Ja, schönen guten Morgen. Wir werden uns heute mit
näheren Grafen theoretisch eine Problemstellung beschäftigen,
die zumeist als unter Probleme in größeren Problemstellungen oder erweiterten Problemstellungen enthalten sind.
Wir wollen zunächst einmal mit den minnmalen spannenden Baum beschäftigen und
dann anschließend den Großgal-Algorithmus zur Bestimmung des minimalen spannenden Baums kennenlernen
Und dann als Besonderheit, den sogenannten minimalen Einbauung kennenlernen.
Und wir werden auch sehen, dass man das sogenannte
klassische Transportproblem Horror als Grafen theoretisches Problem verstehen kann.
Und wie er die besondere Struktur des Problems ausnutzen,
um ein spezialisiertes Verfahren der linearen Optimierung
zu entwickeln
Die kurze Anwendung, wo treten Minimal spannende Baumprobleme auf.
Zum Beispiel, wenn es darum geht, ein Streckennetz zu konstruieren.
Kann beispielsweise ein Stromnetz sein, wo es im Wesentlichen darauf ankommt,
dass jeder Ort direkt oder indirekt miteinander verbunden ist.
Und da sucht man halt das Netz, die Verknüpfungen,
die hinsichtlich der Kosten minimal sind.
Liniennetz für eine Airline kannten auch ein paar Beispielsaalen
Wir wollen das als Grafen theoretisches Problem insofern verstehen,
dass Verzweigungspunkte immer an einem Knoten stattfinden.
Das heißt, wir konstruieren keine zusätzlichen Knoten, indem wir
eine Verzweigung erlauben. Wenn wir das erlauben würden,
dann gäbe es für viele Problemstellungen auch noch bessere Lösungen.
Aber das ist eine Grundausnahmeannahme der Sekten,
dass die Verzweigung stets an einem Knotenpunkt Er folgt.
Vom Alten lässt sich das so beschreiben,
dass wir zunächst einmal davon ausgehen, dass wir einen Grafen vorliegen haben,
der zusammenhängend ist, bewertet es und ungerichtet sei.
V hatten wir schon kennengelernt, als Knotenmenge,
eh als Kantenmenge und Lamm da, als Vektor der Kantenbewertung.
Und wir suchen quasi eine Teilmenge der Kanten aus der Menge E,
der Art, dass die zugehörige Summe der Erkrantenbewertung
kostenminimal ist
Das ist also, wir suchen, wenn sie wollen,
ein Teil Graf aus der,
von der Struktur her ein Baument, sprich,
und in der Summe der Kartenbewerbung, Kostenminimales oder Bewertungsminimales.
Okay. Dazu gibt es ein Verfahren, ein ganz einfaches Verfahren,
man muss lediglich in der Lage sein, Zahlen zu sortieren.
Also wir gehen ja jetzt mal davon aus,
dass wir wieder so ein Grafen vorlegen haben,
der zusammenhängt ist, schlingfrei, das heißt,
wir haben keinen Fall,
der geht von starteten Knoten I
und endet den Knoten
Ja, es wäre so eine Schlaufe. Da sprechen wir
von einem schlingenfreien Grafen. So etwas sollen wir nicht unterstellen.
Und wir wollen einen ungerichteten Graf unterstellen. Und die Kantenmenge,
die es zu bestimmen geht, gibt, die Knoten sind immer dabei,
soll ja ein Baum sein, der alle Knurren verbindet.
Nee, wollen wir zunächst einmal so initialisieren,
dass der bloß keine Kante enthalten ist.
So was wir als erstes zu machen haben,
ist nichts anderes als uns die Kantenbewertungen uns anzuschauen und die Kanten aufsteigend oder sagen wir mal,
nicht abnehmend zu sortieren, hinsichtlich der Kartenbewertung.
Das können natürlich auch identische Kantenbewertungen vorliegen und deswegen sprechen wir
von nicht abnehmenden Bewertungen in der Sortierung.
Also die Kante mit der geringsten Bewertung steht am Anfang in der Sortierung
und dann geht das halt so weiter und die Kartenbewertung zwei Jahre aufeinander folgender Kanten sind dadurch gekennzeichnet,
dass die nachfolgende Kante eine Bewertung hat, höher gleich,
der kannte die vor der Kante, in der Sortierung, sich befinde.
Wie gesagt, wir gehen davon aus,
dass wir zu Beginn eine leere Kantenmenge betrachten,
eh quer, wie wir es hier stehen haben.
Und es sind dann alle Knoten enthalten. Also in dem
Sinne ja kein Zusammenhängergraf erstmal, mit dem wir starten.
Und dann gehen wir iterativ vor,
was wir ja schon zunächst einmal wissen, ja,
wenn wir Endknoten haben, brauchen wir Endminus eins Kanten,
um Endknoten miteinander zu verbinden.
Bei zwei Knoten brauchen sie eine Kante,
bei drei Knoten brauchen sie zwei Kanten und so weiter
Ist ein iteratives Verfahren. Man kann nicht genau sagen,
wie viel Iteration benötigt werden. Am Ende, was wir
wissen, dass N-minus eins kannten, ausgewählt worden sind.
Und was ist dabei zu beachten? Wir gehen,
die kannten jetzt eins hindurch, fangen mit der niedrigsten bewerteten Kantan,
dann die zweitniedrigste und so weiter.
Und jedes Mal überlegen wir, ob durch die Aufnahme dieser Kante ein Kreis entsteht.
Falls nicht, dann nehmen wir die Kante mit auf.
Und falls doch, dann schauen wir uns halt
die nächste Kante in der Sortierung an
Ganz einfaches Vorgehensweise. Gleichwohl, wenn Sie es dem Computer sagen,
müssen Sie natürlich noch einen Algorithmus finden,
der Ihnen gewährleistet, dass ich ganz schnell identifiziere,
ob im Kreis nun entsteht oder halt nicht.
Wir wollen uns jetzt hiermit so kleinen Beispiel beschäftigen,
wo man durch Hinschauen sofort erkennt, ob im Kreis vorliegt oder nicht.
Wenn Sie es am Computer mitteilen, brauchen Sie natürlich eine bestimmte Ein bestimmtes Verfahren,
das halt identifiziert, auf dem Kreis vorliegt oder nee.
Das wollen wir aber hier jetzt nicht näher betrachten. Okay. Ja,
ich hatte ja schon drauf hingewiesen, wenn wir Endknoten haben,
brauchen wir N minus eins Kanten und deswegen,
wenn wir N minus eins Kanten haben,
die jeweils keinen Kreis erzeugt haben,
dann sind wir fertig und wir haben sofort die optimale Lösung.
Ja, das Ergebnis ist also ein minimaler, spannender Baum.
Okay, dazu schauen wir uns ein Beispiel an.
Hier sehen Sie also
einen Grafen
Korrespondieren zu einem Streckennetz, alles Verkehrs,
Luftverkehrsunternehmen und die einzelnen Karten stellen potenzielle Verbindungen dar und wir
sollen unter Berührachtung dieser Kantenbewertungen nun einen minimalen, spannenden Baum bestimme.
Wir sehen, dass wir sechs Knoten haben,
insgesamt brauchen wir also dann fünf Kanten.
Die in der Summe keinen Kreis darstellen dürfen.
Okay, wie gehen wir da vor
Hier sehen Sie schon den ersten Schritt, oben haben Sie den Ausgangsgrafen.
Sie sehen die einzelnen Knoten. Und was Sie hier auch
schon sehen, ist die erste eingefügte Kante.
Was haben wir da gemacht? Wir haben uns die einzelnen Kantenbewertungen
angeschaut, haben die Kante mit der niedrigsten Bewertung identifiziert.
Und das ist jetzt die Kante 1,3. Deswegen haben wir jetzt
hier auch schon die 1,3. Sie finden also keine Kante mit
einem niedrigeren Bewertung. Okay. Und dann gehen wir in
dem Verfahren weiter. Wir suchen jetzt die Kante mit der
zweitniedrigsten Bewertung und jetzt gucken wir sie
einzelne Werte an
Können wir durch hinschauen, diesen Fall lösen. Und das ist ja offenbar
die Kante 3,5, wenn ich das jetzt hier richtig sehe.
Deswegen führen wir die Kante 3,5 ein. Denn durch Einführung
der Kante 3,5, ja, das ist diese Kante hier,
entsteht kein Kreis, wie sie ja durch hinschauen, erkennen.
So, nun könnte ich dich jetzt Dreck fragen,
was ist jetzt die nächste aufzunehmende Kante,
aber das sehen sie wahrscheinlich auch ganz schnell.
Jetzt sehen sie hier die Kante 2 oder 5 mit der Kantenbewertung 34
und es gibt offenbar keine andere Kante mit einer niedrigeren Bewertung.
Und die Aufnahme dieser Kante 2,5 erzeugt auch keinen Grafen in
unserem Beispiel, wo wir unser bisher erzeugten Teilgrafen.
Deswegen nehmen wir also die Kante 2,5 auf. Okay,
so sind sie hier bei 34 gewesen. Jetzt gucken sie wieder
die einzelnen Kann-Bewertungen an, weil sie es ganz professionell machen,
haben sie es vorab wirklich sortiert gehabt.
Ich mache es jetzt hier durch Hinschauen schnell wieder und sehe
hier die Kante 3,4 ist offenbar die nächste Kante,
die ich aufzunehmen habe, wenn ich richtig gucke.
Okay, also der Einführung einer drei Kantel 3,4 erzeugt auch keinen Kreis.
Deswegen nehme ich die Kante 3, 4 mit auf.
Okay, dann sind wir bei 40 und dann sehen wir
jetzt hier die Kante 2, 3 mit der Kantenbewertung 41.
Wenn Sie jetzt hier 2, 3 einführen würden,
sehen Sie, es würde ein Kreis entstehen.
Also die Kante 2, 3 fügen wir also nicht ein.
Dann haben wir offenbar die Kante 1,
2 mit der nächsten Bewertung 42,
die auch lange von der Kante 1,
2 würde auch ein Kreis erzeugen
Überspringen wir also auch. Dann sind wir hier 42. Ja,
der nächste Wert ist offenbar, wenn ich das richtig schaue,
der Wert 5, 6, 5, 6,
erzeugt keinen Kreis und deswegen nehmen wir die Kante 5,
6 auf.
Nun haben wir insgesamt 5 Kanten aufgenommen und alle Knoten sind,
binden dann da verbunden und wir haben einen Baum konstruiert und
das ist auch ein minimaler,
spannender Baum.
Okay,
ganz einfaches Verfahren
Wie gesagt, derartige Problemstellung treten auch auf als Tai-Probleme in etwas komplexere Fragestellungen.
Eine Besonderheit ist dabei, der minimale Einsbaum. Und da ist
die Frage, wie können Sie einen minimalen Einsbaum bestimmen?
Es gibt also offenbar vielleicht mehrere. Okay. Wir gehen davon
aus, dass wir wieder allen zusammenhängenden Grafen haben wollen,
darin dann einen minimalen Einsbaum bestimmen
Ein minimaler Eins, warum ist ein minimal spannender Baum mit
genau einem Kreis? Ja. Also ein Einsbaum mit einem Kreis
. Ja. Rundreiseprobleme. Das ist ein typisches Anwendungsgebiet,
wo dieses Problem als Taiproblem auftaucht, in einem sogenannten lagranischer Fahren.
Ja. Okay
Wir wollen jetzt davon ausgehen, dass wir jetzt einen Vorstellung zusammen nehmen,
den Graf ohne parallele Kanten und Schlingen wieder vorliegen haben.
Und die Kante war Bewertung, entsprechend den Distanzen,
die wir mit einem kürzesten Wegeproblem bestimmt haben.
Wenn Sie in reale Streckennetz haben, kann das sein,
dass eine Kante durchaus beinhalten würde, dass ein Knoten enthalten ist,
der auch zu ihrem Grafen gehören.
Aber das Abstrahieren, wir machen nur die direkte Verbindung und sagen,
okay, dahinter steckt ein kürzester Weg und die Kantenbewertung
entspricht der Distanz des kürzesten Wege
Auch wenn gegebenenfalls entlang des kürzsten Wege Knoten,
Städte oder wie auch immer durchlaufen werden,
die mit zum Knoten zur Knotenmenge gehören.
Okay. So, wie gehen wir da jetzt vor?
Ganz einfach. Wir wählen einen beliebigen Knoten aus und
den entfernen wir. Und alle mit dem Knoteninzidenten kannten.
Wobei wir darauf achten, dass der verbleibende Graf nach wie
vor allen zusammenhängender Graf ist
Wir mal links einen vollständigen Grafen haben,
wo jeder Knoten mit jedem anderen Knoten verbunden ist,
ist das per se gar kein Problem.
Dass wir gegebenenfalls einen nicht zusammen in den Horrografen durch Herausnahme
eines beliebten Knotens Knotens erhalten. Ansonsten lässt sich das leicht
durch hinschauen, ja, überprüfen. Ja,
und dann haben wir einen Restgrafen, das ist also der Graf,
Ausgangsgraf minus diesen einen ausgewählten Knoten und den mit dem Knoten-Izidenten kannten.
Die haben wir rausgenommen, da haben wir einen Rest gehauen
und für diesen Restgrafen bestimmen wir dann einen minimalen spannenden Baum
Und anschließend führen wir die herausgenommenen Knoten wieder ein.
Und zwar mit den beiden niedrig bewerteten Kanten.
Und das liefert dann einen minimal spannenden Einsbaum.
Okay, auch jetzt so ein Beispiel. Wir haben jetzt
hier diesen Grafen mit fünf Knoten. Und wir wollen mal
davon ausgehen, dass wir den Knoten eins herausnehmen.
Der Restgrafen, den Restgrafen sehen sie jetzt hier mit
den Knoten zwei bis fünf.
Und es ist noch weiterhin
ein Zusammenhängender Graf
Ja. Okay. Und für diesen Teilgraphen jetzt bestimmen wir
jetzt mit den Crosskal-Algorithmus. Einen minimal spannenden Baum. Das
Ergebnis sehen Sie hier. Was habe ich da gemacht?
Das war ja unser Graph ohne den Knoten eh gleich eins.
Sie sehen hier die Kante 2, 4,
3, 4 und so weiter.
Und jetzt gehen wir mal wow.
Und bestimmt dafür den
Minimal spannenden Baum. Bro, ist die niedrigste Kartenbewertung.
Das ist offenbar die Kante 3,
4. Deswegen haben wir hier die Kante 3, 4 dabei.
Die nächste Kante, die wir auch zu nehmen haben,
ist die Kante 3, 5, 14,
ist in der zweiten niedrigste Werk.
Deswegen ist also hier diese Kante mit aufgenommen worden.
Schauen wir weiter. Und dann haben wir die Kante 2
, 4 noch dabei. Und als nächste in der Sortierung
nehmen wir auch direkt mit auf.
Brauchen wir nicht mal eine Kante überspringen.
Aber also jetzt drei Tanten eingefügt für die vier Knoten
Und ein Ergebnis haben wir jetzt einen minenmalen spannenden Baum.
Für die diese Teilmenge an Knoten und Kanten.
Okay. Dann ist der nächste Schritt den herausgenommenen Knoten,
also den Knoten 1 wieder aufzunehmen.
Und da galt es jetzt ja, die zwei Kanten jetzt hinzuzufügen.
Die zum Inzidenzen mit dem Knoten 1.
Und die die niedrigste Bewertung beinhalten
Okay. So, jetzt sehen wir ja einmal die Kante
1, 2 mit 13, ist offenbar sehr niedrig.
Und dann die Kante 1, 4. Ja,
die anderen Kantenbewertungen sind alle höher.
Ja, also 1, 2, 2 ist aufzunehmen.
13 ist der kleinste Wert. Und 1, 4,
das ist diese Kante hier, ist aufzunehmen, weil 15 der zweitkleinste Werte.
Die anderen Kantenbewertungen 1, 3, 25 und 1,
5 haben
deutlich höheren Wert
So, jetzt haben wir quasi einen, einen minimal spannenden Baum.
Wobei jetzt der korrespondiert dazu, dass wir den Knoten eh
gleich eins herausgenommen haben. Okay. So,
was man sich hier auch schnell überlegen kann und zu erkennen,
zumindest für dieses Beispiel, dass wir auch aus diesem Grafen,
den wir bestimmt haben, auch schnell eine Rundreise konstruieren können.
Ja, wenn wir beispielsweise folgende Kanten einfühlen, ein,
zwei lassen wir wieder dabei
Und führen die Kante 1, 5 noch ein.
Und jetzt haben sie auf einmal eine Rundreise konstruiert.
Und da sehen sie halt, also natürlich jetzt dem Beispiel geschuldet,
dass das so gut gelingt, gelingt natürlich nicht immer,
aber dann kriegen sie vielleicht ein Gespür dafür, warum.
Und der minimale Einsbaum, insbesondere Lösungsverfahren für das Rundreiseproblem
einer Außendienstmitarbeiterin oder eines Außendienstmitarbeiters,
eingesetzt wird
Um gleich einen kleinen Indie zu geben,
was sie halt im Rahmen eines sogenannten Lagardscherfahrens machen würden.
Sie schauen sich immer die Kanten an,
die jetzt zu einem Knoten gehören,
die Anzelle eingehende Kanten oder Verbundene kann es der Knotengrad und als Ergebnis einer Rundreise ist halt,
dass der Knotengrad immer gleich zwei ist.
Und wenn sie jetzt eine Lösung haben, wo diese Bedingung nicht erfüllt ist,
wo der Knotengrad niedrig reduzieren Sie die eingehenden Kosten.
Und wo jetzt aller Inzidentkanten. Und da war er zu
hoch, ist der Knotengrad. Erhöhen Sie die Kosten.
Und rechne dann nochmal wieder einen minimal spannenden Baum aus.
Das ist dann so eine iterative Vorgehensweise. Wie man diese Bewertung,
die Veränderung der Kosten vornimmt, gibt es dann halt auch
spezielle Vorgehensweisen, wie man das zu machen hat.
Okay, das wollen wir aber nicht, weil wir jetzt vertiefen.
Was wir jetzt für dieses Beispiel feststellen können,
dass wir jetzt hier durch diese Bayernkanten Na, 1,4 Stempchen,
nicht in dem Beispiel, sehe ich gerade.
Das muss ja ein, zwei heizen.
Okay. Eine Rundreise erzeugen. Ja, ich hoffe,
die Summe der Kantenbewertung stimmt. Zumindest in der letzten Zifferschein
zu stimmen, ja. Dann wird die Gesamtrechnung rausstimmen.
Also kannte ein, zwei, muss da stehen, ja.
Hier ist ein kleiner Fehler. Okay. So,
das also im Schnelldurchgang Die Bestimmung, minimaler,
spannender Bäume oder eines minimal spannenden Einsbaums.
Okay. Nächstes Problem, was wir als behandeln wollen,
ist das sogenannte klassische Transportproblem.
Und das werden wir auch vielleicht ein bisschen intensiver behandeln.
Okay. Wir wollen uns das Ganze vergegenwärtigen anhand eines Beispiels.
Wir gehen davon aus, dass wir zwei Reifenproduzenten haben
Mit Standorten in Hannover und Regensburg. Und wir haben Automobilhersteller,
die beliefert werden von diesen beiden Standorten aus.
Und zwar drei in der Zahl in Stuttgart, Wolfsburg und Dresden
. Okay. Wir haben für die beiden Produzenten Angebotsmengen,
das ist das also, was wir produzieren.
Jetzt in dem Beispiel um eine vernünftige Dimension zu haben,
können das so LKW-Ladung sein
Die halt zu transportieren sind. Und die Angebote,
die Nachfrage korrespondiert dann immer zu einer Properiode. Wir sehen,
dass die Produktionsmengen in Hannover und Regensburg sind identisch,
das heißt, die produzieren 15 Mengen anhalten,
sprich LKW-Ladung pro Periode jeweils.
Und sie sehen auch die Nachfrage, die steht hier in
der letzten Seile. Für Stuttgart haben sie also 13 Mengen
anhaltende Nachfrage. Wolfsburg Elfmenge anhalten und drehst eine
sechs Menge anhalten
Ja. Wenn sie jetzt die einzelnen Werte aufaddieren,
13, 11 plus 6, er geht 30,
das Gleiche bei einem Angebot, 15 plus 15,
er geht auch 30.
Das heißt, die Nachfragemengen und die Angebotsmengen sind identisch in
der Summe. Wie wir gleich nochmal hervorheben werden,
ist das also eine Grundbedingung des klassischen Transportproblems.
Dass wir davon ausgehen, dass die Angebotsmengen und die Nachfragemengen
summarisch identisch sind
Okay. Was sehen Sie jetzt noch in dieser Tabelle?
Sie sehen die Transportkosten pro Menge Anhalt. Eine Menge Anhalt von Anrufer
nach Stuttgart zu transportieren, verursacht kostet in Höhe von 150.
Eine Menge von Hannover nach Wolfsburg zu transportieren, 30.
Und von Hannover nach Dresden und jetzt C. Und wir sehen
auch die Transportkosten von Regensburg nach Stuttgart mit 80,
Promenganahl nach Wolfsburg, 140, Promenganahl und Dresden.
Geldeinheiten pro Mengeeinheiten. Okay. Das über so eine Tabelle
können wir also die Daten des klassischen Transportproblems abbilden.
Wir werden uns mit Indizes beschäftigen oder berücksichtigen, wie wir es kennen,
die Anbieter, da werden wir den Index eh verwenden,
also unseren Zeilenendex, haben also eh gleich eins für Hannover,
eh gleich zwei, vier Regensburg und die Nachfrage,
Stuttgart, Wolfsburg, Dresden.
Da haben wir den Job gleich eins, hört gleich zwei und dort gleich drei.
Also die Spalten in die Cs. So wie sie es ja
auch. Von Matrix-Schreibweisen kennen. Okay. Also Hannover,
eh gleich eins, Regensburg, eh gleich zwei,
Stuttgart gleich eins, Volksgurt, Wolfsburg, J hat gleich zwei.
Und Dresden J hat gleich drei. Okay. Das
also zur Problemstellung. Ziel ist es natürlich,
Transporte so zu organisieren, so fest zu festzulegen,
dass die Gesamtkosten durch die Transporte minimal sind.
Wir suchen also eine Transportkosten minimale Lösung.
Das Ganze lässt sich grafisch veranschaulichen. Jetzt haben wir hier
also die folgenden Grafen. Wir sehen Links, unser Anbieter,
die grünen Knoten, korrespondieren zu Hannover und Regensburg.
Sie sehen neue Parameter, A, indiziert mit I,
A 1
gleich 15,
also Angebotsmenge
Hannover, A2, gleich 15, Angebotsmenge Regensburg. Auf der,
oder rechts, da haben diese blauen Knoten, porrespondieren zu den Nachfragen.
Da haben wir einen neun Parameter B, B1 gleich 13,
ist genau die Transnachfragemenge des Automobilherstellers in Stuttgart, B2,
gleich 11,
korrespondiert zu Wolfsburg und B3 gleich 6 ist die Nachfrage,
Menge des Herstellers in Dresden
Also wir haben in diesem Sinne AIs, A1,
A2 und BJs, B1,
B2 und B3. J-Loy von 1 bis 3 und E
von 1 bis 2. Was sehen wir noch?
Wir sehen in dieser Abbildung auch die Transportkosten abgebildet als Kantenbewertung.
Oder in diesem Fall sind es ja auch Pfeile.
Also hier ist das ist dann,
sind ja die Transportkosten pro Menge von 1 nach 1,
also von Hannover
nach Stuttgart
Den Wert finden sie ja auch hier in dieser Tabelle.
All diese einzelnen Werte sind jetzt übernommen worden als Pfeilbewertung.
Auch hier noch einmal sehen Sie,
dass die Angebotsmengen so marisch, der Summe der Nachfragemengen entsprechen.
Okay. Und nun gilt das hier für eine Lösung
zu finden. Eine Möglichkeit besteht jetzt,
dass wir das Ganze als lineares Optimierungsproblem formulieren und damit Hilfe
des Simplex-Algorithmus
Die optimale Lösung bestimmen. Im Prinzip sind sie also dafür
schon gut vorbereitet. Ist allerdings relativ aufwendig und es gibt
halt einfachere, schnellere Verfahren. Okay. Was haben wir
da jetzt als Entscheidungswahriable? Wir haben die Entscheidungswahriable,
CJ, das ist die Transportmenge von Anbieter I zum Nachfrager J.
Wie gilt das? So festzulegen,
dass natürlich die Angebotsmengen nicht überschritten werden und auch die Nachfragemengen
genau erfüllt werden
Okay, zunächst, aber er ist einmal die Zielfunktion.
Hier sehen Sie also die einzelnen Entscheidungsvariablen,
korrespondieren zu Transportmengen von I nach J.,
gewichtet jeweils mit den Kostensätzen um Hängeinheit.
Wieder das Beispiel von 1 nach 1, da gehe ich
nochmal zurück. Das ist genau dieser Fall hier.
Dazu haben Sie also jetzt die Entscheidungswahl Jablix 1 zu 1.
Von 1, von I gleich 1 nach Jöttgleich
1. Deswegen haben wir jetzt hier also
150 mal X11 stehen
Dann haben sie 30 mal X12. Auch da gehen wir mal
zurück. Der Resistent sicherlich nachvollziehbar. Das Kreuz montiert zu
diesem Fall. 30 mal X1,2. Weil sie so wollen,
das sind also die einzelnen Pfeilbewertungen, multipliziert mit den Zugehörigen.
Entscheidungsvariablen XCJ. Und das Ganze ist aufzusummieren.
Der Zugehörer zielfunktionsurenswert sei F. Und wir wollen die Variablen XCJ
so festlegen, dass der Zielfunktionswert möglichst gering ist.
Nun hätten wir jetzt keine Nebenbedingungen,
könnten wir natürlich alle Variablen auf Null setzen.
Sofern wir dann auch die Nicht-Negativitätsbedingungen zumindest berücksichtigen,
würden dann Zielfunktionswert von Null erhalten. Würde auch bedeuten,
dass nichts transportiert wird. Das gilt es jetzt zu vermeiden.
Und jetzt haben sie hier zwei Restriktionsblöcke, wie sie sehen.
Einmal haben sie hier den Restriktionsblock für die Anbieter.
Und dann haben sie auch einen zweiten Restriktionsblock für die Nachfrage
So. Was wir ja wissen,
die Angebotsmenge der Standorte ist in Hannover, korrespondieren zu I
gleich 1. Hatten wir durch den Parameter A1 auch die Nachfrage abgebildet.
Da haben wir also 15 Mengen einhalten. So von Hannover,
eh gleich 1, können wir die Werke in Stuttgart,
sprich J gleiche 1,
korrespondieren zur Menge
Die Nachfrage in Wolfsburg, J gleich 2,
also Index 1, 2. Und die Nachfrage in Dresden,
also die in die CSI gleich 1 und J gleich 3. Sprich,
diese 3 Variablen müssen in der Summe gleich 15 ergeben.
Dann wird alles, was in Hannover produziert wird,
pro Periode, auch ausgeliefert.
Und das Gleiche machen wir jetzt für Regensburg.
Das ist ja unser zweiter Standort. Dafür hatten wir dann
eh gleich 2 als Index. Deswegen ist es immer hier,
wir haben die Variable XJ,
der erste Index haben wir
Und der zweite Index, der Index J,
steht ja für die Nachfrage,
den lassen wir jetzt wandern von 1 bis 3. Haben also X21,
Plus X2, 2, Plus X2, 3.
Und die müssen so marisch 15 ergeben. Okay. Und
damit wird alles ausgeliefert. Aber wir müssen noch gewährleisten,
dass auch die Nachfrage vollständig erfüllt wird.
Wenn sie jetzt nur diese beiden Restriktionen beachten würden,
ja,
was würde denn passieren
Würde X12 über den Wert 15 annehmen,
weil das der günstigste Kostensatz ist, Hannover.
Und für Regensburg, da haben wir hier die 80,
da würde 5 zu Mengen anhalten, nach Stuttgart geliefert werden.
Das wäre also eine unzulässige Lösung. Wir müssen also
gewährleisten, dass tatsächlich die Nachfragemengen erfüllt werden.
Deswegen brauchen wir noch weiteres Trickshow für die Nachfragemengen.
Das finden wir jetzt hier in dem zweiten Restriktionsblock
Stuttgart, dort gleich eins. Nachfragemenge B1 also. Zahlenmäßig
13 Mengen alten. Kann beliefert werden. Von dem ersten Standort
und oder den zweiten Standort. Also von E gleich 1,
E gleich 2. Deswegen haben wir jetzt hier den zweiten Index,
J4 festgehalten und der erste Index, korrespondieren zu dem Anbieter,
den lassen wir jetzt durchlaufen.
In diesem Fall haben wir nur zwei.
Deswegen haben wir also hier X11 und
Schauen wir uns die nächsten Nachfragen. Das ist Wolfsburg, J gleich zwei.
Der zweite Index ist erzielt bei den Variablen immer identisch.
Wolfsburg hat auch von Hannover und Regensburg beliefert werden.
Deswegen betrachten wir also eh gleich eins und eh gleich zwei,
sprich x, 1, 2, On-Ip 2,
2, muss in der Summe gleich 11 ergeben.
So, was haben wir noch? Wir haben noch einen dritten Nachfrager Dresden,
korrespondieren zu J gleich drei. Deswegen ist also hier der zweite Index,
wenn wir hier drei Auch Wolfsburg kann bedient werden von Hannover und Regensburg,
also i gleich 1,
i gleich 2. Deswegen schreiben wir also x13 plus x,
2, 3, musst du in der Summe gleich 6 ergeben.
Und sie dürfen überall das Gleichheitszeichen hinschreiben,
weil sie ja wissen, die Summe der Angebotsmengen ist identisch.
So, sollen wir da nachgefragten Mengen?
Je weiter unten haben sie ja noch die Nicht-Negativitätsbedingungen stehen.
Was sie ja auch an anderer Stelle ja schon kennengelernt haben,
so eine sogenannte Dualvariable, die wir ja auch über als Simplex-Multulkatoren kennengelernt haben.
Da hatten wir jetzt so mit P1, Speed 2 und solche Sachen, ne?
Ja. Das haben wir hier auch. Was wir aber machen werden,
ist, wir werden zwei Dual-Variablen, Typen einführe.
Einmal für die Anbieter und einmal für die Nachfrage.
Jetzt haben wir also nicht nur ausschließlich Pi,
sondern bei uns heißen jetzt die Variablen U und V,
OE und VJ. Warum machen wir das? Ja,
weil das hinterher einfacher ist auf die Dual war Yable,
korrespondierend zu einer Nebenbedingung zuzugreifen.
Macht es also an der Stelle von der Notation einfacher,
als wenn sie jetzt PIs bis P5 haben,
dann müssen sie ja erstmal überlegen, zu welcher Gleichung gehört denn jetzt dieser Zeblax-Motivikator.
Wenn sie jetzt U1, U2 schreiben, wissen sie ja genau,
gehört zuerst in der zweiten Restriktion der Anbieter und VJ,
also sprich V1,
V2, V3,
ist dann halt die J der Restriktion in den Restriktionsbergblock
der Nachfrage
Es ist denn leicht, ja. Deswegen haben wir jetzt
ja zwei Dualvariablen, UI und VJ.
Um hinterher die Notation einfacher zu machen.
Ja, okay. Die Course One Indian Dualvariablen haben sie
jetzt hier auch schon in Klammern stehen.
Okay. Diese Dualvariablen können wir jetzt nutzen,
um die von Ihnen ja schon Bekannten reduzierten Kosten zu berechnen
Und da hatten wir ja immer gelernt,
da hatten wir ja nur einen Index für die Wahljagd,
da hatten wir immer nur CJ oder C-Querjord,
ist gleich CJ-Sonne, AIJ mal P.
Und über E haben wir dann summiert, ja.
Okay. Das Gleiche machen wir hier auch,
bloß hier haben wir die Besonderheit,
dass sich das auf diesen einfachen Thermen reduziert.
Wir haben jetzt ja keine Peace mehr,
wir haben jetzt hier auch die Erweiterung,
dass wir zwei Indizes für eine Variabler,
I und
Berechnung der reduzierten Kosten, so wie wir es bisher
auch immer kennengelernt haben, entspricht genau dieser Gleichung.
CEJ ist jetzt unser Zielfunktionskoffizient. Vorhat man nur CEOs,
jetzt haben wir CEJ. Und was war da immer zu machen?
Wir gehen nochmal zurück. Wenn wir jetzt ein einzelnes,
die reduzierten Kosten ausgerechnet hatten, hatten wir aber den Zielfunktionskoffizienten genommen,
einer Variable. Dann haben wir uns angeschaut,
wie sehen die Kovezienten in der Spalte,
der war ja applaus
Das waren im eigenen, meinen Fall, hatten wir ja immer AJ.
Und dann haben wir dann im AJ mal PI genommen.
Das sieht jetzt hier ein bisschen anders aus.
Weil wir statt P, U und VOH haben.
So, jetzt gucken wir uns mal die Kovezienten an.
Also unsere ursprünglichen AJs, die sind jetzt ja alle eins oder null.
Betrachten wir mal die Beispiel Variable X12. Da haben sie ja
die 30 stehen, das ist unser Zielfunktionskoveizient, ist also 30.
Den Zielfunktionskoveizienten bezeichnen wir hier mit CIJ,
Jetzt gucken wir uns an, wo ist jetzt die Vayablex,
ein, zwei in dem Nebenbedingungssystem enthalten.
Ja, sie finden sie einmal in der ersten Leichung
und in der zweiten Gleichung, bei den Nachfragen.
So, der Sie sehen, der erste Index,
eh gleich eins, verweist auch darauf,
in welcher Zeile die Vayable bei den Anbietern steht,
nämlich in der ersten Zeile.
Ja,
da haben sie also x,
ein,
Und was haben wir gemacht? Den Kovezienten dieser Variable multipliziert,
mit der korrespondierenden Dualwahljabel, also unser U1,
haben wir also die Besonderheit, dass E auf die Dualwahljable U verweist.
E gleich Eis, korrespondiert also zur Urgleich 1.
Und dann haben wir hier die Variable Ex 1, 2,
J gleich 2, steht auch in der zweiten Zeile des Restriktionsblogs.
Und dazu haben wir die Variable V2. Dualwahljable V2.
Und der Kovezient ist hier eine
Also rechnen wir 30 minus U1 minus V2.
Die in anderen Restriktionen steht, die Valiable X12 nicht.
Da sind immer die Werte gleich null. Und null mal O2 oder
null mal V1, 0 mal V3. Das bleibt natürlich null.
Und da sehen Sie halt den Vorteil,
dass wir jetzt hier zwei Dualwahrjablen eingeführt haben.
Einmal für eine Variable, für die Anbieter.
Und eine Variable für die Nachfrage
Okay. Und das führt halt,
das haben wir uns ja gerade jetzt überlegt,
C12 ist gleich 30, minus U1,
minus V2. Lässt sich aber in die allgemeine Form,
wie wir es an anderer Stelle jetzt kennengelernt haben, überführen.
Das ist also genau das Gleiche. Guckst in Zierfunktionskoffizient an.
Unser Dual war Jabeln, U- und V-Korrespondieren zu den Simpdex-Modikatoren.
Können sie auch wieder so interpretieren,
wie häufig wohl die einzelne Zeilen auf die Zielfunksohn addiert.
Ja, mit welchen Koffizienten. Und da haben sie
entweder eins oder null. Und das reduziert sich dann zu
dieser einfachen Formel
Ja. Sie hätten ja auch minus 0 mal U2 noch hinschreiben können,
minus 0 mal V1, minus 0 mal V3,
dann hätten sie es vielleicht noch deutlicher gesehen,
dass er sich reduziert auf minus U1,
minus V2. Oder allgemein, so wie sie es hier stehen,
die reduzierten Kosten sind nichts anderes als CJ-Uui und minus VJ.
Und das ist jetzt der große Vorteil,
dass wir recht einfach jetzt über UNV die
reduzierten Kosten berechnen können
Die ja zu interpretieren waren. Wir erinnern uns daran,
wie verändert sich der Zielfunktionswert. Wenn wir jetzt die Variable XEJ
in unserem Beispiel aufnehmen, in die Basis pro Menge Einheite.
Sind die reduzierten Kosten positiv, würde das zu einer Erhöhung führen offenbar.
Sind die reduzierten Kosten negativ, würde es zu einer reduzierten,
zu einer reduzierung. Das Zielfunktionswertes für. Und das heißt,
wir werden dann nachfolgen, immer nach Vayablen suchen, die negative,
reduzierte Kosten haben, weil wir jetzt ein Minimierungsproblem haben.
Okay. Bei Maximierungsproblemen war es ja genau umgekehrt.
Okay. Gehen wir weiter vor. Eine Besonderheit jetzt hier,
die brauchen wir halt, um nachher festzustellen, dass wir eine Dualvariable,
sprich ein U oder ein VJ auf null initialisieren dürfen.
Dass wir eine Redundanz in den Nebenbedingungssystemen existiert
Ja, wenn sie jetzt die einzelnen Gleichungen, die ich jetzt,
die Nachanbieter, hatte ich jetzt mit G1, G2,
die Nachfrage 3G 4G 5,
und man muss die Einzelgleichung anschauen,
die haben sie jetzt hier nochmal niedergeschrieben, dann können sie feststellen,
das G1 ist quasi nichts anderes als G3 plus G4 plus G5 minus G2.
Das ist also eine Redundanz vorhanden. Sie können sich ja
sich schnell überlegen, G1, das setze ich hier aus,
X11 plus X12 plus X12 plus X12, gleich 15 ist das Jahr. Ja,
wenn sie jetzt G3G 4G5 addieren, das ist ja 13,
11 plus 6, das ist 30, minus G2,
das ist diese 15, haben sie also 30,
minus 15, das ist gleich 15,
da haben sie also schon mal diese 15. erklärt,
dass das stimmt, was ich hier gerade sage.
So, dann haben sie jetzt, wenn sie G3G 4G5 betrachten,
das sind ja alle diese Variablen,
die sie hier stehen haben, X11, X21,
612, X212, X13 plus 62, 3 und Subtrahieren,
diese drei Variablen, diese drei Variablen sind entsprechend genau diese,
die jetzt hier untereinander stehen,
also diese drei hier
Und dann bleiben noch nur diese drei Variablen, sprich X-1,
1,6, 1,2, nix 1,3 bei übrig.
Und die werden summiert. Und da steht hier oben.
Da sehen sie also die linkere Seite und die rechte Seite.
Entsprechend genau dem, was da jetzt steht.
Also eine Gleichung. Kann weggelassen sein, ist also redundant.
Okay. Das heißt, die korrespondierende Dualvariable würde dann auch empfallen.
Anders ausgedrückt, wir können später bei der Bestimmung,
wenn wir die händisch didualvariablen bestimmen, eine Variable auf null Initialisierung.
Wir wollen das Wissen daran gewöhnen,
dass man Probleme eigentlich nicht so detailliert runterschreibt,
sondern ein bisschen in so einer allgemeinen, meinen allgebranischen Form bringt.
Das heißt, sie müssen sich daran gewöhnen,
dass man Modelle in allgemeiner Allgebranche, Schreibweise darstellt.
Und nicht mehr so beispielorientiert,
über das wir es ja gemacht haben
Im Laufe des Studiums fähren sie später nur noch solche Algebragen-Formulierungen
finden in so ein allgemeiner Form. Ein Beispielinstanz müssen sich
an der Stelle vielleicht selbst überlegen oder wird gegebenenfalls mitgeliefert.
Und sie müssen auch die Wirkungsweise dem Mechanismus das Nehmenbedingungssystem verstehen lernen.
Okay, machen wir das einmal als Übung für das klassische Transportproblem.
Wie würde man das jetzt allgemein nicht allgebrachisch darstellen
Man würde eine Menge für die Anbieter definieren. Also kaligrafisch ISAS hier,
kaligrafisch groß j,
ja, für die Abnehmer und die Parameter,
also das sind jetzt sehr Mengen und auch die Indizes,
den sie hier definieren, haben sie also Parameter,
das ist ein CEJ,
kosten für den Transport eine Mengeheit von Produktionsstandort eh zum Abnehmerzentrum J und AIs,
die Produktionskapazität im Produktionsstandort.e,
BJ hatten wir ja an anderer Stelle schon auch kennengelernt,
Bedarf im Abnehmerzentrum
So, im Modell, wenn sie das algebraische Modell,
sind die CJs, die Ais und die BJs noch nicht explizit jetzt definieren.
Das sieht in ihrer Vorstellung natürlich erstmal variabel aus.
Sind ja auch variabel in dem Sinne, dass jetzt,
dass der beliebige Werte da stehen dürfen.
Aus Modell technischer Sicht sind das aber Datenparameter.
Und da müssen sie immer lernen, das streng zu unterscheiden.
Die Datenparame, die Parame, die entstehen quasi wertmäßig durch
die zu lösende Instanz
Davon abzugrenzen, sind die Entscheidungswahljahr. Und das sind so XEJ in unserem Beispiel.
Die Transportmengen, die wären mit durch Anwendung eines Algorithmus festgelegt.
In diesem Fall ein Verfahren der linearen Optimierung.
Also an der Stelle müssen Sie mal abgrenzen,
was ist die Entscheidungswahl Jaable, bezogen auf das Modell deren
optimalen Werte durch den Algorithmus bestimmt wäre und den Datenparametern,
die immer davon abhängig sind,
welche Instanz sie gerade betrachten
Da müssen sie also voneinander immer abgrenzen. Ich betone es deshalb,
weil man natürlich im fortgeschrittenen Studium Studierenden darauf anspricht,
was sind das Variablen und was ist denn da,
was sind Daten, was sind Variablen.
Und dann stellt man immer fest, dass dieser Zusammenhang oder diese Abgrenzung
nicht so ganz klar verankert ist im Bewusstsein der Studierenden.
Okay. So, und der Verwendeung dieser Parameter
und war ja, dann können wir dann in allgemeiner Form
das eigebraische Modell so aufschreien
Für das klassische Transportproblem wohlgemerkt. Wir haben jetzt hier so eine Doppelsumme,
EJ, was man an dieser Stelle, können ja noch E-Element,
große E noch schreiben, weil J, Großelement, J,
aber in der Regel weiß man das, was gemeint ist.
Wäre jetzt nicht falsch, wenn sie noch King geschrieben haben,
die Elemente E. Ja, dann sehe sie hier jetzt die Angebotsmengen sind,
komplett zu verteilen.
Der erste Index E ist hier festgehalten, der zweite Index,
korrespondieren zu den Nachfragen,
ist jetzt der Vayable Index,
also der laufende Index
Ja. Wenn sie sowas später hinschreiben,
dann müssen sie immer darauf aufpassen. Was steht jetzt hier
rechts für alle I oder steht er für alle J?
Und dann ist es in der Regel auch klar,
wie jetzt in der Summation, die in die Cäs laufen.
Alter, spielt die Reihenfolge der NECs an den Vayabe und Datenparameter eine große Rolle?
Ist also nicht etwas, was man rät. Und da
steckt eine Logik hinter und die müssen sie auch verstanden haben.
Wenn sie irgendwas aus dem Gedächtnis reproduzieren, dann ist man
oftmals gefährdet, dass man da eventuell was Falsches hinschreibt.
Auch etwas, was man häufig beobachtet. Okay. So,
dann haben wir für alle J, also für alle Nachfrage.
Und die werden, die Nachfragen sind zu bedehnen.
Deswegen haben wir BJ stehen und von wem, ja,
von den Anbietern. Und deswegen haben wir jetzt hier den
Laufindex E. Was sie natürlich auch machen können, prinzipiell,
dass sie statt eh auch Anzahl Produktion Mengen definieren.
J, Großjord, Anzahl Abnehmerzentren. Dann wären das keine
Mengen mehr, sondern müssen sie in die Parameter mit aufnehmen.
Und dann können sie natürlich eh gleich eins bis Großi
schreiben oder einen J gleich eins bis Großjord.
Das können sie natürlich auch machen. Was ihr hier aber nicht machen dürfen,
ist eh gleich eins und dann eh schreiben,
wenn ihr eine Großi eine Menge ist.
Können sie bestenfalls die Mächtigkeit der Menge noch hinschreiben.
Insofern alle Elemente von eh gleich eins bis Mächtigkeit
eh in der Menge
I enthaltenes Großen, die enthalten sind. Okay. Was
sie ja aussehen, dieses Modell braucht keine Ganzartigkeitsforderung. Insbesondere,
wenn sie die AI ist und die BJs ganzheitlich sind,
für dieses, besitzt dieses Modell die Ganzzahligkeitseigenschaft.
Das heißt, die Vayablen XEJ werden automatisch ganzzahlige Wert annehmen,
wenn AI und BJ auch ganzzahlig definiert sind.
Okay. Eine Anmerkung, man kann natürlich sagen,
okay, das ist jetzt relativ speziell,
dass die Summe der Angebotsmengen gleich der Summe der Nachfragemengen ist,
das muss ja nicht
der Fall sein
Können wir trotzdem mit dem Problem was anfangen. Na klar,
wenn sie beispielsweise mehr produzieren als nachgefragt wird,
und dann brauchen sie einen künstlichen Nachfrager,
und der nimmt gerade den Überhang auf.
Also wenn sie 100 Mengen in der Summe anbieten,
und sie haben nur eine Nachfrage von 90,
müssen sie den künstlichen Nachfrager mit der Nachfragemenge
100 minus 90
gleich 10
mit einführen
Brauchen Sie natürlich ein zusätzliches J noch. Die korrespondierenden Kosten,
Transportkosten, de facto wird er ja nichts transportiert,
können Sie auf Null setzen. Das Gleiche können Sie auch
umgekehrt machen. Gegebenenfalls haben Sie noch einen künstlichen Anbieter.
Möglicherweise gibt es ja auch dafür tatsächliche Kosten, die Sie
beurtsächtigen können. Also es lässt sich immer ein Transportproblem,
wenn Summe AI ungleichsame B J ist.
Ja, transformieren durch Einführung eines zusätzlichen Anbieters,
künstlichen Anbieters oder künstlichen Nachfrages in ein klassisches Transportproblem überführen.
Ist also von daher keine Einschränkung.
Okay. Nun wollen wir dieses klassische Transportproblem auch lösen.
Und dazu gibt es jetzt verschiedene Verfahren. Eine sehr leistungsfähige
Heuristik, ist das so gut, ist diese Methode.
Was man dort macht und zu machen, hat es Vorhänges.
Man guckt sich für jede Relation an. Was ist da
die beste und die zweitbeste Transportverbindung? Weil die Differenz sehr groß ist,
denn Ist es eine Indikate dafür, dass die beste Transportverbindung genutzt wird?
Das machen wir sowohl für die Anbieter als auch für die Nachfrage. Das heißt,
wir gehen derart vor, dass wir mal da,
wo wir, wenn wir auf die zweitgünstigste Alternative zurückgreifen würden,
der Kostenanstieg extrem hoch wäre, dass wir diesen extremen Kostenanstieg vermeiden.
Und deswegen die bessere Alternative wählen. Und die nutzen wir
so weit wie möglich. Also wir wollen Kosten vermeiden,
die vergleichsbare Verbindung für meinen Leben mit vergleichsweisen sehr hohen Kosten
Ja, okay. Auch dazu wollen wir uns ein Beispiel anschauen.
Oder unser Beispiel anschauen. Wir haben ja hier unser Daten
Matrix für unser Ausgangsproblem. Ja, so, okay.
Was haben wir jetzt da gemacht? Wir haben ja einmal
die gleiche Struktur erstmal. Und was den Zugriff vorgekommen ist,
ist, dass wir eine zusätzliche Spalte, Delta,
I für Delta E und Delta,
eine zusätzliche Zahl für Delta J eingeführt haben.
Also hat sich jetzt erstmal soweit nichts geändert.
So, wenn wir jetzt beispielsweise, obwohl es die den Anbieter Hannover anschauen,
der kann ja Stuttgart, Wolfsburg oder Dresden bedienen.
So, was ist das Günstigste?
Das ist diese 30 hier. Die zweitgünstigste Transportverbindung wäre 110.
Wenn wir Startnacht anruft, Wolfsburg, Dresden bedienen würden.
Und dann hätten wir also im Vergleich zu Wolfsburg,
wenn wir Dresden, mit denen wir 80 kosten,
mehr pro Mengen einhalten.
Deswegen rechnen wir also 110,
minus 30 und das ergibt unser Delta 1. Hannover ist ja
eh gleich 1 gleich
Das Gleiche machen wir für Regensburg. Das günstigste ist 80
, das zweitgünstigste ist 100. Die Differenz ist 20. Okay,
damit haben wir Data E gleich 1 und Delta E gleich 2.
So, wie sieht das bei den Anbietern, Nachfragern aus?
Okay, in diesem Fall ist es sehr trivial.
Da haben wir ja nur zwei Zeilen, deswegen brauchen wir immer
nur die Differenzen berechnen. 150 minus 80, er gibt 70,
140 minus 30 gibt es 110 und 110 minus 100 ergibt diese Zehen.
So, und jetzt als nächstes gucken wir uns an,
wo ist denn der größte Kostenanstieg zu erwarten,
wenn wir nicht die günstigste Alternative wählen würden.
Ja, und dazu gucken wir uns das Maximum der Delta East und Delta J.
Von denen finden wir, das finden wir jetzt hier.
110 ist der größte Wert. Das heißt,
wenn Hannover statt Wolfsburg, Entschuldigung,
wenn Wolfsburg statt von Hannover durch Regensburg beliefert werden würde,
würde, dass uns 140 kosten,
statt dieser 30. Deswegen macht es Sinn,
dass wir sagen,
okay,
wir beliefern Wolfsburg von Hannover aus
Ja. Okay, jetzt kann man sich überlegen,
wie viel soll denn transportiert werden? Ja, so viel wie möglich.
Ja, das Angebot ist 15. Die Nachfrage ist 11,
also kann Hannover komplett die Nachfrage von Wolfsburg befriedigen,
sprich 11 Menge Einheiten. Das heißt,
wir setzen X12, eh gleich 1 für Hannover,
J gleich 2,
konspontieren zu Wolfsburg
So, damit ist die Nachfrage von Wolfsburg komplett abgedeckt.
Und wir haben in Hannover noch ein Restangebot von vier Mengen an Nightensprich 15 minus 11.
Und das sehen Sie jetzt hier schon stehen. Wir haben
jetzt hier die Vieh als Restmenge, hier die 15,
Wolfsburg haben wir schon rausgestrichen, weil das ja abgedeckt wird.
Und jetzt gehen wir wieder so vor. In diesem Fall
ist das extrem trivial, sind immer nur zwei Werte,
können wir also die Differenz brechen, 150 minus 110,
er gibt 40 und dann minus 80, er gibt 20.
Bei Stuttgart rechnen wir 150, minus 80,
er gibt
110, minus 100 ergibt 10 hier. Und wo ist jetzt
das Maximum? Der Delta ist und der J. Ja,
bei Stuttgart ist das hier, ne?
Da arbeiten J gleich eins. Okay. Die gleiche Logik wieder.
Wir wollen. Von daher Stuttgart von Regensburg aus beliefern.
Denn wenn wir es von Hannover aus beliefern würden,
würden die kosten 150 Promengeeinheit betragen.
Von Regensburg vergleichsweise günstig mit 80. So, das heißt,
wir werden jetzt versuchen, dass bei Stuttgart so weit wie
möglich von Regensburg aus zu beliefern.
Da haben wir ja ein Angebot von Zimm 15.
Die Nachfrage in Stuttgart ist 13. Also liefern wir
13 Mengen ein
Ja, sprich, Regensburg entspricht ja eh gleich zwei.
Stuttgart entspricht Gott gleich eins. Das heißt,
die Vayable X, 2-1,
setzen wir auf 13. Mehr zu liefern macht ja keinen Sinn.
So, damit haben wir also jetzt hier noch eine Restmenge von zwei.
Stuttgart ist komplett bedient. Und wir haben jetzt folgendes Restproblem
, ja. Und es kommt natürlich genau das raus,
was wir erwarten, die Summe der Angebotsmenge,
der verbleibenden Angebotsmengen entspricht, genau der Nachfragemenge.
Wir haben jetzt hier vier und zwei
als Restsmengen
Und Dresden hat eine Nachfrage von sechs.
Vier plus zwei entspricht ja auch sechs. Das heißt,
wir können diese Angebotsmengen jetzt vollständig dafür nutzen,
um die Nachfrage in Dresden zu befriedigen.
So, der Hannover ist i gleich eins.
Dresden ist J gleich drei. Also haben wir x,
1, 3. Wie viel liefern wir?
Ja, genau diese vier, also vier.
Regensburg ist eh gleich zwei. Jörg Dresden bleibt bei J
gleich drei. Also ich zwei, drei gleich zwei.
Und das sind dann die Transportmengen um die Nachfrage in Dresden
Vollständig zu befriedigen. Ja, jetzt können Sie noch
die einzelnen Kosten sätze, motivieren mit den entsprechenden Transportmengen.
Unser X-Vayable. Und da kommen Sie auf eine Lösung von 2010.
Okay. Die Lösung können Sie auch jetzt grafisch veranschaulichern.
Hier sehen Sie nochmal das Ergebnis. Ja,
und das Besondere jetzt hierbei ist, diejenigen,
die jetzt einen Blick schon entwickelt haben, ist,
dass das, was die Lösung ein Baum darstellt.
Wir haben also fünf Knoten und wir kannten, oder pfeile in diesem Beispiel,
Das heißt, eine zulässige Basislösung ist immer als Baumdarstellbar.
Das ist schon mal eine nette Information. Okay. So,
im nächsten Schritt können wir uns jetzt fragen, ob eventuell
die Lösung noch verbessern können. Dazu vergegenwärtigen wir erstmal,
dass wir jetzt ja hier eine zulässige Lösung haben,
die korrespondiert zu einer Basislösung.
Wir haben ja auch zwar fünf Gleichungen in unserem Nebenbedingungssystem eines Redundant,
das heißt, wir haben deswegen ja immer
nur vier
War ja, blind X, Y, größer, null.
Größer, gleich, null. Kann natürlich auch irgendwas... eine Degeneration vorlegen. So,
was man an dieser Stelle dann auch sagen kann,
ist, dass wenn wir uns jetzt Gedanken machen,
können wir diese Lösung verbessern.
Das heißt, eine Nicht-Basis Vaiable. Zur Basis Vaiable erklären,
beispielsweise X, 1, 2, könnten wir ja einfügen,
dann würde dadurch ein Baum entstehen.
Äh, ein Kreis, Entschuldigung,
ein Kreis entstehen
Ja. Und erlang dieses Kreises, gibt es eine Vagable,
die bisher der Basis Vagable ist und die die Basis zu verlassen hätte.
Sprechen an der Stelle auch von einem Umverteilungskreis. Ja,
wir können auch X 2-2 eventuell mit einführen,
entsteht auch ein Kreis, da muss aber eine von den
anderen Verweihablen bisherigen Basis Vagablen den Wert Null annehmen.
Okay. Ja. So, und die Basis Vagablen haben Ja, bestimmte Werte.
Und die Zugehörigen reduzierten Kosten sind ja gleich null. Das war ja,
erinnert sich dran, LP und in Basis war Japan,
steht ja mit der Zielfunktionszeit in der Null.
Sprich, die reduzierten Kreuzen sind null.
Und jetzt müssen wir noch die reduzierten Kosten der Nicht-Basis-Variablen ausrechnen.
Da sahen wir ja eine Formel. C-Jord minus -u-i-vj.
Die kennen wir noch nicht. Wenn wir Simplex-Algorithmus gab,
dann würden wir das sofort sehen.
Ja, wenn ja auch sofort die optimale Lösung bestimmt.
Aber Wir erkennen sie nicht und wollen jetzt ohne Verwendung
des primaen Simplex-Algorithmus beispielsweise die UCUIs und VJs bestimmen.
Denn wir wissen ja, diese Gleichung,
die gilt ja auch für die Basiswahljabeln,
wobei jetzt hier auf der linken Seite steht immer der Null.
Und da halten wir ein gleiches System, dass wir auflösen können,
um die UIs und die VJ zu bestimmen.
Es gilt also immer, für die Basiswahljabeln und CJ
ist gleich UE plus VJ.
Und diesen Zusammenhang können wir jetzt nutzen,
um die um UIs und VJ zu bestimmen.
Das wollen wir
doch machen
Ja. Okay. Das heißt,
wir wollen unter Verwendung der gelernten Zusammenhänge, Ergebnis,
dass die reduzierten Kosten von Basis war, ja, immer null sind.
Jetzt die UIs und die VJs bestimmt. Ja. Okay
. Das wollen wir doch einmal machen. Überspringe ich mal
schnell jetzt vier Text, wollen das gleich Dreck machen.
Das, was da steht der Leute, ich erzähle auch.
Okay. Jetzt kommen wir mal zurück zu unserem Beispiel.
Wir haben jetzt folgende Vayablen, X-1, 2, X-1,
3, X-2, 1, X-2, 3. Fehlt da eine Variable?
Ah ne, das ist doch richtig. Vier war Japan
, stimmt, genau. Und das ist in unserer Basis
Vayablen. Und für diese Basis war Japlen, gilt,
dass die reduzierten Kosten gleich null sind.
Den Zielfunktionsgeldkoffizient von X-1, 2, sprich C-1,
2, 30. Den kennen wir jetzt gleich 30. C-1,
3, 110, 1 ist 80 und C2, 300.
Diese Werte hatten wir vorgegeben. Und wir können also
folgende Gleichungen schreiben. 30 ist gleich U1 plus V2,
denn I ist ja gleich eins und J ist gleich zwei.
Deswegen schreiben wir U1 plus V2 hin. Bei 1,3,
da haben wir Ruhe 1 und V3, wie es hier steht.
Und bei 2-1 haben wir also U2 und V1
stehen und bei X2,
3 haben wir also U2 und
Die müssen gleich der linken Seite, spricht dem CEJ sein.
Und das ist ein einfaches Gleichungssystem, das wir durch Hinschauen
lösen können. Was wir aber auch wissen, dass wir
eine Dualwahriable auf Null setzen können, aufgrund der Redundanz.
Und in diesem Beispiel habe ich jetzt U1 gleich Null Gesetz
und habe deswegen sofort V2, V3 gleich 110 halten.
Wenn U1 gleich 0 ist, ist V2 gleich 30,
V3 gleich
Wenn V 310 ist, setzen sie da V 310
ein und der muss U2 minus 10 sein.
Von U2 minus 10 ist, seinem ist hier, der muss V 1,90 sein.
Das ist eine zulässige Lösung des gleichen Systems.
Wir hätten auch V 3 auf den Wohl setzen können,
hätten sie auch eine Lösung rausbekommen. Ja. Okay.
Ich habe jetzt für mich für U1 entschieden. Okay. So,
in der Verwendung dieser Dualvariablen können wir ja Diese Formel jetzt einsetzen für die Nicht-Base,
das Vayablen, sprich, gehe ich nochmal zurück für die Vayablen,
X-1-1 und X-2-2. Dafür können wir jetzt auch die reduzierten Kosten ausrechnen.
Hier sehen Sie schon das fertige Ergebnis,
die Zugehörigen kosten Koeffizienzen für 150, also C-1-1,
150, minus U1, 0 und V1,
gehen wir mal zurück.
V1 hatten wir hier auf
Okay, deswegen minus 19, da gibt es 60.
Und bei C2-2, also zur Ex reduzierten Kosten der Variablen,
nicht 2-2, Edges spricht also C
Quer 2-2. Der C2-2-2-
40 minus U2 minus V-2, steht jetzt hier mit 10 und 30 dort.
U2 ist minus 10, minus minus plus.
Und V-2-30, so wie es hier steht,
und sie halten das Ergebnis 120. So, das heißt,
für die beiden, nicht Basis, weil Japan,
X-1-1 und ich 2-2 kriege sie
jeweils reduzierte Kosten
Von größer gleich null heraus. Das heißt,
durch Aufnahme der Variablen X11 oder der Variablen X22 würde sich
der Zielfunktionswert F um 60 beziehungsweise 120 pro Menge Anheit
von X11 beziehungsweise X22 erhöhen.
Wir wollen aber minimale Kosten bestimmen und deswegen mach ein weiterer Basis daraus keinen Sinn.
Das heißt, wir haben mit dieser Euristik für dieses Beispiel
eine optimale Lösung bestimmen,
haben auch gleichzeitig
den Optimalitätsnachweis geführt
Durch einen weiteren Basistausch ist die bestehende Lösung nicht verbesserbar.
Okay. Das Ganze wird auch als sogenannte Modi-Methode bezeichnen.
Wir wollen nun ein etwas weiteres Beispiel uns anschauen,
wo es ein bisschen komplexer ist,
wo wir nicht sofort eine optimale Lösung durch Anwendung einer heuristischen
Vorgehensweise erhalten.
Okay. Wir betrachten jetzt wieder drei
Vier Nachfrager. Oder was ist denn das? Abnehmerzentren sind das
ja in diesem Beispiel mit 30, 40, 20,
50, als Nachfragemengen oder als Absatzmengen in diesem Beispiel.
Und unsere Angebotsmengen lauten 50, 60, 50.
Also in der Summe sind das Jahr 160,
wenn sie oben schauen, die Summe der nachgefragten Mengen.
Da kommen sie auf 140, haben sie also mehr ein
Angebot als Nachfrage. Wir brauchen an der Stelle dann offenbar,
um das zu überführen, einen klassischen Transportproblem,
mal einen künstlichen Nachfrage
Ja, die 20, die Differenz aufnimmt. Die Kostenmatrix,
sagen Sie hier, das ist ja auch wieder klar,
I und J, I für Anbieter,
J für Nachfrage, muss natürlich eine 3-Kreuz-4-Matrix sein,
weil wir drei Anbieter haben und vier Nachfragen.
Zunächst einmal. Okay. So, und wir gehen jetzt
noch mal davon aus, dass der Distributionsleiter jetzt folgende Lösung definiert hat.
30 von 1 nach 1, 3 nach 2, 40,
3 nach 3, 10 und 1 nach 13 X,
2, 4, von 2 nach 4, 50.
Also die Nachfragemengen werden komplett erfüllt und auch die Angebotsmengen wären
dadurch nicht überschritten. Ja, wie seid ihr möglicherweise vorgegangen?
Hier ist sie, da darf er ein geringer Kosten kofiziell
110. Das macht Sinn, eins nach eins.
3-2 sehen sie auch die 3-2,
ist sie das Minimum 100, gar nicht so schlecht.
Seid dann gemacht
Halbsau. Dreiten. Drei. Also diese 110 ist auch das Minimum in dieser Spalte,
also so völlig deserorientiert ist das anscheinend nicht gemacht worden.
Was hat er noch genommen? X24, ja, X62,
4, 2, 4. Der Insatz ist dieser Kofizient.
Offenbar einmal die niedrigsten Werte der jeweiligen Spalte genommen.
Als Orientierungshilfe scheint er wahrscheinlich eine Optimallösung zu sein.
Zunächst einmal, warum das Ganze dahingehen, uns einmal anschauen, das ist überhaupt ein klassischer Zuortsproblem. Wir haben festgestellt,
die Angebotsmengen überschreiten die Nachfragemengen und jetzt haben wir genau die Situation,
dass wir einen zusätzlichen Kunden mit aufnehmen müssen,
dass wir den J gleich 5,
wir haben ja schon J1 bis J4,
brauchen wir also einen J gleich 5,
das ist also künstlicher Kunde und die Nachfragemenge sei 20,
sprich die Differenz von 160 zu 140,
seit 20 und damit haben wir wieder die dass die Summe der Angebotsmengen gleich also mit der Nachfragemenge ist.
Die Zuhörerinnenkosten, die können wir auch für null setzen.
Ja, aber sind diese modifizierte Transportkosten-Matrix. Das heißt,
wir haben jetzt hier diese Kosten von 1 zu 5,
2 nach 5 und 3 nach 5 jeweils mit null.
Ja, also eine zusätzliche Spalte hier eingefügt.
Die anderen Werte sind erhalten, sind ja die,
die wir schon kennen. Okay. Ich gehe mal davon
aus,
dass es
unmittelbar einsichtig ist
So, jetzt müssen wir das Ganze natürlich jetzt, diese Startlösung überführen,
in eine Lösung, die wir auch weiter verfolgen können.
Sprich, wir müssen konkrete Werte für unsere Entscheidungsvariablen definieren. Und wenn wir jetzt wieder das ausdrücken,
durch die Entscheidung zu sagen, hier haben wir X-1,
1, 3, CX, 3, 2,
40, 3, 3, 10 und X-1,
3C, X-2, 4, gleich 50, ja,
und jetzt kommt noch hinzu,
dass wir sowohl bei 1 als auch bei 2 offenbar eine Restmenge haben von 10,
müssen, also die Angebotsmengen vergleichen und gucken,
was wird ausgeliefert.
Können sie ja hier sehen, da haben sie 50,
von 1 nach 1 gehen 30 und da haben sie hier nochmal eins nach 3 sind 10,
in der Summe werden 40 ausgeliefert von 1, ja,
und da sind 50 aber ein Angebot, eine Restmenge von 10.
Was haben wir noch? Zwei, X2, 5,
auch 10, gucken wir mal an, was bei von 2 weggeht.
Da haben sie einmal 2, 4,
50 Ansonsten gibt das Geile Variable mit einem Transport von zwei 60,
minus 50, ergibt diese Zehen.
So kommen sie also zu diesen Restmengen. Okay. Und
die Restmengen sammelt ja der künstliche Nachfrage auf.
Okay. Ich hoffe, das ist so weit nachvollziehbar.
So, und jetzt gehen wir vor. Wie folgt vor,
Entschuldigung, dass wir unter der Verwendung eines sogenannten Transporttablos jetzt
eine optimale Lösung bestimmen werden
Jetzt haben sie hier folgende Darstellung. Sie sehen hier wieder die Anbieter,
die Zeilen, die Spalten korrespondieren zu den Nachfragen.
Und wir haben auch die Kostenmatrix drin stehen. Ja,
das sind ja die Transportkosten, die jetzt hier eingetragen worden sind.
Okay. Im nächsten Schritt fügen wir die bisherigen Transportmengen ein.
Das ist ja unsere Lösung,
das Diskretionsleiters
Die haben wir jetzt hier jeweils in eckigen Klammern stehen.
Also von 1 nach 1, 30, von 1 nach 13,
von 1 nach 15. Summe 50, ja.
Aber die AIs und die BJs brauchen wir an dieser Stelle nicht mehr.
Die stecken implizit in den Transportmengen mit dran.
Der nächste Schritt ist, dass wir uns Gedanken machen,
wie kommen wir jetzt zu unseren Duralvariablen.
Und da habe ich ja gesagt, eine können wir
auf null initialisieren. Ich habe mich jetzt hier wieder für
U1 entschieden
So, und da werden jetzt U1 gleich null ist,
und wir wissen ja immer, CEJ ist gleich,
Ui, mir ist gleich, Ui plus V, J,
also ist also C11, 110, gleich U1 plus V1,
sprich, V1 muss dem Wert 1010 annehmen,
der 0 plus 1010, entspricht gleich
1010. Hier haben sie die 160 stehen, 0 plus
irgendetwas mustern, V3 sein, und das sind natürlich genau
Ja, hier ist es auch einfach, da haben sie
eine Basisvariable, können sie sofort vor 5 bestimmen.
0 plus 0 ist gleich 0. Okay. So,
jetzt müssen sie ein bisschen scharf gucken, welchen Wert können wir als nächstes bestimmen?
Also es geht darum, die Us in die Faust zu bestimmen.
So. Jetzt sehen Sie hier, haben Sie eine Null stehen,
ist gar nicht so einfach, mal sofort zu gucken.
Und jetzt sehen Sie hier, haben Sie wieder eine Beziehung,
das UV ist gegeben, können also,
und Sie haben hier eine Basisvariable, können also als nächstes,
zwei bestimmen.
Mit null. Null plus null ist gleich null.
So, mit U2 können sie jetzt das V4 bestimmen.
Null plus irgendetwas muss unter 20 sein.
Damit ist also V4 gleich. 120, ja. Okay
. Dann haben sie ja hier noch die 160 stehen und
mit dieser 160 können sie jetzt das U3 bestimmen.
Denn 110 muss ja gleich 160 plus U3 sein,
sprich U3 muss minus 50 sein
Ja, minus 50, plus V2,
muss 100 sein, also muss V2, 150 sein.
Okay. So, jetzt gönnen Sie für die Nicht-Masiswahl,
ja, die reduzierten Kosten ausrechnen, also hier C12,
sind ja 150, minus 0, minus 150, also null.
Ja, und die einzelnen Werte sehen Sie jetzt hier auch schon im Ergebnis.
Ja, gucken wir uns einmal minus 10 Jahren,
140, minus 0,
minus 150,
ergibt diese minus
Die haben wir jetzt hier in runden Klammern dastehen. So,
das heißt also, durch einen Basistausch spricht durch die Aufnahme,
der war Japlin, X2-2-2,
können wir die Lösung verbessern.
So, jetzt müssen wir als nächstes identifizieren,
welche Variable verlässt er für die Basis?
Ja, und dazu muss man einen Unverteilungskreiskorrespor definiere.
Wenn er irgendetwas mehr hinlief, haben wir es woanders
etwas weniger liefern.
Den Züg zu identifizieren, ist nicht immer ganz einfach.
Da muss man ein bisschen sich konzentrieren. Weißt du,
wir wissen, ist, dass wir hier eine Erhöhung haben vornehmen,
müssen wir irgendwo eine Reduzierung vornehmen.
Ja, wenn wir hier was erhöhen, dann müssen wir
bei einer bestehenden Basis wahr, ihr habt ja etwas reduziere.
Und dadurch können wir also nur diese 40 reduzieren.
Wenn wir diese 40 reduzieren, müssen wir diese zehn erhöhen,
damit die Summe der Angebotsmengen immer gleich so mit der Nachfrage mengen bleibt.
So, wenn Sie jetzt hier eine Erhöhung vornehmen,
sehen sehen, können Sie hier
eine Reduzierung vornehmen
Müssen Sie hier eine Reduzierung vornehmen? Eher so,
jetzt könnt ihr aber nach links hier schauen,
da können Sie trioretisch eine Reduzierung, eine Erhöhung vornehmen,
aber dann sehen Sie, sehen Sie sich ja keinen Anschluss.
Denn hier steht in der Spalte keine weitere Basis wahr,
ja. Deswegen müssen Sie jetzt hier nach rechts gehen,
können da eine Erhöhung stattfinden lassen und hier eine Reduzierung.
Und dann haben Sie auf einmal so einen Umverteidigungskreis.
Ja, okay. So, jetzt die nächste Frage,
wie weit dürfen wir jetzt Delta setzen? Ja,
und dann sehen Sie hier überall da, wo Mino steht,
danach dürfen wir Delta auf 40 setzen und hier,
da haben Sie Minus
Auch oft dürfen sie maximal auf zehn und hier auch maximal auf zehn.
Das Maximus also zehn, wenn sie jetzt elf nehmen würden,
würden sie hier ein Ergebnis minus eins erhalten.
Das dürfen sie also nicht machen. Also ist das Maximum
gleich zehn. Und dann können sie also die entsprechenden Variablen,
die in Eckingklammern ja stehen, plus die aufzunehmende Basis Variable,
mit in die Basis mit aufnehmen.
Eine Besonderheit haben wir hier, hier haben sie
auch minus zehn
Und da haben sie minus zehn. Beide Werte sind null.
Ein typischer Fehler ist, dass sie eventuell beide Variablen rausschmeißen.
Dann machen sie aber einen grundsätzlichen Fehler. Sie dürfen nur eine
rausschmeißen. Basis tauschen ist immer eine Basis Variable Verläss.
Die Basis. Nicht zwei. Also hier aufgepasst, da
müssen sie die null beibehalten. Sie hat natürlich auch hier
die null beibehalten können. Also hier den, ja genau,
hier die null Wahl wahrhalten können und da rausschmeißen können.
Wäre ja auch zulässig gewesen. In dem Sinne keine
eindeutige Lösung. So, jetzt gehen wir wieder vor,
muss ich ein bisschen auf die Uhr schauen
Und da alles ein bisschen schneller geht. Wir haben jetzt folgende Basis,
Variablen. Hier die mit Ecking, Klamadinol ist wichtig.
Wir haben also hier die eine Variable rausgeschmissen. So,
jetzt setzen wir wieder U1 gleich 0. Können sofort V1 bestehen
mit 110 und V5 mit 0. Damit können wir auch O2
bestellen hier in 0 plus 0 das Gleiche, diese Null.
Ja, dann haben wir hier über diese Beziehung die 140.
Hier, da können wir auch die 120 nutzen, 120.
Und dann haben wir noch diese Beziehung hier
V2 ist gegeben, wir brauchen das U3, muss der
minus 40 sein, damit das hier gleich 100 ist.
So, dann können Sie hier mit dieser minus 40 hier
das V2 bestimmt, das muss 150 sein.
Und der Verwendung dieser Werte können Sie jetzt wieder
die reduzierten Kosten bestimmen. Der Nicht-Basis war, Jaablen,
und Sie sehen, alle Werte sind nicht negativ.
Das heißt, ein weiterer Basistausch ist nicht angezeigt.
Und Sie haben damit eine optimale Lösung bestimmt durch Anwendung
dieser Technik
Also was ist jeweils, wenn wir ein bisschen schwierig,
den Umverteilungskreis zu identifizieren, die Us müssen sie durchhin und die Fouls müssen sie sich hinschauen.
Also ja, identifizieren, das ist manchmal nicht immer ganz klar,
in welcher Reihenfolge die Us-NIVs sich ergeben.
Hängt natürlich von dem Basis variabel. Das Ganze können sie
auch mit Games umrecht abbilden und wenn sie das mit Games lösen,
dann kriegen sie im Übrigen auch die Werte,
die ihnen schon bekannt vorgekommen sind, die die Außen,
die Werte der Ex-Vayablen Und hier sehen Sie auch,
die reduzierten Kosten, die Sie ansprechen können zur Individualiapel mit.m,
das Neemarginals.
Also können Sie also auch schnell Ihre eigene Lösung überprüfen.
Besonderheit dabei ist, dass es sein könnte,
dass eventuell eine andere duale Lösung haben.
Denn Sie sagen ja nicht Games, welches Dual war,
Japler auf Null zu setzen ist.
Da kann das mal Abweichung geben. Beispielsweise könnte auch diese
Lösung herauskommen, wenn Sie jetzt mit V1 gleich Null starten.
Aber Sie werden feststellen, Es gilt nach wie vor
die Optimalitätsbedingung und die reduzierten Kosten sind identisch.
Ja, vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit