Okay, gut. Guten Tag. Wir machen weiter bei
dem eindimensionalen Quantensystem. Hier haben wir nochmal,
was wir letztes Mal geschrieben hatten, das ist irgendwie,
bewegt sich hier nicht, aber okay.
Komisch. Irgendwie wollte ich herunterscrollen, aber ja,
jedenfalls, okay, dann schreibe ich es notfalls nochmal hin.
Ich schreibe vielleicht noch mal den Ansatz hin,
das schadet ihn nicht, wenn man das nochmal langsam sehen.
Wir hatten also diesen Potenzialtop, nicht diesen Potenzialtop,
sondern diese Potenzialschwelle
Wo er hier x aufgetragen haben und bei x gleich null,
hatten wir so eine Potenzialschwelle, die von null auf V0 springt.
Also das war V von x. Und dann hatten wir gesagt,
also wir wollten stationäre Lösungen in der Schrödingergleichung davon bestimmen.
Und unser Ansatz war, also zunächst mal war klar,
weil das Potenzial konstant ist in diesen beiden Bereichen.
Vielleicht schreibe ich das auch nochmal voll hin,
diese Figur.
Das war also Bereich 1 hier
Und das Bereich 2, und wir hatten uns angeschaut,
die Situation, wo hier eine Welle,
eine Ebene Welle reinläuft,
und sich aufteilt in eine reflektierte Welle und eine transmittierte Welle hier.
Das war sozusagen die Normenklatur. Und nachdem das Potenzial auf
beiden Seiten konstant ist, einmal 0 und einmal 3.0,
sind es natürlich Ebene Wellen, aber mit verschiedenen Wellenzahlen.
Und der Ansatz, zu dem wir schlussendlich gelangt sind,
war folgender.
Das ist also
eh hoch i mal KX
Das ist die einlaufende Welle, plus er my eo minus IKX,
das ist die reflektierte Welle. Und das trifft zu auf den Bereich 1,
wo also x kleiner als null ist,
plus eine Transmissionsamplitude Tee, mal eine Ebenewelle,
die nach rechts läuft, aber mit einer anderen Wellenzahl Kuh.
Und das muss mit Täter von x multipliziert werden,
weil das nur für x größer null beiträgt.
Also das ist sozusagen die einlaufende Wellen einlaufende Wellenwelle.
Ich schreibe das nochmal explizit hier hin. Das wäre die
reflektierte Welle, Und das wäre die transmitierte Welle.
Und im Prinzip sind diese zwei koeffizienten besucht, R und T.
Und ich hatte ihnen auch schon des Resultats angegeben und des Resultats kommt daher,
dass man diese sogenannten Anschlussbedingungen,
also hier bei IS gleich 0 haben wir sozusagen die Anschlussbedingungen,
Und die schreiben sich nochmal folgendermaßen aus,
die sowohl die Wellenfunktion als auch ihre erste Ableitung müssen stetig sein.
Das heißt, ich kann es so schreiben,
CE von X gegen 0 minus, also sozusagen von links
muss gleich sein, CE von X gegen 0 plus.
Und das Gleiche muss gelten für die erste Ableitung,
die ich als mit Strich bezeichnet habe hier.
Die zweite Ableitung ist nicht mehr stetig, das liegt daran,
dass das Potenzial einen Sprung macht und wenn sie diese Gleichnahme anschauen, dann sehen sie,
wenn hier die Wellenfunktion stetig ist und das Foul springt,
dann folgt daraus, ja sofort,
dass die zweite Ableitung unstätig sein muss.
Das heißt, ich habe nur die Wellenfunktion selbst und ihre
erste Ableitung sind stetig, aber nicht mehr die zweite Ableitung.
Genau, und wenn man diese beiden Bedingungen jetzt hier,
also wenn man in diese beiden Bedingungen diesen Ansatz einsetzt,
dann bekommen sie folgende Bedingungen, das kann man sofort sehen,
also die Linke ist ganz einfach, hier überall.
Also diese Funktionen sind ja stetig. Da kann ich,
da macht es keinen Unterschied, ob ich von links oder von rechts komme.
Nur das hier macht natürlich einen Unterschied. Und wenn ich
von links komme, dann ist es einfach eins plus R,
weil ich da x gleich null setze. Das heißt,
hier steht dann eins plus R und wenn ich von rechts komme, dann steht Tee.
Also habe ich schon mit den Bedingungen, dass eins plus R gleich Tee sein muss. Und wenn ich die Ableitung berechne,
dass es fast genauso einfach nur,
dass hier noch ein zusätzlicher Faktor plus oder minus IK runterkommt und hier halt ein plus IQ und dann sehen sie sofort,
dass hier steht IK mal 1-R muss gleich sein,
IQ mal T. Ja, weil wenn ich hier eine Ableitung schreibe,
dann habe ich hier das Ganze mal EOIK,
und das ist EO-IK, deshalb sozialisiert sich das hier mit dem R,
und hier steht einfach EOIK, also IQ kommt drunter,
und deshalb steht diese Bedingung da.
Jetzt habe ich also zwei Gleichungen für zwei unbekannte R&T,
und die lassen sich trivial auflösen, sozusagen,
das I kann ich hier zum Beispiel kürzen natürlich,
also das kann ich auf beiden Seiten hier, Obst,
Kann ich das I wegmachen,
sodass das eine reelle Gleichung ist für diese reellen Koeffizienten und wenn sie die auflösen,
dann erhalten sie dieses Resultat, das ich letztes Mal schon mal angeschrieben hatte,
dass er gleich kam in das Kuh,
durch K-Plus-Kuh ist und Tee ist 2K durch K plus Kuh.
Achso, ja, und jetzt sollte ich noch schreiben,
was war K&Q? Das waren die Wellenzahlen, die sie
erhalten, wenn sie hier in der Ebene Welle einsetzen.
Das heißt also, K ist Wurzel aus zwei ME
Durch Haar quer. Und Kuh ist Wurzel aus zwei M,
aber jetzt steht hier e-fa 0. Durch Haar quer.
Und wir hatten auch angenommen,
dass die Energie größer als FA 0 ist,
sodass das Kuh eine reelle Zahl ist, positiv,
eh größer oder maximal gleich FA
0. Sodass sozusagen eine endliche Transmission stattfindet
Genau. Das ist das Resultat hier. Und jetzt wollen
wir versuchen, das ein bisschen genauer zu verstehen.
Also erstens mal, wir werden uns dann nachher auch noch
den Fall anschauen, wo eh kleiner wird als V0.
Ja, dann gibt es eine vollständige Reflexion.
Das werden wir aber dann gleich im Anschluss machen.
Jetzt wollte ich hier noch ein paar Sachen kurz diskutieren.
Wir wollen diese koeffizient ein bisschen interpretieren und was wir machen können,
ist, dass wir die flussdichte links und rechts ausrechnen
Also, sozusagen die Flussdichte ist Anzahl der Teilchen pro Zeit und Fläche.
Und wir werden feststellen, dass die Gesamtverlustdichte, die sozusagen reinläuft,
die teilt sich auf in einen reflektierten und einen transmittierten Teil.
Das heißt, mit anderen Worten, der Fluss, der reinkommt,
ist gleich der Summe aus dem Reflektierten und dem transmittierten Fluss.
Das ist kein, das würde man erwarten,
wenn die Teilchenzahl erhalten ist auch. Aber wir wollen es
hier explizit verifizieren, dass es tatsächlich der Fall ist.
Dazu müssen wir uns aber erst mal erinnern,
was die Flussdichte in der Quantenmechanik war
Und sie erinnern sich, dass das im Wesentlichen der imaginär Teil war von,
also ich schreibe das nochmal hin hier,
jetzt muss ich gerade nochmal ganz kurz schauen, dass ich den Vorfaktor richtig bekomme,
schaue ich Sicherheit selber nochmal nach, aber ich glaube,
das, also es war im Wesentlichen der imaginär Teil von Psychstern,
mal die Ableitung von Psy.
Genau, hier steht es auch so drin. Also die Flussdichte,
die quantmechanische Flussdichte, die war folgendermaßen definiert,
das war irgendwie so im Abschnitt 2006,
wenn sie danach schlagen wollen, da hatten wir gefunden,
dass man dieses J schreiben kann,
also das ist sozusagen ein Vektor und das ist Hardqueer durch M,
mal der Imaginärteil von Sie-Stern,
Gradiend C. Komisch,
ich dachte,
ich hätte das gemacht,
das ist nicht rüber gegangen
Aber vielleicht war das Moment, jetzt versuche ich das nochmal.
Vielleicht war das wieder, die Tasten-Belegung, dann muss ich
das hier wahrscheinlich machen. Ja, okay. Also
wir hatten das als Flustigte erhalten und gleichzeitig die Wahrscheinlichkeitsdichte,
Sie erinnern sich, das war einfach der Absolutbetrag von PC.
Und Sie erinnern sich auch, dass diese beiden Größen zusammen
eine Kontinuitätsgleichung ergeben haben. Also das war so was wie
Ableitung von Rona T. plus Differenz von J ist null.
Das heißt, das entspricht Teilchenzahlerhaltung.
Und aus diesem Grund ist dieses J
die Flussdichte
Flussdichte. Ja, und die wollen wir jetzt ausrechnen für unseren Fall.
Und zwar auf den beiden Teilbereichen links und rechts.
Also wir werden sozusagen jetzt im Bereich 1 das Ganze ausrechnen.
Das nenne ich dann J1. Also erstens mal wird es
jetzt hier einfacher, weil wir haben nur eine Ortskoordinate.
Das heißt, der Gradient hier wird einfach nur,
wird einfach nur die Ableitung nach X.
Also das kann ich jetzt, das wird sozusagen ein Skalar
eigentlich, weil ich nur eine Richtung habe
Und das kann ich also jetzt in unserem Fall vereinfacht schreiben
als Hack-Wert-OM, mal der imaginär Teil vom Psy-Stern-Psy-Strich.
Ja, weil der Gradient reduziert sich auf Psy-Strich,
weil ich nur eine Wortsquardinate habe und die Ableitung nach dieser Ortskundinate,
habe ich mit Psy-Strich bezeichnet. Gut, jetzt,
wenn wir das hier einsetzen, wir wissen ja,
wie die Lösungen aussehen, das sind diese hier,
dann bekomme ich Folgendes, J1 von X ist gleich,
A quer durch M, imaginär Teil.
Und jetzt setze ich einfach meine Lösung,
sie eh hier für dieses Psy ein und das kann man
direkt ablesen
Der erste Thermpsy-Stern, ihr seid das komplex, kondrigierte von diesem Teil,
also das ist ja jetzt der Bereich 1 ist der hier,
dann habe ich Psychstern davon, das ist eh hoch-minus-i-K-X,
plus R-Stern, mal eh hoch-i-K-X, ja,
und mal die Ableitung, uns die Ableitung ist im Wesentlichen das Gleiche,
nur dass hier noch ein Faktor I-Kader vorkommt und hier ein Minus,
weil hier natürlich das Vorzeichen andersrum ist, das heißt,
ich kann den Faktor I-K da gleich ausklammern und dann erhalte ich,
der Rest ist dann noch mal die gleiche Kombination,
aber ohne Stern, also EOI-KIX,
und hier dann mit einem Minus-R-E-Hoch-Minus-I-K-X. Genau.
Und jetzt sehen Sie schon, hier steht ein I drin,
das heißt, ich kann das auch ein bisschen umformulieren,
als das I kann ich raus, kann ich ausklammern,
und dann bleibt hier der Real,
und das K kann ich auch gleich ausklammern,
das ist ein gemeinsamer Faktor, ja,
also schreibe ich es noch mal so hin,
da steht also dann HQRK, und dann bleibt über der Realteil
Und dieser Klammer, ja,
eo minus ikaix plus R-Stern, Maeo io ika x,
und dann halt der Rest hier, eo ika x,
minus R, eo minus ika x. Ja,
weil der imaginär Teil von i mal irgendwas ist,
ist das gleiche wie R mal irgendwas.
Und jetzt kann man das sehr leicht ablesen. Da gibt es jetzt vier Therme,
und sie sehen schon, nur zwei davon haben einen Realteil,
nämlich wenn ich das ja mit dem multipliziere,
kommt eins raus, der Realteil ist natürlich eins.
Und wenn ich das mit dem multipliziere,
dann kommt minus R,
absolut Betrag
Rat raus und die Mischterme, die sind rein imaginär.
Schauen wir uns das vielleicht nochmal auf, machen ein bisschen langsam. Das gibt also eins,
minus, eher Betragsquadrat und jetzt müssen wir uns nur noch die Mischterme anschauen und die Mischterme,
die schreiben sich jetzt folgendermaßen, das ist,
schauen wir uns erstmal den Thermen an, also plus schreibe ich hier,
dann steht hier eher Sternenehoch, zwei IIIIX,
minus R Den mit dem REO minus zwei IKX.
Und das ist rein imaginär, weil das eine Größe minus ihre Komplex konjugierte ist.
Und das ist rein imaginär. Das heißt,
der Teil trägt zum Realteil nicht bei, den kann ich vergessen.
Und dann bleibt so was ganz Einfaches über,
nämlich HQRK durch M. Mal 1-R-Betragsquadrat.
Und das ist jetzt einfach zu interpretieren. Das bedeutet,
dass der Fluss auf im Bereich 1 ist,
Dann kommen der Fluss von links.
Das ist einfach Hardquare KDRM. Sie stehen auch fest,
HQRK ist ein Impuls. Bei Karne Wellenzahlen ist Hardware Kreis
Impuls. Die Vita durch M ist eine Geschwindigkeit.
Also das ist nichts anderes als ein Fluss. In dem Fall einfach
eine Geschwindigkeit. Und jetzt habe ich aber zwei Anteile,
nämlich der Teil, der von der einlaufenden Welle her rührt.
Und der reflektierte Teil, der negativ beiträgt,
weil der natürlich in der anderen Richtung läuft.
Und die Amplitude von dem reflektierten Teil muss wieder betragspatriert werden.
Weil das sozusagen die Gesamtwelle die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teichens ist.
Also sie können das sozusagen interpretieren, als die dichte Dateichen mal die Geschwindigkeit.
Und die Geschwindigkeit ist einmal Hardware K durch M und einmal Minus-Hardware
KDFM bei die reflektierte Velena links läuft und die Amplitur,
die muss sich Gott raten, mit Betragsquarterieren.
Und deshalb kommt das in dieser Kombination.
Also das ist sozusagen direkt offensichtlich. Und der Teil 2,
auf dem Teil 2 ist es noch einfacher,
da ist Die Flussdichte einfach gegeben durch Harquarkuh, durch M, mal Betrags-T-Quadrat.
Vielleicht war das ein bisschen schnell, deshalb schreibe ich es noch mal ausführlich hin.
In dem Fall haben wir natürlich, da ist es sogar einfacher,
weil man dann nur diesen einen Therm haben.
Und wenn sie diese Vorschrift anwenden, haben wir zunächst mal
Harquare durch M, mal imaginär Teil von.
Und dann haben wir Psy-Sternen. Das wäre also T-Stern mal ehoch-minus-iQ-X.
Und dann die Ableitung nach X, das wäre T mal IQ,
eh hoch, IQX, ja. Und wenn ich das hier vereinfache,
dann bekomme ich hier einfach, das ist IQ,
mal T-Betragsquadrat, ja, die Exponentialfaktoren kürzen sich weg auf,
also die ergeben einfach eins.
Und das ist schon rein imaginär, ja.
Und deshalb bleibt hier über Hardquare Q durch M mal T-Betragsquadrats.
Ja. Und das ist auch klar, das hätte man auch erwartet,
weil jetzt natürlich der Impuls von diesem transmittierten Teilchen ist Kuh,
als dass die Geschwindigkeit Hardware Q3M und die Ampeletude ist Tee,
die muss ich betragssquartieren und deshalb kommt das hier raus.
Also das hätte man sozusagen sogar ohne Rechnung erraten können,
aufgrund der Definition von R&T. Ja, richtig. Und jetzt stellen wir fest,
das will ich jetzt auch kurz demonstrieren, dass tatsächlich Folgendes gilt,
nämlich, also erst nochmal vielleicht noch ein Hinweis,
Ich habe ja immer von X geschrieben, aber sie sehen,
das hängt am Schluss gar nicht von X ab.
Das ist auch klar, warum das so ist,
weil das ja eine Ebene Welle ist.
Deren Betragsquadrat hängt nicht von X ab. Deshalb hängt der
Fluss nicht von X ab. Das wäre anders, wenn
es in welchem Paket hätten. Also wenn sie verschiedene Wellenzahlen überlagern,
dann würden sich nicht diese ganzen, diese verschiedenen Exponentialfaktoren wegkürzen,
weil sie dann unterschiedliche Wellenzahlen hier involviert hätten.
Und das würde dann eine nicht triviale X-Abhängigkeit geben.
Aber in dem Fall haben wir nur eine Wellenzahl,
eine Ebenewelle.
Und deshalb ist der Fluss ortsunabhängig
Das macht es eben so einfach in dem Fall. Und jetzt können wir zeigen,
das mache ich gerade jetzt noch, dass tatsächlich J1,
also ich schreibe das noch mal hin, die X-Koordinate kann ich jetzt also weglassen.
Das ist dann Hardware-KDSM, mal 1-R-Betragsquadrat und man sieht jetzt,
das werden wir gleich zeigen, dass das tatsächlich gleich J2 ist,
was Hardware Q durch M mal T-Betragsquadrat ist.
Da sieht man diesen Ausdrücken zunächst nicht an und das hängt auch davon,
ab, was, das können wir erst sehen,
wenn wir R&T explizit einsetzen, aber das würde man natürlich erwarten,
weil das bedeutet einfach nur,
dass der Fluss auf der linken Seite und auf der rechten Seite die gleiche ist,
mit anderen Worten, diese Potenzialbarriere absorbiert keine Teilchen und erzeugt keine Teilchen.
Der Fluss ist stetig über diese Unstetigkeit im Potenzial und das
würde man auch erwarten, wenn Teilchenzahl erhalten ist.
Die Zeichen können an der Potenzialbarriere nicht einfach verschwinden.
Und jetzt wollen wir uns explizit davon überzeugen, dass das
tatsächlich gilt. Dazu müssen wir R und T einsetzen,
Und im Endeffekt sehen wir, dass,
wenn ich also das jetzt nochmal diese beiden Ausdrücke hierher nehme,
dann, ich lasse mal diesen konstanten Faktor Haar quer durch M weg.
Ich muss also nur zeigen,
dass ka mal 1 minus R-Betragsquadrat gleich Kuh mal Tee-Betragsquadrat ist,
weil das andere nur ein konstanter Vorfaktor ist.
Und damit können wir jetzt folgendes. Ich mache,
also ich rechne jetzt sozusagen aus, was ist Karma 1 minus R-Betragsquadrat.
Und ich setze das R jetzt ein.
Dummerweise haben wir jetzt hier Ich weiß nicht,
wie ich hier das Wissen sieh zufällig, wie man hier scrollen kann.
Das wäre nämlich schön, wenn ich das hier,
aber irgendwie funktioniert das hier nicht mit diesem Cursor.
Bitte? Ach so, Moment, vielleicht kann ich das hier machen.
Das ist irgendwie blockiert das hier. Ja, keine Ahnung. Gut,
dann mache ich es noch mal hier, dann,
das muss ich mir nächstes Mal mal anschauen bei Ehlingheit.
Also ich verwende jetzt diese beiden Ausdrücke für R&T,
die haben ja ausgerechnet. Die setze ich jetzt hier ein.
Und sie sehen schon für R&T gibt es einen gemeinsamen Nenner,
K plus Q von denen klammere ich jeweils aus.
Es ist außer dem Betragsquadrat, das heißt,
ich werde das Betragsquadrat von den beiden ausklammern.
Und damit habe ich jetzt Folgendes, nämlich hier steht,
das ist dann K, dividiert durch K plus Q, Quadrat,
das sind reelle Zahlen, deshalb kann ich den Betrag weglassen.
Einfach quadrieren. Und eins, ich habe jetzt sozusagen erweitert
auf den Nenna Caplus Q Quadrat, deshalb muss ich,
für eins muss ich dann Caplus Q Quadrat schreiben.
Und er hat im Zähler
Quadrat, ja. Also ist das der Ausdruck.
Ich habe einfach erweitert auf diesen Nenner.
Ja, und das kann man jetzt sofort ausvereinfachen.
Also die quadratischen Thermie fallen schon mal weg und es bleibt nur,
es bleibt nur die Mischtherme über und die addieren sich. Ja,
es gibt zwei KQ und es gibt minus, minus zwei KKQ,
gibt insgesamt vier KKQ und damit haben wir dann vier KKQ Drahts Q,
ein zusätzlicher Faktor K ist vorne draußen,
dividiert durch Carplus Q ins Quadrat.
Andererseits ist KU mal T-Betragsquadrat Jetzt muss ich sozusagen zurückgehen,
schauen, was das Team war. Das ist,
genau, Te war 2K durch Carplus Q. Das heißt,
wenn ich das betragsquartiere, dann kriege ich eben 4K Quadrat Q dividiert durch den Nenner.
Und es ist tatsächlich identisch. Also der Ausdruck ist identisch mit dem,
und damit haben wir bewiesen, also das heißt,
wir haben jetzt abgeleitet, der hier ist identisch zu dem,
und daraus folgt sofort das J1 gleich Jahr 2 ist
Ja, also der Fluss, der Teilchen ist stetig, über die Potenzialbarriere hinweg. Man kann,
genau, wenn man das jetzt,
man kann das auch ein bisschen anders interpretieren,
ich kann zum Beispiel schreiben, J1 haben wir ja gesehen,
besteht aus zwei Teilen, nämlich aus dem,
den einlaufenden Fluss, ich nenne es mal meistens in,
für Incoming, und plus beziehungsweise minus den reflektierten Fluss,
Und EO2 ist der transmittierte Fluss.
Also schreibe ich das mal so. Und nachdem ich die beiden gleichsetzen kann,
wie ich mich gerade davon überzeugt habe, folgt daraus natürlich,
dass der einfallende Fluss gleich die Summe ist aus dem reflektierten Plus,
den transmittierten.
Und das würde man erwarten, wenn die Teilchenzahl erhalten ist.
Das heißt, weil es können nur zwei Dinge passieren mit
einem einfallenden oder einlaufenden Teilchen.
Entweder es wird transmittiert oder es wird reflektiert.
Und deshalb muss die Summe dieser beiden Flüsse gleich dem einlaufenden Fluss sein,
wenn die Teilchen nicht irgendwie absorbiert werden oder so,
was hier nicht
der Fall ist
Gut, also ich schreibe es nochmal hin, um das klar
zu machen, dass das der Teilchenzahlerhaltung entspricht. Gut,
wir können es auch noch jetzt ein bisschen besser verstehen,
wenn ich mit diesen reflektierten und transmittierten Flüssen arbeite,
dann kann ich zum Beispiel schreiben,
dass das Verhältnis zwischen reflektierten und einlaufenden Fluss ist halt,
das bezeichnen wir mal als Klein-R und das ist ja nichts anderes als dass diese Amplitude Groß-R-Betrags quartriert.
Und genauso ist der transmitierte Fluss durch den einlaufenden Fluss,
der ist, manchmal wird er mit kleinen Themen jetzt einer dieses Verhältnis,
das ist dann Kuh durch K, mal T-Betragsquadrat.
Ja, weil der einlaufende Fluss, vielleicht schreibe ich das
hier nochmal explizit hin. Also J-In ist ja einfach HQR-K durch M.
Und J trans ist Harquare Q durch M. mal T-Betragsquadrat.
Aber wenn sie die beiden durcheinander dividieren,
dann kommt eben Kudach K. mal T-Betragsquadrat da raus.
Also das ist gewissermaßen die Amplitude oder die Wahrscheinlichkeit,
dass das Teilchen transmittiert wird. Also über diese Potenzialbarriere drüber läuft.
Und das ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Reflektiv reflektiert wird.
Und die beiden müssen sich zu eins addieren. Also R
plus T ist eins, weil immer eines von beiden passieren muss.
Genau, also deshalb nennt man das auch,
das ist sozusagen der Reflexionskoeffizient und das ist der Transmissionskoeffizient
Ja, jetzt können wir uns bei der Gelegenheit nochmal zum Beispiel überlegen,
was passiert, wenn die Energie sehr groß wird.
Also für E, sehr groß gegen V0. Ich frage mal,
was würden Sie da naiv erwarten, was passiert,
was wird aus der Reflexionswahrscheinlichkeit und aus der Transmissionswahrscheinlichkeit,
was würden Sie erwarten,
wenn die Energie sehr groß wird gegen das Potenzial,
gegen die Potenzialbarriere
Genau, also es sollte eigentlich dann so sein,
dass das Tee gegen eins geht und das R gegen null.
Und jetzt schauen wir mal, ob das tatsächlich stimmt. Also erstens mal,
wenn ich es ja groß gegen fahr0 ist,
dann ist Kuh fast gleich K. Ja,
weil dummerweise wieder dasselbe Problem, wenn ich jetzt,
muss ich zurückscrollen, um das zu zeigen nochmal,
aber wir haben ja Kuh und K hier hingeschrieben.
Ja, also wenn hier eh sehr groß gegen fahr0 ist,
dann kann ich das fahr0 gegen Eve vernachlässigen, dann wird,
dann wird, dann geht Q gegen K. Ja,
weil natürlich das Potenzial sozusagen die kinetische Energie von dem Teichchen kaum mehr verringert.
Andererseits müssen wir uns überlegen, was passiert mit der Amplitude R und Tee.
Und da schauen wir uns diese beiden Ausdrücke noch an.
Wenn Q gegen Paar geht,
dann geht es R gegen Null und Tee geht gegen eins.
Warum? Weil Q gegen K geht, dann steht hier
zwei K oder zwei Kran, das geht gegen eins.
Also es ist tatsächlich so, dass in dem Fall ist damit sozusagen
das R geht gegen Null und das Tee geht gegen Eins.
Und das würden wir auch so erwarten,
weil wenn das Potenzial sehr klein ist, im Vergleich zur Energie,
dann ist das Potenzial sozusagen sehr schwach und spielt gar keine Rolle mehr und das Teilchen spürt das Potenzial gar nicht mehr und es läuft einfach weiter.
Okay, jetzt kommt noch der andere Fall,
der interessant ist oder sein könnte, nämlich,
dass die Energie von dem Teilchen kleiner ist als V0. Ja,
also schauen wir uns jetzt den Fall an,
dass eh kleiner als V0 ist und Wir können jetzt unsere vorherigen Formen recyceln.
Und zwar, wenn wir uns noch mal anschauen,
die Kuh definiert war, ja, was passiert,
wenn eh kleiner als V0 ist, dann wird das negativ,
das heißt Kuh wird imaginär.
Das heißt, ich kann Kuh gleich eh mal eine andere Größe schreiben,
die ich Kappa nenne. Und Kappa ist dann wieder positiv,
wobei Kappa dann so definiert ist, wie hier,
nur dass ich hier das Vorzeichen ändere. Das heißt,
ich schreibe, ich kann in dem Fall also Folgendes schreiben,
Kuh wird gleich eh mal Kappa mit Kappa definiert als Wurzel aus 2M, mal V0-E.
Das ist jetzt positiv, durch A quer.
Und ich kann dann sofort den Rest sozusagen kann ich
in meine Formeln so einsetzen, wie sie vorher waren.
Ja, also ich kann sozusagen Kuh einfach durch I-Kappa substituieren.
Und sie sehen hier insbesondere hier passiert was Interessantes,
wenn ich hier Kuh gleich I-Kappa setze,
dann wird das eine Exponentialfunktion,
die exponentiell abfällt
Also hier steht dann, ehoch-minus Capa X. Ja,
also das heißt, also hier ändert sich gar nichts.
Nur der rechte Teil ändert sich, weil sich halt,
weil das Coole jetzt imaginär wird. Und damit folgt,
dass sozusagen die Wellenfunktion im Bereich 2, die hat dann folgendes Aussehen,
das ist dieser Transmissionskoeffizient, mal ehoch-minus Capa X.
Und jetzt passiert auch was Interessantes. Jetzt würde man sich
zuerst denken, naja, es steht ja immer noch die Wellenfunktion
Verschwindet ja nicht. Mir fällt zwar exponentiell ab,
das heißt, wenn ich sehr tief in das Potenzial reingehe,
dann ist es sozusagen quasi null.
Aber an der Potenzialbarriere selbst verschwindet es nicht, es wird einfach Tee.
Und deshalb will man sich denken, naja, heißt es jetzt,
dass die Teilchen nach wie vor irgendwie transmitiert werden?
Aber das ist tatsächlich nicht der Fall,
denn sie können jetzt leicht anschreiben,
dass wenn wir jetzt in diesem Fall den Fluss,
der Teilchen im Bereich 2 anschauen, dann ist der null,
und zwar deshalb, weil der proportional ist,
Der ist sozusagen proportional zum Imaginärteil von Psychstern,
mal der Ableitung von Psy.
Und diese Kombination ist rein reell. Das heißt, der
Imaginärteil ist null. Und damit ist der Fluss null.
Also obwohl die Wellenfunktion nicht identisch verschwindet, gibt es keinen Teilchenfluss.
Das heißt, die U2 ist null. Und damit ist
natürlich die transmitierte Wellenfunktion, also die Transmission ist null.
Und alle Teilchen werden reflektiert
Wir können das auch folgendermaßen sehen, indem wir einfach nochmal unsere Formel,
also ich schreibe das vielleicht noch irgendwie hin,
also daraus folgt kein transmitierter Fluss.
Und das ist übrigens natürlich analog zur klassischen Physik,
das würde man natürlich klassisch erwarten.
Das Teilchen hat nicht genug Energie, um in den Potenzialbereich reinzulaufen.
Deshalb muss es vollständig reflektiert werden. Das ist ganz genauso
in der Quantmechanik, nur heißt es eben nicht,
dass die Wellenfunktion überall verschwindet im Bereich 2. Sie fällt
nur exponentiell ab
Also es gibt noch eine gewisse Wahrscheinlichkeit,
dass das Teichen sich im Bereich zwei aufhält,
die aber halt exponentiell abfällt mit x, diese Wahrscheinlichkeit.
Aber das ist immer so,
das liegt an diesem Plan, auch in der Unschärferelation,
sie können einen Teichen nicht genau lokalisieren.
Deshalb gibt es eine gewisse Unschärfe, mit der das nicht
eindringen kann. Und das ist eben gerade diese Exponentialfunktion.
Jetzt schauen wir uns aber nochmal
dieses R&T an
Das kann ich sofort wieder ausrechnen, indem ich für Kuh einfach I-Cuper substituiere.
Dann bekomme ich folgendes. Erde ist gleich ka minus I-Cuper,
dividiert durch K plus I-Cuper. Und Tee ist 2K,
dividiert durch K plus I-Cuper. Und was wir jetzt feststellen ist,
Dass tatsächlich der Betrag von R, der ist nämlich eins,
das sieht, also dass er selbst ist nicht eins,
aber der Betrag ist eins,
weil sozusagen die Beträge von diesen beiden von Zähler und Nenner
sind gleich groß und damit ist der Betrag insgesamt eins.
Und außerdem sieht man noch, für den, und deshalb
wird auch alles reflektiert sozusagen. Und man kann auch noch feststellen,
dass im Grenzfall Dass V0 gegen unendlich geht,
also eine sozusagen unendlich hohe Potenzialbarriere,
da geht natürlich dann Cappa auch gegen unendlich.
Das heißt, diese eindringt tiefe der Teilchen wird immer kleiner.
Und in dem Fall ist natürlich,
geht T gegen Null und R geht gegen minus eins.
Warum minus? Weil in dem Fall dieses Ding hier dominiert.
Und dann haben, also das K können sie in
den Fernall lässigen und dann kommt eben minus eins rein,
weil dieses Minuszeichen im Endzähler steht.
Und in dem, in diesem Fall haben sie für die
Wellenfunktion im Bereich eins,
ist dann einfach EOI
K x-e-e-e-e-e-k x. Ja, das ist eine vollständige reflektierte Welle.
Und C2 ist in dem Fall tatsächlich gleich null, weil sozusagen,
wenn ich das Körper hier ging, unendlich gehen lasse,
dann ist das für alle x ungleich null tendiertes Gegennull.
Also das wäre sozusagen die Aussage,
dass die Wellenfunktion an einer unendlich hohen Potenzialbarriere verschwinden muss
Aber selbst wenn, selbst wenn die Potenzialbarriere endlich ist,
wird trotzdem alles reflektiert, weil eben selbst in dem Fall Ehrerbetrag
gleich eins ist und der Fluss im Bereich zwei ist null.
Also das gilt davon unabhängig,
wenn die Potenzialbarriere endlich ist, heißt das nur,
dass es eine gewisse Eindringtiefe in dieses Potenzial gibt,
die durch dieses Kappa beschrieben wird hier
Gut, ja, das war jetzt zunächst alles zu diesem
einfachsten Fall der Potenzialstufe und was wir jetzt als nächstes machen wollen,
ist, dass wir daraus eine Potenzialschwelle betrachten.
Wir setzen also gewissermaßen zwei solche Potenzialstufen zusammen in der Form,
dass sie in der Mitte so einen Kasten haben und links und rechts ist kein Potenzial vorhanden.
Also das ist gewissermaßen eine Verallgemeinerung davon oder eine Erweiterung davon.
Also das wäre jetzt in meiner Nummerierung Dann nennt man das Potenzialschwellen.
Und jetzt kann man sich fragen, das ist alles vielleicht etwas akademisch,
weil es gibt natürlich keine scharfen Potenzialstufen,
aber das hat tatsächlich eine sehr wichtige physikalische Anwendung, nämlich den Tunnel-Effekt.
Und den wollen wir uns bei der Gelegenheit auch anschauen.
Also was ist jetzt gewissermaßen die Die Situation,
wir haben also jetzt eine etwas kompliziertere,
ein etwas komplizierteres Potenzial, also ein immer noch stark idealisiert,
nämlich einen sogenannten Potenzial Carsten.
Also ich setze wieder das Ganze symmetrisch bei X gleich 0
und dieser Potenzial Carsten soll von minus A bis plus A
reichen und wieder eine höhe V0 haben,
also sowas
Dann haben wir jetzt drei Bereiche natürlich.
Wir haben den linken Bereich 1. Das ist im Bereich 2.
Und hier haben wir wieder einen Bereich 3,
der sozusagen wieder Vakuum entspricht, wo sie kein Potenzial haben.
Also das Potenzial ist im Bereich 1 und 3.0. Und dazwischen
ist es V.0. Und wir wollen uns wieder Situationen anschauen,
dass eine Ebenewelle reinläuft. Ein Teil davon im Allgemeinen reflektiert
wird. Und ein Teil davon im Gebiet 3 rauskommt,
also transmittiert wird. Und natürlich ist jetzt wieder die Frage,
was sind die Wahrscheinlichkeiten für Reflexion und Transmission
Das heißt, wir können das Potenzial folgendermaßen anschreiben,
das kann ich schreiben,
als V0 mal die Teta-Funktion von A-Betrag X. Darum gibt es dieses Tastenpotenzial,
Sie erinnern sich, das ist diese Heavyside-Funktion, die ist eins,
wenn das Argument positiv ist, das entspricht dem,
dass der Betrag X kleiner gleich A ist und null ansonsten,
das heißt, wenn der Betrag X größer ist,
A ist,
das heißt entweder kleiner Minu,
das heißt entweder X ist kleiner Minus A oder größer A,
dann ist das Null.
Das ist genau dieses Potenzial
Ja, das ist halt nur die mathematische Schreibweise für dieses Kastenpotenzial.
Und wir nehmen jetzt Folgendes an,
also erstens mal nehme ich an, dass A,
Größe Null ist, wenn A, Null wäre,
dann wird es, dann hätten sie gar kein Potenzial,
das macht keinen Sinn.
Also das muss eine endliche Ausdehnung haben. Wir nehmen weiterhin an,
dass das Potenzial positiv ist. Und wir nehmen jetzt an,
dass tatsächlich die Energie kleiner ist als V0, sodass sozusagen klassisch,
würden sie sofort sagen können, was passiert. Alle Zeichen würden reflektiert werden,
weil die Energie von dem Teilchen nicht ausreicht,
um in diesen Bereich reinzulaufen,
weil die Energie kleiner ist als V0. Aber sie können sie jetzt schon aufgrund dieser Diskussion hier,
die wir hatten für den Fall, eh kleiner V0,
können sie schon fast erraten, was passieren wird.
Also was passieren wird, ist, dass die Wellenfunktion hier
reinläuft in dem Bereich exponentiell gedämpft wird. Das heißt auch,
dass sie hier am rechten Rand nicht identisch gleich null wird,
aber eventuell ziemlich klein, wenn die exponentielle Dämpfung sehr groß ist.
Und dieser kleine Teil, der sozusagen überbleibt,
der kann dann wieder als als Ebene Welle hier rauslaufen,
mit konstanter Amplitude. Das heißt, wir werden finden,
dass dieses Teilchen tunneln kann, mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit,
die davon abhängt, wie hoch das Potenzial ist und wie breit.
Je höher und breiter, umso kleiner wird die Tunnelwahrscheinlichkeit sein.
Und eines der Ziele ist, dass wir versuchen werden,
diese Tunnelwahrscheinlichkeit abzuschätzen. Also man kann das natürlich machen,
indem man einfach die schöne Ergleichung numerisch integriert.
Da kann man sozusagen quasi exakt machen,
aber da sieht man normalerweise die Dinge nicht so gut,
was sozusagen wirklich, wie das Ganze sich verhält.
Und deshalb ist es manchmal sehr hilfreich, analytische Nährungen zu betrachten.
Und tatsächlich, wir haben da finden,
dass diese analytische Nährung sogar anwendbar ist, auf Kernphysik.
Man kann also die Lebensdauer von Kernen abschätzen,
wenn man ungefähr weiß, wie groß diese Potenzialbarriere ist.
Also das wird in unserem Fall dann so eine Art Coolum-Potenzial sein.
Und tatsächlich werden wir es sehen
Dass in bestimmten Umständen wir Alpha-Zerfälle zum Beispiel,
die Lebensdauer von bestimmten Kernen sich abschätzen lassen mit dieser Tunnelwahrscheinlichkeit
und es kommt sogar einigermaßen raus,
bis auf einen Faktor von zwei oder drei oder so.
Also das ist durchaus von physikalischer Bedeutung und nicht nur akademisch.
Wir haben natürlich wir die Situation,
dass wenn wir unser Problem so aufsetzen,
dass nur Teilchen von links reinlaufen, dann heißt es,
dass wir im Bereich drei können wir nur eine
nach rechts auslaufende Welle haben
Es kommt nichts hier rein, was nach links läuft.
Einfach, weil wir angenommen haben, dass die ursprünglichen Teilchen
alle von links kommen und nicht von rechts. Das heißt,
ich kann nach wie vor den Ansatz machen,
dass im Bereich 3 wir eine Ebene Welle haben,
an die es einfach eh hoch plus IKX und das ist kein Anteil eo-i-i-i-KX vorhanden.
Das erlaubt es mir jetzt also, einen folgenden Ansatz zu machen.
Der ist jetzt ein bisschen komplizierter, weil wir eben drei
verschiedene Teile haben. Also, was passiert im Bereich 1
? Naja gut, wir haben wieder eine einlaufende Welle,
die ist EOI-KX
Und übrigens dieses K hier, das ist genau das Gleiche wie vorher,
ja, also ich schreibe es noch mal hin,
K ist dann Wurzel aus zwei ME durch A Quer.
Und wir werden auch dieses Kappa wieder verwenden. Kappa ist Wurzel aus
zwei M V 0-E, durch Haar Quer. Und das,
was wir vorher Q bezeichnet haben, ist dann halt wieder E-Kappa,
weil die Wellenzahl halt imaginär wird, weil das eben ein Potenzial ist,
das höher ist als die Energie von dem Teilchen.
Also wir haben also für den Einlaufenden,
das ist genau das Gleiche wie vorher,
einlaufende Welle plus reflektierte Welle
Wobei dieser Koeffizient zunächst unbestimmt ist. Und dann haben,
das gilt sozusagen im Bereich 1 und das kann ich vorhin noch mal so anschreiben,
dass ich sage, das ist die Tetter-Funktion von minus A,
minus X. Ja, die ist nur dann,
die ist nur dann eins, wenn X kleiner ist als minus A,
das kann man direkt hier ablesen.
Also das reduziert das tatsächlich auf den Bereich 1. Dann haben wir
den mittleren Teil und da werden wir zwei Teile haben,
nämlich eh hoch plus minus IQX und wenn ich für Kuh gleich I-Cuper einsetze,
dann habe ich eh hoch plus minus Kappa X.
Mit unbestimmten Koeffizienten, das heißt, ich habe A,
die nenne ich jetzt A und B, A,
mal eher minus Kappa X plus B, hoch mal E hoch plus Kappa X.
Und dann haben wir noch den letzten Teil,
also ja, und da muss ich hier noch schreiben,
mal die Täter-Funktion, das ist dann A, minus X-Betrag,
weil das projiziert mir den Bereich 2 raus und dann haben wir den Bereich 3 noch,
der ist dann eben diese transmitierte Welle da habe ich nur einen Teil,
weil ich keine, weil ich nur rechtsläufige Wellenanteile habe.
Und die Täterfunktion ist dann x-a. Das ist mein Ansatz
. Genau. Und jetzt ist der Punkt,
wie würden Sie jetzt vorgehen, naja,
wenn ich da mal reinschaue, wir haben jetzt vier Unbekannte,
wir haben R, A, B und T.
Um die zu bestimmen, brauchen wir vier Gleichungen und tatsächlich
gibt es vier Gleichungen. Wir haben nämlich zwei Anschlussbedingungen,
jeweils an diesen beiden Unstettigkeitstellen. Einmal hier,
einmal hier,
sind insgesamt vier
Das heißt, wir haben vier Gleichungen,
Tätigkeitsbedingungen für PC, eh um sie, ihr Strich.
Und im Prinzip sollte das erlauben, diese vier Konstanten zu bestimmen.
Die Rechnung werde ich nicht machen hier, weil die ist relativ länglich,
aber mit diesem Ansatz geht das im Prinzip alles durch.
Aber Sie können sich vorstellen, das wird irgendeine vier Kreuz-4-Matrix,
weil wir vier Unbekannte haben.
Das würde jetzt zu lange dauern, dass alles hier durchzuführen.
Und deshalb gebe ich hier nur das Resultat bekannt.
Aber wenn Sie ambitioniert sind, können Sie das selber mal versuchen auszurechnen.
Also eine längere Rechnung. Er gibt folgendes Resultat,
nämlich, das ist ein bisschen komplizierter jetzt natürlich.
Also dieser Transmissionskoeffizient, das hängt natürlich jetzt explizit von der Energie ab.
Und deshalb schreibe ich das jetzt hier mit,
also das Energieargument mit drauf, dass man sozusagen weiß,
dass das von der Energie abhängt.
Und es ist jetzt folgende Ausdruck, das ist e-hoch-minus Zwei I-K-A,
also dieses K- und Kappa haben wir vorher definiert,
dividiere es durch und jetzt steht hier der hyperbolische Kosnuss von zwei Kappa A,
plus I-Halbe, mal Kappa durch K minus, K durch Kappa.
Also es sind alles reelle Größenkappa und Carls and Reel,
mal Sinus, Hyperbolikus von zwei Kappa A.
Das ist TVNE und dann von R von E
erhält man
folgenden Ausdruck
Das kann man jetzt auf T von E zurückführen.
Und da steht dann minus i-halbe T von E. Mal Kappa
durch K plus Plus, K durch Kappa.
Mal dieser hyperbolische Sinus von 2 Kappa A. Ja, genau.
Ja, das ist jetzt noch nicht so ganz, wie soll ich sagen, anschaulich.
Aber wir können jetzt da eine weitere Nährung machen.
Und zwar folgende. Wir werden annehmen, dass das Potenzial
relativ breit und hoch ist, sodass die Tunnelwahrscheinlichkeit klein wird.
Was heißt das in der Praxis? Wir werden annehmen,
also Näherung, für Kappa mal A, sehr groß gegen Eins.
Was heißt das? Das heißt, dass diese,
also wenn ich sozusagen über das ganze Potenzial drüber laufe,
wenn ich hier x gleich A setze oder Minus A,
dann wird dieser Exponent Groß gegen eins.
Das ist die Näherung. Das erlaubt mir Folgendes. Wenn das der Fall ist,
dann werden diese Argumente hier Kappa A, die werden recht groß.
Und dann kann ich zum Beispiel den Großen aus Syperbowllikus und den SIO-Syperbowllikus,
den kann ich nähern durch Exponentialfunktionen.
Und wie schaut es dann aus? Also ich kann jetzt,
jetzt müssen wir uns diesen Fall nochmal ein bisschen genauer anschauen.
Und zwar Genau, wir haben jetzt hier,
also erstens mal kann ich Folgendes schreiben,
ich kann schreiben, dass der Sinus, ja genau,
sorry, das ist jetzt ein bisschen,
da muss man ja mal ein bisschen überlegen,
wie man das am effizientesten hier anfängt.
Für diesen Fall, hier steht so ein komischer Fakt,
also wenn dieser Faktor nicht da wäre, dann wäre das ganz einfach,
weil das dann im Wesentlichen der Exponentialfunktion von Kappa wird.
Wir haben aber diesen Faktor her drin und den will ich
jetzt zuerst abschätzen, Also, ich schreibe jetzt hier
Kapadui K minus K durch Tapa. Und wenn Sie jetzt die Definition von K und Cappanome anschauen,
die steht auch hier noch drauf, hier,
diese beiden, dann finden Sie Folgendes,
wenn ich das auf den gemeinsamen Nenner bringe,
ist das Kapada mal K im Nenner.
Und dann steht hier Kapadui alt-k-k-Quadrat. Und das kann man relativ leicht hinschreiben.
Das ist, also, das quadriert minus desquadriert. Und es gibt dann einfach,
wo bin ich gerade hier, genau,
das gibt dann V0 minus 2E, dividierst durch Wurzel aus E,
Mal V0-E. Ja, weil, tapa mal K,
also diese Faktoren wurzeln zwar eben durch A quer,
die kürzen sich alle raus.
Ja, und deshalb bleibt über eh mal V0-E unter der Wurzel.
Und hier oben steht V0-E minus 2E. Wenn ich das Potenzial relativ hoch mache,
also sehr viel höher als die Energie, dann vereinfacht sich das,
dann kann ich sozusagen die Energie hier vernachlässigen in diesem Ausdruck.
Und das Ganze geht gegen Wurzel aus V0
Für V0 sehr groß gegen E. Also ich schaue mir
hohe Potenzialbarrieren an, die gleichzeitig auch noch breit sind.
Also dass diese Bedingungen hier erfüllt ist. Das wird natürlich zu
einer kleinen Tunnelwahrscheinlichkeit führen. Exponentiell unterdrückt wird die sein. Gut,
jetzt wenn wir uns das anschauen, also das heißt,
ist dieser Faktor, der wird groß gegen eins.
Also das hier wird groß gegen eins, weil V0 groß
gegen E ist, dann wird es groß gegen eins.
Wenn Kappa auch sehr groß ist, das sollte ich vielleicht auch noch hinschreiben,
also wenn Und dann kann ich denn diese hyperbolischen Funktionen,
die kann ich annähern durch, das wird,
also weiß jeder, was der hyperbolische Shisinus und Cosenus ist.
Wer weiß es nicht? Okay, wir wissen alle,
aber vielleicht schreibe ich es nochmal kurz hin.
Das ist ja nichts anderes als eineinhalb, mal eh hoch,
zwei Kappa A plus EO minus zwei Kappa.
Und beim hyperbolischen Sinus ist das Gleiche nur,
dass hier ein Minus dazwischen steht
Und wenn Capa As ja groß wird, dann geht es,
dann kann man den negativen, also den negativen Exponenten,
den kann man vernachlässigen und dann steht ja eh auch zwei Capa A halbe.
Und hier ebenfalls. Das heißt, die werden gleich in dieser Nährung.
Jetzt, hier ist aber der Vorfaktor, der ist groß gegen eins.
Das heißt, dieser Therme ist wichtiger. Und wenn ich jetzt das Absolut Quadrat,
eigentlich interessiere ich mich für das Absolut Quadrat von Tee,
weil das dann die Tunnelwahrscheinlichkeit ist, dann kann ich folgende schreiben,
dass Tee von E absolut Quadrat ist dann in etwa,
also zunächst mal der Faktor, fällt flach,
weil es ist absolut, der ist absolut eins.
Das heißt, ich bekomme das Inverse, von dem quadriert,
das ist dann sowas wie eh durch V0-Quadrat, ja,
sorry, eh durch V0, genau, weil es invertiert wird.
Dann haben wir hier noch einen Faktor, eineinhalb,
ein Faktor, ein Viertel, ja, hier steht ein Faktor,
ein Halb und hier kommt ein Faktor, ein Hype,
steht hier ein Viertel des Kommt als Faktor 4 in den Zähler,
wenn ich quartiere, ich mache es jetzt ein bisschen schnell,
aber das kann man sich langsam überlegen,
dann gibt es einen Faktor 16.
Das heißt, ich bekomme dann insgesamt 16 mal,
jetzt muss ich hier aufpassen, das E muss ich hier vernachlässigen,
dann steht hier eh durch V, genau, eh durch V und 0.
Das ist der Vorfaktor und dann bekomme ich den Exponentialfaktor,
einen negativen Exponentialfaktor von diesem Ausdruck,
und das ist dann eher auch minus viermal Kappa A,
und dann setze ich einfach das Körper ein,
Und dann steht hier eo minus 4a durch Hardqueer.
Und was bleibt über? Das Kappa, das können Sie
hier nochmal ablesen, das steht hier nochmal dran.
Das schreibe ich einfach hier rein. Dann steht halt hier
Wurzel aus 2 M mal V.0-i. Und das war es
, glaube ich, ja, genau.
Ja, also das ist jetzt eine Abschätzung dieser Tunnelwahrscheinlichkeit.
Und Sie sehen jetzt, es gibt zwei Faktoren und der
weitaus wichtigere ist der hier
Ja, weil dir so einer exponentiellen Unterdrückung führen wird.
Das hier ist nur ein, das ist nur
ein Verhältnis von der Energie, uns dem Potenzial.
Und wenn ich da einen Fehler mache, ist es sozusagen
wesentlich weniger wichtig, wenn ich im Exponentenfehler mache.
Der Exponent, der ist sehr viel wichtiger,
weil der halt sozusagen, wenn der sich um einen Faktor 2 ändert,
dann kann sich das um Größenordnung ändern.
Dagegen, wenn sich das nur am Faktor 2 ändert,
gut, dann ändert sich das Ganze um Faktor 2,
aber nicht um mehrere Größenordnungen.
Sodass eigentlich der alles entscheidende Faktor ist der hier
Ja, und da sehen Sie im Wesentlichen,
ist es natürlich eine sehr kleine Zahl,
solange Kapa A, groß gegen Eins ist.
Ja, das ist im Wesentlichen Kapa und das ist A.
Und wenn es groß gegen Eins ist, dann ist das stark unterdrückt.
Das ist die Tunnelwahrscheinlichkeit. Das würde man natürlich auch erwarten,
wenn das Potenzial sehr hoch und sehr breit ist,
dann wird es sehr unwahrscheinlich, dass ein Teilchen da durchlaufen kann.
Aber die Wahrscheinlichkeit ist eben nicht gleich null, ja,
sondern durch diesen Ausdruck gegeben.
Das ist das Ergebnis. Und in der Praxis ist es aber leider nicht so einfach,
weil im Allgemeinen haben wir ja keine, wir haben ja keine Kastenpotenziale.
Jetzt will ich also noch ein paar Worte dazu sagen,
wie man das verallgemeinern muss, wenn man ein kontinuierliches Potenzial hat.
Und das kann man auch fast erraten sozusagen, indem man Folgendes jetzt macht.
Ich kann gewissermaßen immer, also die Idee ist folgende,
dass man kontinuierliche Potenziale durch Überlagerung von Kastenpotenzialen nähert.
Und für jedes Kastenpotenzial, das mache ich halt dann eben
entsprechend schmal, kann ich diese Wahrscheinlichkeit anwenden.
Und die muss ich dann alle miteinander multiplizieren.
Also ich mache sozusagen, vielleicht mache ich das hier mal,
versuche ich das mal, etwas qualitativer aufzuzeichnen.
Also im allgemeinen Fall habe ich ja Folgendes. Ich habe
hier V von X und hier X und nehmen wir an,
wir haben irgendwie so eine Potenzialbarriere, die sei jetzt aber kontinuierlich.
Und hier läuft ein Teilchen rein und das ist die Energie
des Teichens, eh. Und natürlich ist jetzt die Frage,
Bis dahin hat es keine Probleme, da gibt es keine Reflexion,
aber hier läuft es in das Potenzial rein.
Und ich will jetzt wissen, was hier hinten wieder rauskommt. Energie ist erhalten,
das heißt, es kommt in der gleichen Energie raus,
aber mit einer sehr kleinen Ampelitude, weil es eben durch diesen Tunnel-Effekt unterdrückt ist.
Das heißt, der Trick, den ich jetzt mache,
ist, dass ich sozusagen hier mir vorstelle,
ich hätte so eine Überlagerung von so Carsten-Potenzialen.
Und für jeder dieser Kästen wende ich mein Resultat an,
Dieses Resultat hier. Und dann kann man sofort sich überlegen,
also das würde bedeuten, dass wenn ich so kleine Kästen habe,
dann wird das A sehr klein werden und sie können sich schon vorstellen, was passiert.
Das hier wird dann im Wesentlichen zum Integral über X,
weil das ist wie eine Annäherung von dem kontinuierlichen Integral,
mit solchen Stufenfunktionen, wie sie das aus der Gymnasiumphysik oder Vorkursphysik kennen,
wenn sie das Integral durch diskrete Ernährung machen,
dann haben sie immer solche Stufenfunktionen und das wird halt sozusagen durch endliche Schritte angenähert.
Und genau dasselbe passiert hier. Und jetzt kann man sofort schließen,
was zumindestens näherungsweise diese Transmissionsamplitude oder deren Quadrat sein muss.
Das muss jetzt nämlich eh hoch minus zwei durch Haar quer werden.
Und dann steht hier ein Integral über X von Wurzel
aus zwei M mal V von X minus e werden.
Und die Integrationsgrenze, den nenne ich jetzt hier,
ja, ich sollte jetzt nicht A verwenden,
weil das vorher die Weil das vorher meine Karstenlänge war,
nennen wir das mal hier, X1 und X12.
Und X1 wäre, also bei X1 und X2,
wird das Potenzial gleich der Energie. Also V von X1
gleich V von X2, gleich E. Das ist sozusagen der Punkt,
an dem das Teilchen in die Potenzialbarriere reinläuft oder die beiden Punkte.
Also hier läuft es rein bei X1 und bei X2
läuft es wieder raus. Natürlich könnte man kompliziertere Situationen haben,
wo wir hier mehrere solche Wellen haben,
dann hätten sie mehrere Teile, aber wir nehmen an,
dass es nur eine gibt und dann ist das ein so ein Integral.
Und es läuft sozusagen über den Bereich,
in dem dieser Ausdruck positiv wird,
sonst wird es ja auch keinen Sinn machen,
weil dann hätten sie ja, was ihr Imaginäres stehen,
sodass sozusagen in dem Bereich zwischen X1 und X2 ist es immer positiv.
Also das heißt sozusagen V von X minus E
größer gleich Null für X zwischen X1 und X2. Jetzt,
wenn sie Genauer hinschauen, dann haben sie vielleicht eventuell eine Frage,
das kam aber nicht.
Ich habe nämlich, Sie sehen einen Unterschied,
ich habe hier zwei und hier steht vier.
Jetzt kann man fragen, wieso muss ich hier auch vier stehen?
Aber der Grund ist, das stimmt schon so,
weil wir hatten ja hier eine Potenzialstufe, deren Breite zweimal aber.
Und deshalb ist es hier nur ein Faktor zwei.
Also eigentlich die Breite, von denen ist zweimal an,
deshalb steht hier zweimal die Breite.
Und deshalb ist hier nur der Faktor zwei
Ja, also mit anderen Worten,
wenn sie diese Formel auf unsere vorige Potenzialstufe anwenden,
würden die von minus a bis plus a geht,
dann würden sie genau diesen Exponenten zurückerhalten.
Weil natürlich das Integral wird dann trivial, das wird sozusagen zwei-mal Wurzel,
zwei-mal-fa-0-minus-e und das gibt genau diesen Ausdruck hier.
Also sozusagen dieser Ausdruck gibt den vorher abgeleiteten Wert für ein Carsten-Potenzial.
Also das ist eine Verallgemeinerung davon. Genau,
und jetzt wollen wir die ganze Sache anwenden.
Und zwar auf Eiferzerfall. Also das wäre jetzt
sozusagen die Anwendung davon
Und in dem Fall haben wir jetzt,
also im Prinzip bei dieser Anwendung geht es jetzt darum,
dass wir solche integrale ausrechnen.
Und zwar typischerweise für ein Kulam-Potenzial. Das kann man
also analytisch ausrechnen, wir haben auch näherungsweise machen.
Und ja, und dann erhalten wir folgende Situation.
Moment, genau, das muss jetzt hier noch rüber.
Also das wäre jetzt die Anwendung davon,
Der Alphazer Fall. Und was schauen wir uns da an?
Es wäre der Zerfall eines Kerns. In zwei Teilkerne Mit Ladungszahl,
Z1 und Z2, wobei Z2 hier 2 ist,
weil es ein Alpha-Teichen ist, ein Heliumkern.
Und in diesem Fall hätte das Potenzial folgende Form, das wäre ein abstoßendes Kuhlumpotenzial.
Und das hat dann die Form Z1, Mahlzeit 2 mal E-Quadrat,
das ist die Elementarladung, dividiert durch X,
wobei X sozusagen gesagt, der Abstand der beiden Teilkern ist.
Also man kann sich das so vorstellen,
ich habe irgendwie so einen Kern hier,
Und ich nehme mir jetzt einen Teil raus und der andere Teil wird sozusagen dieses Allpha-Teichen sein.
Und die überlappen, oder das Alpha-Teichen sitzt ja irgendwie mittendrin,
das heißt, eigentlich stößt sich das ab.
Und ich muss jetzt den Übergang von diesem Zustand in die zwei Teilkerne ausrechnen.
Ich kann das sozusagen in umgekehrte Richtung lesen,
was ist die Amplitude, dass die beiden Zeichen des Allpha-Teichen
und der Restkern sich vereinen, um den Gesamtkern ergeben.
Und sie arbeiten gegen die Columb-Abstoßung. Und deshalb gibt es da
einen Tunnel-Effekt. Und das wollen wir jetzt mal versuchen,
herauszufinden, also oder dieses Integral hier, für diese Tunnelwahrscheinlichkeit abzuschätzen zumindestens.
Und dieses Integral auszuwerten. Ja, also sie können jetzt
für das Potenzial hier, das wir hier aufgezeichnet haben,
dieses Coolum-Potenzial annehmen. Vielleicht solltet ihr das noch mehr hinschreiben,
weil es natürlich ein bisschen anders aussieht jetzt.
Also wenn ich das jetzt als Funktion von X auftrage,
dann wird es hier irgendwie divergieren, ja,
und das wird so wie 1 durch X abfällen, fallen irgendwie.
Und die Idee ist jetzt folgende, Das,
wenn die Teilchen sehr nahe zusammen sind, dann gewinnt die Kernkraft über die Kolumbkraft.
Also, wenn sie keine Kernkraft hätten,
dann würden die Kerne sowieso auseinanderfliegen, weil die bestehen aus Proton,
die stoßen sich alle ab, die würden auseinanderfliegen.
Das heißt, der einzige Grund,
warum sie Kerne überhaupt realisieren können mit mehreren Protonen,
ist, dass sie eine Kernkraft haben,
die bei kleinen Distanzen sehr viel stärker ist als die kulumbische Abstoßung.
Das heißt, wir haben tatsächlich in der Praxis den Fall,
dass das irgendwie Wobei wir die Kernkraft jetzt nicht so genau kennen bei kleinen Abständen, ja,
aber das würde dann hier sozusagen irgendwann mal bei kleinen Abständen so nach unten wieder gehen,
weil hier die anziehende Kernkraft überwiegt.
Bei großem X ist es die Coolum-Kraft, die Abstoßung.
Und bei kleinen X ist es die Kernkraft, die überwiegt und die anziehend ist.
Ja, also das wäre sozusagen die anziehende Kernkraft.
Und wir würden jetzt gewissermaßen Das ist jetzt unser Setup und
wir wollen jetzt für diesen Fall die Tunnelwahrscheinlichkeit ausrechnen.
Das heißt, wir gehen wiederher mit einem Teilchen,
das ist eine bestimmte Energie eh hat und wir rechnen aus,
was passiert, also das wäre das Energieniveau eh,
was ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Teilchen durch diese Barriere durchlaufen kann.
Also sie nehmen sozusagen an, wenn dieses Teilchen gebunden ist,
dann ist es, dann sitzt es irgendwo hier und weil da die anziehende Kernkraft überwiegt,
ist das Teilchen gebunden Wenn das Teilchen abgestrahlt werden soll,
dieses Alpha-Teichchen, dann muss es durch diese Kolumn-Parriere laufen.
Also wenn ich das Alpha-Teichchen sehr weit rausbringe,
dann wird es von dem ursprünglichen Kern weglaufen,
weil sie diese abstoßende Kolumn-Kraft haben.
Aber um das zu realisieren, müssen sie durch diese Potenzialbarriere laufen,
die sehr hoch ist. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit,
dass das passiert, wird sehr klein sein.
Deshalb sind diese Kerne auch sehr stabil und die meisten
sehr stabil oder haben sehr lange Lebensdauern.
Und wir wollen jetzt abschätzen, wie groß so eine Lebensdauer
sein könnte
Und dazu müssen wir eben jetzt so ein Integral ausrechnen.
Jetzt können wir uns, also das, genau,
wir sehen schon,
wir brauchen jetzt wieder diese beiden Integrationsgrenzen und die können wir jetzt schon angeben oder motivieren,
so minismus, die untere Integrationsgrenze,
die nennen wir Gross R und das ist nichts anderes als die Reichweite der Kernkraft.
Ja, wenn sozusagen der Abstand zwischen dem Allverzeichen und
dem Restkern kleiner ist als R,
dann ist es gebunden und dann haben sie einen gebundenen Zustand
und das Potenzial ist kleiner als die Energie
Dass hier dieses, was wir hier X2 genannt haben,
das ist der äußere Rand dieser Potenzialbarriere.
Das ist der sogenannte Impact-Parameter B. Und den kann man sofort ausrechnen,
weil das ist hier in dem Bereich, wo die Kuhlum-Kraft dominiert.
Das heißt, das ist dadurch gegeben,
dass sich die Energie gleichsetze, der Kuhlum-Kraft bei diesem Abstand.
Also das wäre sozusagen dann eh gleich.
Z1, Mai Z 2, Mai E-Quadrat,
dividiert durch
Ja, und das kann sie sofort invertieren und B ausrechnen,
also B folgt daraus, ist Z1, Z2, E-Goddrahts durch E.
Damit haben wir unsere beiden Integrationsgrenzen und jetzt müssen wir gewissermaßen
halt dieses Integral ausrechnen und das wird hier sehr,
sehr steil sein, weil diese Kernkraft ist extrem ortsabhängig,
sodass ich das weiterhin so idealisieren kann,
dass ich sozusagen einfach die Coolum-Kraft bis R aufintegriere.
Also ich nehme hier in diesem Integral nehme ich nur
das Coolum-Potenzial in Betracht und nicht die Kernkraft,
weil ich idealisiere die sozusagen so, dass die Instantan einsetzt,
dass es wie eine wie eine unendlich hohe Stufe sozusagen.
Ist natürlich eine Ernährung, aber funktioniert sogar erstaunlich gut.
Ja, also was bleibt uns jetzt? Uns bleibt jetzt dieses Integral auszurechnen,
zwischen R und B. Das heißt, wir haben jetzt,
was wir wirklich ausrechnen müssen, ist,
was wir vorhin X1X2 genannt haben,
Integral von 2M
mal V von
Das wird jetzt bei uns gleich werden.
Ja, ich schreibe das vielleicht noch mal so hin.
Das Wurzel 2 M kann man ausklammern. Und dann steht hier
das Integral von Reichweite der Kernkraft bis zu diesem Impact-Parameter B.
Und dann steht hier, Wurzel aus Z1, Z2,
E-Quadrats durch x-e.
Ja, DX
Und das forme ich jetzt ein bisschen um, indem ich noch die Energie ausklammere.
Genau, was passiert jetzt dann? Also haben wir dann zwei MAE,
Wurzel E, Wurzel daraus und dann haben wir hier das
Integral von R bis B und wenn ich jetzt die Energie ausklammere,
dann steht hier natürlich eins,
aber hier steht es eh noch im Nenner und sie sehen,
was hier überbleibt, ist nichts anderes als B. Das heißt,
was dann hier steht, ist
B durch x minus eins Und es wird integriert über X.
Und es macht auch Sinn, weil das geht nur bis B,
denn wenn X größer werden würde als B,
dann wird es ja negativ werden.
Also das definiert sozusagen die äußere Integrationsgrenze. Und das sind siegal,
müssen wir jetzt auswerten. Analytisch. Jetzt sind wir schon,
das ist nicht ganz trivial, das kann man nicht sofort,
also das kann man analytisch auswerten,
ist aber ein bisschen nicht komplett trivialer Ausdruck.
Ich gebe mal das Resultat an,
das können Sie auch in der Integrationstabelle nachschauen.
Und zwar das Resultat kann man
folgendermaßen schreiben
Das ist folgendes, also die Stammfunktion von dem Ding,
schaut folgendermaßen aus, das ist B-x-X, hoch eineinhalb,
Wurzel X, also ein Halbstadt, ein Halb kann ja Wurzel scheiben,
das ist egal, plus B, mal Arcos Tangens,
von B durch X minus 1, hoch minus eineinhalb,
also das ist hier irgendwie,
muss man noch eine Klammer drum machen, ja,
sowas in der Richtung.
Und zwar natürlich jetzt das genommen an den Integrationsgrenzen
B und
Und ja. Und ja, ich weiß nicht,
wie weit ich das durchexeln soll, aber ja,
schauen wir uns vielleicht mal kurz an, was passiert.
Also wenn Sie hier x gleich B setzen,
dann verschwindet der erste Therm natürlich. Und der zweite Therm,
da steht dann, also hier steht null,
und es wird der Akkustangens von eins durch null,
also von unendlich.
Und das ist Pi halbe
Bei Lataniens wird unendlich, wenn das Argument Pi halber ist,
also es ist der Akunst, Akustaniens von unendliches Pi halbe.
Und deshalb kriegen wir an der oberen Grenze,
kriegen wir einfach Pi halbe. Und an der unteren Grenze,
ja, da müssen wir jetzt einfach eher einsetzen.
Ja, also da gibt es, das muss man natürlich abziehen jetzt,
ja. Also haben wir für den ersten Thermen,
haben wir dann, Moment, das ist jetzt hier,
ah ja,
das habe ich nochmal
ein bisschen umgeführt
Formuliert hier, was soll ich hier, bestimmtes überhaupt.
Hier habe ich, also muss ich hier x gleich R setzen.
Und ah, jetzt verstehe ich, ja genau, richtig.
Ich habe hier natürlich, genau, ich habe hier,
hier steht ja noch ein B davor.
Ja, das Ganze hat ja noch ein B hier davor.
Und wenn ich, wenn ich jetzt, genau,
und dann kann ich jetzt das einfach abziehen und
dann steht hier minus Wurzel aus
R, mal Wurzel aus R. Und minus B mal Arkus
Tangens von B durch R minus 1 hoch minus 1,5. Ja,
also das ist so ein bisschen länglich, aber gut.
Jetzt kann ich hier noch ein B ausklammern,
aber ich glaube, ich überspringe das jetzt hier und zwar,
was ich jetzt machen will, ist, ich brauche noch,
ich mache, ich nehme jetzt an, genau,
ich mache das jetzt so
Also das ist eine gute Ernährung,
dass er durch B sehr klein gegen 1 ist.
Also die Reichweite der Kernkraft ist sehr viel kleiner als dieser Impact-Parameter.
Und damit kann ich das so ein bisschen annähern.
Und zwar kann ich jetzt Folgendes schreiben. Gut,
ich schreibe vielleicht mal das einfach, das Redultal hin.
Das ist dann folgendes. Es gibt P-Halbe,
minus 2, R durch B
Ja. So, was habe ich da gemacht? Ich habe unter anderem benutzt,
dass, also wenn Sie sehen,
wenn das würde bedeuten, dass das Argument,
also B durch R wäre sehr groß gegen eins,
dann kann ich das minus eins vernachlässigen,
dann steht hier der Akkus Tangiens von der Wurzel aus R durch B und dann mal in eine reine Entwicklung vom Arkonstangens und der fängt,
der erste Therm fängt,
also Akkus Tangiens von X ist X plus höhere Therme,
das heißt mit anderen Worten,
ich ersetze das Ganze hier einfach mit Wurzel aus R durch B. Ja,
und dann haben wir hier Und dann,
das geht natürlich raus, weil ich das B ausgeklammert habe.
Und sie sehen dann, habe ich hier,
wenn es das B ausklammere, dann steht hier 1,
minus R durch B, das kann ich einfach nachlässigen,
sodass das eins wird.
Und hier steht auch nochmal Wurzel R durch B,
also habe ich insgesamt minus zweimal Wurzel aus R durch B.
Ging jetzt vielleicht ein bisschen schnell, aber es ist nicht so wahnsinnig wichtig.
Es ist ja so, dass das Endresultat ist,
wobei ich hier ein ungefähr gleichzeitig machen sollte,
weil das eine Ernährung ist in diesem Grenzfall,
dass R durch B
sehr klein gegen eins ist
Okay, jetzt kann man das alles einsetzen.
Also wahrscheinlich wären wir dann nicht mehr ganz fertig,
zumindest mit den numerischen Werten,
aber ich schreibe jetzt nochmal das Endresultat für die Tunnelwahrscheinlichkeit an.
Jetzt müssen wir, ja, das ist leider jetzt
nicht mehr auf der Folie hier.
Also wir haben dieses Integral ausgewertet und das stand ja im Exponenten,
von der Tunnelwahrscheinlichkeit,
allerdings noch mit dem Faktor 2 davor
Und da müssen wir uns nochmal anschauen, also das hier
müssen wir auswerten. Also es steht noch ein Faktor,
minus zwei durch Haar quer dabei. Übrigens,
Sie sehen, ich habe den Vorfaktor hier einfach weggelassen.
Warum? Weil ich habe schon mal erwähnt, hier steht
eigentlich sowas wie Phar-0 durch E. Aber das sind Faktoren,
die sind so von der Größenordnung ein Paar, ja,
zwei oder drei. Und das hier ist der weitaus dominantere Teil.
Also der ist sozusagen sehr viel wichtiger, weil der am Exponenten steht.
Das heißt, wenn ich mir eine grobe Abschätzung machen will,
dann schaue ich mir nur diesen Exponentialfaktor an
Dann darf ich natürlich auch nicht erwarten,
dass das Ganze am Schluss auf 30 Prozent genau wird.
Aber ich kann erwarten, dass es auf dem Faktor 2 bis 3 stimmt.
Und wir werden sehen, ein Beispiel, dass es tatsächlich so ist. Okay,
also was man auch aber anschaut, was wir jetzt noch brauchen,
ist, wir müssen also das mit zwei multiplizieren und mit minus zwei eigentlich und in Exponenten erheben.
Und damit bekommen wir dann schlussendlich folgende folgenden Ausdruck.
Das ist dann ungefähr gleich Expe von Minus und jetzt,
ja genau, was ich jetzt so gemacht habe,
ich habe das Bi wieder eingesetzt, ja,
also das B kann man jetzt auch, ich will alles durch die Energie ausdrücken.
Also muss ich das B auch wieder einsetzen und mit ein paar Umformungen,
vielleicht, das mache ich jetzt nicht, im Detail,
das sind ein, zwei triviale Schritte, dann kommt Folgendes raus,
Minus P, mal Wurzel aus 2M,
mal Z1, Z2 Egodrat,
dividiert durch Haarquer und dann steht hier Eins durch Wurzel aus E. Minus 4 durch P.
Und hier steht noch R durch Z1 Z2 E-Quadrats,
hoch eineinhalb. Und da muss ich jetzt drei klammern.
Zwei Klammern noch zumachen. Das ist das Endresultat dieser Ernährung.
Und Sie sehen jetzt, das hängt von der Energie ab,
über diesen Faktor her. Und ja, vielleicht,
das kriegen wir gerade nach innen in zwei Minuten
Wir können jetzt Zahlen einsetzen. Ja, und zwar müssen wir hier,
also für die Reichweite der Kernkraft setze ich ein,
das ist ungefähr der Radius von einem Kern, ganz grob gesprochen.
Und es geht natürlich,
das wird mit der dritten Wurzel der Kern der,
wie sagt man, der Atomic Number gehen, also von A.
Und wenn man Zahlen einsetzt,
dann ist es 1,5 bei 10er und minus 13.
A,
auch ein Drittel
Zentimeter. Und wenn man jetzt gleichzeitig noch setzt,
dass A ungefähr zweimal die Kernladungszahl ist,
dann kriegt man irgendwie, oder 1,5 mal oder sowas,
dann ist es ungefähr zweimal 10 oder minus 13, mal Z1,
das ist sozusagen der Restkern, wo auch ein Drittel Zentimeter.
Das ist die Z1 ist die Kernladungszahl von dem Tochter,
die haben von der Tochter, die haben Kern,
der übrig bleibt, wenn ich ein Alphateichen abstrahle.
Wenn ich diese Zahlen einsetze, dann bekomme ich Folgendes,
und zwar, weil das jetzt eine sehr kleine Zahl ist,
nämlich den Zehner-Logorithmus davon, Und der ist folgende,
da kommt folgendes raus, minus 64,
also sie sehen die Größenordnung ist dann sowas wie 10er und minus 64,
also das ist sehr klein.
Und das skaliert natürlich dann mit Z1, sie sehen das hier,
dieser Faktor ist proportional zu Z1, ja,
Z2 ist einfach 2, weil das ist der Alphazeichen ist,
da habe ich jetzt 92 eingesetzt, weil das,
glaube ich, Uran ist oder sowas, weiß gar nicht mehr.
Und dann steht hier dieser 1 durch Wurzel Etherm und da
setze ich eine typische kinetische Energie von einem Tochter,
als ja am Ende, das sind ein paar MEV.
Entschuldigung, da fehlt was, das muss ich ein bisschen sauber erscheinen.
92, und da steht die Klammer so rum, genau.
Und dann haben wir noch von dem letzten Therm hier hinten,
der wird positiv, ja,
weil da haben sie zweimal im Minuszeichen und der geht dann
im Wesentlichen wie Z1 hoch zwei Drittel,
weil hier steht Z1 und hier steht Z1 hoch minus ein Drittel.
Im Moment ist, das habe ich mich hier verschrieben.
Hier steht eineinhalb, da muss ich überprüfen, Da muss
irgendein Tippfehler drin sein. Entweder ist es zwei Drittel oder
eineinhalb, aber okay. Ich prüfe das nochmal nach.
Aber jedenfalls ist hier dann plus 37,
Mai Z1 durch 92, hoch zwei Drittel.
Ich mache hier mal ein Fragezeichen hin, das muss ich dann nachschauen.
Und Z1 ist also 92 ist tatsächlich Uran.
Und das ist sozusagen die Tunnelwahrscheinlichkeit. Jetzt ist die Zeit
um und deshalb werde ich jetzt, wir haben eigentlich,
was wir wollen, ist eine Lebensdauer.
Das ist noch keine Lebensdauer, das ist eine Tunnelwahrscheinlichkeit
Das heißt, um hier eine Lebensdauer reinzubringen, muss ich
mit irgendeiner Zeitskala multiplizieren. Und ich werde sich herausstellen,
dass das im Wesentlichen die Stoßfrequenz ist,
von einzelnen Protonen oder Alpha-Teichen in dem Kern.
Und das ist grob die Größe von dem Kern dividiert durch die charakteristische Geschwindigkeit.
Und wenn man diese Rate multiplizieren, mit der Wahrscheinlichkeit,
dann kommt eben so was heraus wie 10er minus 29 Jahre oder sowas.
Und das, sorry, 10er,
29 Jahre oder 10 noch 30 Jahre
grob gesprochen
Für diesen ersten Therm. Und dann werden wir
das vergleichen mit experimentellen Messungen. Und tatsächlich stimmt es,
so bis auf Faktor 2 bis 3 überein.
Also die Reinnung, ob schon wir mehrere Ernährungen gemacht haben,
aber die Errechnung gibt tatsächlich die richtige Größenordnung wieder.
Gut, das machen wir dann am Montag fertig.
Und ah ja, hier noch ein Hinweis, es gibt
noch nichts abgeholte Übungsblätter. Ich glaube hauptsächlich von Gruppe A,
die liegen hier vorne aus,
wenn noch jemand sein Blatt vermisst,
dann bitte hier abholen