Ja, schönen guten Morgen. Heute werden wir uns mit
einem zentralen Problem der linearen Optimierung auseinandersetzen. Ein wichtiges Instrument
zur Entwicklung spezieller Lösungsverfahren für lineare Optimierungsprobleme und zwar mit der Dualität.
Dann haben wir schon am Rande ab und zu mal besprochen,
wer wir uns noch mit Sonderfällen der linearen Optimierung beschäftigen,
insbesondere man keine Lösung existiert, wann womöglich eine unbeschränkte Lösung existiert.
Dann wären wir den Begriff der Degeneration kennenlernen,
über Werner unterscheiden zwischen primaler und dualer Degeneration.
Bei der prima Degeneration werden wir sehen, ist eine Basiswarie
Mit dem Wert Null versehe. Und bei der dualen Dinge
Generation sehen wir, dass es mehrere optimale Lösungen gibt.
Das heißt, wir können einen Basistausch vornehmen, ohne die bestehende Lösung zu verschlechtern.
Okay. Zur Bestimmung des sogenannten dualen Problems,
eines primalen Problems, gibt es mehrere Möglichkeiten, es herzuleiten.
Wir werden uns mit der Vorgehensweise beschäftigen, wo es darum geht,
Schranken für das lineare Optimierungsproblem zu bestimmen.
Und dann werden wir so weit gehen, dass wir sagen,
okay, was ist denn die beste Schranke für den optimalen Zielfunktionswert
des eigentlich zu lösen und primaen Problems.
Je nachdem, ob wir Minimierung oder Maximierungsproblem haben,
haben wir einerseits eine Oberschranke oder eine untere Schranke.
Da wir hier ausschließlich uns mit Maximierungsproblemen beschäftigen,
Weil wir wissen, jedes Minimierungsproblem kann in einem Maximiliansproblem übertragen werden.
Werden wir uns hier mit der Bestimmung unterer Schranken beschäftigen und darüber dann sehen,
wie wir da zu einem Alternativen, dem sogenannten dualen Problem kommen.
Wir werden sehen, dass das duale Problem Äquivalent ist,
zu dem primalen, unserem eigentlichen Ausgangsproblem ist.
Und wir werden dabei Folgendes betrachten,
wenn wir beispielsweise ein Minimierungsproblem haben, mit ausschließlich größer Gleichrelationen.
Können wir das sein? Duales Maximierungsproblem wird ausschließlich kleiner,
gleich Restriktion umwandeln. Das Gleiche gilt natürlich auch umgekehrt.
Zum primalen Problem gibt es ein duales Problem. Das duale
Problem des dualen Problems ist dann wieder das primaale Problem.
Ja, okay. Wie gesagt, eine Möglichkeit,
das duale Problem
Herzuleiten, zu wissen, welche Regeln anzuwenden ist, sind,
ist halt die Bestimmung einer möglichst guten, unteren Schranken.
Für den optimalen Zielfunktion, in diesem Fall minimier mal prima
ein Problems. Okay, wir wollen uns treu bleiben und
das Ganze wieder anhand eines Beispiels uns vergegenwärtigen.
Wir wollen jetzt starten, dass wir ein,
zu mir nimmierendes Ausgangsproblem haben, in Gestalt eines linearen Optimierungsproblemen.
Und das bezeichnen wir jetzt als unser primates Problem.
In diesem Beispiel haben wir eine zu minimierende Zielfunktion,
5x X1 plus 9x X2, offensichtlich. Und wir sehen,
dass wir Nehmenbedingungen haben, X1 plus X2,
größer gleich 20, als auch die zweite Nehmenbedingung,
XO1 plus 3x2,
größer gleich
Es gelten wieder die Nicht-Negativitätsbedingungen für die Strukturwahljablen X1 und X2.
Okay, also eine durchaus vertraute Formulierung eines linearen Optimierungsproblems.
Okay. Und was wir jetzt Folgen machen können,
ist folgendes. Wir wollen eine untere Schranke für den
optimalen Zielfunksohnswert unseres zu mir nehmenden
Linearen Optimierungsproblems herleiten. Und das machen wir folgendermaßen,
dass wir uns die Nebenbedingungen anschauen und aus den Nehbedingungen eine Abschätzung für
den C-Funksohnswert unseres Ausgangsproblems, unseres primaren Problems zu bekommen.
Wie gehen wir da vor? Wir schauen uns vielfaches der einzelnen Nebenbedingungen an.
Und das Vielfache ist halt gerade so gewählt, dass wir sagen können,
Das Ergebnis ist kleiner gleich, dem Zielfunksohnswert unserer Zielfunktion.
Wann können wir das machen? Das sehen wir an diesem Beispiel.
Wir haben zum Beispiel Zweite, Nebenbedingungen X1 plus 3X2,
größer gleich 30. Diese Nebenbedingungen habe ich jetzt mit drei
multipliziert und dann erhalte ich Dreiecks 1 plus 9X2,
größer gleich 90. Warum habe ich jetzt drei gewählt?
Weil die einzelnen Therme Variablen-Therme, also die Therme X162 mit
den entsprechenden Koeffizienten davor. Für die gilt, dass die
einzelnen Therme sind jeweils kleiner gleich, den Therm der entsprechenden Zielfunktionen.
Also Dreiecks 1 ist kleiner als 5X1, 9X2 ist kleiner gleich, 9X2.
Und für die Zielfunktion gilt ja 5X1 plus 9xX2,
ist ja gleich der Zielfunktionszeit F und das ist dementsprechend jetzt auch größer, gleich 3X1
plus 9X2 und dafür haben wir eine Abschätzung
Nämlich 90. Das heißt, der Zielfunktionswert unseres primalen Problems ist
mindestens 90. Das kriegen wir ausgrund dieser Nebenbedingungen schon abgeleitet.
Warum können wir das machen? Weil diese Aussage gilt aufgrund
der Vergleiche der einzelnen Therme. Denn 5X1 ist ja größer,
gleich 3X-1, 9X2 ist größer, gleich 9X2.
Und da XA1 und nicht 2 positiv sind,
also negativ sind,
gilt also
diese Abschätzung
Okay. Also können wir also daraus Schluss folgen. 5,
5, X, 1 plus 9, X,
2 ist größer gleich 90. Und das entspricht ja exakt unserer
Zielfunktion uns aus zu minimierenden Ausgangsproblemen, dem sogenannten primalen Problem.
Ja, nur sehr sprechweise. Also wir können sagen,
der optimale Zielfunktionswert unseres primalen Problems ist mindestens 90. Ja.
Und diese Abschätzung von 90 bezeichnen wir als untere Schranke
Können, also haben gezeigt, dass der Ziel funktionswert,
unseres Ausgangsproblems, mindestens 90 ist.
Das Ergebnis können wir aufgrund dieser Abschätzung schon mal sagen.
Okay, nun kann man sich überlegen,
ob es nicht noch eine bessere untere Schranke gibt.
Und zwar werden wir diesmal die erste Nebenbedingung betrachten.
Für die erste Benehmenbedingung gilt der X1 plus X2,
größer gleich 20. Auch hier können wir uns jetzt fragen,
mit welcher Zahl können wir
die Nebenbedingungen modiplizieren
Dass wir am Ende eine Abschätzung für den Zielfunktionswert unseres
primären Problems, sprich eine untere Schranke, ableiten können.
Offensichtlich können wir diese Nebenbedingungen mit fünf multifizieren,
dann erhalten wir fünf X1 plus 5X2, ist Größe gleich 100.
Ein größerer Multiplikator wäre wieder nicht möglich, beispielsweise wenn wir
jetzt sechs hätten, dann könnten wir diese Abschätzung nicht machen.
Fünf X1 plus 9X2 ist ja unser Zielfunktion,
unseres Ausgangsproblems, unseres sogenannten primalen Problems.
Und wir wollen ja irgendwie schreiben, ist größer gleich.
Heimtherm. Und hätten wir jetzt hier mal als Ex genommen,
dann hätten wir hier 6x1 stehen gehabt.
Und dann hätten wir nicht mehr diese Größe gleich.
Abschätzung vornehmen können. Denn 5x1 ist ja nicht größer gleich 6x1. Okay.
Hätten wir einen kleineren Wert genommen, dann wäre das,
hätten wir noch eine bessere Abschätzung finden können.
Okay. Okay, wir halten also 5x1 bis 5x2
ist größer gleich 100. Und jetzt können wir also
diese Aussage treffen
5, X1 plus 9,
Max 2 ist größer gleich 5, X1 plus 5, X2.
Und das ist bekanntermaßen größer gleich 100. Also haben wir eine neuere,
weiß ich nicht, eine bessere untere Schranke gefunden.
Für den optimalen Zielfunktionswert unseres primalen Problems. Das heißt,
wir können sagen, der Zielfunktionswert dieses Problems ist mindestens 100.
Das können wir aufgrund dieser Abschätzung vornehmen. Also 5,
X1 ist ja größer, gleich 5, 61,
9x2 ist offensichtlich echt größer oder echt größer gleich.
5 Act
Hängt natürlich von X2 ab. Wenn ich 2
gleich 0 ist, gilt natürlich auch da die Gleichheit.
Okay, das sollte jetzt unmittelbar nachvollziehbar sein. Ja,
was können wir denn noch machen,
um noch eine bessere untere Schanden zu bekommen?
Eine Möglichkeit ist, dass wir die einzelnen Nebenbedingungen mit einem
geeigneten Wert multiplizieren,
die jeweils multiplizieren
Und dann die beiden denbedingen addieren. Und möglicherweise gelingt uns darüber,
wenn wir die Multiplikatoren nicht zu groß wählen, wieder so eine Abschätzung,
analog zu dem, was wir gerade gemacht haben.
Hier sehen Sie jetzt schon ein fertiges Beispiel. Wir haben jetzt gesagt,
das ist jetzt natürlich jetzt einfach so vorgegeben,
Sie kennen, sehen schon, das fährt die Ergebnis.
Wenn wir beispielsweise die erste Nebenbedingung mit mir 4 multiplizieren,
dann erhalten wir ja.
Firma X1 plus 4ma X2. Auf der rechten Seite
haben Sie dann
4 mal
Ja, okay. Also Visatherm und dieser Therm,
die gehören dann zusammen. Das ergibt sich aus der Multikation
der ersten, die Bedingungen mit vier.
Okay. Die zweite, die Nebenbedingung, die multiplizieren wir mit eins.
Und addieren dann die beiden Nähbedingungen. Also das heißt,
wir addieren x-1 bis 3eck 2, das ist auf der linken Seite des Relationszeichen.
Wir haben uns ja angewöhnt, die Variablen, Therme,
immer links das Relationszeichen
Halten und die Konstanten auf der rechten Seite. Okay. So,
wenn wir jetzt, also die zweite Nehmenbedingung dazu addieren,
dann halten wir auf der rechten Seite plus einmal 30.
Also wir haben gerechnet 4 mal 20 plus einmal 30 und auf der linken Seite,
wie gesagt, da haben wir 4X1 plus 4X2.
Hier habe ich gleich die 4 ausgeklammert und hier haben sie
X1 plus 3X2 multifiziert mit 1. Und das habe ich dann
hier auf der linken Seite hier auch stehen vom Relation zeigen.
Wir beide gilt ja größer gleich
Und deswegen bleibt hier auch das größere Gleichzeichen erhalten.
Okay, was ist jetzt der nächste Schritt? Jetzt fasse ich
die einzelnen Therme zusammen. Das heißt, die Therme,
die X1 enthalten und die Therme, die X2 enthalten.
4X1 und plus 5, Eimer X1,
ergibt diese 5 Fix 1. Dann haben wir hier nochmal 4X2.
Da haben wir Dreieck 2, 4 plus 3, ergibt 7.
Also Siemix 2. Und auf der rechten Seite haben wir 4
mal 20,
80 plus 30
So, es gilt also aufgrund dieser Überlegung,
dass 5X1 plus C-Mix 2 größer gleich 110 ist.
Ja, okay. So,
und jetzt haben wir die Multikatoren so geschickt gewählt,
dass wir wieder eine Abschätzung oder einen Vergleich mit der Zielfunktion vornehmen können.
Denn der Zielfunktion haben wir stehen 5xX1 plus 9max 2 und
das ist ja offensichtlich größer gleich 5xX2 plus 7xX2 und für Diesen Ausdruck wissen wir,
dass der Größe gleich 110 ist.
Damit ist unsere Zielfunktion, 5, X1, plus 9 mal X2, mindestens 110.
Im Ergebnis. Das heißt, jetzt haben wir wieder gezeigt,
dass wir die untere Schranke als Abschätzung für den optimalen Zielfunktionswert
unseres primaren Problems verbessern können.
Wir haben also die untere Schranke verbessert in dem Sinne,
dass der Wert angestiegen ist
Ja. Ja, Minimierungsproblem. Und wir wollen wissen,
wie groß ist der Zielfunktionswert mindestens in der optimalen Lösung.
Und je näher wir dran sind,
desto besser ist die Abschätzung, sprich unsere untere Schranke.
Das heißt, wir versuchen, die untere Schranke,
so groß wie möglich zu bekommen, Frischranke bleiben.
Und die Vorgehensweise ist immer,
dass wir uns
die einzelnen Variablenterme anschauen
Der Zielfunktion und die dann gegenüberstellen, mit der Ableitung eines Ausdruckes,
der dann in diesem Fall Beispiel die Größe Gleichrelation zulässt.
Ja, das ist ja immer da nicht mehr möglich,
wenn wir hier eine Abschätzung hätten,
größer als sonst mal X-1 oder hier etwas hätten,
was größer als Neumar X-2 ist.
Dann würde die Abschätzung ja schon nicht mehr gelten.
Also das, darauf gilt es dann zu achten.
Okay, nun haben wir ja gesehen,
dass wir jetzt hier die Multikatoren 4 und 1
haben,
mit denen funktioniert das
Offenbar und nun kann man sich als nächstes fragen,
gebt das gegebenenfalls noch bessere Multiplikatoren.
Möglicherweise hätten wir die Erstnebenbedingungen mit einem kleineren Wert multiplizieren können
und dafür die zweite Nebenbedingung mit einem größeren Wert.
Was sind also die besten Multikatoren, um noch eine Abschätzung hinzubekommen?
Und da kommen wir jetzt zur Verallgemeinerung dessen,
was wir gerade Wir hatten die erste Nebenbedingung,
hatten wir ja mit vier multipliziert, statt jetzt einen konkreten Wert hinzuschreiben,
sagen wir, wir wollen Multiplikator, Multiplikator bestimmen.
Dem bezeichnen wir mit W1. Also es ist der Faktor,
mit dem wir die erste Nebenbedingung multiplizieren wollen.
Die erste Nebenbedingung ist ja X1 plus X2,
größer gleich 20 und auf der rechten Seite müssen wir das dann auch beibehalten.
Ja, wir wollen auch wieder die erste und die
zweite Nebenbedingung
miteinander addieren
Die zweite Nebenbedingung, X1 plus 3 mal X2,
größer gleich 30, die multiplizieren wir mit dem Faktor W2.
Das heißt, auf der linken Seite des Relationszeichnungen,
aber der W2,
Mai X1 und W2 mal 3,2 und auf der rechten Seite,
weil wir die beiden Nebenbedingungen addieren,
haben wir dann W2
mal 30. Okay
Können wir die einzelnen Therme wieder zusammenfassen?
Wir haben ja einmal W1 mal X1 auf der einerseits.
Und aus der zweiten Nebenbedingung hatten wir Harme W2 mal X1. Das heißt,
wir haben jetzt W1 plus W2. Mal X1, das heißt,
wir haben jetzt hier das Ganze ein bisschen umgestellt,
sodass wir X1 jetzt hier ausgeklammert haben.
Ja, aus W1 plus X2 haben wir hier stehen.
Da haben wir W2 mal 3 stehen. Also insgesamt haben
wir W1 plus dreimal Weg, zwei in Klammer mal X2.
Auf der rechten Seite haben wir jetzt
keine Veränderung
Molligatoren müssen wieder größer gleich null sein. Ansonsten würden wir
ja die größer Gleichabschätzung verlieren, wenn wir mit einem Skalar motivieren,
kleiner null würde sicher das Relationszeichen umdrehen.
Deswegen fordern wir W1 und W2 größer gleich Relation.
Größer gleich null. Damit die Abschätzung nach wie vor
hinter gelten wird
Sonst hören wir ja den Anspruch, dass wir eine untere Schranke ermitteln, verlieren.
Okay. So, damit sehen wir schon etwas.
Wir haben jetzt hier W1 plus W2 und da haben wir
W1 plus 3 W2. Wir wissen eigentlich auch schon,
wie groß wie 1 plus W2 mal X1,
wie groß in diesem Beispiel W1 und W2 sein dürfen,
damit wir diese Abschätzung hinten hinbekommen.
Wir wissen in der Zielfunktion steht 5. Deswegen W1 und W2,
dürfen nicht größer als 5 sein. Denn wissen wir,
in der Zielfunk stehen Sohn, steht Neumeyek 2. Das heißt,
W plus 3 mal W2 darf nicht größer als 9 sein.
Ansonsten kriegen wir diese Abschätzung, die wir gerade vorgenommen haben,
nicht hin. Das ist, hier ist nochmal zusammengefasst.
Wir wissen, die unsere Zielfunktion lautet,
uns aus primalen Problems, 5 mal X 1 plus Neumeyek 2.
Und wir wollen wieder diese untere Schranke erleiten. Und die
möglichst gut, das heißt möglichst hoch. Nun wissen wir,
dass W1 plus W2, Klammer mal X-1,
das erhalten wir aus dieser Linearkombination, die muss gerade über dich haben.
Das muss kleiner gleich 5x X-1 sein. Daraus Volkung,
unmittelbar einsichtig, W1 plus W2 ist kleiner gleich 5. Größer darf es nicht sein,
ansonsten würden wir die Abschätzung bezüglich der Herleitung einer unteren Schranke
Okay. Hier aber die Neuen stehen. Also muss es
gelten wie eins plus dreimal W2, mal X2, ist kleiner gleich.
Neumarkt 2 und daraus Volk, es muss gelten, W1 plus dreimal
W2, ist kleiner gleich neun. So,
dann haben wir ja gesagt, wir wollen möglichst eine möglichst große untere Schranke bestimmen.
Ja, so wenn wir jetzt Die Emutgatoren W1 und W2
betrachten und dann die beiden Nebenbedingungen addieren,
dann haben wir ja auf der rechten Seite 20 mal W1 plus 30 mal W2 für unser Beispiel.
Ja, und dieses Ergebnis, ja, soll natürlich müdlichst groß sein.
Das heißt, wir wollen diesen Ausdruck ja maximieren.
Und der Einhaltung dieser beiden Nebenbedingungen. Ja,
dann halten wir, wenn wir da das Maximum kennen,
die bestmögliche untere Schranke ist, für unser Ross, unser primales Problem.
Ja, okay. Und das haben wir jetzt hier zusammengefasst. Ja,
maximiere 20 mal W1, plus 30 mal W2,
kommt also aus dieser rechten Seite Koevizienten, gewichtet mit den jeweiligen Moldugatoren W122,
wo es natürlich offensichtlich, wenn sie jetzt mehrere Nebenbedingungen hätten,
eine dritte hätten sie in W3 und so weiter.
Ja. Okay. Und das muss gelten wie 1 plus W2
, ist kleiner gleich 5. Das ist gerade unser Zielfunktionskoeffizient
Und W1 plus 3 mal W2, gleich 9. Das ist
unser zweites Zielfunktionskoffiziell. Und es gelten die nicht Negativitätsbedingungen.
Und dieses Problem, was wir jetzt so hergeleitet haben,
über die Bestimmung der besten unteren Schranke,
bezeichnen wir als das duale Problem.
Und wir werden es sehen,
dass das duale Problem als optimale Zielfunktion,
der optimale C-Funktionswert des dualen Problems
identisch ist mit dem optimalen Zielfunktionswert
Des primären Problems. Des Weiteren werden wir sehen,
dass wir aus der optimalen Lösung des dualen Problems
auch die optimale Lösung des primalen Problems herleiten können.
Das ist natürlich erstmal eine schöne Sache,
dass wir also zwei Alternative Problemstellungen haben und wir die eine optimale Lösung,
und das mag an der einen oder anderen Stelle eine Hilfe sein.
Möglicherweise ist das duale Problem leichter zu lösen,
als das primale Problem
Ja, okay. So. Nun, im Übrigen,
das können wir ja lösen, das haben wir ja
schon gelernt mit dem primalen Simplex-Algorithmus. Okay. So,
nun haben wir natürlich hier ein paar Besonderheiten gehabt,
dass wir ausschließlich gestartet sind mit einem Nähbedingungssystem,
in dem wir von vornherein größer, gleichrillaktion haben.
Die Frage ist natürlich, was ist zu tun,
wenn wir das nicht
so vorliegen haben
Ja. Okay, auch hier jetzt so, veranschaulichen wir
uns das an ein Beispiel. Wir gehen mal davon aus,
wir haben jetzt folgende Zielfunktion, Minimiere, F,
gleich 5 Max 1, plus 2 mal X2,
minus X 3. Und der Beachtung folgender Nebenbedingungen,
2 mal X 1 plus 3 Max 2 plus X 3,
größer gleich 20.
Das ist ja genauso, wie wir es haben wollen,
um so eine Herleitung einer oberen Schranke,
unteren Schranke zu ermöglichen
Und dann haben wir noch eine zweite Nebenbedingung,
2 Max 1 plus 3 Mac 2,
minus 6 3, kleiner gleich 30.
Das ist also nicht so, wie wir es brauchen.
Und sie wissen eigentlich auch schon, was zu tun ist.
Wir müssen diese Nebenbedingungen einfach mit minus 1 multifizieren.
Und dann erhalten wir größer gleich. Okay. Dann haben
wir noch eine dritte Nebenbedingung. X 1 plus 5
Maik 2 plus 2 Mark X 3, gleich 40.
Das kennen wir noch nicht, aber wir brauchen ja
größer Gleichrelation
Nun aus X1 plus 5, Mai X2 plus 2,
Max X3 gleich 40, können wir zwei Nebenbedingungen machen.
In der ersten Nebenbedingung fordern wir kleiner gleich 40.
Und in der zweiten Nebenbedingung größer gleich 40. Das heißt,
im Ergebnis wird auf jeden Fall gleich 40 rauskommen.
Die Nebenbedingungen mit kleiner gleich 40 können wir dann mit minus 1 mulbilizieren.
Und Ergebnis haben wir dann ausschließlich größergleich Relation.
Schauen wir uns das noch einmal an.
Wir haben also
dieses Nebenbedingungssystem
So, die erste bleibt dann unberührt. Da haben wir
das ja genauso, wie wir es haben wollen, größer gleich.
Und weil die zweite Nebenbedingung haben wir jetzt mit minus 1 multipliziert,
aus Plus 2 X1, wird minus 2 X1,
aus Plus 3 X2,
wird minus Dreieck 2 und aus minus X3 wird dann Plus
X3 und aus kleinergleich wird dann größer gleich und aus Plus 30
wird dann hier minus 30. Okay.
So,
dann haben wir
diese Gleichheitsrestriktion
Es gilt also X1 plus 5 X2 plus 2 Makes
3. Ist größer gleich 40. Und es muss gleichermaßen gelten.
X1 plus 5 X2 plus 2ma X3. Kleiner gleich 40. Das heißt,
das Nähbedingungssystem lässt nur gleich 40 zu für diese NEBDU.
Ja, und diese Nehbedingungen multifizieren wir mit minus eins.
Und er wird dann aus minus 6,
er aus plus Xcience, minus 6-1,
entsprechend aus 5 X-2 wird minus 5 X-2,
aus plus 2
X3 wird minus 2
Und aus dem 40 wird dann minus 40 und aus dem Kleiner Gleichzeiten wird größer gleich.
Okay. So, nun wollen wir das ja wieder so vornehmen,
dass wir die einzelnen Nebenbedingungen mit multiplizierern,
mit einem Faktor und das wollen wir ja so machen,
dass wir eine Abschätzung mit den Zielfunktionswerten ermöglicht wird.
Okay, nun haben wir jetzt für jede einzelne Restriktion hier einen Faktor stehen,
dass also W1, W2 Eigentlich bräuchten wir 2,
3, W4, aber da jetzt,
diese beiden Nebenbedingungen zusammenhängen und wir werden dann sehen,
dass wir nachher diese beiden Moldugatoren wieder zusammenfassen können,
haben wir einmal W3 plus.
Ja, und einmal W3 minus eingeführt. Also für Plus,
für Größe gleich und minus aus der Kleinergleich,
die dann hinterher durch Motivation mit minus 1
auch größer gleich wird
Das heißt, diese beiden Multikatoren sind unterschiedlich, grundsätzlich erstmal,
ja, und korrespondieren zur dritten Gleichung unseres Ausgangsproblemen.
Deswegen haben wir jetzt hier nicht V4 hingeschrieben.
Ja, weil die irgendwie inhaltlich zusammengehören.
Deswegen haben wir jetzt hier dann auch so einen hochgestellten,
hochgestellten Symbol plus und minus jeweils eingeführt.
Ja, wenn Ihnen das missfeldschreiben,
so wie 3 und W4 hin.
Ja. Okay
Die Indizes-Korrespondierenden zu den Zeilen unseres eigentlichen Ausgangsproblems. Okay. Ja,
ich denke, da gibt es erstmal nichts dran zu rütteln.
Und so diesen Nebenbedingungssystem ergänzen wir jetzt nochmal die Zielfunktion.
5XX1 plus 2, 2, minus 6,
3. Und jetzt können wir wieder etwas vor eine Abschätzung vornehmen
bezüglich der Multikatoren.
Rosa Faktoren. Okay
Zunächst einmal haben wir ja hier das Ausgangsproblems mit dieser rechten Seite.
Und wir wissen, dass wir die einzelnen Nehmbedingungen ja gedanklich addieren.
Und der Berücksichtigung dieser einzelnen Faktoren, das heißt,
wir rechnen 20 mal W1, minus 30 mal W2,
40 mal W3 plus und minus
40 mal W3 minus
So wollen wir das haben. Und das liefert uns dann
wieder in eine untere Schranke. Und die wollen wir maximieren.
Und deswegen schreiben, formulieren wir jetzt auch für das duale Problem.
F ist gleich 20 mal W1, minus 30 mal W2,
plus 40 mal W3 plus, minus 40 Zoo, mal W3 minus.
Okay. So, was muss jetzt wieder gelten?
Wir wollen jetzt ja wieder eine Abschätzung machen.
Das werden wir jetzt die einzelnen Nebenbedingungen mit den Faktoren W1,
W2, W3 plus W3, minus multiplizieren.
Und dann wieder
die einzelnen
Therme für X1, X2. Und X3 dann wieder zusammenfassen.
Ja. Dass da wieder gilt, dass das Ergebnis
dieser Zusammenfassung kleiner ist, als der entsprechende Kovic.
Ansonsten gilt diese Abschätzung ja an dich. So,
jetzt haben wir ja hier in der ersten Spalte des
primalen Problems die einzelnen Therme mit für X1,
die wenn jetzt jeweils multipliziert mit W1 für 2 W3 Plus
und W3 Minus
Denn wären wir die addieren. Und das ist das Ergebnis,
denn für den Multiplikator, der sich insgesamt ergibt für X1.
Und das muss natürlich kleiner sein
als diese 5. Also schreiben wir hin, zweimal W1,
minus zweimal W2, plus W3 plus, minus W3 minus.
Und das muss kleiner gleich 5 sein.
Dass also diese einzelnen Koezienten multipliziert mit diesen Faktoren,
muss kleiner
gleich 5 sein
Ja, das heißt, dieser Spalten-Kovizienten bei X1 werden dann nachher eine Zeile in den,
da wird eine Zeile, in dem du ein Problem.
Das Gleiche gilt jetzt für die Therme mit X2.
Wir multifizieren ja die einzelnen Gleichung mit W1 wie 2,
W3 plus, W3 minus. Das heißt,
diese einzelnen Therme werden dann halt auch mit den Faktoren,
wir 1, W2, W3 Plus, W3 minus multifiziert.
Okay, das heißt, aufgrund der ersten Nebenbedingungen erhalten wir drei mal W1.
In der zweiten haben wir minus drei stehen,
mal W2, da haben wir fünf stehen,
mal W3 Plus und hier haben wir minus fünf den,
mal W3 minus.
Und das muss in der Summe,
kleiner gleich zwei sein, denn hier haben wir in
der Zielfunktion
Ansonsten würden wir ja keine Abschätzung vornehmen können. Okay. So,
dann haben wir jetzt hier die Therme von nix 3,
die jetzt jeweils wieder auch gewichtet werden mit den Faktoren W1,
W2, W3 Plus und W3 minus.
Und dann wären sie wieder addiert. Die fassen wir zusammen.
Und das Ergebnis muss ein kleiner gleich minus eins sein,
denn wir haben in der Zielfunktion ja minus eins.
Also es muss gelten,
Eimer wird eins
Plus einmal W2 plus zweimal W3 minus, minus zweimal W3 minus,
muss kleiner gleich, minus eins sein, weil hier eine eins steht.
Minus eins. Hier haben wir das Ergebnis,
also W1, hier mit der Einstellung, plus W2,
in der zweiten Gleichung haben wir eine Einstellung,
in der dritten Gleichung haben wir eine zwei,
deswegen zweimal W3 plus und der vierten Gleichung habe zu minus zwei stehen,
deswegen minus zweimal W3 minus und das muss kleiner gleich
minus eins sein
Falls das verletzt werden würde, hätten wir wieder keine Abschätzung.
Wir würden also keine zulässige abschätzen würden, also keine untere Schranke bestimmen.
So, es gilt wieder für die einzelnen Modikatoren,
dass die nicht negativ definiert sind.
Und damit ist quasi anhand dieses Beispiels sämtliche denkbaren Konstellationen abgebildet.
Ja, kleiner Gleichrelation, größer Gleichrelation und Gleichheitsrelation
behandelt.
Andere Relationen betrachten wir
Im Rahmen der linearen Optimierung ja nicht.
Wenn du nur mehr oder weniger Relationen da sind,
im Prinzip wissen sie jetzt, was zu tun ist.
Was sehen wir jetzt noch? Wir sehen also,
dass die Zielfunktionskovizienten unseres Ausgangsproblems, sind nachher im dualen Problem,
die echte Seite koeffizienten.
Die Koezienten, die zu einer Struktur Vaiapel
nix eins hier auftauchen als Spalte,
sind nachher Zeilen koeffizienten
Des dualen Problems. Wenn sie das in Matrix-Schreibweise hinschreiben würden,
groß A, mal X und X ist dann der Vector,
dann erhalten sie nachher die transponierte Matrix.
Wohl dibuziert mit einem neuen Vector W. W1,
jedenfalls beinhaltet dann die einzelnen Wahljahre. Ja, okay,
also die Zielfunktionskoffizienten werden rechte Seite, Koffizienten,
Rechte Seite kovizienten werden dann die Zielfunktionskoffizienten in unserem dualen Problem und
die Kovizenten-Matrix und das dualen Problem taucht dann in transmonierter Form in dualen Problemen auf.
Okay. Wichtig ist, dass sie an dieser Stelle grundsätzlich,
das ist die Vorgehensweise, verstehen oder nachvollziehen und den Sinn darin erkennen.
Später werden sie es nachher anwenden sollen, müssen sie es
rein schematisch machen. Da müssen sie gar nicht mehr
drüber nachdenken
Damit sie schnell bei der Lösung von Klausuraufgaben noch vorankommt.
Okay. So, jetzt gibt es noch eine Besonderheit.
Deswegen haben wir auch diese Aufsplittung gemacht, W3 Plus, ein W3 minus.
Wenn Sie jetzt die einzelne Variablen sich anschauen hier,
dann haben Sie ja immer den gleichen Koveizienten vor W3 plus,
als, okay, dann mit Minus für W3 minus,
entsprechend 5 und hier minus 5 und da 2 und da
auch minus
So, jetzt können Sie folgende Substitution machen, dass Sie sagen,
W3 ist gleich W3 plus und minus W3 minus.
Ja. Das heißt, Sie können ja substituieren, W3 plus,
minus W3 minus, durch diesen Ausdruck, sprich durch W3.
Hier können Sie ja fünf ausklammern, da die zwei ausklammern und
danach sich immer stehen W3 plus, minus W3 minus.
Ja. Und dann sehen Sie, dass sich der,
das duale Problem hier jetzt wieder vereinfacht.
Da haben wir jetzt also nur noch W3 stehen
Anstelle von W3 plus minus W3 minus. Die Besonderheit hierbei ist,
dass jetzt die Variable W3 sowohl positive als auch negative Werte annehmen darf.
Ist irgendwie auch klar,
wenn wir jetzt beim Ausgangsproblem und beim Prima,
also unser primalen Problem der Gleichheitsrelation,
da können wir da also mit einem Positiv oder mit einem
negativen Wert diese Gleichung multiplizieren,
ohne dass wir jetzt
die Abschätzung verlieren
Ja. Okay. Aufgrund der Eigenschaften, lineare Optimierung,
wird immer nur W3 plus oder W3 minus.
Als Basis war Jabler auf Traurung.
Das sei am Rande auch bemerkt.
Wollen wir das Ganze so ein bisschen uns einmal überlegen oder uns nutzen,
zunutze machen, indem wir noch weitere Beispiele uns anschauen.
Und dann auch mal direkt eine Lösung vornehmen.
Mal berechnen. Okay. Wie wir dann gleich noch
sehen werden. Okay. Wir betrachten wieder ein Beispiel.
Gehen wir davon aus, wir haben folgende Fragestellung.
X1 plus 62 plus
Soll maximiert, minimiert waren. Es geht in die angegebene Nehmbedingung hier,
X1 plus 63, größer gleich 7, X1 plus 62,
größer gleich 20, X2 plus 63,
größer gleich 40, X3, größer gleich 20.
Die entsprechenden Voligatoren haben wir jetzt wieder mit W1, W2,
W3, W4, weil wir auch vier Nehmbedingungen haben,
haben also vier Faktoren, zu beachten.
Und wenn sich jetzt dieses Problem jetzt lösen müsste,
würden sie ja erstmal die Zielfunktion mit minus eins multifizieren,
okay, das ist ja.
Und sie müssten jetzt die einzelnen Nehmenbedingungen erstmal, müssen sie Gleichheitsrestriktionen machen.
Das seien, sie würden da Y1, Y2,
Y3, Y4 einführen, also vier Schlupfvariablen beziehungsweise Variablen,
die die Überschreitung der rechten Seite jetzt messen, erfassen.
Und dann haben sie erstmal nur Gleichheitsrestriktionen und Um mir jetzt
die zwei Anwendungen der zwei-Phasen-Methode würden sie auch noch vier künstliche Variablen einführen.
Und dann erstmal die Summe der vier künstlichen Variablen betrachten.
Als erste AZ im Rahmen dieser Z, zur Zielfunktion.
Das sieht schon relativ umfänglich aus, ja. Wenn sie das
aber jetzt dualisieren, dann haben sie folgendes Problem zu lösen.
Nur gehe ich nochmal kurz zurück. Sie haben ja hier
die Koezenten 111. Das wären dann rechte Seite koevizienten,
also drei. Wir kriegen drei Nähbedingungen.
Die Zielfunktion, Obsa, die Zielfunktion, nochmal zurück,
ergibt sich ja aus 7 mal W1 plus 20 mal W2
plus 14 mal W3 plus 20 mal W4.
Haben wir hier stehen, das gilt zu maximieren. So,
damit das eine untere Schranke bleibt, muss gelten,
wir multivizieren ja die einzelnen Nebenbedingungen mit den entsprechenden Faktoren,
die W1 und W2,
da haben wir also hier X1 in der ersten und zweiten Nebenbedingungen
Deswegen haben wir W1 plus W2 stehen. Kleiner, gleich eins
. So, schauen wir uns die Vayablik 2 an.
Die taucht in der zweiten und dritten Nebenbedingung auf.
Jeweils mit Kovizient. Eins. Deswegen haben wir W2 und W3.
Das sind ja die Modikatoren der zweiten und dritten Nebenbedingungen.
Kleiner, gleich eins. Schauen wir uns die nächste Wahljahrplan,
dass die Vayablik 3, die ist enthalten in der ersten,
dritten und vierten
Nebenbedingungen, der jeweilige Kovezient ist eins,
also haben wir einmal W1, plus einmal W3 plus einmal
W4 und das muss kleiner gleich eins sein.
Hier steht das Ergebnis, W1 plus W3 3 plus W4,
kleiner gleich eins und es gelten die nicht,
nicht Negativitätsbedingungen für die Faktoren wie 1 bis 4,
4,
unsere Variablen des dualen Problems
Wir sind wieder, die Zielfunktionskoffizienten sind im dualen Problem,
die rechte Seite der Koffizienten. Und die D-Koevizenten des primanen Problems
sind unsere Zielfunktionskoffizienten im dualen Problem. Und wir sehen ferner,
dass die Koffizienten-Matrix des primanen Problems ist dann transponiert.
Die Kovizienten-Matrix des dualen Problems. Wenn wir uns das jetzt anschauen,
dann brauchen wir jetzt nur drei Schlupfvariablen, Y,
1, 7, 2, Y,
3 und können sofort mit dem primalen Templex-Algorithmus das Problem lösen.
Wir brauchen also an dieser Stelle nicht die Zwei-Phasen-Methode.
Und wir haben auch nur drei Nebenbedingungen statt hier.
Okay, wir haben eine zusätzliche Strukturvariable,
aber ansonsten haben wir nur drei statt vier Schlupffahrjahre und
wir haben keine künstlichen Variable
Version her und auch von der unmittelbaren Vorgehensweise erstmal, die wir jetzt,
dass wir gleich mit einem primaen simplexen Algorithmus starten können, schon dankbarer.
Das Problem können Sie also sofort lösen, ohne sich Gedanken zu machen,
über eine zusätzliche Zielfunktion für die künstlichen Variablen.
Hockey. Hier sehen Sie schon,
dass er die Ergebnis bei Anwendung des primalen Problems,
das heißt, wir haben jetzt das duale Problem gelöst,
mit Hilfe des primalen Simplex-Algorithmus. Wir sehen,
dass wir die Varia, die schlupfvariablen Yps und Eis,
Option 2, Option 3 eingeführt haben, um Gleichheitsrestriktionen zu haben,
die sind ganz zu Beginn auch unsere Basis Vajablen.
F taucht wieder in bekannter Form auf. Wir sehen hier
die rechte Seite koeffizienten und hier unsere Zielfunktionskoeffizienten.
Ja, okay. So, jetzt gehen wir wieder vor,
wie wir es ja gewohnt sind. Wir haben sofort eine zulässige Startlösung,
nämlich Y1 gleich 1, 172 gleich 1,
173 gleich 1 und F gleich null und die Vajablen W1
bis W4 sind und sind nicht basisfrei,
ja,
mit dem Wert null
Und jetzt stellt sich die Frage, können wir die bestehende Lösung verbessern?
Dazu schauen wir jetzt in die Zielfunktion rein,
sehen hier mehrere Kandidaten, die wir mit in die Basis aufzunehmen hätten,
weil wir zweimal minus 20 hier stehen, wir haben als kleinste Werte.
Okay. Jetzt müssen wir wieder die Abschätzung machen,
rechte Seite durch diesen Koeffizienten,
da kommt auch jeweils dasselbe bei raus, ja,
also gehen wir auch gar nicht vor, wir machen ja einfach nur,
bestimmen erstmal die BWO-Spalte und offenbar haben wir jetzt hier W2 als Variable,
identifiziert, denen die Basis aufzunehmen ist.
Und jetzt haben wir hier wieder so Abschätzung,
eins durch eins, hier haben wir auch nochmal eins durch eins.
Da hätten wir also auch wieder Optionsrecht gab.
Und wir haben uns dann jetzt für diese Variable entschieden.
Also das für Y1 entschieden, das Y1. Die Basis zu verlassen hat für W2.
In dem Sinne gab es hier mehrere Freiheitsgrade,
sowohl bei der Auswahl der Neun.
Basisvariabel, sprich unser Pivotspalte. Also bei der Vayable,
die diese Basis zu verlassen hat. Okay. So,
jetzt sehen Sie, was wir jetzt gemacht haben.
Wir haben also diese neue Zeile hier, da brauchen wir ja gar nichts machen.
Das ist ja identisch mit der Ausgangszeile. Nur,
dass wir jetzt hier W2 eingetragen haben. Jetzt müssen wir
hier noch die Eins wegbekommen, da zu subtrahieren wird.
Diese Zeile, also die W2-Seile von der Y2-Zeile
und erhalten jetzt hier diese Eintragung,
wie sie
hier stehen haben
Okay. Dann haben wir noch die minus 20 hier wegzubekommen.
Das 20-fache der W2-Zeile auf die F-Zeile zu addieren.
Und dann erhalten wir dieses Pferd die Ergebnis. Okay. So,
dann schauen wir wieder in die Zielfunktion nach und sehen,
na, hier ist sie minus 2.
In diesem Fall ist die Auswahl der Pivot-Spalte eindeutig, W4s aufzunehmen.
Und jetzt die Frage, welche Variable soll die Basis verlassen?
Und da sehen wir, haben wir hier,
ist der einzige kovizient
größer gleich
Größer, echt größer, null. Also haben wir
Y3 für W4 in die Basis mit aufzunehmen. Okay.
So, die Zeile können wir dann ja so beibehalten.
Hier steht ja schon da eins. Und dann haben wir
W4 stehen. Hier stehen wir jeweils 2-0,
da brauchen wir nichts machen.
Wir müssen nur diese minus 20 wegbekommen. Ja,
dann nehmen wir das 20-fache der W4-Zeile und addieren sie auf
die F-Zeile und erhalten dieses Ergebnis
Und wir sehen, die Optimalitätsbedingungen ist erfüllt.
Die Eintragung in der F-Seite sind alle größer, gleich null.
Das ist jetzt unsere Bedingung, dass wir eine
optimale Lösung für diese Fragestellung erzielt haben.
Okay, damit haben wir natürlich das duale Problem gelöst,
aber uns interessiert natürlich auch,
wie ist der optimale Zielfunktionswert
Ausgangsproblem, also des primalen Problems. Und kommen wir jetzt
auch auf die optimalen Lösungen für unsere X-Variablen.
Für die Zielfunktion des dualen Problems gilt ja, die rechten Seite,
Koeffizienten, ja, multifiziert mit den entsprechenden Faktoren,
ja, war ja zu Maximiere.
Ja, das ist ja unser Zielfunksong gewesen. So,
jetzt haben wir an anderer Stelle ja schon kennengelernt,
wenn wir jetzt Ein Problem lösen,
dass wir anhand der Eintragung der Zielfunktion unter den Schlupferjagden ablesen können,
wie häufig eine Zeile des Ausgangsproblems zur Bestimmung der optimalen Lösung auf die Zielfunktion addiert worden ist.
Das sind unsere Modikatoren, P1, P2 und P3.
Auch hier wieder sehen wir ja
Und der Yps 1 in der optimalen Lösung steht 20.
Das heißt, wir haben zur Bestimmung der optimalen Lösung 20
mal die Y1-Seite auf die Zielfunktionszeile addiert.
Y2, jetzt zur Bestimmung der optimalen Lösung im Gesamteffekt,
null mal auf die Sehfunktionszeile addiert,
denn hier steht ja
eine Null
Hätten wir Vierfaches selbst, so in Zweizeile,
auf die Zielfunktion zur Bestimmung der optimalen Lösung addiert,
hätten wir hier einen anderen Wert als Null stehen.
Und diese 20, die kommt also aus der Y-3-Zeile.
Wir haben zur Bestimmung der optimalen Lösung,
also 20 Mal die Y-3-Zeile auf die Zielfunktion addiert.
So, und wir erinnern uns ja auch dran,
die Zielfunktionskoeffizienten des primalen Problems sind die rechte Seitekoeffizienten
Das dualen Problems, die Simplex-Motivatoren zeigen uns,
wie häufig wir also die einzelnen Zeilen zur Bestimmung auf der
optimalen Lösung, auf die Zielfunktion attiert haben.
Und deswegen können wir diese P-Werte interpretieren als ein Vielfaches.
Der Zielfunktionskoffizienten, das Primahandproblem zur Bestimmung der optimalen Lösung
Das entspricht also den Ausprägungen für unsere X1-2er,
XJ-Vai-Japlen X1 X62 und X3. Wir sehen ja die Berechnung hier,
es ist ja Äquivalent zu unser Zielfunktion unseres Primarproblems.
Also die Peace,
die korrespondieren dann zu seinen Xen
Wenn wir wissen wollen, wie ist die Zielfunktions-,
die Zielfunktionswert unseres Dualen, primaren Problems.
Wir wissen ja, wie häufig wir die einzelnen Zeilen
jetzt addiert haben, multifiziert haben mit den einzelnen Faktoren.
Und die rechte Seite Koveizienten des dualen Problems sind ja
die Zielfunktionskoveizienten des Primareins Problems
Okay. Ich habe jetzt hier das bis von der Notation her,
sehen Sie vielleicht ein bisschen, ja, es ist bis in der Tatsache geschuldet,
dass wir ja die Schlupfwariabler wieder von nur eins anbeginnen, nummerieren, ja.
Das heißt, die Koeffizienten in dem Ausgangsproblem oder in dualen Problemen,
ja, wir haben ja hier ein, zwei,
drei, vier, fünf, sechs, sieben Spalten,
ja, und deswegen kommen wir hier zu diesen koeffizienten 5,
6, 7,
also zu den aktuellen Eintragungen in der Zielfunktionsseile.
Und deswegen sieht das ja ein bisschen kryptisch aus, ja.
Gemeint sind natürlich die Werte,
die aktuellen Koezenten unter den Schlupf variabel,
wie dieser Ausdruck hier verdeutlicht
Ja, im Optimalfall ja entsprechend die Werte dann unter den Schlupf war,
ja, den optimalen Werten des primalen Problems.
Das sind also die optimalen Werte auch für die Struktur wahr,
ihr habt in unseres primalen Problems.
Das heißt, die beste untere Schranke ist natürlich der
optimale Zielfunktionswert des primalen Problems
Macht ja auch Sinn. Okay. Ihr seht ja nochmal,
wie wir das jetzt hier in Games umgesetzt haben.
Und auch die entsprechenden Ausprägungen
Simplex, Multikatoren, entsprechen ja den Dualwahlwahljahr in gleichermaßen.
Und die können wir also aufgrund der, mithilfe dieses Punkt
Marginal ableiten. Ich hoffe, ich habe es mit.
Sollte eigentlich
dabei sein
Hier sehen Sie das Ganze nochmal aus,
nochmal in dieser Form, statt Positive können Sie ja auch.
Vielleicht fühlen Sie dann besser. Dann wird das mit zwei angeschrieben
dann. Negativ. Nur negative, Entschuldigung, auch hinschreiben.
Und hier von oben können Sie auch noch frieren, schreiben.
Es ist ja so, wie wir das ja auch kennengelernt haben.
So und die Wenn Sie jetzt dieses Problem lösen,
dann erhalten Sie über diese Anweisung, Punkt
Elm steht für Marginal, die Ausprägung der Multivatoren, unsere P-Werte.
Und wir haben drei Nebenbedingungen, NB1, MB2,
MB3. Und wenn Sie jetzt die korrespondierenden Dualwahrjablen haben,
sprich unser Messimplex-Mulkretor, dann sprechen Sie die mit Punkt M-Mann.
Wenn Sie das Niveau, da war Jablen haben wollen,
haben wir aber Punkt L hier als Attribut für die Valiable angegeben.
Ich lasse es einmal laufen
Und sie sehen den optimalen Zielfunktionswert,
den wir ja schon ein paar Handherr geleitet haben.
Und hier sehen Sie dann auch nochmal die entsprechenden Ausprägungen.
Also über diese Anweisung kommen Sie denn also zu den Ausprägungen der Dualvariablen,
die die Strukturvariablen, unseres primaen Problems sind, 20020.
Also X1 gleich 20, 2 gleich 0 X3, gleich
20. Also darüber können Sie Ergebnisse, die Sie Hand ermittelt haben,
schnell mit Hilfe, muss nicht unbedingt Games sein,
aber in diesem Fall nutzen wir Agames, schnell überprüfen.
Okay. Das also zur Dualisität gibt es dazu noch Fragen.
Also rein handwerklich sollten sie das jetzt verstehen, was zu machen ist.
Und ansonsten müssen sie ja nur die Herleitung nochmal nachvollziehen.
Und ansonsten Wie sie von der Lösung der Dual,
des dualen Problems auf die optimalen Werte des primalen Problems kommen,
ist ja jetzt quasi erläutert und das müsste man sich dann auch nochmal in Ruhe anschauen.
Aber es ist ja keine Magie. Okay. Dann wollen wir
die verbleibende Zeit nutzen, noch ein paar Sonderfälle anzusprechen der
linearen Optimierung, die da wären, einmal duale Degeneration,
primae Degeneration
Dass wir gar keine zulässige Lösung haben,
das kennen wir ja eigentlich schon, ja.
Und auch, wann nicht, ein unbeschränktes Problem vor.
Okay. Schauen wir uns das auch wieder,
oder für, gegenwärtigen wir uns das anhand von Beispielen.
Wir haben jetzt hier folgendes, einfaches, lineare Optimierungsproblem.
X1 plus X. 2. Und wir haben X1 pro Sec
2. Wir haben gleich eine Schlupfarriable schon eingeführt.
Y11 gleich 4. Und offenbar hatten wir X1,
klären ja gleich zwei gefordert.
Und haben daraus X1 plus Y 2
gleich zwei gefordert
Okay. Ja, wenn sie das jetzt mit Hilfe das prima an Simplex Algorithmus lösen,
kommen sie hier zu folgender, zu folgendem Ergebnis.
Also auch hier wieder hatten wir zwei Optionen,
ob wir nur ein X1 oder X2 in die Basis nehmen.
Wir haben offenbar X1 in die Basis genommen.
4 durch 1 ist 4, 2 durch 1 ist 2,
damit muss Y 2 die Basis verlassen für X1.
Die Nicht-Basis war Yable X1,
wird also Basisfahriable
Das verändert sich ja nicht und dann mussten wir hier noch die Null wegbekommen,
äh, die Eins wegbekommen,
indem wir einmal diese Zeile von der Y1-Seile subtrahiert haben,
die minus eins mussten wir wegbekommen,
indem wir einmal die neu gebildete X1-Zeile auf die F-Zeile addieren.
Okay, dann kamen wir zu diesem Ergebnis, hier haben wir
die minus einstehen, X2 ist also in die Basis aufzunehmen.
Und wenn hier eine Null steht oder ein negativer Wert ist,
dann können wir das ja, das ist keine Beschränkung, also wir haben
nur bei Y1 der Beschränkung X2. Wird also für Y1 in die Basis aufgenommen.
Okay. So, was sehen wir jetzt erst mal?
Wir sehen X2 gleich 2, X1 gleich 2 und F
ist gleich 4. Der Zielfunktionswert ist, glaube ich, 4.
So, jetzt haben wir hier eine Besonderheit.
Wir haben ja die Nicht-Basis-Vayable und 2. Und im Optimal-Tableau steht
hier eine Null. Das heißt, wir können Y2 mit
in die Basis aufnehmen
Ohne, dass sich der Zielfunktionswert verschlechtert. Der Zielfunktionswert verändert sich
pro Einheit von Y2 um null. Es gibt offenbar noch,
es gibt mindestens offenbar noch eine weitere optimale Lösung.
Wir können also durch eine Basistausch keine Verbesserung erzielen,
aber wir würden auch keine Verschlechterung erhalten.
Wenn wir jetzt ab so ein 2 mitten in die Basis
aufnehmen würden, in diesem Fall wäre das ja Fakes
Ja. So, das heißt also, wenn wir sehen,
dass unter einer der Nicht-Basis war Iable im Optimal-Tableau eine Null steht,
es gibt mehrere optimale Lösungen, ja.
Und in diesem Kontext sprechen wir dann auch von Dualer Degeneration
Die Eintragung unter den Schlupferjahrblen korrespondieren ja auch zu unserem Dualvariable.
Zu einem Molligatoren der Einzelnen Zeilen.
Okay. Wir sprechen also hier von Dual als Degeneration.
Hier sehen Sie mal, was passiert. Wenn Sie jetzt
Y2, Fix 1 in die Basis aufnehmen,
Sie erhalten dann als Zierfunksohnswert 4.
Es gilt wieder
die Optimalitätsbedingungen
Und die hatten wir ja auch schon in den optimalen Zielfunktionswert von 4.
Und das galt auch die optimale Ziel-Optimalitätsbedingung als erfüllt.
Das heißt, wir haben also eine weitere optimale Lösung mit
X2 gleich 4, Y2 gleich 2 und F gleich 4.
Also beide Lösungen erfüllen die Optimalitätsbedingungen. Das sämtliche Eintragung in
der F-Zeile größer gleich neu sind
Wobei wir ein Maximiliumsproblem betrachten. Okay. Auch das können Sie
sich jetzt einmal grafisch veranschaulichen, was da jetzt vorliegt.
Wir haben ja einmal gesehen, ich gehe nochmal zurück.
Ich zwei, gleich vier, X1 ist damit null.
Bei der X1 nicht Basis war Japels.
Das ist also hier
die Lösung
Hier hatten wir ja auch X2, gleich 2,
X1, gleich 2. Da haben wir also diese Lösung.
Entschuldigung, wir haben X 2 gleich 4 als Lösung hier.
Und X1 gleich 0. Das ist dieser Eckpunkt.
Und hier ist offenbar auch eine optimale Lösung.
Und das liegt daran, dass die Zielfunktion liegt Dreck auf
einer Nehmbedingung
Ja. So, das heißt also, wir haben hier
eine optimale Lösung, Fake 2, X1 gleich 2.
Und es gibt eine weitere optimale Lösung.
X2, gleich 4, X1 gleich null. Ja,
also hier ist eine optimale Lösung und da ist eine optimale Lösung.
Und sämtliche Linearkombinationen dieser beiden Punkte repräsentieren auch optimale Lösungen
Es gibt in dem Sinne unendlich viele optimale Lösungen.
Unser simplexer Algorithmus liefert ja nur die Eckpunkte, aber nicht in Linearkombination.
Also wir kriegen diesen Eckpunkt und diesen Eckpunkt,
aber natürlich nicht in Ja-Kombination. Aber wir sehen,
offenbar gibt es jetzt unendlich viele Lösungen, die optimal sind.
Okay. Schauen wir uns ein weiteres Problem an
und dann kommen wir zur sogenannten Primaldegeneration
Was haben wir da als Sehfunktion? XIs bis 2,
2. Nebenbedingungen X1 plus 6, 2 plus schlupfvariable schon eingeführt,
gleich 4, X1 plus Y,
das war ja auch hier die Schlupffahrjahre.
7, 3. Gleich 2. Okay. Und es gelten wieder
die Bekannten, nicht nur die Qualitätsbedingungen.
Wenn Sie jetzt dieses Problem lösen mit Hilfe des primaen Simplex-Algorithmus,
kriegen Sie folgendes? Wir gehen wieder vor,
hier minus 2, Pivolement
Pivot-Spalte, betrachten wir die 4 durch 1,
ist 4, da haben wir eine Null,
können wir überspringen, 2 durch 1, ist 3,
2, also Y3 hat die Basis zu verlassen.
Für die Variablek 2, deswegen haben wir die 2 stehen,
machen unser Elementaraboration und haben dann hier noch die Minuseinstehen und haben dann offenbar uns entschieden,
dass Y1 die Basis zu verlassen hat,
Fakes 1 und dann kommen wir hier zur folgenden Tableau,
die Optimalitätsbedingungen sind erfüllt,
sämtliche Eintragende F-Zeitung sind größer
gleich Null
Und was wir jetzt aber auch sehen, ist,
dass wir jetzt folgende Ausprägung der Vayable nahmen, X-1,
gleich zwei, Y2, gleich Null und X-2 gleich zwei.
Das heißt, eine Basis Vayable hat in der Optimallösung
einen Wert von Null.
In unserem primalen Problem hat eine Basis Vayable den Wert Null
Und wenn wir diese Ausprägung haben, dann sprechen wir von primaler Degeneration.
Auch das kann man sich veranschaulichen. Wir haben also hier
die einzelne Nähbedingung widerstehen, die aus dem, also grafisch veranschaulich.
Wir haben einmal, das hatten wir, X1,
kleiner gleich zwei und X2, kleiner gleich zwei.
Das sind ja X-2-Kleider gleich zwei,
also hier unterhalb dieser Linie und X1,
keiner gleich zwei
Das ist ja dann links voller durchgezogenen Linie. Und da
gibt es auch eine weitere Nehmenbedingung. X-1 plus X-2,
gleich 4. Und das ist ja genau diese gepunktete Linie.
X-1 plus X-2, gleich 4, wenn nichts eins,
gleich 0 ist. Dann ist X-2 gleich 4,
ist X-2 gleich 0, dann ist X-1 gleich 4.
Die beiden Punkte verbinden wir. In diesem Fall haben wir
eine gepunktete Linie und erhalten dann diese Linie.
Ja, auch die Zielfunktion ist wieder eingezeichnet.
Die haben wir dann so weit wie möglich
versucht zu verschieben
Nach rechts oben, ja. Und haben dann hier
den Optimalpunkt. Und offenbar ist in diesem Punkt,
haben wir das Zusammenfallen, mehrere Nähbedingungen.
Und zu den einzelnen Nähbedingungen haben wir hier auch Schlupfwahljable.
Und was man an dieser Stelle ja natürlich auch sehen kann,
jetzt könnten wir jetzt die gepunktete Linie auch weglassen.
Da haben wir also
eine Redundanz
Also, wenn jetzt mehrere Nähbedingungen in dem Optimalpunkt zusammenfallen,
haben wir also primae Degenerationen vorliegen. Was man zeigen kann,
worauf wir aber nicht im Detail eingehen wollen,
dass man Beispiele konstruieren kann,
wo der primae Simplex-Algorithmus noch keine optimale Lösung identifiziert hat,
aber anfängt,
eine gewisse Sequenz immer wieder zu durchlaufen,
an Basis tauschen
Und in diesem Fall spricht man dann von der Gefahr
des Kreises innerhalb der Basislösung eines Eckpunktes.
Das kann passieren, habe ich jetzt kein Beispiel mitgebracht,
aber das halten wir im Hinterkopf.
In der Praxis spielt das keine Rolle.
Man kennt das im Zusammenhang von sogenannten Dekompositionsverfahren,
kann sowas auch auftreten
Numerischen, ja, Schwierigkeiten,
in der, wenn man sich so Standardsolver anschaut,
kann man Folgendes machen, man kann einzelne Nähbedingungen,
rechte Seite koeffizienten, ein bisschen manipulieren durch eine Zufallszahl,
in eine App-Silonnon-Urgebung und dadurch wird das dann wieder eindeutig.
Also Rendomisierung der rechten Seite koeffizienten, um marginale Werte,
in der x-Nachkommastelle Elfen beispielsweise, solche in der,
aus praktischer Sicht eher theoretischen Probleme des Kreisens zu überwinden.
Wenn man große, komplexe Probleme hat,
nutzt man aber die Technik der Rendomisierung auch,
um Stabilität in das lineare Optimierung zu bekommen.
Also es ist für die Praxis kein Problem.
Mir ist sowas für praktische Problemstellung noch nie passiert.
Okay. Und Standardzäuber, die wissen halt auch,
wie man mit damit umzugehen hat. Okay. Ja,
schauen wir uns auf ein weiteres Problem an.
Und zwar haben sie schon als Überschrift, es existiert keine zulässige Lösung.
Möglicherweise kann der eine oder die andere von ihnen sofort erkennen,
dass hier gar keine Lösung vorliegt.
Dazu ist das Beispiel ja auch
gut überschaubar
Aber wir brauchen ja, wenn wir lineare Optimierung anwenden,
mit deutlich mehr Variablen, eine Vorschrift, die uns dann zeigt,
aufgrund von irgendwelcher Werte in dem linearen Optimierungsproblem,
dass hier keine optimale Lösung vorliegt.
Okay, also wir haben jetzt x-x plus 2, 2,
2, offenbar zu maximieren, x-1 plus x x-2,
kleiner, gleich 4, x-1, größer, gleich 3.
Und es gilt x-1 minus 6-2, leider,
gleich null. Okay, auch hier wieder Gehen wir so
vor, wie wir das bisher kennengelernt haben.
Wir führen Schlupfvariablen ein, aus der Erstnehmung,
Nebenbedingungen wird ein X-1 plus 6-2 plus 7-1. Gleich vier.
In der zweiten Nebenbedingung haben wir X-1. Also brauchen wir minus
Y-2. Und wir brauchen noch eine Schlupfwahr, ja.
Eine künstliche Variable Z1. Und das ist dann gleich drei,
so wie sie es hier stehen. Bei der zweiten,
dritten Nebenbedingung, da haben sie X-1 minus X-2,
da brauchen sie dann plus Y-3, ist dann gleich null.
Da haben sie also jetzt ein Problem mit der Künstlichen Variable Z. Eins.
Wir brauchen also eine zweite Nähe Zielfunktion, die Z-Z-Funktion.
Und in diesem Fall haben wir nur eine künstliche Variable.
Und das führte dazu, ja, Z ist ja gleich.
Z1, also um das zu minimieren,
multbuzziert mit minus eins, führten dazu maximäre Z gleich minus Z1.
Und wir wissen ja, wenn er null rauskommt,
Muss aus Z1 gleich neu sein.
Okay. Ja, wie gehen wir da vor?
Wir substituieren erstmal hier diese minus Z1. Ja,
Z1 ist ja nichts anderes als drei,
minus X1 plus Y2, tragen das hier oben ein.
Und dann halten dann als neue Zielfunktion ZS gleich minus drei
plus 61 minus Y2. Also aus der zweiten Nebenbedingung wissen wir,
wie Z1 definiert ist. Und substituieren,
substituierenden Z1 durch die Definitionsgleichung quasi,
das folgend aus der zweiten Nebenbedingung
Okay. So, wenn sie das jetzt anwenden,
dann stellen sie halt folgendes Vers.
Oder gehen wir erst mal da durch. Ja,
wir haben also hier minus eins stehen,
X1 ist also in die Basis aufzunehmen.
Und dann haben sie ja hier vier durch eins, drei
durch eins. Und da haben sie eine Null stehen.
Und damit muss jetzt hier Y 3, also 0 durch eins,
ist dann ja das Minimum hier wieder.
Also muss Y 3 die Basis verlassen,
Führen dann wieder die Elementaraborationen durch, um jetzt einen Einheitsvektor,
Decks einzubekommen und haben dann hier folgendes Ergebnis,
die rechte Seite bei der Zielfunktionszeit von Z hat sich nicht verändert.
Und dann haben sie hier die Minus-eins stehen und jetzt geht es wieder los,
sich zu überlegen, welche Variable hat die Pause zu verlassen.
Und wir rechnen vier durch zwei, zwei, drei durch eins bis drei.
Und hier haben wir eine Minus-eins stehen, ist also keine Beschränkung,
also hat Y 1 im Ergebnis die Basisfek 2 zu verlassen.
Wir führen wieder unser Elementaraboration durch und dann schauen wir die Z-Zeile und sehen,
Sämtliche Eintragungen sind größer, gleich, null.
Wir haben also die Optimalitätsbedingungen für die Ferienzielfunktionswert.
Z. Eine weitere Verbesserung ist also nicht möglich. Gleichermaßen sehen
wir auch, dass Z1 nach wie vor Basisvariable ist.
Somit gibt es offenbar keine Lösung,
ohne die Vayable
Ja. Z können wir nicht weiter verbessern.
Die Vayable Z1 ist weiterhin in der Basis.
Es gelingt uns also nicht, die Vayable Z1 zu eliminieren.
Dein Z kann ja nicht weiter gesteigert werden. Und das
ist dann der Nachweis, dass wir keine zulässige Lösung finden können.
Es existiert keine zulässige Lösung. Okay. Ja,
dann schauen wir so ein weiteres Problem an.
Sie sehen auch die Überschrift, offenbar ein unbeschränktes Problem
Wir maximieren F, gleich X1 plus 2, X2,
X1, minus X2, Teile gleich 4,
X1 plus 6, 2, größer, gleich 4.
Und auch hier wieder können wir jetzt, haben wir natürlich
alternative Vorgehensweisen. In diesem Fall wird empfohlen, dass wir
zwei Schlupfwarejablen einführen. Y, 1, minus Y,
2, in der zweiten Nebenbedingung mit Modulationen,
mit minus 1. Und dann erhalten wir folgendes Ergebnis.
Zunächst einmal sehen wir hier die Erste Nehmendehung, die zweite Nehmenbedingung.
Und nun ist es gleich so gestaltet. Gleich so,
dass wir jetzt hier sehen, dass wir Y2 in dem Sinne
keine zulässige Lösung, weil die ja die Nicht-Negativitätsbedingungen erfüllt ist.
Wir müssen also Y2 substituieren. Grundsätzlich sind zwei Kandidaten,
kommen hier in Frage. Und wir haben es offenbar
Fake 2 entschieden und kommen dann hier zu diesem neuen Tableau
So. Und wir sehen, dass F... Jetzt den Wert Achter nimmt,
ja, und wir haben Y1 gleich 8, X2, gleich 4.
Und wir sehen in der Zielfunktionszeit eine weitere Verbesserung ist möglich,
mit minus 2, ja,
das heißt Y2 ist mit in die Basis aufzunehmen.
So, was wir ferner sehen, ist,
dass sämtliche Koeffizienten in der Y2-Spalte, kleiner gleich null sind.
Das heißt, es gibt gar keine Beschränkungen für Y2.
Wir können Y2-beliebig groß wählen. Das heißt,
wir können den Zielfunksohnswert auch beliebig groß werden lassen.
Und in diesem Beispiel sprechen wir dann von einem Unbeschränkten Wert.
Also wenn sämtliche Kovizienten in der Pivotspalte kleiner gleich null sind,
liegen eine Unbeschränkung der Lösung vor
Sofern der Eintrag an der Zielfunktionsseite natürlich Anzeichen,
dass wir eine Steigerung des Zielfunksohnswertes erzielen können.
Durch Aufnahme dieser neuen Variable, in diesem Fall ja Y2.
Es liegt also ein unbeschränktes Problem vor.
Auch das kann man sich grafisch veranschaulichen. Hier sehen Sie
das noch einmal, den Lösungsraum. Sie können die Zielfunktion
also beliebig verschieben und
der Zielfunktionswert steigt an
Kann also beliebig nach oben und rechtsgleichermaßen verschoben werden.
Das war also der letzte Sonderfall, den wir
heute besprechen wollen. Mehr werden sie auch nicht kennenlernen.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit