Sie fest, ich kann einen Separationsansatz machen.
Warum? Der Punkt ist Ihnen jetzt,
dass das Potenzial nicht von der Koordinaten,
von der Koordinate des Massenzentrums abhängt,
sondern nur von einer der beiden Koordinaten,
nämlich für die Koordinate,
der relativen Abstände
Und das hier spürt überhaupt kein Potenzial und damit gibt es
einfach eine freie Bewegung, also eine Ebene Welle.
Und damit kann ich folgenden Separationsansatz machen. Ich kann also jetzt schreiben,
dass dieses Psy-E-Tilde von R relativ und RC,
kann ich zerlegen, in eine Ebene Welle bezüglich RC,
also das ist dann die EOI-KC, mal RC,
das ist sozusagen die Bewegung vom Massenzentrum Puls ist erhalten,
das heißt, das kann man annehmen,
dass das konstanten Impuls hat und dann einen Zustand für die Relativbewegung zu einer anderen Energieehe,
die werden sich dann einfach addieren sozusagen.
Und das hängt dann natürlich nur noch ab von der Relativkoordinate. Ja,
und wobei, okay, der Impulsanteil, der ist trivial,
weil das ist nur genetische Energie und kein Potenzial,
das heißt auch, dass die gesamte Energie Ethilde ist dann eh,
dass es die Energie von der Relativbewegung plus der kinetischen Energie von der Bewegung des Massenzentrums.
Und das ist einfach hardquerquadrat. KC,
Quadrat durch zwei M. Das heißt, den uninteressanten Teil,
diese konstante Bewegung des Massenzentrums habe ich jetzt hier sozusagen absepariert.
Und dann kann ich mich beschränken auf das Schuldingerproblem für die Relativbewegung.
Und das sieht dann folgendermaßen aus,
das ist halt nochmal das Gleiche hier nur ohne dem.
Und hier steht dann halt nur noch der Relativanteil der Wellenfunktion.
Also hatte ich hier minus Hardquerquadrat durch zwei Mühe, Delta
Plus V von R relativ. Und es wirkt dann
auf CE von E, CE von R relativ.
Und das ist gleich ehemals. Sie eh von R,
relativ. Genau. Und der Punkt ist jetzt,
wenn sie zum Beispiel ein,
wenn sie zum Beispiel ein Coolum Potenzial verwenden,
dann sieht diese Gleichung genau gleich aus wie das Wasser,
wie der Schuldinger Problem fürs Wasserstoffatom, das wäre jetzt mehrere Stunden lang diskutiert haben.
Der einzige Unterschied ist,
dass statt der Elektronmasse jetzt hier
der reduzierte Masse steht
Das heißt, sie können alles sofort anwenden,
indem sie einfach in dem, was sie erhalten haben,
für das Wasserstoff war tomm, wie wir es bisher gemacht haben,
die reduzierte Masse substituieren, substituieren für Anstalter, Elektronmasse.
Und das gibt eine kleine Korrektur, weil man ihm jetzt
zum Beispiel ausreden kann, was es mühdividiert durch die Elektronmasse.
Und das ist nichts anderes als eins durch eins plus ME durch die Kernmasse.
Und das ist normalerweise mindestens eins durch 2000,
wenn es uns schwerer erklären, ist es sogar noch kleiner.
Und damit ist die Korrektur sozusagen im Sub Promille-Bereich, weil die Kernmasse immer größer, ungefähr zweimal zehn, noch dreimal die Elektronmasse ist. Also das heißt,
für das Wasserstoffattom ist es eine relativ kleine Korrektur,
aber sie können die sogar exakt ausrechnen, weil das ist,
was wir gemacht haben, war ja,
dass wir diesen Separationsansatz gemacht haben und für die Relativbewegung haben wir eine exakte Schuldingergleichung erhalten und die Energieniveaus,
die sollte ich nochmal vielleicht ja, so wie sie hier stehen,
genau, also beispielsweise in dieser Formel,
da würden sie jetzt für M, was vorher die Elektromasse war,
würden sie halt die reduzierte Masse substituieren.
Alles andere bleibt unverändert, ja, Feinstrukturkonstante ändert sich nicht,
Quantenzahlen, Kernladungszahlen ist alles das Gleiche.
Nur muss ich hier die reduzierte Masse einsetzen. Und dementsprechend
ist das halt eine, weil das linear ist in der Masse,
ist das halt eine Korrektur von einem halben Promille oder solches Wasserstoff erzogen.
Aber wie gesagt, schon, wenn sie das Gleiche machen für Positronium,
dann ist es eine große Korrektur, weil dann steht hier,
steigt der Elektronmasse halt die halbe Elektronmasse.
Okay, ja, dann gibt es natürlich,
das ist sozusagen schon ein Beispiel für Korrekturtherme.
Es gibt noch andere, auf die man nicht systematisch eingehen werden,
aber zumindestens teilweise später nochmal ansprechen.
Also es gibt eine relativistische Korrekturen. Es gibt Bin-Bahn-Koppelung,
Darwin, Therm, Lambshift und so weiter.
Das will ich jetzt hier gar nicht ausführen,
weil wir das später eventuell nochmal darauf zurückkommen werden.
Und jetzt ist die Zeit drum und deshalb mache ich sozusagen
den allerletzten Teil von dem Kapitel an, am nächsten Montag,
wo man nochmal diese ganzen Längenskalen vergleichen werden.
Also wir haben dann insgesamt vier Längen Skalen. Wir haben die Kompenbellenlänge,
den Borschenradius, die Wellenlänge von Licht, das emittiert wird,
in solchen Übergängen und den sogenannten klassischen Elektronradius.
Und die werden wir dann beim nächsten Mal vergleichen.
Und wir werden mal sehen, dass sich die alle
relativ zueinander um eine Feinstruktur konstanten Faktor unterschreiben
Und das, wenn wir dann beim nächsten Mal abschließen.
Hier sind noch neue Übungsblätter ausgedrückt.
Okay, dann bis nächsten Montag