Ja, guten Morgen allerseits. Noch, ich hoffe,
dass wir es mitgekriegt haben. Ich wollte es nochmal betonen
. Jetzt haben Sie ab heute zwei Sets von Kästen,
Abgabe auf der linken Seite, von mir aus gesehen.
Und Rückgabe auf der rechten Seite. Ich habe es auch
nochmal hingeschrieben. Ich hoffe, dass das so anläuft.
Genau. Und ab heute wird es also immer so laufen,
dass sie einen Übungsplatz zurückgeben und das andere nach der Vorlesung
abholen können auf der rechten Seite.
Also der Austausch, findet während der Vorlesung statt,
da kommen die Korrekturen rein und geben die korrigierten Blätter zurück und nehmen die abgegebenen auf.
Also nochmal machen sie das die Abgabe nach Möglichkeit vor der Vorlesung,
weil wenn sie das irgendwie während oder nachher machen,
dann haben sie das Risiko,
dass die Korrekturen schon wieder weg sind und dann wird ihr Blatt nicht korrigiert oder zumindest nicht in der Woche.
Gut, ich habe noch zwei weitere organisatorische Dinge.
Vielleicht sollte ich das hier als Englischhop hier machen.
Also ich bin nochmal von den Tutoren kontaktiert worden, Und die haben,
weil ja bisher der Termin freitags um 16.30 Uhr ist,
was ein bisschen spät ist, haben sie jetzt eine Alternative vorgeschlagen.
Und da müssten wir wahrscheinlich irgendwie abstimmen oder so,
welcher das ihnen lieber ist. Also die Alternative wäre donnerstags,
vielleicht sollte ich noch mal hinschreiben, um was es geht.
Also Tutorium. Also entweder donnerstags,
13.045 Uhr bis 15 Uhr 45 im sogenannten blauen Salon.
Das ist da irgendwie in diesem Jungjahrstraße 11 hinten, glaube ich.
Oder, also die gibt es nicht beide, sondern wir
müssen uns für einen der beiden entscheiden. Und bisher,
ich glaube, letzte Woche war es erstmalig, am Freitag,
das war 16.30 Uhr bis, ja, weiß nicht,
18 Uhr wahrscheinlich oder so, im Seminarraum 2. Ja,
also ich weiß jetzt auch nicht,
wie ich das machen soll.
Vielleicht kann man per Handzeichen mal sagen,
wer zieht den Donnerstagstermin vor
Wer zieht den Freitagstermin vor? Es scheint weniger zu sein.
Es gibt aber auch einige, die sich nicht gemeldet haben,
ist okay, weil das ist ja freiwillig.
Aber wenn das so ist, dann würde ich mal sagen,
wenn es nicht, sagen wir mal,
wenn es nicht bis zum Ende der Vorlesung irgendwelche großen Probleme oder Rückmeldungen gibt,
dann würde ich es den Tutoriumsleitern mitteilen.
Das, was dann von dieser Woche am Donnerstag machen,
zu diesem in diesem Zeitraum hier.
Das ist halt ein bisschen besser gelegen,
weil es nicht so spät ist am Ende der Woche.
Dann gibt es noch
einen Hinweis
Ich habe ja letztes Mal bekannt gegeben,
dass es jetzt tatsächlich acht Übungsgruppen gibt.
Und am Anfang war das nicht klar und deshalb waren in
der Gruppe G sehr wenige. Und jetzt habe ich gehört,
am Donnerstag war die Gruppe G vollständig leer,
während die Parallelgruppen oder zumindestens einer davon sehr voll war.
Also hier nochmal der Hinweis, bitte verteilen Sie sich.
Das ist ja trivial, weil die parallel stattfinden.
Versuchen Sie es zum Verteilen, das ist für Sie auch angenehmer,
dann haben Sie ein besseres Betreuungsverhältnis,
als wenn da irgendwie 25 Leute in einer Gruppe sind.
Also es gibt ja drei parallel am Donnerstag
Diese Woche schauen Sie noch mal, man kann das diese Woche
noch mal umändern. Die Leute werden noch mal listen,
rumlaufen lassen, wo sie sich dann eintragen.
Und hoffentlich ist es dann fix von diesem, von dieser Woche an.
Aber versuchen Sie sich da noch etwas zu verteilen,
weil sonst kommt der Übungsleiter in Gruppe G umsonst.
Also noch mal hier Hinweis. Übungsgruppe Geh ist
weitgehend frei.
Ich schreibe mal in Anführungszeichen gleichmäßig zwischen den Donnerstagsgruppen verteilen.
Sie können natürlich auch vom Montag oder Mittwoch
noch in diese Gruppe gehen, wenn sie das wollen.
Also das bleibt Ihnen überlassen, aber es wäre gut,
wenn da auch ein paar Leute hinkommen,
weil wir die jetzt extra eingerichtet haben,
diese Gruppe und die sollte dann halt auch wahrgenommen werden.
Im Prinzip sind sie ja genügend Studierende,
ist glaube ich sein über 140,
von daher sind acht Gruppen gerechtfertigt
Und deshalb schlage ich vor,
dass wir das nochmal versuchen, einigermaßen gleich zu verteilen.
Also ich habe gesehen, zumindestens die frühen Montagsgruppen sind ziemlich voll.
Also wenn da noch jemand rüber will, ist eine Möglichkeit.
Okay, gut, das war's soweit. Hoffentlich,
also ich unterschleiche das jetzt mal, weil es so aussah,
als ob das bevorzugt wird. Und das wäre es dann
soweit zur Organisation. Also vielleicht auch nochmal zur Erinnerung,
Abgabe ist heute von Platz 1. Sorry, Abgabe ist heute von Platz 2
Aufgabe es von Platz 1. Ja. Bitte? Ich stehe
in Platz 1, weil ich bin nicht so zurückgeblieben.
Alles klar. Das sollte heute im Laufe der Vorlesung passieren.
Ja, weil die kommen nicht unbedingt gleich am Anfang,
aber am Ende soll es da sein.
Also die Idee ist, dass sie beim Rausgehen ihre Blätter mitnehmen.
Genau. Also es kann auch sein,
dass einige da sind, weil das sind verschiedene Korrektoren.
Aber ich habe dir eben gebeten,
dass sie spätestens zum Ende der Vorlesung
alles zurückgegeben haben
Also wenn das nicht läuft, wir nochmal rückmelden,
dann spreche ich die Leute auch gerne nochmal an,
wenn da irgendwas nicht funktionieren sollte.
Aber ich habe es denen alle so erklärt im Prinzip.
Okay, gut. Jetzt machen wir weiter mit der Physik
. Also wir hatten letztes Mal diesen Abschnitt 2.7 angefangen und
da hatten wir zunächst mal stationäre Strödingergeigerung angeschaut,
als Energieeigentzustände und dann allgemein Eigenfunktionen von hermitischen Operatoren betrachtet
Da wollte ich jetzt noch ganz kurz nochmal wiederholen.
Also gegeben sei ein hermittischer Operator. Aha, kann heute noch nicht schreiben.
A, das heißt also A, gleich A, Täger.
Und der hat bestimmte Eigenwerte und Eigenzustände, also in der Form,
dass wenn A auf CN wirkt, dann gibt es eine Zahl,
und zwar ist die Zahl reell, AN. Das heißt,
AN ist sozusagen eine rele Zahl, Und da haben wir gesehen,
wir haben es nicht bewiesen, aber wir haben,
das ist sozusagen, was man eigentlich,
was man mir in der Mathematik macht, aber wir haben angemerkt,
dass diese Eigenzustände eine Orte und normale,
oder dass man sie so wählen kann, sonarmieren kann,
dass sie eine Orte und normale Basis bilden,
dass sie eigen Zustände, CN können als Orto,
normale Basis gewählt werden.
Das heißt, dass das Kalarprodukt gleich dem Chroniker NM ist.
Achso, ja, und hier haben wir jetzt angenommen,
dass N, also wichtig ist einfach, dass das abzählbar ist.
Also dass ich das charakterisieren kann durch eine natürliche Zahl N.
Das nummeriert sozusagen diese Eigenzustände. Und hier sollte ich auch noch dazuschreiben,
dass das eine vollständige Basis ist und vollständig bedeutet in dem Zusammenhang,
dass ich jeden Zustand sehe. Also Sie müssen sich das vorstellen,
hier steht im Prinzip auch das Argument, also das räumliche Argument,
das lasse ich jetzt oft weg, um Schreibarbeit zu sparen.
Aber im Prinzip können Sie dann zum Beispiel jeden Zustand entwickeln,
nach diesen eigenen Funktionen, mit irgendwelchen konstanten CN.
Ja, wobei, also da muss ich aber alle einsummieren
und CN, sind irgendwelche komplexen Zahlen. Ja,
und die Tatsache, dass das vielleicht so dieses nochmal hinschreiben,
das soll gelten für alle, sie, die Quadratintegrierbar sind.
Also in diesem Raum der Quadratintegrierbaren, Funktionen von D räumlichen Variablen sind.
Und dass man das für jedes Psycho machen kann,
das nennt sich eben, das führt dann zu dieser Bezeichnung vollständige Basis.
Wenn man das nicht machen können, dann wäre es halt eine unvollständige Basis.
Sie können natürlich einen Unterraum von diesen Funktionen rausnehmen,
dass wir immer noch, würde immer noch eine Orte normale Basis darstellen,
aber halt nicht mehr vollständig, weil wenn sie dann Zustand sozusagen orthogonal zu diesem Unterraum hätten,
dann könnten sie die nicht in dieser Form darstellen.
Okay, das war eine sehr wichtige Eigenschaft. Und daraus haben wir jetzt auch abgeleitet,
also da gibt es verschiedene Versionen, dieser Vollständigkeitsrelation und eine,
die wir abgeleitet haben, die auch wichtig ist,
wenn man diesen Ortskoordinaten macht, folgt sozusagen direkt daraus,
die Ableitung schreibe jetzt nicht mehr hin,
weil man das letztes Mal schon hatten, ist,
wenn ich CEN von X nehme,
mal CEN von X Strich und ich summiere über alle N,
dann gibt es nichts anderes als die Delta-Funktion von x-x-strich.
Das ist auch eine Konsequenz von dieser Vollständigkeit.
Und dann hatten wir noch die Normen von Psy ins Quadrat,
also das Kalarprodukt von Psy mit sich selbst.
Das ist ja immer das Integral von Betragsquadrat Psy,
dass ich das auch schreiben kann als Summe, der Betragsquadrat dieser Entwicklungskoeffizienten.
Und es liegt einfach daran, wenn sie diese Entwicklung hier einsetzen,
dann gibt es zunächst mal eine Doppelsumme,
weil sie ja ein Quadrat haben, aber nachdem die paarweise orthogonal sind,
hört es zu einer Einfangsumme und weil die diagonalen Fälle auf einzeln armiert sind,
bleibt halt diese Summe über.
Also das kann man direkt als Konsequenz dieser Relation hier verstehen. Okay,
und jetzt haben wir gesagt, also das ist jetzt,
was ich bis jetzt gesagt habe, da hatten wir überhaupt keine Zeitabhängigkeit.
Wir haben uns gewissermaßen einen Zeitpunkt rausgepickt und haben zum Beispiel halt die Funktion zu dem Zeitpunkt,
wobei ich das Zeitkoordinate jetzt nicht mir gespart habe,
also nicht angeschrieben habe und zu einem bestimmten Zeitpunkt kann ich das so entwickeln.
Aber die Frage ist jetzt natürlich, wenn ich die zeitabhängige Schrödingergleichung verwende,
wie entwickelt sich das jetzt nach der Zeit in der Zeit?
Und da kann man jetzt sofort sehen, das ist ganz einfach,
dass wenn ich also jetzt die Zeit dazu nehme,
dann ändert sich diese Entwicklung folgendermaßen, dass ich einfach jeden Term mit ehoch-minus-i EN,
das ist der zugehörige Energieeigenwert, Tee durch Haarquer multiplizieren muss.
Und ansonsten bleibt alles gleich
Warum ist es so? Naja, das kann man sofort verifizieren.
In dem waren die Schrödinger gleich und vielleicht schreibe ich das nochmal explizit an.
Also wenn Sie sich erinnern, dann heißt die Schrödinger erklären,
die kann man ja so schreiben, dass es gleich ha, mal psy.
Ja, also der linke Teil ist die Zeitableitung.
Der rechte Teil ist der Hamilton-Operator, der auf psy wird.
Und wenn ich das jetzt hier einsetze, also die linke Seite,
also wenn ich das jetzt hier anwende auf Stern,
ja, anwenden, Auf Stern, dann folgt,
dass die linke Seite gleich ist, Summe N,
und dann steht hier CN-EN, eominus I,
EN-T durch Hardware, CN von X, ja, warum?
Weil, wenn ich das ja nach der Zeit ableite,
dann kommt natürlich ein Minus-I-Ender-Hakquer runter aus dem Expanenten,
und das I minus IHA quer kürzlich gegen den Vorfaktor,
und deshalb bleibt einfach der Energieeigenwert über.
Und auf der anderen Seite, die rechte Seite,
Die ist ja dann Summe aus N, CN,
eominus i, EN, C durch Hakquir, mal H,
wirkend auf PCN von X. Und das ist auch EN,
mal PCN, weil per Definition das PCN eine Eigenfunktion ist von H,
zum Eigenwert EN.
Also das ist sozusagen dann ebenfalls Da,
und da schreibe ich dir das noch mehr explizit hin,
ha, wirkend auf CN von X. Gleich EN,
das ist der Energieeigenleiter, der dazu gehört, MyPCN von nächstes.
Und damit ist bewiesen, dass linke Seite, gleiche rechte Seite ist.
Und deshalb beschreibt das hier die Zeitentwicklung dieses Zustands.
Und sie sehen auch zum Beispiel nur dann,
wenn sie sich bereits in einem Energieeigenzustand befinden, das heißt,
wenn diese Summe nur aus einem Therm besteht,
dann ist die Zeitentwicklung trivial, nämlich nur eine globale Exponentialfunktion.
Wenn sie aber mehrere Therme hier drin haben zur unterschiedlichen Energieeigenwerten,
dann gibt es eine Interferenz, von verschiedenen Frequenzen, ja,
und dann kann man keinen globalen Exponentialfaktor für die Zeitentwicklung mehr ausklammern.
Und deshalb wird der Zustand dann nicht stationär. Das heißt,
er hat dann keine triviale Zeitentwicklung, sondern eine komplizierte.
Und das findet dann statt, wenn sie eben nicht in
einem Energieeigenzustand sich befinden, zurzeit Tee gleich Null.
Okay, gut. Das war also so viel dazu. Und jetzt kommen wir,
jetzt gehen wir wieder zu allgemein hermittlischen Operatoren A und fragen uns gewissermaßen Was passiert jetzt,
wenn ich, also angenommen, also ich schreibe mal hin,
wir hätten eine Messgröße, die einem hermittischen Operator, A, entspricht.
Ja, ich hatte das vorhin,
ich hatte das vor ein, zwei Wochen schon mal erwähnt,
dass eins, eines der Vossolate der Quantenmechanik besteht darin,
dass man sagt, jeder Messgröße entspricht ein hermittischer Operator A,
in so einer mathematischen Beschreibung von dem System
Und nehmen wir an, wir befinden uns jetzt in einem Zustand
, sie. Also die Frage ist sozusagen das Problem,
für das wir uns interessieren ist.
Was ist die Verteilung der Messwerte von A im Zustand sie?
Ja, also nehmen Sie an,
irgendjemand präpariert ihnen einen Zustand,
der wird durch diese Wellenfunktion
Psy von X beschrieben
Und dann gibt ihnen jemand auch einen Operator und sagt,
jetzt machen Sie mal Messungen. Und bei jeder Messung,
also denken Sie ja beispielsweise an den Impulsoperator.
Also Sie haben ein System und messen den Impuls des Systems.
Und im Allgemeinen, was passieren wird, ist,
dass jedes Mal ein anderer Messwert rauskommt.
Es kommt nur dann immer der gleiche Messwert daraus,
wenn der Zustand einen Eigenzustand zum Operator A darstellt.
Aber im Allgemeinen wird das nicht der Fall sein. Ja,
also wenn man einen Impulsoperator haben, wenn das PC eine Eigenfunktion ist zum Impuls,
dann wäre ich natürlich immer den gleichen Messwert erhalten, nämlich den Eigenwert.
Wenn das aber kein einen Zustand vom Impulsoperator ist,
dann bekomme ich eine Verteilung von Messwerten.
Und ich interessiere mich jetzt dafür, wie diese Verteilung ausschaut.
Also die Wahrscheinlichkeitsverteilung davon. Und ich nenne diese Verteilung W,
W hat was mit W für Wahrscheinlichkeit, W von A,
A ist sozusagen der Messwert.
Und dann gebe ich dem Ganzen noch ein Subskripsie,
weil das natürlich von dem Zustand Psie abhängt.
Also das wäre sozusagen, man könnte sich das so darstellen,
grafisch, ich plotte hier irgendwie die Mess,
den Messwert A und bekomme irgendeine Verteilung Ja,
die sind natürlich auf einzeln armiert.
Für diesen Messwert A. Also das wäre sozusagen dieses Web-C von A. Wenn sie in einem Eigenzustand sitzen,
dann wäre das trivial, dann wäre es eine Delta-Funktion,
dann kriegen sie halt nur einen Wert draus.
Aber im Allgemeinen wird das irgendeine breite Verteilung sein.
Und wir interessieren uns für diese Verteilung. Und dazu sollte ich noch sagen,
im Allgemeinen kann, also A ist natürlich reell und kann halt
irgendeine elle Zahl sein zwischen minus und plus unendlich.
Ja, das bedeutet, Das A wird bei Messung,
also wenn ich so eine Messung durchführe,
zu einer Zufallsvariable, weil ich ja nicht voraussagen kann,
welchen Messwert ich in einer bestimmten Messung erhalte.
Deshalb ist das ein Zufallsvariable. Und die nenne ich halt
dann ab sie. Mit Verteilung, mit dieser Verteilung
web sie von
Okay. Soweit, so gut. Und jetzt nehmen wir uns,
also vielleicht eine Sache sollte ich, sollte ich noch erwähnen.
Also ich beziehe mich immer auf den gleichen Zustand Psy.
Ja, das heißt, es kann jetzt natürlich passieren,
das werden wir später noch vielleicht ein bisschen genauer diskutieren,
dass wenn ich eine Messung mache, dann im Allgemeinen verändere ich den Zustand Psy.
Ja, insbesondere, wenn sie kein Eigenzustand von dem Operator A
ist und ich mache eine Messung, bekomme bestimmten Wert,
dann kollabiert diese Wellenfunktion auf den Eigenzustand.
Das heißt, die Messung verändert im Allgemeinen den Zustand,
sie. Wenn ich jetzt aber von der Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Messwerte
in dem Zustand ziel spreche, dann muss ich sicherstellen,
dass ich vor jeder nächsten Messung immer wieder den gleichen Zustand sie präpariere.
Also wenn der Zustand durch die Messung verändert wird,
dann muss ich den ursprünglichen Zustand wiederherstellen, wieder präparieren,
weil sonst ist es nicht der gleiche Zustand.
Deshalb beziehe ich mich hier immer auf einen gegebenen Zustand,
den ich habe eventuell immer wieder neu präparieren muss.
Das nur zur Betonung sozusagen. Okay, Genau,
jetzt verallgemeinern wir diese Sachen klein wenig und fragen uns,
angenommen, ich habe eine Funktion von A, also das ist jetzt,
da kann ich meinen Operator einsetzen und im Allgemeinen,
wenn das eine analytische Funktion ist,
dann kann man das zum Beispiel als Taylor-Entwicklung schreiben oder sowas.
Und ich will jetzt den Erwartungswert von F von A im Zustand sie auswerten.
Das ist ja, das ist der Erwartungswert. Also ich
muss sozusagen, wie man im Jargon so schön sagt,
Ich Sandwitsche, den Operator zwischen den beiden Zuständen.
Und das ist der Erwartungswert. Das wird dann manchmal
verkürzt geschrieben als Erwartungswert von F von ABC,
ob sie es sozusagen die Verteilung dieser Werte im Zustand sieht.
Und ja, und das kann man jetzt schreiben,
als Integral von minus bis plus unendlich,
über alle möglichen Messwerte klein A, mal der Wertefunktion zu dem Messwert klein A.
Und dann natürlich die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, dass dieser Messwert realisiert wird.
Also der einfachste Fall ist, wenn FA einfach gleich A ist,
Ja, dann steht halt hier das Integral über A,
mal Websi von A, das ist der Erwartungswert von A,
ja, ob das die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür ist, dass ich den Messwert A erhalte.
Genau, und insbesondere definiert man das Ka,
das sogenannte Karte im Moment,
also deshalb werden sie vielleicht auch als Statistik, Mathematik,
Grundvorlesungen kennen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen kann man durch sogenannte Momente charakterisieren.
Momente sind nichts anderes als Erwartungswerte von Potenzen, von einer Messgröße.
Also in unserem Fall wäre das, nennt es MCK,
es ist ja das Karte im Moment im Zustand Psy.
Und das ist natürlich nichts anderes als hier, wenn ich
hier für F&A A hoch K hernehme. Das heißt,
ich habe ab Siho K. und das ist natürlich dann das Integral,
wo ich hier das F&A gleich auch K setze.
Also das ist Hochka, mal reb sie von A. Das heißt,
das Card im Moment, dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung,
web sie von A. Ja, also denken Sie zum Beispiel,
das erste Moment ist der Erwartungswert.
Das zweite Moment hängt zusammen mit der Varianz,
also mit der Streuung
Ja sozusagen der Erwartungswert von Arguadrat. Und sie wissen beispielsweise Varianz,
also ich schreibe das mal als Beispiel hin,
Varianz wäre der Erwartungswert von Arguadrat minus der Erwartungswert von A ins Quadrat.
Das heißt, dass wir das zweite Moment minus das Quadrat
des ersten Moments, und das ist halt dann die Varianz.
Und dann gibt es halt beliebig hohe Momente sozusagen.
Und die Krux ist jetzt, dass man die Wahrscheinlichkeitsverteilung
auch eindeutig durch ihre Momente charakterisieren kann.
Und wie man das manchmal macht, ist durch eine sogenannte
charakteristische Funktion, die es dann folgendermaßen definiert.
Das nennt man dann Hi, Sie von Tau,
die hängt von einer Variablen Tau ab und das ist
die Definition ist der Erwartungswert von eo-i,
ab sie Maltau
Und das ist dann natürlich nichts anderes, wenn ich jetzt
sozusagen hier in dieser Definition, wenn die Funktion eo-i abcitau ist.
Also wenn ich das hier einsetze, dann steht hier,
das ist das Integral von minus bis plus unendlich, eo-i-a-tau.
Mal web sie von A. Und die Idee ist jetzt,
dass ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung auch charakterisieren kann durch diese charakteristische Funktion,
die von Tau abhängt.
Eigentlich ist es nur ein Umschreiben,
also in der Wahrscheinlichkeitsverteilung, in der Funktion steckt genau
dieselbe Information sozusagen
Das können wir jetzt noch ein bisschen ausixen hier.
Denn ich kann natürlich hier das Ding hier Taylor entwickeln.
Und dann kommt Folgendes raus. Das wäre dann,
fallen wir das mal ausführlich hin, nochmal.
Und wenn ich jetzt hier eine Taylor-Entwicklung nehme,
dann habe ich hier sowas wie K, gleich Null bis unendlich.
Und dann steht hier minus
Ciao, hour car, dividiert durch Enfakultät. Und dann steht hier natürlich noch
das A-Hoch-K. Und dann habe ich hier Websi von A. Ja,
und wenn ich jetzt Summation und Integration vertausche, dann bekomme ich Folgendes.
Nämlich, dass die Summe über alle Cars und dann habe ich hier minus,
ich schreibe das ein klein wenig um,
minus I-Hoch-K durch,
also das muss natürlich ein Car sein und nicht ein En
Ja, Karfakultät. Und dann steht hier TauK. TauhochK. Und
dann haben wir natürlich hier dieses Integral stehen und da steht
aber jetzt einfach nur A hochK, web sie von A.
Und das ist dieses Moment, das wir vorher definiert haben.
Das ist dieses MCK. Das war ja die Definition von dem hier.
Das ist genau das Gleiche. Also kann ich das zusammenfassen,
man kann schreiben,
das ist die Summe aus K. Gleich null bis unendlich,
von minus I hoch K,
die wird ja durch Karfakultät zauber hoch K.
Und dann steht hier MC von
Okay, das heißt, wir haben jetzt auch eine Relation
zwischen dieser sogenannten charakteristischen Funktion und den Momenten der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Das heißt, wenn Sie alle Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen,
dann kennen Sie auch die charakteristische Funktion, weil das einfach nur davon abhängt.
Das wird durch diese Taylor-Entwicklung beschrieben. So, jetzt kann man sich fragen,
okay, was ist, was habe ich jetzt gewonnen?
Und insbesondere Genau. Was sind jetzt diese Momente sozusagen,
wenn ich, jetzt schauen wir uns, genau,
schauen wir uns mal diesen Zustand hier an.
Wir haben vorhin gehabt, dass wenn ich das Psy,
kann ich immer als Entwicklung nach Eigenfunktionen von A schreiben.
Und wenn ich das jetzt einsetze, in diesen Erwartungswert hier,
Wo steht dann nochmal hier, genau?
Dann sehen Sie jetzt relativ leicht, wenn Sie die Orthogonalitätssalationen betrachten,
dass... Genau, machen wir das vielleicht mal etwas ausführlicher.
Also wenn ich jetzt, also dieses Moment, M-CK,
das ist ja nichts anderes als der Erwartungswert von PC, A hoch K, PC.
Und wenn ich da jetzt diese Entwicklung einsetze für PC,
Ja, also hier setze ich diese Entwicklung für sie ein,
wobei ich gleichzeitig verwende, dass diese CNs natürlich wieder eigenzustände von Asien zum Eigenwert AN. Ja,
dann sehen Sie, dass wenn sozusagen daraus folgt jetzt zum Beispiel,
dass A hoch K wirkend auf CN ist natürlich HN-Hochk-CN,
ja, also mit anderen Worten,
die PCNs sind auch Eigenfunktionen des Operators A hoch K,
wobei die Eigenwerte halt gerade die Karte Potenz der Eigenwerte von A ist,
also AHN-Hochk, Und wenn ich das jetzt hier einsetze,
dann bringt mir das immer in dieser Entwicklung einfach Faktoren AN,
Hoch-K runter.
Und die sind ja ein paarweise orthogonal. Das heisst,
wenn ich sie hier und hier einsetze,
dann kriege ich zwar zunächst eine Doppelsumme,
aber aufgrund der Ort und Normalität wird es wieder eine Einfachsumme.
Vielleicht schreibe ich das mal ausführlich hin,
da würde jetzt zunächst mal stehen, Summe N und M.
Und dann würde hier stehen CN-Stern, CM. Und dann
würde hier stehen der Erwartungswert von AHO K, Sandwich zwischen CN und CM.
Und das hier ist aber gleich ANHOK, mal Delta NM.
Ja, warum? Weil das folgt sofort aus dieser Relation.
AK wirkend auf CM ist halt AMHOK. Ja,
und CN und CM sind aber ein paarweise orte normal und deshalb kriegen sie hier noch dieses Chronecker,
das vereinfacht jetzt die Summe,
N wird gleich M und sie haben im Endeffekt einen ganz einfachen,
relativ einfachen Ausdruck, nämlich eine Einfachsumme über die CN-Betragsquadrat, da steht halt jetzt in hochk.
Genau. Ja. Und zwar zu der ersten Zeit,
bei der geeignet ist, die Funktion,
die wir uns so ausgeschrieben haben, geben.
So ist ab 7.000. Das wechselt von diesem Arzt zu dem kleinen Arzt.
Ich stehe da nicht dran. 6.000, 200 Jahre Aufsieg wieder gegangen.
Und dann ist er irgendwie, das ist das kleine Arzt,
das er denkt, das, das. Ja,
weil das ist der Erwartungsweg, also das ist sozusagen diese Zufallsvariable,
ja, also die kann Werte klein A annehmen,
über die ich integrieren muss. Ja, also mit anderen Worten,
dieser Erwartungswert ist per Definition das Integral über A und dann muss ich halt hier sozusagen den jeweiligen Wert A einsetzen,
ja, und das Ganze multiplizieren mit der Wahrscheinlichkeit,
dass dieser Wert realisiert wird, ja, also A,
sie hier steht für klein A,
nur dass das halt keine sichere Messung ist,
sondern nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Das heißt, sie substituieren hier einfach ab sie mit
Klein A und integrieren dann aber über alle möglichen Werte,
gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dass dieses A realisiert wird.
Also sie können sozusagen das ABC als Klein A auffassen.
Das ist eigentlich nur ein Symbol für diese Zufallsvariable sozusagen,
im Zustand Psy. Ja, genau. Gut, ja,
also hier, jetzt haben wir eben auch ein relativ verständliches,
verständlichen Ausdruck für diese Karte im Moment abgeleitet.
Wir sind zum Beispiel insbesondere, wenn ich K gleich eins wählen würde,
dann wäre das einfach der Erwartungswert von A, Ja,
und das ist dann halt CN-Betragspatrat mal AN.
Ja, weil eben ich dieses Psy in Eigenfunktionen von A
entwickelt habe und in diesen Eigenfunktionen nimmt es A immer ganz bestimmte Werte an, nämlich AN.
Und dementsprechend multipliziere ich sozusagen diese möglichen Eigenwerte mit dem Anteil
von CN in der Funktion Psy in der Art und Weise.
So, jetzt kann ich auch eine Umkehr trans,
also eigentlich wollte ich ja wissen, Was ist diese Wahrscheinlichkeit,
wie PC von A? Und das kann man jetzt auch,
man kann gewissermaßen diese Definition hier umdrehen,
wenn man genauer hinsieht, dann sieht man,
das ist ja nichts anderes als eine Fuy-Transformation ist.
Das ist eine Fuy-Transformation. Und die kann ich
natürlich umdrehen und uns das Resultat,
ist folgendes
Ist, dass dann schließlich web sie von A gleich ist.
Und dann gibt es auch wieder ein Integral von minus bis plus unendlich.
Und hier muss ich jetzt über dieses Tau integrieren.
Und dann ist noch ein Faktor 2P,
das kommt von der Normierung der Feuertransformation.
Und dann habe ich EOI-A-A-Tau. Und dann habe ich hier
diese charakteristische Funktion als Funktion von Tau.
Genau. Ja, was wollte ich jetzt
noch hier machen?
Okay, jetzt gehe ich hier zurück und schaue mir nochmal an,
was denn dieses, diese charakteristische Funktion, also ich habe ja abgeleitet,
also in der Basis der Eigenfunktionen von A, habe ich die Momente hier abgeleitet.
Das ist dieser Ausdruck. Das kann ich ja hier jetzt,
wo was Genau, hier kann ich das hier. In dieser Kleidung kann ich das einsetzen. Also ich setze jetzt dieses Resultat hier ein,
ja, und dann bekomme ich einen neuen Ausdruck für diese charakteristische Funktion,
und zwar ist es K von 0 bis unendlich,
und dann haben wir hier, also was ist jetzt relativ einfach macht,
ist, das hier ist ja AN HochK,
das heißt diese Kartenexponenten, Exponent K kann ich zusammenfassen,
da habe ich drei Stück davon,
die kann ich in einen Faktor reinziehen,
und ich erhalte dann Nichts anderes als, okay,
machen wir es trotzdem mal vielleicht langsam.
Ich schreibe es jetzt hier, die Summe enden hin,
dann nahmen wir hier diese CN-Betragsquadrat.
Und dann haben wir, was bleibt jetzt über,
dann haben wir minus, ja, minus i, Tau.
Und von dem her haben wir AN, hoch K,
dividiert durch K-Fakultät, weil das alles, ja,
ich glaube, das war alles, ja.
Und jetzt kann ich die Reihenfolge der Summation wieder vertauschen.
Das heißt, ich schreibe jetzt hier das hier.
Und dann steht hier, ja, scheinbar ist nochmal sauber hin hier.
Dann steht hier minus Itau, AN hoch K,
dividiert durch Paar Fakultät. Und das ist nichts anderes als,
das ist die Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Sieht das jeder?
Also nochmal, ich habe das hier, habe ich hier eingesetzt.
Ja, und dann habe ich festgestellt, okay,
dann habe ich minus IOK, mal Tauhochka, mal A,
ein Hochkrad. Das habe ich in einen Faktor zusammengefasst.
minus Itau AN hoch
Und dann bleibt ein 1 durch K-Fakultät über.
Und natürlich noch das CN-Betragsquadrat. Wenn ich das dann
Reihenfolgesimulation vertausche, dann kann ich das zuerst auswerten.
Das ist aber einfach nur die Exponentialfunktion.
Und damit ist das Ganze einfach gegeben durch Summe, N,
CNB 300 Quadrat, mal Eomino, ups, Eo.
Eominus, i, AN, Tower. Das kann ich
jetzt in diese Umkehrtransformation einsetzen. Also es setzt dieses Resultat
jetzt hier ein und dann bekomme ich einen schönen Ausdruck,
den man leicht interpretieren kann, der dann interessant ist zu interpretieren.
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung vom Messwert A und zwar, okay,
lassen wir mir das mal nochmal schön hinschreiben.
Da haben wir sie jetzt zunächst das Integral über die Taus und dann haben wir hier,
jetzt muss ich hier nochmal, dann kommt Also ich schreibe, genau,
ich schreibe diese Summe über die Ends, die schreibe ich schon nach vorne raus.
Und dann war sie dann überbleibt, ist das Integral über Zau,
durch zwei IP. Und dann haben wir hier eh hoch
die A-Tau. Und gleichzeitig, also ich muss einfach
diese beiden Faktoren zusammenfassen, eh auch I-A-Tau und ehoch-I-I-A-N-Tau.
Das gibt, schreibe ich das gleich mal
etwas eleganter
Dann steht halt eh hoch eh a-a-a-n-tau. Ja? Ja,
ich habe einfach das hier eingesetzt und habe festgestellt,
ah, die haben beide dieselbe Exponentialabhängigkeit, habe ich zusammengefasst.
Jetzt erkennen sie das, aber das ist nichts anderes als
die Delta-Funktion von A-A-N. Ja, und damit bekomme ich als Endresultat,
das ist die Summe über CN-Betragsquadrat, mal Delta von A-A-N.
Und das ist jetzt ein wichtiges Resultat, und das kann man
jetzt auch hoffentlich intuitiv, physikalisch verstehen, was heisst es?
Also ich habe nochmal, ich habe, also diese ganzen CNs hier,
das sind die Entwicklungskoeffizienten nach den Eigenzuständen von dieser Messgröße A.
Und was hier steht ist, nichts anderes als,
also die Wahrscheinlichkeitsverteilung, also die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass ich einen bestimmten Wert A messe,
ist gegeben durch diese Größe, also das sozusagen A,
Gleich ist einem der Eigenwerte, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit,
dass dieser Eigenwert in dem Zustand mit dem Gewicht vertreten ist.
Also insbesondere, wenn sie sich bereits in einem Eigenzustand von A befinden,
dann stünde hier nur ein einziger Therm,
weil dann einer der Entwicklungskoeffizienten ist eins und die anderen sind alle null.
Und dann würden sie als Vorhersage kriegen,
dass der Messwert von A mit Sicherheit diesem Eigenwert entsprechen muss.
Das ist auch verständlich, weil wenn der Zustand bereits ein Eigenzustand ist,
vom Operator A, man kann eine Messung nur diesen Eigenwert geben,
der diesen zu diesem Eigenzustand gehört.
Wenn aber der Zustand irgendeine Überlagerung von Eigenzuständen ist,
naja, dann haben sie sozusagen,
dann können sie verschiedene Ergebnisse erhalten bei ihrer Messung und die Wahrscheinlichkeit dafür ist gegeben durch die Betragsquadrate dieser Entwicklungseffizienten.
Also das ist vielleicht, vielleicht mache ich hier mal ein Beispiel,
also wir schauen, nehmen wir an, wir haben einen Operator,
also ich plotte noch mehr diese Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Nehmen wir an, wir haben einen Operator, der hat diskrete energieeigenwerte.
Denken Sie an das Wasserstoffatom. Das hat diskrete Werte,
die gehen wie eins durch Endquadrat oder sowas.
Und jemand präpariert in diesen Zustand, aber nicht in einem Eigenzustand von A,
sondern irgendeine komplizierte Überlagerung. Also ich schreibe es noch mal hin,
das Psychon X ist irgendeine Überlagerung von Eigenzuständen, Psy-End von X.
Dann können Sie bei jeder Messung, können Sie nur einen der Eigenwerte erhalten. Also nehmen wir an,
hier ist einer Hier ist einer, hier ist einer,
hier ist einer, das sind diese A1,
das wäre A1, A2, A3, A4. Und die Wahrscheinlichkeit,
dass sie einen von denen erhalten, ist proportional,
also zu diesem Cs, zu diesem Entwicklungskoeffizienten,
quartriert.
Also das wäre sozusagen hier jetzt zum Beispiel C1-Betragsquadrat,
das wird C2-Betragsquadrat, C3-Betragsquadrat, C4-Betragsquadrat und so weiter.
Ja, ja. Das sind diese Wahrscheinlichkeitsquadrat, die Sicherheit
Genau, weil die Summe von den CNB-3s-Quadrat ist eins vorausgesetzt,
dass sie auf eins narmiert ist.
Und das habe ich immer vorausgesehen. Alle ziehen CN oder Umständen
. Nö, das kann jeder Set von CN sein,
deren Summe der Betragsberate 1 ergibt. Also schauen Sie nochmal,
irgendwo hat sich es hier geschrieben, heute Morgen.
Das war doch irgendwo hier. Hier, genau, hier
steht es. Die Norm Also das Quadrat der Norm ist,
die Summe aus diesem CN-Quadrats-Betragsquadraten. Und wenn ich das auf
eins an mir dann, dann ist diese Summe eins.
Und deshalb kann ich das als Wahrscheinlichkeit interpretieren,
weil in meinem Diagramm, das ich ja gemacht habe,
das sind die Höhen dieser einzelnen Linien,
sind diese CCN-Bedarfsquadrate und summiert ergeben die eins.
Also die Gesamtwahrscheinlichkeit ist eins und die Wahrscheinlichkeit,
dass ein bestimmter Messwert erreicht wird,
ist halt dann gewichtet mit diesem Betrag zu quadraten.
So kann man sich das vorstellen. Ja, unendlich gut
. Ja, das ist ein bisschen das Problem,
weil wir hier natürlich diskrete Eigenwerte genommen haben.
Aber deshalb, der Punkt ist, deshalb muss man eigentlich,
also sie können sich das so vorstellen,
eine Messung hat immer einen bestimmten Fehler.
Das heißt eigentlich, alles, was sie definieren können,
sind irgendwelche Integrale über Ah. Deshalb haben wir auch die Momente eingeführt.
Die Momente sind Integrale von A hoch K. Und wenn ich
solche Delta-Funktionen integriere, dann kommt immer was Ähnliches raus.
Also zum Beispiel, wenn sie jetzt hier das Ganze,
den Erwartungswert von A, wenn man das vielleicht nochmal hindert, Beispiel.
Also der Erwartungswert von A, das wäre ja...
Das hier, ja, also die Wahrscheinlichkeitsverteilung gewichtet mit A.
Und wenn ich jetzt mein Resultat hier einsetze, also den Ausdruck hier,
Den Ausdruck einsätze, dann bekomme ich ja die A,
mal A, und dann steht hier Delta-Funktion von Aminus AN.
Und das gibt aber... Ja, was gibt es?
Es gibt AN. Und dann haben sie sozusagen den Erwartungswert,
der ist, das sind die ANs,
aber gewichtet mit diesen Wahrscheinlichkeiten von dieser Reihenentwicklung, die Eigenzustände.
Also stellen Sie sich es immer so vor,
dass eine Messung nie sozusagen 100 Prozent scharf ist,
das heisst, sie integrieren meistens nur über die Verteilung,
weil sie sowieso nur endliche Messgenauigkeit haben.
Und dann sind diese Delta-Funktionen kein Problem,
weil sich die einfach zu einem endlichen Wert ausintegrieren.
Okay, also das ist ein wichtiges Resultat. Und jetzt
kommt noch eine weitere Konsequenz von dem oder eine weitere Interpretation.
Also wir haben jetzt sozusagen erhalten, wir haben eine Funktion PC,
Die ist irgendeine Überlage, irgendeine Überlagerung von Eigenzuständen von A.
Und wir haben gefunden, die Messwerte,
die wir bekommen, sind gerade die Eigenwerte von A,
aber gewichtet mit diesen koeffizienten, in der Entwicklung.
Die Betragsquadrate dieser Entwicklungskoeffizienten. Das heißt auch,
wenn Sie hier nochmal die Formel anschauen, ich kann,
wenn ich nicht messen mache, kann ich immer nur einen
dieser Eigenwerte erhalten als Resultat innerhalb von der Messgenauigkeit.
Jetzt ist die Frage, was passiert eigentlich?
Ich habe vorhin schon erwähnt, wenn ich eine Messung ausführe,
dann beeinflusst die im Allgemeinen den Zustand.
Also wenn ich jetzt zum Beispiel feststelle,
ich mag eine Messung und ich bekomme das Resultat A1, den niedrigsten Eigenwert beispielsweise.
Ist dann der Zustand noch der gleiche wie vorher oder hat sich was geändert?
Und eines der Postsalate der Quantenmechanik, das jetzt noch dazukommt,
ist, tatsächlich hat sich was geändert,
wenn ich so eine Messung mache, dann ist der Zustand,
der daraus resultiert, genau der Eigenzustand, den ich gemessen habe.
Ja, also das ist dann nicht mehr dieses Psychia,
sondern nur der Teil, also nur das PsyN wird rausprojiziert,
dass dieser Messung entspricht. Also in dem Fall PC
1. Und das nennt man einen sogenannten Kollaps der Wellenfunktion.
Das kann man als zusätzliches als zusätzliches Postulator Quantenmechanik sozusagen einführen.
Man kann, ich versuche das mal hier in Worten anzuschreiben,
führt eine Messung der Größe A, also repräsentiert durch den Operator A,
auf den Wert AN und AN ist natürlich einer der Eigenwerte.
Von A, dann reduziert sich die ursprüngliche Wellenfunktion,
sie auf den entsprechenden Eigenwert CN von X. Das heißt,
sie würden sozusagen Instantan mehr oder weniger,
sobald die Messung gemacht wurde,
würde ich von diesem ursprünglichen Zustand übergehen auf CN von X.
Also nur herausprojiziert, dieser eine Eigenzustand, dessen eigenwert ich
gemessen habe. Und das ist sehr berühmt,
das nennt sich Kollaps der Wellenfunktion,
weil die Wellenfunktion sozusagen instantan durch die Messung auf diesen Unterzustand
reduziert wird
Das ist jetzt, also das ist eine Sache,
die hat zu vielen philosophischen Diskussionen geführt, bis heute,
weil das eigentlich zunächst mal etwas künstlich aussieht.
Wie kann es sein, dass plötzlich eine Funktion sich reduziert auf
einen Teil davon und was kann das damit zu tun haben,
ob jetzt jemand eine Messung durchführt oder nicht?
Also da hängen dann manche Leute spekulieren,
dann hängen dann solche Fragen damit zusammen, wie zum Beispiel existiert der Mond,
auch dann, wenn ich nicht hinschaue in sowas,
weil das könnte ja irgendwie den Zustand beeinflussen.
Also ich will da gar nicht weiter darauf eingehen,
aber es ist, also auf diese philosophischen Dinge nicht weiter darauf eingehen,
aber das ist sozusagen was, was experimentell immer wieder bestätigt wurde.
Und was wichtig ist, ist, dass sozusagen zu realisieren,
dass dieser Kollaps der Wellenfunktion natürlich in dem Moment die Frödingergleichung,
also die Zeitentwicklung, die durch die Schrödingergleichung beschrieben wird, unterbricht.
Die Schödingergleichung, das schreibe ich vielleicht, unterbricht, die von der Schrödingergleichung Vorgeschriebene Zeitentwicklung.
Ja, und die war ja eh ein paar Querpsinatee,
ist gleich Habseed. Sodass das Bild jetzt folgendes ist,
ganz kurz noch, solange ich keine Messung durchführe,
ja, involviertes System gemäß der Schuldingergleichung.
Sobald ich aber eine Messung durchführe und ich stelle fest,
Also es kommt jetzt darauf an, welche Messung ich mache,
messe ich die Energie oder irgendeine andere Zustandsvariable,
wie zum Beispiel den Impuls oder den Ort.
Aber in dem Moment,
wo ich so eine Messung mache und ich habe eine gewisse Messgröße,
ich habe einen bestimmten Messwert dafür, kollabiert die Wellenfunktion auf diesen Unterzustand.
Und ich kann nicht vorher, vorhersagen, in welchen Zustand diese Wellenfunktion kollabiert.
Ich kann nur die Wahrscheinlichkeiten angeben, die Wahrscheinlichkeiten sind, diese CN-Betragsquadrat.
Und das bringt sozusagen diesen originär, wie sagt man,
Diese originär-statistische oder Wahrscheinlichkeitstheoretische Eigenschaft in die Quantenmechanik.
Das ist was, was ich wirklich nicht vorhersagen kann.
Ich kann nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben, aber was schlussendlich bei
einer Messung passiert, kann ich nicht vorhersagen.
Und das ist sozusagen eine irre, in gewisser Hinsicht kann man sagen,
eine irreduzible, irreduzibler Inditerminismus, wenn sie so wollen.
Ich kann an dem Punkt wirklich nicht vorhersagen,
was das Ergebnis einer Messung ist.
Da war jetzt eine Frage. Ja, und zwar,
wir haben jetzt gesagt, dass wir mit dir so strukturieren,
dann lässt ihn dann
kollabiert werden
Aber es ist nur noch ein Kostulat, das können wir
gerade nicht gemessen. Entwickelt sich unser Zustand mit dieser Schrödinger.
Genau. Das heißt, indem die Bandfunktion kollabiert ist,
wie entwickelt sich dann der Zustand zeitlich weiter?
Ja, gute Frage. Dann, also wenn sie
eine Messung gemacht haben, dann reduziert sich die Wellenfunktion.
Und wenn sie dann nicht sofort wieder eine Messen machen,
sondern das System eine Zeit lang in Ruhe lassen,
dann wenden sie einfach wieder die Schottingergleichung an.
Aber jetzt natürlich mit einem neuen Anfangszustand, der durch die
kollabierte Wellenfunktion gegeben wird. Also sie würden jetzt zum Beispiel angenommen,
sie haben den Impuls gemessen und sie haben irgendeinem Messwert erhalten,
dann würden sie hier als Psy, als Psy von T0,
würden sie halt CN nehmen.
CN von X. Das ist der Eigenzustand,
ich schreibe mal hinter, gemessene Eigenzustand von A.
Mit dem würden sie anfangen und die Zeitentwicklung,
solange sie keine weitere Messung machen,
würde dann wieder die Schönlingerklärung beschrieben.
Bis sie
die nächste Messung machen
Wir haben ja gesagt, wenn ich ein Instant habe,
danach lässt, aber wie lange dauert das,
denn es ist die Weltfunktion, sich entscheidet ja jetzt in die Gelegenheit.
Ja, sobald es im Essen, ja,
also gut, jetzt wird es ein bisschen philosophisch,
man kann natürlich sagen, ja, wie lange dauert eine Messung?
Das hängt ja auch von der Messung ab. Es gibt auch,
es gibt jede Menge Spekulationen in der Hinsicht,
zum Beispiel von Roger Pennrows gibt es diese berühmte Interpretation,
dass der Kollaps der Wellenfunktion irgendwas mit der Gravitation zu tun hat,
dann wäre so eine Zeitskala, die Plankskala, ja,
aber ich will da nicht weiter eingehen,
weil das alle spekulativ ist.
Aber sie können sich das für alle praktischen Umstände so vorstellen,
dass sobald die Messung stattfindet,
Instantan verändert sich die Wellenfunktion auf diesen Unterzustand.
Das wird ja heilig setzen. Und wenn zum Beispiel das System
zu einem Drittel ist, dann wird es kurz nach dem Gemesser,
das kommt der richtige Beruf daraus.
Dann wird er ein Prozentfall. Das stimmt,
aber das ist auch nicht zu erwarten,
weil wenn sie eine Messung machen,
dann wechseln wirken sie ja mit ihrem Messgerät
und es kann Impulse übertragen
Nur der gesamte Impuls von Messgerät plus System,
desto messen ist natürlich erhalten, aber nicht der Impuls von dem System,
das sie messen, ist nicht unbedingt erhalten.
Also sie müssen sich das so vorstellen wie in der Thermodynamik,
dass sie ein System haben, das sie aber in einem Wärmebad ist,
das damit auch Energie austauschen kann.
Das ist generell eine interessante Frage, aber wiederum teilweise philosophisch
und kann man irgendwie endlos spekulieren, darüber nachdenken.
Man kann natürlich jetzt sagen, ja, Moment,
ich kann ja auch Messgerät plus gemessenes System zusammen als Quantensystem auffassen.
Und das ist wieder abgeschlossen
Ja, wie verhält sich das dann mit Kollaps der Wellenfunktionen?
Und das ist dann nicht mehr so klar.
Da kann man dann sagen, ja gut,
dann gibt es einen höheren Beobachter, der außerhalb von diesem System sitzt.
Und dann gibt es sozusagen so eine Leiter von Hierarchien,
die man sich vorstellen kann. Das ist dann nicht mehr
so ganz klar. Aber im Prinzip haben sie zunächst immer
die Aufteilungssystem- und Messapparatur. Und wenn sie eine Messung machen,
dann müssen die aber unweiger, unweigerlich miteinander wechselwirken.
Und da kann natürlich auch Impuls oder Energie
dabei ausgetauscht werden
Okay, also das ist, wollte ich dazu sagen,
also mit anderen Worten,
was man da im Hinterkopf behalten muss, ist,
dass eine Messung in der Quantenmechanik in gewisser Hinsicht ein ganz spezieller Vorgang ist.
Der unterbricht diese Schrödingergleichung hier, die Zeitentwicklung,
die dort die Schrödingergleichung vorgegeben wird,
indem es zu einem quasi praktisch instantanen Kollaps der Wellenfunktion auf
diesen Unterzustand führt,
der halt gerade gemessen wurde
Ja, also man kann das dann mathematisch formal so als Projektionsoperator,
das brauchen wir aber jetzt hier eigentlich gar nicht.
Also mathematisch mache ich vielleicht nur als Anmerkung hier mathematisch,
findet eine Projektion des ursprünglichen Zustandes.
Sie von X auf den in der Messung realisierten Eigenzustand,
sie enden von X von A statt.
Also ich muss jetzt hier auch nochmal bei der Gelenkheit natürlich betonen.
Es hängt natürlich auch an, es hängt natürlich auch davon ab, was sie messen.
Das A kann irgendwas sein, das muss nicht Energie sein,
das kann Impuls sein oder Ort. Und je nachdem,
welche Größe das sie messen, also mit anderen Worten,
wie sie ihr Experiment aufbauen, Ist das Resultat natürlich,
das ist immer ein Eigenzustand von dem gemessenen Operator,
aber nicht unbedingt ein Eigenzustand zu einem anderen Operator,
zum Beispiel Energie oder sowas.
Also sie können zum Beispiel Impuls messen und dann bekommen sie
nach der Messung einen Impulseigenzustand, aber das kann sein,
dass das nicht unbedingt eine Energieeigenzustand ist.
Also man muss immer aufpassen, wenn ich von Eigenzuständen rede,
bezieht sich das immer auf einen bestimmten Operator und zwar der Operator,
der gerade der Messung entspricht, die ich durchführe.
Und interessant wird es auch dann, wenn man zum Beispiel Beispiel Messungen.
Wir kommen dann später noch darauf zurück. Das hängt mit der
unschärfe Relation zusammen. Wenn ich zum Beispiel Messungen hintereinander ausführe,
von zwei Messgrößen, die nicht miteinander kommotieren,
also deren Operatoren nicht kommotieren, zum Beispiel Impuls und Ort.
Wenn ich eine Impulsmessung mache, dann bekomme ich einen Impulseigenzustand,
aber einen Impulseigenzustand ist kein Ortseigenzustand.
Deshalb bin ich nicht in irgendeinem Eigenzustand vom Ort und deshalb
habe ich irgendeine breite Verteilung einer weiteren Messung des Ortes Und wir werden feststellen,
dass diese Unschärfe umso größer ist, je genauer der Impuls vorher bestimmt wurde.
Also diese Komplikation treten auf, weil Messgrößen, Operatoren entsprechen,
die aber nicht unbedingt gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können,
weil sie nicht kommotieren.
Okay, jetzt bevor wir mit allgemeinem Ding weitermachen,
noch eine kleine Komplikation. Ich hatte auch schon mal darauf hingewiesen,
also wenn ich solche Reihenentwicklungen gemacht habe, dann habe ich immer angenommen,
dass diese Eigenwerte so diskret abgezählt werden können.
Und es gibt natürlich auch Beispiele, wir denken Sie ans Wasserstoffatom,
da haben Sie die Hauptquantenzahl und eventuell noch einen Drehimpuls,
die können aber alle nur diskrete Werte annehmen.
Jetzt gibt es aber auch Messgrößen in der Physik, wie den Impuls.
Wir haben zunächst mal nicht unbedingt diskrete Werte,
sondern die können irgendwie völlig kontinuierlich verteilt sein.
Impuls, Apriori, ist kontinuierlich. Das kann man sich fragen,
okay, was muss ich jetzt hier ändern, wenn ich irgendwelche kontinuierlichen Größen darstellen will.
Und dazu Das heißt, mit anderen Worten,
es kann passieren, dass man in Situationen kommt,
wo das N hier nicht mehr diskret ist,
sondern irgendeine reelle Zahl wird, was mache ich damit?
Wie muss ich das, falls überhaupt, wie muss ich
das hier den Formalismus anpassen? Und ich gebe das Hauptbeispiel,
also Operatoren A, können prinzipiell auch Ein kontinuierliches Spektrum besitzen.
Und ein Beispiel ist der Impulsoperator. Und ja,
da scheinen wir uns mal die Eigenfunktion dazu an.
Also nehmen wir uns einen Zustand, der einem Impuls P
entspricht und dessen Wellenfunktion CP von X, die kann ich folgendermaßen schreiben.
Das ist, und zwar mache ich jetzt wieder in D-Dimensionen,
Wir wissen schon, das ist eine Ebene Welle.
Das hat man ja schon mehrfach jetzt. Das hat also
so was wie E-O-I-I-I-P mal X, dividiert durch Hardqueer.
Und natürlich P, also das ist ein dedimensionaler Vektor,
aber A Prioric können die einzelnen Komponenten natürlich, beliebidige reelle Werte annehmen.
Jetzt sehen Sie schon, wenn Sie das ernst nehmen,
dann haben Sie eigentlich ein Problem, denn Sie stellen zum Beispiel auch fest,
dass diese Funktion natürlich nicht Quadratintegrierbar ist.
Wenn ich davon das Betragsquadrat nehme,
dann ist das hier eins und das ist irgendeine Konstante,
Wenn ich das über das ganze R-Hoch-D integriere, kommt natürlich unendlich heraus.
Ja, was mache ich jetzt damit? Gut,
es ist eigentlich nur, das hört sich jetzt sozusagen problematisch an,
aber in der Praxis ist es das nicht,
denn ich kann mich immer,
und das wäre ich immer implizit annehmen,
ohne dass ich das immer in Zukunft sagen werde,
ich kann mich immer zurückziehen auf ein endliches Volumen und dann wird das P wieder diskret.
Also man muss immer unterscheiden zwischen mathematisch und phänomenologisch.
Also mathematisch ist Ich meine, jedes Volumen ist endlich in der Praxis.
Wenn sie irgendein Experiment machen, das hat immer ein endliches Volumen.
Und es stellt sich dann raus, dass die Impulseigenzustände auch diskrete Werte haben,
die aber so eng sind, dass in der Praxis wie ein Kontinuum aussehen.
Das ist eine praktische Sache. Und ich will nur kurz erläutern,
wie das geht. Also die Lösung ist sozusagen, dass jedoch in endlichem Volumina sind Impulse wieder diskret. Warum? Weil man da zum Beispiel periodische Randbedingungen wählen kann und dann hat man,
ich schreibe das mal so hin, in einem Volumen V,
kann ich das dann folgendermaßen definieren,
das ist eins durch Wurzel aus V und dann steht wieder dieser Exponentialfaktor,
nur mit dem Unterschied,
dass die Ps jetzt diskrete Werte annehmen und zwar folgende, wenn ich will,
dass das Ganze periodisch ist oder wenn ich zum Beispiel irgendwelche Linearkombinationen von dem Exponenten nehme und dann fordere,
dass die Wellenfunktion am Rand verschwindet,
dann bekomme ich irgendwie den Sinus und dann bekomme ich eine Quantisierungsbedingung und die schaut dann typischerweise so aus,
dass das halt ein Vielfaches ist,
von eins durch L. Mal irgendwelche diskreten Zahlen und hier steht es natürlich dann ehdimensionale,
natürliche Zahlen, die sind dann also wieder, gut,
die können jetzt hier ganze Zahlen sein, das heißt,
die können auch negative Werte annehmen,
aber in der Praxis haben wir dann wieder diskrete Impulszustände und die sind auch normierbar,
denn wenn ich das hier Betragsquotrieren integrieren, als Inse kommt eins raus, weil hier steht eins durch V, und das muss ich über das Volumen integrieren, gibt eins.
Und da ist kein Problem. Das ist Quadratintegrierbar. Und
das liegt einfach daran, dass ich jetzt angenommen habe,
ich habe das System in ein endliches Volumen gesteckt.
Wir sehen auch, sozusagen der Abstand zwischen Benachbarten,
Impulseigenwerte ist dann von der Größenordnung eins durch L.
Und wenn L groß genug ist, dann wird es so klein,
dass sie das experimentell sowieso nicht auflösen können. Also in der Praxis wird es so sein,
dass diese Impulse kontinuierliche Werte annehmen,
aber wenn sie damit mathematische Probleme verhindern wollen,
stellen sie sich einfach vor sich sperrende Systeme,
ein endliches Volumen ein, dann sind die,
dann sind die Impulse wieder diskret, aber so eng geschachtelt, dass sie das experimentell sowieso nicht auflösen können.
Also hier hätten wir dann zum Beispiel Delta P.,
wäre halt dann von der Größenordnung zwei PH
Quer durch L und das würde gegen Null gehen,
wenn das Größer des Systems hinreichend groß ist
Gut, also in der Praxis wird man dann eben doch häufig gewissermaßen dann statt Summe über Impulse,
Integrale machen und die Substitution, die man dann hätte,
wäre, dass man von diesen Entwicklungskoeffizienten übergeht, zur Fui transformierten,
also die Komponente mit einem bestimmten Impuls und die Summe über die diskreten Eigenzustände,
wer dann das Integral über die Impulse und dann müsste ich aber hier,
damit das dimensionsmäßig,
das muss ja dann auch dimensionslos sein,
wenn ich diese Diese Substitution mache,
dann müsste ich hier noch durch zwei PH quer durch L hoch D dividieren.
Das wäre die Vorschrift. Und dann haben sie halt statt Summen,
haben sie solche Integrale,
die sie halt dann dividieren durch ein Delta P hoch D
und das Delta P ist halt von dieser Größenordnung.
Das wird nicht so wahnsinnig wichtig sein.
Ich wollte es nur der Vollständigkeit halber erlehnen,
dass man diese Komplikation leicht beseitigen kann,
indem man sich immer vorstellt,
man sitzt in einem endlichen Volumen
Okay, jetzt noch weitere Eigenschaften von diesen impulseigen Zuständen.
Die erfüllen auch Orthogonalitätssalilationen, wie es natürlich sein sollte.
Also ich schreibe da noch hin, Eigenschaften von Impulseigenzuständen. Also da hat man zum Beispiel,
wenn wir, ich werde jetzt nicht im Detail herleiten,
das können Sie aber sehr leicht machen,
sie einfach eine dieser Definitionen, also entweder diese hier oder diese,
also jetzt, weil wir hier das ganze Volumen integrieren,
diese Definition nehmen, wenn sie das verwenden,
dann können sie diese Relationen leicht selber verifizieren.
Also, wenn ich sozusagen zwei Impulseigenzustände zu verschiedenen Impulsen
multipliziere und dann über X integriere in dieser Art,
dann kommt natürlich eine Delta-Funktion wieder raus.
Das ist Es wäre sozusagen die Ort und Normalitätsrelation,
es entspricht der Ort und Normalität. Ja,
weil das heißt, dass die für verschiedene Impulse sind,
die paar weise orthonogonal zueinander, weil rechts null steht.
Und wenn die Impulse gleich sind, ja gut,
dann wird es zwar unendlich, aber wie gesagt,
mit diesem Trick, dass ich das in einem endlichen Volumen einsperre,
kann ich das auch wieder endlich machen,
formal mathematisch sieht es halt dann so aus,
wenn ich mit VG unendlich gehe.
Aber das ist eine Ort und Normalitätseigenschaft auch.
Und dann haben wir
die Vollständigkeitsrelation
Diese dann folgendermaßen aus,
wenn ich über alle Impulseigenwerte integriere und die,
also bei zwei verschiedenen Ortsvektoren, X-Strich und X,
X anschreibe,
dann kommt wieder eine Delta-Funktion und in diesem Falle von x-x-strich
raus.
Entwicklung nach Impulseigenfunktionen. Dass wir einfach eine Folietransformation,
also sie von X könnte ich dann schreiben,
könnte ich entwickeln nach Impulseigenfunktionen und der Koeffizient ist halt die Folie transformierte.
Ja, ich glaube,
das Seed-Hilde von P und natürlich steht dann hier Exp von IP
mal X durch A quer
Und ja, dann habe ich noch irgendwie so einen Normierungsfaktor hier.
Das heißt, es ist nichts anderes als eine Feuilletransformation.
Na, wenn Sie das wieder diskret machen,
weil Sie das System in ein endliches Volumen packen,
dann könnten Sie das analog nach Cosinos und Sinos entwickeln.
Gut, jetzt haben wir noch eine andere,
also ich lese jetzt sozusagen so ein paar wichtige Messgrößen auf,
Impuls ist natürlich einer davon, aber es gibt ja auch den Ort.
Jetzt kann man sich fragen, was ist mit Ortseigenfunktionen? Ja,
also wir hatten schon mal ein Beispiel,
wo man dieses Experiment mit diesen zwei Spalten hatten,
wo wir gesagt haben, im Prinzip,
wenn man dann einen Detektor an diese Spalten hinstellt,
kann man im Prinzip detektieren, wo ist das Elektron durchgelaufen oder welchen Spalt.
Das ist gewissermaßen eine Messung von dem Orts, von der Ortskoordinate.
Und solche Ortseigenfunktionen, das kann man sich selber überlegen,
die müssen natürlich die Eigenschaft haben, dass, also wenn ich diesen Orts,
dieser Ortsoperator besteht darin, also zumindest in der Ortsdarstellung,
dass die Funktion einfach mit dem Ort multipliziert wird.
Und das würde dann so ausschauen, also eine Eigenfunktion
zum Ort, Qi entspricht gerade diesem Ort hier.
Ja, also das wäre sozusagen die Ortseigenfunktion
Die dem Ort hier entspricht. Und daraus folgt natürlich,
dass diese Funktion, das muss eine Deltafunktion sein.
Also die hätte folgende, folgendes Aussehen,
die wäre halt als Deltafunktion um den Ort hierherum konzentriert.
Sodass wir, wenn ich das hier mit x multipliziere,
ja, dann kommt entweder Null raus oder halt x Gleichie.
Und deshalb gilt diese Identität. Also das ist jetzt
auch mathematisch zunächst mal streng genommen wieder ein bisschen pathologisch,
ja,
weil das eine
unendlich scharfe Funktion ist
Aber man kann das formal so in der Art und Weise durchziehen.
Wir werden diese Ortseigenfunktion typischerweise eigentlich gar nicht brauchen,
aber ich will es da vollständigkeitshalber trotzdem hier erwähnen.
Jetzt kann man es wieder fragen, wie schaut,
also das ist jetzt, wäre sozusagen der Ortsoperator.
Und das wären die Zugehörigen Eigenfunktionen. Eigenfunktionen des Ortsoperators.
Jetzt kann man sie wieder Der ist ja auch hermittisch,
das heißt, da müssen wir da Orthogonalitätsrelationen und Vollständigkeitsrelationen gelten.
Und die kann man sich jetzt auch leicht hinschreiben, Orthogonalität,
würde folgende Eigenschaft sein. Naja, okay. Das wäre dann,
also das würde bedeuten, dass wenn ich zwei solche Ortseigenfunktionen,
wenn ich davon das Kalarprodukt bilde,
Also hier und hier Strich, das kann ich ja einsetzen,
ich habe die ja hingeschrieben hier,
wenn ich das hier einsetze und die Definition vom Skalarprodukt verwende,
dann haben wir ja hier sowas wie Psychi Stern von X mal Psychi Strich von X.
Und wenn sie das einsetzen hier, dann sehen sie sofort,
das kann nur Ungleichnull werden, wenn hier gleich hier Strich ist.
Denn wenn hier ungleich hier Strich ist,
dann sind es zwei ältere Funktionen,
die aber an verschiedenen Orten ihren Peak haben,
sodass eine davon immer null ist und deshalb käme dann null raus.
Nur wenn die beiden gleich sind, die beiden Ortseigenzustände oder Ortseigen eigenwerte,
muss ich eigentlich sagen, dann gibt es eine Delta-Funktion von hi-hi-strich.
Und dann haben wir noch die Vollständigkeitsrelation. Und die besagt,
dass, wenn ich über alle Ortseigenwerte integriere, Dann kommt,
ja, kann man sich schon vorstellen, dann kommt das wieder raus.
Dann kann man sich jetzt noch überlegen, wie schaut dann eine Entwicklung nach Ortseigenfunktionen aus?
Das ist eigentlich auch, das ist eigentlich trivial.
Also wenn ich hier der allgefeinen Funktion Psyphon X habe,
dann kann ich das auch schreiben als Integral über Meine Ortseigenvektorenchie und dann
nehme ich sie von hieb, mal sie, hieb von X.
Und wenn sie da jetzt die Definition von dem Psychie von X einsetzen,
ja, es gibt ja eine Delta-Funktion und dann kommt hier einfach Psyphon X raus,
ja, weil ich sozusagen,
es gibt eine Delta-Funktion für hi gleich X, ja,
und dann kann ich hier durch X hier substituieren und dann kommt sie von X raus.
Das heißt, mit anderen Worten, die Entwicklungskoeffizienten sind einfach
die Werte, Funktion psy am Ort hier.
Also die Entwicklungskoeffizienten sind einfach die Werte von sie am Ort
hier, also sie von hier.
Gut, ja
Gut, jetzt haben wir noch sechs Minuten, fange ich das noch schnell an.
Wir haben jetzt schon verschiedene Formalismen kennengelernt und ich wollte jetzt noch,
oder teilweise schon benutzt, aber ich wollte es nochmal
etwas formaler erklären, da gibt es den sogenannten Dirak-Formalismus.
Und Darstellungen. Und ich will sie nur noch sozusagen mal
mit den verschiedenen Schreibweisen vertraut machen.
Also wir haben jetzt Häufig einfach Wellenfunktionen hergenommen und häufig werden
die aber einfach formal abgekürzt durch so einen Kett-Vektor PC.
Also das ist sozusagen ein abstraktes Objekt, das diese Wellenfunktion PC von X beschreibt.
Und Eigenfunktionen von Operatoren schreibt man dementsprechend manchmal entweder als CN,
Oder manchmal sogar einfach nur als N. Ja,
weil sozusagen der Index hier, der diese Eigenfunktion charakterisiert,
der legt diese Eigenfunktion vollständig fest. Und deshalb, wenn man sich schreibt,
Arbeit sparen will, dann kann man einfach dieses Cat-N schreiben,
wobei N, der sozusagen den zugehörigen Eigenwert abzählt.
Wir hatten als Beispiel die Ortseigenfunktionen,
die haben wir gerade vorhin eben eingeführt,
die schreibt man dann oft Als Cat Key und einen Impulseigenzustand,
sie P von X, schreibt man häufig dann einfach als P. Und nachdem,
also diese ganzen Cats beschreiben immer Zustände.
Jetzt haben sie wahrscheinlich gehört, dass es diese Brakett gibt.
Das heißt, es muss auch Brag geben.
Und das ist dann definiert über den sogenannten dualen Vektorraum.
Also wir brauchen dann irgendwie so eine Größe,
mit der können wir dann auch Skallaprodukte bilden.
Das wäre dann Bra projiziert auf Cat,
so war es wie das hier.
Aber dazu muss ich jetzt erstmal definieren,
was ist dieses Brapsi
Und das definiert man folgenderweise, also ich schreibe das mal hier,
bra, Psi, das ist dann das hier, ist definiert.
Über den dualen Vektorraum. Also das ist jetzt wieder eine
etwas mathematische Definition und zwar Man fasst das auch auf als lineares Funktional von Zuständen.
Also man schreibt, das ist sozusagen die Funktion,
die jeden Zustand eine komplexe Zahl zuordnet,
und zwar gerade das Galabprodukt von Psymeth Vieh.
Ja, also, und das wird dann gelten für alle Vieh aus dem Hilbertraum.
Also aus dem gewöhnlichen Vektorraum, und das ist der duale Vektorraum,
dieses brav Sie kann man sozusagen auffassen als funktional,
also lineares Funktional, dass jedem Zustand eine komplexe Zahl zuordnet,
und zwar Durch dieses Skalaprodukt.
Und es ist dadurch auch eindeutig bestimmt.
Genau. Und was bringt es jetzt das Ganze?
Ja, das führt hauptsächlich zu einer Vereinfachung der Notation.
Also mit, und die werde ich jetzt noch ganz kurz,
vielleicht ein paar Beispiele anfügen. Das verkürzt die Notation.
Und beispielsweise hätten wir dann das Skalarprodukt von dem Ortseigenzustand Chi
mit Einem anderen Ort eigenzustand hielt Strich, wäre dann halt diese Delta-Funktion.
Ein Skalarprodukt von dem Impulszustand P mit einem anderen Impulszustand P-Strich
wäre ebenfalls eine Delta-Funktion. Ja,
und da schreibt man jetzt immer in dieser Direktreibenweise,
man kann aber auch zum Beispiel schreiben,
das Skalarprodukt von einem Ortseigenzustand mit einem Impuls,
Eigenzustand ist nichts anderes als der Impuls,
die Wellenfunktion zu dem Impulseigenzustand
an den entsprechenden Ort
Und das wäre dann zum Beispiel hier eins durch zwei P-Arqueer
hoch die halbe. Und dann würde hier stehen,
eh hoch i, p mal hi, durch Hardquer.
Und entsprechend kann man es auch andersrum hinschreiben,
zum Beispiel die Projektion, seinen Impulseigenzustand auf den Ortseigenzustand.
Das ist natürlich nichts anderes als das komplex konjugierte von dem,
was man vorher hatten. Und das ist,
ja gut, da ändert sich,
das sieht genauso aus,
nur dass dann hier
ein Minus steht
Ja, und der letzte noch, ein Ortseigenzuzustand projiziert auf irgendeine,
einen Eigenzustand zu irgendeinem anderen Operator ist einfach der Wert der Eigenfunktion an diesen Ort.
Also all diese Schreibweisen sind dann äquivalent, aber häufig verwendet
man eben diese abkürzende Schreibweise mit den Braten, Cats.
Und das wollte ich einfach nur hier nochmal vorbereitend anmerken.
Und dann haben wir beispielsweise damit,
kann man beispielsweise ausschreiben, In M gleich Delta NM,
weil diese Ort- und Normalitätsrelation und dann haben wir die Vollständigkeitsrelation,
die schreibe ich noch schnell Handy.
Vollständigkeit würde dann bedeuten, dass die Summe über NN,
jetzt, das ist kein Skalabprodukt, weil das andersrum hingeschrieben wird.
Das ist ein Operator, ist eins. Aber es macht
ja Operator, man kann das auch hier sehen.
Wenn ich den Operator auf den Zustand anwende,
also von rechts kommt ein Zustand, dann wird das zu einem Skalabprodukt,
das wird eine Zahl.
Und hier steht aber ein neuer Zustand. Das heißt,
es ist wirklich ein Operator, der einen Zustand in
den anderen überführt
Und wenn ich jetzt hier über Eigenzustände von dem hermittischen Operator von mir,
dann würde die Vollständigkeit sagen, dass das den Einheitsopperator gibt.
Und das ist eine sehr kompakte Weise, das hinzuschreiben.
Und damit lassen wir es für heute bewenden
und machen am Mittwoch weiter