Alles klar, funktioniert. Hallo, guten Tag. Also
ich wollte gern weitermachen. Zum Beginn nochmal ganz kurz organisatorische Details.
Also erstens, was ist Tutorium anbelangt, hat es eine Rücksprache gegeben.
Da gibt es auch Raumprobleme und der einzige Termin,
den wir für jetzt organisiert haben, ist Freitag,
16.30 Uhr im Seminar, haben zwei. Ich weiß nicht,
ob wir irgendwie einen zweiten, wenn das für sie ungünstig ist,
ob wir noch einen zweiten Termin irgendwie anbieten können,
aber es ist auch immer ein Raumproblem,
weil hier diese Seminarräume scheinbar ziemlich voll sind.
Also das ist die momentane Situation. Und wie gesagt,
es ist ja freiwillig, sie müssen das nicht wahrnehmen,
das ist ja sozusagen, wenn sie Probleme haben, ein Angebot zu einer Art,
ja, etwas mehr Zeit haben und Fragen zu stellen.
Dann haben wir immer noch einige von Ihnen, haben bemerkt,
dass leider diese beiden Gruppen am Montag, also B&D war das,
glaube ich, der Herr Bös ist nicht da gewesen,
Der hat mir nahe gesagt, er hat schlicht vergessen.
Also es ist aber so, nächsten Montag wird es das
auf alle Fälle geben. Entweder er macht es noch mal
selber oder ich habe dann bereits diejenigen, die das übernehmen.
Aber jedenfalls wird jemand da sein. Auch bitte daran denken,
diese Gruppe gibt es im Moment nicht. Es ist nicht
völlig ausgeschlossen, dass ich dafür vielleicht noch jemanden finde,
aber im Moment habe ich noch niemanden.
Also bitte im Moment hier nicht reingehen. Ich lasse sie natürlich wissen,
wenn wir die doch noch installieren können und die anderen sind zu voll,
dann können sie vielleicht nächste Woche oder so dann noch mal rübergehen,
wenn sie wollen.
Aber im Moment ist es so. Und die Planung ist jetzt im Moment eben,
diese Gruppe ist in Englisch und die wird dann wahrscheinlich auch in Englisch sein.
Also diese eine hier, das ist im Moment Stand der Dinge.
Gut, dann zur Planung. Wir hatten einen Übungszettel und nach
diesem sehr detaillierten Plan, den ich da mal aufgestellt habe,
ist ja heute schon das zweite Blatt fällig.
Da haben sie aber mehr Zeit, weil das erst nächste
Woche vorbesprochen wird und dann übernächsten Montag abgegeben werden soll.
Ich lege nochmal Ausdrucke hin für Platz 2 und das ist
auch wieder in Stine. Und ich erinnere nochmal,
wir werden kommen, abkommenden Montag im Eingangsbereich vom Hörsaal 1,
7 Kästen aufstellen, mit der Bezeichnung A, B,
C, D und so weiter.
Und dort geben sie dann ihr erstes Blatt ab und ab
übernächste Woche stehen dann vermutlich nochmal sieben Kästen dort,
wo sie die akkorrigierten Blätter wieder abholen können.
So wird es funktionieren. Schauen wir mal,
ob das reibungsfrei Funktioniert bitte nach Möglichkeit vor der Vorlesung abgeben,
damit er nicht zu viel Unruhe haben,
dass Leute dann während der Vorlesung aufstehen und noch abgeben und so.
Vor allem die Korrektoren holen das während der Vorlesung ab.
Das heißt, wenn sie dann zu spät dran sind,
dann kann es sein, dass sie nicht mehr abgeholt werden.
Okay, das war soweit zur Organisation nochmal. Jetzt machen
wir hier mit der Vorlesung weiter. Schauen wir mal,
wo wir letztes Mal stehen geblieben sind. Wir hatten,
glaube ich, letztes Mal genau, wir hatten diese Dieses Streuexperiment,
also dieses mit den zwei Spalten diskutiert, wo wir nochmal festgehalten haben,
es gibt sozusagen diese zwei verschiedenen Fälle, nämlich einmal,
dass dieses, also im Grunde genommen war das die Überlagerung von zwei Kugelwellen,
die von jeweils einem Ort auch starten.
Und wenn sie sozusagen aus einer bestimmten Richtung Täter das Ganze beobachten,
dann gibt es eine Laufzeitdifferenz zwischen den beiden Strahlen
und dementsprechend sind diese Phasenfaktoren hier ungleich
Ja, und das führt dann nach kurzer Rechnung zu diesem Ausdruck, sodass sie hier ein Interferenzmuster haben.
Wenn sie aber feststellen durch eine Messung, wo das Teichen,
also entweder ein Photon, aber auch möglicherweise ein Elektron,
das kann man sogar mit Atomen machen im Prinzip,
wenn sie eine Messung machen, die ihnen besagt,
durch welchen Spalt das Teichen gelaufen ist,
dann gibt es kein Interferenzmuster,
weil sie dann sozusagen einfach die Absolutrate von den beiden Teilen addieren.
Und die sind natürlich konstant, die hängen dann nicht mehr
von diesem Winkel ab, nochmal zur Erinnerung, also diese,
ups, diese, was habe ich jetzt gemacht?
Ah ja, okay. Diese beiden Teilfunktionen sind die hier.
Also das ist die Kugelwelle. Beide haben die Wellenzahl K und
der Abstand wird eben von diesen jeweiligen beiden Spalten ausgemessen.
Deshalb haben sie hier unterschiedliche Abstände. Und das bedeutet sozusagen,
dass sich unter bestimmten Umständen das Teilchen wie eine Welle verhält,
nämlich wenn ich nicht messe, durch welchem Spalt es durchgelaufen ist,
dann verhält es sich wie eine klassische Welle, die hier zu Interferenzen führt.
Wenn ich dagegen vorher durch die Lektion herausfinde, wo ein Teilchen durchgelaufen ist,
dann verhält es sich wie ein Zeichen, für das die klassischen Wahrscheinlichkeiten sich addieren.
Also der Unterschied ist immer, Welle, Teilchen,
wenn sich das Ganze wie eine Welle verhält,
dann passiert die Addition auf dem Niveau der sogenannten Ampelituden,
also der Wellenfunktionen und erst danach machen sie das Betragsquadrat oder wenn es sich wie ein Teilchen verhält,
dann haben sie sozusagen,
wenn sie einzelne Teilchen haben,
die entsprechend bestimmten Wahrscheinlichkeiten,
die sie dann klassisch addieren
Also das ist sozusagen der Unterschied. Und das hängt im Endeffekt
daran, davon ab, wie sie ihr Experiment aufsetzen.
Wenn ich hier keine Messung mache an diesen beiden Spalten,
dann verhält es sich wie eine Welle.
Und erst bei der ersten Messung, die ich durchführe, muss ich Betrags quartieren.
Und deshalb muss ich sozusagen die Summe der beiden Teilampletode betragsquadrieren.
Während wenn ich hier schon eine Messung mache,
dann muss ich hier schon die einzelnen Teile betragspatrieren und dann addieren,
als ob es klassische Teilchen wären.
Genau. Also das hatten wir abgeschlossen. Und jetzt will ich
sozusagen zu einer Art heuristischen Motivation Informationen oder Ableitung der Schuldingergleichung
bereits kommen. Und zwar auf folgende Art und Weise.
Also wir hatten das letztes Mal auch schon angesprochen, diese,
also vielleicht noch mal zur Erinnerung, noch mal zurückblättern hier.
Unser allgemeiner Ansatz war das hier, ja,
also wir haben, wenn man nur Ebene Wellen betrachtet,
dann haben die immer diese Form,
die haben sozusagen eine Ortsabhängigkeit,
das ist die Wellenzahl multipliziert mit dem Ortsvektor und dann
eine Zeitabhängigkeit mit einer bestimmten Frequenz
Der Witz ist jetzt der sozusagen für ein bestimmtes Teilchen,
wenn das Ebene freie Wellen sind, dann gibt es eine Relation zwischen Omega und Car,
sodass die beiden nicht unabhängig voneinander sind.
Und diese Relation, die kann man sozusagen rein klassisch bestimmen,
das ist einfach zum Beispiel die relativistische Beziehung zwischen Energie und Impuls.
Wenn man dann noch die Vorschrift hat, dass sozusagen Omega,
der Energie entspricht, also Haarqueromega ist die Energie und Hardware Car ist der Impuls.
Und wenn ich diese Übersetzung gemacht habe,
dann bekomme ich eine Relation zwischen Energie und Impuls,
was dann seinerseits zu dieser Relation zwischen Frequenz und Wellenzahl führt.
Also ich führe das jetzt mal im Detail aus. Also die Vorschrift ist jetzt folgende,
dass wir sagen, wir haben,
und ich mache das jetzt erst mal relativistisch,
ein Teilchen mit Impuls P hat eine Energie,
die ist gegeben, und zwar, genau,
vielleicht schreibe ich das erst mal so hin,
das Quadrat von E ist, wie Sie alle wissen,
die Ruhemasse von den Teilchen, ich schreibe hier mal null hin,
damit es klar ist, dass die Ruhemasse ist,
mal 10-0, hoch 4, plus P-Quadrat,
mal 10-0-Quadrat.
Das kennen Sie alle aus der klassischen, speziellen Relativitätstheorie,
das ist sozusagen die Beziehung zwischen Impuls und Energie.
Und wenn ich jetzt die Vorschrift mache, dass sozusagen eh,
wird in der Quantenmechanik Haarquer mal Omega und P wird Haarquer
mal die Wellenzahl K. Und wenn ich das hier einsetze,
dann bekomme ich natürlich dementsprechende Lation zwischen Omega und K. Jetzt gibt es noch einen Zwischenschritt.
Also wenn Sie jetzt sozusagen,
Sie wollen ja eigentlich die Energie wissen, das heißt,
ich muss hier die Wurzel ziehen und wie Sie natürlich wissen,
gibt es da eigentlich zwei Vorzeichen.
Also ich könnte eigentlich zwei Lösungen davon hernehmen,
also Evan K. wäre dann plus minus Wurzel aus im
0 Quadrat
10.0 hoch
Plus P-Quadrat 10-0-Quadrats. Und jetzt ist die Frage,
welches Vorzeichen soll ich wählen? Der Punkt ist,
wir werden hier praktisch in der ganzen Vorlesung immer nur das
positive Vorzeichen wählen, das negative Vorzeichen entspricht Anti-Teichen.
Also wenn sie zum Beispiel, wenn sie zum Beispiel Elektronen haben,
dann würde die negative Energielösung einen Positron entsprechen,
aber weil wir nicht relativistische Quantenmechanik machen und normalerweise nur Teilchen im Spiel haben,
keine Anti-Teichen, werde ich hier immer positive Lösungen verwenden.
Und natürlich, wenn das Teilchen, meistens ist das Riss,
nicht relativistisch und dann kann ich hier auch noch gleich
eine Reihenentwicklung machen bis zur ersten Ordnung.
Und dann bekomme ich sozusagen, dann geht dieser Ausdruck hier
über in M0, 100 Quadrat, plus P-Quadrat.
Jetzt muss ich hier aufpassen, dass ich die 100s richtig bekomme.
Das ist dann Pekodrats durch zwei
Genau, also wenn ich hier jetzt das Pin,
hier würde jetzt ein 10-0-Quadrat stehen,
da müsse ich durch 10-0 auf 4 dividieren.
Die 10-0, genau, die Kürte,
die sollten sich genau rauskürzen hier.
Das ist eine Ernährung und ich nehme das positive Vorzeichenweisen Teilchen sein soll.
Und im Prinzip hätte ich dann höhere Ordnungstherme hier von höheren Potenzen des Impulses,
die ich aber vernachlässige, wenn das Teilchen nicht relativistisch ist.
Gut, jetzt können wir natürlich diese Relation,
also diese Entsprechung zwischen Energie und Frequenz einsetzen und dann bekommen
wir unsere Relation
Zwischen Omega und K. Und die sieht dann natürlich folgendermaßen aus. Das wäre dann eben Hardqueer,
Omega, was eine Funktion von K ist,
ist dann ungefähr gleich M0 mal 10-0 Quadrat plus H Querquadrat,
Karquadrat durch 2 M0. Ja,
und dann kann ich natürlich noch durch H kreativitieren.
Und dann habe ich eine Relation Omega von K. Ja,
das heißt, wenn sie jetzt in ihre Ebene Welle hier einsetzen,
dann wissen sie auch sofort,
wie sich die in der Zeit verhält.
Ich schreibe das nochmal hin
Psychon Air und Tee, hatten wir ja gesagt,
er ist irgendeine Amplitude, er ist für eine Ebene Welle,
mal eh hoch I, K, mal R,
minus Omeraté, eventuell ja plus irgendeine Phase noch,
wobei eigentlich brauche ich das gar nicht reinschreiben,
weil die Phase könnte ich auch in diese Amplitude reinziehen,
wenn das eine komplexe Amplitude ist,
dann kann ich diese Phase auch hier reinziehen,
aber ich schreibe es jetzt trotzdem mal an.
Und der Punkt ist jetzt eben zu jedem K,
hätten sie ein Omega, das durch diese Dispersionsrelation gegeben ist,
also mit Omega von K, ich schreibe es vielleicht nochmal explizit aus,
da hätten sie dann halt N0100 Quadrat durch Hack quer.
Diese Konstante lässt man im Allgemeinen weg,
weil das nur eine globale Konstante ist,
die kann ich immer raus dividieren,
wenn ich am Schluss Betragsquadrat nehme,
die hängt nicht von der Wellenzahl ab und dann haben wir den Rest,
der ist dann Hack quer,
Car-Quadrat durch 2 M0. Das heißt,
mit anderen Worten,
wenn ich eine Ebene Welle habe mit einem bestimmten Impuls oder eine bestimmte Wellenzahl,
dann ist durch diesen Ausdruck gleichzeitig
schon die Zeitentwicklung dieser Wellenfunktion
eindeutig bestimmt
Das wird doch diese Dispersionsrelation bestimmt. Das kann ich jetzt
gleich mehr einsetzen. Und wenn ich jetzt eine Foyer-Transformation mache,
also jetzt in gewisser Hinsicht, was ich jetzt mache,
ich setze diese Frequenz hier ein und integriere über alle möglichen Impulsmoden.
Ich gehe also jetzt sozusagen über eine einfache Ebenewelle
raus und überlagere, eine Vielzahl von Ebenen wählen.
Und dann bekomme ich den allgemeinst möglichen Fall, Überlagerung von Ebenen,
Wellen, wäre dann Integral über die Wellenzahlen natürlich,
also dieses D3K. Und da kommt es jetzt immer darauf an,
wie man die Fui-Transformation normiert.
Ich mache das meistens so, dass ich hier dieses 2P-Hoch dreieinhalb reinschreibe.
Sie werden auch noch gleich sehen, warum das vorteilhaft ist,
wenn man das so wählt, dann werden die Fui-Transformationen symmetrisch.
Das heißt, die Faktoren, die bei der Rücktransformation auftauchen, sind die gleichen.
Wenn man es anders macht, dann sind sie halt unterschiedlich.
Das ist so ein bisschen Geschmackssache, aber ich mache das meistens so.
Und dann haben sie natürlich die Amplethode zu der gegebenen Wellenzahl K
und für diese spezielle Wellenzahl setze ich jetzt diese in diese Entwicklung ein.
Und da bekomme ich also jetzt,
wobei ich das Omega jetzt schon explizit einsetze,
also eh auch ihm, K mal R.
Und dann haben wir ihm hier minus Haarquere, Karquaradrat,
dividiert durch 2 M0 mal T. Und das wäre jetzt sozusagen die Allgemeinste,
zeitliche Abhängigkeit von der Wellenfunktion, das freie Teilchen beschreibt.
Ich habe jetzt hier noch kein Potenzial oder sowas.
Ich fange mit möglichst einfachen Situationen an.
Deshalb nehme ich ein freies Teilchen und das ist die allgemeine
Lösung davon
Ich habe das deshalb diskutiert, weil wir auf die Art und Weise
die Frödingergleichung dann heuristisch sozusagen herleiten können, in Anführungszeichen.
Das wird nämlich eine Gleichung sein, die halt von der
diese Wellenfunktion der Lösung ist, wenn es ein freies Teilchen ist.
Ja. Ja, okay. Also wie Sie sehen,
wenn Sie den mitnehmen, dann kriegen Sie einen globalen Faktor,
eh hoch i,
M0, 10-0 Quadrat durch Hack quer mal Tee
Der hängt aber nicht vom Impuls ab.
Das heißt, ich kann ihn vorne rausziehen.
Und weil ich am Schluss irgendwann sowieso immer Betragsquadrate mache,
der hat Betragsquadrat 1, ist der uninteressant.
Den kann man vergessen. Oder sie können den irgendwie,
ja, sich vorstellen, in die Amplitude zu absorbieren.
Aber nur das interessiert hier, was von der Wellenzahl abhängt,
ja, weil das kann ich nicht nach vorne ziehen.
So einen globalen Phasenfaktor, der interessiert nicht,
den kann ich nach vorne ziehen. Okay, gut.
Jetzt Was ist die Umkehrtransformation von dem Ding? Also angenommen,
ich will das jetzt wieder im Impulsraum mir anschauen oder im
Raum der Wellenzahlen. Ja, wie Sie wahrscheinlich wissen,
von der Theorie der Fui Transformation wäre das dann folgendes.
Das wäre dann, sie von K und T,
aber sie können das auch sozusagen, wenn sie wollen,
zurzeit T gleich Null anschauen, dann sind diese Faktoren eh weg.
Aber die Umkehrtransformation, und das ist jetzt,
wo dieser Faktor reinkommt, der ebenfalls zwei P hoch drei halbe ist,
Ich werde das gleich nochmal allgemeiner aufschreiben, was eine allgemeine Foy-Transformation ist.
Und dann haben sie hier Psy von R und T.
Und hier haben sie halt gerade das umgekehrte Vorzeichen drin, also eo-i mal KR.
Und dann steht hier minus Harc via Cargo dran durch 2 M0 Malti.
Ja, das ist einfach die umkehrte Transformation von der hier. Ja,
warte, ich spiele bei der Umkehrtransformation, es gibt die Rolle,
was sie interessiert, weil der Hund sie haben,
weil der Hinterkreuzung nur, das sind Fehler von K. Ja,
Ja, okay.
Ich weiß, was sie meinen. Der Punkt ist,
ich habe das so betrachtet, dass ich sozusagen zurzeit Tee
gleich null mit einer bestimmten Verteilung von Wellenzahlen anfange.
Und das ist diese Funktion. Deshalb hängt die nicht von
Tee ab, weil die zurzeit Tee gleich null nehme.
Ich kann aber Wellenfunktionen auch im Feuerraum betrachten und dann auch
deren Zeitabhängigkeiten betrachten und dann, dann fällt die Lösung davon,
die Zeitabhängigkeit ist eben dann diese hier.
Aber sie sehen, vielleicht sollte das hier explizit ranscheiden,
Also eigentlich können Sie sagen, das sind zwei verschiedene Funktionen.
Das ist eine Funktion, die hängt nur von Carb und
das ist eine neue Funktion, die hängt von K und T ab.
Aber mit der Eigenschaft, dass wenn ich hier T gleich
Null setze, dass die beiden Funktionen gleich sind.
So ist es eigentlich gemeint. Ja, also so ist
es. Das heißt, mit anderen Worten,
ich würde mit dieser Funktion starten und dann frage ich mich,
wie entwickelt sich das in der Zeit und dann bekomme ich
diesen zusätzlichen Faktor herein.
Vorher ist es dann dieser Frühknossipierte,
dass das Lichthänder von Carb
Er sagt, ja, ja, schade,
er bedankt uns so aus, er hat ja keinen Menschen.
Jetzt habe ich jetzt akustisch nicht verstanden, woher nehme ich das?
Ja, weil es ist Zieltelefonbrauen. Aber der ist,
ja. Ah, woher kommt es?
Das hängt davon ab, wie sie ihr System aufsetzen.
Also wenn sie nur eine Ebene Welle haben mit einer Wellenzahl,
dann wäre das eine Delta-Funktion. Wenn es in Wellen Paket haben,
ein Beispiel dafür war die erste Übungsaufgabe, also auf Problem 2,
glaube ich, dann ist es eben eine Gauss-Funktion.
Also das kann irgendeine, mathematisch kann das irgendwas sein,
solange es, darauf zurückkommen, solange es Quadrat integrierbar ist.
Es muss narmierbar sein. Aber da gibt es keine Einschränkung
. Und das ist einfach, das beschreibt die Anfangsbedingungen,
also die Anfangsbedingungen oder die Anfangsbedingungen für die Funktion Psy von R zurzeit täglich null.
Also wenn sie zum Beispiel irgendwie ein Experiment haben,
wo die ursprüngliche Verteilung ihres Elektrons komplizierte Formen hat,
dann wäre das Zugehörige Psy von K durch diese Gleichung gegeben,
also wenn Psy von R gegeben ist,
wobei sie hier Tegle 1 0 setzen
Also es hängt davon ab, wie sie anfangen.
Das ist die Freiheit, die man hat für die Anfangsbedingungen.
Also ich schreibe es vielleicht mal hin. Das ist Psy
, Tilde von K ist beliebig. Mit der Einschränkung,
dass es, aber darauf komme ich dann später noch,
das ist diese Bedingung, dass es normierbar sein muss.
Das heißt, dieses Integral, absolut Betragsquadrat von Psythilde,
das muss halt kleiner unendlich sein.
Also das muss sozusagen existieren. Das ist die einzige Bedingung
Genau, und wenn man, oder andersrum gesagt,
das wäre jetzt ich gleich, die nächste gleiche und gewesen meinen Notes,
das können Sie jetzt auch sozusagen auf den X-Raum ausdehnen und
dann muss das Psy von X oder Psy von R-Betragsquadrat normierbar sein.
Ich will jetzt gleich diese Sache ein bisschen erweitern, funktioniert das nicht?
Vielleicht muss ich das hier mit dem Rot machen,
Ah ja, okay. Ich will jetzt noch mal kurz,
das ist sozusagen so eine Art mathematischer Einschub,
wenn ich in die räumliche Dimension bin, also die räumliche Dimensionen.
Jetzt können Sie sich fragen, wieso, das sind doch
immer drei räumliche Dimensionen, aber das ist nicht unbedingt immer der Fall.
Sie können zum Beispiel auch zweidimensionale Quantensysteme haben oder sie haben mehrere Teilchen,
dann ist es die zum Beispiel gleich dreimal die Anzahl der Teilchen. Eine Wellenfunktion kann im Prinzip von mehreren Ortskoordinaten abhängig bin,
sind viel Teichensystem haben,
wenn wir zwar hier in der Vorlesung nicht machen,
weil das merkt manche Mechanik 2 ist,
also wir werden praktisch immer nur ein Zeichen haben,
dann ist die allermeistens gleich drei,
aber ich will das mal den allgemeinen Fall kurz ansprechen,
dann hätten sie sozusagen eine dedimensionale Wellenfunktion und die Bedingung wäre,
das wird, also die ganzen Integrale werden halt an die dimensional,
ich schreibe das ja immer in die Art und Weise,
die Idee X und dann müsste sozusagen das Betragsquadrat von dem Ding hier,
müsste ebenfalls klein unendlich sein und jetzt machen wir nochmal kurz Theorie der Feuertransformation.
Und diese Wellenfunktionen, die nennt man auch manchmal,
also wenn man das mir mathematisch formuliert, diesen Raum,
der diese Bedingungen erfüllt, den nennt man L2 von R hoch D.
Also Erde ist der Raum der reellen Zahlen und Erhocht
D, weil es halt von D Koordinaten abhängt.
Und L2 heißt einfach Quadratintegrierbar. Also absolut Betrag, Betragsquadrat integrierbar.
Und man kann zeigen, wenn man das ein bisschen mathematischer macht,
dass dessen sogenannten Hilwertraum bildet, also einen linearen Vektorraum,
aber unendlich dimensional. Und ein Vektorraum ist im Wesentlichen was,
wo sie zum Beispiel addieren, subtrahieren können, Linearkombination bilden.
Das heißt, wenn immer sie zwei solche Wellenfunktionen haben,
dann können sie die addieren oder mit koeffizienten multiplizieren und addieren.
Und die sind dann immer noch in L2 enthalten.
Also das ist so eine Art Wegzerraum.
Und genau. Und in diesem Wegzerraum sieht jetzt die Feuertransformation
folgendermaßen aus,
nämlich sie von
Kann ich schreiben, als, das ist jetzt natürlich alles diedimensional,
ja, und mein syminteressierter Faktor von der Fui-Transformation,
der ist jetzt zwei Pi-Roch, D-Halbe, ja,
also wenn es jetzt zum Beispiel nur eine Dimension hätten,
dann würde halt hier Wurzel 2P stehen,
in drei Dimensionen haben sie zwei Pi-Roch, drei halbe,
so wie wir es vorher hatten, und dann haben wir völlig analog,
das hier, und mal eh hoch, I-K mal X,
und jetzt kann man zeigen oder beweisen, was ich jetzt nicht wiederhole,
aber das ist eigentlich sozusagen Grundlagen von Fui-Transformation,
dass die Umkehr, Transformation folgendermaßen aussieht, die ist völlig analog,
einschließlich den Vorfaktoren, Deshalb habe ich die auch so gewählt,
damit sozusagen diese P-Faktoren, diese zwei P-Faktoren,
dass die gleich sind.
Und dann steht halt hier,
ob sie von X mal ehoch-minus-i-k mal x, ich sehe gerade,
dass ich mein Note-Script hier sogar ein Fehler ist,
weil ich hier mal ein R geschrieben habe.
Manchmal schreibe ich R und manchmal X. Also normalerweise schreibe ich R,
wenn ich drei Dimensionen einteilchen meine und ich schreibe X,
wenn es allgemeiner ist.
Aber manchmal schlüpft mir irgendwie ein R rein und dann
ist es nicht ganz konsistent, aber sie wissen,
was gemeint ist
Okay, also das wäre so, das kann man jetzt beweisen,
dass das die Umkehrtransformation ist. Das machen wir jetzt hier nicht,
aber das kennen Sie sicher zumindest aus dem Eindimensionalen und Dreidimensionalen vielleicht noch,
dass das tatsächlich so ist. Und es gibt eine weitere Eigenschaft,
die auch hilfreich ist, nämlich die sogenannte Parsevalvergleichung. Und die besagt,
dass sozusagen diese Normierung, also wenn ich das,
das muss ja endlich sein, das ist dieses Betragsquadrat,
Und die Pause war schon gleich und sagt,
dass wenn ich diese Feuertransformation auf die Art und Weise definiere,
mit den Vorfaktoren, so wie sie hier stehen,
dann kann ich das, dann ist es egal,
ob ich es im Ortsrang oder im Raum der Wellenzahlen mache.
Also dann sind diese beiden Integrale gleich gleich. Ja,
das kann man auch beweisen, das mache ich jetzt hier auch wieder nicht,
aber das ist einfach eine Eigenschaft der Feuertransformation. Ja,
und dann vielleicht sollte ich noch dazuschreiben,
wenn das nicht völlig klar ist, was ihr gemeint ist,
in die Dimensionen ist das natürlich eine Summe von nü gleich 1 bis d,
das ist ein Skalarprodukt, aber jetzt für Vektoren mit D-Komponenten,
also das wäre sowas wie Kanü, mal X nü.
Ja, so ist es zu verstehen. Also wenn die
gleich 3 ist, das ist natürlich das gewöhnliche Skalarprodukt,
aber ich habe es so verallgemeinert hier,
dass es auch für eine andere Anzahl von Dimensionen angewendet werden kann.
Genau, wir haben ja schon letztes Mal schon gesagt,
dass die physikalische Interpretation, also ja vielleicht eine Seite noch,
Hier sehen sie jetzt keine Zeit,
weil ich mich hier sozusagen immer auf einem bestimmten Zeitpunkt interessiert.
Das ist keine dynamische Gleichung, das ist einfach,
wenn sie so wollen, können sie hier die Wellenfunktionen zu
einem bestimmten Zeitpunkt einsetzen und dann sind die feuer Transformationen so definiert.
Dann noch ein anderer Punkt zur Interpretation. Wir hatten gesagt,
dass die physikalische Interpretation von diesem Objekt hier,
also von dem Betragsquadrat von Psyvan X,
hatten wir interpretiert als Aufenthaltswahrscheinlichkeit pro Volumen
Ja, und dementsprechend kann man das hier auffassen,
als Wahrscheinlichkeit pro Wellenzahl-Intervall. Ja, also das ist die Wahrscheinlichkeit,
dass diese Wellenfunktion Komponenten im kleinen Intervall der Wellenzahlen enthält.
Das heißt, ich kann sozusagen das hier,
wäre dann die Wahrscheinlichkeit, Wenn sie so wollen,
dass die Wellenzahl in diesem Intervall, ja, also,
das kann im Intervall oder im Volumenelement K und Plus dicker liegt.
Ja, das ist völlig analog, nur dass es jetzt
halt im Impulsraum oder im Raum der Wellenzahlen liegt.
Gut, mit dieser Interpretation Kann man jetzt auch folgendes sagen machen.
Man kann eine sogenannte Erwartungswerte bilden. Also Erwartungswerte. Wir sind
jetzt folgendermaßen definiert. Angenommen, wir haben eine Funktion,
sei eine ortsabhängige Messgröße. Also zum Beispiel der Ort X selbst.
Oder eine der Komponenten von X. Also E von X,
eine ortsabhängige Messgröße
Dann ist der Mittelwert von F von X,
im Zustand Psyphan X, gegeben durch,
und da schreibt man meistens so für einen Erwartungswert,
also F von X,
das wäre dann einfach
das Integral über alle
Orte von F&X, mal die Wahrscheinlichkeit, dass X realisiert ist.
Und das ist natürlich das Betragsgedraht von Xi.
Also das ist ein Erwartungswert. Beispielsweise, sie nehmen für F&X
eine der Komponenten von X, zum Beispiel die X-Richtung.
Ja, dann wäre hier, dann würden sie hier schreiben,
das ist das Integral von x-mal Betragsquadrat von Psychon X,
dann ist es der Erwartungswert von der Koordinate X.
Und so können sie Erwartungswerte für irgendwelche X-beliebigen Observablen bilden.
Und analog können sie das natürlich im Impulsraum machen, Das heißt,
wir hätten dann zum Beispiel den Erwartungswert von der Größe,
die von der Wellenzahl abhängt, wäre dann natürlich dementsprechend gegeben durch.
Wobei sie jetzt hier die Fui transformierte einsetzen müssen.
Aber ansonsten ist es völlig analog. Genau. Ja,
und da wollen wir jetzt anschließend eine kleine Rechnung machen. Nämlich,
ich kann natürlich, also wenn ich das jetzt so hinschreibe hier,
Kann ich natürlich, dass die Feuer transformierte,
sie tilde von K, kann ich ausdrücken durch Psy von X,
indem ich den Ausdruck hier einsetze.
Und das wollen wir mal machen, was da passiert.
Da haben wir jetzt eine kleine Rechnung vor uns.
Und die zeigt uns dann auch schon,
wie sozusagen der Operator für die Wellenzahl ausschaut im Ortsraum.
Also ich schreibe das nochmal hin. Wir wollen folgende Größe
berechnen. Also F sei irgendeine Funktion von der Wellenzahl K.
Und ich will
diesen Erwartungswert bilden
Bevor wir uns das mal wieder tot machen. Also,
wir, ich schreibe es nochmal kurz hin,
also das war sozusagen die Definition, FVK und Citilde von K, Betragsquadrat.
Und was ich jetzt hier mache, ist,
ich setze Hier steht's, ich setze für Psy,
Tilde von K, setze ich diesen Ausdruck ein.
Das wird also jetzt ein bisschen länglich, weil wir dann drei geschachtelte Integrale haben.
Wir haben dieses Integral und ich muss das hier zweimal einsetzen.
Ich muss das einmal so hinschreiben und einmal die komplex konjugierte,
weil ich schreibe natürlich folgendes, also sieht Betragsquadrat,
ist natürlich nichts anderes als, ups.
Das ist Psy, Tilde von K, mal Psy,
Tilde von K. Das ist ja einfach nur die Definition von diesem Betragspatrat.
Das heisst, ich muss dieses Ding hier einsetzen und seine Komplex konjurierte.
Und wenn ich das hier mache, dann kommt Folgendes.
Jetzt brauchen wir ein bisschen Platz zum Aufschreiben. Also erst
einmal sehen Sie, wenn ich diese Faktoren da zusammensammle,
da steht dann einfach zwei P hoch D.
Weil der steht zwei mehr dran. Also den kann ich
gleich vorne mit rausziehen. Dann haben wir hier
die D-K durch 2P hoch
Und das FVK bleibt stehen. Und jetzt haben wir folgendes
. Jetzt haben wir D, D, X-Strich,
E-Hoch-I-K, mal X-Strich, von Sie-Stern, von X-Strich.
Also das ist nichts anderes als das komplex kondidierte von dem hier.
Und um nicht mit den zwei unabhängigen Integrationsvariablen durcheinanderzukommen,
bezeichne ich diese Integrationsvariable jetzt mit X-Strich statt mit X.
Wir sehen das Vorzeigen von I hat sich umgedreht,
weil ich hier die komplex konjugierte gebildet habe.
Und dementsprechend muss hier natürlich Sie Sternen von X-Strich stehen.
Jetzt setze ich das Psy von K ein,
das kann ich direkt abschreiben, dann steht hier die DDX.
Und dann steht hier EEO-IK mal X, mal Sie von X. Okay,
das muss man jetzt versuchen irgendwie zu vereinfachen.
Und da mache ich jetzt folgenden Trick. Genau,
das lasse ich hier stehen und dann schreibe ich hier Ja,
okay, lassen Sie mir das mal aufschreiben.
Und dann jetzt erkläre ich, warum das so ist.
Also das integral lasse ich so stehen. Genau. Und
jetzt mache ich Folgendes, das lasse ich ebenfalls stehen.
Ist jetzt ein bisschen Schreibarbeit hier
Das Psychon X, das ziehe ich jetzt vor.
Und jetzt mache ich folgenden Tricks, wir sehen gleich, warum.
F von i mal Nabla. Es sieht jetzt ein bisschen komisch aus,
aber ich sage jetzt gleich, was darunter zu verstehen ist.
Mal das hier. Genau. Also, was habe ich
gemacht? Nabla ist natürlich immer sozusagen die Ableitung nach X.
Also nach den einzelnen Komponenten von X. Der Punkt ist jetzt der,
ich kann sozusagen, was ich hier gemacht habe,
ist eine Folgendes.
Ich habe K ersetzt
Durch I mal nabla wirken es auf das hier.
Warum? Weil, ich schreibe das mal explizit hin,
I mal nabla wirkend auf e-hoch-i. K mal x. Ja,
was ist das, wenn ich hier den Gradienten anwende,
dann kommt ein minus IK runter.
Ansonsten ändert sich nichts. Minus IK mal plus I gibt eins und deshalb
steht hier einfach nur K, mal eo-ica, mal x.
Deshalb kann ich das machen. Ich kann also sozusagen K
setzen durch Imal Nabbla und das habe ich hier gemacht.
Ich habe im Argument von F einfach K ersetzt,
durch Imal die Ableitung, die partielle Ableitung nach X
und das ganze Ding hier soll wirken auf diese Exponentialfunktion.
Und warum das hilft hilfreich ist, werden wir gleich sehen.
Jetzt kann ich nämlich Folgendes machen. Kann ich hier weiterschreiben?
So, was mache ich jetzt in dem nächsten Schritt hier?
Genau, jetzt mache ich Folgendes. Ich wende jetzt partielle Integration an,
Also, das wirkt jetzt vielleicht ein bisschen komisch, aber wenn sie das verwirrt,
dann stellen sie sich eine einfache Funktion F-F von K da.
Zum Beispiel F&K, zum Beispiel KA selbst. Das ist völlig klar,
dass ich dann nach der Vorschrift K ersetzen kann durch E mal Gradient.
Ja, weil wenn das auf diese Exponentialfunktion wirkt,
dann gibt es eben Gradika. Ja,
und wenn das jetzt irgendeine kompliziertere Funktion von KA ist,
geht das genauso. Da muss ich ja hier irgendwie,
wenn das eine Reihenentwicklung hat in K,
dann gibt es halt höhere Pontenzen von diesen Gradienten,
aber im Prinzip stimmt es
immer noch
Okay, was ich jetzt machen kann, ist, ich kann partielle Integration machen.
Sie sehen hier, deshalb habe ich das auch so angeschrieben.
Dieses Nabla, das wirkt nur auf den Faktor,
der rechts davon steht, nicht auf das Psy,
ja, das Psy hängt ja auch von X ab,
aber das hier wirkt nur auf die Exponentialfunktion.
Jetzt wissen Sie aber, ich kann es partiell integrieren,
dann kann ich das den Gradienten auf Psy wirken lassen,
statt auf die Exponentialfunktion und weil ich partiell integriere und wenn die Rahmentherme verschwinden,
muss ich hier halt nur das Vorzeichen ändern.
Das heißt, was dann übrig bleibt, ist Folgendes,
Und jetzt ordne ich auch gleichzeitig noch die Reihenfolgen der Integrationen um.
Das heißt, ich schreibe hier jetzt die DDX und mache
noch... Genau, und dann habe ich hier...
Vielleicht habe ich jetzt hier im Moment, jetzt muss ich kurz schauen.
Ja, genau, okay. Das wird also jetzt über x
und x-strich integriert. Und jetzt Jetzt sammle ich einfach diese Faktoren zusammen.
Also der bleibt unverändert, dieses Psychstern von X-Strich.
Und dann schreibe ich aber eben F von minus i mal Nabla.
Und das Ding wirkt jetzt auf Psychonix. Ja,
und dann mache ich jetzt eckige Klammern drum,
damit klar ist, dass sozusagen diese Ableitung nur auf sie wirkt.
Und was jetzt übrig bleibt, ist das K-Integral und das K-Integral
ist das hier. Und es wird jetzt ganz einfach,
weil da bleibt nur, da bleiben nur Exponentialfunktionen stehen.
Das ist eh hoch i, mal, eckstrich minus x. Ja,
ich habe nur diese beiden Exponentialfaktoren zusammen gesammelt, ja,
und da kann ich das gerade natürlich ausklammern im Exponenten und da bleibt bis hier stehen.
Mal hier mal. Das ist ein Eigenschub. So,
und jetzt werden sie wahrscheinlich sofort erkennen, das ist nichts
anderes als eine Delta-Funktion, ja, von x-strich minus x.
Das ist die Definition von der Delta-Funktion. Ich schreibe das
hier mal an, am Rand. Das kennen sie wahrscheinlich auch aus früheren Vorlesungen,
wenn ich, hier ist er, Dieses Integral hier,
mal eh hoch, I, K, mal x-strich-minus x.
Das ist nichts anderes als 2P hoch D. Da muss man
ein bisschen mit der Normierung aufpassen, mal die Delta-Funktion von x-x-strich.
Also wenn Sie zum Beispiel hier die gleich einsetzen,
in einer Dimension, dann hängen Sie das ganz bestimmt,
dann würde es halt einfach sagen, das ist DK,
jetzt integriere ich nur über eine Dimension, von I hoch,
K, mal x-strich, das ist 2P, mal Delta von x-x-strich.
Und das ist hier einfach nur die Fallgemeinderung auf Dimensionen.
Ja, für jede Dimension kriege ich es genau ein Faktor,
zwei Bier rein und dann steht es hier dran.
Und jetzt vereinfacht sich das wieder. Ich kann nämlich jetzt
zwei von diesen drei integralen wegkriegen, weil das ist ja einfach nur die Delta-Funktion.
Und wenn ich hier über X-Strich integriere,
weil das ist eine Delta-Funktion von X-minus X-Striches,
kann ich hier einfach X-Strich mit X ersetzen.
Und das war es dann. Das heißt, das Endresultat
ist dann wieder relativ einfach. Das sieht dann folgendermaßen aus.
Das ist, sieh Stern und da kann ich jetzt X-Strich
gleich X setzen.
Das heißt,
ich bekomme sie Stern von
Und dann steht hier F von minus i mal Nabla.
Und das Ganze wirkt auf Psyphan X. So, was hat uns das jetzt gebracht?
Wir sehen sofort, also daraus folgt jetzt sozusagen,
dass der Wellenzahl-Operator K wird im Ortsraum durch Diesen Gradienten ausgedrückt.
Also K wird sozusagen durch minus i mal Gradient ausgedrückt.
Oder wenn sie es jetzt noch mit Haar quer multiplizieren,
dann wäre es der Impuls. Ja, dann haben wir
hier nichts anderes als P, ist minus iha quer mal Nabla.
Ja, und das haben sie wahrscheinlich auch schon mal gesehen, dieser Relation.
Und hier haben wir es jetzt tatsächlich abgeleitet. Ja,
also nochmal, um das zusammenzufassen, was haben wir hier gemacht?
Wir haben erst den Erwartungswert von irgendeinem,
von irgendeiner Wellenzahl abhängigen Funktion ausgedrückt, im K-Raum,
also im Rahmen der Wellenzahlen und haben das dann aber umgeschrieben
in den Ortsraum durch Anwendung entsprechender Feuertransformation.
Und dann haben wir gefunden, dass man das genauso im Ortsraum schreiben kann,
wobei K ersetzt wird durch minus ehemal den Gradienten.
Das heißt, sie sind ja sofort, war sozusagen den Impuls,
entspricht im Ortsraum minus IH quer mal dem Gradienten.
Das ist der Operator, der den Impuls entspricht in
der Ortsraumdarstellung
Gut, jetzt wollen wir hier ein Beispiel betrachten für so eine,
also wir haben jetzt sozusagen gelernt,
wir können solche Wellenfunktionen immer entweder im Ortsrahmen oder im Impulsraum betrachten.
Und die Verbindung passiert natürlich durch eine Folietransformation.
Und diesen Übergang im Impulsraum, Ortsraum oder Wellenzahl,
Fortsraum, kann man jetzt durch ein Beispiel beleuchten.
Und das Beispiel war sogar schon im ersten Übungsblatt ein Gegenstand des ersten Übungsplatz.
Und zwar Das eindimensionale Gausche-Wellenpaket. Ja, vielleicht,
das ist was, wo die Liebe nicht dazu atmen,
hoch aufgehört, weil es so oft alles vielleicht ausliegt,
weil ich weiß.
Verstehe ich jetzt nicht. Wo er eben mit dem Vater,
wo er gar nicht mehr da rausgeht.
Genau, ja. Also klar ist,
wenn alles, was hinterm Integral wird,
ist natürlich
entsprechend variabel
Also wenn Sie hier ein Integral haben, dann heißt es,
dass alles, was dahinter steht, im Allgemeinen von der Integrationsvariablen abhängt.
Klammern bringen da nichts. Also wisst ihr, das macht es nur unübersichtlicher.
Aber das ist halt eine Sinnheit geschachtelt, die Integrale.
Der Punkt ist aber, eine Subtilität ist,
ich habe hier die Integrationsreihenfolge manchmal vertauscht und streng genommen mathematisch kann man das auch nicht unbedingt,
aber ich habe sozusagen angenommen, dass das alles konvergiert.
Wenn es nicht konvergiert, dann hat man ein Problem.
Aber das habe ich jetzt sozusagen immer angenommen,
dass man das machen darf
Das war ja wohl die Reihe. Naja, sie machen erst,
also von rechts nach links, sie führen erst dieses Integral aus.
Das kann dann aber von K abhängen. Das ist die
äußere Integrationsvariable. Dann führen sie das aus und am Schluss
das. Genauso wie es dasteht in der Reihenfolge.
Das lässt sich nicht mehr darauf an. Nein,
in dem Fall ist es so,
dass es einfach nur multipliziert wird, weil natürlich,
das hängt von K ab und das hängt von K ab,
aber sie integrieren über K erst
ganz am Schluss
Also mir ist jetzt die Schwierigkeit nicht ganz klar,
aber sie müssen es in der Reihenfolge machen.
Immer zuerst was ganz Recht steht und dann nach links durcharbeiten.
Wie? Was ich gleich? Ja, das ist
der Integrant. Also das gehört zum Integranten von diesem Integral
dazu. Das ist ja eine Multiplikation. Also wenn sie
zum Beispiel Folgendes haben, Machen wir es mal einfach.
Wir haben nur zwei Skalare, Variablen. Also zum Beispiel DX.
Und dann haben wir hier meinetwegen eine Funktion F von X.
Und dann haben wir hier eine Funktion G von X und Y.
Und das integriere ich noch über Y. Dann können Sie,
wenn Sie wollen, aber ich würde das nicht machen,
weil das nur noch unübersichtlicher wird.
Dann können Sie das natürlich
so aufschreiben
War sie da eine große Klammerung? Ja, und dann wird dessen
eine Funktion von groß, dann nenne ich das groß F&X.
Das hängt jetzt nicht mehr von Y ab,
weil ich über Y schon integriert habe.
Und dann bekommen sie halt das hier. Und so ist es
gemeint hier. Das ist nichts anderes. Aber die Kammer,
die brauchen sie nicht unbedingt, weil wenn sie wissen,
dass sie immer rechts anfangen und nach links sich durchhandeln,
ist das eindeutig.
Aber das ist wirklich ein Produkt hier, weil das gehört
zum Integranten. Also da brauche ich keine Unterscheidung,
das wird multipliziert
Das ist jetzt noch nicht ganz so doof, dass Politikation geworden ist.
Von minus bis plus unendlich in allen Variablen. Also wenn
ich sowas schreibe, hier, dann ist es streng genommen,
sind es die solche Integrale und alle laufen von minus bis plus unendlich.
Also beispielsweise, wenn wir hier drei Integrationen haben,
was sie normalerweise haben im Ortsraum, dann ist das das hier.
Dann ist das DKX, DKY, DKZ
Und alles läuft von minus nach plus unendlich. Ich dachte,
eigentlich, sowas ist in der Theorie 1 oder im mathematischen
Vorkurs oder was auch immer, ist sowas erklärt worden.
Deshalb setze ich das. Deshalb, aber gut,
dass Sie mich unterbrechen, dann weiß ich,
dann weiß ich, wo es hakt.
Ja, das ist ein riesen Faktor. Und alleine sind
wir hier oder überkleiniges Vater, das kommt zu mir.
Deshalb jetzt noch Fabio. Nochmal, wenn Sie über Klein
X integrieren, ja, vor dem Kopf.
Die Kirche heißt auch nichts
Heilig war. Oder halt die Integration, damit sie mal
annimmt. Nur die eckige Klammer sagte in dem Fall,
oder unterstreicht, in dem Fall,
dass sie erst dieses Integral ausführen, für alle verschiedenen X,
sodass dieses Integral eine Funktion von X wird.
Den nenne ich Groß F von X. Und diese Funktion Groß F von X,
multipliziere ich dann mit dem Rest der Links davon steht,
der auch von X abhängt.
Und dann wird es sozusagen eine Funktion, die nur noch
von X abhängt, weil über Y habe ich ja schon integriert.
Und dann führe ich schließlich das letzte Integral aus.
Also ich glaube,
das ist eindeutig
Also Sie können gern hier die Klammern darum schreiben,
aber es ist nicht wirklich nötig, meiner Meinung nach.
Also es ist immer noch unklar, oder? Ja,
wenn du willst, jetzt haben wir einmal nach links,
weil dann zeigt das, was das alles ist.
Ich glaube nicht. Ach so, okay. Ja,
Sie können natürlich auch sich vielleicht noch deutlicher, wäre es,
wenn man es irgendwie nochmal klammert, so irgendwie, oder?
Weiß ich nicht. Die ganze Äußerung würde ich
gewesen sein. Ah, okay, jetzt verstehe ich.
Ja, okay. Also das kann man so machen.
Sie würden also hier zum Beispiel noch eine Klammer ansetzen und
hier noch eine oder so
Aber normalerweise, also was ich halt immer verstehe,
ist, wenn ich sowas schreibe, dann heißt es,
dass alles, was rechts davon steht,
kann von X abhängen und ist ein Faktor.
Da kann ich natürlich eine Klammer drum machen,
aber ich mache das normalerweise nicht. Also ja, gut.
Also vielleicht sollten wir es jetzt noch mal ein bisschen üben,
damit das klar wird, aber es ist wirklich so gemeint,
alles, was rechts davon steht,
kann von der Integrationsvariable abhängen und wird auch zusammen multipliziert
Gut, okay, also ich hoffe,
dass es einigermaßen klar geworden. Dann wollte ich jetzt,
ach so, ja, vielleicht noch einen Hinweis,
das weiß ich mir jetzt schon drauf gebracht haben,
auf Dinge, die verwirrend sein können.
Also es gibt zwei verschiedene Schreibweisen von Integralen.
Manche Leute schreiben das hier und manche Leute schreiben die Integrations-,
also die Integration am Schluss, ja,
das wären sie auch beide sehen.
Ich mische das selber manchmal, aber meistens verwende ich diese Notation.
Ja, und die Notation bedeutet einfach, Ich integriere über alles,
was rechts davon steht. Und das kann auch alles,
was rechts davon steht, kann von X abhängen.
Es können natürlich aber auch Faktoren drinstehen, die nicht von X abhängen.
In dem Fall könnte ich die nach vorne ziehen.
Aber jedenfalls ist das nicht undefiniert oder irgendwas.
Das sollte eigentlich relativ klar sein. Aber klar,
ich meine, das sind halt drei geschachtelte Integrale.
Und beim ersten Mal muss man vielleicht ein bisschen nachdenken,
wie das genau zusammengeht.
Aber ich hoffe, dass es jetzt klarer geworden ist.
Okay, jetzt wollen wir aber ein Beispiel machen.
Dann machen wir es jetzt aber wieder einfacher,
indem wir
das Ganze eindimensional machen
Also ein eindimensionales Chaos-Chess-Wellenpaket. Das heißt, jetzt haben wir
natürlich hier D gleich 1. Wir haben nur eine Dimension.
Also wenn Sie jetzt zum Beispiel nochmal auf diese,
wenn Sie jetzt nochmal auf diese Art von Integralen zurückgehen würden,
dann hätten Sie hier
insgesamt drei Integrale
Jedes ist nur, hat nur eine Integrationsvariable,
die ist gleich eins und sie haben halt drei Integrale.
Gut, und wir nehmen an, wir haben ja gesagt,
wir können jetzt als Anfangsbedingungen zum Beispiel diese Wellenfunktion im Impulsraum
oder im Raum der Wellenzahlen festlegen und wir nehmen jetzt für C-Tilde Van K,
ein Wellenpaket.
Ich schreibe mal eine Normierungskonstante vorne raus,
weil mich die nicht so interessiert und eine Gaussfunktion ist immer was,
was sozusagen auf einen bestimmten Wert konzentriert ist.
Ich nenne das mal K0. Und eine bestimmte Breite hat,
und die parrametrisiere ich hier mit einem D.
Und jetzt, die ist sozusagen eine Längenskala.
Warum? Weil natürlich K ist eine Wellenzahl,
und natürlich muss der Exponent dimensionslos sein.
Das heißt, die kann nur eine Länge sein.
Genau, also das wäre jetzt mein Ansatz.
Und dann ist jetzt die Frage, wie entwickelt,
also das wäre jetzt sozusagen zum Zeitpunkt T
gleich Null
Und jetzt können sie sich fragen,
wie entwickelt sich das jetzt als Funktion der Zeit im Ortsraum?
Und das können wir jetzt beantworten mit dem,
was wir bisher entwickelt haben, indem wir zurückgehen,
nochmal, leider weiß ich nicht, wie man das hier,
kann man hier scrollen irgendwie.
Also da kann man wahrscheinlich, da muss ich,
okay, vielleicht mache ich das so.
Irgendwie geht das nicht. Okay,
muss ich nächstes Mal fragen, wenn man hier scrollen kann,
dann muss ich es eben hier machen
Genau, also wenn Sie jetzt noch mal hierher gehen,
wo waren wir? Genau, hier. Sie werden jetzt,
also erstens mal, Sie nehmen die Eindimensionale Version von dem.
Also Sie haben jetzt hier statt D3K, haben Sie DK.
Das war übrigens in dem ausgedruckten Platz falsch,
sage ich auch noch mal kurz, weil es eindimensional ist,
haben wir hier natürlich nur eine, ein K,
ein Argument K.
Und Sie würden dieses Integral ausführen,
das psychische Tilde von K ist gegeben,
das ist das Gausch-Wellenpaket
Und dann rechnen sie das Ding hier aus,
integrieren über K und schauen sich an, wie das von X und Tee abhängt.
Er wird jetzt einfach X, weil wir nur eine Ortskoordinate haben.
Und das Resultat ist, und das war sozusagen die Übungsaufgabe,
das werde ich also jetzt hier nicht zeigen,
aber das Resultat ist folgendes, wobei wir hier uns nur,
nicht für Psyphon, X und T selbst interessieren,
sondern bereits für die integrierte Version.
Und das Resultat ist folgendes. Also natürlich ist es proportional
zu C-Betragsquadrat. Und was aber jetzt kommt,
ist der interessantere Teil, dieses zwei dividiert durch D
Plus Harquer T durch zwei M hoch. Zwei, und
das heißt, die Wurzel. Und das Wichtige ist jetzt,
das ist wieder ein Gasches Wellenpaket, und zwar Folgenreform,
x minus, Harquer, Paar 0 T durch M.
Dividiert durch zwei, Deek-Quadrat, plus HQRT,
dividiert durch zwei MD
ins Quadrat
Hier, sorry, das sollte ich in eine eckige Klammer machen.
Ja. So, also vielleicht schreibe ich das
auch trotzdem nochmal an, damit es keine Verwirrung gibt.
Also das hier ist gegeben durch, schauen wir nochmal,
wie das wird. Ja. Das ist alles folgendes.
Das wäre also jetzt DK durch Wurzel aus 2P,
mal Sieschlange von
Mal eh hochi, KX, minus, H,
quer, Carquadradradrad, durch 2MT. Ja,
also die Behauptung ist, wenn Sie dieses Integral ausführen,
wobei Sie hier für CIT Hilde diesen Ansatz einsetzen und dann betragsquartieren,
dann bekommen Sie diesen Ausdruck.
Das war Inhalt der Übungsaufgabe und die Rechnung ist so,
ja, da braucht man vielleicht ein, zwei Seiten,
aber was uns jetzt wirklich interessiert,
ist die Interpretation von diesem Ausdruck
Und wenn sie ein bisschen draufschauen, dann sehen sie,
also das ist wieder, das ist wieder ein Gastschuss-Wellenpaket.
Aber sie stellen jetzt oder beobachten zwei interessante Aspekte. Einmal,
das Wellenpaket läuft mit konstanter Geschwindigkeit, weil das hier ja eine Geschwindigkeit,
Harkwerk kann 0 durch M ist und mit Tee multipliziert wird.
Das ist auch nicht so erstaunlich, weil wir hatten in dem Ansatz,
Das hier hat einen Peak bei einer bestimmten Wellenzahl und
eine bestimmte Wellensaal entspricht der Geschwindigkeit K0 durch M.
Oder Hardware kann 0 durch M genau genommen.
Und deshalb bewegt sich das mit der Geschwindigkeit in diese Richtung.
Das ist der erste Effekt. Der zweite Effekt ist,
dass das Wellenpaket immer breiter wird. Warum? Weil das
hier ist ja nichts anderes als die Varianz im Wesentlichen.
Und da ist eine Konstante davor. Und ansonsten ist dieser
zusätzliche Therm, der mit Tegodrat anwächst. Das heißt physikalisch,
was sie beobachten ist, dass sie sozusagen zum Zeitpunkt T gleich null.
Wir hatten das auch in der Übungsaufgabe teilweise besprochen.
Fangen Sie an mit einem Gauschen Wellenpaket, das ist zentriert bei X gleich null.
Irgendwie sowas. Ja, wenn Sie hier IRT gleich null setzen,
dann haben Sie halt eher minus X-Quadrat, das heißt,
der Peak ist bei X gleich null und die Breite ist von der Größenordnung D.
Und wenn Sie dann,
also das wäre bei T gleich null und wenn Sie jetzt zu einer späteren Zeit Punkt,
also das ist X und hier ist X gleich null,
Und wenn Sie jetzt zu einem späteren Zeitpunkt schauen,
dann ist dieses Wellenpaket weitergewandert und ist gleichzeitig breiter geworden.
Irgendwie sowas. Und das wäre dann hier,
also das Zentrum wäre dann bei Hardware K0T durch M.
Und die Breite, sorry, das ist jetzt nicht so
optimal gezeichnet, aber Sie wissen, was ich meine.
Die Breite, das hier,
oder das wäre sozusagen die Wurzel aus der Varianz,
und die kann ich ja ablesen,
dass es Wurzel aus Digo draht plus Arc-WT durch
2M,
die ins Quadrat
Ja. Also das ist sozusagen ein Auseinanderlaufen des Wellenpakets, das ich in eine Richtung bewegt.
Und was man jetzt auch noch machen kann, ist,
ja, die Amplitude des Wellenpakets nimmt ab, ja,
weil natürlich, wenn sie hier, das hier,
also im Zentrum auswerten, da steht ja hier null,
dann wird das Ganze eins und dann steht hier im Nenner,
was, was mit der Zeit abnimmt.
Aber Was Sie feststellen können, die Ampelitude nimmt zwar ab, aber es wird ja gleichzeitig breiter.
Und es ist immer noch normiert. Das heißt,
Sie können Sie auch davon überzeugen, dass das die Norm,
also das hier, das Integral,
jetzt schreibe ich es mal ganz explizit hin, minus plus unendlich,
DX von Xi, von X an T, Betragsquadrat,
ist konstant.
Das heißt, zeitlich unabhängig. Und das können Sie auch verstehen,
das wird breiter und dadurch muss die Amplitude auch abnehmen,
weil wenn Sie nicht abnehmen würde,
dann müsste ja
dieses Integral
größer werden
Ja, also das ist alles konsistent, aber sie können,
das ist übrigens sofort ersichtlich, dass das konstant ist,
weil das ist sozusagen eine normierte Gaussverteilung.
Können Sie noch mal in der Formelsammlung nachschauen,
was eine normierte Gaussverteilung ist,
dass es im Wesentlichen halt dieses X-Parat durch Sigma-Quadrat und da kommt eben
noch mal irgendeine Potenz von Sigma rein und das kommt dann so raus,
dass das konstant ist.
Jetzt kann man sich auch noch mal genauer anschauen,
was denn diese Standardabweichung ist, indem man mit einer Gauss,
mit einer standardisierten Gaussverteilung vergleicht und Da kommt man dann auf
folgenden Ausdruck und der ist jetzt physikalisch auch noch interessant.
Also die Standard Abweichungen dieser beiden Verteilungen im Orts- und Impulsraum sind Sigma X,
also das ist sozusagen die Breite der Verteilung Delta X
und mathematisch ist es die Wurzel aus dem Erwartungswert von x-minus
Mittelwert von x ins Quadrat.
Ja,
das stimmt so, genau
Und das kann man einfach ablesen, ja,
das ist nichts anderes als dieser koeffizient da unten, ja,
also das, beziehungsweise die Wurzel daraus, Wurzel aus T-Quadrat plus H
Quer T, dividiert durch zwei MD, ins Quadrat,
und die Standardabweihung der Impulsverteilung ist natürlich analog,
das ist so was wie pp-erwartungswert von P ins Godrat,
erwartungswert, und das kann man ablesen,
indem man den Ansatz sich anschaut,
Und der ist Hardqueer durch 2D. Warum ist es so?
Weil wenn ich das Betrag spatriere, dann steht ja hier
sowas wie Zielbetragsquadrat mal ehochminus 2. K-K-0 ins Quadrat, mal die Quadrat.
Und wenn sie das vergleichen, der sollte also proportional sein zu eo-minus-k-minus-k-0
Quadrat durch zwei Sigma Pegodrat. Und wenn sie da koeffizienten Vergleich machen,
ja, also das Sigma P-Quadrat mit dem Vorfaktor vergleichen,
dann kommen sie gerade auf den Ausdruck hier. Jetzt habe ich,
okay, mit den Hard Queers ging es jetzt durcheinander,
das ist jetzt eigentlich, ich habe es jetzt in Wellenzahlen geschrieben,
das heißt, eigentlich müsste ich hier Sigma K,
Quadrat schreiben, aber P ist immer Hard Queer, may K,
ja, deshalb ist halt hier das Hard Queer drin,
ja.
Ansonsten werden sie
eins durch 2D kriegen
So, und das ist jetzt interessant, weil sie stehen jetzt
Folgendes fest. Wenn ich das dies Jahr klein mache,
dann ist die Standardabweichung der Impulsverteilung sehr groß. Das heißt,
ich habe eine sehr breite Impulsverteilung, aber die Ortsverteilung,
also zumindest, wenn ich hier mal Tee gleich Null setze,
ist sehr konzentriert.
Das heißt, es ist komplementär zueinander. Wenn sie eine breite Impulsverteilung haben,
dann haben sie eine sehr enge Ortsverteilung und umgekehrt.
Und das ist ein Spezialfall von der Unschärferelation. Sie sehen insbesondere,
dass die Unschärfe von X mal die Unschärfe vom Impuls immer größer gleich haarquer halbe ist.
Also für T gleich Null ist es exakt gleich,
weil für T gleich Null steht hier D und hier steht Hardware durch 2D,
also das Produkt ist D kürzlich und es steht Hardware halbe.
Wenn T größer Null wird, also wenn das Wellenpaket anfängt auseinanderzulaufen,
dann bleibt das konstant und es wird immer größer.
Das heißt, das wird hier größer. Aber in jedem
Fall ist das ein Spezialfall von der Unschärferelation und für T
gleich Null ist sozusagen diese Ungleichung sogar saturiert sozusagen,
also als Gleichung erfüllt
Ja, wir werden dann später diese Unschärfe Relation beweisen,
also für einen allgemeinen Fall. Das war ja ein spezieller,
spezieller Fall, weil wir mit einer ganz speziellen Wellenfunktion begonnen haben,
nämlich mit einem tauschen Wellenpaket.
Kann man sich fragen, wenn ich mit irgendwas anderem anfange,
gilt es dann immer noch. Und tatsächlich gilt es immer noch,
und das muss man aber beweisen, das liegt einfach,
im Endeffekt kann ich auch gleich sagen, woran das liegt.
Das liegt daran, aber wir kommen auch später darauf zurück,
dass wir ja jetzt hiervon gelernt haben,
dass der Impulsoperator,
der Ableitungsoperator ist und der kommotiert
nicht mit dem Ortsoperator
Und das bestimmt dann die unschärfere Relation. Das heißt,
mit anderen Worten, sie können Impuls und Ort nicht gleichzeitig
beliebig scharf festlegen. Und deshalb haben sie diese Relation her.
Und die ist halt bekannt als Unschärferelation. Und wir haben
jetzt hier ein erstes Beispiel gesehen für diese Gauschen Wellenpakete.
Und später werden wir das halt für allgemeine Zustände nochmal genauer sehen.
Okay, das schließt jetzt diesen Teil mit den
freien Teilchen und Ebenen
Wellen erstmal ab
Und jetzt kommen wir zum zweiten Unterkapitel. Und jetzt wird es
sozusagen so ein bisschen die Mathematik vorbereitet. Das ist so
eine Art Einschub. Da diskutieren wir jetzt erst mal Operatoren.
Also wir haben jetzt eigentlich schon mehrere Beispiele kennengelernt,
zum Beispiel der Impulsoperator haben wir kennengelernt,
ist minus IH Quermal der Guardiant.
Und jetzt wollen wir allgemein diskutieren, was ist eigentlich ein,
was versteht man unter dem Operator allgemein?
Also ein Beispiel war der Impulsoperator
Und wir haben gesehen, im Ortsraum ist er gegeben durch den Tradienten.
Im Impulsraum ist dieser Operator einfach gegeben durch den Impuls selbst.
Das heißt, jede Funktion, auf die sie den anwenden,
multiplizieren sie einfach mit dem Impuls. Also wenn das eine Funktion ist,
die vom Impuls abhängt und sie wenden darauf den Impulsoperator an,
dann multiplizieren sie einfach mit P.
Aber im Ortsraum Erst als ein Differenzialoperator, nämlich Ableitung,
der Gradient, minus Ihak, wie einmal der Gradient. Gut,
was ist jetzt, so allgemein, ist ein Operator A,
definiert als eine Abbildung von diesem Kilbertraum, der Quadrat integrierbaren Funktionen,
auf sich selbst, also als eine Abbildung.
In diesem Raum, der quadratintegrierbaren Funktionen. Das heißt,
ich würde sozusagen mit einem Zustand anfangen, aus diesem Raum.
Und den bilde ich ab. Also darauf wende ich jetzt
meinen Operator an. Und die Idee ist,
dass der neue Zustand, es gibt mir einen neuen Zustand,
der soll natürlich im gleichen Raum enthalten sein.
Das heißt, der soll wieder quadratintegrierbar sein
Und es soll natürlich gelten für alle diese Zustände.
Und zusätzlich, im Allgemeinen, das ist eine Quantmechanik,
haben wir es eigentlich immer nur mit sogenannten linearen Operatoren zu tun.
Und das kennen Sie alle, was das bedeutet.
Das heißt einfach nur, wenn ich sozusagen A anwende auf
eine Linearkombination von zwei Zuständen.
Also C1, C1,
PC1 plus C2,
Ist C1 mal A, wirkend auf C1 plus C2 mal A
, wirkend auf C2. Und das soll gelten. Ja,
ich schreibe das jetzt mal ein bisschen kürzer für alle,
C1, C2 aus Geld 2, Erhochti.
Und für alle komplexen, konstanten C1, C2, ja.
Also wichtig ist auch, das muss man auch immer betonen,
in der Quantmechanik ist immer alles komplexwertig im Allgemeinen.
Das heißt, diese Funktionen haben komplexe Werte,
nicht nur reelle
Es gibt übrigens Spezialfälle,
wo Wellenfunktion oder Eigenzustände vom Energieoperator rein reellwertig gewählt werden können,
aber im Allgemeinen ist das nicht der Fall.
Das heißt, man hat es meistens mit komplexen Werten zu tun.
Und daher kriegt man auch im Allgemeinen diese Interferenzeffekte in der Quantenmechaniken.
Gut, genau. Jetzt haben wir schon mal
ein Beispiel kennengelernt
Wo wir ja sozusagen Funktionen auf solche Operatoren anwenden können.
Und jetzt kann man fragen, wie kann man sowas definieren?
Also wir hatten, die Frage wäre jetzt zum Beispiel,
wie ist F von Gradient definiert? Also sie erinnern sich,
also diese Ableitung gemacht haben vom Impulsoperat, im Ortsraum,
da haben wir diesen nablerischen Gradient-Operator verwendet und haben den als
Argument von der Funktion reingeschrieben.
Da kam jetzt zunächst mal denken,
was soll das eigentlich
Ein Operator als Argument von einer Funktion, aber die Definition ist folgende.
Also falls F von X eine analytische Funktion ist,
das heißt insbesondere eine Tailor-Entwicklung hat. Also F von,
ich mache es jetzt mal einfacher und ich mache jetzt sozusagen
mal nur eine Dimension, damit es ein bisschen weniger Notation wird.
Also nehmen wir mal, hängt nur von einer Variablen.
X-Up und nehmen wir an, das hätte eine bestimmte Tailor-Entwicklung,
Also so was wie Summe von N gleich 0 bis unendlich.
Ende Ableitung von F an der Stelle 0 dividiert durch Enfakultät mal X hoch N.
Dann ist F von A genauso analog definiert. Also die
Definition wäre dann, dass ich hier halt den Operator einsetze.
Und das ist dann alles wohl definiert,
denn ich kann sozusagen meinen Operator immer eng mal hintereinander anwenden.
Ja, das ist ja erlaubt
Der hat immer noch dieselben Eigenschaften. Und dann kann ich
das hier so definieren. Also wenn das zum Beispiel der Gradient wäre,
dann wären diese Therme eben zum Beispiel, wir stünden darin,
dass ich den Gradienten eng mal hintereinander anwende.
Ja, aber ganz gerade, was ich probiert habe.
Ich nehme ja immer an, dass der Konvergenzradius unendlich ist.
Also das muss ich auch noch sagen,
das ist hier sozusagen theoretische Physik, nicht Mathematik.
Da unterschlägt man meistens oder manchmal solche Fragen. Aber die sind
eigentlich berechtigt. Also wenn sie zum Beispiel mathematische Physik machen,
Und da würden sie solche Fragen im Detail diskutieren und sich Probleme anschauen,
immer fragen, unter welchen Umständen konvergiert es eigentlich und so weiter.
Hier unterschlagen wir das meistens. Das heißt, wenn ich
solche Sachen hinschreibe, dann nehme ich immer implizit an,
dass das konvergiert. Genauso wie ich vorhin geschachtelte Integrale verwendet habe,
dann die Integrationsreihenfolge vertauscht habe, nehme ich immer stillschweigend an,
dass ich das machen darf.
Muss man eigentlich genau genommen auch sich anschauen, wann das geht.
Und es geht im Allgemeinen dann, wenn die Integrale hinreichend gut konvergieren.
Aber das sind lauter Fragen, die hier eigentlich außen
vor lasse
Okay. Gut, also das ist zunächst mal ein
sehr wichtiges Konzept. Dann sollte hier noch schreiben,
solche linearen Operatoren können addiert und mit komplexen Zahlen multipliziert werden
Und dann gibt es auch den speziellen sogenannten Einheitsopperator,
das sollte auch klar sein, der ändert sozusagen einen Zustand nicht.
Wenn ich den auf den Zustand anwende,
dann kommt genau der gleiche Zustand wieder raus. Genau,
und dann haben wir auch noch den Null-Operator,
der ist meistens jetzt nicht so relevant,
der wird dann sozusagen alles auf Null projizieren,
das wäre dann die Funktion, die nur den Wert Null hat.
Dann manchmal stellt sich die Frage, ob ein Operator umkehrbar ist,
das ist natürlich nicht immer der Fall, aber manchmal ist das der Fall.
Also falls A, umkehrbar, dann ist der Umkehroperator folgendermaßen definiert,
dass man eben setzt A, mal auch minus 1,
das ist dann der Umkehroperator und das sollte dann auch nicht von der Reihenfolge abhängen.
Und wenn man die eben zusammen multipliziert, dann sollte der Einheitsoperator rauskommen.
Übrigens im Allgemeinen, das ist auch noch wichtig,
in der Quantenmechanik Operatoren Kommotieren im Allgemeinen nicht, in dem speziellen Fall schon,
weil das jetzt die Definition vom Umkehroperator ist, aber im Allgemeinen nicht.
Das heißt, man hat die Definition von einem Kommotator von
zwei Operatoren A und B und die sind einfach definiert,
denn wir haben auch sehr häufig verwenden, später,
das ist halt einfach definiert als A-b-B-A.
Also wie gesagt, nachdem das Operatoren sind,
ist das im Allgemeinen nicht null.
Wenn das Zahlen werden, wäre es natürlich null,
aber für Operatoren ist das im Allgemeinen
nicht der Fall
Ein prominentes Beispiel ist natürlich, Orts- und Impulsoperator,
wenn der Gradient kommotiert, nicht mit Multiplikation, mit X.
Das werden wir dann später auch genauer sehen.
Und das führt dann zum Beispiel unter anderem sehr unschärferelation.
Ja, hier steht schon, genau, hier haben wir
schon Beispiele. Also nehmen wir wieder den Ortsoperator oder zwei
genauer genommen zwei Komponenten davon
Also der Ortsoperator im Ortsraum besteht immer darin, dass ich
die Funktion, die Wellenfunktion einfach mit der Koordinate multipliziere.
Und das hängt natürlich nicht davon ab, in welcher Reihenfolge
ich das mache. Das heißt, die kommentieren. Genauso,
wenn ich zwei Komponenten des Impulsoperators multipliziere miteinander,
das hängt auch nicht von der Reihenfolge ab.
Warum? Weil partielle Ableitungen miteinander konvergieren. Es kommt nicht
darauf an, welche Reihenfolge ich partielle Ableitungen mache.
Und P ist ja nichts anderes. Ich schreibe es nochmal
An, zur Erinnerung, P ist ja minus Ihaquea,
mal die Parzelle Ableitung nach Koordinate X Müll.
Und wenn ich zwei von denen anwende, dann habe ich
halt eine doppelte Ableitung, also zwei partielle Ableitungen hintereinander,
aber das hängt nicht von der Reihenfolge ab.
Ich glaube, das heißt irgendwie Schwarzes Theorien oder so.
Ich weiß nicht mehr, wie der Name heißt,
aber das ist allgemein bekannt, das ist partielle Ableitungen vertauschen.
Jetzt haben wir aber ein nicht triviales Beispiel, nämlich Was passiert jetzt,
wenn ich den Orts mit dem Impulsoperator versuche zu kommotieren?
Da kommt jetzt was nicht, verschwindet das raus.
Und zwar, schauen wir uns das mal an. Also,
wenn ich jetzt zum Beispiel XNU mit Pemü konvergiere,
jetzt setzt man das mal explizit ein.
Da steht also jetzt, gut,
da steht jetzt das Minus-IH-Quer, das ist einfach eine Konstante,
die kann ich
immer nach links rausziehen
Also steht hier ja zunächst mal mit minus IH Queer und dann steht hier
der Kommentator von XNU mit der partiellen Ableitung nach X-Müll.
Wenn ich das ausschreibe, dann steht hier minus IH Queer.
Schauen wir hier mal eine große Klammer,
dann steht hier XNU mal Ableitung nach X-Müll,
minus X, also Ableitung nach X-Müll von XNU.
Und da muss man jetzt aufpassen, was heißt das?
Das sind ja alles Operatoren. Das heißt, dieses eigentlich muss ich
mir hier rechts davon immer vorstellen, dass eine Wellenfunktion steht.
Das wirkt immer auf einen Zustand, also auf eine Wellenfunktion.
Also wenn sie das Normalerweise schreibt man das nicht in der Quantenmechanik,
aber am Anfang ist es vielleicht ein bisschen verwirrend.
Deshalb schreibe ich jetzt hier erstmal immer eine Wellenfunktion mit dazu. So,
und jetzt können Sie, wenn Sie das so machen,
dann können Sie das ausmultiplizieren, machen wir mal ganz kurz.
Da steht hier, also jetzt sowas wie X-Nü,
mal Ableitung von Psina X-Mü.
Und dann steht hier... Und der Punkt ist jetzt natürlich,
dass hier abgeleitet wird, das Produkt von X-Nü mit Psy.
Und da gibt es natürlich zwei Therme.
Das ist die Produktregel. Und wenn ich das ausmultipliziere,
Dann kürzt sich ein Term, wenn man gleich sieht.
Aber ich schreibe das jetzt einmal sehr ausführlich hin.
Also zunächst mal steht hier minus xnü partiell abgeleitet nach xmü.
Ich schreibe das jetzt mal so ganz naiv dran, mal Psi.
Und dann steht hier noch minus xnü. Ableitung von Psy
nach xmülle. Jetzt der hier, der kürzt sich.
Und das hier, naja, was ist das?
Das ist das Chroniker. Delta von Mü und Müll.
Also wenn ungleich Mühe ist,
ist das Null
Weil das zwei unabhängige Variablen sind.
Wenn aber nie gleich Mühe ist, ist es eins.
Das heißt, ich habe insgesamt plus Ihaklear,
da steht ein zweites Minuszeichen drin, deshalb gibt es einen Fluss.
Und dann steht hier das Chroniker-Menü. Und wenn eben Mühe
gleich nö ist, dann kommentiert das nicht.
Das ist ungleich null. Manifest, ungleich null. Genau
, also das war ein wichtiges Beispiel jetzt. Übrigens,
lautens, also solche Operatoren mit solchen Kombotatoren heißen auch kanonisch.
Also sind sozusagen Kanonen. Der Impulseoperator ist kanonisch,
konjugiert zum Ortsoperator, wenn er diese Vertauschungsrelation erfüllt.
Bitte? Was ist der erste Internet? Müll,
Müll, das griechische Müll und das zweite ist das Müll.
Also sie können auch I und J schreiben, aber meistens,
also ich bin irgendwie beeinflusst von der Relativitätstheorie,
Mühe von 0 bis 3 läuft es,
und deshalb schreibe ich meistens Mühe, aber okay, das brauchen wir hier eigentlich nicht.
Gut, jetzt noch ganz kurz, zwei Konzepte,
ein Skalarprodukt müssen wir noch einführen, also ein Skalarprodukt.
Zwei Arwellenfunktionen. Also das wären jetzt zwei Wellenfunktionen, FIFA
X und Psy von
Und das ist definiert, ich verwende jetzt auch diese Brar-Cat-Tribe-Vise,
sie Brarquette. Und das ist definiert, also im Ortsraum
ist es definiert, als das Integral über alle Koordinaten,
vier Sternen von X, mal Psyphanix.
Das ist der Standard-Skalabprodukt von zwei Wellenfunktionen. Und da,
weil ich jetzt gleich aufhören muss,
vielleicht habe ich jetzt keine Zeit, mir das aufzuschreiben,
aber insbesondere Kann man natürlich ein Skalarprodukt von einer Wellenfunktion mit sich selbst bilden.
Und wir sehen, wenn man das hier einsetzt,
dann sieht man, dass das positiv definit ist.
Das heißt, mit anderen Worten, was hier steht,
ist ja dann das absolut Betragsquadrat von Vieh.
Und das kann nicht negativ werden.
Das heißt, das ist immer größer, gleich null.
Und null ist es nur, wenn die Wellenfunktion überall verschwindet.
Das heißt, man kann das als Norm verwenden. Ich kann also,
da schreibt man dann normalerweise so die Norm von Vieh,
ist dann definiert als die Wurzel von dem Skalabrodukt von Vieh
mit sich selbst
Ja, und dann will ich noch ganz kurz,
das ist der letzte Punkt, mit Hilfe dieser Skalaprodukts kann
man jetzt sogenannte hermittisch konjugierte oder selbst adjungierte Operatoren definieren.
Also ein zu A, chemitisch konjugierter oder auch selbst adjungierter
, da gibt es diese zwei Bezeichnungsweisen
Ist definiert durch folgende Relation. Das baut jetzt eben auf
dieses Skalarprodukt auf, und zwar sagt man einfach,
also das eigentlich beinhaltet das Schieben von A,
von einer Seite auf die andere.
Also der A, Degger nennt man den meistens A,
Degger. Wenn der auf die linke Seite,
also auf die linke Funktion wirkt,
und dann auf PC projiziert wird,
dann sollte es das Gleiche sein,
wie wenn ich Vieh auf A siehe
Projiziere. Oder ausgeschrieben, gut, das können Sie jetzt
selber ausschreiben, indem Sie die Definition von dem Skalabprodukt einsetzen.
Aber das ist die Definition von dem selbstaddyngierten Operator.
Ich wollte es nur noch erwähnen, weil das dann schon
eine Rolle spielt in diesem folgenden Übungsblatt, das hier ausnahmeliegt.
Und ja, Frage. So, Sie haben recht,
ich habe mich hier vertan.
Selbstaddyngiert ist er nur, wenn Aargäger gleich A ist.
Ja,
das sollte ich
wieder aussteigen
Genau. Also, hermitisch konjunktierter Operator, so muss ich
das schreiben. Ihr seid ein bisschen zu schnell gegangen offensichtlich.
Adega ist definiert durch und A heißt Selbst adjungiert. Wenn
dieser adjungierte Operator identisch ist mit dem ursprünglichen Operator,
ja, okay. Gut, ja, dann bis
zum Montag